北京四中初二数学期中试卷

北京初二初中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.如果有意义，那么字母的取值范围是( )．北京四中网校A ．B ．C ．D ．2.下列各式是最简二次根式的是( )． A ．B ．C ．D ．3.下列变形中，正确的是( )． A ．(2)2＝2×3＝6B ．＝－C ．＝D ．＝4.已知点、、都在反比例函数上，则( )．A ．B ．C ．D ．5.正比例函数与反比例函数(是非零常数)的图象交于两点．若点的坐标为(1，2)，则点的坐标是( )．A ．B ．C ．D ．6.如图，在□ABCD 中，已知AD ＝8cm ，AB ＝6cm ，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于( )．A ．2cm;B ．4cm;C ．6cm;D ．8cm7.如图，□ABCD 中，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，BD 分别交AN 、CM 于点 P 、Q. 在结论： ①DP=PQ=QB ②AP=CQ ③CQ=2MQ ④S △ADP =S □ABCD 中，正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48.如图，平行四边形ABCD 中，AC 、BD 为对角线，BC ＝6，BC 边上的高为4，则阴影部分的面积为( )．A ．3;B ．6;C ．12;D ．24 9.如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为（ ）Ａ．4 Ｂ．6 C ． 16 Ｄ．5510.已知四边形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，如果只给出条件“AB ∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD 为平行四边形，给出以下四种说法：①如果再加上条件“BC ＝AD”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形．②如果再加上条件“∠BAD ＝∠BCD”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形． ③如果再加上条件“AO ＝OC”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形．④如果再加上条件“∠DBA ＝∠CAB”，那么平行四边形ABCD 一定是平行四边形． 其中正确的说法是( )． A ．①和② B ．①、③和④ C ．②和③ D ．②、③和④二、填空题1.比较大小：________．2.如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，反比例函数的图象过点B ，则k 的值为_________．3.如图，把两块相同的含角的三角尺如图放置，若cm ，则三角尺的最长边长为____________．4.已知A （－，y 1）、B （－1，y 2）、C （，y 3）在函数＝的图象上，则的大小关系是______________________． 5.等腰三角形的周长为，腰长为1，则它的底边上的高为_______． 6.观察一下几组勾股数，并寻找规律：① 3， 4， 5； ② 5，12，13； ③ 7，24，25；④ 9，40，41；……请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：三、解答题1.如图，E 、F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的两点，请你添上一个适当的条件：，使四边形AECF 为平行四边形.2.将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入反比例函数的关系式中，所得函数值记为，再将代入反比例函数中，所得函数值记为，……，如此继续下去，则＝_____________．3.如图是一个边长6厘米的立方体ABCD---EFGH，一只甲虫在棱EF上且距F点1厘米的P处. 它要爬到顶点D，需要爬行的最近距离是__________厘米.4.计算：(1)；(2)5.已知，求的值．6.如图ABCD中, ∠C=90度，沿着直线BD折叠，使点C落在处，交AD于E，，，求DE的长．7.已知: 如图, 在□ABCD中, E、F是对角线AC上的两点, 且AE = CF.求证: 四边形BFDE是平行四边形8.如图，直线AB与双曲线的一个交点为点C，轴于点D，OD＝2OB＝4OA＝4．求一次函数和反比例函数的解析式．9.某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系：①请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；②设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W（元）与x（元）之间的函数关系式. 若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？10.已知，如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积。

数学试卷班级__________ 姓名__________学号__________ 成绩__________一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1．下列选项中，属于最简二次根式的是（ ） AB C D 2．以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A ．2,3,4B ,3,5C ．6,8,10D．5,12,123．下列化简正确的是（ ） A．(22=B 2=−C ．2=D =4．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，要使四边形ABCD 是平行四边形，下列添加的条件不正确的是（ ） A ．AD ＝BCB ．AB ＝CDC ．AD ∥BCD ．∠A ＝∠C5．如图，四边形ABCD 是平行四边形，O 是对角线AC 与BD 的交点，AB ⊥AC ，若AB ＝8，AC ＝12，则BD 的长是（ ） A ．20B ．21C ．22D ．236．如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 交于点O . M ，N 分别为BC ，OC 的中点．若∠ACB ＝30°，AB ＝8，则MN 的长为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16（第4题）(第5题)(第6题)7． 如图，在长方形ABCD 中无重叠放入面积分别为8和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A．8−B．12−C．4−D．28．在菱形ABCD 中，M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的点(不与端点重合)，对于任意菱形ABCD ，下面四个结论中， ①存在无数个四边形MNPQ 是平行四边形； ②存在无数个四边形MNPQ 是矩形； ③存在无数个四边形MNPQ 是菱形； ④至少存在一个四边形MNPQ 是正方形． 其中正确的有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3D ．4(第7题) (第8题)二、填空题（本题共16分，每小题2分）9x 的取值范围是 ． 10．如图，校园内有一块矩形草地，为了满足人们的多样化需求，在草地内拐角位置开出了一条“路”，走此“路”至少可以省 m 的路程． 11．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝4，CD 是△ABC 的中线，E 是CD 的中点，连接AE ，BE ，若AE ⊥BE ，垂足为E ，则AC 的长为 ． 12．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O . E ,F ,G ,H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点. 