2019-2020学年高中数学 第32课时 两角和与差的正弦导学案苏教版必修4.doc

3.1.2 两角和与差的正弦教学目标1.能推导2πα±，32πα±的诱导公式，并能灵活运用； 2.掌握()S αβ±公式的推导，并能熟练进行公式正逆向运用。

教学重点()S αβ±公式及诱导公式的推导、运用；教学难点()S αβ±公式及诱导公式的运用。

教学过程（一）复习：1．()C αβ±公式；2．练习：化简：（1）cos3cos sin3sin αααα+；（2）cos()cos()66ππαα++-；（3）cos15cos75-． （二）新课讲解：1．诱导公式（1）cos()cos cos sin sin sin 222πππαααα-=+=；（2）把公式（1）中2πα-换成α，则cos sin()2παα=-． 即：cos()sin 2παα-= sin()cos 2παα-=． 2．两角和与差的正弦公式的推导sin()cos[()]2παβαβ+=-+ cos[()]2παβ=-- cos()cos sin()sin 22ππαβαβ=-+- sin cos cos sin αβαβ=+即：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （()S αβ+）在公式()S αβ+中用β-代替β，就得到： sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- （()S αβ-）说明：（1）公式()C αβ±对于任意的,αβ都成立。

练习：习题4.6第二题，补充证明：sin()cos 2παα+= cos()sin 2παα+=-. （2）2πα±，32πα±的三角函数等于α的余名三角函数，前面再加上一个把α看作锐角时原三角函数的符号；（3）诱导公式用一句话概括为奇变偶不变，符号看象限。

3．例题分析：例1：求值(1)sin 75； (2)sin195； （3）cos79cos56cos11cos34-．例2：已知2sin ,(,)32πααπ=∈，33cos ,(,)42πββπ=-∈，求sin()αβ-，cos(),tan()αβαβ++．．例3：已知5cos 13θ=-，求cos()6πθ+及sin()6πθ+的值。

2019-2020年高中数学 3.1.2两角和与差的正弦教案（1） 苏教版必修4一、课题：两角和与差的正、余弦（1）二、教学目标：1.进一步熟悉两角和与差的正（余）弦公式，能正确运用公式进行简单的 三角函数的化简、求值；2.掌握一些角的变换技巧，能选择恰当的公式解决有关问题；3.了解由三角函数值求角的方法。

三、教学重、难点：公式的运用。

四、教学过程：（一）复习：1．及公式；2．练习 3（1）（2）（3）．（二）新课讲解：例1：已知，，（1）求的值.； （2）求．解：（1）由得225cos 1sin 5αα=-=， 又由得2310sin 1cos 10ββ=-=， ，．（2）, ，所以，．说明：求某一角的一般方法：（1）确定此角的范围；（2）求出此角的某一三角函数值；（3）确定此角。

例2：已知，且，求的值。

分析：，所以应选用求的值。

解：，∴，又∵，∴28sin()1cos ()6617ππαα-=--=， ∴sin()cos cos()sin 6666ππππαα=-+-=， =cos()cos sin()sin 6666ππππαα---． 例3：已知，，，求的值。

解：由得，，又∵，， ∴25sin()1cos ()13αβαβ-=--=， 24cos()1sin ()5αβαβ+=--+=-， 所以，cos()cos()sin()sin()αβαβαβαβ=+-++-．五、小结：1．掌握求角的一般方法；2．寻找角之间的关系，选择恰当的公式解决有关问题。

六、作业：2019-2020年高中数学 3.1.2两角和与差的正弦教案（2） 苏教版必修4一、课题：两角和与差的正、余弦（2）二、教学目标：1.进一步熟悉两角和与差的正（余）弦公式，能对公式进行灵活运用；2.能将化为一个角的一个三角函数式；3.能灵活运用公式在三角形内求角的三角函数。

