实验2-空间曲线曲面图形的绘制

实验一 曲线绘图【实验目的】1.了解曲线的几种表示方法。

2.学习、掌握MATLAB 软件有关命令。

【实验内容】绘制下列四种曲线：1.以直角坐标方程sin ,cos y x y x ==表示的正、余弦曲线。

2.以参数方程cos ,sin ,[0,2]x t y t t π==∈表示的平面曲线(单位圆)。

3.以参数方程0.20.2cos ,sin ,,[0,20]22t t x e t y e t z t t ππ--===表示的空间曲线。

4.以极坐标方程(1cos ),1,[0,2]r a a ϕϕπ=+=∈表示的心脏线。

【实验准备】1.平面、空间曲线的表示形式2.曲线绘图的MATLAB 命令MATLAB 中主要用plot,fplot,plot3三种命令绘制不同的曲线 matlab 绘图命令比较多,我们选编一些常用命令,并简单说明其作用,这些命令的调用格式,可参阅例题及使用帮助help 查找.表1.1 二维绘图函数表1.2 基本线型和颜色表1.3 二维绘图工具表1.4 axis命令linspace 创建数组命令,调用格式为:x=linspace(x1,x2,n),创建了x1到x2之间有n个数据的数组.funtool 函数工具,在matlab指令窗键入funtool可打开“函数计算器”图形用户界面.【实验重点】1.一维函数的绘制2.各种曲线的实现方法 【实验难点】1.各种曲线的实现方法 【实验方法与步骤】练习１ 作出函数sin ,cos y x y x ==的图形，并观察它们的周期性。

先作函数sin y x =在[4,4]ππ-上的图形，用MATLAB 作图的程序代码为>>x=linspace(-4*pi,4*pi,300); %产生300维向量x >>y=sin(x)>>plot(x,y) %二维图形绘图命令 运行结果如图1.1。

-15-10-551015-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81图1.1此图也可以用fplot 命令,相应的 MATLAB 程序代码为 >>clear;close; %clear 清理内存；close 关闭已有窗口． >>fplot('sin(x)',[-4*pi,4*pi]) 运行结果如图1.2。

北京理工大学珠海学院实验报告 ZHUHAI CAMPAUS OF BEIJING INSTITUTE OF TECHNOLOGY班级 航空电控 姓名学号 指导教师 石碧莹 成绩 实验题目 实验五 二维、三维曲线及曲面绘制实验时间 2011-11-221、在同一坐标系下以不同颜色不同线型绘制下面三个函数在t ∈[0，4π]的图像，标记出所有交叉点，并给每条曲线添加文字说明及图例。

)sin(41.0321t e y t y ty t -===πt=0:pi/100:4*pi;y1=t;y2=sqrt(t);y3=4*pi*exp(-0.1*t).*sin(t);k1=find(abs(y1-y2)<=0.01);t1=t(k1);y4=t1;k2=find(abs(y1-y3)<=0.1);t2=t(k2);y5=t2;k3=find(abs(y2-y3)<=0.1);t3=t(k3);y6=sqrt(t3);plot(t,y1,'r-.',t,y2,'b:',t,y3,'k--',t1,y4,'bp',t2,y5,'bp',t3,y6,'bp');legend('y1','y2','y3');text(10,9,'y1=t');text(11,2,'y2=sqrt(t)');text(6,-6,'y3=4*pi*exp(-0.1*t).*sin(t)');2、以子图的形式绘制题1中的三个函数，并给每个子图添加函数标题及坐标说明。

t=0:pi/100:4*pi;y1=t;y2=sqrt(t);y3=4*pi*exp(-0.1*t).*sin(t);figure(1);subplot(2,2,1);plot(t,y1);title('y1=t');xlabel('t');ylabel('y');subplot(2,2,2);plot(t,y2);title('y2=sqrt(t)');xlabel('t');ylabel('y');subplot(2,2,[3 4]);plot(t,y3);title('y3=4*pi*exp(-0.1*t).*sin(t)');xlabel('t');ylabel('y');3、已知225(,),3,3,1f x y x y x y =-≤≤++绘制其曲面图，并将0.8,0.5x y ≤≤部分镂空。

