全国高考导数部分大全

导数——大题——其他中下：1.（2022年湖北宜昌夷陵中学J39）青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率．曲线的曲率定义如下：若()f x ¢是()f x 的导函数，()f x ''是()f x ¢的导函数，则曲线()y f x =在点()(),x f x 处的曲率()()()3221f x K f x ''=⎡⎤⎦'+⎣．已知函数()()()ln cos 10,0x f x ae x b x a b =---≥>，若0a =，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的曲率为22．（1）求b ；（2）若函数()f x 存在零点，求a 的取值范围；（①）（3）已知1.098ln 3 1.099<<，0.048 1.050e <，0.0450.956e -<，证明：1.14ln π 1.15<<．（求导，中下；第二问，未；）导数——大题——其他中档：1.（2022年广东肇庆J36）已知函数()()ax f x axe a b x =++，()(1)ln g x x x =+.（1）当1a b =-=时，证明：当,()0x ∈+∞时，()()f x g x >；（②）（2）若对(0,)∀∈+∞x ，都[1,0]b ∃∈-，使()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.（切线放缩，比较大小，中档；第二问，未；）导数——大题——中档、中上、未：1.（2022年河北演练二J40）已知函数(1)ln (),()|ln |1x xf xg x x x -==+.（1）若()()(1,1)f m g n m n =>>，证明：m n >；（③）（2）设函数()(1)ln (1)F x x x a x =--+，若()0F x =有两个不同的实数根12,x x ，且12x x <，证明：221eax x >⋅.（中档，未；第二问，未；）2.（2022年湖北荆州中学J19）已知函数f （x ）=e x -e -x -a sin x ，其中e 是自然对数的底数．（1）当x ＞0，f （x ）＞0，求a 的取值范围；（④）（2）当x ＞1时，求证：12x x e e x x ---+＞sin sin(ln )x x -.（中档，未；第二问，未；）3.（2022年湖北荆门四校J21）已知函数3()ln()4f x ax x ax=++（其中实数0a >）的最小值为5，（1）求实数a 的值；（⑤）（2）若不等式()(4)5f x k x ≥++恒成立，求实数k 的取值范围．（中上，未；第二问，未；）4.（2022年湖北襄阳五中J23）已知函数()()e ln ln 1(0)x af x x a a x-=-++>（e 是自然对数的底数）．（1）当1a =时，试判断()f x 在()1,+∞上极值点的个数；（⑥）（2）当1e 1a >-时，求证：对任意1x >，()1f x a >．（中档，未；第二问，未；）2.（2022年河北衡水中学J15）已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中*,2n N n ∈≥.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（⑦）（Ⅱ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（中上，未；第二问，未；）（Ⅲ）若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证：21-21ax x n<+-1.（2022年湖南师大附中J11）已知函数()()()1ln 1f x x x a x =+--.（⑧）（1）若1a =，比较(log 10f 与()5log 9f 的大小；（2）讨论函数()f x 的零点个数.（中档，未；第二问，未；）1.（2022年江苏江阴J61）已知函数()e (1ln )x f x m x =+，其中m ＞0，f '(x )为f (x )的导函数，设()()ex f x h x '=，且5()2h x ≥恒成立．（1）求m 的取值范围；（⑨）（中档，未；第二问，未；）（2）设函数f (x )的零点为x 0，函数f '(x )的极小值点为x 1，求证：x 0＞x 1．1.（2022年山东枣庄一模J60）已知函数()()e sin xf x x a x a =-∈R ．（1）若[]0,πx ∀∈，()0f x ≥，求a 的取值范围；（⑩）（2）当59a ≥-时，试讨论()f x 在()0,2π内零点的个数，并说明理由．（中档，未；第二问，未；）①【答案】（1）1；（2）10,e⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）将0a =代入并计算()1f ，()f x ''，根据曲率直接计算即可.（2）等价转化为()ln cos 1xx x a e+-=有根，然后令()()ln cos 1xx x g x e+-=并研究其性质，最后进行判断可得结果.（3）依据（2）条件可知1ln 1x x e-+≤，然后根据π3113π,π3ln 1ln 13πe e -+<+<判断即可.【详解】（1）当0a =时，()()ln cos 1f x x b x =---，()1f b =-．()()1sin 1f x b x x '=-+-，()()21cos 1f x b x x''=+-．∴()f x 在()1,b -处的曲率为3212122b k b +==⇒=．（2）()()()ln cos 1ln cos 10x xx x f x ae x x a e +-=---=⇒=令()ln 1h x x x =+-，则()111x h x x x-'=-=当()0,1∈x 时，()0h x '>，当()1,∈+∞x 时，()0h x '<所以函数()h x 在()0,1单调递增，在()1,+¥单调递减，所以()(1)0h x h ≤=，则ln 1x x +≤又令()x x m x e =，则()1'xxm x e -=当()0,1∈x 时，()0m x '>，当()1,∈+∞x 时，()0m x '<所以函数()m x 在()0,1单调递增，在()1,+¥单调递减所以()1(1)m x m e≤=令()()ln cos 1xx x g x e+-=，∴()ln 11x x x x g x e e e+≤≤≤，当且仅当1x =时取“=”，显然，当1a e>时，()f x 无零点．当10a e ≤≤时，()11g a e =≥，111cos 110ee g a e e ⎛⎫-+- ⎪⎛⎫⎝⎭=<≤ ⎪⎝⎭∴存在1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()0g x a =，符合题意．综上：实数a 的取值范围为10,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（3）由（2）知ln 11xx e e+≤，∴1ln 1x x e -+≤（当且仅当1x =时取“=”）∴π10.0483πln 13e e -+<<，∴0.048ln π1ln 3 1.0501 1.099 1.15e <-+<-+<又∵310.045π3ln 1πe e -+<<，∴0.045ln πln 31 1.09810.956 1.14e ->+->+->综上：1.14ln π 1.15<<．【点睛】关键点点睛：第（1）问关键在于求导；第（2）问关键在于等价转化的使用以及常用不等式（ln 1x x +≤）的使用以及放缩法；第（3）问在于利用第（2）问的条件ln 11xx e e+≤进行比较.②【答案】（1）证明见解析；（2）1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.③【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】(1)由()()(1,1)f m g n m n =>>，列出m 与n 的关系式，利用指数对数的运算性质进行化简与放缩即可证明；(2)把()0F x =化成()f x a =的形式，根据导数确定()f x 的单调性与极值，画出简图，确定12,x x 与1的大小关系，利用(1)的结论，可以得到12,x x 与e a 的关系，进而可证得结论.【小问1详解】证明：由()()(1,1)f m g n m n =>>，得(1)ln |ln |ln 1m mn n m -==+，则有(1)ln 1121ln 1111e(e)m m m m m m m m m n mmm ----++++====<，所以m n >；【小问2详解】证明：令()(1)ln (1)0(0)F x x x a x x =--+=>，化简可得(1)ln 1x xa x -=+，即()f x a =，2212ln 2ln 1()(1)(1)(1)x x x x x f x x x x x +--'=+=+++，令1()2ln g x x x x=+-，221()10x x xg =++>'，所以()g x 在()0,∞+上单调递增且(1)0g =，则()g x 即()0f x '<时()0,1x ∈，()0f x '>时()1,x ∈+∞，可得()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增，且有(1)0f =，由下图可知，1201x x <<<，0a >，又2222(1)ln ()ln e ln e =(e )1a a a x x f x a g x -====+，即22()=(e )(1,e 1)a a f x g x >>，由(1)可得2e ax >⋅⋅⋅①，又由1()f x a =得1111111111(1)ln (1)ln 1(()ln e ln e =(e )111a a a x x x x f f x a g x x x --======++，即1111((e )(1,e 1)a a f g x x >>，由(1)可得11e a x >⋅⋅⋅②，①②相乘可得221e a x x >，即221e a x x >⋅.【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．④22.【答案】解：（1）由题意可知f '（x ）=e x +e -x -a cos x ，①当0＜a ≤2时，由-1≤cos x ≤1可知-2≤-a ≤a cos x ≤a ≤2，又因为e x +e -x ≥2恒成立，所以f '（x ）=e x +e -x -a cos x ≥0恒成立，所以y =f （x ）在[0，+∞）上恒为增函数．又f （0）=0，所以f （x ）＞0对x ＞0恒成立；②当a ＞2时，，且可知y =e x +e -x 与y =a cos x 必有一个交点，不妨设为x 0，所以y =f （x ）在[0，x 0）上为减函数，在[x 0，+∞）为增函数，又f （0）=0，所以f （x 0）＜0，与题意不符，故舍去．综合可知a 的取值范围是（0，2]．（2），只需证，即证，即证e x -e -x -2sin x ＞e ln x -e -ln x -2sin （ln x ），即证f （x ）＞f （ln x ）（此时a =2），由（1）问可知当0＜a ≤2时y =f （x ）在[0，+∞）上恒为增函数．所以即证x ＞ln x ，不妨令g （x ）=x -ln x ，则所以y =g （x ）在（0，1）递减，（1，+∞）递增．又因为g （x ）min =g （1）=1＞0所以g （x ）=x -ln x ＞0恒成立，即x ＞ln x ，所以原结论得证．⑤【答案】（1）2；（2）(],4-∞-.【解析】【分析】（1）对()f x 求导，构造2()43(0)g x ax ax x =+->并由二次函数性质判断其零点0x 及区间符号，进而确定()f x 的单调性、极值，结合已知最值列方程得003ln2(41)6041x x ++-=+，再构造中间函数求零点，进而求a 的值；（2）令2(0)t x t =>问题转化为()0F t ≥对(0,)t ∈+∞恒成立，构造中间函数研究()F t 的最值，并判断单调性，最后可求k 的范围．【小问1详解】由题设，2243()(0)ax ax f x x ax +-'=>且0a >，令2()43(0)g x ax ax x =+->，则()g x 在(0,)+∞上递增且(0)30=-<g ，所以()0g x =有唯一正实根，记为0x ，则200430ax ax +-=．当00x x <<时，()0g x <即()0f x '<，()f x 单调递减，当0x x >时，()0>g x 即()0f x '>，()f x 单调递增，所以极小值也是最小值为00003()ln()45f x ax x ax =++=．又200430ax ax +-=，可得00341ax x =+，故003ln2(41)6041x x ++-=+，令3()ln26(1)h t t t t =+->，其中041t x =+，则121()20t h t t t-'=-+=>，所以()h t 在(1,)+∞上单调递增且(3)0h =，而3t =，即012x =，从而2a =．综上，实数a 的值为2.【小问2详解】由题意，3ln(2)502x kx x+--≥恒成立，令2(0)t x t =>．令3()ln 5(0)2kt F t t t t =+-->，则2226()2kt t F t t-+-'=，令2()26(0)t kt t t ϕ=-+->ⅰ、当0k ≥时，(1)202kF =--<，不合题意，舍去，ⅱ、当0k <时，()0t ϕ=有唯一的正实根，记为0t ，且200260t kt -=<，则0(0,3)t ∈且0312kt t -=当00t t <<时，()0t ϕ<，即()0F t '<，当0t t >时，()0t ϕ>，即()0F t '>所以()F t 在0(0,)t 单调递减，在0(,)t +∞上单调递增，则极小值也是最小值为00000036ln 5ln 62()kt t F t t t t +--+==-．要使()0F t ≥对(0,)t ∈+∞恒成立，则0()0F t ≥．令6()ln 6(03)m x x x x =+-<<，则26()0x m x x-'=<，即()m x 在(0,3)上递减，又(1)0m =，所以不等式()0m x ≥的解集为(]0,1，故001t <≤，又(]020062,0,1,k t t t -=+∈则k 的取值范围是(],4-∞-．【点睛】关键点点睛：（1）构造中间函数，并结合导数研究()f x 单调性、最值，根据已知求得参数间的函数关系及参数范围；（2）令2(0)t x t =>，根据已知确定隐零点0t 与参数k 的关系，并求出0t 的范围，进而求k 的范围.⑥【答案】（1）()f x 在()1,+∞上只有一个极值点，即唯一极小值点；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，判断其正负，结合零点存在定理，判断函数的单调性，求得答案；（2）求出函数的导数，构造函数()=e 1x axh x x ---，判断其正负情况，确定函数单调性，进而确定函数的最小值()000ln ln 11(1)x a f x x -++-=，故可将原问题转化为对任意1x >，()001ln ln 111x a x a-++>-，再构造函数，利用其单调性即可证明结论.【小问1详解】当1a =时，()1e ln ln2x f x x x-=-+,则1122(1)(e )e (1)11()x x xx x x f x x x x ------'=-=，设1()=e1x x x x ϕ---，则11()e 11x x x ϕ-=---在()1,+∞上是增函数，当1x +→时，()x ϕ→-∞，(2)e 20ϕ=->，所以存在0(1,2)x ∈，使得0()0x ϕ=，当0(1,)x x ∈时，()0x ϕ<，则()0f x '<，即()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ>，则()0f x '>，即()f x 在0(1,)x 上单调递增，所以()f x 在()1,+∞上只有一个极值点，即唯一极小值点；【小问2详解】证明：由22(1)(e )e (1)11()x a x a xx x x f x x xx ------'=-=，设()=e1x ax h x x ---，则1()e 11x ah x x -=---在()1,+∞上是增函数，当1x +→时，()h x →-∞，因为1e 1a >-，所以1(1)e 10h a a +=-->，所以存在0(1,1)x a ∈+，使得0000()e01x ax h x x -=-=-，当0(1,)x x ∈时，()0h x <，则()0f x '<，即()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，()0h x >，则()0f x '>，即()f x 在0(1,)x 上单调递增，故0x x =是函数()()e ln ln 1(0)x af x x a a x -=-++>的极小值点，也是最小值点，则()0000e ln l 1)n ()(x af x x f x a x --+=+≥，又因为000e1x ax x -=-，所以()000ln ln 11(1)x a f x x -++-=，即证：对任意1x >，()001ln ln 111x a x a-++>-，即证：对任意1x >，()001ln ln 111x a x a->-+-，设()ln 11g x x x =--，则()ln 11g x x x =--在()1,+∞上单调递减，因为0(1,1)x a ∈+，所以0()(1)g x g a >+，故()001ln ln 111x a x a->-+-，故对任意1x >，()1f x a>.【点睛】本题考查了利用导数判断函数的极值点的个数以及证明不等式成立的问题，综合性较强，要能熟练求导，利用导数判断函数的单调性以及求函数最值，解答的关键是根据函数或导数的特点，构造函数，进而结合零点存在定理判断导数正负，求得函数的最值，利用函数最值进而证明不等式成立.⑦【答案】（Ⅰ）当n 为奇数时，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增；当n 为偶数时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减.（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.【详解】（Ⅰ）由()n f x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥，下面分两种情况讨论：（1）当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：x (,1)-∞-(1,1)-(1,)+∞()f x '-+-()f x所以，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增.（2）当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减.（Ⅱ）证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则110n x n -=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x =-'，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即，则0()()()F x f x f x -'''=由于1()n f x nx n -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤.（Ⅲ）证明：不妨设12x x ≤，由（Ⅱ）知()()20()g x n nx x =--，设方程()g x a =的根为2x '，可得202.a x x n n '=+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由（Ⅱ）知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x '，可得1a x n'=，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且111()()()h x a f x h x '==<，因此11x x '<.由此可得212101a x x x x x n''-<-=+-.因为2n ≥，所以11112(11)111n n n C n n ---=+≥+=+-=，故1102n n x -≥=，所以2121a x x n-<+-.【解析】1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.⑧【答案】（1）(()25log 10log 9f f >（2）当2a ≤时，()f x 有1个零点；当2a >时，()f x 有3个零点【解析】【分析】（1）利用导数判断函数()f x 在()1,+∞上的单调性，根据函数的单调性即可得出答案；（2）求出函数的导函数()f x '，再利用导数可求得()min 2f x a '=-，再分20a -≥和20a -<两种情况讨论，结合零点的存在性定理，从而可得出结论.【小问1详解】解：当1a =时，()()()1ln 1f x x x x =+--，()1ln 11ln x f x x x x x+'=+-=+，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，因为2445log 10log 10log 9log 91=>>>，所以(()25log 10log 9f f >；【小问2详解】解：()11ln ln 1x f x x a x a x x +'=+-=++-，令()1ln 1g x x a x =++-，则()()221110-'=-=>x g x x x x x，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以()()min 12g x g a ==-，即()min 2f x a '=-，①若20a -≥，即2a ≤，则()0f x '≥，()f x 在()0,∞+上递增，因为()10f =，则1x =为()f x 的唯一零点；②若20a -<，即2a >，则()()min 10f x f ''=<，因为e 1a >，()1e 10e aaf '=+>，则()f x '在()1,+∞内仅有个零点，记为n ，因为0e 1a -<<，()e e 21a af a -'=-+设()e 21a h a a =-+，则当2a >时，()e 20ah a '=->，所以()h a 在()2,+∞内单调递增，从而()()22e 30h a h >=->，即()e 0af -'>，所以()f x 在()0,1内仅有一个零点，记为m ，于是，当()0,x m ∈或(),x n ∈+∞时，()0f x '>，当(),x m n ∈时，()0f x '<，所以函数()f x 在(),n +∞和()0,m 上递增，在(),m n 上递减，因为01m n <<<，()10f =，则()0f m >，()0f n <，故()f x 在(),m n 内有唯一零点，因为()()()e e 1e 12e 0aa a a f a a a ----=-+--=-<，则()f x 在()0,m 内有唯一零点，因为()()()e e 1e 120a a af a a a =+--=>，则()f x 在(),m +∞内有唯一零点，所以()f x 在()0,∞+内有3个零点.综上所述，当2a ≤时，()f x 有1个零点；当2a >时，()f x 有3个零点.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间及最值问题，考查了利用导数研究函数的零点的问题，考查了二次求导，考查了学生的数据分析能力及分类讨论思想，属于难题.⑨【答案】（1）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导可得()'f x 解析式，即可得()h x 解析式，利用导数求得()h x 的单调区间和最小值，结合题意，即可得m 的范围.（2）求得()f x ''解析式，令22()1ln (0)m m t x m x x x x=++->，利用导数可得()t x 的单调性，根据零点存在性定理，可得存在21,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得t (x 2)＝0，进而可得f '(x )在x ＝x 2处取得极小值，即x 1＝x 2，所以11211211ln 0,,12m m m x x x x ⎛⎫++-=∈ ⎪⎝⎭，令()1ln s x m x =+，分析可得s (x 1)＜0，即可得证【小问1详解】由题设知()e (1ln )x m f x m x x'=++，则1ln (())0h m m x x x x ++>=，所以22(1)()m m m x h x x x x -'=-=当x ＞1时，h '(x )＞0，则h (x )在区间(1，＋∞)是增函数，当0＜x ＜1时，h '(x )＜0，则h (x )在区间(0，1)是减函数，所以h (x )min ＝h （1）＝512m +≥，解得32m ≥，所以m 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【小问2详解】222e 1ln e )n (1l x x m m m m m m x m x x x x x x f x ⎛⎫⎛⎫+++-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝'=⎭'令22()1ln (0)m m t x m x x x x=++->则2322()m m m t x x x x '=-+＝2233(1)1(22)0m x m x x x x ⎡⎤-+-+⎣⎦=>恒成立，所以t (x )在(0，＋∞)单调递增．又1(1)10,1l 3ln 20n 2122t m t m ⎛⎫=+>=-≤- ⎪⎝⎭<，所以存在21,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得t (x 2)＝0，当x ∈(0，x 2)时，t '(x )＜0，即f ''(x )＜0，则f '(x )在(0，x 2)单调递减；当x ∈(x 2，＋∞)时，t '(x )＞0，即f ''(x )＞0，则f '(x )在(x 2，＋∞)单调递增；所以f '(x )在x ＝x 2处取得极小值．即x 1＝x 2，所以t (x 1)＝0，即11211211ln 0,,12m m m x x x x ⎛⎫++-=∈ ⎪⎝⎭，所以1122111(12)21ln 0m x m m m x x x x -+=-=<，令()1ln s x m x =+，则s (x )在(0，＋∞)单调递增；所以s (x 1)＜0因为f (x )的零点为x 0，则01ln 0m x +=，即s (x 0)＝0所以s (x 1)＜s (x 0)，所以x 0＞x 1【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求函数单调区间，极（最）值的方法，并灵活应用，难点在于，需结合零点存在性定理，判断零点所在区间，再进行分析和求解，属中档题.⑩【答案】（1）(],1-∞（2）若591a -≤≤，()f x 在(0,2)π内无零点；若1a >，()f x 在(0,2)π内有且仅有1个零点，证明见解析.【解析】【分析】(1)求导，然后，分别讨论0a ≤，01a <≤和1a >时的单调性即可.(2)根据(1)的结论，分别讨论590a -≤≤，01a <≤和1a >时零点的个数.【小问1详解】'()(1)e cos x f x x a x=+-①若0a ≤，当[0,]x π∈时，0a -≥，sin 0x ≥，()e ()sin 0x f x x a x =+-≥，当且仅当0x =时取等号，可见，0a ≤符合题意.②若01a <≤，当[0,]2x π∈时，0'()(1)e cos 10f x x a x a ≥+-≥-≥；当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，cos 0x <，'()(1)e (cos )0x f x x a x =++⋅->.可见，当[]0,x π∈时，'()0f x ≥，当且仅当1a =，且0x =时取等号.所以()f x 在[0,]π上单调递增，所以，()(0)0f x f ≥=.所以01a <≤符合题意.③若1a >，因为(1)e x y x =+在[]0,π上单调递增，cos y a x =-在[]0,π上单调递增，所以，'()(1)e cos x f x x a x =+-在[]0,π上单调递增，又'(0)10f a =-<，2'((1)e 022f πππ=+>，由零点存在定理及'()f x 的单调性，存在唯一的0(0,2x π∈，使得0'()0f x =.当0(0,)x x ∈时，0'()'()0f x f x <=，()f x 单调递减，所以，()(0)0f x f <=.可见，1a >不符合题意.综上，a 的取值范围是(],1-∞【小问2详解】①若590a -≤≤，由(1)，(]0,x π∈时，()0f x >，()f x 在(]0,π内无零点.当(),2x ∈ππ时，1sin 0x -≤<，0sin 1x <-≤，sin a x a -≥，又由e x y x =单调递增，则33()e sin e 3e 593 2.7590.0490x f x x a x a ππ=->+>->⨯-=>.可见，若590a -≤≤，()f x 在(0,2)π内无零点.②若01a <≤，由(1)，(]0,x π∈时，()0f x >，()f x 在(]0,π内无零点.当(,2)x ππ∈时，sin 0x ->，()e (sin )0x x f x x a x xe =+->>.可见，若01a <≤，()f x 在(0,2)π内无零点.③若1a >，由(1)，存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当0(0,)x x ∈时，0'()'()0f x f x <=.()f x 单调递减；当0(,)x x π∈时，0'()'()0f x f x >=，()f x 单调递增.又(0)0f =，所以0()(0)0f x f <=.又()e 0f πππ=>，由零点存在定理及()f x 的单调性，存在唯一的10(,)x x π∈，使得1()0f x =.可见，()f x 在(]0,π内存在唯一的零点.当(,2)x ππ∈时，sin 0,sin 0x a x <->，所以，()e sin e 0x x f x x a x x =->>，所以，()f x 在(,2)ππ内没有零点，可见，()f x 在(0,2)π有且仅有1个零点.综上所述，若591a -≤≤，()f x 在(0,2)π内无零点；若1a >，()f x 在(0,2)π内有且仅有1个零点.【点睛】关键点睛：通过导数讨论含参函数的单调性时，要对参数进行分类讨论，分类讨论时，要注意做到不重不漏；讨论含参函数的零点个数时，要利用零点存在定理来讨论零点个数，利用零点存在定理讨论零点个数时，要注意结合单调性讨论，属于难题。