三、教学重、难点：公式的灵活运用。

四、教学过程：（一）复习：1．及公式；2．练习：（1）已知，，且均为锐角，求的值；（2）已知，，且均为锐角，求的值。

3.1 两角和与差的三角函数一、 学习内容、要求及建议二、 预习指导 1. 预习目标(1)经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用，掌握推导两角差的余弦公式的多种方法，充分认识到两角差的余弦公式是本单元所有公式的基础； (2)用余弦的差角公式推出余弦的和角公式,理解化归思想在三角变换中的作用； (3)掌握3,22ππαα±±的诱导公式； (4)理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用；(5)能正确运用三角公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形. 2. 预习提纲 (1)①探究两角、的和与差+、-的三角函数与、的三角函数的关系，如：cos()cos cos +=+？反例：6cos 3cos )63cos(2cosπππππ+≠+=，思考问题：cos()+与sin 、cos 、sin 、cos 的关系？解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线②阅读课本P91、P92思考如何推导cos()-= 可记为)(βα-C ，有其他推导方法吗?并探究 ()cos +的公式：以-β代β得：cos()+= 可记为()C +.③阅读课本P95思考如何推导两角和的正弦公式sin()cos ()cos ()22⎡⎤⎡⎤+=-+=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦cos()cos sin()sinsin cos cos sin 22=-+-=+即：sin()+= (()S +) 以-β代β得： sin()-= (()S -)④阅读课本P100、P101思考如何推导tan()+公式∵cos()0+≠sin()sin cos cos sintan()cos()cos cos sin sin+++==+-当coscos 0≠时, 分子分母同时除以cos cos 得：βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+以-β代β得：tan()-= ；其中,,,+-都不等于Z k k ∈+,2ππ(2)阅读课本P91～P103的例题，学会公式的灵活运用.课本93页例3是和差角公式与同角三角函数公式的综合运用，在由sin α的值求cos α的值，或由cos β的值求sin β的值时，要注意根据角的范围，确定三角函数值的符号.课本96页例3可以看成是和差角公式的逆向运用，也可以运用余弦的差角公式求解，此例题可以体会到三角恒等变换是研究三角函数的工具.课本97页的例4、例5都是通过变换角来消除角的差异，实现解题目标.课本97页的例6的解法体现了方程思想，分析时从解题目标入手，正确掌握公式的结构是灵活运用公式的基础. 3. 典型例题 (1) 熟悉公式 例1 化简：(1)cos()cossin()sin ---；(2)sin 48cos18sin 42cos72-；(3)sin(33)cos(27)cos(33)sin(27)x x x x -++-+； (4))32cos(3)3sin(2)3sin(x x x ---++πππ. 分析：(1)(2)(3)将需要化简的式子与公式相比较，把不吻合的地方用诱导公式变过来(4)仔细套用公式，展开即可.解：(1)原式cos()cos =-+=(2)法1：原式1sin 48cos18cos18sin18sin(4818)sin 302=-=-==法2：原式1cos 42cos18sin 42cos18cos(4218)cos602=-=+==(3)原式3sin (33)(27)sin 602x x ⎡⎤=-++==⎣⎦ (4)原式=0)sin 23cos 21(3cos 3sin cos 23sin 21=+---++x x x x x x 例2 求值：(1)tan105；(2)tan 55tan 3851tan(305)tan(25)----；(3)1tan 3011tan 30tan15-︒⋅+︒︒.分析：直接从正、反两方面应用公式，形式不吻合时先转化成吻合形式. 解：(1)原式=3tan(6045)(21+==-+-；(2)原式=tan 55tan 253tan(5525)tan 301tan 55tan 253-=-==+；(3)原式=tan 45tan 3011tan1511tan 45tan 30tan15tan15-⋅=⋅=+.(2) 应用公式进行计算、化简、求值、证明等 例3 (1)求cos(795)-的值；(2)已知233sin ,(,),cos ,(,)3252ππααπββπ=∈=-∈，求cos()αβ+的值.分析：(1)先用诱导公式将“大角”转化为“小角”，再将“非特殊角”转化为“特殊角”. 解：cos(795)cos 795cos(72075)cos 75cos(4530)-==+==+21cos 45cos30sin 45sin 3022224=-=⨯-= 分析：(2)先用1cos sin 22=+αα结合角的范围求出βαsin ,cos ，再套公式 解：∵),2(ππα∈∴35)32(1cos 2-=--=α，∵)23,(ππβ∈ ∴54)53(1sin 2-=---=β， ∴βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ 15853)54(32)53(35+=-⨯--⨯-= 例4 已知3cos()45πα-=，35sin()413πβ+=，其中3()44ππα∈，，(0)4πβ∈，，求cos()αβ+．分析：注意到已知角与未知角之间的关系：2)4()43(παπβπβα---+=+，用诱导公式处理“2π”，再用和差角公式. 解：∵3()44ππα∈，，∴(0)42ππα-∈-，，∴sin()04πα-<．又∵3cos()45πα-=， ∴4sin()45πα-==-．∵(0)4πβ∈，，∴33()44ππβπ+∈，， ∴3cos()04πβ+>．又∵35sin()413πβ+=，∴312cos()413πβ+==-． ∵3cos()cos[()()]442πππαββα+=+---3sin[()()]44ππβα=+-- 3sin()cos()44ππβα=+-3cos()sin()44ππβα-+-5312433()()13513565=⨯--⨯-=-. 例5 已知1212cos(),cos()1313-=-+=，且),2(ππβα∈-，αβ+∈3(,2)2ππ，求βα2cos ,2cos 及角β.分析：将“βα+”“βα-”看成整体，把βα2,2用它们的和或差表示出来.