2016届辽宁省沈阳市东北育才学校高考数学模拟试卷(文科)(八)(解析版)

东北育才学校高中部2015—-2016学年度高三第八次模拟考试文科数学试题 第Ⅰ卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1。

为了解育才中学学生的体重状况，打算抽取一个容量为n 的样本，已知该校高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3:2,现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，那么样本容量n 为 A 。

50 B.45 C 。

40 D.202.若命题:p 2,13x R x x ∃∈+>，则p ⌝是 A.20,13x R x x ∃∈+≤ B.2,13x R x x ∀∈+≤ C.2,13x R x x ∀∈+< D.2,13x R x x ∀∈+>3。

复数i z +=1，则=+zz11 A 。

1 B 。

1- C.i D.i - 4。

已知集合}2,1,0,1,2{--=A ，},)1(|{N n n x x B n∈+-==,则=B AA 。

}2,0{B 。

}2,1,0{C 。

}2,1,0,2{-D 。

}2,1,0,1,2{-- 5.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺，高一丈一尺。

问积几何？答曰：二千一百一十二尺。

术曰:周自相乘，以高乘之，十二而一” 。

这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘，以高乘之,十二而一。

”就是说：圆堡瑽(圆柱体）的体积为：V ＝112×(底面的圆周长的平方×高）．则由此可推得圆周率π的取值为A.3B.3.14 C 。

3.2 D 。

3.3 6。

执行如图所示的程序框图，如果输出S=3,那么判断框内应填入的条件是A ．k ≤6B ．k ≤7C ．k ≤8D ．k ≤9 7。

已知函数()f x =41,0,cos2,0x x x x ⎧+>⎨≤⎩则下列结论正确的是 A.()f x 是偶函数 B 。

()f x 是增函数C 。

辽宁省沈阳市东北育才学校2016届高三数学上学期第二次模拟考试试题理答题时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.集合，，则（）A B.C.D.2.函数的定义域为（）A. B.C. D.3.命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A.若α≠，则tanα≠1B.若α=，则tanα≠1C.若tanα≠1，则α≠D.若tanα≠1，则α=4.已知函数（其中）的图象如右图所示，则函数的图象是下图中的（）A B C D5.若函数的导函数，则使得函数单调递减的一个充分不必要条件是( )A．[0，1] B．[3，5] C．[2，3] D．[2，4]6.设若，则的值是( )A.-1B. 2C. 1D.-27.下面几个命题中，假命题是（）A.“若,则”的否命题；B.“，函数在定义域内单调递增”的否定；C.“是函数的一个周期”或“是函数的一个周期”；D .“”是“”的必要条件.8.设均为正数，且，，，则( )A..BC. D.9.如图，目标函数仅在封闭区域内（包括边界）的点处取得最大值，则的取值范围是（）A BC D10.若定义在上的函数满足：对于任意有，且时，有，设在区间上的最大值，最小值分别为，则的值为（）A. B.C. D.11.函数，则下列说法中正确命题的个数是（）①函数有3个零点；②若时，函数恒成立，则实数的取值范围是；③函数的极大值中一定存在最小值；④，，对于一切恒成立．A. B.C. D.12.已知函数在上非负且可导,满足，，则下列结论正确的是（）A. B.C.D.第II卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，则________；14．不等式组表示的平面区域为，若对数函数上存在区域上的点，则实数的取值范围是__________.15.关于的方程的两实根为，若，则的取值范围是________ 16．如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数。