空间曲线与曲面空间曲线和曲面是几何学中的重要概念，它们在数学、物理学以及工程学等领域都有广泛的应用。

本文将介绍空间曲线和曲面的基本概念，并讨论它们的性质和应用。

一、空间曲线空间曲线是指在三维空间中由一组点按照一定规律组成的线条。

通常情况下，我们可以用参数方程或者向量函数来描述一条空间曲线。

1. 参数方程参数方程是一种用参数表示变量关系的方法。

对于空间曲线而言，参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z分别表示曲线上一点的坐标，f(t)、g(t)、h(t)是关于参数t的函数。

通过改变参数t的取值范围，我们可以得到曲线上不同点的坐标。

2. 向量函数向量函数是一种将向量与参数相关联的函数。

对于空间曲线而言，向量函数可以表示为：r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k其中，r(t)表示曲线上一点的位置向量，i、j、k是空间直角坐标系的单位向量，x(t)、y(t)、z(t)是关于参数t的函数。

通过改变参数t的取值范围，我们可以得到曲线上不同点的位置向量。

二、空间曲面空间曲面是指在三维空间中由曲线按照一定规律延伸得到的平面或者曲面。

与空间曲线类似，我们可以用参数方程或者向量函数来描述一个空间曲面。

1. 参数方程参数方程可以用来表示平面或曲面上每一个点的坐标。

对于空间曲面而言，参数方程可以表示为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，x、y、z分别表示曲面上一点的坐标，f(u, v)、g(u, v)、h(u, v)是关于参数u和v的函数。

通过改变参数u和v的取值范围，我们可以得到曲面上不同点的坐标。

2. 向量函数向量函数可以用来表示曲面上每一个点的位置向量。

对于空间曲面而言，向量函数可以表示为：r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k其中，r(u, v)表示曲面上一点的位置向量，i、j、k是空间直角坐标系的单位向量，x(u, v)、y(u, v)、z(u, v)是关于参数u和v的函数。

