3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式 教案

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教材分析本节内容是数学4第三章三角恒等变换第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式的第二课时，是在学习了差角的余弦公式的基础上，进一步对差角的正弦、正切及和角的正弦、余弦和正切公式的探究.本节的六个公式是本章的重要内容，也是三角恒等变换的基础，对三角函数式的化简，求值、三角恒等式的证明等问题起着重要的支撑作用，同时，它又为后面学习倍角公式作铺垫.本节课的重点是公式的推导及公式的简单应用，难点是公式的记忆和灵活应用.通过公式的推导过程，揭示了公式间的联系，加深对公式的理解和记忆.教学中既要有意识地训练学生思维的有序性和对思维过程表述的准确性、简洁性，又要渗透转化、换元、分类讨论的数学思想，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.课时分配本节内容用1课时的时间完成，首先在两角差的余弦公式的基础上，引导学生自主探究得到两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并掌握公式的结构和变形形式.然后，通过例题运用公式解决简单的数学问题.教学目标重点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的探究过程，公式结构及应用.难点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的记忆和灵活应用.知识点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式.能力点：能以两角差的余弦公式为基础，结合诱导公式与同角三角函数关系式，推导出差角、和角的正弦、余弦和正切公式.教育点：经历公式的探究过程，注重知识间的联系，培养学生的探索精神，提高学生的推理能力和运算能力.自主探究点：以两角差的余弦公式为基础，探究差角、和角的正弦、余弦和正切公式的推导方法. 考试点：灵活使用差角、和角的公式进行三角函数式的化简、求值和恒等变形.易错易混点：使用公式时，学生容易在分析角的范围上出错.拓展点：如何利用差角、和角公式把形如sin cos a x b x +式子化简为形如sin()A x ωϕ+的三角式. 教具准备 多媒体课件课堂模式 学案导学一、 引入新课师：同学们，上节课我们学习了差角的余弦公式，请大家首先回顾一下这个公式的形式是怎样的. 生：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+. ——同名积，符号反师：由于公式()cos αβ-只可以用来解决与差角的余弦相关的三角变换问题，因而在应用中有很大的局限性，遇到差角的正弦、正切及和角的正弦、余弦、正切时，公式()cos αβ-就不能直接应用了，因此，我们有必要将公式()cos αβ-作进一步拓广，希望得到两角和与差的三角系列公式.这节课我们就来探究差角的正弦、正切公式及和角的正弦、余弦、正切公式.【设计意图】从熟悉的差角余弦公式出发，让学生意识到进一步探究差角、和角的正弦、余弦和正切公式的意义，是对旧知的扩展，进而引出本节课题，自然流畅.二、探究新知探究一：探究公式()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-.问题：由公式()C αβ-出发，如何推导公式：()cos ?αβ+=【师生活动】师：引导学生从两个方面展开联想：①函数名称的联系；②角的联系，αβ+与αβ-之间的联系.重点指出，要想利用差角的公式得到和角的公式，如果从形式上能将和角变成差角的形式，那就近了一步.生：自主思考，一般得出：①将αβ+转化为()αβ--；②在公式()cos αβ-中，以β-代β. 师生：利用换元的思想推导出()C αβ+，并进一步理解公式间的联系，共同分析对比()C αβ-与()C αβ+两公式的结构形式.()()cos cos cos cos()sin sin()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 即()C αβ+：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-. ——同名积，符号反【设计意图】让学生参与公式的探究过程，加深理解公式间的联系，有利于公式的记忆，培养学生换元的数学思想.探究二：探究公式()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±.问题：在公式()C αβ-与()C αβ+的基础上，怎样推导()sin ?αβ+=与()sin ?αβ-=【师生活动】师：我们的目标是求两角和与差的正弦公式，而我们已经知道了相应的余弦公式，那么，一个自然的想法是什么？就是利用余弦公式求正弦公式.如何把()sin αβ+改写成余弦？生：自主探究，从原有知识结构中提取正弦与余弦的关系，将公式推导出来.()()sin cos cos ()cos()cos sin()sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤+=-+=--=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+即()S αβ+：()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+. ——异名积，符号同以β-代β得()S αβ-：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-. ——异名积，符号同师生：共同整理推导过程，让学生认识到解决问题的关键是应用诱导公式把正弦化为余弦，体会转化与化归思想方法在解决问题中的重要性，并进一步分析所得公式的结构形式与()C αβ-、()C αβ+的区别.【设计意图】结合旧知，探究新知，既巩固已学知识，又加深理解公式间的联系，同时有利于公式的记忆，培养学生转化与化归的数学思想.探究三：探究公式()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 问题：怎样用,αβ的正切表示()tan αβ+、()tan αβ-呢？【师生活动】师：由两角和与差的正弦、余弦公式如何探究两角和与差的正切公式？以和角为例，请自主探究.生：自主探究.一般能从同角三角函数的关系式出发进行探究，教师可作个别指导.但是，多数学生可能只是将和角的正弦、余弦公式代入展开而不去化简.()()()sin sin sin cos cos sin tan tan cos cos cos cos sin sin αβααβαβααβααβαβαβ++=→+==+- 师：上述公式是用单角的正、余弦表示和角的正切，那么，通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？引导学生观察思考，当cos cos 0αβ≠时，分式的分子、分母同时除以cos cos αβ，得出和角的正切公式()T αβ+：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-. 师：进一步提出引申思考的问题：在上述公式的推导过程中，角,αβ有什么条件要求吗？除此之外，公式本身还有什么限制吗？生：自主思考，可以得出α、β、αβ+都不等于()2k k Z ππ+∈.师生：指明公式成立的条件，使公式完整.进一步让学生类比思考差角的正切公式的推导，自主得出差角公式，并与和角公式比较，分析结构，帮助记忆.差角的正切公式()T αβ-：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+. 【设计意图】让学生经历探究公式的过程，变老师教为学生学，突出学习的主体地位，有利于理解和掌握新知，训练学生动手动脑相结合的学习习惯.师：依据以上公式的推导过程，请思考差角、和角的6个公式之间有怎样的内在联系？【师生活动】生：自主分析，找出公式间的逻辑关系.师生：在学生自主探究的基础上，师生共同总结公式之间的紧密逻辑关系，并用框图形式表示出来.【设计意图】及时梳理知识，完善知识体系.整体把握公式间的逻辑关系，巩固对公式的理解与掌握，为下一步公式的灵活使用打好基础.三、理解新知公式的结构特点：()cos cos cos sin sin αβαβαβ=±m . ——同名积，符号反()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±. ——异名积，符号同()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 注意：,,()222k k k k Z πππαβπαπβπ±≠+≠+≠+∈ 【设计意图】准确把握三组公式，为公式的灵活使用打好基础.四、运用新知例1．已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 分析：利用同角的平方关系22sin cos 1αα+=，求cos α，进而求tan α，再代入公式求值即可. 解：由3sin 5α=-，α是第四象限角，得4cos 5α===， 所以 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- . 于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭. 在本题中sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭与 cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭两结果一样，那么，对于任意角α，此等式成立吗？我们能否用第一章的知识证明？变式：如果本例中的条件“α是第四象限角”去掉，结果怎样表述呢？【设计意图】训练学生的解题能力，发现不同题目解题过程的区别与联系.变式中对求解过程的表述上会有更高的要求，培养学生分类讨论的思想方法.巩固练习：（1）已知35sin ,cos 513αβ==-，且α为第一象限角，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.求sin()αβ+和sin()αβ-的值.（2）已知,αβ均为锐角，且4cos 5α=，1tan()3αβ-=，求cos β的值. 答案：（1）3365，6365-； （2. 例2．利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）sin 72cos 42cos72sin 42-o o o o；（2）cos 20cos70sin 20sin 70-o o o o ； （3）1tan151tan15+-oo． 分析：本题的关键在于观察分析待化简求值的三角式的结构特征，再联想具有此特征的有关公式，经过适当变形，再顺用或逆用公式解决.解：（1）由公式()S αβ-，得：()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==o o o o o o o ； （2）由公式()C αβ+，得：()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==o o o o o o o ；（3）由公式()T αβ+及tan 451=o，得：()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 601tan151tan 45tan15++==+==--o o o o o o o o o ． 巩固练习：（1）cos 44sin14sin 44cos14-o o o o；（2）sin(54)cos(36)cos(54)sin(36)x x x x -++-+o o o o ；（3答案：（1）12-. （2）1. （3）1-. 例3．已知3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin()5αβ+=-，12sin()413πβ-=，求sin()4πα+的值. 分析：注意到已知角与待求角之间的关系：()()44ππααββ+=+--，从而把待求角转化为已知角的差的形式，再利用差角的正弦公式求解. 解：3,,4παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ， 3(,2)2παβπ∴+∈，3(,)424πππβ-∈. 3sin()5αβ+=-Q ， 4cos()5αβ∴+=. 12sin()413πβ-=Q ， 5cos()413πβ∴-=-. sin()sin[()()]sin()cos()cos()sin()4444ππππααββαββαββ∴+=+--=+-++-3541263()()51351365=-⨯-+⨯=.巩固练习：（1）已知sin α=，sin()αβ-=，,αβ均为锐角，求sin β的值.答案：2. 【设计意图】使学生掌握把待求角转化为已知角的和与差的形式的变化技巧.让学生在精析精练中，突破重点、难点，体会公式的灵活应用，从而巩固新知，提高能力.五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识？主要涉及到哪些数学思想方法？1.知识：①()cos cos cos sin sin αβαβαβ=±m .()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±.()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 其中,,()222k k k k Z πππαβπαπβπ±≠+≠+≠+∈ 2．思想：转化与化归思想，特殊与一般思想，分类讨论思想.【设计意图】师生共同回忆所学内容，发挥学生学习的主体性，帮助学生记忆公式，梳理知识，培养良好的学习方法.六、布置作业1.阅读教材 P128-131；2.书面作业：必做题：P137 习题3.1 A 组7,8，9，10.选做题：（1）已知3cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，512sin 413πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，3(,)44ππα∈，(0,)4πβ∈，求()sin αβ+的值.（2）已知sin α=，sin()αβ-=,αβ均为锐角，求αβ+的值.3．课外思考：化简：（1）1cos 2x x ；（2）sin cos x x -；（3x x ； （4）sin cos a x b x +.【设计意图】设计作业1,2，是引导学生先复习，准确掌握6个公式后，再做作业.书面作业的布置，是为了训练学生使用差角、和角公式，解决简单的数学问题，在公式的应用中，加深对公式的理解和掌握.课外思考题的设计是为了引导学生探究如何利用差角、和角公式把形如sin cos a x b x +的式子化简为形如sin()A x ωϕ+的三角式.七、教后反思1.本教案的亮点：从学生熟悉的两角差的余弦公式出发，以旧引新，符合学生的认知规律，加强知识间的联系，结构自然顺畅.例题与习题设计恰当，突出本节课的三个知识点(三组公式)，主要选择基础题目，并安排了适当量的随堂练习，帮助学生总结解题方法和技巧，及时巩固新知.2.本节课公式较多，公式的推导、记忆与应用，都用时较多，各校学生基础不同，建议教师对巩固练习题目灵活掌握，但一定要在公式的推导上留给学生足够的时间.3.本节课的弱项：本节课容量较大，课堂上有限的时间不易照顾到对公式的全面应用，有关公式的灵活、变形使用还有待于在后续课堂上加强.八、板书设计。