解：∵),2(ππβα∈-∴135)1312(1)sin(2=--=-βα∵)2,23(ππβα∈+∴5sin()13αβ+==- cos 2cos[()()]cos()cos()sin()sin()121255119()()131********ααβαβαβαβαβαβ∴=++-=+--+-=⨯---⨯=-1135)135()1312(1312)sin()sin()cos()cos()]()cos[(2cos -=⨯-+-⨯=-++-+=--+=βαβαβαβαβαβαβ ∵),2(ππβα∈-，∴)2,(ππαβ--∈-，又∵)2,23(ππβα∈+，∴)23,2(2ππβ∈∴2,2πβπβ==.例6 (1)已知21)sin(=+βα，1sin()3-=，求tan :tan 的值； (2)如果3sinsin 2sin 0++=，3cos cos 2cos 0++=，求cos()-的值.分析：(1)将sin )(βα-，)sin(βα+分别展开，仅出现两种不同类型的因子：βαcos sin 与βαsin cos ，将已知的两个等式看成关于βαcos sin 与βαsin cos 的方程组，求出它们的值，然后两式相除即可.思考：若条件改为21)cos(=+βα ，31)cos(=-βα，可求什么？(2)因求解目标中不含γ角，所以解题的关键是“消元”思想.将含γ的项先移到等式一侧，利用1cos sin 22=+γγ消去γ.思考：条件怎么改可求)sin(βα+的值？解：(1)将21)sin(=+βα，1sin()3-=分别展开得：βαcos sin +βαsin cos =21 βαcos sin -βαsin cos =31，两式分别相加、减再除以2得：βαcos sin =125βαsin cos =121，两式相除得5121125sin cos cos sin ==βαβα，即5tan tan =βα(2)由条件得 ⎩⎨⎧-=+-=+γβαγβαcos 2cos cos 3sin 2sin sin 3，两式分别平方相加得：2222)cos 2()sin 2()cos cos 3()sin sin 3(γγβαβα-+-=+++，即41)cos cos sin (sin 69=+++βαβα，∴1)cos(-=-βα.例7 已知γβα,,都是锐角，且21tan =α，51tan =β，81tan =γ，求γβα++的值.分析：先求βα+的正切，再视βα+为一个角，求出γβα++的正切，最后结合γβα++的范围求角.解：∵ tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅=97512115121=⋅-+∴=+-++=++γβαγβαγβαtan )tan(1tan )tan()tan(1819718197=⋅-+∵γβα,,都是锐角且33215181<<<∴60παβγ<<<<， ∴)2,0(πγβα∈++， 故4πγβα=++.例8 设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23π． (1)求ω的值；(2)若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移2π个单位长度得到，求()y g x =的单调增区间．解：(1)2222()(sin cos )2cos sin cos sin 212cos 2f x x x x x x x x ωωωωωωω=++=++++sin 2cos 22)24x x x πωωω=++=++依题意得2223ππω=，故ω的值为32. (2)依题意得：5()3()2)2244g x x x πππ⎡⎤=-++=-+⎢⎥⎣⎦由5232()242k x k k Z πππππ--+∈≤≤解得 227()34312k x k k Z ππππ++∈≤≤故()y g x =的单调增区间为： 227[,]()34312k k k Z ππππ++∈例9 已知tan，tan 是方程260x x +-=的两个实根，求22sin ()3sin()cos()3cos ()+-++-+的值.分析：先求出)tan(βα+，若利用同角三角函数的关系分别求)sin(βα+、)cos(βα+则需要讨论它们的符号，比较麻烦，这里可采用“弦”化“切”的特殊处理方法，通过添分母构造二次齐次式，再同时除以2cos ()+即可.解：∵tan，tan是方程260x x +-=的两个实根，∴tantan 1+=-，tan tan 6=-，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅=71-. 原式=)(cos )(sin )(cos 3)cos()sin(3)(sin 2222βαβαβαβαβαβα++++-++-+ =251)71(3)71(3)71(1)(tan 3)tan(3)(tan 2222-=+-----=++-+-+βαβαβα (3) 公式的逆用熟练掌握“x x cos sin ±”，“x x cos 3sin ±”( “x x cos sin 3±”)的化简. 灵活应用两角和与差的正切公式 如：)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+；)tan(tan tan tan tan 1βαβαβα++=-；βαβαβαβαtan tan )tan(tan tan )tan(--+=+等.例10 (1) 函数x x y 2cos )23sin(3--=π的最小值是__________________；(2)若、是方程212120x x +-=的两个根，则βαβαβαβαsin sin sin cos 3cos sin 3cos cos ---=_______________；(3)化简：0050sin 10cos )310(tan -=_______________． 分析：(1)先展开再合并；(2)将所求式子进行恰当的搭配，结合韦达定理求解；(3)弦切共存时，一般将“切”化成“弦”，再与3通分；或将3改写成060tan ，分别化“弦”再通分.解：(1)x x y 2cos )23sin(3--=π=x x x 2cos )2sin 212cos 23(3-- =x x 2sin 232cos 21-=)32cos(π+x ， ∴1min -=y(2)由韦达定理12πβα-=+.原式=)sin(3)cos(βαβα+-+=)3cos(2πβα++=24cos2)312cos(2==+-πππ(3)原式=250sin )6010sin(250sin 10cos 10cos 10cos 310sin 50sin 10cos )310cos 10sin (000000000000-=-=-=- 例11 求值：(1)000023tan 22tan 23tan 22tan ++；(2))45tan 1)(44tan 1)(43tan 1()2tan 1)(1tan 1(0+++++ .分析：(1)注意到0452322=+，灵活应用0000023tan 22tan 123tan 22tan 45tan -+=；(2)用(1)的结论. 