2016年辽宁省沈阳市东北育才学校高考数学模拟试卷（文科）（八）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.为了解某高级中学学生的体重状况，打算抽取一个容量为n的样本，已知该校高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，那么样本容量n为（）A.50B.45C.40D.20【答案】B【解析】解：∵高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，∴由分层抽样性质，得：，解得n=45．故选：B．利用分层抽样性质求解．本题考查样本容量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用．2.若命题p：∃x0∈R，x02+1＞3x0，则￢p是（）A.∃x0∈R，x02+1≤3x0B.∀x∈R，x2+1≤3xC.∀x∈R，x2+1＜3xD.∀x∈R，x2+1＞3x【答案】B【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题．所以，命题p：∃x0∈R，x02+1＞3x0，则￢p是∀x∈R，x2+1≤3x，故选B．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．3.设z=1+i（是虚数单位），则+=（）A.1B.-1C.iD.-i【答案】A【解析】解：z=1+i（是虚数单位），则+===1．故选：A．利用复数的除法运算法则化简复数为a+bi的形式即可．本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．4.已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|x=（-1）n+n，n∈N}，则A∩B=（）A.{0，2}B.{0，1，2}C.{-2，0，1，2}D.{-2，-1，0，1，2}【答案】B【解析】解：∵A={-2，-1，0，1，2}，B={x|x=（-1）n+n，n∈N}={0，1，2，…}，∴A∩B={0，1，2}，故选：B．求出B中x的值确定出B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为：V=×（底面的圆周长的平方×高）．则由此可推得圆周率π的取值为（）A.3B.3.14C.3.2D.3.3【答案】A【解析】解：由题意，圆柱体底面的圆周长20尺，高4尺，∵圆堡瑽（圆柱体）的体积V=×（底面的圆周长的平方×高），∴V=×（202×4）=，∴∴π=3，R=，故选：A．由题意，圆柱体底面的圆周长20尺，高4尺，利用圆堡瑽（圆柱体）的体积V=×（底面的圆周长的平方×高），求出V，再建立方程组，即可求出圆周率π的取值．本题考查圆柱体底面的圆周长、体积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．6.执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）A.k≤6B.k≤7C.k≤8D.k≤9【答案】B【解析】解：根据程序框图，运行结果如下：S k第一次循环log233第二次循环log23•log344第三次循环log23•log34•log455第四次循环log23•log34•log45•log566第五次循环log23•log34•log45•log56•log677第六次循环log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=38故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7．故选B．根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题．7.已知函数f（x）=，＞，，则下列结论正确的是（）A.f（x）是偶函数B.f（x）是增函数C.f（x）是周期函数D.f（x）的值域为[-1，+∞）【答案】D【解析】解：当x≤0时，f（x）=cos2x不是单调函数，此时-1≤cos2x≤1，当x＞0时，f（x）=x4+1＞1，综上f（x）≥-1，即函数的值域为[-1，+∞），故选：D根据函数的性质分别进行判断即可．本题主要考查函数性质的判断，根据条件判断函数的单调性和值域的关系是解决本题的8.如图，在一个不规则多边形内随机撒入200粒芝麻（芝麻落到任何位置的可能性相等），恰有40粒落入半径为1的圆内，则该多边形的面积约为（）A.4πB.5πC.6πD.7π【答案】B【解析】解：设该多边形的面积为S，则，∴S=5π，故选B．由几何概型概率计算公式，以面积为测度，可求该阴影部分的面积．本题考查概率的性质和应用，每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型．解题时要认真审题，合理地运用几何概型解决实际问题．9.已知不等式组的解集记为D，则对∀（x，y）∈D使得2x-y取最大值时的最优解是（）A.（2，1）B.（2，2）C.3D.4【答案】A【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设z=2x-y，则y=2x-z，平移直线y=2x-z，由图象可知当直线y=2x-z经过点C时，直线y=2x-z的截距最小，此时z最大．即，即C（2，1），故使得2x-y取最大值时的最优解是（2，1），故选：A．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10.若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为（）A. B. C.1 D.2【答案】D解：∵等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，∴设此等比数列的首项为a1，公比为q前4项之和为S，前4项之积为P，前4项倒数之和为M，若q=1，则，无解；若q≠1，则S=，M==，P=a14q6，∴（）4=（a12q3）4=a18q12，P2=a18q12，∴P2=（）4，∵，，∴前4项倒数的和M===2．故选：D．