第三讲导数的应用研热点（聚焦突破）类型一利用导数研究切线问题导数的几何意义(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x)就是曲线y＝f(x)在点(x,f(x))处的切线的斜率,即k＝f′(x)；(2)曲线y＝f(x)在点(x0,f(x))处的切线方程为y－f(x)＝f′(x)(x－x)．[例1] (2012年高考安徽卷改编)设函数f(x)＝a e x＋1aex＋b(a>0)．在点(2,f(2))处的切线方程为y＝32x,求a,b的值．[解析]∵f′(x)＝a e x－1 aex,∴f′(2)＝a e2－1ae2＝32, 解得a e2＝2或a e2＝－12(舍去),所以a＝2e2,代入原函数可得2＋12＋b＝3, 即b＝12, 故a＝2e2,b＝12.跟踪训练已知函数f(x)＝x3－x.(1)求曲线y＝f(x)的过点(1,0)的切线方程；(2)若过x轴上的点(a,0)可以作曲线y＝f(x)的三条切线,求a的取值范围．解析：(1)由题意得f′(x)＝3x2－1.曲线y＝f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程为y－f(t)＝f′(t)(x－t),即y＝(3t2－1)·x－2t3,将点(1,0)代入切线方程得2t3－3t2＋1＝0,解得t＝1或－,代入y＝(3t2－1)x－2t3得曲线y＝f(x)的过点(1,0)的切线方程为y＝2x－2或y＝－x＋.(2)由(1)知若过点(a,0)可作曲线y＝f(x)的三条切线,则方程2t3－3at2＋a＝0有三个相异的实根,记g(t)＝2t3－3at2＋a.则g′(t)＝6t2－6at＝6t(t－a)．当a>0时,函数g(t)的极大值是g(0)＝a,极小值是g(a)＝－a3＋a,要使方程g(t)＝0有三个相异的实数根,需使a>0且－a3＋a<0,即a>0且a2－1>0,即a>1；当a＝0时,函数g(t)单调递增,方程g(t)＝0不可能有三个相异的实数根；当a<0时,函数g(t)的极大值是g(a)＝－a3＋a,极小值是g(0)＝a,要使方程g(t)＝0有三个相异的实数根,需使a<0且－a3＋a>0,即a<0且a2－1>0,即a<－1.综上所述,a的取值范围是(－∞,－1)∪(1,＋∞)．类型二利用导数研究函数的单调性函数的单调性与导数的关系在区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数f(x)在区间(a,b)上单调递增；如果f′(x)<0,那么函数f(x)在区间(a,b)上单调递减．[例2] (2012年高考山东卷改编)已知函数f(x)＝(k为常数,e＝2.718 28…是自然对数的底数),曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间． [解析] (1)由f (x )＝ln x ＋kex, 得f ′(x )＝1－kx －xln xxex ,x ∈(0,＋∞)．由于曲线y ＝f (x )在(1,f (1))处的切线与x 轴平行, 所以f ′(1)＝0,因此k ＝1.(2)由(1)得f ′(x )＝(1－x －x ln x ),x ∈(0,＋∞)． 令h (x )＝1－x －x ln x ,x ∈(0,＋∞), 当x ∈(0,1)时,h (x )>0； 当x ∈(1,＋∞)时,h (x )<0.又e x >0,所以当x ∈(0,1)时,f ′(x )>0； 当x ∈(1,＋∞)时,f ′(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,＋∞)．跟踪训练若函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x 存在单调递减区间,求实数a 的取值范围． 解析：由题知f ′(x )＝1x －ax －2＝－ax2＋2x －1x ,因为函数f (x )存在单调递减区间,所以f ′(x )＝－ax2＋2x －1x≤0有解．又因为函数的定义域为(0,＋∞),则应有ax 2＋2x －1≥0在(0,＋∞)上有实数解．(1)当a >0时,y ＝ax 2＋2x －1为开口向上的抛物线,所以ax 2＋2x －1≥0在(0,＋∞)上恒有解； (2)当a <0时,y ＝ax 2＋2x －1为开口向下的抛物线,要使ax 2＋2x －1≥0在(0,＋∞)上有实数解,则Δ＝>0,此时－1<a <0；(3)当a ＝0时,显然符合题意．综上所述,实数a 的取值范围是(－1,＋∞)． 类型三 利用导数研究函数的极值与最值 1．求函数y ＝f (x )在某个区间上的极值的步骤 (1)求导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根x 0； (3)检查f ′(x )在x ＝x 0左右的符号； ①左正右负⇔f (x )在x ＝x 0处取极大值； ②左负右正⇔f (x )在x ＝x 0处取极小值．2．求函数y ＝f (x )在区间[a ,b ]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在区间(a,b)内的极值(极大值或极小值)；(2)将y＝f(x)的各极值与f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值．[例3] (2012年高考北京卷)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0),g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1,c)处具有大众切线,求a,b的值；(2)当a2＝4b时,求函数f(x)＋g(x)的单调区间,并求其在区间(－∞,－1]上的最大值．[解析](1)f′(x)＝2ax,g′(x)＝3x2＋b,因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1,c)处具有大众切线,所以f(1)＝g(1),且f′(1)＝g′(1)．即a＋1＝1＋b,且2a＝3＋b.解得a＝3,b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当b＝14a2时,h(x)＝x3＋ax2＋14a2x＋1,h′(x)＝3x2＋2ax＋14a2.令h′(x)＝0,得x1＝－a2,x2＝－a6.a>0时,h(x)与h′(x)的变化情况如下：0 0所以函数h(x)的单调递增区间为(－∞,－2)和(－6,＋∞)；单调递减区间为(－2,－6)．当－a2≥－1,即0<a≤2时,函数h(x)在区间(－∞,－1]上单调递增,h(x)在区间(－∞,－1]上的最大值为h(－1)＝a－14a2.当－a2<－1,且－a6≥－1,即2<a≤6时,函数h(x)在区间(－∞,－a2)上单调递增,在区间(－a2,－1]上单调递减,h(x)在区间(－∞,－1]上的最大值为h(－a2)＝1.当－a6<－1,即a>6时,函数h(x)在区间(－∞,－a2)上单调递增,在区间(－a2,－a6)上单调递减,在区间(－a6,－1]上单调递增,又因为h(－a2)－h(－1)＝1－a＋14a2＝14 (a－2)2>0,所以h(x)在区间(－∞,－1]上的最大值为h(－a2)＝1.跟踪训练(2012年珠海摸底)若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x3＋3x2＋1（x ≤0）eax （x>0）,在[－2,2]上的最大值为2,则a 的取值范围是( )A ．[12ln 2,＋∞)B ．[0,12ln 2]C ．(－∞,0]D ．(－∞,12ln 2]解析：当x ≤0时,f ′(x )＝6x 2＋6x ,易知函数f (x )在(－∞,0]上的极大值点是x ＝－1,且f (－1)＝2,故只要在(0,2]上,e ax ≤2即可,即ax ≤ln 2在(0,2]上恒成立,即a ≤ln 2x 在(0,2]上恒成立,故a ≤12ln 2. 答案：D析典题（预测高考）高考真题【真题】 (2012年高考辽宁卷)设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ,b ∈R,a ,b 为常数),曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切． (1)求a ,b 的值；(2)证明：当0<x <2时,f (x )<9x x ＋6. 【解析】 (1)由y ＝f (x )过(0,0)点,得b ＝－1.由y ＝f (x )在(0,0)点的切线斜率为32,又y ′⎪⎪x ＝0＝(1x ＋1＋12x ＋1＋a )⎪⎪x ＝0＝32＋a ,得a ＝0.(2)证明：证法一 由均值不等式,当x >0时, 2（x ＋1）·1<x ＋1＋1＝x ＋2,故x ＋1<x2＋1. 记h (x )＝f (x )－9x x ＋6, 则h ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1－54（x ＋6）2＝2＋x ＋12（x ＋1）－54（x ＋6）2<x ＋64（x ＋1）－54（x ＋6）2 ＝（x ＋6）3－216（x ＋1）4（x ＋1）（x ＋6）2.令g (x )＝(x ＋6)3－216(x ＋1), 则当0<x <2时,g ′(x )＝3(x ＋6)2－216<0. 因此g (x )在(0,2)内是递减函数． 又由g (0)＝0,得g (x )<0,所以h ′(x )<0. 因此h (x )在(0,2)内是递减函数． 又h (0)＝0,得h (x )<0.于是当0<x <2时,f (x )<9x x ＋6. 证法二 由(1)知f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1－1.由均值不等式,当x >0时,2（x ＋1）·1<x ＋1＋1＝x ＋2,故x ＋1<x 2＋1.① 令k (x )＝ln(x ＋1)－x ,则k(0)＝0,k′(x)＝1x＋1－1＝－xx＋1<0,故k(x)<0,即ln(x＋1)<x.②由①②得,当x>0时,f(x)<32 x.记h(x)＝(x＋6)f(x)－9x,则当0<x<2时,h′(x)＝f(x)＋(x＋6)f′(x)－9<32x＋(x＋6)·(1x＋1＋12x＋1)－9＝12（x＋1）[3x(x＋1)＋(x＋6)·(2＋x＋1)－18(x＋1)]<12（x＋1）[3x(x＋1)＋(x＋6)·(3＋x2)－18(x＋1)]＝x4（x＋1）(7x－18)<0.因此h(x)在(0,2)内单调递减．又h(0)＝0,所以h(x)<0,即f(x)<9xx＋6.【名师点睛】本题主要考查导数的应用和不等式的证明以及转化与化归能力,难度较大．本题不等式的证明关键在于构造函数利用最值来解决．考情展望高考对导数的应用的考查综合性较强,一般为解答题,着重考查以下几个方面：一是利用导数的几何意义来解题；二是讨论函数的单调性；三是利用导数研究函数的极值与最值．常涉及不等式的证明、方程根的讨论等问题名师押题【押题】已知f(x)＝ax－ln x,x∈(0,e],g(x)＝ln xx,其中e是自然常数,a∈R.(1)讨论a＝1时,f(x)的单调性和极值；(2)求证：在(1)的条件下,f(x)>g(x)＋1 2；(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,若存在,求出a的值；若不存在,请说明理由．【解析】(1)由题知当a＝1时,f′(x)＝1－1x＝x－1x,因为当0<x<1时,f′(x)<0,此时f(x)单调递减,当1<x<e时,f′(x)>0,此时f(x)单调递增,所以f(x)的极小值为f(1)＝1.(2)证明因为f(x)的极小值为1,即f(x)在(0,e]上的最小值为1.令h(x)＝g(x)＋12＝ln xx＋12,h′(x)＝1－ln xx2,当0<x<e时,h′(x)>0,h(x)在(0,e]上单调递增,所以h(x)max＝h(e)＝1e＋12<12＋12＝1＝f(x)min,所以在(1)的条件下,f(x)>g(x)＋1 2.(3)假设存在实数a,使f(x)＝ax－ln x(x∈(0,e])有最小值3,f′(x)＝a－1x＝ax－1x.①当a≤0时,因为x∈(0,e],所以f′(x)<0,而f(x)在(0,e]上单调递减,所以f(x)min＝f(e)＝a e－1＝3,a＝4e(舍去),此时f(x)无最小值；②当0<1a <e 时,f (x )在(0,1a )上单调递减,在(1a ,e]上单调递增,所以f (x )min ＝f (1a )＝1＋ln a ＝3,a ＝e 2,满足条件；③当1a≥e 时,因为x ∈(0,e],所以f ′(x )<0,所以f (x )在(0,e]上单调递减,f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3,a ＝4e (舍去)此时f (x )无最小值．综上,存在实数a ＝e 2,使得当x ∈(0,e]时,f (x )有最小值3.知识改变命运。

新高考导数知识点总结大全随着新高考改革的实施，导数已经成为高中数学领域的重要知识点。

导数是微积分的基础，它在物理学、经济学等领域都有着广泛的应用。

在新高考中，导数作为一种数学工具，被广泛应用在各个领域的问题求解中。

本文将对新高考导数知识点进行总结，帮助同学们更好地掌握导数。

一、导数的定义和性质导数的定义是导数是函数在某一点的变化率。

具体来说，对于函数y = f(x)，在x点处的导数可以表示为：f'(x) = lim(h→0) (f(x+h)-f(x))/h导数具有许多重要的性质，包括导数的四则运算法则、复合函数的导数、反函数的导数等。

熟练掌握这些性质是解题的基础。

二、基本导数公式在新高考中，一些基本的导数公式需要掌握。

比如：1. 常数函数的导数为0，即对于常数c，有f'(x)=0；2. 一次函数y = kx的导数为k，即f'(x) = k；3. 幂函数y = x^n的导数为nx^(n-1)，即f'(x) = nx^(n-1)；4. 指数函数y = a^x的导数为a^x * ln(a)，即f'(x) = a^x * ln(a)；5. 对数函数y = ln(x)的导数为1/x，即f'(x) = 1/x。