例 2 求下列各式的值：
1＋tan (1)1－tan
75°； 75°
(2)tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°；
(3)tan 70°－tan 10°－ 3tan 70°tan 10°
解：(1)方法 1：原式＝1t－ ant4a5n°4＋5°ttaann7755°°＝
tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－ 3.
A.－ 3
B. 3
C.－
3 3
3 D. 3
【解析】tanta2n02°t0a°n－(－ta5n05°0)－° 1＝ttaann2500°°t－ant5a0n°2＋0°1＝tan130°
＝ 3.故选 B.
3．(2014 年贵州模拟)tan 20°＋tan 40°＋ 3tan 20°·tan 40° ＝________.
得csoins((αα＋－ββ))＝scions ααccooss
β＋cos β＋sin
αsin αsin
ββ＝1t＋antαan＋αttaannββ＝1－3 3
＝－23.
规律总结
1．公式 Tα ± β 中 α≠kπ＋π2，β≠kπ＋π2，α±β≠kπ＋π2(k∈Z)． 2．两角和的正切公式 tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ的常用变形： (1)1t－antαan＋αttaannββ＝tan(α＋β)； (2)1－tan αtan β＝tatnanα(＋α＋taβn)β；
(3)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； (4)tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)－tan α－tan β.

()
1
1
A.5

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第1、2课时）学习目标：1、能用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解其内在联系；2、能运用公式解决基本的三角函数式的化简、求值、证明等问题。

学习重点：运用公式进行化简、求值、证明等问题学习难点：用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式。

一、知识链接：1、cos(α－β)＝2、cos 80cos 35cos10cos 55+ =3、0000cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)_______a a a a -++-+= 二、新课导学 （一）新知探究思考1:由公式C αβ-出发，如何推导出两角和的余弦公式？新知1：对于任意角,αβ有：cos()αβ+=思考2：怎样用两角和与差的余弦公式推导出sin()αβ±？（利用诱导公式来实现正、余弦的互化）新知2：对于任意角,αβ有：sin()αβ+= sin()αβ-=思考3：你能用两角和与差的正、余弦公式及正切函数与正、余弦函数的关系推导出tan()αβ±吗？新知3：tan()αβ+=tan()αβ-=思考4：公式T αβ±中的,αβ依然可以是任意角吗？若不是，你能确定出公式T αβ±中的,αβ的取值范围吗？依据是什么？注意：公式的变形：tan tan αβ±=分析以上6个公式的特点，并记忆。