解：(1)原式=00000023tan 22tan )23tan 22tan 1)(2322tan(+-+=045tan 000023tan 22tan )23tan 22tan 1(+-=1(2)由(1)知，只要045=+βα，就有βαβαtan tan tan tan ++=1，从而)tan 1)(tan 1(βα++=1+βαβαtan tan tan tan ++=1+1=2∴原式=)45tan 1()]43tan 1)(2tan 1)][(44tan 1)(1tan 1[(0+++++ =232222=⨯⨯⨯ .4. 自我检测(1)sin(15045)+的值等于 ．(2)cos 24cos36sin 24sin36-= ．(3)sin37cos 23cos37sin 23+= ．(4)化简sin()cos cos()sin αβααβα---的结果是 ．(5)已知43sin(),(,),cos()2523ππααππα+=-∈-则的值是 ． (6)sin124cos340cos56sin 20cos54--的值为 ．(6)若1tan ,tan()24παα=+=则 ．(7)求值：20tan 40tan 40tan 30tan 30tan 20tan ⋅+⋅+⋅. 三、 课后巩固练习 A 组 1．在ABC 中，若sin sin cos cos A B A B <，则ABC 的形状为________________．2．化简sin()sin cos()cos x y x x y x +++等于________________．3．如果12cos 13=-，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23,ππα，那么⎪⎭⎫ ⎝⎛+4cos πα的值等于 ．4．sin14cos16sin 76cos74+的值等于_________ ．5．化简sin(24)cos(21)cos(24)cos(69)x x x x +-+++的值为___________． 6．cos 75cos15-的值等于_______________． 7．已知4cos()5+=，4cos()5-=-， 则βαcos cos 的值为___________ ．8．已知sin sin 1x y =， 那么cos()x y +的值为____________． 9．求值sin 285＝________________． 10．下列等式(1)1cos80cos 20sin80sin 202-=； (2)1sin13cos17cos13sin172-=； (3)2sin 70cos 25sin 25sin 202+=；(4)3sin140cos 20sin 50sin 202+=. 其中成立的有____________． 11．已知1sin(60)sin 2αα-=，0180α<<，则α= ． 12．sin(60)2sin(60)3cos(120)x x x ++---的值为__________．13．sin(30)sin(30)cos ααα+--= ．14．已知1sin()5αβ-=，1sin()3αβ+=，则tan tan αβ= ． 15．已知1cos sin 2αβ-=，1sin cos 3αβ-=，则sin()αβ+= ． 16．已知2sin()43πα-=-，42ππα<<，则sin α= ．17．设1cos()29βα-=-，2sin()23αβ-=，且2παπ<<，02πβ<<，求sin 2αβ+．18．若02παβ<<，，sin 5α=，sin 10β=，求αβ+的值． 19．已知)23,(,61)4sin()4sin(ππααπαπ∈=-+，求cos 的值．20．设3sin 5α=，2παπ<<，1tan()2πβ-=，则tan()αβ-的值等于_________．21．已知1tan 3α=，tan()2αβ-=，则tan β的值为______________．22．已知tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +的值为______________． 23．如果,41)4tan(,52)tan(=-=+πββα那么)4tan(πα+等于___________． 24．设tan θ和tan()4πθ-是方程20x px q ++=的两个根，则p 、q 之间的关系是_____．25．求值：(1)tan 55tan 3851tan(305)tan(25)-=---_________________________；(2)tan1051tan1051-+ =___________ ； (3)︒+︒︒-︒15cos 15sin 15cos 15sin =______________．(4) )6tan()6tan(3)6tan()6tan(θπθπθπθπ+-+++-=______________．26．在ABC ∆中，1tan 3A =，tan 2B =-，则C ∠= ．27．已知tan θ和tan ϕ是方程2940x x -+=的两个根，则sin()cos()θϕθϕ+=- .28．已知2παπ<<，0πβ-<<，1tan 3α=-，1tan 7β=-，求2αβ+的值．29．在ABC∆中，2A C B +=，求tan tan tan 2222A C A C++的值．B 组30．化简求值：sin100sin(160)cos 200cos(280)-+-=______________ ． 31．化简求值：cos(802)cos(352)sin(802)cos(552)αααα++++-= ． 32．化简求值：sin(3)cos(3)sin(3)sin(3)4343x x x x ππππ---+-. 33．35cos(),sin()5413παββ+=-=，,(0,)2παβ∈，那么cos()4πα+= ．34．已知)2,0(,,5147)cos(,171cos πβαβαα∈-=+=，求cos β的值．35．已知sin()cos cos()sin 1x y y x y y -+-≥，则x ，y 的范围分别是________________．36．若3A B π+=，tan tan 3A B +=，则cos cos A B =___________．37．已知3sin 5β=，2πβπ<<，且sin()cos αβα+=，则tan()αβ+=__________． 38．若04παβ<<<，sin cos a αα+=，sin cos b ββ+=，则a 与b 的大小关系是 ．3931cos 4m αα++=能够成立，则m 的取值范围是是 ． 40．已知()sin )cos()3333x x f x ππππ=+-+（，则(1)(2)(3)(2008)f f f f ++++=．41．已知A B C 、、是ABC ∆的三个内角，且lgsin lgsin lg cos lg 2A B C --=，试判断ABC ∆的形状．42．已知()sin())f x x x αα=+++是偶函数，求tan α． 43．求函数()sin(20)sin(80)f x x x =+++的最值． 44．(1tan 78)(1tan 33)+-= ．45．若ABC ∆是锐角三角形，试比较大小：tan tan A B 1 ．