第五章 矩阵分析本章将介绍矩阵微积分的一些内容．包括向量与矩阵序列的收敛性、矩阵的三种导数和矩阵微分与积分的概念，首先简要介绍向量与矩阵范数的有关知识．§5.1 向量与矩阵的范数从计算数学的角度看，在研究计算方法的收敛性和稳定性问题时，范数起到了十分重要的作用．一、向量的范数定义1 设V 是数域F 上n 维(数组)向量全体的集合，x 是定义在V 上的一个实值函数，如果该函数关系还满足如下条件1)非负性 对V 中任何向量x ，恒有0x ≥，并且仅当0=x 时，才有x =0；2)齐次性 对V 中任意向量x 及F 中任意常数k ，有;x k kx = 3)三角不等式 对任意V y x ∈,，有y x y x +≤+，则称此函数x (有时为强调函数关系而表示为⋅) 为V 上的一种向量范数．例1 对n C 中向量()T n x x x x ,,,21 =，定义222212nx x x x+++=＝H x x ，则2x 为n C 上的一种向量范数[i x 表示复数i x 的模]，称为2-范数．证 首先，2n x C 是上的实值函数，并且满足1)非负性 当0x ≠时，0x >；当0x =时，0x =； 2)齐次性 对任意k C ∈及n x C ∈，有2221222||||||||n kx kx kx kx k x =+++= ；3)三角不等式 对任意复向量1212(,,,),(,,,)T T n n x x x x y y y y == ，有222221122||||||||n n x y x y x y x y +=++++++2221122()()()n n x y x y x y ≤++++++22111||2||||||nnni i i i i i i x x y y ====++∑∑∑ (由Cauchy-ВуНЯКОВСКИЙ不等式)222222222||||2||||||||||||(||||||||),x x y y x y ≤++=+因此 222||||||||||||x y x y +≤+． 所以2||||x 确为n C 上的一种向量范数． 例2 对n C [或n R ]上向量12(,,,)T n x x x x = 定义 112||||||||||n x x x x =+++ ， 1m a x i i nxx ∞≤≤=，则1||||x 及x ∞都是n C [或n R ]上的向量范数，分别称为1-范数和∞-范数．证 仅对后者进行证明． 1)非负性 当0x ≠时，max 0i ixx ∞=>，又显然有00∞=；2)齐次性 对任意向量()T n x x x x ,,,21 =及复数k ， m a x m a x ;i i iikxkx kx k x∞∞===3)三角不等式 对任意向量1212(,,,),(,,,),T T n n x x x x y y y y ==()i i ii i iy x y x yx +≤+=+∞max maxi ii iy x m a x m a x+≤ =∞∞+y x ．综上可知∞x 确为向量范数．上两例中的∞x x x ,,21是常用的三种向量范数．一般地，对于任何不小于1的正数p ，向量()T n x x x x ,,,21 =的函数pni p i px x11⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑= 也构成向量范数，称为向量的p -范数．注：(1)当1p =时，1pxx =；(2)当2p =时，2x 为2-范数，它是酉空间范数；当i x 为实数时，12221()ni i x x ==∑为欧氏空间范数．由p -范数的存在，可知向量的范数有无穷多种，而且向量的范数并不仅限于p -范数．在验证向量的范数定义中，三角不等式的过程中常涉及到两个著名的不等式，即1、Hölder 不等式 设正实数,p q 满足111,p q+=则对任意的,,n x y C ∈有 11111()()nnnp q pqi ii i i i i x yx y ===≤∑∑∑．2、Minkowski 不等式 对任意实数1p ≥，及,,n x y C ∈有111111()()()nnnpp ppppi i i i i i i x y x y ===+≤+∑∑∑．例3 设()Tx 1,,1,1 =为n 维向量，则1,,21===∞xn x n x ．各种范数值差距很大．但是，各种范数之间却存在着内在的制约关系，称为范数的等价性．定理1 设βα⋅⋅,为有限维线性空间V 的任意两种向量范数(它们不限于p -范数)，则存在正的常数12,C C ，使对一切向量x ，恒有βαβx C xxC 21≤≤． (1)证 如果范数x α和x β都与一固定范数，譬如2-范数2x 满足式(1)的关系，则这两种范数之间也存在式(1)的关系，这是因为若存在正常数12,C C ''和12,C C ''''，使 1222122,C x x C x C xx C x αββ''≤≤''''≤≤成立，则显然有1122||||||||||||C C x x C C x βαβ''''''≤≤． 