天水师范学院数学与统计学院实验报告实验项目名称空间图形的画法所属课程名称数学实验实验类型微积分实验实验日期2011.10.26班级学号姓名成绩例如旋转抛物面22z x y =+，输入ParametricPlot3D[{u*Cos[v]，u*Sin[v]，u^2}，{u ，0，3}，{v ，0，2Pi}]以原点为中心，2为半径的球面22222x y z ++=，输入ParametricPlot3D[{2Sin[u]*Cos[v]，2Sin[u]*Sin[v]，2Cos[v]}，{u ，0，Pi}，{v ，0，2Pi}]用于作空间曲线的ParametricPlot3D 命令的基本形式是 ParametricPlot3D[{x[t]，y[t]，z[t]}，{t ，t1，t2}， 选项] 例如，一条空间螺旋线的参数方程是cos ,sin ,/10(08)x t y t z t t π===≤≤.输入ParametricPlot3D[{Cos[t]，Sin[t]，t/10，RGBColor[1，0，0]}，{t ，0，8Pi}]3.作三维动画命令MoviePlot3D无论在平面和空间，先作出一系列的图形，再连续不断地放映，便得到动画.例如，输入调用作图软件包命令 <<Graphics\Animation.m 执行后再输入MoviePlot3D[Cos[t*x]*Sin[t*y]，{x ，-Pi ，Pi}，{y ，-Pi ，Pi}，{t ，1，2}，Frame 6]【实验环境】Mathematic 4二、实验内容： 【实验方案】1. 空间直角坐标系中作三维图形命令Plot3D;2. 利用参数方程作空间曲面或曲线的命令ParametricPlot3D;3. 作三维动画命令MoviePlot3D.【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）1.一般二元函数作图例6.1 作平面623z x y =--，其中03,02x y ≤≤≤≤. 输入Plot3D[6-2x-3y ，{x ，0，3}，{y ，0，2}] 如果只要位于第一卦限的部分，则输入Plot3D[6-2x-3y ，{x ，0，3}，{y ，0，2}，PlotRange {0，6}]例6.2 设函数2241z x y =++，作出它的图形.k[x_，y_]:=4/(1+x^2+y^2)；Plot3D[k[x ，y]，{x ，-2，2}，{y ，-2，2}，PlotPoints 30，PlotRange {0，4}，BoxRatios {1，1，1}]例6.3 画出函数22cos(49)z x y =+的图形. 输入Plot3D[Cos[4x^2+9y^2]，{x ，-1，1}，{y ，-1，1}，Boxed False ，Axes Automatic ，PlotPoints 30，Shading False] 2.二次曲面例6.4 作椭球面2221491x y z ++=的图形.这是多值函数，要用参数方程作图的命令ParametricPlot3D.该曲面的参数方程是2sin cos ,3sin sin ,cos x u v y u v z u ===，其中0,02u v ππ≤≤≤≤.输入ParametricPlot3D[{2*Sin[u]*Cos[v]，3*Sin[u]*Sin[v]，Cos[v]}，{u ，0，Pi}，{v ，0，2Pi}，PlotPoints 30]例6.5 作单叶双曲面2221149x y z +-=的图形.ParametricPlot3D[{Sec[u]*Sin[v]，2*Sec[u]*Cos[v]，3Tan[u]}，{u ，-Pi/4，Pi/4}，{v ，0，2Pi}，PlotPoints30]例6.6 作双叶双曲面的图形22222211.5 1.4 1.3x y z ++=-.sh1=ParametricPlot3D[{1.5*Cot[u]*Cos[v],1.4*Cot[u]*Sin[v],1.3/Sin[u]},{u ，Pi/1000，Pi/4}，{v ，-Pi ，Pi}，DisplayFunctionIdentity]；sh2=ParametricPlot3D[{1.5*Cot[u]*Cos[v],1.4*Cot[u]*Sin[v]，1.3/Sin[u]}，{u ，-Pi/2，-Pi/1000}，{v ，-Pi ，Pi}，DisplayFunctionIdentity]；Show[sh1，sh2，DisplayFunction$DisplayFunction]例 6.7 可以证明：函数z xy =的图形是双曲抛物面.在区域22,22x y -≤≤-≤≤上作出它的图形.Plot3D[x*y ，{x ，-2，2}，{y ，-2，2}，BoxRatios->{1，1，2}，PlotPoints 30]ParametricPlot3D[{r*Cos[t]，r*Cos[t]，r^2*Cos[t]*Sin[t]}，{r ，0，2}，{t ，0，2Pi}，PlotPoints 30] 3.曲面相交例6.8 作出球面2221x y z ++=和柱面22(1)1x y -+=相交的图形 g1=ParametricPlot3D[{2*Sin[u]*Cos[v]，2*Sin[u]*Sin[v]，2Cos[u]}，{u ，0，Pi}，{v ，0，2Pi}，DisplayFunction Identity]；g2=ParametricPlot3D[{2Cos[u]^2，Sin[2u]，v}，{u ，-Pi/2，Pi/2}，{v ，-3，3}，DisplayFunctionIdentity]；Show[g1，g2，DisplayFunction$DisplayFunction]例6.9 作出锥面222x y z +=和柱面22(1)1x y -+=相交的图形 g3=ParametricPlot3D[{r*Cos[t]，r*Sin[t]，r}，{r ，-3，3}，{t ，0，2Pi}，DisplayFunctionIdentity]；Show[g1，g2，g3，DisplayFunction $DisplayFunction]4.默比乌斯带例6.10 前面作出的曲面都是双侧曲面，它们可以分出内、外侧或左、右侧，而现在作出的默比乌斯带是单侧曲面.它没有内、外侧或左、右侧之分。

实验7 OpenGL曲线、曲面的绘制与3D模型的装载与显示实验目的：1）理解Bezier曲线、曲面绘制的基本原理；理解OpenGL中一维、二维插值求值器的用法。

2）掌握OpenGL中曲线、曲面绘图的方法，对比不同参数下的绘图效果差异；实验要求：1）教师领读代码；2）学生上机实验；3）针对代码1，分别或同时去掉开关1和开关2的代码注释，查看并记录实验效果；用公式说明Bezier曲线、曲面的绘制计算过程；4）针对代码2，分别或同时去掉各开关，观察并记录显示效果差异；用公式说明Bezier曲面插值点的计算过程；说明线框模型与曲面模型的区别；5）针对代码3：实验和观察材质参数、光照参数、坐标参数对实验效果的影响；6）理解均匀与非均匀样条有理曲线或曲面的差异；7）针对代码4：掌握非均匀有理B样条曲面（NURBS曲面）的曲面绘制方法；8）阅读https:///sweetdark/blog/184313代码，编写曲面裁剪和细分曲面的效果。