只需添加一个条件，即可使四边形EFGH 是矩形，这个条件可以是（写出一个即可）．(第10题) (第11题) (第12题)DA EF OCGH13．已知a ，b ，c 分别为Rt △ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边，且∠C ＝90°， a 和b()230b +−=，则c 的长为 ．14．如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ，若∠CBF ＝20°，则∠AED 的度数为 ．15．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”．若BC =3，AC ＝4，则图中阴影部分的面积为 ．16．如图，线段AB 的长为10，点D 在线段AB 上运动，以AD 为边长作等边三角形ACD .再以CD 为边长，在线段AB 上方作正方形CDGH . 记正方形CDGH 的对角线交点为O . 连接OB ，则线段BO 的最小值为 ．（第14题） (第15题) (第16题) 三、 解答题（本题共68分） 17．（本题12分） 计算：（1（2）2−；（3．18．（本题8分）如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，点F 在线段BD 上，且DE ＝BF ．求证：AE ∥CF ．如图，正方形网格的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC 的顶点都在格点上．（1）△ABC 的面积为 ； （2）通过计算判断△ABC 的形状； （3）求AB 边上的高．20．（本题8分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC 为0.7m ，梯子顶端到地面的距离AC 为2.4m ．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A 'D 为1.5m ． 求小巷的宽CD ．21．（本题8分）如图，在东西方向的海岸线上有A ，B 两个港口，甲货船从A 港出发沿东北方向（北偏东45°）行驶，同时乙货船从B 港口出发沿北偏西60°方向行驶，乙货船行驶10海里后和甲货船相遇在点P 处．求A 港与B 港相距多少海里．C D北如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作BE 的垂线交BE于点F，交BC于点G，连接EG，CF．（1）求证：四边形ABGE是菱形；（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，AD＝5，求CF的长．23．（本题8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P从点A出发，沿射线AC以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）当点P在AC延长线上运动时，CP的长为；（用含t的代数式表示）（2）若点P在∠ABC的角平分线上，求t的值；（3）在整个运动中，直接写出△ABP是等腰三角形时t的值．24．（本题8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作BC的垂线AD，垂足为点D. 点E为线段DC上一动点（不与点C重合），连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，连接BF，与线段AD交于点G，连接CF．（1）依题意补全图形；直接写出BC与CF的位置关系；（2）求证：12AG DE BE+=；（3）直接写出AE，BE，AG之间的数量关系．备用图附加题（共10分）1．（本题4分）在学习了二次根式一章后，老师给小郭同学出了这样一道思考题：小郭同学认真分析了式子的结构，做出如下解答：设x =，两边平方得：222x =++，即2334x =++，210x =，x ∴=．350+>,=．的值． 2．（本题6分）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和正方形OABC ，给出如下定义：若点P 在正方形OABC 内部（不包括边界）,且P 到正方形OABC 的边的最大距离是最小距离的2倍，则称点P 是正方形OABC 的2倍距离内点． 已知: ()(),0,,A a B a a ． （1）当a =6时，①点()()()1231,3,3,2,4,1P P P −三个点中， 是正方形OABC 的2倍距离内点； ②点(),4P n 是正方形OABC 的2倍距离内点，请直接写出n 的取值范围； （2）点()()1,1,2,2E F ，若线段EF 上存在正方形OABC 的2倍距离内点，请直接写出a 的取值范围；（3）当69a ≤≤时，请直接写出所有正方形OABC 的所有2倍距离内点组成的图形面积．数学参考答案一、选择题1.C2. C3.A4. A5. A6. B7. A8.D二、填空题9. x≥3210. 2 11. 2√312. 答案不唯一，如：AC⊥BD13. √1314. 65︒15. 6 16. 5三、解答题17. (1) 原式=3√2−√24−2√2=3√24(2) 原式=5−2√6−1=4−2√6(3) 原式=2√3×(5√3+√3−4√3)=2√3×2√3=12或原式=30+6−24=1218. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF，在△ADE和△CBF中，{AD=CB∠ADE=∠CBFDE=BF，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴∠AED＝∠CFB，∴AE∥CF．19. 解：（1）5；（2）由图可得，BC＝√12+22=√5，AC＝√22+42=2√5，AB＝√32+42=5，∴BC2+AC2＝(√5)2+(2√5)2＝52＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（3）设AB边上的高为x，∵△ABC是直角三角形，，∴5=AB∙x2，即5=5∙x2解得x＝2，即AB边上的高是2．20. 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝√2.42+0.72＝2.5（m），∴A′B＝AB＝2.5米，在Rt△A′BD中，由勾股定理得：BD＝√2.52−1.52＝2（m），∴CD＝BC+BD＝2+0.7＝2.7（m）.即小巷的宽为2.7米.21. 解：作PH⊥AB于点H，∵乙货船从B港口沿北偏西60°方向行驶，∴∠PBH＝30°，又∵BP＝10海里，H ∴PH＝5海里, BH＝5√3海里,∵∠PAH＝45°，∴PH＝AH＝5海里，∴AB＝AH+BH＝（5+5√3）海里，即：A港与B港相距（5+5√3）海里.22. （1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC且AD＝BC，∴∠CBE＝∠AEB，∴∠ABE＝∠AEB＝∠CBE，∴AB＝AE，∵AF⊥BE，∴∠AFB ＝∠GFB ＝90°，在△ABF 和△GBF 中 {∠ABE =∠CBEBF =BF∠AFB =∠GFB ， ∴△ABF ≌△GBF （ASA ）， ∴AB ＝GB ， ∴AE ＝GB ， 又∵AD ∥BC ，∴四边形ABGE 是平行四边形， 又∵AB ＝GB ，∴四边形ABGE 是菱形；（2）解：过点F 作FM ⊥BC 于点M ，如图所示： ∵四边形ABGE 是菱形，∴∠GBE ＝12∠ABC ＝30°，BG ＝AB ＝4，BC ＝AD ＝5，在Rt △BFG 中，BF ＝2√3，在Rt △BFM 中，FM ＝12BF ＝12×2√3＝√3，BM ＝3， ∴CM ＝BC ﹣BM ＝5﹣3＝2，∴Rt △FMC 中，CF ＝√(√3)2+22=√7． 23. 解：(1)2t ﹣4．………………2分 (2)若点P 在∠ABC 的角平分线上，则： 设PM ＝PC ＝y ，则AP ＝4﹣y ， 在Rt △APM 中，AM 2+PM 2＝AP 2， ∴22+y 2＝（4﹣y ）2， 解得y =32，(4−32)÷2=54，即若点P 在∠ABC 的角平分线上，则t 的值为54． （3）t 的值为2516或52或4．24.