令111222,C C C C C C ''''''==，则得式(1)，因此只要对2β=证明式(1)成立即可．设V 是n 维的，它的一个基是12,,,n x x x ，于是V 中的任意向量x 可表示为1122n n x x x x ξξξ=+++ ．从而，1122n n x x x x ααξξξ=+++ 可视为n 个变量12,,,n ξξξ 的函数，记为12(,,,)n x αϕξξξ= ，易证12(,,,)n ϕξξξ 是连续函数，事实上，若令1122n n x x x x V ξξξ''''=+++∈ ，则 12(,,,)n x αϕξξξ''''= ． 1212(,,,)(,,,)n n x x x x αααϕξξξϕξξξ'''''-=-≤-11111()()nn n nn n x x x x αααξξξξξξξξ''''=-++-≤-++- ． 由于ix α(1,2,,)i n = 是常数，因此i ξ'与i ξ充分接近时，12(,,,)n ϕξξξ''' 就与12(,,,)n ϕξξξ 充分接近，所以12(,,,)n ϕξξξ 是连续函数．所以在有界闭集{}2221212(,,,)1n S ξξξξξξ=+++= 上，函数12(,,,)n ϕξξξ 可达到最大值2C 及最小值1C ．因为在S 中，i ξ不能全为零，所以10C >．记向量1212222nn y x x x xxxξξξ=+++，则其坐标分量满足222122221nxxxξξξ+++= ，因此，y S ∈．从而有11122220,,n C yC x x x αξξξϕ⎛⎫<≤=≤ ⎪ ⎪⎝⎭．但2,xy x =故122x C C x α≤≤．即 1222C x x C x α≤≤．二、矩阵的范数定义2 设V 是数域F 上所有n m ⨯矩阵的集合，A 是定义在V 上的一个实值函数，如果该函数关系还满足如下条件：对V 中任意矩阵A 、B 及F 中任意常数k 总有1)非负性 0≥A ，并且仅当0=A 时，才有0=A ；2)齐次性 A k kA =；3)三角不等式 B A B A +≤+， 则称()⋅A是V 上的一种矩阵范数．例4 对n m C ⨯(或n m R ⨯)上的矩阵()ij A a =定义∑∑===m i nj ij M a A111，∑∑===mi nj ijM a A1122，11max ij M i m j nAa ∞≤≤≤≤=，则∞⋅⋅⋅M M M ,,21都是n m C ⨯(或n m R ⨯)上的矩阵范数．实用中涉及较多的是方阵的范数，即m n =的情形．定义 3 设F 是数域，⋅是n n F ⨯上的方阵范数．如果对任意的,n n A B F ⨯∈，总有AB A B ≤⋅，则说方阵范数⋅具有乘法相容性．注意 在某些教科书上，往往把乘法相容性直接纳入方阵范数的定义中作为第4个条件，在读书时，只要注意到各自定义的内涵就可以了．例5 对n n C ⨯上的矩阵][ij a A =，定义ij nj i a n A ≤≤⋅=,1max ，则⋅是一种矩阵范数，并且具备乘法相容性．证 非负性与齐次性显然成立，另两条证明如下． 三角不等式ij ij b a n B A +⋅=+max()m a x m a x i j i j n a b ≤+B A +=； 乘法相容性⎪⎭⎫⎝⎛⋅≤⋅=∑∑==n k kj ik nk kj ik b a n b a n AB 11max max()()B A b n a n ij ij =⋅≤max max ， 证得A 为矩阵范数且具有乘法相容性．并不是所有的方阵范数都具有乘法相容性．例如对于22⨯R 上的方阵范数.M ∞就不具备相容性条件．此时ij j i M a A2,1max ≤≤=∞．取1110,0111A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有1==∞∞M M BA，而2M M M ABAB∞∞∞=>．定义4 如果n 阶矩阵A 的范数A 与n 维向量x 的范数x ，使对任意n 阶矩阵A 及任意n 维向量x 均有x AAx ≤，则称矩阵范数A 与向量范数x 是相容的．定理2 设x 是某种向量范数，对n 阶矩阵A 定义Ax xAx A x x 1max max=≠== (2)则A 为方阵范数，称为由向量范数x 导出的矩阵范数，而且它具有乘法相容性并且与向量范数x 相容．证 首先可证，由(2)式定义的函数关系||||A 满足与向量范数||||x 的相容性．对于任意n 阶矩阵A 及n 维向量x ，当0x ≠时，有0||||||||max ||||||||||||y Ax Ay A x y ≠≤=， 即 ||||||||||||;Ax A x ≤ (3) 而当0x =时，||||0||||||||Ax A x ==，于是总有(3)式成立．