（二）新知运用 Ⅰ、简单的公式应用1、（A 级）求0000sin 15,sin 75,cos 75,tan 105的值。

2、（A 级）完成课本P 131的练习 第五题 （做在课本上）3、（A 级）求下列各式的值： （1）sin 21cos 39cos 21sin 39+（2 )sin20°cos50°-sin70°cos40°；（3）cos(40)cos 20sin(40)sin(20)-+--（4）0cos(25)sin(35)sin(25)ααα++-+ ； （5）tan17°＋tan28°+tan17°tan28° （6）tan 50tan 20tan 50tan 203--第二课时4、自学课本P129例题3，并完成课本P131的练习2、3、4、7 练习2 （A级）解：练习3 （A级）解：练习4 （A级）解：练习7（B级）解：5、（B级）在△ABC中，若3cos5A=，且5cos13B=，则cos___________C=Ⅱ、凑角思想的应用6、（B级）21tan(),tan(),tan()5444ππαββα+=-=+已知求的值。

类型 1 灵活应用和、差角公式化简三角函数式
例1
(1)
sin
47°－sin 17°cos cos 17°
30°＝(
)
A．－
3 2
B．－12
C．12
D．
3 2
【解析】sin
47°－sin 17°cos cos 17°
30°
＝sin（17°＋30c°o）s －17s°in 17°cos 30°
＝sin
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝45×7102＋35×－102＝
2 2.
又 α∈0，π2，∴α＝π4.
探究点 辅助角公式的应用 探究 1 函数 y＝sin x＋cos x(x∈Z)的最大值为 2 对吗？
为什么？
【提示】 不对．因为 sin x＋cos x
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
学习目标 1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、 余弦公式，并灵活运用．(重点) 2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角 与差的正切公式．(难点) 3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、 易错点)
基础·初探
教材整理 1 两角和与差的余弦公式
【解析】 逆用两角和的余弦公式可得 cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝ cos 90°＝0. 【答案】 0
教材整理 2 两角和与差的正弦公式
1．公式
名称
简记 符号
公式
两角和的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝
_s_i_n_α_c_o_s__β_＋__c_o_s_α_s_i_n_β_

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式说课稿一．教材分析：两角和与差的正弦、余弦、正切公式是三角恒等变换的基础，同时，它又是后面学习倍角、半角等公式的“源头”. 它对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简，求值等三角问题的解决有着重要的支撑作用。

本课时主要以两角差的余弦公式为基础，结合诱导公式推导两角和与差的正、余弦及正切公式以及它们的简单应用。

二．教学目标：1.知识与技能:① 让学生学会用代换法，转化法推导公式 ；② 让学生初步学会公式的简单应用和公式的逆用等基本技能。

2.过程与方法:① 通过公式的推导,着重培养学生获取数学知识的能力和数学交流的能力；② 通过公式的灵活运用,培养学生的转化思想和变换能力。

3.情感、态度与价值观:课堂中，通过对问题的自主探究，培养学生的独立思考能力；小组交流中，培养合作意识；在解决问题时，培养学生解决问题抓主要矛盾的思想。

并唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观。

三．教学重难点：教学重点：两角和与差的正弦、正切公式的推导过程及运用；教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简。

四．教学方法：由于新课程教学内容增多，传统教学已经不能满足教学需要，根据新课程教学理念，“将课堂还给学生，让课堂焕发出生命的活力” 是我进行教学的指导思想，基于本节课的特点，利用导学案和多媒体相结合让学生自主探究的模式实现学生从被动学习到主动学习的一个转变从而创造高效课堂。

五．教学过程：一、复习准备，提出问题：1.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。

如：cos(2) k πα+=， cos(90) oα-=， cos() α-=， sin() α-=2. 差角的余弦公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+3.差角的余弦公式的应用：例如：求cos15o 的值，分析：15o = 30o-， 解：cos15cos( 30) o o =-=问题提出：如何求cos()αβ+的值呢？（设计目的：唤起学生已有的知识和解题技巧。