这些基本的导数公式是解题的基础，同学们在备考新高考时务必熟练掌握。

三、导数的应用导数在各个领域的应用广泛。

在新高考中，导数常被应用于函数的极值、函数的单调性、函数的凹凸性等问题的求解。

1. 极值问题通过求解函数的导数，我们可以确定函数的极值点。

具体来说，对于函数y = f(x)，当f'(x) = 0时，x就是函数的极值点。

再通过二阶导数的符号确定是极大值还是极小值。

2. 单调性问题通过求解函数的导数，我们可以确定函数的单调性。

具体来说，如果在一个区间上，函数的导数始终大于0（或始终小于0），那么函数在这个区间上是递增（或递减）的。

3. 凹凸性问题通过求解函数的导数，我们可以确定函数的凹凸性。

导数——大题——单调性4：1. （2022年山东临沂J15）已知函数ln ()(exx kf x k +=为常数，e 2.71828=…是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1)f )处的切线与x 轴平行．2. （1）求k 的值；3. （2）求()f x 的单调区间；（①）（单调性，易；第三问，未；）4. （3）设2()()()g x x x f x =+'，其中()f x '为()f x 的导函数．证明：对任意0x >，2()1e g x -<+．5. （2022年山东威海三模J27）已知函数()2ln a f x x x x=-+． 6. （1）当34a =时，求()f x 的单调区间；（②）（单调性，中下；第二问，未；） 7. （2）若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，从下面两个结论中选一个证明．8. ①()()21212f x f x x x a-<--； ②()222ln 223f x a <+-．9. （2022年山东济宁三模J42）已知函数()()2ln e 1ln 1f x x a x a x =-----，a ∈R .10. （1（当0a =时，证明：()()()e 21f x x ≥--；（③）11. （2（若函数()f x 在()1,e 内有零点，求实数a 的取值范围.12. （单调性，最值，中下；第二问，未；）13. （2022年山东实验中学J46）已知函数()e sin xf x x =⋅.14. (1)求函数()f x 的单调区间；（④）15. (2)如果对于任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x kx ≥恒成立，求实数k 的取值范围；16. (3)设函数()()20152017e cos ,,22xF x f x x x ππ⎡⎤=+⋅∈-⎢⎥⎣⎦.过点1,02M π-⎛⎫ ⎪⎝⎭作函数()F x 的图象的所有切线，令各切点的横坐标构成数列{}n x ，求数列{}n x 的所有项之和S 的值. 17. （单调性，中下；第二问，未；）1.（2022年广东韶关二模J06）(本小题满分12分) 已知f(x)=e x．;（⑤）2.(1)求证：当x>0时，f(x)>1+x+x223.(2)若不等式f(x)≥2x ln x+mx+1，（其中m∈R）恒成立时，实数m的取值范围为(-∞，t]，4.求证：t>23．（单调性，最值，切线放缩，中下；第二问，未；）20①【答案】（1）1k =；（2）()f x 在(0,1)递增，在(1,)+∞递减； （3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）由题设求导函数()f x '，再由(1)0f '=求参数k 值. （2）由（1）得1ln ()e xx x xf x x --'=且,()0x ∈+∞，构造函数()1ln h x x x x =--，结合导数研究()h x 的符号，进而求()f x 的单调区间.（3）由题设只需证2e 1ln (1e )1xx x x x ---<++在(0,)+∞上恒成立，由（2）易得21ln 1e x x x ---≤+，再构造()e (1)x m x x =-+并应用导数判断e ),(1xx +的大小关系，即可证结论. 【小问1详解】 由题设，1ln ()e xkx x xf x x --'=，,()0x ∈+∞，又()y f x =在(1,(1)f )处的切线与x 轴平行，即1(1)0ekf -'==， 1k ∴=.【小问2详解】 由（1）得：1ln ()e xx x xf x x --'=，,()0x ∈+∞，令()1ln h x x x x =--，,()0x ∈+∞，当(0,1)x ∈时，()0h x >，当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，又e 0x >，(0,1)x ∴∈时，()0f x '>，(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x ∴在(0,1)递增，在(1,)+∞递减；【小问3详解】由2()()()g x x x f x =+'，即1()(1ln )e xx g x x x x +=--，,()0x ∈+∞， 0x ∴∀>，22e ()1e 1ln (1e )1xg x x x x x --<+⇔--<++， 由（2），对于()1ln h x x x x =--，,()0x ∈+∞， ()ln 2h x x ∴'=--，,()0x ∈+∞，2(0,e )x -∴∈时()0h x '>，()h x 递增，2(e x -∈,)∞+时()0h x <，()h x 递减，22max ()(e )1e h x h --∴==+，即21ln 1e x x x ---≤+，设()e (1)xm x x =-+，则0()e 1e x x m x e '=-=-，(0,)x ∴∈+∞时()0m x '>，()m x 递增，即()(0)0m x m >=，则e 11x x >+， 综上，22e 1ln 1e (1e )1x x x x x----≤+<++，故0x ∀>，()21e g x -<+，得证． 【点睛】关键点点睛：第三问，应用分析法转化为证明2e 1ln (1e )1xx x x x ---<++在(0,)+∞上恒成立，结合（2）中()h x 的单调性得到21ln 1e x x x ---≤+，再判断e ),(1x x +的大小关系.②【答案】（1）()f x 的单增区间为13,22⎛⎫⎪⎝⎭；单减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数与函数单调性的关系，即可求解；（2）若选①，不等式转化为证明212121ln ln x x x x ax x -<=-，变形为证明2212111212lnx x x x x x x x <=1()2ln ,1h t t t t t=-+>，即可证明； 若选②，首先根据函数有两个极值点，证得212x <<，()2222222ln 33a f x a x x a x -=-+-，再变换为()2222222102ln 2333f x a x x x -=+-+，通过构造函数，利用导数，即可证明. 【小问1详解】22222()1(0)a x x af x x x x x-+-'=--=>， 当34a =时，2222232483(21)(23)4()44x x x x x x f x x x x -+--+--==--'=， 令()0f x '>，解得1322x <<；令()0f x '<，解得102x <<或32x >， 所以()f x 的单增区间为13,22⎛⎫⎪⎝⎭；单减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【小问2详解】证明①：由题意知，12,x x 是220x x a -+=的两根，则12122x x x x a +=⎧⎨=⎩，()()()()()122121211221212ln ln a x x x x x x f x f x x x x x x x ----+-=--， 将12x x a =代入得，()()()212121212ln ln 2f x f x x x x x x x --=---，要证明()()21212f x f x x x a -<--，只需证明()21212ln ln 22x x x x a--<--，即212121ln ln x x x x ax x -<=-， 因为120x x <<，所以210x x ->， 只需证明2212111212lnx x x x x x x x <= 21x t x =，则1t >，只需证明21ln t t t <-，即12ln 0(1)t t t t-+<>， 令1()2ln ,1h t t t t t=-+>，22221(1)()10t h t t t t--=--=<'， 所以()h t 在(1,)+∞上单调递减，可得()(1)0h t h <=， 所以12ln 0(1)t t t t-+<>， 综上可知，()()21212f x f x x x a-<--．证明②：22222()1(0)a x x af x x x x x -+-'=--=>设2()2g x x x a =-+-，因为()f x 有两个极值点，所以Δ440(0)0a g =->⎧⎨<⎩，解得01a <<，因为(2)0,(1)10g a g a =-<=->， 所以212x <<，()2222222ln 33a f x a x x a x -=-+-，由题意可知22220x x a -+-=， 可得2222a x x =-+代入得，()2222222102ln 2333f x a x x x -=+-+， 令2210()2ln 2(12)33h x x x x x =+-+<<， 24102(1)(23)()333x x h x x x x--=+-='， 当31,,()02x h x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭'，所以()h x 在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当3,2,()02x h x ⎛⎫∈>⎪⎝⎭'，所以()h x 在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调速增，因为212x <<，所以()2max{(1),(2)}h x h h <， 由2(1),(2)2ln 223h h =-=-，可得()22ln8ln (2)(1)03e h h --=>，所以(2)(1)h h >，所以()2(2)h x h <， 所以()222ln 223f x a -<-，即()222ln 223f x a <+-．③【答案】（1）证明见解析；（2）e 21a -<< 【解析】【分析】（1）构造函数()()()()=e 21g x f x x ---，证得min ()0g x ≥即可； （2）根据零点存在性定理结合导函数与单调性、最值等关系进行判定. 小问1详解】证明：当0a =时，设()()()()=e 21(e 1)(ln 1)g x f x x x x ---=---，1()(e 1)x g x x-'=-，由()001g x x '<⇒<<，()01g x x '>⇒>，可得()g x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以min ()(1)0g x g ==，则()0g x ≥，即()()()e 21f x x ≥--； 【小问2详解】函数()()2ln e 1ln 1f x x a x a x =-----，(1)0,(e)0f f ==，若函数()f x 在()1,e 内有零点，则函数()f x 在()1,e 内至少有两个极值点，即()f x '在()1,e 内至少有两个变号零点.2ln e 12ln e 1()1a x a x a x a f x x x x----++'=--=，等价于()2ln e 1h x x a x a =--++在()1,e 内至少有两个变号零点，22()1a x ah x x x-'=-=，()1,e x ∈，当12a ≤或e 2a ≥时，()0h x '≥或()0h x '≤恒成立，则()h x 在()1,e 上单调，不合题意；当122ea <<时，由()012h x x a '<⇒<<，()02e h x a x '>⇒<<，可得()h x 在(1,2)a 单调递减，在(2,e)a 上单调递增，所以当(1)0)(e)0(2)0h h h a >⎧⎪>⎨⎪<⎩时，()h x 在()1,e 内有两个变号零点且最多两个，即2e 01032ln 2e 10a a a a a -+>⎧⎪->⎨⎪--+<⎩，令2t a =，()1,e t ∈，设31()ln e 1()ln 0e 22F t t t t F t t t '=--+⇒=-=⇒=(e t ∈时，()0F t '>，()F t 单调递增，当)e,e t ∈时，()0F t '<，()F t 单调递减，所以max 3()(e)e e e e 1e e 102F t F ==+=+<，即32ln 2e 10a a a --+<在122ea <<上恒成立，所以e 21a -<<.此时()0h x =即()0f x '=有两个零点，设为121e x x <<<，当()11,x x ∈和()2,e x 时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()12,x x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以1()(1)0f x f >=，2()(e)0f x f <=，则()f x 在()12,x x 上有零点，综上可得：e 21a -<<. 【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．④【答案】(1)()3π7π2π,2π44k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)(],1-∞ (3)1008π【分析】（1）对函数求导()π2sin 4xf x e x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，求增区间需要导函数大于等于0，求减区间需要导函数小于等于0，分别解不等式即可；（2）令()()sin xg x f x kx e x kx =-=-，要使()f x kx ≥恒成立，只需当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()min 0g x ≥，对该函数求导，分类讨论研究函数单调性，进而得到结果；（3）求出函数()F x 过点1,02M π-⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程，各切点的横坐标满足00πtan 22x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，0x 为函数1tan y x =和2π22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点的横坐标，这两个函数图像均关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则它们交点的横坐标也关于π2x =对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列{}n x 的项也关于π2x =成对出现，从而根据对称性得出结果. (1)（()()πsin cos 2sin 4x xf x e x x e x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭，增区间应满足：()0f x '>，22,4k x k k z ππππ≤+≤+∈减区间应该满足：()0f x '<，222,4k x k k z πππππ+≤+≤+∈（()f x 的增区间为()π3π2π,2π44k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；减区间为()3π7π2π,2π44k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.(2)令()()sin xg x f x kx e x kx =-=-要使()f x kx ≥恒成立，只需当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()min 0g x ≥，（()()sin cos xg x e x x k '=+-令()()sin cos x h x e x x =+，则()2cos 0xh x e x '=≥对π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，（()h x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则()π21,h x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，（当1k ≤时，()0g x '≥恒成立，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，（()()min 00g x g ==，（1k ≤满足题意；（当π21k e <<时，()0g x '=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实根0x ，()h x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则当[)00,x x ∈时，()0g x '<，（()0(0)0g x g <=不符合题意； （当π2k e ≥时，()0g x '≤恒成立，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，（()()00g x g <=不符合题意，（1k ≤，即(],1k ∈-∞. (3)（()()()cos sin cos x x F x f x e x e x x =+=+（()2cos xF x e x '=，设切点坐标为()()0000,sin cos x x e x x +，则切线斜率为()0002cos xF x e x '=，从而切线方程为()()000000sin cos 2cos xxy e x x e x x x -+=-，（()0000000π1πsin cos 2cos tan 222x xex x e x x x x -⎛⎫⎛⎫-+=-⇔=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1tan y x =，2π22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，这两个函数的图象均关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，则它们交点的横坐标也关于π2x =对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列{}n x 的项也关于π2x =成对出现，又在2015π2017π,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦共有1008对，每对和为π. （1008πS =.⑤第11页共11页。