（1）补全图形如右图猜想：BC ⊥CF（2）证明：过F 作FH ⊥AD ，交AD 延长线于H ∵∠BAC ＝∠EAF ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CAF ， 在△ABE 和△ACF 中， {AB =AC∠BAE =∠CAF AE =AF ，∴△ABE ≌△ACF （SAS ）， ∴∠ABE ＝∠ACF ＝45°，CF=BE , ∵∠ACB ＝45°，∴∠BCF ＝45°+45°＝90°， ∴BC ⊥CF ；∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴BD ＝CD ，∵∠FCD ＝∠ADC =∠H =90°， ∴四边形HFCD 为矩形， ∴HF ＝CD=BD ，CF=HD ,又∵∠ADB =∠H =90°, ∠BGD =∠HGF , ∴△BDG ≌△HGF （AAS ）， ∴HG ＝DG =12CF=12BE ，∵∠ADE =∠H =90°, ∠HAF =90°-∠DAE=∠AED , AF=AE, ∴△ADE ≌△HAF （AAS ）， ∴HA ＝DE ∴AG +DE=AG+HA=GH ∴AG +DE = 12BE ．（3）2AE 2＝BE 2+4AG 2. 附加题1. 解：根据题意，设x ＝√4+√7+√4−√7，2022-2023学年度第二学期初二年级期中测验数学学科参考答案 5 / 5 两边平方得：x 2＝（√4+√7）2+（√4−√7）2+2√(4−√7)(4+√7)， x 2＝4+√7+4﹣√7+2×√16−7，即x 2＝4+√7+4﹣√7+6，x 2＝14，∴x ＝±√14，∵√4+√7+√4−√7＞0，∴x ＝√14．2. (1)①P 2②2≤n ≤4(2)32≤a ≤6(3)13。

数学试卷（考试时间：100 分钟满分：120 分）姓名：班级：成绩:一、选择题（本题共30 分，每小题 3 分）1．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（）．A．B．C．D．2．下列各式不．能．分解因式的是（）．A．2x2 - 4x B．x2 +x +14C．x2 + 9 y2D．1-m23．点P（－3，5）关于y 轴的对称点的坐标是（）．A．（3，5）B．（3，－5）C．（5，－3）D．（－3，－5）4. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC 于点D，若则点D到AB 的距离是（）．A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm5．下列各式中，正确的是（）．CD=m c3，A．--3x=5y3x-5yB．-a +b=-a +b Dc cC．-a -b=a -b D．- a =a B （第4 题图）c -c b -a a -b6．下列命题是真命题的是（）．A．等底等高的两个三角形全等B．周长相等的直角三角形都全等C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D．有一边对应相等的两个等边三角形全等7．如图，D 是等腰Rt△ABC 内一点，BC 是斜边，如果将D'△ABD 绕点A 逆时针方向旋转到△ACD′的位置，则∠ADD′的度数（）．A．25︒B．30︒C．35︒D．45︒A B（第7 题图）8．在等腰∆ABC 中，已知AB=2BC，AB=20，则∆ABC 的周长为（）．A．40 B．50 C．40 或50 D．无法确定9．已知三角形的两边长分别为5 和7，则第三边的中线长x 的范围是（）．A．2 < x < 12 B．5 < x < 7 C．1 < x < 6 D．无法确定10．如图，在RtΔABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC，BE ⊥ AD 交AC 的延长线于F，E 为垂足．则结论：（1）AD=B F；（2）C F=C D；（3）AC+CD=A B；（4）BE=C F；（5）BF=2BE，其中正确的结论个数是（）．A．1 B．2 C．3 D．4（第10 题图）CD二、填空题（本题共 20 分，每小题 2 分） x 211．若式子x - 4 有意义，则 x 的取值范围是.12．计算 12 + 2= ．m 2- 9 3 - m 13．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =20°, 线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D ，交 AC 于 E ，连接 BE ，则∠CBE 为 度．B C （第13 题图） 14．若关于 x 的二次三项式 x 2+kx + b 因式分解为(x -1)(x - 3) ，则k +b 的值为 ． 15．若 a + b = 7, ab = 5, 则 a 2 - ab + b 2 = ．16．当 x 取值时， x 2 + 6x +10 有最小值，最小值是．17．某农场挖一条 480 米的渠道，开工后，每天比原计划多挖 20 米，结果提前 4 天完成任务，若设原计划每天挖 x 米，则列出的方程是．18．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC =90°，在 BC 上截取 BD ＝BA ，作 ∠ABC 的平分线与 AD 相交于点 P ，连结 PC ，若 B D=2C D ，△ABC 的面积为2cm 2 ，则△D PC 的面积为 ．A C' A2CB' 1FEBC（第 18 题图）（第 19 题图）19．如图，把△ ABC 沿 EF 对折，叠合后的图形如图所示．若∠A = 60︒ ，∠1 = 95︒ ， 则∠2 的度数为 ． 20．如果满足条件“∠ABC =30°，AC =1， BC =k （k >0）”的△ABC 是唯一的，那么 k 的取值范围是 ．三、解答题21. 把多项式分解因式（每题 4 分，共 8 分）. (1) 3a 3b -12ab 3(2) (x 2 - x )2 - 4(x 2 - x ) + 4解：解：ADE22.（每题4 分，共8 分）(1)计算：1÷a-a. (2)解方程：x+5= 4 .a -1 a 2 -1 a -1 2x - 3 3 -2x解：解：23.（本题5 分）已知：如图，A、B、C、D 四点在同一直线上，AB=CD，AE∥BF 且AE=BF．求证：EC=FD．证明： E FA B C D 24．（每题4 分，共8 分）(1)先化简，再求值：(解：1+m - 31) ÷m + 32mm2 -6m +9，其中m = 9 ．(2)已知1-1= 3 ，求代数式2x -14xy - 2 y的值. x y x - 2xy -y解：25．列分式方程解应用题：（本题5 分）（温馨提示：你可借助图示、表格等形式“挖掘”等量关系）赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，上下班由自驾车方式改为骑自行车方式．已知赵老师家距学校20 千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的2 倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多59小时．求自驾车和自行车的速度．四、解答题26.（本题4 分）某地区要在区．域．S．内．(即 C OD内．部．) 建一个超市M, 如图所示, 按照要求, 超市M 到两个新建的居民小区A, B 的距离相等, 到两条公路OC, OD 的距离也相等. 这个超市应该建在何处？(要求：尺规作图, 不写作法, 保留作图痕迹)C⎨⎩27. （本题 5 分）阅读下列材料：如图，在四边形 ABCD 中，已知∠ACB = ∠BAD = 105 ，∠ABC = ∠ADC = 45 . 求证：CD=AB.小刚是这样思考的：由已知可得，∠DCA = 60 ，∠DAC = 75 ，∠CAB = 30 ，∠ACB + ∠DAC = 180 ，由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形.即过点 A 作 AE ⊥ AB 交 BC 的延长线于点 E ，则 AB=AE ，∠E=∠D.∵在∆ADC 与∆CEA 中，⎧∠D = ∠E D E⎪∠DAC = ∠ECA = 75 ⎪ AC = CA C∴∆ADC ≌∆CEA ，得CD = AE = AB .A B请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：如图，在四边形 ABCD 中，若∠ACB + ∠CAD = 180 ， ∠B = ∠D ，请问：CD 与 AB 是否相等？