设此等比数列的首项为a1，公比为q，前4项之和为S，前4项之积为P，前4项倒数之和为M，由等比数列性质推导出P2=（）4，由此能求出前4项倒数的和．本题考查等比数列的前4项倒数的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．11.tan20°+4sin20°的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：tan20°+4sin20°=°°°°=°°°=°°°°=°°°°=°°°=°°°=°°°=2sin60°=．故选B．首先利用弦切互化公式及正弦的倍角公式对原式进行变形，再两次运用和差化积公式，同时结合正余弦互化公式，转化为特殊角的三角函数值，则问题解决．本题考查三角函数的化简求值，解决本题要注意两点，一是函数名的变化（切化弦），二是如何将已知角用特殊角表示．考查转化思想，计算能力．12.已知A，B分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点，不同两点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当+ln|m|+ln|n|取最小值时，椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设P（x0，y0），则Q（x0，-y0），=．A（-a，0），B（a，0），则m=，n=，∴mn==，∴=++=，令=t＞1，则f（t）=+-2lnt．f′（t）=+1+t-=，可知：当t=时，函数f（t）取得最小值=++-2ln=2+1-ln2．∴=．∴=．故选：D．设P（x0，y0），则Q（x0，-y0），y02=．A（-a，0），B（a，0），利用斜率计算公式肯定：mn=，+ln|m|+ln|n|=++ln=，令=t＞1，则f （t）=+t+-2lnt．利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.过原点作曲线y=e x的切线，则切线方程为______ ．【答案】y=ex【解析】解：y′=e x设切点的坐标为（x0，e x0），切线的斜率为k，则k=e x0，故切线方程为y-e x0=e x0（x-x0）又切线过原点，∴-e x0=e x0（-x0），∴x0=1，y0=e，k=e．则切线方程为y=ex故答案为y=ex．欲求切点的坐标，先设切点的坐标为（x0，e x0），再求出在点切点（x0，e x0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=x0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用切线过原点即可解决问题．本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．14.某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为______ ．【答案】25π【解析】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2．则长方体外接球半径为r，则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．故答案为：25π．几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3．则长方体的对角线为外接球的直径．本题考查了长方体的三视图，长方体与外接球的关系，属于中档题．15.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，b=3，c=2，若点D为线段BC上靠近B的一个三等分点，则AD= ______ ．【答案】【解析】解：在△ABC中，由余弦定理得cos B==．在△ABD中，BD==．由余弦定理得：AD2=BD2+AB2-2BD•AB•cos B=．∴AD=．故答案为：．利用余弦定理求出cos B，再利用余弦定理解出AD．本题考查了余弦定理的应用，属于中档题．16.已知函数F（x）=e x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，若∀x∈（0，2]使得不等式g（2x）-ah（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是______ ．【答案】∞，【解析】解：∵函数F（x）=e x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，∴e x=g（x）+h（x），e-x=g（x）-h（x），∴g（x）=，h（x）=．∵∀x∈（0，2]使得不等式g（2x）-ah（x）≥0恒成立，即-a•≥0恒成立，∴a≤==（e x-e-x）+，设t=e x-e-x，则函数t=e x-e-x在（0，2]上单调递增，∴0＜t≤e2-e-2，此时不等式t+≥2，当且仅当t=，即t=时，取等号，∴a≤2，故答案为：∞，．根据函数的奇偶性求出g（x），h（x）的表达式，然后将不等式恒成立进行参数分离，利用基本不等式进行求解即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的应用，以及不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决不等式恒成立问题的基本方法，本题使用了基本不等式进行求解最值，综合性较强，运算量较大，属于中档题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.设数列{a n}的前n项和为S n，且2a n=S n+2．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列b n=，其前n项和为T n，求T n．【答案】解：（Ⅰ）当n=1时，由2a1=S1+2=a1+2，得a1=2．当n≥2时，由，以及a n=S n-S n-1，两式相减可得，则数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，故；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，故其前n项和化简可得T n=-．