容易验证||||A 满足范数定义中的非负性、齐次性及三角不等式三个条件，因而A 是一种方阵范数．并且，对任意n 阶矩阵,A B ，利用(2)式和(3)式可得00maxmax max x x x A Bx ABx Bx AB A A B x x x≠≠≠=≤==．即说矩阵范数A 具备乘法相容性．一般地，把由向量p -范数p x 导出的矩阵范数记作p A ．下面看常用的三种矩阵范数例6 证明对n 阶复矩阵[]i j A a =，有 1)111max nij j ni A a ≤≤==∑，称为A 的列和范数．2)11max nij i nj A a ∞≤≤==∑，称为A 的行和范数．证 1)设111max n nij ik j ni i w a a ≤≤====∑∑．若A 按列分块为12(,,,)n A ααα=则111max k j j nw αα≤≤==．对任意n 维向量12(,,)T n x x x x = ，有112211221111112111()max .n n n nn jj nAx x x x x x x x x x x w ααααααα≤≤+++≤+++≤+++≤于是，对任意非零向量x 有11Ax w x ≤． 以下证明存在非零向量k e 使11k kAe w e =．事实上，设k e 是第k 个分量为1而其余分量全为0的向量，则1k e =1，且n=11k ik i Ae a w ==∑，即11k kAe w e =．2)的证明与1)相仿，留给读者去完成． 例7 证明对n 阶复矩阵A ，有21max i i nA σ≤≤=，这里()n i i ,,2,1 =σ是A 的奇异值，称此范数为A 的谱范数．证 设H A A 的全部特征根为12,,n λλλ ．不妨设11max i i nλλ≤≤=．于是111max i i nσλσ≤≤==．因为H A A 为H -矩阵，故有酉矩阵U ，使得12n (,),,H H U A AU diag λλλ=Λ= ．如设12(,,,)n U u u u = 则i u 是H A A 相应于特征根i λ的单位特征向量，即有,H i i i A A u u λ= 21iu =．对任意满足2||||1x =的复向量12(,,,)T n x x x x = ，有22||||()()H HAx Ax Ax x ==H U U x Λ．令H y U x =，则222222||||||||||||1H y U x x ===，说明y 亦为单位向量．若设12(,,,)T n y y y y = ，则2221||||||1nii y y ===∑，于是22211||||||n Hi i i Ax y y y λλ==Λ=≤∑．即有12Ax σ≤．由x 的任意性，便得21221max x A Ax σ==≤ ．特别取1x u =，则有211111112H H H Au u A Au u u λλ==＝，即112Au σ=．这说明2Ax 在单位球面{}21,n x x x C =∈上可取到最大值1σ，从而证明了21221max x A Ax σ===．各种矩阵范数之间也具有范数的等价性定理3 设,a A A β是任意两种矩阵范数，则有正实数12,,C C 使对一切矩阵A 恒有12a C AA C A ββ≤≤．§5.2 向量与矩阵序列的收敛性在这一节里，我们将把数列极限的概念，扩展到向量序列与矩阵序列上去．可数多个向量(矩阵)按顺序成一列，就成为一个向量(矩阵)序列．例如()()(12(,,,)k k k T k n x x x x = ，1,2,3,k = 是一个n 维向量序列，记为{}k x ，诸k x 的相应分量则形成数列{}k i x ．定义5 设有向量序列()()()12{}:(,,,)k k k Tk k n x x x x x = ．如果对1,2,,i n = ， 数列(){}k i x 均收敛且有()lim k i i k x x →∞=，则说向量序列{}k x 收敛．如记12(,,,)T n x x x x = ，则称x 为向量序列{}k x 的极限，记为lim k k x x →∞=，或简记为k x x →．如果向量序列{}k x 不收敛，则称为发散．类似于数列的收敛性质，读者不难证明向量序列的收敛具有如下性质．设{},{}k k x y 是n C 中两个向量序列，,a b 是复常数，n ,m A C ⨯∈如果l i m ,l i m k k k k x x y y →∞→∞==，则1lim();2lim .k k k k k ax by ax by Ax Ax →∞→∞>+=+>=定理4 对向量序列{}k x ，x x k =∞→k lim 的充分必要条件是0lim =-∞→x x k k ，其中⋅是任意一种向量范数．证 1)先对向量范数i ni x x≤≤∞=1max 证明定理成立．