若相等，请你给出证明；若不相等，请说明理 由．DA B28. （本题 7 分）在等边△ABC 中，D 为射线 BC 上一点，CE 是∠ACB 外角的平分线，∠ADE ＝60°，EF ⊥BC 于 F ． （1）如图 1，若点 D 在线段 BC 上． 求证：①AD ＝DE ；②BC ＝DC ＋2CF ； （2）如图 2，若点 D 在线段 BC 的延长线上，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．EAB C F 图 1图 2EA附加题（满分20 分）：1.（本题4 分）已知a2 -3a -1 = 0 ，求a6 +120a-2 = ．2.（本题4 分）右图中，∠ABC=∠BCD=∠DAB=45°，BD=2，求四边形ABCD 的面积为．3.（本题 6 分）已知m2 =n + 2 ，n2 =m + 2 ，m≠n，求m3 - 2mn +n3 的值．4.（本题6 分）已知：△ABC 中，∠ABC＝2∠ACB，∠ABC 的平分线BD 与∠ACB 的平分线CD 相交于点D，且CD＝AB，求证：∠A＝60°．ADB C⎨⎩- =一、选择题 1、D 2、C 3、A 4、C 5、D 6、D 7、D 8、B 9、C 10、D 二、填空题11. x ≠ 4 ； 12. -2m + 3； 13.60； 14.-1； 15.34； 16.x =-3，1； 17. 480 - x 18. 1；19.25°； 20. k = 2 或 0<k ≤1. 3480x + 20= 4 ；21.(1)解：原式= 3ab (a 2 - 4b 2 ) = 3ab (a + 2b )(a - 2b ). （2）解：原式= (x 2 - x - 2)2 = [(x - 2)(x +1)]2 = (x - 2)2 (x +1)2 .22. （1） -1a (a -1)；（2） x = 1.23.解：∵AE ∥BF ，∴∠A =∠FBD ． 又∵AB = CD ， ∴AB ＋BC = CD ＋BC ． 即 AC =BD ． 在△AEC 和△BFD 中，⎧ A E = B ,F ⎪∠A = ∠F B , ⎪ A C = B ,D∴△AEC ≌△BFD （SAS ）． ∴EC =FD ．24.(1)解：( 1 + m - 3 1 ) ÷ m + 3 2m m 2 - 6m + 9＝2m⋅ (m - 3) 2 (m - 3)(m + 3)2m＝m - 3 ．m + 3当 m = 9 时，原式＝ 9 - 3 = 1．9 + 3 2（2）解：∵ 1 - 1= 3,∴ x - y = -3xyx y2(x - y ) -14xy ∴上式=x - y - 2xy=- 6xy -14xy- 3xy - 2xy= 4.25.解：设自行车速度为 x 千米/小时20 20 5依题意得： x 2x 9A G E⎨⎩解方程得 x=18.经检验 x=18 是原方程的解且符合实际意义2x=36答：自行车的速度是 18 千米/小时，自驾车的速度是 36 千米/小时.26.略27.解：CD=AB证明：延长 BC 至 E 使 AE=AB则∠B=∠E ∵∠B=∠D ∴∠D=∠E∵ ∠ACB + ∠CAD = 180 ∴∠CAD=∠ACE在ΔCAD 与ΔACE 中 ⎧∠CAD = ∠ACE ⎪AC = CA ⎪∠D = ∠E ∴ΔCAD ≅ ΔACE ∴CD=AE ∴CD=AB.∠ACB+∠ACE=180°28.（1）①过 D 作 DG ∥AC 交 AB 于 G∵△ABC 是等边三角形，AB ＝BC ，∴∠B ＝∠ACB ＝60°∴∠BDG ＝∠ACB ＝60°，∴∠BGD ＝60° A∴△BDG 是等边三角形，∴BG ＝BD ∴AG ＝DC∵CE 是∠ACB 外角的平分线，∴∠DCE ＝120°＝∠AGD ∵∠ADE ＝60°，∴∠ADB ＋∠EDC ＝120°＝∠ADB ＋∠DAG ∴∠EDC ＝∠DAG ，∴△AGD ≌△DCE∴AD ＝DEB DC F②∵△AGD ≌△DCE ，∴GD ＝CE ，∴BD ＝CE∴BC ＝CE ＋DC ＝DC ＋2CFGE（2）①成立；②不成立，此时 BC ＝2CF －CD证明：过 D 作 DG ∥AC 交 AB 延长线于 G 以下略BCDF1 2 OD 4 5 3 6 7 附加题：1、1309； 2、2； 3. -24.证明：过点 A 作 AE ∥BC 交 BD 延长线于 E ，连接 CE ，设 AC 、BE 相交于点 O 则∠1＝∠ACB ，∠2＝∠3∵∠ABC ＝2∠ACB ，∴∠3＝∠ACB∴OB ＝OC ，∠1＝∠2 A E∴OA ＝OE又∠AOB ＝∠EOC ，∴△AOB ≌△EOC∴∠BAC ＝∠CED ，∠5＝∠4＝∠3，AB ＝CE∵CD ＝AB ，∴CD ＝CE ∴∠CED ＝∠CDE ＝∠3＋∠6B C 又∠DCE ＝∠5＋∠7，∠6＝∠7 ∴∠CED ＝∠CDE ＝∠DCE ＝60° ∴∠BAC ＝∠CED ＝60°。

数学练习选填题（每题5分）1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ）．A． BCD2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）．A ．2，3，4 B2 C ．9，16，25 D ．6，8，10 3. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，下列条件中，不能判定△ABC 是直角三角形的是（ ）．A ．()()2a c b c b =−+B ．()()2a b c a b c bc −++−=C ．::3:4:5a b c =D ．2A C B ∠+∠=∠4. 下列命题中，正确的是（ ）．A ．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形B ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形C ．两组邻边分别相等的四边形是平行四边形D ．对角线互相垂直的四边形是平行四边形5. 如图，在□ABCD 中，AD =8，E 为AD 上一动点，M ，N 分别为BE ，CE 的中点，则MN 的长为（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．不确定6. 某函数的图象如图所示，随着x 的增大，函数y （ ）．A ．增大B ．减小C ．不变D ．有时增大有时减小7. 如果点(),P a b 在直线4y x =−+上，且a b ≠，那么代数式2221a a b b a +−−的值为（ ）．A ．14− B ．14 C ．4− D ．4 8. 下列各曲线中，y 不是x 的函数的是（ ）．C ．A ．B ．C ．D ．9. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，只需添加一个条件，即可证明菱形ABCD 是正方形，这个条件可以是（ ）．A ．AC BD ⊥B ．AB BC =C ．90ABC ∠=︒D ．AB CD =10. 是整数，则正整数n 的最小值是（ ）．A ．3B ．7C ．9D ．6311.选择（ ）．A ．甲和乙B ．甲和丙C ．甲和丁D ．乙和丙12.A ．80，2B ．81，80C ．80，80D ．81，2 13. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象由函数12y x =的图象平移得到，且经过点()2,0−．当x m >时，对于x 的每一个值，函数34y x =−的值大于一次函数y kx b =+的值，则m 的取值范围为（ ）．A ．2m <B ．2m ≤C ．2m >D ．2m ≥14. 一次函数1y ax b =+与2y cx d =+的图象如图所示，下列结论中正确的有（ ）．①对于函数y ax b =+来说，y 随x 的增大而减小②函数y ax d =+的图象不经过第一象限③3d b a c −−=④d a b c <++A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 15. 如图所示，直线223y x =+分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为边，在第二象限内作等腰直角ABC ∆，90BAC ∠=︒，则过B ，C 两点直线的解析式为（ ）． A ．123y x =−+ B ．