【解析】（Ⅰ）运用n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n-S n-1，结合等比数列的通项公式，计算即可得到所求；（Ⅱ）求得b n=-，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．本题考查数列的通项的求法，注意运用n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n-S n-1，以及等比数列的通项公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，属于中档题．18.在某学校一次考试的语文与历史成绩中，随机抽取了25位考生的成绩进行分析，25位考生的语文成绩已经统计在茎叶图中，历史成绩如下：（Ⅰ）请根据数据在茎叶图中完成历史成绩统计；（Ⅱ）请根据数据完成语文成绩的频数分布表及语文成绩的频率分布直方图；语文成绩的频数分布表：（Ⅲ）设上述样本中第位考生的语文、历史成绩分别为i，i（=1，2，…，25）．通过对样本数据进行初步处理发现：语文、历史成绩具有线性相关关系，得到：=x i=86，=y i=64，（x i-）（y i-）=4698，（x i-）2=5524，≈0.85．①求y关于x的线性回归方程；②并据此预测，当某考生的语文成绩为100分时，该生历史成绩．（精确到0.1分）附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：==，=-．【答案】解：（Ⅰ）根据题意，在茎叶图中完成历史成绩统计，如图所示；（Ⅱ）语文成绩的频数分布表；语文成绩的频率分布直方图：；（Ⅲ）由已知得b=0.85，a=64-0.85×86=-9.1，∴y=0.85x-9.1，∴x=100时，y=75.9≈76，预测当某考生的语文成绩为100分时，该考生的历史成绩为76分．【解析】（Ⅰ）根据所给数据，可得历史成绩的茎叶图；（Ⅱ）根据所给数据，可得语文成绩的频数分布表及语文成绩的频率分布直方图；（Ⅲ）求出a，b，可得y关于x的线性回归方程，并据此预测当某考生的语文成绩为100分时，该考生的历史成绩．本题考查茎叶图、数学成绩的频数分布表及数学成绩的频率分布直方图，考查线性回归方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点．已知PD=，CD=4，AD=．（Ⅰ）若∠ADE=，求证：CE⊥平面PDE；（Ⅱ）当点A到平面PDE的距离为时，求三棱锥A-PDE的侧面积．【答案】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在R t△DAE中，AD=，∠ADE=，∴AE=AD•tan∠ADE=•=1．又AB=CD=4，∴BE=3．在R t△EBC中，BC=AD=，∴tan∠CEB==，∴∠CEB=．又∠AED=，∴∠DEC=，即CE⊥DE．∵PD⊥底面ABCD，CE⊂底面ABCD，∴PD⊥CE．∴CE⊥平面PDE．…（6分）（Ⅱ）∵PD⊥底面ABCD，PD⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面ABCD．如图，过A作AF⊥DE于F，∴AF⊥平面PDE，∴AF就是点A到平面PDE的距离，即AF=．在R t△DAE中，由AD•AE=AF•DE，得AE=•，解得AE=2．∴S△APD=PD•AD=××=，S△ADE=AD•AE=××2=，∵BA⊥AD，BA⊥PD，∴BA⊥平面PAD，∵PA⊂平面PAD，∴BA⊥PA．在R t△PAE中，AE=2，PA===，∴S△APE=PA•AE=××2=．∴三棱锥A-PDE的侧面积S侧=++．…（12分）【解析】（Ⅰ）在R t△DAE中，求出BE=3．在R t△EBC中，求出∠CEB=．证明CE⊥DE．PD⊥CE．即可证明CE⊥平面PDE．（Ⅱ）证明平面PDE⊥平面ABCD．过A作AF⊥DE于F，求出AF．证明BA⊥平面PAD，BA⊥PA．然后求出三棱锥A-PDE的侧面积S侧=++．本题考查直线与平面垂直，几何体的体积的求法，考查计算能力，空间想象能力．20.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x+y+2-1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称，设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4．（i）求k1k2的值；（ii）求OB2+OC2的值．【答案】解：（1）设椭圆C的右焦点F2（c，0），则c2=a2-b2（c＞0），由题意，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为（x-c）2+y2=a2，∴圆心到直线x+y+2-1=0的距离①，∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，∴，a=2c，代入①式得，，，，故所求椭圆方程为；（2）（i）设B（x1，y1），C（x2，y2），则D（-x1，-y1），于是=；（ii）由（i）知，，故．∴，即，∴．又=，故．∴OB2+OC2=．【解析】（1）设出椭圆右焦点坐标，由题意可知，椭圆右焦点F2到直线x+y+2-1=0的距离为a，再由椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形得到a，b，c的关系，结合焦点F2到直线x+y+2-1=0的距离为a可解得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（2）（i）由题意设B（x1，y1），C（x2，y2），则D（-x1，-y1），由两点求斜率公式可得是，把纵坐标用横坐标替换可得答案；（ii）由k1k2=k3k4．得到．两边平方后用x替换y可得．结合点B，C在椭圆上得到．则OB2+OC2的值可求．本题考查椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，体现了整体运算思想方法，考查化归与转化思想方法，是中档题．21.