探究点一 两角和与差的正切公式的推导
问题 1 你能根据同角三角函数基本关系式tan α＝sin α
cos α
，从两角和与差的正弦、余弦公式出发，推导出
用任意角α，β的正切值表示tan(α＋β)，tan(α－β)的公式吗？试一试．
探究点二 两角和与差的正切公式的变形公式 两角和与差的正切公式变形形式较多，例如：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， tan αtan β＝1－
tan α＋tan βtan α＋β＝
tan α－tan β
tan α－β
－1.
答 当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
cos αcos β－sin αsin β
.
当cos αcos β≠0时，分子分母同除以cos αcos β，得
tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
.
根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得
tan(α－β)＝tan α＋tan (－β)1－tan αtan (－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β
.
问题2 在两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？
答 在公式T (α＋β)，T (α－β)中α，β，α±β都不能等于k π＋π2(k ∈Z )．
＝tan 120°＝－ 3.。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(二)【课前准备】1．课时目标（1）了解两角和的余弦公式，两角和与差的正弦公式、正切公式的推导过程，通过公式的推导了解角与角之间的内在联系；（2）正确理解与掌握两角和的余弦公式，两角和与差的正弦公式、正切公式，并会进行简单的化简、求值等应用．2．基础预探（1）两角和的余弦：cos （α+β）=__________；（2）两角和与差的正弦：sin （α+β）=__________；sin （α－β）=__________；（3）两角和与差的正切：tan （α+β）=__________；tan （α－β）=__________．【知识训练】1．满足cos αcos β=23+sin αsin β的一组α、β的值是（ ） A ．α=12π13，β=4π3 B ．α=2π，β=3π C ．α=2π，β=6π D ．α=3π，β=6π 2．下列等式中成立的是（ ）A ．2120sin 80sin 20cos 80cos =︒︒-︒︒B ．2117sin 13cos 17cos 13sin =︒︒-︒︒ C ．2220sin 25sin 25cos 70sin =︒︒+︒︒D ．2320sin 50sin 20cos 140sin =︒︒+︒︒ 3．下列四个命题中的假命题是（ ）A ．存在这样的α、β，使得cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin βB ．不存在无穷多个α、β，使得cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin βC ．对于任意的α、β，cos （α+β）=cos αcos β－sin αsin βD ．不存在这样的α、β，使得cos （α+β）≠cos αcos β－sin αsin β4．已知sin αcos β=－31，cos αsin β=21，则sin （α+β），sin （α－β）的值分别为（ ） A ．61，65 B ．－61，－65 C ．61，－65 D ．－61，65 5．若tan α=21，则tan （α+4π）=____________． 6．已知tan （4π+α）=2，求ααα2cos cos sin 21+的值．【学习引领】在两角和与差的三角函数公式中，对应的角α，β可以是单独的两个角，也可以是对应的两个整体部分所组成的角，比如α=（α+β）－β，β=（α+β）－α，2α=（α+β）+（α－β），2β=（α+β）－（α－β），（4π+α）+（4π－α）=2π等，同时在解答时要注意角的范围的讨论．在实际求解问题过程中，要注意对角的变形与整体思维的考虑．运用两角和与差的三角函数公式时的“四要”：一要审查公式成立的条件；二要弄清两角和与差的三角函数公式中角、函数的排列顺序及式中每一项的符号；三要熟练掌握公式的逆用、反用、变形用；四要注意和、差的相对性．【题型探究】题型一：公式的直接应用例1．已知α，β都是锐角，且sin α=55，cos β=10103，求α+β的值 思路导析：利用两角和的余弦公式分三步进行：①先求α+β的余弦值；②确定α+β所在的范围（或区间）；③求角α+β的值．点评：其实，间接利用公式求解有关角的值的问题，可以结合不同的三角函数值加以解决：①求cos （α+β），在（0，π）内余弦值为22的角是唯一的，故可求之；②求sin （α+β），将角α+β的范围缩小到（0，2π）或更小，使之正弦值为22的角是唯一的；③求tan （α+β），在（0，π）内正切值为1的角也是唯一的．变式练习1：已知α，β是锐角，且sin α=51，cos β=101，求α－β的值．题型二：公式的整体应用例2．求sin （α+75º）+cos （α+45º）－3cos （α+15º）的值．思路导析：这道题的常规方法是利用两角和与差的公式直接展开，再加以必要的合并与化简，而这里的75º与15º均为非特殊角，又要通过必要的两角和与差的公式，最终达到求值的目的．而如果通过整体思维考查，令β=α+15º，通过换元转化加以运算，则更加简单、快捷．点评：这道题充分突出整体思维，通过整体换元，把非特殊角的三角函数的求值问题转化特殊角的三角函数的求值问题，从而使问题迎刃而解．变式练习2：设2)tan(=-βα，3)4tan(=-βπ，则)4tan(απ-等于（ ） A ．71 B ．71- C ．51 D ．51- 题型三：公式的综合应用例3．已知sin α+sin β=22，求cos α+cos β的取值范围． 思路导析：先把cos α+cos β作为一个整体，利用条件中相关等式的变形与组合，结合同角三角函数基本关系式与两角和的余弦公式，利用三角函数的图象与性质加以综合．点评：综合利用同角三角函数基本关系式、两角和与差的三角公式、三角函数的图象与性质等来解决相关三角函数式的取值范围问题，关键在是等价变换与应用等．变式练习3：不查表，求下式的值：tan23︒+tan22︒+tan23︒tan22︒．【随堂练习】1．tan15°+cot15°等于（ ）A ．2B ．2+3C ．4D ．334 2．cos75°－cos15°的值等于（ ）A ．26B ．－26C ．－22D ．22 3．cos20ºcos110º+sin20ºsin110º的值为（ ）A ．0B ．－21 C ．21 D ．1 4．锐角βα,满足54cos =α，53)cos(=+βα，则βsin =________． 5．cos （45º+x ）cos （15º－x ）－cos （45º－x ）sin （15º－x ）=________．6．已知sin β=m sin （2α+β）（m ≠1），求证：tan （α+β）=mm -+11tan α．【参考答案】【课前准备】2．基础预探（1）cos αcos β－sin αsin β；（2）sin αcos β+cos αsin β，sin αcos β－cos αsin β；（3）βαβαtan tan 1tan tan -+，βαβαtan tan 1tan tan +-． 【知识训练】1．A ；【解析】由已知得cos （α+β）=23，代入检验得A ； 2．D ；【解析】根据两角和与差的公式加以判断；3．B ；【解析】由cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin β=cos αcos β－sin αsin β，得sin αsin β=0，∴α=k π或β=k π（k ∈Z ）；4．C ；【解析】根据两角和与差的正弦公式加以求解；5．3；【解析】tan （α+4π）=4πtan tan 14πtantan ⋅-+αα=1211121⨯-+=3； 6．解 由tan （4π+α）=ααtan tan 1-1+=2，解得tan α=31， 于是ααα2cos cos sin 21+=ααααα222cos cos sin 2cos sin ++=1+1+ααtan 2tan 2=13121312+⨯+）（=32． 【典例导析】例1. 解 ∵α是锐角，sin α=55，∴cos α=α2sin 1-=552， ∵β是锐角，cos β=10103，∴sin β=β2cos 1-=1010， 那么cos （α+β）=cos αcos β－sin αsin β=552·10103－55·1010=22， ∵α，β是锐角，∴0<α+β<π，故α+β=4π．变式练习1：解 ∵α是锐角，sin α=51，∴cos α=α2sin 1-=552， ∵β是锐角，cos β=101，∴sin β=β2cos 1-=10103， 那么cos （α－β）=cos αcos β+sin αsin β=22， ∵α，β是锐角，∴－2π<α－β<2π， 又sin α=51<10103= sin β，则α<β，故α－β=－4π． 例2. 解 令β=α+15º，则sin （α+75º）+cos （α+45º）－3cos （α+15º）=sin （β+60º）+cos （β+30º）－3cos β=sin βcos60º+cos βsin60º+cos βcos30º－sin βsin30º－3cos β =21sin β+23cos β+23cos β－21sin β－3cos β=0． 变式练习2：A ； 【解析】)4tan(απ-＝)]()4tan[(βαβπ---＝)tan()4tan(1)tan()4tan(βαβπβαβπ--+---＝23123⨯+-＝71； 例3. 解析：令t =cos α+cos β， ①而sin α+sin β=22， ② 由①2+②2，得t 2+21=（cos α+cos β）2+（sin α+sin β）2=cos 2α+cos 2β+2cos αcos β+sin 2α+sin 2β+2sin α+sin β=2+2cos （α－β），∴2cos （α－β）=t 2－23∈［－2，2］， ∴t ∈［－214，214］，即cos α+cos β的取值范围为［－214，214］．变式练习3：解 因为tan （23︒+22︒）=︒︒+︒+︒22tan 32tan 122tan 32tan ，所以tan23︒+tan22︒=tan （23︒+22︒）（1－tan23︒tan22︒）， 原式=tan45︒ （1－tan23︒tan22︒）+tan23︒tan22︒=1－tan23︒ tan22︒+ tan23︒ tan22︒ =1；【随堂练习】1．C ；【解析】由tan15°=tan （45°－30°）=︒︒+︒-︒30tan 45tan 130tan 45tan =331331+-=3333+-，∴原式=3333+-+3333-+=4；2．C ；【解析】cos75°－cos15°=cos （45º+30º）－cos （45º－30º）=cos45ºcos30º－sin45ºsin30º－（cos45ºcos30º+sin45ºsin30º）=－2sin45ºsin30º=－22； 3．A ；【解析】cos20ºcos110º+sin20ºsin110º=cos （20º－110º）=cos （－90º）=cos90º=0；4．257；【解析】根据锐角βα,和条件，可得53sin =α，54)sin(=+βα，则βsin =])sin[(αβα-+=αβααβαsin )cos(cos )sin(+-+=257； 5．21；【解析】cos （45º+x ）cos （15º－x ）－cos （45º－x ）sin （15º－x ）=cos （45º+x ）cos （15º－x ）－cos[90º－（45º+x ）]sin （15º－x ）=cos （45º+x ）cos （15º－x ）－sin （45º+x ）sin （15º－x ）=cos[（45º+x ）+（15º－x ）]=cos60º=21； 6．证明：∵sin β=m sin （2α+β），∴sin ［（α+β）－α］=m sin ［（α+β）+α］，∴sin （α+β）cos α－cos （α+β）sin α=m sin （α+β）cos α+m cos （α+β）sin α，∴（1－m ）sin （α+β）cos α=（1+m ）cos （α+β）sin α，∴tan （α+β）=m m -+11tan α．。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第1课时）班级 姓名一、学习目标：1. 在学习两角差的余弦公式的基础上，能导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系，能用自己的话简洁地概括出公式的特点。