125y x =−+ C ．124y x =−+ D ．22y x =−+16. 如图，四边形ABCD 是边长为4的正方形，点E 在边CD 上，且1DE =，作//EF BC 分别交AC ,AB 于点G ,F ，点P ,H 分别是AG ,BE 的中点，则PH 的长是（ ）．A ．2B ．2.5C ．3D ．417. 如图，已知四边形ABCD 为正方形，AB =点E 为对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF DE ⊥，交BC 延长线于点F ，以DE ，EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．在下列结论中：①矩形DEFG 是正方形； ②2CE CG +=；③CG 平分DCF ∠； ④CE CF =．其中正确的结论有( )A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①②③④18. 如图，已知直线:AB y =+分别交x 轴，y 轴于点B ，A 两点，(3,0)C ，D ，E 分别为线段AO 和线段AC上一动点，BE 交y 轴于点H ，且AD CE =．当BD BE+的值最小时，则H 点的坐标为（ ）．A ．B ．(0,5)C ．(0,4)D ．阅读下述材料，解决第19-20题:在平面直角坐标系xOy 中，对于点()11,P x y ，给出如下定义：当点()22,Q x y 满足1212x x y y +=+时，称点Q 是点P 的等和点．已知点()2,0P ．依照定义，点()()()()12341,1,0,2,3,1,2,4Q Q Q Q −−−均是点P 的等和点.19. 已知点A 在直线6y x =−+上，若点P 的等和点也是点A 的等和点，则点A 的坐标为（ ）．A ．()3,1B ．()2,4C ．()3,3D ．()4,220. 已知点(),0B b 和线段MN ，对于以点B 为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T 上的点C ，线段MN 上总存在线段PC 上每个点的等和点．若MN 的最小值为5，则b 的取值范围为 ．。

北 京 市 第 四 中 学 -----------八年级下数学期中试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．不等式x 4316+>的正整数解的个数是（ ）(A) 1个 (B) 3个 (C) 4个 (D) 无数个 2.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） (A)(a+3)(a-3)=a 2-9 (B)x 2+x-5=(x-2)(x+3)+1 (C) x 2+1=x(x+x1) (D) a 2b+ab 2=ab(a+b)3. 使分式1122+-x x 有意义的x 的取值为（ ）(A)x≠±1 ; (B)x≠1; (C) x≠-1; (D) x 为任意实数 .4. 把△ABC 的各边分别扩大为原来的3倍，得到△A ′B ′C ′，下列结论不能成立的是（ ）A ．△ABC ∽△A ′B ′C ′B ．△ABC 与△A ′B ′C ′的各对应角相等C ．△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为41 D ．△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为315．如果32-a 是多项式942-+ma a 的一个因式，则m 的值是（ ）A ．0B ．6C ．12D ．—126． 如果（m+3）x >2m+6的解集为x < 2，则m 的取值范围是（ ）(A)m<0 (B) m<-3 (C)m>-3 (D)m 是任意实数 7． 解关于x 的方程113-=--x m x x 产生增根，则常数m 的值等于（ ）(A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 2.8.下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）9.若矩形的半张纸与整张纸相似，那么整张纸的长是宽的（ ）A.2B.4倍C.2倍D.3倍第11题A B C D10．在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时1ν千米，下坡时的速度为每小时2ν千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是（ ）千米/时 A 、221v v + B 、2121v v v v + C 、21212v v v v + D 、无法确定二、填空题（每小题3分，共24分） 11．当x=1时,分式nx m x -+2无意义，当x=4时分式的值为零, 则n m +=__________.12．①若x:y:z=3:4:5 则zy x z y x ++-+234= 。

北京四中八年级（上）期中数学试卷一、选择（每小题3分，共30分）1．（3分）下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（）A．x2﹣x﹣2=x（x﹣1）﹣2B．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1C．x2﹣4x+4=（x﹣2）2D．x﹣1=x（1﹣）2．（3分）下列不适合全面调查的是（）A．老师检查全班同学完成作业情况B．人口普查C．汽车公司检测安全气囊在撞击时的保护作用D．机场安检3．（3分）用科学记数法表示0.00003082为（）A．3.082×10﹣5B．308.2×10﹣7C．0.3082×10﹣4D．30.82×10﹣64．（3分）已知x≠0，等于（）A．B．C．D．5．（3分）已知，如图AB=CD，BC=AD，∠B=23°，则∠D=（）A．67°B．46°C．23°D．不能确定6．（3分）已知一个样本27，23，25，27，29，31，27，30，32，28，31，28，26，27，29，18，24，26，27，30，那么频数为8的范围是（）A．24.5～26.5B．26.5～28.5C．28.5～30.5D．30.5～32.5 7．（3分）下列各式正确的有（）（1）；（2）；（3）；（4）．A．1个B．2个C．3个D．4个8．（3分）如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，如果∠BAF=60°，那么∠DAE等于（）A．60°B．45°C．30°D．15°9．（3分）以图中方格纸的3个格点为顶点画出三角形，不全等的三角形有（）种．A．8B．9C．10D．1110．（3分）若三角形的三条边的长分别为a，b，c，且a2b﹣a2c+b2c﹣b3=0，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形二、填空（每小题4分，共24分）11．（4分）当x时，分式的值为正数；当x时，分式的值为﹣1．12．（4分）写出中间过程及结果：+（）0=+ =．13．（4分）如图，已知BD是△ABC的中线，CF是△BCD的中线，AE∥CF交BD 的延长线于点E．若△ADE的面积为3，则△ABC的面积是．14．（4分）为使x2+bx+5在整数范围内可以分解因式，则b可能取的值为．15．（4分）如图，AD是△ABC的角平分线，若AB：AC=5：3，则S△ABD：S△ACD=，进而BC：CD=．16．（4分）已知△ABC如图，现将△ABC绕点B逆时针旋转，使点A落在射线BP上，求作△A′C′B．作法：在BP上截BA′=BA，以点B为圆心、BC为半径作弧，以点A′为圆心、AC 为半径作弧，两弧在射线BP右侧交于点C′，则△A′C′B即为所求．请简述操作原理：．三、解答（共46分）17．因式分解：（1）x2y﹣4y（2）﹣x3+x（2x﹣1）18．分式化简：（1）（2）．19．解方程：（1）+=2﹣（2）（）x﹣1×（）2x﹣3=．20．先化简，再求值：（﹣2）÷，其中a2﹣4=0．21．如图，OC是∠AOB的角平分线，点P、F在OC上，PD⊥AO于点D，PE⊥BO于点E，连接DF、EF．求证：DF=EF．22．列方程解应用题：在生产操作中，有些化工原料对人体有害，所以需要用机器人来搬运．现有A、B两种机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等，则两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？