设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）-零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+，∴f′（x）=；∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数；∴x=e时，f（x）取得极小值为f（e）=lne+=2；（Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）-=--（x＞0），令g（x）=0，得m=-x3+x（x＞0）；设φ（x）=-x3+x（x＞0），∴φ′（x）=-x2+1=-（x-1）（x+1）；当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数，当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数；∴x=1是φ（x）的极值点，且是极大值点，∴x=1是φ（x）的最大值点，∴φ（x）的最大值为φ（1）=；又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象，如图；可知：①当m＞时，函数g（x）无零点；②当m=时，函数g（x）有且只有一个零点；③当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；综上，当m＞时，函数g（x）无零点；当m=或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；（Ⅲ）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）-b＜f（a）-a恒成立；设h（x）=f（x）-x=lnx+-x（x＞0），则h（b）＜h（a）．∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）=--1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥-x2+x=-+（x＞0），∴m≥；对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；∴m的取值范围是[，+∞）．【解析】（Ⅰ）m=e时，f（x）=lnx+，利用f′（x）判定f（x）的增减性并求出f（x）的极小值；（Ⅱ）由函数g（x）=f′（x）-，令g（x）=0，求出m；设φ（x）=m，求出φ（x）的值域，讨论m的取值，对应g（x）的零点情况；（Ⅲ）由b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）-b＜f（a）-a恒成立；即h（x）=f（x）-x在（0，+∞）上单调递减；h′（x）≤0，求出m的取值范围．本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题，是难题．22.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，切点为A，PB交AC于点E，交⊙O于点D，PA=PE，∠ABC=45°，PD=1，DB=8．（1）求△ABP的面积；（2）求弦AC的长．【答案】解：（1）因为PA是⊙O的切线，切点为A，所以∠PAE=∠ABC=45°，…（1分）又PA=PE，所以∠PEA=45°，∠APE=90°…（2分）因为PD=1，DB=8，所以由切割线定理有PA2=PD•PB=9，所以EP=PA=3，…（4分）所以△ABP的面积为BP•PA=…（5分）（2）在R t△APE中，由勾股定理得AE=3…（6分）又ED=EP-PD=2，EB=DB-DE=8-2=6，所以由相交弦定理得EC•EA=EB•ED=12…（9分）所以EC==2，故AC=5…（10分）【解析】（1）利用圆的切线的性质，结合切割线定理，求出PA，即可求△ABP的面积；（2）由勾股定理得AE，由相交弦定理得EC，即可求弦AC的长．本题考查圆的切线的性质、切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23.在直角坐标系x O y中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【答案】解：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x-1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．（II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q，．联立，解得或．∴P，．∴|PQ|=．【解析】（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x-1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简即可得到此圆的极坐标方程．（II）由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知识与基本方法，属于中档题．24.已知函数f（x）=|x+2|-|x-1|．（Ⅰ）试求f（x）的值域；（Ⅱ）设＞若对∀s∈（0，+∞），∀t∈（-∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，试求实数a的取值范围．【答案】＜解：（Ⅰ）函数可化为，＞∴f（x）∈[-3，3]（5分）（Ⅱ）若x＞0，则，即当ax2=3时，，又由（Ⅰ）知∴f（x）max=3（8分）若对∀s∈（0，+∞），∀t∈（-∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，即g（x）min≥f（x）max，∴，∴a≥3，即a的取值范围是[3，+∞）．（10分）【解析】（1）将含有绝对值的函数转化为分段函数，再求分段函数的值域；（2）恒成立问题转化成最小值最大值问题，即g（x）min≥f（x）max．将含参不等式恒成立问题等价转化为函数最值问题运用参数分离法使原不等式化为一端只含参数的解析式，另一端化为与参数无关的主变元函数，这样函数的关系就由“隐”化为“显”．。