导数——大题——切线：1.（2022年江苏徐州J53）已知0a >，函数()x f x ax xe =-．（I ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程：（II ）证明()f x 存在唯一的极值点（①）（III ）若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意x ∈R 成立，求实数b 的取值范围．（切线，易；第二问，未；）2.（2022年江苏常州J59）已知函数()()ln xxe f x a x x =+-，a R ∈．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（②）（2）讨论函数()f x 的零点个数．（切线，易；第二问，未；）3.（2022年福建福州联考J01）已知函数()ln(1)ln x f x ae x b =-+-(1)若()f x 在0x =处的切线方程为1y =，（i ）求a ，b 的值；（ii ）讨论()f x 的单调性.（③）(2)若b a =，证明：()f x 有唯一的极小值点.（切线，中下；单调性，中下；第二问，未；）4.（2022年福建福州J05）设函数()1ex f x x a -=+，曲线()y f x =在1x =-处的切线与y 轴交于点210,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（1）求a ；（④）（2）若当[)2,x ∈-+∞时，()()1f x b x ≥-，记符合条件的b 的最大整数值､最小整数值分别为M ，m ，求M m +.注：e 2.71828=⋅⋅⋅为自然对数的底数.（切线，中下；第二问，未；）1.（2022年福建三明一中J39）已知函数()()ln()x f x e x a x a x =-+++，a R ∈．（1）当1a =时，求函数()f x 的图象在0x =处的切线方程；（⑤）（2）若函数()f x 在定义域上为单调增函数．①求a 最大整数值；②证明：23341ln 2(ln (ln )(ln231n n en e +++++<-L ．（切线，易；第二问，未；）2.（2022年湖南长沙一中J02）已知函数()()()e xf x x b a =+-．（0b >）在()()1,1f --处的切线l方程为()e 1e e l 0x y -++-=．（1）求a ，b ，并证明函数()y f x =的图象总在切线l 的上方（除切点外）；（⑥）（2）若方程()f x m =有两个实数根1x ，2x ．且12x x <．证明：()2112e 11em x x --≤+-．（切线，中下；第二问，未；）1.（2022年高考乙卷J04）已知函数()()ln 1exf x x ax -=++（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（⑦）（2）若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围．（切线，易；第二问，未；）1.（2022年湖北华师附中J61）已知函数()e ln ()x f x x a x a R =-∈在1x =处的切线方程为2e 1)+y x b =-（.（1）求实数,a b 的值；（⑧）（2）（i ）证明：函数()y f x =有且仅有一个极小值点0x x =，且01(,1)2x ∈；（ii ）证明：03141()1515f x <<.（切线，中下；第二问，未；）参考数据：ln 20.693≈e 1.648≈，0.55e 1.734≈，11303e 0.69-≈.2.（2022年河北演练一J39）已知函数()ln f x x bx a =++，其中,a b ∈R .（⑨）（1）若1a =，曲线()y f x =在2x =处的切线与直线210x y ++=平行，求()f x 的极值；（2）当1,1b a =≤-时，证明：2()ex f x x-≥.（切线，中下，单调性，极值，中下；第二问，未；）3.（2022年河北联考J42）设函数2()e mx f x x mx t =+-+在(0,(0))f 处的切线经过点(1,1).(1)求t 的值，并且讨论函数()f x 的单调区间；（⑩）(2)当1m =时，,()0x ∈+∞时，不等式(2)(2)4[()()]f x f x b f x f x -->--恒成立，求b 的取值范围.（切线，中下，单调性，中下；第二问，未；）1.（2022年湖北襄阳五中J24）已知函数()e 2xf x ax b =-+在0x =处的切线经过点()1,2.（1）若函数()f x 至多有一个零点，求实数a 的取值范围；（⑪）（2）若函数()f x 有两个不同的零点()1212,x x x x <，且25x >，求证：12211x x a ax >-.（23e 2.7,e 7.4,e 20.1≈≈≈）（切线，中下；零点分析，中档，未；第二问，未；）1.（2022年湖南三湘名校J45）已知函数()x f x e =（其中e 是自然对数的底数）.过点(,1)(0)P m m >作曲线()y f x =的两条切线，切点坐标分别为()()()121212,e ,,e x x x x x x <.(1)若21x =，求m 的值；（⑫）(2)证明：12x x +随着m 的增大而增大.（切线，易；第二问，未；）2.（2022年湖北武汉J01）定义在π,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上的函数()()sin f x x k x =-.（⑬）（1）当π6k =时，求曲线()y f x =在点π,06⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；（2）将()f x 的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列{}n x ，若()()120f x f x +=，求k 的值.（切线，中下；第二问，未；）3.（2022年湖北四校联考J17）已知函数()()e ln (0),ln x f x a x b x g x x x x=+->=+．（⑭）（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为2e 3y x =+-，求,a b ；（2）在（1）的条件下，若()()f m g n =，比较m 与n 的大小并证明．（切线，中下；第二问，未；）①【答案】（I ）(1),(0)y a x a =->；（II ）证明见解析；（III ）[),e -+∞【解析】【分析】（I ）求出()f x 在0x =处的导数，即切线斜率，求出()0f ，即可求出切线方程；（II ）令()0f x '=，可得(1)x a x e =+，则可化为证明y a =与()y g x =仅有一个交点，利用导数求出()g x 的变化情况，数形结合即可求解；（III ）令()2()1,(1)xh x x x e x =-->-，题目等价于存在(1,)x ∈-+∞，使得()h x b ≤，即min ()b h x ≥，利用导数即可求出()h x 的最小值.【详解】（I ）()(1)x f x a x e =-+'，则(0)1f a '=-，又(0)0f =，则切线方程为(1),(0)y a x a =->；（II ）令()(1)0x f x a x e =-+='，则(1)x a x e =+，令()(1)x g x x e =+，则()(2)x g x x e '=+，当(,2)x ∈-∞-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(2,)x ∈-+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，当x →-∞时，()0g x <，()10g -=，当x →+∞时，()0g x >，画出()g x 大致图像如下：所以当0a >时，y a =与()y g x =仅有一个交点，令()g m a =，则1m >-，且()()0f m a g m '=-=，当(,)x m ∈-∞时，()a g x >，则()0f x '>，()f x 单调递增，当(),x m ∈+∞时，()a g x <，则()0f x '<，()f x 单调递减，x m =为()f x 的极大值点，故()f x 存在唯一的极值点；（III ）由（II ）知max ()()f x f m =，此时)1(1,m a m e m +>-=，所以()2max {()}()1(1),mf x a f m a m m e m -=-=-->-，令()2()1,(1)xh x x x e x =-->-，若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意x ∈R 成立，等价于存在(1,)x ∈-+∞，使得()h x b ≤，即min ()b h x ≥，()2()2(1)(2)x x h x x x e x x e =+-=+'-，1x >-，当(1,1)x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以min ()(1)h x h e ==-，故b e ≥-，所以实数b 的取值范围[),e -+∞.【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明y a =与()y g x =仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在(1,)x ∈-+∞，使得()h x b ≤，即min ()b h x ≥.②【答案】（1）11y e=-；（2）答案不唯一，见解析.【解析】【分析】（1）求出导函数()'f x ，得切线斜率(1)f '，从而可得切线方程；（2）定义域是(0,)+∞，在0a ≤时直接由函数()f x 的解析式确定无零点（需用导数证明ln 0x x -<），在1a >时，由导函数()'f x ，得单调性，确定函数的最大值为(1)f ，根据(1)f 的正负分类讨论．在(1)0f >时，通过证明()0f a <和1(0f a<，得零点个数．【详解】（1）当1a =时，()ln x x e f x x x =+-，()111f e=-，()111xe xf x x -'=+-，()10f '=，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为11y e=-．（2）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()1111111e e e x x x x x x a f x a a x x x x ---⎛⎫⎛⎫'=+-=+⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．①当0a =时，()0e xxf x =>，()f x 无零点．②当0a >时，10e x ax+>，令()0f x '>，得01x <<，令()0f x '<，得1x >，所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()f x 有最大值()11ef a =-．当10ea -<，即1e >a 时，()f x 无零点．当10e a -=，即1a e=时，()f x 只有一个零点．当10a e ->，即10a e<<时，()10f >，()()ln a a e f a a a a =+-，令()ln 1g x x x =-+，则()111xg x x x-'=-=，则()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 10g x g ==，所以()ln 10g x x x =-+≤，因此当10a e <<时，ln 1a a -<-，()()1ln 1a a a a a f a a a a a a e e e ⎛⎫=+-<-=- ⎪⎝⎭．因为0a >，所以1ae >，于是()110af a a e ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭．又()f x 在()0,1上单调递增，()10f >，且1a <，所以()f x 在()0,1上有唯一零点．1111111ln ln 1a aa a f a a a a a e a e ⎛⎫⎛⎫=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当10a e<<时，1e a >，令()2e x h x x =-，其中x e >，则()2xh x e x '=-，令()2xx e x ϕ=-，x e >，则()20xx e ϕ'=->，所以()h x '在(),e +∞上单调递增，()20eh x e e '>->，所以()h x 在(),e +∞上单调递增，()20eh x e e >->，故当x e >时，2x e x >．因为1e a >，所以211ae a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即11aa e a <，所以111ln 1ln 1aa f a a a a a a e ⎛⎫=--<-- ⎪⎝⎭．由ln 10x x -+≤，得11ln10a a -+<，即1ln 10a a--+<，得ln 10a a a --<，于是10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭．又()10f >，11a>，()f x 在()1,+∞上单调递减，所以()f x 在()1,+∞上有唯一零点．故10ea <<时，()f x 有两个零点．③当0a <时，由ln 10x x -+≤，得ln 10x x -≤-<，则()ln 0a x x ->，又当0x >时，0e xx>，所以()0f x >，()f x 无零点．综上可知，0a ≤或1a e >时，()f x 无零点；1a e =时，()f x 只有一个零点；10a e<<时，()f x 有两个零点．【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的零点个数．解题关键是求出函数的导数()'f x ，由()'f x 确定单调性和最值，本题在最大值(1)f 0>的情况下，通过证明()f a 0<和10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，结合零点存在定理得出零点个数．难度较大，对学生的要求较高，属于困难题．③【答案】(1)（i ）11a b =⎧⎨=⎩，（ii ）答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）（i ）求出导数，由题可得(0)0(0)1f f =⎧⎨='⎩即可求出；（ii ）根据导数的正负即可求出.（2）求出导数，构造函数()(1)1x g x ae x =+-，利用零点存在定理可判断函数的变化情况，得出单调性即可判断.(1)（i ）()11xf x ae x =-+'，由已知得，(0)0(0)1f f =⎧⎨='⎩，故10ln 1a a b -=⎧⎨-=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩；（ii ）1()(1)1xf x e x x '=->-+，显然()'f x 在(1,)-+∞上单调递增，又(0)0f '=，所以10x -<<时，()0f x '<；0x >时，()0f x '>，因此()f x 在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增．(2)()ln(1)ln xf x ae x a =-+-，则1(1)1()11x xae x f x ae x x '+-=-=++，令()(1)1x g x ae x =+-，0a >，1x ≥-，显然()g x 在[1,)-+∞上单调递增，又(1)0g -<，10g a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以存在11,t a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()0g t =，当1x t -<<时，()0<g x ；x t >时，()0>g x ，所以1x t -<<时，()0f x '<；x t >时，()0f x '>，即()f x 在(1,)t -上单调递减；在(,)t ∞+上单调递增，因此f (x )有唯一极小值点t ．④【答案】（1）e（2）8【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义求出()f x 在1x =-处的切线方程，根据切线与y 轴交于点210,e e ⎛⎫-⎪⎝⎭，即可求得a ；（2）法一：由（1）知()1e e xf x x -=+，则不等式可化为()1e 1e 0x x b x ---+≥，构造函数()()1e1e x g x x b x -=--+，利用导数并讨论导数的正负，从而求得存在()02,x ∈-+∞，()()()01000min e 1e 0x g x g x x b x -==--+≥，分离参数，表示出()0101e x b x -=+，构造新函数，结合导数求得32e e3e 3b --≤≤，进而求得答案；法二：讨论x 的取值范围，从而分离出参数b ，在1x >，21x -£<的情况下，分别构造函数，利用导数判断单调性求的最值，最后确定32e e3e 3b --≤≤，由此可得答案；法三：令2x =-，由()()1f x b x ≥-可解得32e e13b --≥>-，从而取0m =，证明证当0b =时，不等式1e e 0x x -+≥在2x ≥-时恒成立，令2x =，由()()1f x b x ≥-，解得3e b ≤，故取8M =，再证当8b =时，不等式()1e 81e 0x x x ---+≥在2x ≥-时恒成立，由此求得答案.【小问1详解】依题意得：()()11e x f x x -'=+，所以()10f '-=.又因为()211e f a -=-+，所以()f x 在1x =-处的切线方程为21ey a =-+，因为曲线()y f x =在1x =-处的切线与y 轴交于点210,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2211e e e a -+=-，解得e a =.【小问2详解】解法一:由（1）知()1e e xf x x -=+，则不等式可化为()1e 1e 0x x b x ---+≥，设()()1e1e x g x x b x -=--+，则()()11e x g x x b -='+-，设()()x g x ϕ'=，则()()12e x x x ϕ-=+'，因为[)2,x ∈-+∞，所以()0x ϕ'≥，所以()x ϕ在[)2,-+∞单调递增，即()g x '在[)2,-+∞单调递增，所以()()3min 2e g x g b -=-=-'-'，①若3e b -≤-，则()()20g x g '-'≥≥，所以()g x 在[)2,-+∞单调递增，所以()()3min 22e3e 0g x g b -=-=-++≥，解得32e e 3b --≥，所以332e e e 3b ---≤≤-；②若3e b ->-，则()()min 20g x g =-'<'，因为()g x '在[)2,-+∞单调递增，当3e 0b --<≤时，()100eg b ='->，则存在()2,0x ∈-使得()0g x '=，当0b >时，取{}max 0,ln 1n b =+，则()0g n >，所以存在()12,x n ∈-，使得()10g x '=，综上，当3e b ->-时，存在()02,x ∈-+∞，使得()00g x '=，即()0101e 0x x b -+-=，故当02x x -<<时，()0g x '<，则()g x 在()02,x -单调递减，当0x x >时，()0g x '>，则()g x 在()0,x +∞单调递增，所以()()()01000min e1e 0x g x g x x b x -==--+≥,（*）由()0101e 0x x b -+-=，得()0101e x b x -=+，代入（*）得()()()000111200000e 1e 1e 1e e 0x x x x x x x x ----+-+=-+++≥，设()()211e e x F x x x -=---+，则()()()()2112e 21e x x F x x x x x --=-+---'=+，因为2x ≥-，所以由()0F x '=得1x =，当21x -<<时，()0F x '>，所以()F x 在()2,1-上单调递增，当1x >时，()0F x '<，所以()F x 在()1,+∞单调递减，又因为()32e e 0F -=-+<，()11e 0F =+>，()20F =，所以当2x >时，()0F x <，所以满足()012001ee 0x x x --+++≥的0x 的取值范围是022x -<≤，又因为()0101ex b x -=+，设()()11e x H x x -=+，则()()12e 0x H x x -+'=≥，所以()H x 在()2,-+∞单调递增，所以3e 3e b --<≤，综上所述32e e 3e 3b --≤≤，又因为32e e 103---<<，83e 9<<所以0m =，8M =，所以8M m +=.解法二：由（1）知：()1e e x f x x -=+，则()1e 1e 0x x b x ---+≥，①当1x =时，左边等于1e 0+≥恒成立，此时b ∈R ；②当1x >时，原不等式可化为1e e 1x x b x -+≤-对任意()1,x ∈+∞恒成立.设()1e e 1x x h x x -+=-，则()()()2121e e1x x x h x x --'--=设()()211e e x k x x x -=---，则()()()()2112e 21e x x k x x x x x --=+-'=+-.因为1x >，所以()0k x '>，所以()k x 在()1,+∞上单调递增.又因为()()220h k '==，所以2x =是()h x '在()1,+∞上的唯一零点，所以当12x <<时，()0h x '<，()h x 在()1,2上单调递减，当2x >时，()0h x '>，()h x 在()2,+∞上单调递增，所以()()min 23e h x h ==，所以3e b ≤.③当21x -£<时，原不等式可化为1e e 1x x b x -+≥-，此时对于②中函数()k x 的导函数，()()()()2112e 21e x x k x x x x x --=+-'=+-，可知当21x -£<时，()0k x '<，所以()k x 在21x -£<单调递减，且()325ee 0k --=-<，所以当21x -£<时，()()20k x k <-<，所以当21x -£<时，()0h x '<，所以()h x 在[)2,1-上单调递减，所以()3max 2e e (2)3h x h --=-=，所以32e e 3b --≥，综上所述32e e 3e 3b --≤≤，又因为32e e 103---<<，83e 9<<所以0m =，8M =，所以8M m +=.解法三：令2x =-，由()()1f x b x ≥-得()32e 3e b --≥--，解得32e e 13b --≥>-，取0m =，下证当0b =时，不等式1e e 0x x -+≥在2x ≥-时恒成立，设()1e e x g x x -=+，则()()11e x g x x -=+'，由()0g x '=可得1x =-，当21x -<<-时，()0g x '<，所以()g x 单调递减，当1x >-时，()0g x '>，所以()g x 单调递增，所以()()2min 11e 0e g x g =-=-+≥，所以0m =符合题意；令2x =，由()()1f x b x ≥-得2e 20b -+≥，解得3e b ≤，取8M =，下证当8b =时，不等式()1e81e 0x x x ---+≥在2x ≥-时恒成立，设()1e e x h x x -=+，则()()11e x h x x -=+'，令()0h x '=，则1x =-，所以当21x -<<-时，()0h x '<，则()h x 在()2,1-上单调递减，当1x >-时，()0h x '>，则()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()211e 0e h x h ≥-=->，所以当21x -≤≤时，()1e81e 0x x x ---+≥恒成立.当1x >时，10x ->，所以()()813e 1x x -<-，所以()()11e 81e e 3e 1e x x x x x x ----+>--+，设()()1e 3e 1e x k x x x -=--+，则()()11e 3e x k x x -'=+-，设()()x k x ϕ'=，则()()12e 0x x x ϕ-+'=≥，所以()k x '在()1,+∞单调递增，且()20k '=，所以当12x <<时，()0k x '<，则()k x 在()1,2单调递减，当2x >时，()0k x '>，则()k x 在()2,+∞单调递增，所以()()min 20k x k ==，所以()0k x ≥，所以()1e 81e 0x x x ---+≥，综上当8M =时，不等式()1e81e 0x x x ---+≥在2x ≥-时恒成立，所以8M m +=.【点睛】本小题主要考查函数的单调性､导数､导数的几何意义及其应用､不等式等基础知识，考查推理论证能力､运算求解能力､创新意识等，考查分类与整合思想､数形结合思想､一般与特殊思想，涉及的核心素养有直观想象､数学抽象､数学运算､逻辑推理等，体现综合性与创新性.⑤【答案】（1）10x y -+=（2）①2②见解析【解析】【详解】试题分析：（1）将1a =代入到函数()f x ，再对()f x 求导，分别求出()0f 和()'0f ，即可求出切线方程；（2）①若函数()f x 在定义域上为单调增函数，则()'0f x ≥恒成立，则先证明1x e x ≥+，构造新函数，求出单调性，再同理可证ln 1x x ≤-，即可求出a 的最大整数值；②由①得()ln 2x e x ≥+，令1t x t -+=，可得11ln tt t e t -++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，累加后利用等比数列求和公式及放缩法即可得证.试题解析：（1）当1a =时，()()()1ln 1xf x e x x x =-+++∴()01f =，又()()'ln 1xf x e x =-+，∴()'01f =，则所求切线方程为1y x -=，即10x y -+=．（2）由题意知，()()'ln xf x e x a =-+，若函数()f x 在定义域上为单调增函数，则()'0f x ≥恒成立．①先证明1x e x ≥+．设()1x g x e x =--，则()'1xg x e =-，则函数()g x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，∴()()00g x g ≥=，即1x e x ≥+．同理可证ln 1x x ≤-∴()ln 21x x +≤+，∴()1ln 2xe x x ≥+≥+．当2a ≤时，()'0f x >恒成立．当3a ≥时，()'01ln 0f a =-<，即()()'ln 0xf x e x a =-+≥不恒成立．综上所述，a 的最大整数值为2．②由①知，()ln 2x e x ≥+，令1t x t-+=，∴111ln 2ln t t t t e t t -+-++⎛⎫⎛⎫≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴11ln t t t e t -++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭．由此可知，当1t =时，0ln2e >．当2t =时，213ln 2e -⎛⎫> ⎪⎝⎭，当3t =时，324ln 3e -⎛⎫> ⎪⎝⎭， ，当t n =时，11ln nn n e n -++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭．累加得0121n e e e e ---+++++> 23341ln2ln ln ln 23n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．又0121n e e e e ---+++++= 11111111n e e e e e⎛⎫- ⎪⎝⎭<=---，∴2334ln2ln ln 23⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1ln 1nn e n e +⎛⎫++< ⎪-⎝⎭ ．点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；（3）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和及放缩法.⑥【答案】（1）1,1a b ==；证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得()10f -=，()111ef -=-+'，即可解得a 、b ，从而得到()()()1e 1x f x x =+-，设()f x 在()1,0-处的切线l 方程为()y h x =，令()()()F x f x h x =-，利用导数说明函数的单调性，即可得证；（2）由（1）知()()11f x h x ≥，设()h x m =的根为1x '，则1e 11em x '=-+-，即可得到11x x '≤，在设()y f x =在()0,0处的切线方程为()y t x =，令()()()T x f x t x =-，利用导数说明函数的单调性，即可得到()()22f x t x ≥．设()t x m =的根为2x '，则2x m '=，再说明22x x '≥，即可得证；【小问1详解】解：将1x =-代入切线方程()e 1e e l 0x y -++-=，有0y =，所以()10f -=，所以()()1110e f b a ⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭，又()()1e x f x x b a +'=+-，所以()111e e b f a -=-=-+'，若1ea =，则2e 0b =-<，与0b >予盾，故1a =，1b =．∴()()()1e 1x f x x =+-，()00f =，()10f -=，设()f x 在()1,0-处的切线l 方程为()()111e y h x x ⎛⎫==-+⎪⎝⎭，令()()()F x f x h x =-，即()()()()11e 111e x F x x x ⎛⎫=+---+ ⎪⎝⎭，所以()()12e e x F x x =+-'，当2x -≤时，()()112e 0e ex F x x =+-≤-<'，当2x >-时，设()()()12e ex G x F x x =+-'=，()()3e 0x G x x =+>'，故函数()F x '在()2,-+∞上单调递增，又()10F '-=，所以当()2,1x ∈--时，()0F x '<，当()1,x ∈-+∞时，()0F x '>，综合得函数()F x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增，故()()10F x F ≥-=，即函数()y f x =的图象总在切线l 的上方（除切点外）．【小问2详解】解：由（1）知()()11f x h x ≥，设()h x m =的根为1x '，则1e 11em x '=-+-，又函数()h x 单调递减，故()()()111f x h h x x =≥'，故11x x '≤，设()y f x =在()0,0处的切线方程为()y t x =，因为()00f =，()()2e 1xf x x '=+-，所以()01f '=，所以()t x x =．令()()()()()1e 1x T x f x t x x x =-=+--，()()2e 2xT x x =+-'，当2x -≤时，()()2e 220xT x x =+-≤-<'，当2x >-时，设()()()2e 2x H x T x x ==+-'，则()()3e 0xH x x =+>'，故函数()T x '在()2,-+∞上单调递增，又()00T '=，所以当()2,0x ∈-时，()0T x '<，当()0,x ∈+∞时，()0T x '>，综合得函数()T x 在区间(),0∞-上单调递减，在区间()0,∞+上单调递增，所以()()00T x T ≥=，即()()22f x t x ≥．设()t x m =的根为2x '，则2x m '=，又函数()t x 单调递增，故()()()222f x t t x x =≥'，故22x x '≥，又11x x '≤，所以()221112e e 111e 1em m x x x x m -⎛⎫''-≤-=--+=+ ⎪--⎝⎭．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．⑦【答案】（1）2y x=（2）(,1)-∞-【解析】【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对a 分类讨论,对x 分(1,0),(0,)-+∞两部分研究【小问1详解】()f x 的定义域为(1,)-+∞当1a =时,()ln(1),(0)0ex x f x x f =++=,所以切点为(0,0)11(),(0)21ex x f x f x ''-=+=+,所以切线斜率为2所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x=【小问2详解】()ln(1)e xaxf x x =++()2e 11(1)()1e (1)e x x x a x a x f x x x '+--=+=++设()2()e 1x g x a x =+-1︒若0a >,当()2(1,0),()e 10x x g x a x ∈-=+->,即()0f x '>所以()f x 在(1,0)-上单调递增,()(0)0f x f <=故()f x 在(1,0)-上没有零点,不合题意2︒若10a - ,当,()0x ∈+∞,则()e 20x g x ax '=->所以()g x 在(0,)+∞上单调递增所以()(0)10g x g a >=+ ,即()0f x '>所以()f x 在(0,)+∞上单调递增,()(0)0f x f >=故()f x 在(0,)+∞上没有零点,不合题意3︒若1a <-(1)当,()0x ∈+∞,则()e 20x g x ax '=->,所以()g x 在(0,)+∞上单调递增(0)10,(1)e 0g a g =+<=>所以存在(0,1)m ∈,使得()0g m =,即()0'=f m 当(0,),()0,()x m f x f x '∈<单调递减当(,),()0,()x m f x f x '∈+∞>单调递增所以当(0,),()(0)0x m f x f ∈<=当,()x f x →+∞→+∞所以()f x 在(,)m +∞上有唯一零点又(0,)m 没有零点,即()f x 在(0,)+∞上有唯一零点(2)当()2(1,0),()e 1x x g x a x∈-=+-设()()e 2x h x g x ax '==-()e 20x h x a '=->所以()g x '在(1,0)-单调递增1(1)20,(0)10eg a g ''-=+<=>所以存在(1,0)n ∈-,使得()0g n '=当(1,),()0,()x n g x g x '∈-<单调递减当(,0),()0,()x n g x g x '∈>单调递增,()(0)10g x g a <=+<又1(1)0eg -=>所以存在(1,)t n ∈-,使得()0g t =,即()0f t '=当(1,),()x t f x ∈-单调递增,当(,0),()x t f x ∈单调递减有1,()x f x →-→-∞而(0)0f =,所以当(,0),()0x t f x ∈>所以()f x 在(1,)t -上有唯一零点,(,0)t 上无零点即()f x 在(1,0)-上有唯一零点所以1a <-,符合题意所以若()f x 在区间(1,0),(0,)-+∞各恰有一个零点,求a 的取值范围为(,1)-∞-【点睛】方法点睛：本题的关键是对a 的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.⑧【答案】（1）2,2ea b ==-（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用导数的意义列方程组()()()'1211f e f e ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，即可解得；（2）（i ）求出导函数2()(1)e x f x x x '=+-.利用导数和零点存在对立即可证明；（ii ）求出0000001()e 2ln 2(ln )1x f x x x x x =-=-+，令11()2(ln )(1)12x x x x ϕ=-<<+，利用导数判断出()y x ϕ=在(,1)2上单调递减，即可证明122741()(2(ln 2)2(2331015x ϕϕ<=+<+=；要证031()15f x >，即证0320312ln 15x x x x+>.令()x F x x =1(1)2x <<，利用导数证明出1()( 2.332F x F >≈；令32312ln 115()(1)2x G x x x+=<<，利用导数证明出1130max()(e ) 2.312G x G -=≈，得到()()G x F x <，即可证明.【小问1详解】定义域为(0,)+∞，'((e )1)xa f x x x=+-由题意知()()()()'1221121f e a e f e b e ⎧=-=-⎪⎨=-+=⎪⎩，解得2,2e a b ==-.【小问2详解】（i ）由（1）知()e 2ln x f x x x =-，2()(1)e xf x x x'=+-令()()h x f x '=，则22()(2)e 0xh x x x'=++>，从而()y h x =即()y f x '=单调递增又13e 8(1)2e 20,()022f f -''=->=<，故存在唯一的01(,1)2x ∈使得0()0f x '=x 0(0,)x 0x 0(,)x +∞()'f x -0+()f x极小值从而()y f x =有且仅有一个极小值点0x x =，且01(,1)2x ∈（ii ）00002()(1)e 0x f x x x '=+-=，()y f x =的极小值000000()e 2ln 2(ln )1x f x x x x x =-=-+令11()2(ln )(1)12x x x x ϕ=-<<+，则222'()0(1)x x x ϕ=--<+，从而()y x ϕ=在1(,1)2上单调递减，122741()(2(ln 2)2(2331015x ϕϕ<=+<+=，故041()15f x <下证031()15f x >0320312ln e15x x x x+>一方面令e ()xF x x =1(1)2x <<，则32e (21)()02x x F x x -'=>，则()F x 在1(,1)2上单调递增，从而1()()2e 2.332F x F >=≈另一方面，令32312ln 115()(1)2x G x x x +=<<，52113ln 10'()x G x x --=令()0'=G x 有1130e x -=x 11301(,e )2-1130e-1130(e,1)-()G x '+0-()G x极大值从而110.5530max 44()(e)e 1.734 2.31233G x G -==≈⨯≈从而()()G x F x <32312ln e15xx xx+>成立，故031()15f x >.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围；（4）利用导数证明不等式.⑨【答案】（1）极大值为(1)0f =，无极小值.（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义得1b =-，进而得'11()10xf x x x-=-==，再列表求解即可；（2）根据题意，只需证明2e ln e e xx x x a ≥+，由于函数e ,0x y x x >=在()0,∞+上单调递增，e 0x y x =>，故转化为证明2ln e t t a ≥+，再令()2ln ,0et t g t a t -->=，再求函数最值即可证明.【小问1详解】解：1a =，()ln 1f x x bx =++，'1()f x b x=+，因为曲线()y f x =在2x =处的切线与直线210x y ++=平行，所以，'11(2)22f b =+=-，解得1b =-，所以，()ln 1f x x x =-+，'11()10xf x x x-=-==，解得1x =，所以，x ，'()f x ，()f x 的变化情况如下表，x ()0,11()1,+∞'()f x ++()f x 单调递增极大值单调递减所以，当1x =时，()f x 有极大值(1)0f =，无极小值.【小问2详解】解：当1,1b a =≤-，()ln f x x x a =++，因为222()e ee ln ln e ex x x x f x x x x x a x a x --≥⇔≥++⇔≥+，所以只需证明2e ln e exx x x a ≥+成立即可.令e ,0x y x x >=，则()'1e 0,0xy x x =+>>，所以，函数e ,0x y x x >=在()0,∞+上单调递增，即e 0x y x =>.令e ,0xx t t =>，则22e ln e ln e ex x x tx a t a ≥+⇔≥+，令()2ln ,0e t t g t a t -->=，则()2'2211e e e t t t t g --==，所以，当()20,et ∈时，()'0g t <，()g t 单调递减，当()2e ,t ∈+∞时，()'0g t >，()g t 单调递增，所以，()()22e1ln e1a a g g t ≥=--=--，因为1a ≤-，所以10a --≥，即()0g t ≥，所以2ln ett a ≥+成立，所以2()ex f x x-≥成立，证毕.⑩【答案】(1)0=t ；()f x 的单调递减区间为(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞.(2)b 的取值范围为(,2]-∞.【分析】（1）、先求出切线方程，根据切线经过点(1,1)即可求出t 的值；求出()f x '，分0m ≥，0m <两种情况讨论函数的单调区间即可;（2）、将原不等式转化为函数值在,()0x ∈+∞时恒大于零问题，分类讨论即可得到b 的取值范围.(1)2()e mx f x x mx t =+-+ ，()e 2mxf x m x m '∴=+-，(0)0f '∴=，又()01f t =+ ，∴切线方程为1y t =+，又 切线经过点(1,1)，11t ∴+=，0t ∴=，故2()e mx f x x mx =+-，()()1e 2e 2mx mx f x m x m m x '=-=+-+.①、若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，e 10mx -≤，()0f x '<；当,()0x ∈+∞时，e 10mx -≥，()0f x '>.所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.②、若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，e 10mx ->，()0f x '<；当,()0x ∈+∞时，e 10mx -<，()0f x '>.所以()f x 在(,0)-∞上单调区间递减，在(0,)+∞上单调区间递增.综上所述：()f x 的单调递减为(,0)-∞，单调递增(0,)+∞.(2)当1m =时，2()e x f x x x =+-,22(2)(2)e 4e x x x f x f x -∴----=,()()e e 2x x x f x f x -----=,(2)(2)4[()()]f x f x b f x f x -->-- ,()22e e 4e e 42x x x x x b x --∴----≥,()22e e 4e e (84)0x x x x b b x --∴---+-≥在,()0x ∈+∞上恒成立.设()22()e e 4e e (84)x x x xg x b b x --=---+-，,()0x ∈+∞()()()()22()2e e 2e e 422e e 2e e 22x x x xx x x x g x b b b ----⎡⎤'∴=+-++-=+-+-+⎣⎦，且e e2xx-+>.①、当2b ≤时，e e 20,e e 220x x x x b --+->+-+>,()0g x '∴≥，当且仅当0x =时等号成立，所以()g x 在,()0x ∈+∞上单调递增，而()00g =，所以对0x >时，()0>g x .符合题意②、当2b >时，若x 满足2e e 22x x b -<+<-，即(20ln 12x b b b <<--时，()0g x '<，而(0)0g =，因此(20ln 12x b b b <<-+-时，()0<g x ,不符合题意.综上:b 的取值范围为(,2]-∞.⑪【答案】（1）2e 2a ≤（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据切线过点()1,2可得2b a =，参变分离后研究()e 1xg x x =-的单调性，得到极值，数形结合得到答案；（2）在第一问基础上，得到22e a >，对不等式变形，结合放缩，转化为只需证22212e 20(4)t t t +->>，二次求导后得到证明.【小问1详解】()e 2x f x a =-'，∴()012f a '=-，∴0x =处的切线方程为()121y a x b =-++，切线过点()1,2，所以2b a =，∴()e 22x f x ax a =-+.∵()()1e 0,f f x =≠∴的零点不为1，∴e 21xa x =-在()(),11,-∞+∞ 上至多一个解.设1t x =-，则1e 2()t a g t t+==在()(),00,∞-+∞U 上至多一个解.1122111()()e e t t t g t t t t++-'=-=，令()0g t '>得：1t >，令()0g t '<得：01t <<或0t <，∴()g t 在(),0∞-和(]0,1上单调递减，[)1,+∞上单调递增，当0t <时，()0g t <恒成立，当0t >时，()g t 在1t =处取得极小值，且2(1)e g =，画出函数图象如图所示：所以22(1)e a g ≤=时，()f x 至多有一个零点，∴2e 2a ≤【小问2详解】由（1）知，要想有两个不同零点，则22e a >且12(0,1),(1,)t t ∈+∈∞，即()()121,2,2,x x ∈∈+∞，故要证12211x x a ax >-，只需证121ax x >-，由（1）知()()11110,1,1,2t x x =-∈∴∈，故只需证221x t a -=<，∵21222e (14)2t t x t a +==->.只需证：21222e (4)2t t t t +><，即22212e 20(4)t t t +->>，令()()()121e 24,e 4t t h t t t h t t ++=->'=-，15()e 4e 40t h t +''=->->，∴()h t '在()4,+∞上递增，∴()5416)e 0(h t h '>'=->，∴()h t 在()4,+∞上递增，∴()()54e 320h t h >=->，∴2122e 2t t +>，∴12211x x a ax >-【点睛】导函数研究函数零点问题，参变分离是一种重要方法，把零点问题转化为函数交点问题，通过构造函数，研究构造函数的单调性，极值和最值，数形结合得到答案.⑫【答案】(1)1em =(2)证明见解析【分析】(1)由导数的几何意义求切线方程，由点P 在切线上列方程求m 的值；(2)由导数的几何意义可得1x ，2x 是方程11e x m x =+-的两根，设21(0)x x t t -=>由此可得()1222e 1e e tx x tt +-=，证明t 随着m 的增大而增大，12e x x +随着t 的增大而增大，由此证明12x x +随着m 的增大而增大.(1)因为21x =，所以切点为(1,)e ，又()e x f x '=，则(1)e f '=，所以切线方程为e(1)e e y x x =-+=，因为切线过点(,1)P m ，所以1e m =，解得1em =；(2)设切点为()00,e x x ，因为()()000 e x f x f x '==，则切线方程为()000e e x x y x x =-+，因为切线过点(,1)P m ，所以()0001e e xxm x =-+，整理得0011(0)e x m x m =+->，所以1x ，2x 是方程11e xm x =+-的两根，设1()1e xg x x =+-，则1()1e x g x '=-，令()0g x '=，解得0x =，当0x <时，()0g x '<，()g x 在(,0)-∞上单调递减，当0x >时，()0g x '>，()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以120x x <<，设1()g x m =的两根为()1212,0x x x x ''''<<，其中10m m >>，则由()g x 单调性可知，11220x x x x ''<<<<，所以2121x x x x ''->-，设21(0)x x t t -=>，即t 随着m 的增大而增大，因为12121111e e x x m x x =+-=+-，所以111111e e x x t x x t ++=++，整理得1e 1e e t x tt -=，所以21e 1e et x x tt +-==，所以()1222e 1e (0)e t x x t t t +-=>，设()22e 1()(0)et t h t t t -=>，则()()()()()2222322e e 1e 2e e 1e 1(2)e 2()e e t t t t t tttt t t t t t h t t t '⎡⎤-⋅-+⋅---++⎣⎦==，设()(2)e 2t t t t ϕ=-++，则()(1)e 1t t t ϕ'=-+，()(1)e 1t m t t =-+，则'()e 0t m t t =>所以()t ϕ'单调递增，所以()(0)0t ϕϕ''>=，所以()t ϕ单调递增，所以()(0)0t ϕϕ>=，即()0,()h t h t '>单调递增，所以12e x x +随着t 的增大而增大，又t 随着m 的增大而增大，所以12x x +随着m 的增大而增大.【点睛】本题解决的关键在于根据函数方程的思想确定1x ，2x 是方程11e xm x =+-的两根和构造函数证明12e x x +随着21x x -的增大而增大.⑬【答案】（1）2π144（2）π2【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义及点斜式，再结合三角形的面积公式即可求解；（2）根据已知条件及正切函数的性质，利用导数法求函数的极值及函数存在性定理，再根据零点范围及三角函数相等的角的关系即可求解.【小问1详解】当π6k =时，()()ππsin ,sin cos 66f x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎝⎭'⎭，故ππ1sin 662f ⎛⎫== ⎪'⎝⎭.曲线()y f x =在点π,06⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率为π162k f ⎛⎫== ⎪⎝⎭'，曲线()y f x =在点π,06⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为1π26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令π0,12x y ==-.所以切线与y 轴的交点π0,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.此时所求三角形的面积为21πππ2126144⨯-⨯=.【小问2详解】()()sin cos f x x x k x=+-'当ππ22x -<<时，()()cos tan f x x x x k =⋅+-'.由函数tan y x x =+在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，且值域为R ，故存在唯一0ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得00tan x x k +=.此时当0π2x x -<<时，()()0,f x f x '<单调递减；当0π2x x <<时，()()0,f x f x '>单调递增，因此10x x =.同理，存在唯一'0π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得''00tan x x k +=.此时当'0π2x x <<时，()()0,f x f x '>单调递增；当'03π2x x <<时，()()0,f x f x '<单调递减，因此'20x x =.由()()211111111sin 10,tan ,cos cos cos x f x x k x f x x x x =-=-=-=-'.同理：()222222sin 1cos cos cos x f x x x x =-=-.由()()120f x f x +=，整理得：()12121cos cos 10cos cos x x x x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭.又12ππ3π222x x -<<<<，故12cos cos 1x x ≠，则有()122cos cos cos πx x x =-=-由2πππ22x -<-<，故12πx x =-或()12πx x =--.又1122tan tan k x x x x =+=+，当12πx x =-时，不满足，舍去.所以()12πx x =--，即12πx x +=，则1122tan tan π22x x x x k +++==.综上所述，π2k =.【点睛】解决此题的关键，第一问根据导数的几何意义及三角形的面积公式即可；第二问利用导数法求函数的极值的步骤，但此时无法解决导数函数的零点，只能通过函数零点存在性定理得出，再结合已知条件及零点范围及三角函数相等角的关系即可.⑭【答案】（1）2,1a b ==（2）m n ≤，证明见解析【解析】【分析】（１）求导得()'f x ，再求(1)f '的值即得切线的斜率，求出切点，利用点斜式求出切线方程，对比系数即可得答案;(2)先证明e 1x x ≥+，再令()()()h x f x g x =-，利用前面的结论说明()0h x ≥，最后根据()g x 的单调性证明即可.【小问1详解】解：()()()()2e 1(0),1e ,1x x af x x f b f a x x-=+>'=-='，所以()y f x =在1x =处的切线方程为e y ax b a =+--，比较系数可得2,1a b ==.【小问2详解】m n ≤.证明：设()=e 1xx x ϕ--，则()=e -1xx ϕ'，令()>0x ϕ'，则0x >；令()0ϕ'<x ，则0x <则0x =是()ϕx 的极小值点同时也是最小值点，故()()00x ϕϕ≥=即e 1x x ≥+（当且仅当0x =时等号成立）.令()()()h x f x g x =-，则()()ln e ln 1e ln 10xx x h x x x x x x-=+--=---≥，当且仅当ln 0=x x -=“”取“”，所以()(),f x g x ≥则有()(),f m g m ≥而()(),()()f m g n g m g n =∴≤，又()11,()g x g x x'=+∴ 单调递增，所以m n ≤.。