9）OpenGL如何装载并显示3D MAX导出的3D模型实验及代码，课外自行完成。

代码1：用四个控制点绘制一条三次Bezier曲线：//Demo: 用四个控制顶点来画一条三次Bezier曲线#include <stdlib.h>#include <time.h>#include <GL/glut.h>//4个控制点的3D坐标——z坐标全为0GLfloatctrlpoints[4][3] = {{-4, -4, 0}, {-2, 4, 0}, {2, -4, 0}, {4, 4, 0}};voidinit(void){//背景色glClearColor(0.0, 0.0, 0.0, 1.0);//将控制点坐标映射为曲线坐标//参数：GL_MAP1_VERTEX_3，3维点坐标//参数2和3：控制参数t或u的取值范围[0, 1]//参数4：曲线内插值点间的步长3——3维坐标//参数5：曲线间的补偿为顶点数4个——总步长为12//参数6：控制点二维数组首元素地址//note: 若是在这里设置了相关参数，后续对ctrlpoints内容更改曲线不变glMap1f(GL_MAP1_VERTEX_3, 0.0, 1.0, 3, 4, &ctrlpoints[0][0]);//打开开关——允许3维坐标控制点到参数点转换开关glEnable(GL_MAP1_VERTEX_3);glShadeModel(GL_FLAT);//代码开关2：去掉本注释，可启用反走样/*glEnable(GL_BLEND);glEnable(GL_LINE_SMOOTH); //允许直线反走样glHint(GL_LINE_SMOOTH_HINT, GL_FASTEST); // Antialias the linesglBlendFunc(GL_SRC_ALPHA, GL_ONE_MINUS_SRC_ALPHA);*/}void display(void){int i;glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);glColor3f(1.0, 1.0, 1.0);//代码开关1：去掉本注释，查看动态的曲线绘图效果：动态更新控制点坐标/*for(int t = 0; t < 4; t++) {for(int j = 0; j < 3; j++)ctrlpoints[t][j] = (rand() % 1024 / 1024.0 - 0.5) * 10;}//动态映射glMap1f(GL_MAP1_VERTEX_3, 0.0, 1.0, 3, 4, &ctrlpoints[0][0]);*/glLoadIdentity();glColor3f(1.0, 0.0, 0.0);//绘制连续线段glBegin(GL_LINE_STRIP);//参数t或u取值为i/30，共计31个点for (i = 0; i <= 30; i++)glEvalCoord1f((GLfloat) i/30.0); //根据4个控制点坐标的参数化插值glEnd();/* 显示控制点*/glPointSize(5.0);glBegin(GL_POINTS);for (i = 0; i < 4; i++)glVertex3fv(&ctrlpoints[i][0]);glEnd();glTranslatef(-0.1f,0.1f,0.0f);glColor3f(0.0, 1.0, 0.0);//glLineWidth(2.0);//绘制连续线段——线段数越多，曲线越光滑glBegin(GL_LINE_STRIP);//设置参数t或u取值为i/60，共计61个点//实验：若让t从-2变化到+2，可看到什么效果for (i = 0; i <= 60; i++)glEvalCoord1f((GLfloat) i/60.0); //根据4个控制点坐标的参数化插值glEnd();glTranslatef(-0.1f,0.1f,0.0f);glColor3f(1.0, 1.0, 1.0);//绘制连续线段glBegin(GL_LINE_STRIP);//设置参数t或u取值为i/60，共计61个点//实验：若让t从-2变化到+2，可看到什么效果for (i = 0; i <= 100; i++)glEvalCoord1f((GLfloat) i/100.0);glEnd();glutSwapBuffers();}//3D空间中绘制2D效果，采用正交投影void reshape(GLsizei w, GLsizei h){glViewport(0, 0, w, h);glMatrixMode(GL_PROJECTION);glLoadIdentity();if (w <= h)glOrtho(-5.0, 5.0, -5.0*(GLfloat)h/(GLfloat)w, 5.0*(GLfloat)h/(GLfloat)w, -5.0, 5.0);elseglOrtho(-5.0*(GLfloat)w/(GLfloat)h, 5.0*(GLfloat)w/(GLfloat)h, -5.0, 5.0, -5.0, 5.0);glMatrixMode(GL_MODELVIEW);glLoadIdentity();}void keyboard(unsigned char key, int x, int y){//请参考＂变换示例参考＂一文，考虑添加键盘命令，交互式来控制金字塔的旋转switch (key){case 'x':case 'X':case 27: //ESC键exit(0);break;default:break;}}int main(intargc, char** argv){srand( (unsigned int)time(0) );glutInit(&argc, argv);glutInitDisplayMode(GLUT_DOUBLE | GLUT_RGB | GLUT_DEPTH);//使用双缓存模式和深度缓存glutInitWindowSize(800, 800);glutInitWindowPosition(0, 0);glutCreateWindow("2D Bezier曲线");init();glutDisplayFunc(display);glutReshapeFunc(reshape);glutKeyboardFunc(keyboard);glutIdleFunc(display);//设置空闲时调用的函数glutMainLoop();return 0;}效果图：动态曲线绘制效果图：关闭代码开关1，打开代码开关2，查看直线反走样效果：对比分析反走样前后曲线绘制效果差异。