2016年辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2﹣3x+2＞0}，则M∩（∁R N）＝（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2} 2．（5分）a为正实数，i为虚数单位，，则a＝（）A．2B．C．D．13．（5分）已知向量，，则3|＝（）A．83B．63C．57D．234．（5分）设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a1＝2a8﹣3a4，则＝（）A．B．C．D．5．（5分）如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值6．（5分）如图1，将水平放置且边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使C到C′位置．折叠后三棱锥C′﹣ABD的俯视图如图2所示，那么其主视图是（）A．等边三角形B．直角三角形C．两腰长都为的等腰三角形D．两腰长都为的等腰三角形7．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x﹣4y的取值范围是（）A．[﹣11，3）B．[﹣11，3]C．（﹣11，3）D．（﹣11，3] 8．（5分）已知x、y取值如表：从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且＝bx+0.6，则b＝（）A．0.95B．1.00C．1.10D．1.159．（5分）设函数f（x）＝，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）B．[﹣1，2]C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．[﹣2，1]10．（5分）一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（）A．B．C．D．111．（5分）设函数f（x）＝e x+x﹣2，g（x）＝lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）＝0，g（b）＝0，则（）A．0＜g（a）＜f（b）B．f（b）＜g（a）＜0C．f（b）＜0＜g（a）D．g（a）＜0＜f（b）12．（5分）已知F1、F2分别是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于P、Q两点，|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，且∠F1PF2＝120°，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸中横线上．13．（5分）过原点向圆x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0引切线，则切线方程为．14．（5分）已知在△ABC中，AC＝AB＝4，BC＝6，若点M在△ABC的三边上移动，则线段AM的长度不小于的概率为．15．（5分）若，则＝．16．（5分）已知{a n}为各项为正数的等比数列，其中S5＝3，S15＝21，则S20＝．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）f（x）＝在区间上的值域．18．（12分）某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（Ⅱ）计算甲班的样本方差；（Ⅲ）现从乙班身高不低于173cm的同学中选取两人，求身高176cm的同学被抽中的概率．19．（12分）在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，G、F分别为EO、EB中点，且AB＝CE．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：CG⊥平面BDE；（Ⅲ）若AB＝1，求三棱锥F﹣ACE的体积．20．（12分）椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，点，且F2在线段PF1的中垂线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A（2，0）且斜率为k的直线l与椭圆C交于D、E两点，点F2为椭圆的右焦点，求证：直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值．21．（12分）已知函数，g（x）＝xlnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥0恒成立，求实数a的取值的集合M；（Ⅲ）当a∈M时，讨论函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的单调性．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（10分）（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B 作圆O的切线交直线AD于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD＝∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE＝AE•DC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣cosθ＝0，点．以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为﹣1的直线l 过点M，且与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a＝3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．2016年辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2﹣3x+2＞0}，则M∩（∁R N）＝（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【解答】解：M＝{0，1，2}，N＝{x|x2﹣3x+2＞0}＝{x|x＞2或x＜1}，∴∁R N＝{x|1≤x≤2}，M∩（∁R N）＝{1，2}，故选：D．2．（5分）a为正实数，i为虚数单位，，则a＝（）A．2B．C．D．1【解答】解：∵＝1﹣ai∴||＝|1﹣ai|＝＝2即a2＝3由a为正实数解得a＝故选：B．3．（5分）已知向量，，则3|＝（）A．83B．63C．57D．23【解答】解：∵，，∴，，∴．故选：A．4．（5分）设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a1＝2a8﹣3a4，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列的公差为d，则∵a1＝2a8﹣3a4，∴a1＝2（a1+7d）﹣3（a1+3d），∴a1＝，∴＝＝＝．故选：A．5．（5分）如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值【解答】解：由秦九韶算法，S＝a0+x0（a1+x0（a2+a3x0）），故选：C．6．（5分）如图1，将水平放置且边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使C到C′位置．折叠后三棱锥C′﹣ABD的俯视图如图2所示，那么其主视图是（）A．等边三角形B．直角三角形C．两腰长都为的等腰三角形D．