2.能应用公式解决比较简单简单的求值、化简、恒等证明的有关问题。

3. 应用两角和与差的正弦、余弦公式，解决“ααcos sin b a +”型化简问题。

学习重点：两角和与差的正弦、余弦公式的准确运用二、学习过程（一）教材核心知识及推导过程cos()αβ-=cos()αβ+==+)s i n (βαsin()αβ-=自我总结4个公式的特点(二)预习自测：()()._________s i n s i n c o s c o s 1=---ββαββα、 2、计算下列各式的值（1） 42sin 72cos 42cos 72sin -（2） 70sin 20sin 70cos 20cos -（三）自主探究---三角函数的求值例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛απαπ4cos -4sin ，的值. 分析解答.________3sin ,2,23,51cos 1 =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=πθππθθ则、若变式 总结（四）自主发展1---配凑角求值例2、已知35sin ,cos 513αβ==-，且α为第一象限角，β为第二象限角。

求sin()αβ+和sin()αβ- 分析解答变式2、已知443cos(),cos(),2552παβαβαβπ+=-=-<+<，,2παβπ<-<求cos2α的值。

总结自主发展2---公式()θααα++=+sin cos sin 22b a b a 的应用 例3、计算12cos 12sin3ππ+的值分析解答变式3、教材练习总结公式（当堂检测放于后） 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第2课时）班级 姓名学习目标：类比两角和与差的正弦、余弦公式，能推导并掌握两角和与差的正切公式，进一步巩固两角和与差的正弦、余弦公式学习重点：两角和与差的正切公式的准确运用学习过程（一）两角和与差的正弦、余弦公式cos()αβ-= cos()αβ+==+)s i n (βα sin()αβ-=如何以上公式推导tan()αβ+和tan()αβ-？（二）两角和与差的正切公式t a n ()αβ+=t a n ()αβ-= 自我总结以上6个公式的特点(三)预习自测：1、计算下列各式的值35tan 95tan 135tan -95tan 1+）（15tan 115tan 12-+）（ （四）自主探究1---三角函数求值例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πα和⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα的值。

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（教学设计）教学目标1、知识与能力目标：理解以两角差的正弦与余弦公式为基础，推导两角和与差的正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.2、过程与方法目标：利用两角和与差的正弦与余弦公式，推导两角和与差的正切公式及公式的变形应用。