23．将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种．24．我市中小学全面开展“阳光体育”活动，某校在大课间中开设了A：体操，B：跑操，C：舞蹈，D：健美操四项活动，为了解学生最喜欢哪一项活动，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有人．（2）请将统计图2补充完整．（3）统计图1中B项目对应的扇形的圆心角是度．（4）已知该校共有学生3600人，请根据调查结果估计该校喜欢健美操的学生人数．25．小明做数学作业时遇到一道证明题：求证三角形的三条角平分线交于一点．小明首先根据题意画出图形如图1．然后他将原命题转化为：已知：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点I，求证：AI是．（1）请帮小明补全命题的结论：AI是；（2）结合图2，补全下面证明过程（括号中填写定理内容）作IP⊥BC于点P，IQ⊥AC于点Q，IR⊥AB于点R．∵BI平分∠ABC，IP⊥BC，IR⊥AB∴IP=IR（）同理：∴IQ=IR又∵IQ⊥AC，IR⊥AB∴（）（3）根据上述结论，完成下述作图任务：如图3，有一张矩形纸片，上面画有一个角的两边m，n，但是这个角的顶点P 在纸片的外部，试在纸片上作出∠P的平分线．（要求：尺规作图，不得折纸，不得超出矩形纸片，保留作图痕迹，不必写作法）26．在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（8，0），AB=10，如图作∠DBO=∠ABO，∠CAy=∠BAO，直线CD过点O．（1）写出线段AC、BD的关系；（2）动点P从A出发，沿A﹣O﹣B路线运动，速度为1，到B点处停止；动点Q从B出发，沿B﹣O﹣A运动，速度为2，到A点处停止．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PE⊥CD于点E，QF⊥CD 于点F．问两动点运动多长时间时△OPE与△OQF全等？B卷27．已知n是整数，且|n2+2n﹣224|是质数，则n=．28．如图，△ABC中，AB=AC，∠B=∠C=40°，点E、F在BC边上，∠AEF=70°，∠AFE=60°，求线段BE、EF、CF围成的三角形的各内角度数．29．在笔直的公路上，一只老虎想捕获距离它14米远的一只兔子．老虎跑5步的距离，兔子要跑9步；老虎跑3步的时间，兔子能跑4步．问老虎能否追上兔子．如果能追上，求老虎跑多远追上；如果不能追上，叙述理由．30．“三角形的三条角平分线交于一点”，这点I叫做△ABC的内心，显然内心I 到三角形三边的距离相等，这个距离叫做三角形的“内切圆半径”，记作r，下面我们来讨论r的求法（1）已知，如图1，△ABC的三边长AB=c，AC=b，BC=a，面积为S，则S=S△IAB+S△IBC +S△IAC=∴r=（用a、b、c、S表示）（2）特别地，在Rt△ABC中∠ACB=90°，如图2，（1）中结论仍然成立，而S=故r=（用a、b、c表示），记作①式；另外，容易证明四边形IPCQ为正方形，即CP=CQ=r，所以可以得到r的另一种表达方式r=（用a、b、c表示），记作②式；由上述①式②式相等，请继续推导直角三角形中a、b、c的关系．北京四中八年级（上）期中数学试卷参考答案一、选择（每小题3分，共30分）1．C；2．C；3．A；4．D；5．C；6．B；7．A；8．D；9．A；10．A；二、填空（每小题4分，共24分）11．＜8；≤0且不等于﹣3；12．﹣50；1；﹣49；13．12；14．±6；15．5：3；8：3；16．三边分别相等的两个三角形全等；三、解答（共46分）17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．500；54；25．∠BAC的角平分线；∠BAC的角平分线；角的平分线上的点，到角两边的距离相等；IP=IQ；AI平分∠BAC；到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上；26．；B卷27．﹣15或﹣17或15或13；28．；29．；30．；；；；。

2023-2024学年北京四中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．（2分）下列博物院的标识中是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．（2分）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）A．B．C．D．3．（2分）下列计算正确的是（ ）A．（4ab）2＝4a2b2B．a2⋅a3＝a6C．a2+a2＝a4D．（﹣3a3b）2＝9a6b24．（2分）如图，△ABC被木板遮住了一部分，其中AB＝6，则AC+BC的值不可能是（ ）A．11B．9C．7D．55．（2分）根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）A．B．C．D．6．（2分）如图，已知AD∥BC，欲用“边角边”证明△ABC≌△CDA，需补充条件（ ）A．AB＝CD B．∠B＝∠D C．AD＝CB D．∠BAC＝∠DCA 7．（2分）如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连接CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连接AP，则∠PAH的度数（ ）A．随着θ的增大而增大B．随着θ的增大而减小C．不变D．随着θ的增大，先增大后减小8．（2分）用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面，并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的三个“半正密铺”图案可以依次用记号（4，8，8），（3，6，3，6），（3，3，4，3，4）表示．下列记号中，不能表示“半正密铺”图案的是（ ）A．（3，12，12）B．（3，4，6，4）C．（3，3，4，12）D．（3，4，3，3，6）二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9．（2分）计算：（π﹣3.14）0＝ ；＝ ．10．（2分）要使分式有意义，则x的取值范围是 ．11．（2分）一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是 边形．12．（2分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°，则等腰三角形的顶角等于 ．13．（2分）如图，∠ABC＝60°，AB＝3，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是直角三角形时，t ＝ ．14．（2分）有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和10，则正方形A，B的面积之和为 ．15．（2分）数学课上，老师提出问题：任画两条长度不等的线段a、b，利用“尺规作图”作Rt△ABC使所画线段分别为三角形的一条直角边和斜边．在交流讨论环节，小明看到小勇所作之图如下，请你回答下列问题：所以，Rt△ABC为所求作的三角形．（1）在以下作图步骤中，小勇的作图顺序可能是 ；（只填序号）①以点B为圆心，BA的长为半径画弧，交射线AG于点D；②画直线BF；③分别以点A，D为圆心，大于线段AB的长为半径画弧，交于点F；④以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，交直线BF于点C，连接AC；⑤画射线AG，并在AG上截取线段AB＝a．（2）∠ABC＝90°的理由是 ．16．（2分）在等边△ABC中，M、N、P分别是边AB、BC、CA上的点（不与端点重合），对于任意等边△ABC，下面四个结论中：①存在无数个△MNP是等腰三角形；②存在无数个△MNP是等边三角形；③存在无数个△MNP是等腰直角三角形；④存在一个△MNP在所有△MNP中面积最小．所有正确结论的序号是 ．二、解答题（本大题共8小题，第17题每小题24分，共24分，第18，19，20，21，23题每题6分，第22，24题每题7分，共68分）17．