两腰长都为的等腰三角形【解答】解：由俯视图可知，平面C′BD⊥平面ABD，则其主视图如图所示，则为等腰三角形．其腰长为＝，故选：C．7．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x﹣4y的取值范围是（）A．[﹣11，3）B．[﹣11，3]C．（﹣11，3）D．（﹣11，3]【解答】解：∵变量x，y满足约束条件，目标函数为：z＝3x﹣4y，直线x﹣y+2＝0与x+y﹣8＝0交于点A（3，5），直线x+y﹣8＝0与x﹣5y+10＝0交于点B（5，3），分析可知z在点A处取得最小值，z min＝﹣11，z在点B处取得最大值，z max＝15﹣12＝3，∴﹣11≤z＜3，故选：A．8．（5分）已知x、y取值如表：从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且＝bx+0.6，则b＝（）A．0.95B．1.00C．1.10D．1.15【解答】解：由题意知，，，从而代入回归方程有b＝1.10，故选：C．9．（5分）设函数f（x）＝，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）B．[﹣1，2]C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．[﹣2，1]【解答】解：当x＞2时，函数f（x）＝2x+a为增函数，则f（x）＞f（2）＝4+a，当x≤2时，函数f（x）＝log（﹣x）+a2为增函数，则f（x）≤f（2）＝log（﹣2）+a2＝log+a2＝2+a2，要使函数f（x）的值域为R，则4+a≤2+a2，即a2﹣a﹣2≥0，则a≥2或a≤﹣1，故选：A．10．（5分）一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（）A．B．C．D．1【解答】解：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a2+h2＝4≥2ah，∴ah≤，当且仅当h＝a＝时取等号，∴正四棱柱的侧面积S＝4ah≤4，∴该正四棱柱的侧面积最大时，h＝，a＝1，故选：D．11．（5分）设函数f（x）＝e x+x﹣2，g（x）＝lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）＝0，g（b）＝0，则（）A．0＜g（a）＜f（b）B．f（b）＜g（a）＜0C．f（b）＜0＜g（a）D．g（a）＜0＜f（b）【解答】解：∵y＝e x和y＝x﹣2是关于x的单调递增函数，∴函数f（x）＝e x+x﹣2在R上单调递增，分别作出y＝e x，y＝2﹣x的图象如右图所示，∴f（0）＝1+0﹣2＜0，f（1）＝e﹣1＞0，又∵f（a）＝0，∴0＜a＜1，同理，g（x）＝lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，g（）＝+（）2﹣3＝＞0，又∵g（b）＝0，∴1，∴g（a）＝lna+a2﹣3＜g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，f（b）＝e b+b﹣2＞f（1）＝e+1﹣2＝e﹣1＞0，∴g（a）＜0＜f（b）．故选：D．12．（5分）已知F1、F2分别是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于P、Q两点，|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，且∠F1PF2＝120°，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设|F1P|＝m，由双曲线的定义可得|F2P|＝|F1P|+2a＝m+2a，由|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，可得2|F2P|＝|F1P|+|F1Q|，即有|F1Q|＝2（2a+m）﹣m＝4a+m，可得|PQ|＝4a，由双曲线的定义，可得|F2Q|＝|F1Q|﹣2a＝m+2a，由∠F1PF2＝120°，可得∠QPF2＝60°，即有△QPF2为等边三角形，可得m+2a＝4a，解得m＝2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|cos120°，即为4c2＝4a2+16a2﹣2•2a•4a•（﹣），即有4c2＝28a2，即c＝a，可得e＝＝．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸中横线上．13．（5分）过原点向圆x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0引切线，则切线方程为或x ＝0．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1，则圆心为（1，2），半径R＝1，若切线斜率k不存在，即x＝0时，满足条件．若切线斜率k存在，则设切线方程为y＝kx，即kx﹣y＝0，圆心到直线的距离d＝＝1，得|k﹣2|＝，平方得k2﹣4k+4＝1+k2，即k＝，此时切线方程为，综上切线方程为：或x＝0，故答案为：或x＝0．14．（5分）已知在△ABC中，AC＝AB＝4，BC＝6，若点M在△ABC的三边上移动，则线段AM的长度不小于的概率为．【解答】解：若线段AM的长度不小于，则M在线段BE，BF，CG，CD上，其中AE＝AE＝，∵AH＝，∴FH＝＝＝1，则FG＝2，三角形的周长l＝4+4+6＝14，则BE+BF+CG+CD＝14﹣﹣﹣2＝12﹣4，则线段AM的长度不小于的概率P＝＝故答案为：15．（5分）若，则＝．【解答】解：，则＝cos（2α+）＝2cos2（α+）﹣1＝2×﹣1＝，故答案为：．16．（5分）已知{a n}为各项为正数的等比数列，其中S5＝3，S15＝21，则S20＝45．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵S5＝3，S15＝21，∴S5，S10﹣S5，S15﹣S10，S20﹣S15，成等比数列，∴，＝（S10﹣S5）（S20﹣S15），∴，解得S10＝9，∴（21﹣9）2＝（9﹣3）×（S20﹣21），解得S20＝45．故答案为：45．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）f（x）＝在区间上的值域．【解答】解：（Ⅰ）由（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab，得：a2+b2﹣c2＝ab，∴，∴在△ABC中，；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∴＝＝＝，∵，∴，∴，∴，∴函数f（x）的值域为．18．（12分）某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（Ⅱ）计算甲班的样本方差；（Ⅲ）现从乙班身高不低于173cm的同学中选取两人，求身高176cm的同学被抽中的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由茎叶图可知：乙班平均身高较高．…（3分）（Ⅱ）cm…（5分）甲班的样本方差为：s2＝+（171﹣170）2+（179﹣170）2+（179﹣170）2+（182﹣170）2]＝57.2…（8分）（Ⅲ）身高不低于173cm的情况分别是173cm、176cm、178cm、178cm、181cm．取出两人的基本事件空间为：Ω＝{（173，176），（173，178），（173，178），（173，181），（176，178），（176，178），（176，181），（178，178），（178，179），（179，181）}，共10种情况．