3、情感、态度与价值观目标：通过积极参与数学学习和问题解决的活动，逐步增强批判思维，养成一丝不苟的作风和锲而不舍的精神. 教学重、难点1. 教学重点：两角和与差正切公式的推导过程及公式的变形运用；2. 教学难点：两角和与差正切公式的变形运用.学法与教学用具学法：研讨式教学教学过程：一、复习回顾：1、两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦二、师生互动，新课讲解：让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-．注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？ ()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．[例题讲解]例1：求tan1050变式训练1：求tan750例2：利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）1tan151tan15+- （2）已知1tan 41tan πβαββ-+=+，化简解：（1）()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15++==+==--（2）()()()()1tan (2)tan 41tan tan tan tan[]tan .1tan tan π-βα+β=α+β=+βα+β-β=α+β-β=α+α+ββ因，所以=1.所以变式训练2：1tan 751tan 75+-()21tan ,tan(),tan().5444ππα+β=β-=α+例3 已知求tan()tan[()()]44tan()tan()34.221tan()tan()4ππα+=α+β-β-πα+β-β-==π+α+ββ-解：变式训练3：已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===， 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ，3tan tan 144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭tan17tan 433tan17tan 43++例4 求的值()()an17tan 433tan17tan 43tan 17431tan17tan 433tan17tan t 43++=+-+【解析】()tan 601tan17tan 433tan17tan 43=-+=变式训练4：化简求值： sin 15°－cos 15°cos 15°＋sin 15°.【解析】原式＝tan 15°－11＋tan 15°＝tan 15°－tan 45°1＋tan 15°tan 45°＝tan(－30°)＝－33.【互动探究】求值：tan 72°－tan 42°－33tan 72°tan 42°.【解析】原式＝tan(72°－42°)(1＋tan 72°tan 42°)－33tan 72°tan 42°＝tan 30°(1＋tan 72°tan 42°)－tan 30°tan 72°tan 42°＝tan 30°＝33.课堂练习：（课本P131练习NO ：4，5，7）三、课堂小结，巩固反思：1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式的推导与应用。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式[知识探究]1.两角和的余弦公式cos(α+β)= ,简记为C (α+β).思考1: C (α±β)公式有什么共同特征? (余弦在前,正弦在后,符号改变)2.两角和与差的正弦公式S (α+β):sin(α+β)= ;S (α-β):sin(α-β)= .思考2: S (α±β)有何特征?(异名乘,符号同)拓展提升:辅角公式(1)asin x+bcos x=ϕ)（其中tan ϕ=b a,ϕ为辅助角）; ϕ)（其中tan ϕ=a b,ϕ为辅助角）. 3.两角和与差的正切公式T (α+β):tan(α+β)= tan tan 1tan tan αβαβ+-;T (α-β):tan(α-β)= tan tan 1tan tan αβαβ-+. 思考3:使用T (α±β)的条件是什么?(公式T (α±β)只有在α≠π2+k 1π,β≠π2+k 2π,α±β≠π2+k 3π(k 1,k 2,k 3∈Z )时才成立,否则就不成立,这是由正切函数的定义域所决定的) 题型一 三角函数式的化简求值【例1】 (1)cos 105°;(2)sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°;(3)sin π12π12; (4)1tan 751tan 75+-. 名师导引:(1)将105°转化为两个特殊角的和或差,直接利用公式求解.(2)先利用诱导公式统一角度再逆用两角和的正弦公式 求解.(3)提取2后将12,逆用公式求解. (4)注意“1”的转化,逆用两角和的正切公式求解.解:(1)原式=cos(60°+45°)=cos 60°cos 45°-sin 60°sin 45°=12×22= (2)原式=sin 14°cos 16°+sin(90°-14°)cos(90°-16°)=sin 14°cos 16°+cos 14°sin 16°=sin(14°+16°)=sin 30°=12.(3)法一 原式=2（12sin π12cos π12） =2（sin π6sin π12-cos π6cos π12）=-2cos （π6+π12）=-2cos π4法二 原式=2（12sin π12π12） =2（cos π3sin π12-sin π3cos π12）=2sin （π12-π3）=-2sin π4 (4)原式=tan 45tan 751tan 45tan 75+-=tan(45°+75°)=tan 120°.题后反思 三角函数式的化简与求值主要是诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和差的正余弦、正切公式的正用、逆用和变形用,观察式子结构特点选取合适公式是解题的关键.转化过程中注意“1”与“tan π4”、“”与“tan π3”、“ 12”与“cos π3”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化. 跟踪训练11:(1)求sin(θ+75°)+cos(θ+45°)cos(θ+15°)的值;(2)(2014遵义四中期末)求tan 20°+tan 40°tan 20° tan 40°的值.解:(1)设α=θ+15°,则原式=sin(α+60°)+cos(α+30°α=（12sin αα）+cos α-12sin α）α =0.(2)原式=tan 60°(1-tan 20° tan 40°)+° tan 40°.题型二 三角函数的条件求值【例2】 已知π2<β<α<34π,cos(α-β)= 1213,sin(α+β)=- 35,求cos 2α的值. 名师导引:(1)寻找角的关系2α=(α+β)+(α-β);(2)借助同角三角函数关系及两角和的余弦公式求解.解:∵π2<β<α<34π,∴-34π<-β<-π2, ∴0<α-β<π4,π<α+β<32π,∴sin(α-β)=513,cos(α+β)=-45. ∴cos 2α=cos[(α-β)+(α+β)]=cos(α-β)cos(α+β)-sin(α-β)sin(α+β) =1213×（-45）-513×（-35）=-3365, 即cos 2α=-3365. 题后反思 (1)解决三角函数条件求值问题的关键是寻找已知角与所求角之间的关系,恰当地拆角凑角、合理地选用公式.(2)常见角的变换有α=(α+β)-β、α=β-(β-α)、2α=(α+β)+(α-β)等.跟踪训练21:(2014洛阳期末)已知tan （π4+α）=2,tan(α-β)= 12,α∈（0,π4）,β∈（-π4,0）. (1)求tan α的值;(2)求212sin cos cos ααα+的值; (3)求2α-β的值.解:(1)tan （π4+α）=1tan 1tan αα+-=2,得tan α=13; (2)212sin cos cos ααα+=222sin cos 2sin cos cos ααααα++ =2tan 12tan 1αα++=23; (3)因为tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]=tan tan()1tan tan()ααβααβ+---=1, 又α∈（0,π4）,β∈（-π4,0）,得2α-β∈（0, 3π4）,所以2α-β=π4. 题型三 辅角公式的应用【例3】 当函数≤x<2π)取得最大值时,x= .解析:函数为（x-π3）, 当0≤x<2π时,-π3≤x-π3<5π3, 所以当y 取得最大值时,x-π3=π2,所以x=5π6. 答案:5π6题后反思 辅角公式ϕ)(或asin x+bcos x=ϕ))可以将形如 asin x+bcos x(a,b 不同时为零)的三角函数式写成一个角的三角函数式.这样有利于三角函数式的化简求值,更有助于研究三角函数的性质.跟踪训练31:函数f(x)=sin x-cos （x+π6）的值域为( B )(A)[-2,2](C)[-1,1] ] 解析:f(x)=sin x-cos （x+π6）12sin x=32sin （x-π6）,所以函数f(x)的值域为,].故选B.【自主练习】1. 已知sin(α+β)=12,sin(α-β)=13,求tan tan αβ的值. 解:∵sin(α+β)=12,∴sin αcos β+cos αsin β=12.①∵sin(α-β)=1 3 ,∴sin αcos β-cos αsin β=13.②由①,②解得sin αcos β=512, cos αsin β=112,∴tantanαβ=sin coscos sinαβαβ=512112=5.2.已知α,β都是锐角,且cos αsin β=12,求α-β的值.解:法一由α,β都是锐角及cos αβ=12,得sin αβ.所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.又由α,β都是锐角,即0<α<π2,0<β<π2,所以-π2<α-β<π2.所以α-β=π4 .法二由α,β都是锐角及cos αβ=12,得sin αβ.cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β1 2,3.（2014清远期末)化简:sin 21°cos 81°-cos 21° sin 81°等于( D )(A)12 (B)-12解析:原式=sin(21°-81°)=-sin 60°故选D. 4.已知α是锐角,sin α=35,则cos （π4+α）等于( B )(D) 解析:因为α是锐角,sin α=35, 所以cos α=45,所以cos （π4+α）×45×35.故选B. 5.sin 255°= .解析:sin 255°=-sin 75°=-sin(45°+30°)=-答案: 6.1tan12tan 72tan12tan 72--= .解析:1tan12tan 72tan12tan 72+-=-()1tan 7212-=-答案:5.已知α+β=45°,求(1+tan α)·(1+tan β)的值. 解: (1+tan α)·(1+tan β )=1+tan αtan β+tan α+tan β=1+tan αtan β+tan(α+β)(1-tan αtan β)=2。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式题型探究一、给角求值问题活动与探究1(1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( ) A ．－32 B ．－12 C ．12 D ．32(2)－sin 167°sin 223°＋sin 257°sin 313°＝________．迁移与应用求值：sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°．方法规律 解决给角求值的问题有两种思路：一种是非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，一种是利用诱导公式把角化整化小，然后观察角的关系及式子特点，选择公式求值．在这两种思路中，公式的正用逆用都要熟练．二、给值求值问题活动与探究2已知sin α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos β＝－513，β是第三象限角，求cos(α＋β)，tan(α＋β)的值．迁移与应用1．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝( ) A ．33 B ．－33 C ．539 D ．－692．已知α，β是锐角，且sin α＝437，cos(α＋β)＝－1114，求sin β的值．方法规律1．在给值求值问题中，已知α，β的某一种弦的函数值，求α＋β，α－β的余弦值，其基本思路是：先看公式中的量，哪些是已知的，哪些是待求的，再利用同角三角函数的基本关系式求出，但在求未知量的过程中，要注意根据角所在的象限确定符号．2．解决给值求值问题的关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异，角的变换是其中较为常见的．如α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)，α＝α＋β2＋α－β2，β＝α＋β2－α－β2，2α＝(α＋β)＋(α－β),2β＝ (α＋β)－(α－β)，⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4＋β＝π2＋(α＋β)，⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－β＝π2＋(α－β)等．三、给值求角问题活动与探究3已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求角β的值．迁移与应用已知tan α＝2，tan β＝3，且α，β都是锐角，求α＋β的值．方法规律 解答这类题目的步骤为：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的范围写出所求的角．特别注意选取角的某一三角函数值时，应先缩小所求角的范围，最好把角的范围缩小在某一三角函数的单调区间内，进而选取三角函数求解．四、三角函数式的化简与证明活动与探究4化简下列各式：(1)sin x －3cos x ；(2)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－3cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ； (3)sin(2α＋β)sin α－2cos(α＋β)； (4)(tan 10°－3)·cos 10°sin 50°．迁移与应用1．化简下列各式：(1)sin 70°sin 65°－sin 20°sin 25°；(2)sin(54°－x )cos(36°＋x )＋cos(54°－x )sin(36°＋x )； (3)3＋tan 15°1－3tan 15°； (4)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°．2．已知sin(2α＋β)＝5sin β，求证：2tan(α＋β)＝3tan α．方法规律 1．三角函数式的化简或证明，主要从三方面寻求思路：一是观察函数的特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系；二是观察角的特点，它们之间可经过何种形式联系起来；三是观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一．2．同时，注意公式的变形应用：cos(α＋β)＋sin αsin β＝cos αcos β，tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)，tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan(α＋β)等． 当堂检测1．sin 59°cos 89°－cos 59°sin 89°的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．－3 2．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( )A ．75B ．15C ．－75D ．－ 153．在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C ＝( ) A ．－55 B ．55 C ．－255 D ．2554．已知tan α＝13，tan(β－α)＝－2，且π2＜β＜π，则β＝________． 5．若α是锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则cos α的值是________．【参考答案】题型探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：(1)观察题目中出现的角的关系，把47°写成17°＋30°，然后运用公式求值．(2)题目中给出的角各不相同，可充分利用诱导公式进行转化，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式进行求值．(1)C (2)32 【解析】(1)原式＝sin(17°＋30°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°＝12． (2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(270°－13°)sin(270°＋43°)＝sin 13°sin 43°＋(－cos 13°)·(－cos 43°)＝cos 43°cos 13°＋sin 43°sin 13°＝cos(43°－13°)＝cos 30°＝32． 迁移与应用 解：原式＝sin(15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos(15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－3． 活动与探究2 思路分析：利用弦函数的平方关系，由sin α，cos β的值求出cos α，sin β的值，再利用两角和与差的公式展开代入求解．解：由sin α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π得 cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35． 又由cos β＝－513，β为第三象限角得 sin β＝－1－cos 2β＝－1－⎝⎛⎭⎫－5132＝－1213， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－513－45×⎝⎛⎭⎫－1213＝6365，sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×⎝⎛⎭⎫－513＋⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－1213＝1665， ∴tan(α＋β)＝sin(α＋β)cos(α＋β)＝1663． 也可由cos α＝－35，sin α＝45， 得tan α＝－43． 由sin β＝－1213， cos β＝－513，得tan β＝125， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1663． 迁移与应用 1．C 【解析】∵cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，0＜α＜π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223，又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，－π2＜β＜0，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539，故选C ． 2．解：∵α是锐角，且sin α＝437， ∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫4372＝17． 又cos(α＋β)＝－1114，α，β均为锐角， ∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314， ∴sin β＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝5314×17－⎝⎛⎭⎫－1114×437＝32． 活动与探究3 思路分析：已知角α－β，α＋β的余弦值，求角β需求β的余弦值，2β＝(α＋β)－(α－β)．解答本题可由已知条件求α－β，α＋β的正弦值，从而求出cos 2β的值，得到2β的值，最后求出β．解：由α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213， 得sin(α－β)＝513．由α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513． cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－1213×1213＋⎝⎛⎭⎫－513×513＝－1． 又α＋β∈⎝⎛⎭⎫32π，2π，α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴2β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2．∴2β＝π，∴β＝π2． 迁移与应用 解 tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2＋31－2×3＝－1． 又α，β均为锐角，∴0°＜α＋β＜180°，∴α＋β＝135°．活动与探究4 思路分析：(1)提出2后逆用两角和与差的正弦或余弦公式；(2)各因式中角的形式无法统一，且没有明显的凑角关系，所以只能利用和(差)角公式展开后寻求解决办法；(3)观察角的关系，知2α＋β＝α＋(α＋β)，再利用公式求值；可先把3代换3＝tan 60°，再切化弦，通分逆用公式化简．解：(1)sin x －3cos x ＝2⎝⎛⎭⎫sin x ·12－cos x ·32＝2⎝⎛⎭⎫sin x ·cos π3－cos x ·sin π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3； (2)原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos 2π3cos x －3sin 2π3sin x ＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x ＝⎝⎛⎭⎫12＋1－32sin x ＋⎝⎛⎭⎫32－3＋32cos x ＝0．(3)原式＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin αsin α＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin αsin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α． (4)原式＝(tan 10°－tan 60°)·cos 10°sin 50° ＝⎝⎛⎭⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°·cos 10°sin 50° ＝sin 10°cos 60°－sin 60°cos 10°cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－sin(60°－10°)cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－1cos 60°＝－2． 迁移与应用 1．解：(1)原式＝sin 70°cos 25°－cos 70°sin 25°＝sin(70°－25°)＝sin 45°＝22． (2)原式＝sin[(54°－x )＋(36°＋x )]＝sin 90°＝1．(3)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan 75°＝2＋3． (4)原式＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝3．2．证明：sin(2α＋β)＝5sin β⇒sin[(α＋β)＋α]＝5sin[(α＋β)－α]⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝5sin(α＋β)cos α－5cos(α＋β)sin α ⇒2sin(α＋β)cos α＝3cos(α＋β)sin α⇒2tan(α＋β)＝3tan α．当堂检测1．A 【解析】sin 59°cos 89°－cos 59°sin 89°＝sin(59°－89°)＝sin(－30°)＝－12． 2．B 【解析】cos α＝1－sin 2α＝45，原式＝cos α－sin α＝45－35＝15． 3．D 【解析】sin B ＝31010，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝255． 4．3π4 【解析】tan β＝tan[α＋(β－α)]＝tan α＋tan(β－α)1－tan α·tan(β－α)＝13－21＋23＝－1． 又∵π2＜β＜π，∴β＝3π4． 5．26－16 【解析】∵α是锐角，∴0＜α＜π2，－π6＜α－π6＜π3， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝223，cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6－sin ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝223×32－13×12＝26－16．。