空间曲线与曲面分析空间曲线和曲面是三维几何学中的重要概念，它们在数学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。

本文将介绍空间曲线和曲面的定义、表示方法、性质以及分析技巧。

一、空间曲线的定义与表示方法空间曲线是三维空间中的一条连续曲线，可以用参数方程或者隐式方程表示。

参数方程表示法中，空间曲线上的每一点都由参数的函数确定。

常见的参数方程形式为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z分别是曲线上一点的坐标，f(t)、g(t)、h(t)是参数t的函数。

隐式方程表示法则可以通过将曲线所在平面的方程转化为含有x、y、z的等式来表示。

二、空间曲线的性质分析空间曲线具有多种性质，下面介绍几个常见的分析技巧。

1. 切向量和切线：曲线上的每一点都有一个切向量，它表示曲线在该点处的方向。

切向量的定义为曲线在该点处的导数。

切线则是通过曲线上一点和其切向量所确定的直线。

2. 弧长和曲率：曲线的弧长是曲线上两点间的距离，可以通过积分求得。

曲率是反映曲线弯曲程度的量，可以通过曲线的切线和曲线在该点处的凹凸性来确定。

3. 曲线的分类：根据曲线的性质，可以将曲线分为直线、椭圆、抛物线和双曲线等不同类型。

三、曲面的定义与表示方法曲面是三维空间中一条或多条曲线所形成的表面。

曲面可以用参数方程、隐式方程或者显示方程表示。

参数方程和隐式方程的表示方法与空间曲线相似。

显示方程则是将曲面的方程转化为x、y、z的等式。

四、曲面的性质分析曲面也具有多种性质，下面介绍几个常见的分析技巧。

1. 切平面和切点：曲面上的每一点都有一个切平面，它与曲面相切，并且与曲面在该点的法线垂直。

切点是切平面与曲面相交的点。

2. 曲面的方向导数：曲面上某一点的方向导数是曲面在该点沿给定方向的变化率。

3. 曲面的法线和曲率：曲面上的每一点都有一个法线，它垂直于切平面。

曲率则是描述曲面在该点处的弯曲程度。

总结：空间曲线和曲面是三维几何学中重要的概念，通过参数方程、隐式方程或者显示方程可以表示。

AUTOCAD 绘制空间曲线在绘制部分实体和曲面模型时，会用到样条曲线和螺旋线等三维曲线来绘制图形。

下面分别介绍这两种曲线的绘制方法。

1．样条曲线样条曲线就是通过一系列给定控制点的一条光滑曲线，它在控制处的形状取决于曲线在控制点处的矢量方向和曲率半径。

对于空间中的样条曲线，应用比较广泛，它不仅能够自由描述曲线和曲面，而且还能够精确地表达圆锥曲线曲面在内的各种几何体。

要绘制样条曲线，可以在【绘图】选项板中单击【样条曲线】按钮，根据命令行提示依次选取样条曲线的控制点即可。

对于空间样条曲线，可以通过曲面网格创建自由曲面，从而描述曲面等几何体，效果如图10-3所示。

图10-3 绘制空间样条曲线2．绘制三维螺旋线螺旋线是指一个固定点向外，以底面所在平面的法线为方向，并以指定的半径、高度或圈数旋绕而形成的规律曲线。