…（10分）身高176cm同学被抽到的事件空间为：{（173，176），（176，178），（176，178），（176，181）}，共4中情况．∴所求事件的概率为．…（12分）19．（12分）在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，G、F分别为EO、EB中点，且AB＝CE．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：CG⊥平面BDE；（Ⅲ）若AB＝1，求三棱锥F﹣ACE的体积．【解答】证明：（Ⅰ）连结OF，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O则O为BD的中点，又∵F是EB中点，∴OF是△BDE的中位线，∴OF∥DE，∵DE⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，∴DE∥平面ACF；（Ⅱ）∵EC⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴EC⊥BD，∵BD⊥AC，且AC∩CE＝C，∴BD⊥平面ACE，∵CG⊂平面ACE，∴CG⊥BD，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，且，∴，在△OCE中，G是EO中点，∴CG⊥EO，∵EO∩BD＝E，∴CG⊥平面BDE；解：（Ⅲ）∵AB＝1，∴，∵F是EB中点，且EC⊥底面ABCD，∴．20．（12分）椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，点，且F2在线段PF1的中垂线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A（2，0）且斜率为k的直线l与椭圆C交于D、E两点，点F2为椭圆的右焦点，求证：直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c，则F2（c，0）且a2＝b2+c2，由点P，且F2在线段PF1的中垂线上，得|PF2|＝|F1F2|，则，解得c＝1，…（2分）又∵，∴，所以b＝1，∴所求椭圆C的方程为．…（4分）证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知F2（1，0），由题意可设直线l：y＝k（x﹣2）与椭圆的交点D（x1，y1）、E（x2，y2）…（5分）由，得，整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2＝0，则，且，…（8分）＝＝…（9分）∵2x1x2﹣3（x1+x2）+4＝＝…（11分）∴，即直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值0．…（12分）21．（12分）已知函数，g（x）＝xlnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥0恒成立，求实数a的取值的集合M；（Ⅲ）当a∈M时，讨论函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的单调性．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴f'（4）＝e2，又∵f（4）＝e2，∴函数f（x）在点（4，f（4））的切线方程为y﹣e2＝e2（x﹣4），即y＝e2x﹣3e2；…（3分）（Ⅱ）由g（1）＝0及题设可知，对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）恒成立，∴函数g（x）＝xlnx﹣a（x﹣1）必在x＝1处取得极小值，即g'（1）＝0，…（4分）∵g'（x）＝lnx+1﹣a，∴g'（1）＝1﹣a＝0，即a＝1，…（5分）当a＝1时，g'（x）＝lnx，∴x∈（0，1），g'（x）＜0；x∈（1，+∞），g'（x）＞0，∴g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，则g（x）min＝g（1）＝0…（6分）∴对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）＝0恒成立，符合题意，即a＝1，∴M＝{1}；…（7分）（Ⅲ）由（Ⅱ）a＝1，∴函数，其定义域为（0，+∞），求得，…（8分）令m（x）＝h'（x），为区间（0，+∞）上的增函数，…（9分）设x0为函数m'（x）的零点，即，则，∵当0＜x＜x0时，m'（x）＜0；当x＞x0时，m'（x）＞0，∴函数m（x）＝h'（x）在区间（0，x0）上为减函数，在区间（x0，+∞）上为增函数，∴，∴函数h（x）在区间（0，+∞）上为增函数．…（12分）[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（10分）（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B 作圆O的切线交直线AD于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD＝∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE＝AE•DC．【解答】证明：（Ⅰ）∵BE为圆O的切线，∴∠EBD＝∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠EBD＝∠CAD，∵∠CBD＝∠CAD，∴∠EBD＝∠CBD；（Ⅱ）在△EBD和△EAB中，∠E＝∠E，∠EBD＝∠EAB，∴△EBD∽△EAB，∴，∴AB•BE＝AE•BD，∵AD平分∠BAC，∴BD＝DC，∴AB•BE＝AE•DC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣cosθ＝0，点．以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为﹣1的直线l 过点M，且与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积．【解答】解：（Ⅰ）x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρsin2θ﹣cosθ＝0得ρ2sin2θ＝ρcosθ．∴y2＝x即为曲线C的直角坐标方程；点M的直角坐标为（0，1），直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数）即（t为参数）．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程得，即，，设A、B对应的参数分别为t1、t2，则，又直线l经过点M，故由t的几何意义得点M到A，B两点的距离之积|MA|•|MB|＝|t1||t2|＝|t1•t2|＝2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a＝3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝3时，，当x＞2时，1﹣x＞0，即x＜1，解得x∈φ；当时，5﹣3x＞0，即，解得；当时，x﹣1＞0，即x＞1，解得；综上所述，不等式的解集为．（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，⇔2﹣x﹣|2x﹣a|＜0，⇔2﹣x＜|2x ﹣a|恒成立，⇔2﹣x＜2x﹣a或2x﹣a＜x﹣2恒成立，或x＜a﹣2恒成立．∴当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2①，或a＞x+2②恒成立，解①，a不存在；解②得：a≥4．综上知，a≥4．。