§3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案教学目标：1.知识与技能目标①用代换法推导cos(a + P)，用转化法推导sin (a ± P)、tan (a ± P).②让学生初步学会公式的简单应用和公式的逆用等基本技能.③通过公式的灵活运用，培养学生的转化思想和变换能力2. 过程与方法目标学生在理解、掌握两角差的余弦公式的基础上，进一步推导两角和的余弦、两角和与差的正弦和正切公式，让学生亲自体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用3. 情感态度、价值观目标①通过学习、观察、对比体会公式的线形美，对称美②通过教师的启发诱导，培养学生不怕困难，勇于探索勇于创新的求知精神二、教学重、难点教学重点：两角和与差的正弦、正切公式的推导过程及运用;教学难点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的灵活运用三.教学方法及用具：教学方法：诱导式、启发式教学、讲练相结合法教学用具：多媒体四、教学过程：1. 复习导入:同学们先回顾一下两角差的余弦公式: cos(a - P ) = cos ot COS P + sin a sin P .由公式cos(a - P)出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗?2. 讲授新课:思考：(1). COS(a + P ) = ?cos(a + P戶cos A —(-P )］，再利用两角差的余弦公式得出cos(a + P )=cos[a -(—P M = cosa cos(-P )+sin^ sin(-P )=co护cosP -sin^ sin P于是，我们得到了两角和的余弦公式，简记作C(a祁cos(G + P) =coso cosP -sin a sin P(2).问题：上面我们得到了两角和与差的余弦公式，那么如何得到两角和与差的正弦公式呢？即思考sin a = cos ?探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.sin fa + P \=cos 竖+ P 3= cos〔住一a 】+ P l = cos仁_a losP +sin 倍一a I sin P' 'I2■ J h2丿」I2丿I2丿=sin a cos P 中cosot sinP .sin (ot - P ) = sin 包 +( —P )] = sin a cos( —P )+cos a sin (-P )=sin a cos P —cosot sin P探究2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.(学生动手) 门sin(a + P)sin a cos P+cos。