（24分）（1）计算：；（2）计算：20222﹣2020×2024 （需简便运算）；（3）计算：（15x2y﹣10xy2）÷5xy；（4）计算：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）；（5）因式分解：（x+m）2﹣（x+n）2；（6）因式分解：3ax2+6axy+3ay2．18．（6分）如图，A，C，D三点共线，△ABC和△CDE落在AD的同侧，AB∥CE，BC＝DE，∠B＝∠D，求证：（1）△ABC≌△CDE；（2）AB+CE＝AD．19．（6分）先化简：，再从0，﹣1，﹣2，2中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．20．（6分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC顶点都在网格线的交点上，点A坐标为（﹣4，﹣1），点B坐标为（﹣1，﹣1），点C坐标为（﹣3，3）．（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（2）请写出点B关于x轴对称点的坐标为 ；（3）点P在y轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，则点P的坐标为 ．21．（6分）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：原文释义甲乙丙为定直角．如图2，∠ABC为直角，以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；乙与己及庚相连作线．以点B 为圆心，以任意长为半径画弧，交射线BA ，BC 分别于点D ，E ；以点D 为圆心，以BD 长为半径画弧与交于点F ；再以点E 为圆心，仍以BD 长为半径画弧与交于点G ；作射线BF ，BG ．（1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；（2）根据（1）完成的图，直接写出∠DBG ，∠GBF ，∠FBE 的大小关系．22．（7分）如图（1），等边△ABC 中，D 是AB 边上的动点，以CD 为一边，向上作等边△EDC ，连接AE ．（1）△DBC 和△EAC 会全等吗？请说说你的理由；（2）试说明AE ∥BC 的理由；（3）如图（2），将（1）动点D 运动到边BA 的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE ∥BC ？证明你的猜想．23．（6分）阅读下列材料：对于多项式x 2+x ﹣2，如果我们把x ＝1代入此多项式，发现x 2+x ﹣2的值为0，这时可以确定多项式中有因式（x﹣1）；同理，可以确定多项式中有另一个因式（x+2），于是我们可以得到：x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）．又如：对于多项式2x2﹣3x﹣2，发现当x＝2时，2x2﹣3x﹣2的值为0，则多项式2x2﹣3x﹣2 有一个因式（x﹣2），我们可以设2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（mx+n），解得m＝2，n＝1．于是我们可以得到：2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（2x+1）请你根据以上材料，解答以下问题：（1）当x＝ 时，多项式6x2﹣x﹣5的值为0，所以多项式6x2﹣x﹣5有因式 ，从而因式分解6x2﹣x﹣5＝ ；（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式：x3﹣7x+6．24．（7分）如图1，已知△ABC是等边三角形，点E在射线AB上，且∠ACE＝2α，在射线CE上取点D使得CD＝CA，连接AD并延长交射线CB于点F．（1）当0°＜2α＜60°时，①∠DAB＝ ；（请用含α的代数式表示）②求证：CE+BE＝CF；（2）当60°＜2α＜120°时，请根据题意补全图2，并写出线段CE，BE，CF间的数量关系 ．第二部分附加题（共10分）25．（5分）找规律．第1组：，42+32＝52；第2组：，82+152＝172；第3组：，122+352＝372；……（1）请写出第4组等式 ， ；（2）请写出第n组等式 ， ；（3）若k2+96032＝96052（k＞0）则k＝ ．26．（5分）为了比较两个实数的大小，常用的方法是判定这两个数的差的符号，我们称这种方法为“作差比较法”．要比较两个代数式的大小，同样可以采用类似的方法．因此，可以利用不等式比较大小．如果要证明A＞B，只需要证明A﹣B＞0；同样的，要证明A ＜B，只需要证明A﹣B＜0．例如：小明对于命题：任意的实数a和b，总有a2+b2≥2ab，当a＝b并且只有a＝b时，等号成立，给出了如下证明：证明：∵a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，∴a2+b2≥2ab，当a＝b并且只有a＝b时，等号成立．（1）请仿照小明的证明方法，证明如下命题：若a，b，x，y≥0，且a≥x，则（a﹣x）2+（b﹣y）2≤（a+b﹣x）2+y2．（2）若a1≥a2≥……≥a n≥0，b1≥b2≥……≥b n≥0，且a1+a2+……+a n＝b1+b2+……+b n＝1，求（a1﹣b1）2+（a2﹣b2）2+……+（a n﹣b n）2的最大值．2023-2024学年北京四中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：B．2．【解答】解：△ABC的边AB上的高是经过点C与AB垂直，故选：A．3．【解答】解：A．（4ab）2＝16a2b2，故A错误，不符合题意；B．a2⋅a3＝a5，故B错误，不符合题意；C．a2+a2＝2a2，故C错误，不符合题意；D．（﹣3a3b）2＝9a6b2，故D正确，符合题意．故选：D．4．【解答】解：在△ABC中，AC+BC＞AB，∵AB＝6，∴AC+BC＞6，∴AC+BC的值不可能是5，故选：D．5．【解答】解：原式＝﹣＝，故选：D．6．【解答】解：添加的条件是AD＝CB，理由是：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SAS），故选：C．7．【解答】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，∴BC＝BP＝BA，∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP，∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°，∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°，∴∠PAH的度数是定值，故选：C．8．【解答】解：A、∵正三角形一个内角为60°，正十二边形一个内角为150°，60°+2×150°＝360°，∴（3，12，12）可以得到“半正密铺”图案，故不符合题意；B、∵正三角形一个内角为60°，正方形一个内角为90°，正六边形一个内角为120°，60°+2×90°+120°＝360°，∴（3，4，6，4）可以得到“半正密铺”图案，故不符合题意；C、∵2×60°+90°+150°＝360°，∴（3，3，4，12）可以得到“半正密铺”图案，故不符合题意；D、3×60°+90°+120°＝390°≠360°，∴（3，4，3，3，6）不可以得到“半正密铺”图案，故符合题意；故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9．【解答】解：（π﹣3.14）0＝1；＝．故答案为：0；﹣．10．【解答】解：∵x﹣3≠0，∴x≠3．故答案为：x≠3．11．【解答】解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝150°•n，解得n＝12．故多边形是十二边形．12．【解答】解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是70°；当高在三角形外部时（如图2），顶角是110°．故答案为：70°或110°．13．