i k i k k k x x x x =⇔=∞→∞→)(lim lim ，n i ,...,2,1=；,0lim )(=-⇔∞→i k i k x x n i ,...,2,1=；0max lim )(1=-⇔≤≤∞→i k i ni k x x ；0lim =-⇔∞∞→xx k k ．2)由向量范数等价性，对任一种向量范数⋅，有正实数21,b b ，使∞∞-≤-≤-x x b x x x x b k k k 21．令∞→k 取极限即知lim 0lim 0k k k k x x x x∞→∞→∞-=⇔-=．于是定理对任一种向量范数都成立．根据上述定义，向量序列有极限的根本之处在于各分量形成的数列都有极限．由于m n C ⨯中矩阵可以看作一个mn 维向量，其收敛性可以和mn C 中的向量一样考虑．因此，我们可以用矩阵各个元素序列的同时收敛来规定矩阵序列的收敛性．定义6 设有矩阵序列{}n m k ij k k a A A ⨯=][:)(，如果对任何,(1,i j i m ≤≤1j ≤)n ≤均有ij k ij k a a =∞→)(lim ， 则说矩阵序列{}k A 收敛，如令n m ij a A ⨯=][，又称A 为{}k A 的极限．记为,lim A A k k =∞→或A A k →．矩阵序列不收敛时称为发散．讨论矩阵序列极限的性质，以下设所涉及的矩阵为n 阶矩阵． 1) 若A A k k =∞→lim ，{}k a 为数列且a a k k =∞→lim ，则()aA A a k k k =∞→lim ．特别，当a 为常数时，()k k k k A a aA ∞→∞→=lim lim ．2) 若A A k k =∞→lim ，B B k k =∞→lim ，则()B A B A k k k ±=±∞→lim ．3) 若A A k k =∞→lim ，B B k k =∞→lim ，则()AB B A k k k =∞→lim ．4) 若A A k k =∞→lim 且诸k A 及A 均可逆，则{}1-k A 收敛，并且11lim --∞→=A A k k ．容易证明性质1)-3)成立，对性质4)注意到行列式k A 值定义的和式无非是k A 中元素()(,1,2,,)k ij a i j n = 的乘法与加法之组合，再由lim k →∞(),k ij ij a a =即可知lim k k A A →∞=．用()k ij A 表示k A 中(,)i j 元素的代数余子式，用ij A 表示A 中(,i j )元素的代数余子式，便有()lim k ij ij k A A →∞=．进而 **lim k k A A →∞=．这里*k A 是k A 的伴随矩阵，*A 是A 的伴随矩阵．又*1kkk A A A -=， 所以*11lim kk A A A A--→∞==． 定理 5 对于矩阵序列{}k A ，lim k k A A →∞=的充分必要条件是对任何一种矩阵范数⋅，有lim 0k k A A →∞-=．定理5的证明与定理4类似，由于矩阵范数的等价性，只需证明对矩阵范数,max ij i jA a =定理成立，其方法也与定理4的证明一致，这里从略．以下主要介绍范数在特征值估计方面的应用．定义7 设n n A C ⨯∈，1,,,,j n λλλ 为A 的n 个特征值，称()max j jA ρλ=为A 的谱半径．有了谱半径的概念，可以对矩阵范数作如下的初步估计． 定理6 设n n A C ⨯∈，则对n n C ⨯上的任一矩阵范数⋅，皆有()A A ρ≤．证 设λ是A 的特征值，x 为A 的属于特征值λ的特征向量，故0x ≠，所以0x ≠．另设v ⋅是n C 上与矩阵范数⋅相容的向量范数，由Ax x λ=，应有v v Ax x λ=，而v v Ax A x ≤，于是有v v x A x λ≤，同除0v x ≠，有A λ≤．故max jA λ≤，于是()A A ρ≤．定理7 设n n A C ⨯∈，lim 0k k A →∞=的充分必要条件是()1A ρ<．证 对n n A C ⨯∈，由第三章定理15知，存在n 阶的逆矩阵P 使得112(,,,)s P AP J diag J J J -== ，其中10110i ii ii i i n n J λλλλ⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭， 则112(,,)k k k k k s P A P J diag J J J -== ．因此lim 0lim 0lim 0(1,2,,)k k k i k k k A J J i s →∞→∞→∞=⇔=⇔== ．而(1)11()()()()2(1)()()1()2()()i n k i k i k i k i i k i k i ki k i k i k i f f f f n f f J f f f λλλλλλλλλ-⎛⎫''' ⎪- ⎪' ⎪ ⎪⎪= ⎪'' ⎪ ⎪' ⎪⎪⎝⎭！！！，其中()k k f λλ=，因为对任一多项式(),g λ当k →∞时，()01k i i g λλ→⇔<．