46. 求值sin tan 121212costan1212124πππππππ-⋅=++ ．47.已知tan()34πα+=-，求sin (3cos sin )1tan αααα-+的值．48.已知函数()sin(),f x x ωϕ=+其中0ω>，||2πϕ<(1)若coscos sinsin 0,44ππϕϕ3-=求ϕ的值； (2)在(1)的条件下，若函数()f x 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于3π，求函数()f x 的解析式；并求最小正实数m ，使得函数()f x 的图像象左平移m 个单位所对应的函数是偶函数. 49．已知tan3(1),tan()3(tan tan ),m m =+-=+又，都是钝角，求+的值．50．关于x 的一元二次方程2(23)(2)0mx m x m +-+-=的两个实数根分别为tan ,tan αβ 求tan()αβ+的取值范围． C 组51．函数cos 2sin 2cos 2sin 2x xy x x+=-的最小正周期是________．52．已知12cos()313πα-=，()32ππα∈，，求cos α的值．53．在△ABC 中，已知54sin =A ，1312cos =B ，求cosC 的值.54．是否存在锐角α和β，使下列两式：①223παβ+=，②tan tan 22αβ=求出α和β；若不存在，请说明理由.55．已知1tan()7x y -=，tan tan 5x y m +=，tan()6x y m +=，其中0m ≠，求m 的值及tan x 、tan y 的值．四、 学习心得五、 拓展视野1.课本上用向量的数量积推导了两角差的余弦公式，课本94P 提供了另一个不用向量的证明思路，我们来试试看吧！如图：在直角坐标系xOy 中，单位圆O 与x 轴交于0P ，以Ox 为始边分别作出角βαβα-,,，其终边分别和单位圆交于1P ，2P ，3P.∵βα-=∠=∠0321OP P OP P ，10321====OP OP OP OP ，∴0321OP P OP P ∆=∆，∴0321P P P P =.由三角函数的定义1P ，2P ，3P 的坐标分别为)sin ,(cos 1ααP ，)sin ,(cos 2ββP ，))sin(),(cos(3βαβα--P由两点之间的距离公式得2222)0)(sin()1)(cos()sin (sin )cos (cos --+--=-+-βαβαβαβα化简得)cos(22)sin sin cos (cos 22βαβαβα--=+-， 即βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-2.课本上用“β-”代“β”的方法推导了两角和的余弦公式，如何用向量的数量积直接推导呢？ 仿书上证明，只要将β角对称地翻折到x 轴下方即可.此时βα+=∠21OP P ，2P 坐标为))sin(),(cos(2ββ--P ，其它证明相同.3.关于角的范围的限定是三角函数里的一个难点，我们既要掌握一点“缩角”的方法，更要善于避免“缩角”来优化我们的解题过程.例如:(1)已知βα,都是锐角，且1010sin ,55sin ==βα，求角βα+的值. 学生甲给出如下解答：∵βα,都是锐角，∴),0(πβα∈+且552)55(1cos 2=-=α，10103)1010(1cos 2=-=β， ∴βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+2210105*********=⨯+⨯=. 由正弦函数的性质，满足条件的角有两个：4πβα=+或43π. 学生乙给出如下解答：∵βα,都是锐角，∴),0(πβα∈+且552)55(1cos 2=-=α，10103)1010(1cos 2=-=β ∴βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ 2210105510103552=⨯-⨯=. 由余弦函数的性质，满足条件的角只有一个：4πβα=+.试讨论甲和乙到底谁对谁错？ 解：满足βα,都是锐角，且1010sin ,55sin ==βα的角βα,是唯一的，故βα+的值也唯一，不可能多解，所以甲肯定不对.事实上，由)21,0(55sin ∈=α，以及函数x y sin =在)2,0(π上单调递增知，)6,0(πα∈，同理，由)21,0(1010∈知)6,0(πβ∈，所以)3,0(πβα∈+，βα+不可能等于43π(2)在△ABC 中，已知53cos =A ，135sin =B ，求C sin 的值. 解一：∵)22,21(53cos ∈=A ∴)3,4(ππ∈A 且54)53(1sin 2=-=A ，又∵)21,0(135∈ ∴)6,0(π∈B 或),65(ππ，∵π<+B A ∴)6,0(π∈B ∴1312)135(1cos 2=-=B ∴ 6563135********sin cos cos sin )sin())(sin(sin =⋅+⋅=+=+=+-=B A B A B A B A C π 解二：1312)135(1cos 2±=-±=B ，当1312cos -=B 时，653313553)1312(54sin cos cos sin )sin())(sin(sin -=⋅+-⋅=+=+=+-=B A B A B A B A C π与0sin >C 矛盾.解三54)53(1sin 2=-=A ，∵13554>∴ B A sin sin > ∴B A > ∴B 只能是锐角. 4．课本104P 证明了这样一个优美的结论：斜ABC ∆中，C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++,事实上，斜ABC ∆中还有不少类似的等式，如12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan=++AC C B B A ① 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot C B A C B A =++②1cot cot cot cot cot cot =++A C C B B A ③C B A A C C B B A sec sec sec 1tan tan tan tan tan tan +=++④ C B A C B A C B A cot cot cot csc csc csc cot cot cot +=++⑤等等.下面我们来证明①证明：要证原等式，只要证2tan 2tan 1)2tan 2(tan 2tanAC C A B -=+ 只要证12tan2tan 12tan2tan2tan =-+⋅A C CA B ，只要证1)22tan(2tan =+⋅C A B 只要证1)2tan(2tan =+⋅CA B (*).∵π=∠+∠+∠C B A ∴2tan 2tan B C A -=+π=2cot B，∴(*)式成立 ∴原等式成立.其它几个等式，有兴趣的同学试试看吧！。