全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)全国卷历年高考函数与导数真题归类分析（含答案）（2015年-2018年共11套）函数与导数小题（共23小题）一、函数奇偶性与周期性1.（2015年1卷13）若函数$f(x)=x\ln(x+a+x^2)$为偶函数，则$a=$解析】由题知$y=\ln(x+a+x^2)$是奇函数，所以$\ln(x+a+x^2)+\ln(-x+a+x^2)=\ln(a+x-x)=\ln a$，解得$a=1$。

考点：函数的奇偶性。

2.（2018年2卷11）已知$$f(x)=\begin{cases}\frac{x+1}{x},x<0\\ax^2,x\geq0\end{cases}$$ 是定义域为$(-\infty,0)\cup[0,+\infty)$的奇函数，满足$f(\frac{1}{2})=1$。

若，$f'(-1)=-2$，则$a=$解：因为$f(x)$是奇函数，所以$f(-\frac{1}{2})=-1$，$f(0)=0$。

又因为$f'(-1)=-2$，所以$f'(-x)|_{x=1}=2$，$f'(0+)=0$，$f'(0-)=0$。

由此可得$$\begin{aligned}a&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{ax^2}{x}\\&=\lim\limits_{x\to0^+}ax\\&=\lim\limits_{x\to 0^-}ax\\&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$$ 故选B。

3.（2016年2卷12）已知函数$f(x)(x\in R)$满足$f(-x)=2-f(x)$，若函数$y=\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)$的图像的交点为$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_m,y_m)$，则$\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)=( )$解析】由$f(x)$的奇偶性可得$f(0)=1$，又因为$f(x)$是偶函数，所以$f'(0)=0$。

高考数学导数知识点大全导数作为高中数学的重要内容，在高考中占据着重要的地位。

掌握好导数的相关知识点，不仅可以帮助同学们在高考中取得好成绩，更能为日后的学习和科研打下坚实的基础。

本文将为大家详细介绍高考数学导数的知识点，帮助各位同学夯实导数的基本概念和应用技巧。

一、导数的定义在高中数学中，我们通常使用极限的概念来定义导数。

设函数y=f(x)，若当自变量x在某一点a的邻近时，函数值f(x)的增量f(x+△x)-f(x)与自变量增量△x之比的极限存在，记为f'(a)，则称f'(a)为函数f(x)在点a处的导数。

在导数的定义中，需要注意的是导数是描述函数在特定点处的变化率的概念，表示为斜率，具有方向性。

当导数为正时，函数单调递增；当导数为负时，函数单调递减；当导数为零时，函数可能是极值点。

二、导数的基本性质导数作为函数的一种重要性质，具有一些基本的性质，这些性质在解题中经常被使用到。

1. 和的导数等于导数的和若函数f(x)和g(x)在点a处都有导数，则有(f+g)'(a) = f'(a) +g'(a)。

2. 常数倍的导数等于导数的常数倍若函数f(x)在点a处有导数，则对于任意常数k，有(kf)'(a) =kf'(a)。

3. 乘积的导数公式若函数f(x)和g(x)在点a处都有导数，则有(fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)。

4. 商的导数公式若函数f(x)和g(x)在点a处都有导数，且g(a)≠0，则有(f/g)'(a) = [f'(a)g(a) - f(a)g'(a)]/[g(a)]^2。

三、常见函数的导数掌握常见的函数对应的导数形式，能够帮助我们更好地理解导数的应用。

1. 幂函数的导数设f(x) = x^n，则有f'(x) = nx^(n-1)。

2. 指数函数的导数设f(x) = a^x，则有f'(x) = a^xlna。

高考数学导数公式大全高考数学导数公式一、常用导数公式1、y=c(c为常数)y=02、y=x^ny=nx^(n-1)3、y=a^xy=a^xlna4、y=e^xy=e^x5、y=logaxy=logae/x6、y=lnxy=1/x7、y=sinxy=cosx8、y=cosxy=-sinx9、y=tanxy=1/cos^2x10、y=cotxy=-1/sin^2x11、y=arcsinxy=1/√1-x^212、y=arccosxy=-1/√1-x^213、y=arctanxy=1/1+x^214、y=arccotxy=-1/1+x^2高考数学复习的方法一、分类记忆法遇到数学公式较多，一时难于记忆时，可以将这些公式适当分组。

例如求导公式有18个，就可以分成四组来记：(1)常数与幂函数的导数(2个);(2)指数与对数函数的导数(4个);(3)三角函数的导数(6个);(4)反三角函数的导数(6个)。

求导法则有7个，可分为两组来记：(1)和、差、积、商复合函数的导数(4个);(2)反函数、隐函数、幂指数函数的导数(3个)。

二、推理记忆法许多数学知识之间逻辑关系比较明显，要记住这些知识，只需记忆一个，其余可利用推理得到，这种记忆称为推理记忆。

例如，平行四边形的性质，我们只要记住它的定义，由定义推理得它的任一对角线把它平分成两个全等三角形，继而推得它的对边相等，对角相等，相邻角互补，两条对角线互相平分等性质。

三、回想记忆法高考数学复习在重复记忆某一章节的知识时，不看具体内容，而是通过大脑回想达到重复记忆的目的，这种记忆称为回想记忆。

在实际记忆时，回想记忆法与标志记忆法是配合使用的。

高考数学复习的技巧1、数学基础知识的高考复习要充分重视知识的形成过程，解数学题(基础训练)要着重研究解题的思维过程，弄清基本数学方法和基本数学思想在解题中的意义和作用，研究运用不同的思维方法解决同一数学问题的多种途径，注意培养直觉猜想、归纳抽象、逻辑推理、演绎证明、运算求解等理性思维能力。

函数与导数综合【2020年】1.（2020·新课标Ⅰ）已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围. 2.（2020·新课标Ⅱ）已知函数f (x )=sin 2x sin2x . （1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性； （2）证明：33()8f x ≤； （3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22nx ≤34nn .3.（2020·新课标Ⅲ）设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直． （1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1． 4.（2020·北京卷）已知函数2()12f x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值． 5.（2020·江苏卷）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?6.（2020·江苏卷）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式； （2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围；（3）若()422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[] , D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -≤7.（2020·山东卷）已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围．8.（2020·天津卷）已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数． （Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； （Ⅱ）当3k -时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．9.（2020·浙江卷）已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e =2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0)+∞，上有唯一零点； （Ⅱ）记x 0为函数()y f x =在(0)+∞，上的零点，证明：（ⅰ0x ≤≤； （ⅱ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．【2019年】8．【2019年高考全国Ⅰ卷】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点．9．【2019年高考全国Ⅱ卷】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e x y =的切线. 10．【2019年高考全国Ⅲ卷】已知函数32()2f x x ax b =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.11．【2019年高考北京】已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．12．【2019年高考天津】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点，其中n ∈N ，证明20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．13．【2019年高考浙江】已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x >（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)e x ∈+∞均有(),2xf x a ≤ 求a 的取值范围． 注：e=2.71828…为自然对数的底数．14．【2019年高考江苏】设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值； （3）若0,01,1a b c =<=，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 【2018年】20. （2018年浙江卷）已知函数f (x )=−ln x ．（Ⅰ）若f (x )在x =x 1，x 2(x 1≠x 2)处导数相等，证明：f (x 1)+f (x 2)>8−8ln2；（Ⅱ）若a ≤3−4ln2，证明：对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f (x )有唯一公共点． 21. （2018年天津卷）已知函数，，其中a >1.（I ）求函数的单调区间；（II ）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；（III ）证明当时，存在直线l ，使l 是曲线的切线，也是曲线的切线22. （2018年北京卷）设函数=[]．（Ⅰ）若曲线y= f （x ）在点（1，）处的切线与轴平行，求a ；（Ⅱ）若在x =2处取得极小值，求a 的取值范围．23. （2018年江苏卷）记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S 点”．（1）证明：函数与不存在“S 点”； （2）若函数与存在“S 点”，求实数a 的值； （3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S 点”，并说明理由．24. （2018年江苏卷）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧（P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为．（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 25. （2018年全国I 卷理数）已知函数．（1）讨论的单调性； （2）若存在两个极值点，证明：26. （2018年全国Ⅲ卷理数）已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求．27. （2018年全国Ⅱ卷理数）已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求．【2017年】4.【2017课标1，理21】已知函数2()(2)xx f x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.5.【2017课标II ，理】已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥。