而1(1,2,,)()1i i s A λρ<=⇔< ．由定理6和定理7即得如下结果．定理8 设n n A C ⨯∈，如果存在n n C ⨯上的一种相容矩阵范数.使1A <，则lim k →∞0k A =．定理9 设λ是n 阶矩阵A 的任一特征根，那么对任一种矩阵范数⋅，都有A λ≤．证 设,A a =则0a ≥，对任意给定的0ε>，令AB a ε=+．于是，若设A 的全部特征根为12,,,,n λλλ 则B 的全部特征根恰是12,,,na a a λλλεεε+++ ．又11aB A a a εε==<++．由定理8知0k B →，再由定理６知1,1,2,,,ii n a λε<=+ 即,1,2,,.i a i n λε<+= 由ε的任意性，令0ε→取极限，便有,1,2,,.i a i n λ≤= 即知对任一特征根λ，有a λ≤．§5.3 矩阵的导数本节讨论三种导数：矩阵对变量的导数、函数对矩阵的导数、矩阵对矩阵的导数．一、函数矩阵对变量的导数如果矩阵中诸元素都是某实变量x 的函数，则称这种矩阵为函数矩阵．它的一般形式是()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a x A mn m m n n ， 其中()()1,2,,;1,2,,ij a x i m j n == 都是实变量x 的函数．定义8 设函数矩阵()[()]ij m n A x a x ⨯=，如果对一切正整数,i j ，1i m ≤≤1j n ≤≤，均有()0lim ij ij x x a x b →=，则说当0x x →时函数矩阵()A x 有极限，n m ij b B ⨯=][叫做()A x 的极限，记为()0lim x x A x B →=．该定义的实质是如果()A x 的所有各元素()ij a x 在0x 处都有极限，则说()A x 在0x 处有极限．如果()A x 的所有各元素()ij a x 在0x 处连续，即00lim ()()ij ij x x a x a x →=，(1,2,,;1,i m jn == ，则称()A x 在0x x =处连续，且记0lim ()()x x A x A x →=．如果()A x 在某区间[,]a b 上处处连续，则说()A x 在[,]a b 上连续．容易验证下列等式是成立的： 设()()0lim ,lim x x x x A x A B x B →→==，则(1)0lim(()())x x A x B x A B →±=±；(2)()0lim ()x x kA x kA →=；(3)()0lim ()()x x A x B x AB →=．定义9 对于函数矩阵()n m ij x a x A ⨯=)]([，如果所有元素ij a ()x (1,2,i =,;1,2,,)m j n = 在某点x 处[或在某区间上]均可导，则称()x A 在x 处[或在某区间上]可导．导数[或导函数]记为()dA x dx ，简记为()x A '．并规定 ()()()()()()()()()()()111212122212n n m m mn a x a x a x a x a x a x d A x A x dxa x a x a x '''⎛⎫ ⎪''' ⎪'== ⎪ ⎪ ⎪'''⎝⎭， 其中()ija x '表示()x a ij 对x 的一阶导数． 矩阵对变量的导数运算具有如下一些性质1°若函数矩阵()()x B x A ,都可导，则它们的和亦可导，并且()()[]()()x B dxd x A dx d x B x A dx d+=+． 2°若()x A 可导，()f x 是x 的可导函数，则()x f ()x A 可导，且()()[]()()()()x A dx d x f x A x f dx d x A x f dx d +⎥⎦⎤⎢⎣⎡=， 特别地，当()x f 为常数k 时，有()[]()x A dxd k x kA dx d=． 3°若()x A 可导，则()x A T 可导，并且()()TT dx x dA x A dx d ⎪⎭⎫ ⎝⎛=． 4°若()x A ，()x B 可导且二者可乘，则()x A ()x B 亦可导，且()()[]()()()()x B dx d x A x B x A dx d x B x A dx d +⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅． 推论 若()x A 可导，Q P ,为数字矩阵，则()[]()x A dxd P x PA dx d=， ()[]()Q x A dx d Q x A dx d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=． 5° 若()x A 为可逆的可导函数矩阵，则()x A 1-亦可导，且()[]()()()x A dxx dA x A x A dx d 111----=． 