下载文档原格式
习题7.51. 过定点(,0,0)R -作球面2222x y z R ++=的弦，求动弦中点的轨迹方程.2. 说出下列曲面方程的名称，并作出草图：(1)222(0)x y az a +=>; (2)222(0)x y az a -=>;(3)222z x y =++;(4)220y x z -+=; (5)2222310x y z -++=; (6)222239x y z ++=.3. 说出下列曲面方程的名称，并作出草图：(1)221x y +=; (2)21x =;(3)220x y -=; (4)30y z -=;(5)2222x y z az ++=; (6)22x az =;(7)22149x y +=; (8)22119x y -=; (9)222x y z -=; (10)22234z x y =+.4. 写出适合下列条件的旋转曲面的方程：(1)曲线2210x z y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩绕z 轴旋转一周; (2)曲线221940x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩绕x 轴旋转一周； (3)曲线2210y z x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩绕y 轴旋转一周； (4)曲线250z x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩绕x 轴旋转一周. 5. 说明下列旋转曲面是如何形成的并写出它的名称： (1)22214y x z +-=; (2)224x y z +=; (3)2221169z x y +-=; (4)2224x y z +=. 6. 指出下列方程表示的曲线：(1)222253x y z x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩; (2)222(1)(4)2510x y z y ⎧-+++=⎪⎨+=⎪⎩; (3)2219420y z x ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩; (4)241x y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩; 7. (1) 将曲线22216:2x y z C z ⎧++=⎪⎨=⎪⎩表示为参数方程，并求其沿z 轴方向的投影柱面及在xOy 面上的投影曲线；(2) 将曲面22z x y =+与平面1x y z ++=的交线C 表示为参数方程，并求其沿z 轴方向的投影柱面及在xOy 面上的投影曲线；(3) 将曲面2222x y z ++=和22z x y =+的交线C 表示为参数方程，并求其沿x 轴方向的投影柱面及在yOz 面上的投影曲线；(4) 将旋转抛物面22z x y =+与平面1y z +=的交线C 表示为参数方程，并求其在各坐标面上的投影曲线;(5) 分别求母线平行于x 轴和y 轴，且通过曲线222222216:0x y z C x z y ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩的柱面方程; (6) 求柱面22z x =与锥面z =所围立体在三坐标面上的投影区域.8. 把下列曲线C 的参数方程化为一般式方程: (1) cos ,:2cos 1,3sin ,x t C y t z t =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ [0,2π]t ∈;(2) ,:x t a C y z =+⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩[,]t a a ∈-. 9. 试建立下列曲面的参数方程：(1) 椭圆柱面：220022()()1x x y y a b --+=；(2) 双曲柱面：22221y z a b -=；(3) 双叶双曲面：2222221x y z a b c --+=；(4) 椭圆抛物面：2200022()()x x y yz z a b --+=-；(5) 双曲抛物面：2222x y z a b -=；(6) 二次锥面：2222220x y z a b c +-=.。
高等数学中的微分几何基础概念详解微分几何是数学中一个研究空间曲面、空间曲线的分支学科，它通过微积分的手段来研究几何性质。
微分几何在工程、物理、计算机科学等领域有着广泛的应用。
在微分几何中，微分是一个核心的概念。
本文将深入讲解微分几何中的基础概念，并介绍一些重要的定理和公式。
1. 曲面的切空间切空间是微分几何中一个十分重要的概念。
它描述了一个曲面在某一点的切平面和切向量的集合。
我们可以将曲面看成一个低维空间中的子集。
在该点上，我们可以找到一个切向量和切平面，这个切向量垂直于切平面。
切平面是切向量构成的空间，它是当前点曲面的局部近似。
2. 爱因斯坦求和约定爱因斯坦求和约定是微分几何中一个重要的记法。