在绘制弹簧或内外螺纹时，必须使用三维螺旋线作为轨迹线。

要绘制该曲线，可以在【绘图】选项板中单击【螺旋】按钮，并分别指定底面中心点、底面和顶面的半径值。

然后设置螺旋线的圈数和高度值，即可完成螺旋线的绘制，效果如图10-4所示。

图10-4 绘制三维螺旋曲线 在绘制螺旋线时，如果选择【轴端点】选项，可以通过指定轴的端点，绘制出依次设置螺旋线的各个参数 三维螺旋 线效果绘制空间样条曲线创建为曲面以底面中心点到该轴端点距离为高度的螺旋线；选择【圈数】选项，可以指定螺旋线的螺旋圈数；选择【圈高】选项，可以指定螺旋线各圈之间的间距；选择【扭曲】选项，可以指定螺旋线的螺旋方向是顺时针或逆时针，效果如图10-5所示。

顺时针螺旋逆时针螺旋图10-5 设置螺旋方向。

计算机形学曲线与曲面的生成与绘制算法计算机形学中的曲线与曲面生成与绘制算法是图形学领域中的关键技术之一。

利用算法可以生成各种各样的曲线与曲面，用于创建、编辑和渲染三维模型。

本文将介绍几种常见的曲线与曲面生成与绘制算法。

一、贝塞尔曲线与贝塞尔曲面算法贝塞尔曲线与贝塞尔曲面是计算机形学中最常用的曲线与曲面表示方法之一。

贝塞尔曲线与曲面基于一组控制点，通过调整这些控制点的位置和权重，可以生成平滑且可控制形状的曲线与曲面。

1. 贝塞尔曲线算法贝塞尔曲线算法通过使用插值多项式来定义曲线。

一阶贝塞尔曲线由两个控制点定义，而二阶贝塞尔曲线则需要三个控制点。

一般而言，n阶贝塞尔曲线需要n+1个控制点。

通过调整控制点的位置和权重，可以生成不同形状的贝塞尔曲线。

2. 贝塞尔曲面算法贝塞尔曲面算法是在二维情况下的推广，可以用于生成三维曲面。

类似于贝塞尔曲线，贝塞尔曲面也是通过在空间中插值来生成的。

通过调整控制点的位置和权重，可以创造出各种形状的曲面。

贝塞尔曲面常用于建模和渲染三维物体。

二、B样条曲线与曲面算法B样条曲线与曲面是另一种重要的曲线与曲面表示方法。

与贝塞尔曲线相比，B样条曲线具有更高的灵活性和平滑性。

B样条曲线通过使用基函数的加权和来定义曲线。

不同的基函数产生不同的曲线形状。

1. B样条曲线算法B样条曲线算法中，每个控制点都有一个与之关联的基函数，通过调整控制点的位置和权重，可以改变曲线的形状。

B样条曲线可以用于在三维空间中创建平滑的曲线，被广泛应用于计算机辅助设计和动画制作等领域。

2. B样条曲面算法B样条曲面算法是在二维情况下的推广，可以用于生成三维曲面。

B样条曲面通过在两个方向上使用基函数的加权和来定义曲面。

通过调整控制点的位置和权重，可以实现曲面的形状调整。

B样条曲面广泛应用于计算机辅助设计、虚拟现实和游戏开发等领域。

三、其他曲线与曲面生成与绘制算法除了贝塞尔曲线和B样条曲线，还存在其他一些曲线和曲面生成与绘制算法，如NURBS曲线与曲面算法、Catmull-Rom曲线与曲面算法等。