2023届全国高考数学复习：专题（导数的运算）重点讲解与练习1．基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[cf (x )]′＝cf ′(x )；[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)； 3．复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )与u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．(2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ꞏu ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．【方法总结】导数运算的原则和方法基本原则：先化简、再求导； 具体方法：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导． 【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝cos x e x ；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5)．[例2] (1) (2020ꞏ全国Ⅲ)设函数f (x )＝e x x ＋a ．若f ′(1)＝e4，则a ＝________．(2)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，则f (1)＝ ．(3)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x (4)(多选)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是( ) A ．f (x )＝sin x ＋cos x B ．f (x )＝ln x －2x C ．f (x )＝x 3＋2x －1 D ．f (x )＝x e x(5)已知f (x )的导函数为f ′(x )，若满足xf ′(x )－f (x )＝x 2＋x ，且f (1)≥1，则f (x )的解析式可能是( ) A ．x 2－x ln x ＋x B ．x 2－x ln x －x C ．x 2＋x ln x ＋x D ．x 2＋2x ln x ＋x 【对点训练】1．下列求导运算正确的是( )A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( )A ．x sin xB ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos x 3．(多选)下列求导运算正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(sin 2x )′＝2cos 2xC ．(x )′＝12xD ．(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x4．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋1x 2，则f ′(x )＝ ．5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，记f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )(n ∈N *)，若f (x )＝x sin x ，则f 2 019(x )＋f 2 021(x )＝( )A ．－2cos xB ．－2sin xC ．2cos xD ．2sin x 6．f (x )＝x (2 021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 022，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e7．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝ ．8．已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝ ．9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94D ．94 10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________．11．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝ ． 12．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)ꞏ2x ＋x 2，则f ′(2)＝( )A ．12－8ln 21－2ln 2B ．21－2ln 2C ．41－2ln 2 D ．－213．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1x D ．f (x )＝e x ＋x 14．f (x )＝3e x＋1＋x 3，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 15．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2．若f ′(2 020)＝6，则f ′(－2 020)＝______． 16．分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x ．(5)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2．参考答案【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝cos x e x ；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5)．解析 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x ．(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x －cos x (e x )′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x ． (3)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12sin4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ꞏ4cos 4x ＝－12sin 4x －2x cos 4x ． (4)令u ＝2x －5，y ＝ln u ．则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5ꞏ2＝22x －5，即y ′＝22x －5． [例2] (1) (2020ꞏ全国Ⅲ)设函数f (x )＝e xx ＋a．若f ′(1)＝e 4，则a ＝________． 答案 1 解析 f ′(x )＝e x (x ＋a )－e x (x ＋a )2＝e x (x ＋a －1)(x ＋a )2，则f ′(1)＝a e (a ＋1)2＝e 4，整理可得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1．(2)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，则f (1)＝ ．答案 －74 解析 ∵f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，∴f ′(x )＝4x －3f ′(1)＋1x x ＝1代入，得f ′(1)＝4－3f ′(1)＋1，得f ′(1)＝54．∴f (x )＝2x 2－154x ＋ln x ，∴f (1)＝2－154＝－74．(3)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x 答案 C 解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 022＝4×505＋2，∴f 2 022(x )＝f 2(x )＝cos x －sin x ．故选C ．(4)(多选)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝x 3＋2x －1D ．f (x )＝x e x答案 AB 解析 对于A ：f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ，∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴f ″(x )＜0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数，故A 正确．对于B ：f ′(x )＝1x －2，f ″(x )＝－1x 2＜0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数，故B 正确；对于C ：f ′(x )＝3x 2＋2，f ″(x )＝6x ＞0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数，故C 错误；对于D ：f ′(x )＝(x ＋1)e x ，f ″(x )＝(x ＋2)e x ＞0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数，故D 错误．故选AB ． (5)已知f (x )的导函数为f ′(x )，若满足xf ′(x )－f (x )＝x 2＋x ，且f (1)≥1，则f (x )的解析式可能是( ) A ．x 2－x ln x ＋x B ．x 2－x ln x －x C ．x 2＋x ln x ＋x D ．x 2＋2x ln x ＋x 答案 C 解析 由选项知f (x )的定义域为(0，＋∞)，由题意得xf ′(x )－f (x )x 2＝1＋1x ，即⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝1＋1x ，故f (x )x ＝x ＋ln x ＋c (c 为待定常数)，即f (x )＝x 2＋(ln x ＋c )x ．又f (1)≥1，则c ≥0，故选C ．【对点训练】1．下列求导运算正确的是( )A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 1．答案 B 解析 (log 2x )′＝1x ln 2，故B 正确． 2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( )A ．x sin xB ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos x 2．答案 B 解析 y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ． 3．(多选)下列求导运算正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(sin 2x )′＝2cos 2xC ．(x )′＝12xD ．(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x3．答案 BCD 解析 ∵a 为常数，∴sin a 为常数，∴(sin a )′＝0，故A 错误．由导数公式及运算法则知B ，C ，D 正确，故选BCD ．4．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋1x 2，则f ′(x )＝ ．4．答案 1cos 2x －2x 3 解析 f ′(x )＝(sin x )′ꞏcos x －sin x ꞏ(cos x )′cos 2x＋(x －2)′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＋(－2)x －3＝1cos 2x －2x 3． 5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，记f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )(n ∈N *)，若f (x )＝x sin x ，则f 2 019(x )＋f 2 021(x )＝( )A ．－2cos xB ．－2sin xC ．2cos xD ．2sin x5．答案 D 解析 由题意，f (x )＝x sin x ，f 1(x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x ＋cos x －x sin x ＝2cos x －x sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－3sin x －x cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝－4cos x ＋x sin x ，f 5(x )＝f ′4(x )＝5sin x ＋x cos x ，…，据此可知f 2 019(x )＝－2 019sin x －x cos x ，f 2 021(x )＝2 021sin x ＋x cos x ，所以f 2019(x )＋f 2 021(x )＝2sin x ，故选D ．6．f (x )＝x (2 021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 022，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e6．答案 B 解析 f ′(x )＝2 021＋ln x ＋x ×1x ＝2 022＋ln x ，又f ′(x 0)＝2 022，得2 022＋ln x 0＝2 022，则ln x 0 ＝0，解得x 0＝1．7．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝ ．7．答案 2 解析 f ′(x )＝－(ax －1)′(ax －1)2e x cos x －e x sin x ＝－a (ax －1)2＋e x cos x －e xsin x ，∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1， 则a ＝2．8．已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝ ．8．答案 e 2解析 f ′(x )＝12x －3ꞏ(2x －3)′＋a e －x ＋ax ꞏ(e －x )′＝22x －3＋a e －x －ax e －x ，∴f ′(2)＝2＋a e －2－2a e －2＝2－a e －2＝1，则a ＝e 2．9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94D ．949．答案 C 解析 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x 所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94．10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________．10．答案 －4 解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2，∴f ′(0)＝2f ′(1)＝2×(－2)＝－4． 11．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝ ．11．答案 1＋e 解析 因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ，所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e ．12．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)ꞏ2x ＋x 2，则f ′(2)＝( )A ．12－8ln 21－2ln 2B ．21－2ln 2C ．41－2ln 2 D ．－212．答案 C 解析 因为f ′(x )＝f ′(1)ꞏ2x ln 2＋2x ，所以f ′(1)＝f ′(1)ꞏ2ln 2＋2，解得f ′(1)＝21－2ln 2，所以f ′(x )＝21－2ln 2ꞏ2x ln 2＋2x ，所以f ′(2)＝21－2ln 2×22ln 2＋2×2＝41－2ln 2． 13．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1x D ．f (x )＝e x ＋x13．答案 BC 解析 对于A ，f (x )＝3cos x ，其导数f ′(x )＝－3sin x ，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B ，f (x )＝x 3＋x ，其导数f ′(x )＝3x 2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于C ，f (x )＝x ＋1x ，其导数f ′(x )＝1－1x 2，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于D ，f (x )＝e x ＋x ，其导数f ′(x )＝e x ＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意． 14．f (x )＝3e x＋1＋x 3，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．414．答案 C 解析 f ′(x )＝－3e x (e x ＋1)2＋3x 2，f ′(－x )＝－3e x (e x ＋1)2＋3x 2，所以f ′(x )为偶函数，f ′(2019)－f ′(－2019) ＝0，因为f (x )＋f (－x )＝31＋e x＋x 3＋31＋e －x －x 3＝31＋e x ＋3e x 1＋e x ＝3，所以f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)＝3．故选C ．15．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2．若f ′(2 020)＝6，则f ′(－2 020)＝______．15．答案 8 解析 因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7，所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7＝－4ax 3＋b sin x ＋7．所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14．又f ′(2 020)＝6，所以f ′(－2 020)＝14－6＝8． 16．分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x ．(5)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2． 16．解析 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x ꞏ1x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x e x ． (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3． (3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x ．(4)∵y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x )，∴y ′＝12ꞏ11＋2x ꞏ(1＋2x )′＝11＋2x．(5)由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2．所以f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3＝x 3－x 2－2x ＋2x 3．。

导数及其应用导数的运算1. 几种常有的函数导数：①、 c（ c 为常数）； ②、( x n )（ n R ）； ③、 (sin x) = ；④、 (cos x) =；⑤、( a x )； ⑥、 ( ex)； ⑦、 (log a x ) ； ⑧、 (ln x ).2. 求导数的四则运算法规：(u v)u v ； (uv) u vu'u v ' uv 'u ( v0 ) 注：① u, v 必定是可导函数 .uv ； (u)vuvvvv 223. 复合函数的求导法规：f x ( ( x))f (u) ? ( x) 或 y xy u ? u x一、求曲线的切线（导数几何意义）导数几何意义： f (x 0 ) 表示函数 y f (x) 在点 ( x 0 ， f (x 0 ) )处切线 L 的斜率；函数 y f (x) 在点 ( x 0 ， f (x 0 ) )处切线 L 方程为 y f (x 0 )f (x 0 )(x x 0 )1. 曲线在点 处的切线方程为（ ）。

A:B:C:D:答案详解 B 正确率 : 69%, 易错项 : C解析 :本题主要观察导数的几何意义、导数的计算以及直线方程的求解。

对 求导得，代入 得 即为切线的斜率， 切点为，因此切线方程为即。

故本题正确答案为B 。

2.3. 设函数f ( x) g( x) x2，曲线 y g(x) 在点 (1,g(1)) 处的切线方程为 y 2x 1，则曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1))处切线的斜率为( )A ．41C．21B ． D ．4 24. 已知函数 f ( x) 在R上满足 f ( x) 2 f (2 x) x28x 8，则曲线y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是()A . y2x 1 B. y x C. y3x 2 D. y2x 3变式二：5. 在平面直角坐标系xoy 中，点P在曲线C : y x310 x 3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为.6. 设曲线 yx n 1 (n N * ) 在点（ 1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n ,令 a n lg x n ，则 a 1 a 2 L a 99 的值为.7. 已知点 P 在曲线 y=4 上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则的取值范围是e x1, 3]D 、 [ 3,A 、 [0, )B 、 [, ) C 、 ( )44 22 4 4变式三：8. 已知直线y =x＋ 1 与曲线y ln( x a) 相切，则α的值为( )A . 1 B. 2 C. － 1 D. － 29. 若存在过点 (1,0)的直线与曲线 yx 3 和 y ax 2 15 x 9 都相切，则 a 等于4( )A ． 1或 -25B ． 1或21C ． 7 或 - 25D ．7或 76444 6441 110. 若曲线 yx 2 在点 a, a 2 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 aA 、64B 、 32C 、 16D 、811. （本小题满分 13 分） 设 f ( x)ae x 1b( a 0) . （ I ）求 f ( x) 在 [0, ) 上的最小值；ae x3x ；求 a,b 的值 .（ II ）设曲线 yf ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y212. 若曲线 f x ax2Inx 存在垂直于y轴的切线，则实数 a 的取值范围是.二、求单调性或单调区间1、利用导数判断函数单调性的方法：设函数y f (x) 在某个区间 D 内可导，若是 f ( x) ＞0，则y f (x) 在区间D上为增函数；若是 f ( x) ＜0，则y f (x) 在区间 D 上为减函数；若是 f ( x) =0恒成立，则y f (x) 在区间 D 上为常数 .2、利用导数求函数单调区间的方法：不等式 f ( x) ＞0的解集与函数y f (x) 定义域的交集，就是y f ( x) 的增区间；不等式 f ( x) ＜0的解集与函数y f (x) 定义域的交集，就是y f (x) 的减区间 .1、函数f (x) ( x 3)e x的单调递加区间是( )A . ( ,2) B. (0,3) C. (1,4) D . (2, )2. 函数f (x)x315x233x 6 的单调减区间为.3. 已知函数，，谈论的单调性。

导数高中试题及解析答案1. 计算函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在 \( x = 1 \) 处的导数。

解析：首先，我们需要找到函数 \( f(x) \) 的导数。

根据导数的定义，我们有：\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x) \]对每一项分别求导，我们得到：\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \]现在，将 \( x = 1 \) 代入 \( f'(x) \) 得到：\[ f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1 \]答案：函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数为 \( -1 \)。

2. 已知函数 \( g(x) = \sin(x) \)，求 \( g'(x) \)。

解析：根据三角函数的导数规则，我们知道 \( \sin(x) \) 的导数是\( \cos(x) \)。

因此，我们可以直接写出 \( g(x) \) 的导数：\[ g'(x) = \cos(x) \]答案：函数 \( g(x) \) 的导数是 \( \cos(x) \)。

3. 计算复合函数 \( h(x) = (x^2 - 1)^4 \) 的导数。

解析：这是一个复合函数，我们可以使用链式法则来求导。

首先，设\( u = x^2 - 1 \)，那么 \( h(x) = u^4 \)。

对 \( u \) 求导得到：\[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x \]然后，对 \( h(x) \) 求导：\[ h'(x) = \frac{d}{dx}(u^4) = 4u^3 \cdot u' = 4(x^2 - 1)^3\cdot 2x \]答案：复合函数 \( h(x) \) 的导数是 \( 8x(x^2 - 1)^3 \)。

一．有关切线的斜率问题：[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．[2014·广东卷] 曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．的值求处的切线垂直于直线在点且曲线其中重庆卷）已知函数a xy f x f y R a x x a x x f )1(21))1(,1()(,,23ln 4)(2014(==∈--+=处切线方程在，求曲线）若（为常数，其中山东卷）设函数))1(,1()(0111ln )(2014(f x f y a a x x x a x f ==+-+=bf x f y a bx x a x a x f ）求（，处的切线斜率为在点曲线，）设函数全国新课标10))1(,1()()1()1(2ln )(12014(2=≠--+=的值求处的切线的斜率为在点且曲线为偶函数的导函数）已知函数重庆理b a c f x f y x f cx be ae x f x x ,)1(4))0(,0()(,)()(202014(/22-=--=-（2013年高考大纲卷（文））已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f(x)在点(0，2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.求a 的值。

A ．9B ．6C ．-9D ．-6（2013年高考广东卷（文））若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x轴,则a =___________（2013年高考江西卷（文））若曲线1y x α=+(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=_________（2013年高考浙江卷（文）） 已知a ∈R,函数f(x)=2x 3-3(a+1)x 2+6ax(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; （2013年高考陕西卷（文））已知函数()e ,x f x x =∈R . (Ⅰ) 求f (x )的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; （2013年高考北京卷（文）） 已知函数2()sin cos f x x x x x =++.(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(,())a f a )处与直线y b =相切,求a 与b 的值2013年高考课标Ⅰ卷（文）） 已知函数2()()4x f x e ax b x x =+--,曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+.(Ⅰ)求,a b 的值;（2013年高考福建卷（文）） 已知函数()1x af x x e =-+(a R ∈,e 为自然对数的底数).(1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求a的值; (2)求函数()f x 的极值;（2013年重庆数学（理））设()()256ln f x a x x =-+,其中a R∈,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6.（1）确定a 的值;（2013福建数学（理）） 已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈(1)当2a=时,求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程;2013年新课标1（理））已知函数()f x =2x ax b ++,()g x =()xe cx d +,若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点P(0,2),在点P 处有相同的切线42y x =+ (Ⅰ)求a ,b ,c ,d 的值;（2013浙江数学（理）） 已知R a ∈,函数.3333)(23+-+-=a ax x x x f(1)求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程;（2013北京卷（理）） 设L 为曲线C:ln xy x=在点(1,0)处的切线. (I)求L 的方程; [2014包头一模]的解析式及单调区间求处切线为在点曲线）已知函数)(01))0(,0()(,21(2x f y f x f y bx x ae x f x =-=++=二．不含参的单调性、极值、最值问题：的单调区间和极值求函数的值求处的切线垂直于直线在点且曲线其中重庆卷）已知函数)()2()1(21))1(,1()(,,23ln 4)(2014(x f a xy f x f y R a x x a x x f ==∈--+=[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝ex －ax(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f(x)在点A 处的切线斜率为－1. (1)求a 的值及函数f(x)的极值[2014·北京卷文20] 已知函数f (x )＝2x 3－3x . (1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值； [2014·湖北卷](1)求函数f (x )＝ln xx的单调区间；[2014·湖南卷] 已知函数f (x )＝x cos x －sin x ＋1(x ＞0)． (1)求f (x )的单调区间；的极值时，求）当（（））函数江西理)(41)(,21)(182014(2x f b R b x b bx x x f =∈-++=的单调性判断若处的切线的斜率为在点且曲线为偶函数的导函数）已知函数重庆理)(,3)2(4))0(,0()(,)()(202014(/22x f c c f x f y x f cx be ae x f x x =-=--=-（2013年高考大纲卷（文）） 已知函数()32=33 1.f x x ax x +++(I)求()2f ;a x =时，讨论的单调性;（2013年高考课标Ⅱ卷（文）） 己知函数f(X) = x 2e -x (I)求f(x)的极小值和极大值; 2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知函数2()()4x f x e ax b x x =+--, 曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+.(Ⅱ)讨论()f x 的单调性,并求()f x 的极大值.（2013年高考湖南（文））已知函数f(x)=xe x21x 1+- (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (2013年高考广东卷（文））设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈.(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间;2013新课标Ⅱ卷数学（理））已知函数)ln()(m x e x f x +-=.(Ⅰ)设0x =是()f x 的极值点,求m ,并讨论()f x 的单调性;（2013广东省数学（理）卷）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k=时,求函数()f x 的单调区间;（2013天津数学（理））已知函数2l ()n f x x x =. (Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间; [2014鄂尔多斯一模]的极大值点时，求当已知函数)(2,4)1()()()(,21)(,ln )(2x h b a x g x f x h bx ax x g x x f ==-=+==2012年高考（重庆理）） 设13()ln 1,22f x a x x x =+++其中a R ∈,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴. (Ⅰ) 求a 的值;(Ⅱ) 求函数()f x 的极值.（2012年高考（山东理））已知函数ln ()xx kf x e+=(k 为常数, 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数), 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. (Ⅰ)求k 的值;(Ⅱ)求()f x 的单调区间;二．含参的单调性、极值、最值问题：的单调区间和极值。

2023全国新高考数学（一）卷之导数导数是数学中非常重要的概念，它在微积分领域扮演着核心角色。

下面我将对导数的定义、性质以及常用的导数计算法则进行详细的介绍。

一、导数的定义导数可以理解为函数在某一点附近的变化率。

如果函数f(x)在x=a处的导数存在，记为f'(a)，那么导数的定义公式为：f'(a) = lim Δx→0 (f(a+Δx)-f(a))/Δx，其中lim表示极限。

二、导数的性质1. 导数存在的充分条件是函数在该点可导；2. 如果函数在某点可导，则导数代表了函数在该点的切线斜率；3. 如果函数在某点可导，则函数在该点的图像必然是光滑的，即没有间断点和尖点。

三、导数计算法则1. 基本法则（1）常数法则：如果函数f(x)是一个常数c，那么f'(x)=0；（2）幂法则：如果函数f(x)=x^n，其中n为常数，那么f'(x)=nx^(n-1)；（3）和差法则：如果函数f(x)和g(x)都是可导函数，那么(f±g)'(x)=f'(x)±g'(x)；（4）乘法法则：如果函数f(x)和g(x)都是可导函数，那么(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；（5）商法则：如果函数f(x)和g(x)都是可导函数，且g(x)≠0，那么(f/g)'(x)=[g(x)f'(x)-f(x)g'(x)]/g(x)^2。

2. 链式法则如果函数y=f(u)和u=g(x)都是可导函数，那么复合函数y=f(g(x))在x=a 处的导数为dy/dx=f'(g(a))g'(a)。

3. 反函数的导数如果函数y=f(x)在x=a处可导，且f'(a)≠0，那么它的反函数x=f^(-1)(y)在y=f(a)处的导数为dx/dy=1/f'(a)。

四、常见函数的导数1. 幂函数f(x) = x^n的导数为f'(x) = nx^(n-1)；2. 指数函数f(x) = a^x（其中a>0，且a≠1）的导数为f'(x) = ln(a)a^x；3. 对数函数f(x) = ln(x)的导数为f'(x) = 1/x；4. 三角函数：（1）正弦函数f(x) = sin(x)的导数为f'(x) = cos(x)；（2）余弦函数f(x) = cos(x)的导数为f'(x) = -sin(x)；（3）正切函数f(x) = tan(x)的导数为f'(x) = sec^2(x)；（4）其他三角函数和反三角函数的导数可以通过定义或相关公式推导得到。