证 因为1()(),A x A x E -=所以111()()[()()]()()0d dA x dA x A x A x A x A x dx dx dx---=+=． 于是111()()()()dA x dA x A x A x dx dx---=-． 函数矩阵的导数本身也是一个函数矩阵，它可以再进行求导运算，下面我们给出函数矩阵对变量的高阶导数22()()()d A x d dA x dx dx dx =， 3232()()()d A x d d A x dx dx dx =，1()()()k k kd A x d d A x dx dx dx-=． 例1 设)(x A 为n 阶可导函数矩阵，求()x A 2的一、二阶导数． 解()()()[]()()()()x A x A x A x A x A x A dxdx A dx d '+'==2 [注意一般 2()2()()d A x A x A x dx'≠]()()()()()[]x A x A x A x A dx dx A dxd '+'=222()()()[]()()x A x A x A x A x A ''+'+''=22．例2 设()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t x t x t x x n21，其中()t x i 均为t 的可导函数，n n ij a A ⨯=][为n 阶实对称矩阵，求二次型Ax x T 对t 的导数．解 []()x A x x A x Ax x Ax x dtd T T T T'+'+'=．又A 为数字矩阵，故0='A ，又x A x T '为t 的函数．而有()()()Ax x x A x x A x x A x T T TT T T '='='='．所以()x A x Ax x dxd T T'=2． 二、函数对矩阵的导数定义10 设n m ij x X ⨯=][为多元实变量矩阵，()()1111,,,,,,n m mn f X f x x x x =是以X 中诸元素为变量的多元函数，并且偏导数ijx f∂∂()1,2,,;1,2,,i m j n == 都存在，则定义函数)(X f 对矩阵X 的导数为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=mn m m nn x f x f x f x f x f x f x f x f x f dX df212222111211． 特别，当X 为向量()Tn x x x x ,,,21 =时，函数()n x x x f ,,,21 对x 之导数为()x f x f x f x f dx df Tn ∇=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂=,,,21 ． 例3 设[]()∑∑==⨯==m i nj ij nm ijx X f x X 112,，求dXdf ． 解2,1,2,,;1,2,,ij ijfx i m j n x ∂===∂ ．X x x x x x x x x x dX df mn m m n n 2222222222212222111211=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=．例4 设1122,n n a x a x a x a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1122()T n n f x a x a x a x a x ==+++ ，则12n a a df a dx a ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭． 三、矩阵对矩阵的导数定义11 设矩阵n m kl a A ⨯=][中每一个元素kl a 都是矩阵q p ij b B ⨯=][中各元素(1,2,...,;1,2,...,)ij b i p j q ==的函数，当A 对B 中各元素都可导时，则称矩阵A 对矩阵B 可导，且规定A 对B 的导数为111212122212q q p p pq A A A b b b A A A dA b b b dB A A A b b b ∂∂∂⎛⎫ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂= ⎪⎪⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭， 其中111122212212n ij ij ij n ijij ij ij m m mn ijijij a a a b b b a a a A b b b b a a a b b b ∂∂∂⎛⎫⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂∂= ⎪∂⎪ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭，dBdA是一个nq mp ⨯矩阵．