为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
高效学习模型-内外脑模型
2
内脑- 思考内化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
超级记忆法
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
超级记忆法-记忆规律
记忆前
第三章 三角恒等变换
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切 公式
第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式
第三章 三角恒等变换
学习导航
学习目标
结合两角差 的余弦公式
―理―解→
两角和与差的正弦、 余弦推导过程及各 公式之间的联系
―掌―握→
两角和与差的正弦、 余弦公式的应用
重点难点 重点：公式的正用、逆用及变式应用． 难点：灵活运用公式解决相关的求值、化简．
＝12sin x＋ 23cos x＋sin x－ 3cos x＋ 23cos x－32sin x
＝(12＋1－32)sin x＋( 23－
3＋
3 2 )cos
x＝0.
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第三章 三角恒等变换
(2)原式＝sin[α＋β＋α]s－in 2αcosα＋βsin α
＝sinα＋βcos
α－cosα＋βsin sin α
＝csions 8100°°＝1.
第三章 三角恒等变换
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第三章 三角恒等变换
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
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第三章 三角恒等变换
小案例—哪个是你

解析：原式＝sin[60°＋(θ＋15°)]＋cos( θ＋45°) － 3cos(θ＋15°)
＝－ 23cos(θ＋15°)＋12sin(θ＋15°)＋cos( θ＋45°) ＝sin(θ－45°)＋cos(θ＋45°)＝0. 答案：0
5．tan 105°＝________． 解析：因为 105°＝60°＋45°，
因为 0＜α＜π2 ，则π4 ＜π4 ＋α＜3π 4 ，
所以
sinπ4 ＋α＝23
2 .
π
ππβπ
又－ 2 ＜β＜0，则 4 ＜ 4 － 2 ＜ 2 ，
则
sinπ4 －β2＝
6 3.
故
cosα＋β2＝13×
33＋2 3 2×
36＝5
9
3 .
答案：C
类型 3 给值求角(互动探究)
[典例 3] 已知 cos α＝17，sin(α＋ β)＝51413，0＜α
sin βcos(α＋ β )－cos βsin(α＋ β )＝ sin[ β－(α＋ β )]＝sin(－α)＝－sin α.
3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进 行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角 之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．
所以 sin β＝sin [(α＋ β )－α]＝ sin(α＋ β )cos α－cos(α＋ β )sin α＝ 5143×17－－1114×47 3＝ 23. 又因为π2＜ β ＜π，所以 β＝23π.
归纳升华 1．解答此类问题的关键是找出已知角和所求角之间 的联系，解答此类问题最容易出错的地方是求角的范围． 2．此类问题的解题步骤：(1)讨论角的范围；(2)求出 指定范围内的三角函数值；(3)根据已知角与未知角的关 系拆分角，进一步利用公式求解．

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学目标：【知识与技能】了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，并通过强化题 目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力。

【过程与方法】通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力。

【情感态度与价值观】通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质教学重难点：【重点】引导学生通过独立探索和讨论交流，利用已学知识，推到出两角和与差的正弦和正切公式，并体会它们的内在联系。

【难点】掌握两角和与差正弦、余弦、正切公式的逆用和变用。

教学过程：一、复习及引入：1、回顾诱导公式3、5 （诱导公式5、6实现了正弦与余弦的互化）。

2、公式)(βα-C :______________________________________3、若αsin =55，α∈(0,2π)，βcos =1010,β∈(0,2π), 求：（1）)cos(βα- 学生独立完成（2）)cos(βα+ ————引入课题：两角和与差的正弦、余弦、正切公式 二、自主学习，合作探究：1、探究一：探究两角和的余弦公式思考1：注意到α＋β＝α―(―β)，结合两角差的余弦公式及诱导公式，推导cos(α＋β)等于什么？)cos(βα+=_________________（学生独立完成，组内核对）思考2：上述公式就是两角和的余弦公式，记作)(βα+C ，该公式有什么特点？如何记忆？试一试： 75cos 求（学生独立完成，组内核对答案）2、探究二：探究两角和与差的正弦公式思考3：诱导公式)2cos(sin απα-=可以实现由正弦到余弦的转化，则sin(α＋β)=_)cos(______，利用以上方法完成)sin(βα+公式。

结合组内竞争评 比的原那么，学
生做题积极主
直接代入原式=
动，速度较快、
方法二、观察例 2〔3〕 准确度较高
例 3：
引导学生小结： 学生说出了本节课学习的主要 内容，还有化简中用到类比、整 体代入的、化归与的数学思想。
题的形式发现 原式=
=tan〔45°15°〕 =tan60°=
充分调动学生的 学习积极性，用 不同方法解决问
题，到达很好的
效果
由于时间的关系，没来得及对课堂检测的答案，但看到大局部学生做 达标检测
了一局部，准备下节课完成剩下的习题。
§两角和与差的正弦、余弦、正切公式〔第 1 课时〕
板书设计 一、公式：
inαβ=inαcoβcoαinβ,
三、例题：
coαβ=coαcoβinαinβ 方法一、
式间的关系：
方法二、
二、公
角公式
差角公式
课题名称?两角和与差的正弦、余弦、正切公式? 设 计 者 谢君玉
单 位 内蒙古巴彦淖尔市磴口县第一中学
授课年级 高一
章节名称 人教版普通高中课程标准实验教科书 必修四
学 40 分
第三章 三角恒等变换 §两角和与差的正弦、余弦、
正切公式〔第 1 课时〕
时
>对本节内容的要求是： 课标要求
〔1〕经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步
磴口电信公司准备将信号发 射塔建在阿贵庙附近的一座 小山上。 如下图小山高 BC 约 30 米， 在地平面上有一点 A，测得
A，C 两点间的距离为 60 米，
60 C
45°α
30
从 A 点观测电视发射塔的视 A
B
角〔∠CAD 〕约 45°，求这

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
学习目标
1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式并能 利用公式进行化简求值．(重点) 2．熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特征和符号规律．(易混点) 3．能正用、逆用、变形用公式进行化简求值．(难点)
新知初探
一、两角和的余弦公式 cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β，简记为 C(α＋β) ， 使用的条件为α，β∈R.
3．若 sin α＝ 55，sin β＝ 1100，且 α、β 为锐角，求 α＋β 的值．
解：∵α、β 均为锐角，
∴cos α＝ 1－sin2 α＝255，cos β＝ 1－sin2 β＝31010，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝2 5
53 ×
1010－
5 5×
1100＝
题型三 和（差）角的正切公式
例 3 (12 分)已知－2π＜α＜2π，－π2＜β＜π2，且 tan α，tan β 是 方程 x2＋6x＋7＝0 的两根，求 α＋β 的值．
【规范解答】由根与系数的关系，
得tan tan
α＋tan β＝－6＜0， αtan β＝7＞0，
∴tan α＜0，tan β＜0.4 分
∴sin β＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝5143×17－－1114×4 7 3＝
3 2.
【题后总结】充分观察和分析问题中已知角与未知角之间的关系，将未 知角用已知角表示出来，从而将未知角的三角函数值转化为已知角的三 角函数值，这是一种角的变换，在三角求值问题中有着广泛的应用．解 题时需注意角的范围对三角函数值的制约，必要时还需根据三角函数值 缩小角的范围，从而确定角的大小．在开方运算时，要利用角的范围确 定根号前的正负符号．