【解答】解：分两种情况：①当∠APB＝90°时，过A作AP⊥BC于点P，∵∠ABC＝60°，AB＝3，∴BP＝，∵动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，∴t＝；②当∠BAP＝90°时，过A作P'A⊥AB交BC于点P'，∵∠ABC＝60°，AB＝3，∴BP'＝6，∵动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，∴t＝6，综上所述，当△ABP是直角三角形时，t＝或6，故答案为：或6．14．【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1即a2+b2﹣2ab＝1，由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝10，2ab＝10，所以a2+b2＝11，故答案为：11．15．【解答】解：（1）⑤①③②④，故答案为：⑤①③②④；（2）∠ABC＝90°的理由是：等腰三角形的三线合一；故答案为：等腰三角形的三线合一．16．【解答】解：如图1中，满足AM＝BN＝PC，可证△PMN是等边三角形，这样的三角形有无数个．如图2中，当NM＝NP，∠MNP＝90°时，△MNP是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个（见图3）．故①②③正确，△PNM的面积不存在最小值（面积可以接近O，没有最小值）．故答案为①②③．二、解答题（本大题共8小题，第17题每小题24分，共24分，第18，19，20，21，23题每题6分，第22，24题每题7分，共68分）17．【解答】解：（1）原式＝﹣6a3b2；（2）原式＝20222﹣（2022﹣2）×（2022+2）＝20222﹣（20222﹣22）＝20222﹣20222+22＝4；（3）原式＝15x2y÷5xy﹣10xy2÷5xy＝3x﹣2y；（4）原式＝4x2+12xy+9y2﹣（4x2﹣y2）＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2＝12xy+10y2；（5）（x+m）2﹣（x+n）2＝（x+m+x+n）（x+m﹣x﹣n）＝（2x+m+n）（m﹣n）；（6）3ax2+6axy+3ay2＝3a（x2+2xy+y2）＝3a（x+y）2．18．【解答】证明：（1）∵AB∥CE，∴∠A＝∠ECD，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS）；（2）∵△ABC≌△CDE；∴AC＝CE，AB＝CD，∴AB+CE＝CD+AC＝AD．19．【解答】解：＝＝．∵x≠±2且x≠0，∴x＝﹣1时，．20．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）B（﹣1，﹣1）关于x轴的对称点的坐标为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）；（3）设P（0，m），由题意×3×|m+1|＝×3×4，∴m＝3或﹣5，∴P（0，3）或（0，﹣5）．故答案为：（0，3）或（0，﹣5）．21．【解答】解：（1）如图，射线BG，BF即为所求．（2）∠DBG＝∠GBF＝∠FBE．理由：连接DF，EG，则BD＝BF＝DF，BE＝BG＝EG，即△BDF和△BEG均为等边三角形，∴∠DBF＝∠EBG＝60°，∵∠ABC＝90°，∴∠DBG＝∠GBF＝∠FBE＝30°．22．【解答】解：（1）△DBC和△EAC会全等证明：∵∠ACB＝60°，∠DCE＝60°∴∠BCD＝60°﹣∠ACD，∠ACE＝60°﹣∠ACD ∴∠BCD＝∠ACE在△DBC和△EAC中，∵，∴△DBC≌△EAC（SAS），（2）∵△DBC≌△EAC∴∠EAC＝∠B＝60°又∠ACB＝60°∴∠EAC＝∠ACB∴AE∥BC（3）结论：AE∥BC理由：∵△ABC、△EDC为等边三角形∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE在△DBC和△EAC中，∵，∴△DBC≌△EAC（SAS），∴∠EAC＝∠B＝60°又∵∠ACB＝60°∴∠EAC＝∠ACB∴AE∥BC．23．【解答】解：（1）当x＝1时，6x2﹣x﹣5＝6×12﹣1﹣5＝0，所以多项式6x2﹣x﹣5有因式x﹣1，即6x2﹣x﹣5＝（x﹣1）（6x+5）．故答案为：1，x﹣1，（x﹣1）（6x+5）；（2）当x＝1时，x3﹣7x+6＝13﹣7×1+6＝0，所以x3﹣7x+6＝（x﹣1）（x2+x﹣6）＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）．24．【解答】（1）①解：∵CD＝CA，∴∠CAD＝∠CDA，∵∠ACE＝2α，∴∠CAD＝（180°﹣2α）＝90°﹣α，∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB＝60°，∴∠DAB＝∠CAD﹣∠CAB＝90°﹣α﹣60°＝30°﹣α，故答案为：30°﹣α；②证明：在CF上截取CM＝CE，连接DM，BD，∵∠ABC＝60°，∠DAB＝30°﹣α，∴∠F＝60°﹣（30°﹣α）＝30°+α，∵CD＝CB，∠DCM＝∠BCE，CM＝CE，∴△CMD≌△CEB（SAS），∴∠CMD＝∠CEB，DM＝BE，∴∠DEB＝∠DMF，∵∠DEB＝∠DAB+∠CDA＝120°﹣2α，∴∠DMF＝120°﹣2α，∴∠MDF＝180°﹣30°﹣α﹣120°+2α＝30°+α，∴∠F＝∠MDF，∴DM＝MF，∴BE＝MF，∴CF＝CM+MF＝CE+BE；（2）解：补全图形如下：在CE上截取CN＝CF，连接BN，BD，则CA＝CB＝CD，同（1）可知△BCN≌△DCF（SAS），∴∠CNB＝∠CFD，∴∠BNE＝∠BFD，∵∠BCE＝2α﹣60°，CD＝CB＝CA，∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣2α）＝90°﹣α，∴∠DAB＝60°﹣（90°﹣α）＝α﹣30°，∴∠E＝∠CDA﹣∠DAB＝120°﹣2α，∵∠CFD＝90°﹣α+60°＝150°﹣α，∴∠CNB＝150°﹣α，∴∠BNE＝30°+α，∴∠NBE＝180°﹣∠BNE﹣∠E＝30°+α，∴∠BNE＝∠NBE，∴BE＝NE，∴CE＝NC+NE＝CF+BE．故答案为：CE＝CF+BE．第二部分附加题（共10分）25．【解答】解：∵第1组：，42+32＝52；第2组：，82+152＝172；第3组：，122+352＝372；∴（1）请写出第4组等式，162+632＝652；故答案为：，（2）请写出第n组等式＝，（4n）2+（4n2﹣1）2＝（4n2+1）2；故答案为：＝，（4n）2+（4n2﹣1）2＝（4n2+1）2；（3）∵k2+96032＝96052（k＞0），设x+（x+2）＝k，则x（x+2）＝9603，解得x＝97，k＝196，故答案为：196．26．【解答】（1）证明：由题意得，（a﹣x）2+（b﹣y）2﹣（a+b﹣x）2﹣y2＝（a﹣x）2﹣（a+b﹣x）2+（b﹣y）2﹣y2＝（a﹣x+a+b﹣x）（a﹣x﹣a﹣b+x）+（b﹣y+y）（b﹣y﹣y）＝﹣b（2a+b﹣2x）+b（b﹣2y）＝b（﹣2a﹣b+2x+b﹣2y）＝2b（x﹣a﹣y）．∵a，b，x，y≥0，且a≥x，∴x﹣a≤0，﹣y≤0．∴x﹣a﹣y≤0．∴2b（x﹣a﹣y）≤0．∴（a﹣x）2+（b﹣y）2﹣（a+b﹣x）2﹣y2≤0．∴（a﹣x）2+（b﹣y）2≤（a+b﹣x）2+y2．（2）解：设a1≥b1，∵b1≥b2≥……≥b n≥0，b1+b2+……+b n＝1，∴b1≥．又++……+≤+b1b2+……+b1b n＝b1（b1+b2+……+b n）＝b1，∴b1（a1+a2+……+a n）＝a1b1+b1（a2+……+a n）≤a1b1+a1（a2+……+a n）≤a1b1+a2b2+…+a n b n+a1a2+a2a3+……+a n﹣1a n．∴a1b1+a2b2+…+a n b n≥b1（a2+……+a n）﹣（a1a2+a2a3+……+a n﹣1a n）．∴（a1﹣b1）2+（a2﹣b2）2+……+（a n﹣b n）2＝（++……+）﹣2（a1b1+a2b2+…+a n b n）+（++……+）≤（++……+）﹣2b1（a1+a2+……+a n）+2（a1a2+a2a3+……+a n﹣1a n）+b1＝（a1+a2+……+a n）2﹣2b1+b1＝1﹣2b1+b1＝1﹣b1≤1﹣＝．∴（a1﹣b1）2+（a2﹣b2）2+……+（a n﹣b n）2的最大值为．。