3.1.2 两角和与差的正弦公式【学习目标】一、掌握两角和与差的正弦公式及其推导方式。

二、通过公式的推导，了解它们的内在联系，培育逻辑推理能力。

并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。

3、掌握诱导公式 s in =co s α，sin = cos α,sin =- cos α, sin =- cos α,【学习重点难点】 （一）预习指导： 两角和与差的余弦公式：（二）大体概念： 大体概念：1.两角和的正弦公式的推导 sin(α+β)=sin(α-β)=sin αcos β-sin αcos β（二）、典型例题选讲：例１求值sin(χ+60°)+2sin(χ-60°)-3cos(120°-χ)⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ2⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ23⎪⎭⎫⎝⎛-απ23例２：已知sin(2α+β)=3sin β,tan α=1,求tan(α-β)的值.例３：已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= 求 的值例４：（１）已知sin(α-β)= ,si n(α+β)= ,求tan α:tan β)的值.【课堂练习】１.在△ABC 中，已知cosA = ,cosB= ,则cosC 的值为2.已知 ＜α＜ ，0＜β＜α，cos( +α)=- ,sin( +β)= ,求sin(α+β)的值.3.已知sin α+sin β= ,求cos α+cos β的范围.3252βαtan tan 312131544π43π4π5343π135224.已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,求 的值.5.已知sin α+sin β= cos α+cos β= 求cos(α-β)6.化简2cos χ-6sin χ解：咱们取得一组有效的公式： （1）sin α±sin α=2sin =2cos .（3）sin α3±cos α=2sin =2cos（4）αsin α+bco s α=22b a +sin （α+ϕ）=22b a +cos(α-θ)7.化解3cos χχsin -8.求证：co s χ+sin χ=2cos （χ - ）21101βαtan tan 5354 ⎝⎛⎪⎭⎫±4πα ⎝⎛⎪⎭⎫4πα ⎝⎛⎪⎭⎫±3πα ⎝⎛⎪⎭⎫3πα 4π9.求证：c os α+3sin α=2sin （ ）.10.已知 ，求函数у=cos （ ）-cos的值域.11.求 的值.【课堂小结】απ+6⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πχχπ-12⎝⎛⎪⎭⎫+χπ125︒︒-︒20cos 20sin 10cos 2。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第1课时）班级 姓名一、学习目标：1. 在学习两角差的余弦公式的基础上，能导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系，能用自己的话简洁地概括出公式的特点。