例5 设n m ij a A ⨯=][，求dAdA 解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=mn m m n n mn m m n n E E E E E E E E E a A a A a A a A a A a A a A a A a A dA dA212222111211212222111211． 这里),(j i E ij 是元素都是1，其余元素都是0的n m ⨯矩阵．例6 设()n x x x x ,,,21 =，()Tn y y y y ,,,21 =，其中()n i i x x x f y ,,,21 =，()m i ,,2,1 =．如果()1,2,,;1,2,i jy i m j n x ∂==∂ 都存在，则y 对x 可导且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂=n mm m n n n x y x y x y x y x y x yx y x y x y x y x y x y dx dy21222121211121,,． 例7 设12(,,,)n x x x x = ，求Tdx dx．解 111122221212n T n nn n n x x x x x x x x x dx x x x E dxx x x x x x ∂∂∂⎛⎫ ⎪∂∂∂ ⎪⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂== ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭． 以下我们考虑向量对向量的导数．设12(,,),n x x x x = 12n y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中12(,)(1,2,,).i i n y f x x x i m == 如果(1,2,,;1,2)ijy i m j n x ∂==∂ 都存在，则y 对x 可导，且 11112222121212(,,,)n n nm m m n y y y x x x y y y dy y y yx x x dx x x x y y y x x x ∂∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂==⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎣⎦(1) 在一些书上，往往对行向量和列向量不加区别，而规定任何一个m 维向量y 对另一个n 维向量x 的导数都以上面(1)式最后的矩阵形式来表达，这主要是为了应用的方便．例8 设数量函数()n x x x f y ,,,21 =的所有二阶偏导数都存在，记()Tn x x x x ,,,21 =，求梯度()dy f x dx ∇=，及海森[Hessian]矩阵22()d yH x dx=．解 12(),,,Tn dy y y y f x dx x x x ⎛⎫∂∂∂∇== ⎪∂∂∂⎝⎭． 222211212222221222222212()n n n n n yy y x x x x x yy y d y d dy H x x x x x x dx dx dx y y y x x x x x ⎛⎫∂∂∂ ⎪∂∂∂∂∂⎪ ⎪∂∂∂⎪⎛⎫===∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪ ⎪∂∂∂⎪∂∂∂∂∂⎝⎭． 当y 的所有二阶偏导数都连续时，Hessian 矩阵为n 阶对称矩阵．§5.4 矩阵的微分与积分定义12 当函数矩阵()[()]ij m n A x a x ⨯=可导时，其微分111212122212[]n n ij m nm m mn da da da da da da dA da da da da ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中()ij ij da a x dx '=． (1) 矩阵的微分实质上就是各个元素分别微分，因此，相应于每一个导数运算性质都可以得到一个关于微分的相应性质，例如();d A B dA dB +=+ ()();d AB dA B AdB =+();d kA kdA =(k 为常数)；()()()d fA df A f dA =+ (()f f x =为可微函数) 都是正确的．如果矩阵A 中每个元素都是以矩阵B 中诸元素为变量的多元函数，则称矩阵A 是矩阵B 的函数，记为()A B ．