历年（2019-2023）全国高考数学真题分项（导数及其应用）汇编考点一 导数的运算1．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x ='．若3(2)2f x -，(2)g x +均为偶函数，则( ) A ．(0)0f =B ．1()02g -=C ．(1)f f -=（4）D ．(1)g g -=（2）考点二 利用导数研究曲线上某点切线方程2．（2021•新高考Ⅰ）若过点(,)a b 可以作曲线x y e =的两条切线，则( ) A ．b e a <B ．a e b <C ．0b a e <<D ．0a b e <<3．（2022•新高考Ⅰ）若曲线()x y x a e =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是 ． 4．（2022•新高考Ⅱ）曲线||y ln x =过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．5．（2021•新高考Ⅱ）已知函数()|1|x f x e =-，10x <，20x >，函数()f x 的图象在点1(A x ，1())f x 和点2(B x ，2())f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 的取值范围是 ． 考点三 利用导数研究函数的单调性6．（2023•新高考Ⅱ）已知函数()x f x ae lnx =-在区间(1,2)上单调递增，则a 的最小值为( ) A ．2eB ．eC ．1e -D ．2e -7．（2023•新高考Ⅰ）已知函数()()x f x a e a x =+-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，3()22f x lna >+． 8．（2022•浙江）设函数()(0)2ef x lnx x x=+>． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知a ，b R ∈，曲线()y f x =上不同的三点1(x ，1())f x ，2(x ，2())f x ，3(x ，3())f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若a e >，则0b f <-（a ）1(1)2ae<-；（ⅱ）若0a e <<，123x x x <<，则2213211266e a e ae e x x a e --+<+<-． （注: 2.71828e =⋯是自然对数的底数） 9．（2022•新高考Ⅱ）已知函数()ax x f x xe e =-． （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围； （3）设*n N ∈(1)ln n +>+．10．（2021•新高考Ⅱ）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 恰有一个零点．①2122e a <…，2b a >； ②102a <<，2b a …． 11．（2021•浙江）设a ，b 为实数，且1a >，函数2()()x f x a bx e x R =-+∈． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意22b e >，函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围；（Ⅲ）当a e =时，证明：对任意4b e >，函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，满足22122blnb e x x e b>+．（注: 2.71828e = 是自然对数的底数） 12．（2021•新高考Ⅰ）已知函数()(1)f x x lnx =-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且blna alnb a b -=-，证明：112e a b<+<． 13．（2020•海南）已知函数1()x f x ae lnx lna -=-+．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若()1f x …，求a 的取值范围．14．（2019•浙江）已知实数0a ≠，设函数()f x alnx =+0x >． （Ⅰ）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）对任意21[x e∈，)+∞均有()2f x a …，求a 的取值范围． 注： 2.71828e =⋯为自然对数的底数．考点四 利用导数研究函数的极值15．【多选】（2023•新高考Ⅱ）若函数2()(0)b cf x alnx a x x =++≠既有极大值也有极小值，则( ) A ．0bc >B ．0ab >C ．280b ac +>D ．0ac <16．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知函数3()1f x x x =-+，则( ) A ．()f x 有两个极值点 B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线17．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当01x <<时，2sin x x x x -<<；（2）已知函数2()cos (1)f x ax ln x =--，若0x =为()f x 的极大值点，求a 的取值范围．考点五 利用导数研究函数的最值18．（2022•新高考Ⅰ）已知函数()x f x e ax =-和()g x ax lnx =-有相同的最小值． （1）求a ；（2）证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．参考答案考点一 导数的运算1．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x ='．若3(2)2f x -，(2)g x +均为偶函数，则( ) A ．(0)0f =B ．1()02g -=C ．(1)f f -=（4）D ．(1)g g -=（2）【过程解析】3(2)2f x - 为偶函数，∴可得33(2)(2)22f x f x -=+，()f x ∴关于32x =对称，令54x =，可得3535(2(2)2424f f -⨯=+⨯，即(1)f f -=（4），故C 正确； (2)g x + 为偶函数，(2)(2)g x g x ∴+=-，()g x 关于2x =对称，故D 不正确； ()f x 关于32x =对称，32x ∴=是函数()f x 的一个极值点， ∴函数()f x 在3(2，)t 处的导数为0，即33()()022g f ='=，又()g x ∴的图象关于2x =对称，53((022g g ∴==，∴函数()f x 在5(2，)t 的导数为0，52x ∴=是函数()f x 的极值点，又()f x 的图象关于32x =对称，5(2∴，)t 关于32x =的对称点为1(2，)t ，由52x =是函数()f x 的极值点可得12x =是函数()f x 的一个极值点，11(()022g f ∴='=， 进而可得17()()022g g ==，故72x =是函数()f x 的极值点，又()f x 的图象关于32x =对称，7(2∴，)t 关于32x =的对称点为1(2-，)t ，11()()022g f ∴-='-=，故B 正确； ()f x 图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值不是确定值，故A 错误． 解法二：构造函数法，令()1sin f x x π=-，则3(2)1cos 22f x x π-=+，则()()cosg x f x x ππ='=-，(2)cos(2)cos g x x x πππππ+=-+=-， 满足题设条件，可得只有选项BC 正确， 故选：BC ．考点二 利用导数研究曲线上某点切线方程2．（2021•新高考Ⅰ）若过点(,)a b 可以作曲线x y e =的两条切线，则( ) A ．b e a <B ．a e b <C ．0b a e <<D ．0a b e <<【过程解析】法一：函数x y e =是增函数，0x y e '=>恒成立， 函数的图象如图，0y >，即切点坐标在x 轴上方， 如果(,)a b 在x 轴下方，连线的斜率小于0，不成立． 点(,)a b 在x 轴或下方时，只有一条切线． 如果(,)a b 在曲线上，只有一条切线； (,)a b 在曲线上侧，没有切线；由图象可知(,)a b 在图象的下方，并且在x 轴上方时，有两条切线，可知0a b e <<． 故选：D ．法二：设过点(,)a b 的切线横坐标为t ，则切线方程为()t t y e x t e =-+，可得(1)t b e a t =+-，设()(1)f t a t =+-，可得()()t f t e a t '=-，(,)t a ∈-∞，()0f t '>，()f t 是增函数， (,)t a ∈+∞，()0f t '<，()f t 是减函数，因此当且仅当0a b e <<时，上述关于t 的方程有两个实数解，对应两条切线． 故选：D ．3．（2022•新高考Ⅰ）若曲线()x y x a e =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是 ． 【过程解析】()x x y e x a e '=++，设切点坐标为0(x ，00())x x a e +， ∴切线的斜率000()x x k e x a e =++，∴切线方程为000000()(())()x x x y x a e e x a e x x -+=++-，又 切线过原点，000000()(())()x x x x a e e x a e x ∴-+=++-， 整理得：2000x ax a +-=，切线存在两条，∴方程有两个不等实根，∴△240a a =+>，解得4a <-或0a >，即a 的取值范围是(-∞，4)(0-⋃，)+∞， 故答案为：(-∞，4)(0-⋃，)+∞．4．（2022•新高考Ⅱ）曲线||y ln x =过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【过程解析】当0x >时，y lnx =，设切点坐标为0(x ，0)lnx ， 1y x '=，∴切线的斜率01k x =， ∴切线方程为0001()y lnx x x x -=-， 又 切线过原点，01lnx ∴-=-， 0x e ∴=，∴切线方程为11()y x e e-=-，即0x ey -=，当0x <时，()y ln x =-，与y lnx =的图像关于y 轴对称， ∴切线方程也关于y 轴对称， ∴切线方程为0x ey +=，综上所述，曲线||y ln x =经过坐标原点的两条切线方程分别为0x ey -=，0x ey +=，故答案为：0x ey -=，0x ey +=．5．（2021•新高考Ⅱ）已知函数()|1|x f x e =-，10x <，20x >，函数()f x 的图象在点1(A x ，1())f x 和点2(B x ，2())f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 的取值范围是 ． 【过程解析】当0x <时，()1x f x e =-，导数为()x f x e '=-， 可得在点1(A x ，_11)x e -处的斜率为_11x k e =-， 切线AM 的方程为_1_11(1)()x x y e e x x --=--，令0x =，可得_1_111x x y e x e =-+，即_1_11(0,1)x x M e x e -+， 当0x >时，()1x f x e =-，导数为()x f x e '=， 可得在点2(B x ，_21)x e -处的斜率为_22x k e =，令0x =，可得_2_221x x y e x e =--，即_2_22(0,1)x x N e x e --，由()f x 的图象在A ，B 处的切线相互垂直，可得_1_2121x x k k e e =-⋅=-， 即为120x x +=，10x <，20x >，所以2||1(0,1)||x AM BN e ===∈．故答案为：(0,1)．考点三 利用导数研究函数的单调性6．（2023•新高考Ⅱ）已知函数()x f x ae lnx =-在区间(1,2)上单调递增，则a 的最小值为( ) A ．2eB ．eC ．1e -D ．2e -【过程解析】对函数()f x 求导可得，1()x f x ae x'=-， 依题意，10x ae x -…在(1,2)上恒成立，即1x a xe…在(1,2)上恒成立，设1(),(1,2)x g x x xe =∈，则22()(1)()()()x x x x x e xe e x g x xe xe -++'==-， 易知当(1,2)x ∈时，()0g x '<， 则函数()g x 在(1,2)上单调递减， 则11()(1)max a g x g e e-===…．故选：C ． 7．（2023•新高考Ⅰ）已知函数()()x f x a e a x =+-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，3()22f x lna >+． 【过程解析】（1）()()x f x a e a x =+-， 则()1x f x ae '=-，①当0a …时，()0f x '<恒成立，()f x 在R 上单调递减，②当0a >时，令()0f x '=得，1x lna=， 当1(,)x ln a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1(x ln a ∈，)+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，综上所述，当0a …时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在1(,)ln a -∞上单调递减，在1(ln a，)+∞上单调递增．证明：（2）由（1）可知，当0a >时，2111()(()1min f x f ln a a ln a lna a a a==+-=++，要证3()22f x lna >+，只需证23122a lna lna ++>+，只需证2102a lna -->， 设g （a ）212a lna =--，0a >， 则g '（a ）21212a a a a -=-=， 令g '（a ）0=得，2a =，当(0,)2a ∈时，g '（a ）0<，g （a）单调递减，当(2a ∈，)+∞时，g '（a ）0>，g （a ）单调递增，所以g （a）11(022222g ln ln =--=->…， 即g （a ）0>， 所以2102a lna -->得证， 即3()22f x lna >+得证． 8．（2022•浙江）设函数()(0)2ef x lnx x x=+>． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知a ，b R ∈，曲线()y f x =上不同的三点1(x ，1())f x ，2(x ，2())f x ，3(x ，3())f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若a e >，则0b f <-（a ）1(1)2ae<-；（ⅱ）若0a e <<，123x x x <<，则2213211266e a e ae e x x a e --+<+<-． （注: 2.71828e =⋯是自然对数的底数） 【过程解析】（Ⅰ） 函数()(0)2ef x lnx x x=+>， ∴2212()22e x ef x x x x -'=-+=，(0)x >， 由22()02x e f x x -'=>，得2ex >，()f x ∴在(2e ，)+∞上单调递增； 由22()02x ef x x -'=<，得02e x <<，()f x ∴在(0,)2e 上单调递减． （Ⅱ）()i 证明： 过(,)a b 有三条不同的切线，设切点分别为1(x ，1())f x ，2(x ，2())f x ，3(x ，3())f x ，()()()i i i f x b f x x a ∴-='-，(1i =，2，3)，∴方程()()()f x b f x x a -='-有3个不同的根，该方程整理为21()()022e ex a lnx b x x x ----+=，设21()()()22e eg x x a lnx b x x x=----+，则223231111()()()()22e e e g x x a x e x a x x x x x x x'=-+-+--+=---， 当0x e <<或x a >时，()0g x '<；当e x a <<时，()0g x '>， ()g x ∴在(0,)e ，(,)a +∞上为减函数，在(,)e a 上为增函数， ()g x 有3个不同的零点，g ∴（e ）0<且g （a ）0>，21()()022e e e a lne b e e e ∴----+<，且21()()022e ea a lnab a a a----+>， 整理得到12a b e <+且()2eb lna f a a>+=， 此时，12a b e <+，且()2e b lna f a a >+=，此时，1()(1)1()02222a a e e b f a lna lna b e e a a ---<+-+--+>， 整理得12a b e <+，且()2e b lna f a a>+=， 此时，b f -（a ）113(1)1()2222222a a e a elna lna e e a e a--<+-+-+=--，设μ（a ）为(,)e +∞上的减函数，μ∴（a ）3022elne e<--=， ∴10()(1)2ab f a e<-<-． ()ii 当0a e <<时，同()i 讨论，得：()g x 在(0,)a ，(,)e +∞上为减函数，在(,)a e 上为增函数， 不妨设123x x x <<，则1230x a x e x <<<<<，()g x 有3个不同的零点，g ∴（a ）0<，且g （e ）0>，21()()022e e e a lne b e e e ∴----+>，且21()022e e a a lna b a a a----+<， 整理得122a ab lna e e+<<+， 123x x x << ，1230x a x e x ∴<<<<<，2()12a e eag x lnx b x x+=-+-+ ， 设,(0,1)e a t m x e ==∈，则方程2102a e ealnx b x x+-+-+=即为：202a e a t t lnt b e e +-+++=，即为2(1)02mm t t lnt b -++++=， 记123123,,e e et t t x x x ===， 则1t ，2t ，3t 为2(1)02m m t t lnt b -++++=有三个不同的根， 设31311x t e k t x a ==>>，1am e =<， 要证：2213211266e a e ae e x x a e --+<+<-， 即证132266e a e e at t e a e--+<+<-， 即证：213132(13)(12)236()m m m t t m m t t --++--<+，而2111(1)02m m t t lnt b -++++=，且2333(1)02m m t t lnt b -++++=， ∴22131313()(1)()02m lnt lnt t t m t t -+--+-=， ∴131313222lnt lnt t t m m t t -+--=-⨯-， ∴即证21313132(13)(12)36()lnt lnt m m m m t t m t t ---+-⨯<-+，即证1132313()(13)(12)072t t t lnt m m m t t +--++>-，即证2(1)(13)(12)0172k lnk m m m k +--++>-， 记(1)(),11k lnkk k k ϕ+=>-，则211()(2)0(1)k k lnk k kϕ=-->-， ()k ϕ∴在(1,)+∞为增函数，()()k m ϕϕ∴>，∴22(1)(13)(12)(1)(13)(12)172172k lnk m m m m lnm m m m k m +--++--++>+--， 设2(1)(13)(12)()72(1)m m m m m lnm m ω---+=++，01m <<， 则2322322(1)(3204972)(1)(33)()072(1)72(1)m m m m m m x m m m m ω---+-+'=>>++，()m ω∴在(0,1)上是增函数，()m ωω∴<（1）0=， 2(1)(13)(12)072(1)m m m m lnm m ---+∴+<+，即2(1)(13)(12)0172m lnm m m m m +--++>-， ∴若0a e <<，123x x x <<，则2213211266e a e ae e x x a e --+<+<-． 9．（2022•新高考Ⅱ）已知函数()ax x f x xe e =-． （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围； （3）设*n N ∈(1)ln n +>+．【过程解析】（1）当1a =时，()(1)x x x f x xe e e x =-=-，()(1)x x x f x e x e xe '=-+=，0x e > ，∴当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减．（2）令()()11(0)ax x g x f x xe e x =+=-+>， ()1f x <- ，()10f x +<， ()(0)0g x g ∴<=在0x >上恒成立， 又()ax ax x g x e axe e '=+-，令()()h x g x ='，则()()(2)ax ax ax x ax ax x h x ae a e axe e a e axe e '=++-=+-， (0)21h a ∴'=-，①当210a ->，即12a >，存在0δ>，使得当(0,)x δ∈时，()0h x '>，即()g x '在(0,)δ上单调递增． 因为()(0)0g x g '>'=，所以()g x 在(0,)δ内递增，所以()1f x >-，这与()1f x <-矛盾，故舍去；②当210a -…，即12a …， ()(1)ax ax x ax x g x e axe e ax e e '=+-=+-，若10ax +…，则()0g x '<，所以()g x 在[0，)+∞上单调递减，()(0)0g x g =…，符合题意． 若10ax +>，则1111(1)(1)2222()0x ln x x x axaxxax ln ax xxx g x e axe e ee eeee +++++'=+-=---=剟，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)0g x g =…，符合题意． 综上所述，实数a 的取值范围是12a …． 另解：()f x 的导数为()(1)(0)ax x f x ax e e x '=+->，①当1a …时，()(1)0ax x ax x x f x ax e e e ex e e '=+->--=…，所以()f x 在(0,)+∞递增，所以()1f x >-，与题意矛盾；②当0a …时，()10ax x x f x e e e '--<剟， 所以()f x 在(0,)+∞递减，所以()1f x <-，满足题意；．③当102a <…时，11122211()(1)[(1)]22x x x x f x x e e e x e '+-=+-…．设121()(1)(0)2x G x x e x =+->，1211()022x G x e '=-<，则()G x 在(0,)+∞递减，所以()0G x <，12()()0x f x e G x '=<，所以()f x 在(0,)+∞递减，所以()1f x <-，满足题意；④当112a <<时，(1)()[(1)]ax a x f x e ax e -'=+-，令(1)()(1)a x H x ax e -=+-，则()()ax f x e H x '=，(1)()(1)a x H x a a e -'=+-，可得()H x '递减，(0)21H a '=-，所以存在00x >，使得0()0H x '=．当0(0,)x x ∈时，()0H x '>， ()H x 在0(0,)x 递增，此时()0H x >，所以当0(0,)x x ∈时，()()0ax f x e H x '=>，()f x 在0(0,)x 递增，所以()1f x >-，与题意矛盾． 综上可得，a 的取值范围是(-∞，1]2．（3）由（2）可知，当12a =时，12()1(0)x x f x xe e x =-<->，令*1(1)()x ln n N n=+∈得，111(1)(1)21(1)1ln n n ln e e n +++⋅-<-，整理得，11(10ln n n+<，∴11(1ln n >+，∴1()n ln n +>，∴11231((...(1)12n nk k k n ln ln ln n k n ==++>=⨯⨯⨯=+∑，...(1)ln n +>+．另解：运用数学归纳法证明． 当1n =时，左边22ln ==>成立．假设当(1,*)n k k k N =∈…...(1)ln k ++>+．当1n k =+...(2)ln k +>+，只要证(1)(2)ln k ln k ++>+，21(2)(1)(1)11k ln k ln k lnln k k +>+-+==+++． 可令11t k =+，则(0t ∈，1]2(1)ln t >+，再令2x x =∈，则需证明12(2x lnx x x ->∈．构造函数1()2()((1g x lnx x x x =--∈，22211()1(1)0g x x x x'=--=--<，可得()g x 在(1上递减， 则()g x g <（1）0=，所以原不等式成立， 即1n k =+...(2)ln k ++>+成立．...(1)ln n +>+成立．10．（2021•新高考Ⅱ）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 恰有一个零点．①2122e a <…，2b a >； ②102a <<，2b a …． 【过程解析】（Ⅰ）2()(1)x f x x e ax b =--+ ，()(2)x f x x e a '=-，①当0a …时，当0x >时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<，()f x ∴在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，②当0a >时，令()0f x '=，可得0x =或(2)x ln a =，()i 当102a <<时，当0x >或(2)x ln a <时，()0f x '>，当(2)0ln a x <<时，()0f x '<，()f x ∴在(-∞，(2))ln a ，(0,)+∞上单调递增，在((2)ln a ，0)上单调递减， 1()2ii a =时， ()(1)0x f x x e '=-… 且等号不恒成立，()f x ∴在R 上单调递增，()iii 当12a >时， 当0x <或(2)x ln a >时，()0f x '>，当0(2)x ln a <<时，()0f x '<，()f x 在(,0)-∞，((2)ln a ，)+∞上单调递增，在(0，(2))ln a 上单调递减． 综上所述：当0a … 时，()f x 在(,0)-∞上单调递减；在(0,)+∞上 单调递增；当102a << 时，()f x 在(-∞，(2))ln a 和(0,)+∞上单调递增；在((2)ln a ，0)上单调递减； 当12a = 时，()f x 在R 上单调递增； 当12a >时，()f x 在(,0)-∞和((2)ln a ，)+∞ 上单调递增；在(0，(2))ln a 上单调递减． （Ⅱ）证明：若选①，由 （Ⅰ）知，()f x 在(,0)-∞上单调递增，(0，(2))ln a 单调递减，((2)ln a ，)+∞ 上()f x 单调递增．注意到((1)0,(0)1210f ef b a =-<=->->．()f x ∴ 在( 上有一个零点； 22((2))((2)1)222(2)222(2)(2(2))f ln a ln a a a ln a b aln a a aln a a aln a ln a =-⋅-⋅+>--+=-，由2122e a <… 得0(2)2ln a <…，(2)(2(2))0aln a ln a ∴-…， ((2))0f ln a ∴>，当0x … 时，()((2))0f x f ln a >…，此时()f x 无零点．综上：()f x 在R 上仅有一个零点．另解：当1(2a ∈，22e 时，有(2)(0ln a ∈，2]，而(0)1210f b a =->-=，于是2((2))((2)1)2(2)f ln a ln a a aln a b =-⋅-+(2)(2(2))(2)0ln a a ln a b a =-+->，所以()f x 在(0,)+∞没有零点，当0x <时，(0,1)x e ∈，于是2()()0b f x ax b f a <-+⇒-<，所以()f x 在(，0)上存在一个零点，命题得证．若选②，则由（Ⅰ）知：()f x 在(-∞，(2))ln a 上单调递增， 在((2)ln a ，0)上单调递减，在(0,)+∞ 上单调递增．22((2))((2)1)222(2)222(2)(2(2))f ln a ln a a aln a b aln a a aln a a aln a ln a =--+--+=-…，102a <<，(2)0ln a ∴<，(2)(2(2))0aln a ln a ∴-<，((2))0f ln a ∴<， ∴当0x … 时，()((2))0f x f ln a <…，此时()f x 无零点．当0x > 时，()f x 单调递增，注意到(0)1210f b a =--<…，取c =21b a << ，∴1c >>，又易证1c e c >+，∴22221()(1)(1)(1)(1)11111102c f c c e ac b c c ac b a c b c b b b =--+>-+-+=-+->+-=-++-=>，()f x ∴在(0,)c 上有唯一零点，即()f x 在(0,)+∞上有唯一零点．综上：()f x 在R 上有唯一零点． 11．（2021•浙江）设a ，b 为实数，且1a >，函数2()()x f x a bx e x R =-+∈． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意22b e >，函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围；（Ⅲ）当a e =时，证明：对任意4b e >，函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，满足22122blnb e x x e b>+．（注: 2.71828e = 是自然对数的底数） 【过程解析】（Ⅰ）()x f x a lna b '=-，①当0b …时，由于1a >，则0x a lna >，故()0f x '>，此时()f x 在R 上单调递增；②当0b >时，令()0f x '>，解得b lnlna x lna >，令()0f x '<，解得blnlna x lna <，∴此时()f x 在(,b lnlna lna -∞单调递减，在(,)b lnlna lna+∞单调递增；综上，当0b …时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞；当0b >时，()f x 的单调递减区间为(,)blnlna lna-∞，单调递增区间为(,)blnlna lna+∞；（Ⅱ）注意到x →-∞时，()f x →+∞，当x →+∞时，()f x →+∞，由（Ⅰ）知，要使函数()f x 有两个不同的零点，只需()(0min blnlna f x f lna=<即可，∴20b blnlnlna lna a b e lna lna-⋅+<对任意22b e >均成立，令b ln lna t lna =，则20t a bt e -+<，即20tlna e bt e -+<，即20bln lna b ln lna e b e lna-⋅+<，即20bln blna b e lna lna -⋅+<，∴20bb b lne lna lna-⋅+<对任意22b e >均成立， 记22(),2bg b b b lne lna b e lna =-⋅+>，则1()1()()b lna g b ln b ln lna lnb lna b lna'=-+⋅⋅=-， 令g '（b ）0=，得b lna =，①当22lnae >，即22e a e >时，易知g （b ）在2(2e ，)lna 单调递增，在(,)lna +∞单调递减，此时g （b ）22()1(1)0g lna lna lna ln e lna lna e =-⋅+=⋅+>…，不合题意；②当22lna e …，即221e a e <…时，易知g （b ）在2(2e ，)+∞单调递减，此时2222222222()(2)2222[(2)()]e g b g e e e ln e lna e e ln e ln lna e lna lna <=-⋅+=--+， 故只需22[22()]0ln ln lna lna -+-+…，即2()222lna ln lna ln ++…，则2lna …，即2a e …； 综上，实数a 的取值范围为(1，2]e ；（Ⅲ）证明：当a e =时，2()x f x e bx e =-+，()x f x e b '=-，令()0f x '=，解得4x lnb =>， 易知22222422()()433(13)0lnb min f x f lnb e b lnb e b blnb e b b e e b e e e e ==-⋅+=-+<-+=-<-=-<，()f x ∴有两个零点，不妨设为1x ，2x ，且12x lnb x <<， 由2222()0x f x e bx e =-+=，可得222x e e x b b=+，∴要证22122blnb e x x e b >+，只需证2122x e blnb x b e >，只需证22122x b lnb e x e >， 而222222222222()20e eb b e e f e e e e e e e b=-+=-<-<，则212e x b <， ∴要证22122x b lnbe x e>，只需证2x e blnb >，只需证2()x ln blnb >， 而()222221(())()()(4)404ln blnb f ln blnb e bln blnb e blnb bln blnb e blnb bln b e b ln e e bln =-+=-+<-+=⋅+=-<，2()x ln blnb ∴>，即得证．12．（2021•新高考Ⅰ）已知函数()(1)f x x lnx =-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且blna alnb a b -=-，证明：112e a b<+<． 【过程解析】（1）解：由函数的过程解析式可得()11f x lnx lnx '=--=-，(0,1)x ∴∈，()0f x '>，()f x 单调递增，(1,)x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减， 则()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减．（2）证明：由blna alnb a b -=-，得111111ln ln a a b b b a -+=-，即1111(1)(1)ln ln a a b b-=-， 由（1）()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减， 所以()max f x f =（1）1=，且f （e ）0=， 令11x a =，21x b=，则1x ，2x 为()f x k = 的两根，其中(0,1)k ∈． 不妨令1(0,1)x ∈，2(1,)x e ∈，则121x ->，先证122x x <+，即证212x x >-，即证211()()(2)f x f x f x =<-， 令()()(2)h x f x f x =--，则()()(2)(2)[(2)]h x f x f x lnx ln x ln x x '='+'-=---=--在(0,1)单调递减， 所以()h x h '>'（1）0=， 故函数()h x 在(0,1)单调递增，1()h x h ∴<（1）0=．11()(2)f x f x ∴<-，122x x ∴<+，得证．同理，要证12x x e +<， （法一）即证211x e x <<-， 根据（1）中()f x 单调性， 即证211()()()f x f x f e x =>-， 令()()()x f x f e x ϕ=--，(0,1)x ∈， 则()[()]x ln x e x ϕ'=--，令0()0x ϕ'=， 0(0,)x x ∈，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，0(x x ∈，1)，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，又0x e <<时，()0f x >，且f （e ）0=，故0lim ()0x x ϕ+→=， ϕ（1）f =（1）(1)0f e -->，()0x ϕ∴>恒成立， 12x x e +<得证，（法二）12()()f x f x =，1122(1)(1)x lnx x lnx -=-， 又1(0,1)x ∈，故111lnx ->，111(1)x lnx x ->，故12112222(1)(1)x x x lnx x x lnx x +<-+=-+，2(1,)x e ∈， 令()(1)g x x lnx x =-+，()1g x lnx '=-，(1,)x e ∈， 在(1,)e 上，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以()g x g <（e ）e =，即222(1)x lnx x e -+<，所以12x x e +<，得证， 则112e a b<+<． 13．（2020•海南）已知函数1()x f x ae lnx lna -=-+． （1）当a e =时，求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若()1f x …，求a 的取值范围．【过程解析】（1）当a e =时，()1x f x e lnx =-+， 1()x f x e x∴'=-， f ∴'（1）1e =-， f （1）1e =+，∴曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为(1)(1)(1)y e e x -+=--，当0x =时，2y =，当0y =时，21x e -=-， ∴曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积1222211S e e =⨯⨯=--． （2）方法一：由()1f x …，可得11x ae lnx lna --+…，即11x lna e lnx lna -+-+…， 即11x lna lnx e lna x lnx x e lnx -+++-+=+…， 令()t g t e t =+， 则()10t g t e '=+>，()g t ∴在R 上单调递增， (1)()g lna x g lnx +- …1lna x lnx ∴+-…， 即1lna lnx x -+…， 令()1h x lnx x =-+， 11()1xh x x x-∴'=-=， 当01x <<时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当1x >时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，()h x h ∴…（1）0=，0lna ∴…， 1a ∴…，故a 的范围为[1，)+∞．方法二：由()1f x …可得11x ae lnx lna --+…，0x >，0a >， 即11x ae lnx lna ---…，设()1x g x e x =--，()10x g x e ∴'=->恒成立，()g x ∴在(0,)+∞单调递增， ()(0)1010g x g ∴>=--=， 10x e x ∴-->， 即1x e x >+，再设()1h x x lnx =--， 11()1x h x x x-∴'=-=， 当01x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，()h x h ∴…（1）0=，10x lnx ∴--…， 即1x lnx -…1x e x -∴…，则1x ae ax -…，此时只需要证ax x lna -…， 即证(1)x a lna --…，当1a …时， (1)0x a lna ∴->>-恒成立，当01a <<时，(1)0x a lna -<<-，此时(1)x a lna --…不成立， 综上所述a 的取值范围为[1，)+∞．方法三：由题意可得(0,)x ∈+∞，(0,)a ∈+∞， 11()x f x ae x-∴'=-， 易知()f x '在(0,)+∞上为增函数，①当01a <<时，f '（1）10a =-<，11111((1)0aa f ae a a e a--'=-=->，∴存在01(1,x a∈使得0()0f x '=，当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，()f x f ∴<（1）1a lna a =+<<，不满足题意，②当1a …时，10x e ->，0lna >，1()x f x e lnx -∴-…，令1()x g x e lnx -=-，11()x g x e x-∴'=-， 易知()g x '在(0,)+∞上为增函数， g ' （1）0=，∴当(0,1)x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，()g x g ∴…（1）1=， 即()1f x …，综上所述a 的取值范围为[1，)+∞．方法四：1()x f x ae lnx lna -=-+ ，0x >，0a >， 11()x f x ae x-∴'=-，易知()f x '在(0,)+∞上为增函数， 1x y ae -= 在(0,)+∞上为增函数，1y x=在0，)+∞上为减函数， 1x y ae -∴=与1y x=在0，)+∞上有交点， ∴存在0(0,)x ∈+∞，使得01001()0x f x ae x -'=-=， 则0101x ae x -=，则001lna x lnx +-=-，即001lna x lnx =--， 当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当0(x x ∈，)+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，0100()()x f x f x ae lnx lna -∴=-+ (000000011)1211lnx x lnx lnx x x x =-+--=-+-… ∴000120lnx x x --… 设1()2g x lnx x x=--，易知函数()g x 在(0,)+∞上单调递减，且g （1）1010=--=，∴当(0x ∈，1]时，()0g x …，0(0x ∴∈，1]时，000120lnx x x --…， 设()1h x x lnx =--，(0x ∈，1]，1()10h x x ∴'=--<恒成立， ()h x ∴在(0，1]上单调递减，()h x h ∴…（1）1110ln =--=，当0x →时，()h x →+∞，01lna ln ∴=…，1a ∴…．方法五：()1f x …等价于11x ae lnx lna --+…，该不等式恒成立．当1x =时，有1a lna +…，其中0a >． 设g （a ）1a lna =+-，则g '（a ）110a=+>， 则g （a ）单调递增，且g （1）0=． 所以若1a lna +…成立，则必有1a …． ∴下面证明当1a …时，()1f x …成立．设()1x h x e x =--，()1x h x e ∴'=-，()h x ∴在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增，()(0)1010h x h ∴=--=…，10x e x ∴--…，即1x e x +…，把x 换成1x -得到1x e x -…，1x lnx - …，1x lnx ∴-…．11()1x x f x ae lnx lna e lnx x lnx --∴=-+--厖?，当1x =时等号成立．综上，1a …． 14．（2019•浙江）已知实数0a ≠，设函数()f x alnx =+0x >． （Ⅰ）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）对任意21[x e∈，)+∞均有()f x …a 的取值范围．注： 2.71828e =⋯为自然对数的底数．【过程解析】（1）当34a =-时，3()4f x lnx =-+，0x >，3()4f x x '=-+= ∴函数()f x 的单调递减区间为(0,3)，单调递增区间为(3,)+∞．（2）由f （1）12a …，得04a <…，当0a <…时，()f x …20lnx --…，令1t a=，则t …，设()22g t t lnx =，t …，则2()2g t t lnx=，()i 当1[7x ∈，)+∞，则()2g x g lnx =--…，记()p x lnx =--，17x …，则1()p x x '--==， 列表讨论：()2()2()0g t g p x p x ∴==厖．()ii 当211[,7x e ∈时，()g t g =…，令()(1)q x x =++，21[x e ∈，17，则()10q x'=+>，故()q x 在21[e ，1]7上单调递增，1()(7q x q ∴…，由()i 得11()()7777q p p =-<-（1）0=，()0q x ∴<，()0g t g ∴=>…，由()()i ii 知对任意21[x e ∈，)+∞，t ∈，)+∞，()0g t …，即对任意21[x e∈，)+∞，均有()f x …综上所述，所求的a 的取值范围是(0．考点四 利用导数研究函数的极值15．【多选】（2023•新高考Ⅱ）若函数2()(0)b c f x alnx a x x =++≠既有极大值也有极小值，则( ) A ．0bc > B ．0ab > C ．280b ac +> D ．0ac <【过程解析】函数定义域为(0,)+∞， 且223322()a b c ax bx c f x x x x x --'=--=， 由题意，方程()0f x '=即220ax bx c --=有两个正根，设为1x ，2x ， 则有120b x x a+=>，1220c x x a -=>，△280b ac =+>， 0ab ∴>，0ac <，20ab ac a bc ∴⋅=<，即0bc <．故选：BCD ．16．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知函数3()1f x x x =-+，则( ) A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线【过程解析】2()31f x x '=-，令()0f x '>，解得3x <或3x >，令()0f x '<，解得33x <<，()f x ∴在(,)-∞+∞上单调递增，在(上单调递减，且99(0,(03939f f +--=>=>， ()f x ∴有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项A 正确，选项B 错误；又33()()112f x f x x x x x +-=-+-++=，则()f x 关于点(0,1)对称，故选项C 正确；假设2y x =是曲线()y f x =的切线，设切点为(,)a b ，则23122a a b⎧-=⎨=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩或12a b =-⎧⎨=-⎩， 显然(1,2)和(1,2)--均不在曲线()y f x =上，故选项D 错误．故选：AC ．17．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当01x <<时，2sin x x x x -<<； （2）已知函数2()cos (1)f x ax ln x =--，若0x =为()f x 的极大值点，求a 的取值范围．【过程解析】（1）证明：设2()sin g x x x x =--，(0,1)x ∈，则()12cos g x x x '=--，()2sin 0g x x ∴''=-+<，()g x ∴'在(0,1)上单调递减，()(0)0g x g ∴'<'=，()g x ∴在(0,1)上单调递减，()(0)0g x g ∴<=，即2sin 0x x x --<，(0,1)x ∈，2sin x x x ∴-<，(0,1)x ∈，设()sin h x x x =-，(0,1)x ∈，则()1cos 0h x x '=->，()h x ∴在(0,1)上单调递增，()(0)0h x h ∴>=，(0,1)x ∈，即sin 0x x ->，(0,1)x ∈，sin x x ∴<，(0,1)x ∈，综合可得：当01x <<时，2sin x x x x -<<；（2）解：22()sin 1x f x a ax x '=-+- ，222222()cos (1)x f x a ax x +∴''=-+-， 且(0)0f '=，2(0)2f a ''=-+，①若2()20f x a ''=->，即a <<时，易知存在10t >，使得1(0,)x t ∈时，()0f x ''>，()f x ∴'在1(0,)t 上单调递增，()(0)0f x f ∴'>'=，()f x ∴在1(0,)t 上单调递增，这显然与0x =为函数的极大值点相矛盾，故舍去；②若2()20f x a ''=-<，即a <a >存在20t >，使得2(x t ∈-，2)t 时，()0f x ''<，()f x ∴'在2(t -，2)t 上单调递减，又(0)0f '=，∴当20t x -<<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当20x t <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，满足0x =为()f x 的极大值点，符合题意；③若2()20f x a ''=-=，即a =()f x 为偶函数，∴只考虑a =的情况，此时22())1x f x x '=+-，(0,1)x ∈时， 2221()22(1)011x f x x x x x '>-+=->--， ()f x ∴在(0,1)上单调递增，与显然与0x =为函数的极大值点相矛盾，故舍去．综合可得：a 的取值范围为(-∞，⋃，)+∞．考点五 利用导数研究函数的最值18．（2022•新高考Ⅰ）已知函数()x f x e ax =-和()g x ax lnx =-有相同的最小值．（1）求a ；（2）证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【过程解析】（1）()f x 定义域为R ，()x f x e ax =- ，()x f x e a '∴=-，若0a …，则()0f x '>，()f x 无最小值，故0a >，当()0f x '=时，x lna =，当x lna <时，()0f x '<，函数()f x 在(,)lna -∞上单调递减，当x lna >时，()0f x '>，函数()f x 在(,)lna +∞上单调递增，故()()min f x f lna a alna ==-，()g x 的定义域为(0,)+∞，()g x ax lnx =- ，1()g x a x'∴=-， 令()0g x '=，解得1x a =， 当10x a <<时，()0g x '<，函数()g x 在1(0,)a 上单调递减， 当1x a >时，()0g x '>，函数()g x 在1(a，)+∞上单调递增， 故()1min g x lna =+，函数()x f x e ax =-和()g x ax lnx =-有相同的最小值1a alna lna ∴-=+，0a > ，1a alna lna ∴-=+化为101a lna a --=+， 令1()1x h x lnx x -=-+，0x >， 则222211(1)121()(1)(1)(1)x x x h x x x x x x x +--+'=-=-=+++， 0x > ，221()0(1)x h x x x +'∴=>+恒成立， ()h x ∴在(0,)+∞上单调递增，又h （1）0=，h ∴（a ）h =（1），仅有此一解， 1a ∴=．（2）证明：由（1）知1a =，函数()x f x e x =-在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 函数()g x x lnx =-在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，设()()()2(0)x u x f x g x e x lnx x =-=-+>， 则1()22x x u x e e x'=-+>-，当1x …时，()20u x e '->…， 所以函数()u x 在(1,)+∞上单调递增，因为u （1）20e =->，所以当1x …时，()u x u …（1）0>恒成立，即()()0f x g x ->在1x …时恒成立， 所以1x …时，()()f x g x >，。