2.能应用公式解决比较简单简单的求值、化简、恒等证明的有关问题。

3. 应用两角和与差的正弦、余弦公式，解决“ααcos sin b a +”型化简问题。

学习重点：两角和与差的正弦、余弦公式的准确运用二、学习过程（一）教材核心知识及推导过程cos()αβ-=cos()αβ+==+)s i n (βαsin()αβ-=自我总结4个公式的特点(二)预习自测：()()._________s i n s i n c o s c o s 1=---ββαββα、 2、计算下列各式的值（1） 42sin 72cos 42cos 72sin -（2） 70sin 20sin 70cos 20cos -（三）自主探究---三角函数的求值例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛απαπ4cos -4sin ，的值. 分析解答.________3sin ,2,23,51cos 1 =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=πθππθθ则、若变式 总结（四）自主发展1---配凑角求值例2、已知35sin ,cos 513αβ==-，且α为第一象限角，β为第二象限角。

求sin()αβ+和sin()αβ- 分析解答变式2、已知443cos(),cos(),2552παβαβαβπ+=-=-<+<，,2παβπ<-<求cos2α的值。

总结自主发展2---公式()θααα++=+sin cos sin 22b a b a 的应用 例3、计算12cos 12sin3ππ+的值分析解答变式3、教材练习总结公式（当堂检测放于后） 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第2课时）班级 姓名学习目标：类比两角和与差的正弦、余弦公式，能推导并掌握两角和与差的正切公式，进一步巩固两角和与差的正弦、余弦公式学习重点：两角和与差的正切公式的准确运用学习过程（一）两角和与差的正弦、余弦公式cos()αβ-= cos()αβ+==+)s i n (βα sin()αβ-=如何以上公式推导tan()αβ+和tan()αβ-？（二）两角和与差的正切公式t a n ()αβ+=t a n ()αβ-= 自我总结以上6个公式的特点(三)预习自测：1、计算下列各式的值35tan 95tan 135tan -95tan 1+）（15tan 115tan 12-+）（ （四）自主探究1---三角函数求值例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πα和⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα的值。

两角和与差的正弦公式教案一、动机和引入1.引导学生回顾前面学过的正弦函数的基本性质：周期、最大值、最小值等。

2.提问学生：在求正弦函数的和或差的时候，我们有没有什么公式可以使用？3.引导学生分析：我们可以使用两角和与差的公式，类似于整数相加减，但是存在一些特殊性质。

二、学习公式1.提醒学生：求两角和与差的公式都是从公式角度出发，通过对三角函数的和差关系进行求解。

2. 教师板书公式：sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB3. 解读公式：sin(A±B)等于sinA和sinB的乘积之和或差。

4. 引导学生根据公式推导cos(A±B)的公式：cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB5.提醒学生：在公式推导的过程中，可以根据三角函数的诱导公式进行转换。

如：cos^2A+sin^2A=1三、例题实践1. 例题一：求sin(π/6+π/4)的值。

解法：根据公式sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB：sin(π/6+π/4)=sin(π/6)cos(π/4)+cos(π/6)sin(π/4)=1/2×√2/2+√3/2×√2/2=√2/4+√6/4=(√2+√6)/4答案：(√2+√6)/42. 例题二：求cos(3π/4-π/3)的值。

解法：根据公式cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB：cos(3π/4-π/3)=cos(3π/4)cos(π/3)+sin(3π/4)sin(π/3)=-√2/2×1/2+√2/2×√3/2=-√2/4+√6/4=(√6-√2)/4答案：(√6-√2)/4四、练习与巩固1. 练习题一：求sin(π/3+π/2)的值。

2. 练习题二：求cos(5π/6-π/3)的值。

五、总结与归纳1.引导学生总结：两角和与差的正弦公式和余弦公式都是通过对三角函数的和差关系进行推导得到的。

2019-2020学年高中数学 3.1.2两角和与差的正弦（2）导学案苏教版必修4 班级 姓名 【课前预习】 1、两角和的正弦：sin()αβ+=2、两角差的正弦：sin()αβ-=3、辅助角公式：sin cos a b αα+= ，其中如sin 3cos x x += sin(x + ）【概念运用】1、sin69cos99cos69sin99︒︒-︒︒=2、sin15cos75sin15cos105︒︒-︒︒=3、已知0000(2sin 35,2cos35),(cos5,cos95)a b ==，则a b ⋅=4、已知2cos sin sin ,ABC B A C ∆=中，若则ABC ∆的形状是【典型例题】例1、求证：sin(2)sin 2cos()sin sin A B B A B A A +-+=例2、求2cos10sin 20cos 20-的值.例3、已知sin(α+β) =23，si n(α-β) =15-，求βαtan tan 的值.例4、已知412,sin(),cos()513ππαβαβαβ<<<+=-=且42 (1);(2),sin αβαβααα+-用与表示2求cos22的值。