此时矩阵A 作为一个多元函数矩阵，它的全微分仍可按(1)式定义，只不过其中元素ij da 应该换成全微分，即11p qij ij kl k l kla da db b ==∂=∂∑∑，这里,p q 分别是矩阵B 的行数和列数．定义13 若函数矩阵()(())ij m n A x a x ⨯=的所有各元素()(1,2,,;ij a x i m = 1,2,,)j n = 都在[,]a b 上可积，则称()A x 在[,]a b 上可积，且111212122212()()()()()()()()()()nn m m mn bbb a x dx a x dx a x dx a a a bbba x dx a x dx a x dxb A x dx aa a ab b b a x dx a x dx a x dx a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰．函数矩阵的定积分有如下简单性质(1)()()b bkA x dx k A x dx a a=⎰⎰， k R ∈(2)[]()()()()bb b A x B x dx A x dx B x dx a a a+=+⎰⎰⎰， 函数矩阵的不定积分也有类似的情况．例1 设sin cos ()cos sin x x A x x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，求()0x A x dx ⎰及2()0x d A x dx dx ⎰．解 s i n(c o s )001c o s s i n ()0sin 1cos cos sin 00xx xdx x dx x x x A x dx x x x x xdx xdx ⎛⎫- ⎪--⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰． 因为若以()ij a x 表示()A x 中各元素(,1,2)i j =，则有22()2()0ij ij x d a x dx xa x dx =⎰． 所以有222222sin cos ()2()20cos sin x x x d A x dx xA x x dx xx ⎛⎫-== ⎪⎝⎭⎰． 习 题 五1、设nn n n ij Ca A ⨯⨯∈=)(，令12211()n nij Fi j Aa ===∑∑，则F A 为方阵范数，证明：F A 是一种与向量的2-范数2x 相容的方阵范数．称它为方阵A 的Frobenius 范数，简称F-范数．2、设V 是n 维(复的或实的)线性空间，n e e e ,,,21 是V 的一组基，则对任意的V x ∈，x 有唯一表示式n n e x e x e x x +++= 2211，规定 2112)(∑==ni i Ex x．证明：E x 是V 中元素的一种范数．3、对下列矩阵A ，求21,A A 及∞A ．1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0123A 2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+i i i i 114、证明：对n 阶矩阵][ij a A =，有∑=≤≤∞=nj ij ni a A 11max ．5、考察下列向量序列}{k x 的敛散性： 1)Tk k x )21,1(=； 2)Tki ki i k ix )1,0,21(11∑∑===．6、设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=)1(2121)(2x x x x A 计算)(),(1x A dxd x A dx d -． 7、计算矩阵对矩阵的导数dAdx． 1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛=32121x x x e A x x ，),,(321x x x x =；2)22212123334242,sin(3)x x x x e x x A x x x x x ⎛⎫+⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 8、设==⨯)(,][A f a A n n ij 迹A ．试求dAdf ． 9、设∑∑==+==ni ni i iTn x x ix x f x x x x 121221)(,),,,( ．试求梯度dxdfx f =∇)(及海森矩阵22)(dx fd x H =．10、已知函数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-00302)(222x e ex xe e x A x xx x ，试求⎰10)(dx x A 和⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰20)(x dt t A dx d ．。