高考导数知识点篇导数是高中数学中的一个重要概念，也是高考中常考的知识点之一。

导数可以帮助我们研究函数的变化规律和性质，对于解决实际问题和深入理解数学原理都具有重要意义。

本文将系统地介绍高考中常见的导数知识点，帮助考生们更好地备考和应对考试。

一、导数定义导数是函数变化率的极限定义，用数学符号表示为 f'(x)，可以理解为函数在某一点的瞬时变化速率。

如果函数 f 在点 x 处可导，则有 f'(x) = lim（h→0）[f(x+h)-f(x)]/h。

二、常见函数的导数以下是一些常见函数的导数公式，考生们需要熟记并掌握它们：1. 常数函数：f(x) = C导数为零，即 f'(x) = 0。

2. 幂函数：f(x) = x^n导数为 n 倍的 x 的 n-1 次方，即 f'(x) = nx^(n-1)。

3. 指数函数：f(x) = e^x导数为自身，即 f'(x) = e^x。

4. 对数函数：f(x) = log_a x导数为 1/(xlna)，即 f'(x) = 1/(xlna)。

5. 三角函数：f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x对于 sin x 和 cos x，导数为 cos x 和 -sin x，即 f'(x) = cos x，f'(x) = -sin x。

对于 tan x，导数为 sec^2 x，即 f'(x) = sec^2 x。

三、导数的基本性质在求解导数问题时，我们需要熟练掌握导数的基本性质，以便更好地应用到解题中。

1. 和差法则：对于两个可导函数 f(x) 和 g(x)，有以下规则：(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)(f-g)'(x) = f'(x) - g'(x)2. 乘法法则：对于两个可导函数 f(x) 和 g(x)，有以下规则：(f*g)'(x) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)3. 除法法则：对于两个可导函数 f(x) 和 g(x)，有以下规则：(f/g)'(x) = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x))/[g(x)]^24. 复合函数求导法则：设 y = f[g(x)] 是由函数 g(x) 和 f(u) 复合而成的函数，则有以下规则：dy/dx = f'(g(x))*g'(x)四、导数在函数图象中的应用导数除了用于求解函数的变化率和性质外，还可以帮助我们分析函数图象的特点。

2019全国高考 - 圆锥曲线部分汇编 (2019北京理数) （19）（本小题13分） 已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．(2019a ）最小时，求a 的值． (2019x +y =0的距(2019-e ，-1)(e 为(2019设函数（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=…，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． (2019全国Ⅰ理数) 13.曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为 .(2019全国Ⅰ理数) 20．（12分）已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．(2019全国Ⅰ文数) 13．曲线2)3(e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________．(2019全国Ⅰ文数) 20．（12分）已知函数f （x ）=2sin x -x cos x -x ，f ′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．(2019全国Ⅱ理数)20. (12分)已知函数11ln )(-+-=x x x x f (2019全国Ⅱ文数)10. 曲线A ．(2019（1） （2） (2019A ．a =(2019（1（2）若不存在，(2019A ．a =e (2019全国Ⅲ文数) 20．（12分）已知函数32()22f x x ax =-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0<a <3时，记()f x 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围．(2019天津理数) 20．（本小题满分14分）设函数()e cos ,()x f x x g x =为()f x 的导函数． （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f xg x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点，其中n ∈N ，证明20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-． (2019天津文数) （11）曲线cos 2x y x =-在点(0,1)处的切线方程为__________. (2019天津文数) （20）（本小题满分14分）设函数()ln (1)e x f x x a x =--，其中a ∈R .（Ⅰ）若a ≤0，讨论()f x 的单调性；（i （ii (2019（1（2(2019（1（2注：。