两角和与差的正弦（2）练习【课堂作业】1、已知153sin ,(,),sin()1723ππααπα=-∈+求的值。

2、已知5cos ,(,2),13ααππ=∈求sin(),cos()66ππαα--的值。

3、已知sin+sin =12，cos -cos =13 ，求cos(+)的值。

4、已知,αβ为锐角，153sin ,cos(),714ααβ=+= （1）试用;ααββ+与表示（2）求sin β与cos β的值。

【反馈练习】1、sin()34ππ+=2、已知35,sin ,cos ,sin()513αβαβαβ==+均为锐角，则=3、已知5(,),sin(),sin 42413πππααα∈-=-则= 4、函数3sin cos y x x =+的对称轴方程是5、在△ABC 中，已知sinA =35，cosB =135，则cosC 的值为 6、已知sin(),sin()a b αβαβ+=-=，则sin cos αβ=7、已知43sin()sin 5παα++=3，则7sin()6πα+的值 8、化简：0000cos103sin10tan 70tan 20-9、已知17(0,),(,),cos ,sin()39ππαβπβαβ∈∈=-+=22，求sin α的值。

第32课时 两角和与差的正弦【学习目标】1．能由余弦的和差公式推导出正弦的和差公式，并从推导的过程中体会到化归思想的作用．2．能用正弦的和差公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．【问题情境】1．情境：我们已学过两角和与差的余弦公式，给出了角和与差的余弦公式．2．问题1 0sin15?=3．问题2 sin()αβ+如何用α的三角函数和β的三角函数表示?怎样表示？【合作探究】 例 1.已知sin α=32 α∈（2π, π)， cos β=－53 β∈(π， 23π) ， 求sin （α+β）的值.例2。

已知5cos()13αβ+=, 4cos 5β=，α、β均为锐角， 求sin α的值.例3：已知αβ、都是锐角，且12cos 2sin 293αβαβ-=--=（），（），求αβ+sin(）．例4. 求函数y=21sinx+23cosx 的最大值。

变式1.求sin y x x =的最值变式2。

求y=asinx+bcosx 的最值【学以致用】1.已知(,),2παπ∈若3sin ,5α=则sin()3πα+=_____；若1sin(),43πα+=则sin α=___ 2.函数3sin 2cos 2y x x [,]42ππ上的值域为____________________3。

若02,sin απαα≤≤>，则α的取值范围是________________4。

已知3134(,),sin ,(,2),cos ,2425ππαπαβπβ∈=-∈=则αβ+为第________象限角。

5.已知33350,cos(),sin(),4445413ππππβααβ<<<<-=+= 求sin()αβ+的值。

6.已知函数()sin 2cos 2f x x x =-,求函数()f x 的周期、单调区间、最小值及取得最小值时x 的取值集合.【同步训练】1。

sin cos cos sin αββαββ+-+（）（）= 。

第2课 两角和与差的正弦【学习目标】角公式,并从推导的过程中体会到化归思想的作用;2.能用两角和与差的正弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形，并能熟练进行公式正逆向运用。

【学习重点】()S αβ±公式的推导、应用.【学习难点】()S αβ±公式的正逆向运用【导学过程】一、预习内容：1、复习公式：=+)cos(βα=-)cos(βα2、化简：（1）cos3cos sin3sin αααα+=（2）cos()cos()66ππαα++-= （3）cos15cos75-=二、新知学习：（小组讨论）()()[][]____________cos ____cos sin =+-=+βαβαβαπβαπsin 2sin cos 2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=___________________= 1.两角和的正弦公式()__________________sin =+βα()()βα+S2. 用β-代替β”的换元方法代入得到什么结果？两角差的正弦公式()__________________sin =-βα()()βα-S三、新知深化：（1）公式()C αβ±对于任意的,αβ都成立。

（2）学生可分组或独立完成正弦和差角公式的推导，重要的是在过程中体会化归思想的作用。

（3）注意与余弦的和差角公式在形式上的异同并进行比较，并找到记忆的方法。

四、新知应用例1．求值(1)sin 75； (2)sin195；例2．已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=23,,53cos ,,2,32sin ππββππαα,求()βα+sin 的值.例3．已知()βαββα,,54cos ,135cos ==+均为锐角,求αsin 的值.例4．求函数x x y cos 23sin 21+=的最大值五、新知回顾：由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的正弦公式并进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形 注意：两角和与差的正弦、余弦公式及一些技巧“辅助角”“角变换”“逆向运用公式”【教学反思】两角和与差的正弦课后作业1、化简： 40sin 160cos 140cos 200sin -=_____ _____2、化简：（1） 29sin 11cos 29cos 11sin +=________（2）________65sin 1211cos 611cos 1225sin =-ππππ 3、求值：（1）;105sin （2） 165cos4、已知,,2,53cos ⎪⎭⎫⎝⎛∈-=ππθθ求⎪⎭⎫ ⎝⎛+3sin πθ的值5、已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππθπθ,2,314sin ,求θsin6、求函数x x y sin 21cos 23-=的最小值和最大值7、已知函数R x x x y ∈+=,cos sin 3（1）当y 取到最大值时，求自变量x 的取值集合；（2）函数的周期；（3）该函数可由x y sin =的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？8、已知,41cos sin ,31cos sin =-=+αββα()βα-sin 的值。