它规定了当一个下标在式子中出现了两次时，那么它就代表着一个对该下标求和的操作。
据此，我们可以省略求和符号从而简化求和表达式。
在微分几何中，爱因斯坦求和约定被广泛地使用。
3. 一阶微分在微分几何中，一阶微分是我们研究的一个重要概念。
它是一种线性映射，它将一个标量场映射成一个切向量场。
一阶微分展示了曲面局部的变化率，因此在几何学上它是不可或缺的。
4. 曲面上的长度、面积和体积曲面上的长度、面积和体积是微分几何中的重要概念。
长度指的是一个空间曲线的长度，面积指的是一个平面曲面的面积，而体积则指的是一个三维曲面的体积。
在微分几何中，它们的计算是通过对弧长、曲率半径和偏微分方程进行求解得到的。
5. 积分曲线积分曲线是微分几何中一个重要的概念。
它是一个渐进曲线，它沿着向量场的方向和大小发展，并趋近于另一个点。
积分曲线描述了一个向量场在时空曲面上的发展过程。
通过积分曲线，我们可以了解空间曲面上的逐点性质。
6. 概率微分几何概率微分几何是微分几何的一个分支领域，它通过量化空间曲面上的随机性质来分析它们的变化。
概率微分几何在概率论、统计学、金融、信号处理等领域有着广泛的应用。
在计算机科学中，概率微分几何被用来开发新的图像处理和机器学习算法。
空间曲线和曲面的方程和性质空间曲线和曲面是我们学习高等数学时接触到的一个重要概念。
在三维空间中，任何一条曲线都可以用一条参数方程来表示，而曲面则可以用一个或者多个方程来表示。
在本文中，我们将会探讨空间曲线和曲面的方程及其性质，为我们更好地理解和应用它们打下基础。
一、空间曲线的方程和性质1. 参数方程一条曲线可以用一个或多个函数的参数形式来表示，这种表示方式叫做曲线的参数方程。
以抛物线为例，其参数方程可以表示为：x = ty = t²z = 0其中t就是参数。
2. 长度公式曲线的长度公式是通过对曲线上的每一段微小线段求长然后求和得到的。
对于弧长可微的平面曲线，其长度公式可以表示为：L = ∫ab sqrt(1 + [f'(x)]²) dx对于空间曲线，则是对其弧长进行积分：L = ∫ab sqrt([dx/dt]² + [dy/dt]² + [dz/dt]²) dt3. 曲率公式曲线的曲率代表了曲线扭曲的程度。
对于空间曲线，其曲率公式可以表示为：k = |dT/ds|其中，T是切向量，s是曲线长度。
二、空间曲面的方程和性质1. 方程的类型空间曲面可以分为三类：点，直线和曲线。
具体来说，一般来说，地球的表面就是一个曲面，可以用数学公式表示。
在三维空间中，曲面的方程可以表示为一个或多个方程的形式。
例如，球面可以用方程x² + y² + z² = r²来表示。
2. 面积公式对于曲面而言，其面积公式是通过对曲面微元面积求和得到，可表示为：A = ∫∫D |N| dS其中D是曲面的投影区域，N是微元面积的法向量，dS是微元面积。
3. 曲率公式曲面的曲率代表了曲面弯曲的程度。
在数学上，曲面的曲率函数是由曲面上每一点的两个主曲率（即最大和最小曲率）所定义的。
曲面的平均曲率可以表示为这两个主曲率之和的一半。
总之，空间曲线和曲面的方程和性质在不同的数学领域中都有广泛应用。
高等数学第二册第七章空间解析几何与向量代数在这一章中，首先建立空间直角坐标系，引进自由向量，并以坐标和向量为基础，用代数的方法讨论空间的平面和直线，在此基础上，介绍一些常用的空间曲线与曲面。
通过这一章的学习，培养空间想象能力，娴熟的向量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力。
也为学习多元微积分做准备。
重点：曲面方程，曲线方程难点：较深刻地理解曲面（平面）、曲线（直线）方程，并能把握方程所表示的图形的特征。
（一）1．空间笛卡尔坐标系的构成：空间的一个定点O，连同三个两两互相垂直的有序向量组，称为笛卡尔坐标系。
当1e，2e，3e 的相互关系和右手拇指、食指、中指相同时，称为右手坐标系。
在通常的讨论中，常用右手笛卡尔坐标系。
关于一般的坐标系称为仿射坐标系，有兴趣的同学可参阅《空间解析几何》这类专业教材。
2．空间向量可以从两个途径来认识：①由定义：具有大小和方向的量称为向量，因此可由方向（可由方向角来确定）连同大小（模长）来确定（注意，这样定义的向量称为自由向量，简称向量，自由向量与起点和终点无关）。
书上往往用黑体字母表示，手写时用黑体并不方便，常在字母上面加一个箭头表示，例：AB ，a 等。
②可由向量的坐标来把握向量。
必须分清向量坐标与点坐标这两个概念，一般情况下，设{}z y x a ,,= 的始点的坐标分别为()321,,x x x ，()321,,y y y ，则{}121212,,z z y y x x a ---= ，即向量的坐标与向量的起点及终点的坐标间有下列关系：12x x x -=，12y y y -=，12z z z -=。
因此，若确定了向量的坐标，则这个向量就确定了。
当向量的起点与坐标系的原点重合时，向量的坐标与向量的终点的坐标在数值上相等。
3．在学习向量的代数运算时，利用几何或物理模型比较容易掌握。
如求向量的加法和减法可以平行四边形或以力的相加或相减为模型，求两向量的数量积可以求力在某段路程上所作的功为模型，求两向量的向量积可以求力关于某点的力矩为模型，并要熟练掌握每种运算的算律。
