6.1.3常数项级数审敛法

n2 n 1
解
(
x
x ) 1

2
(1 x) x( x 1)2
0
( x 2)
故函数 x 单调递减, x1
un un1 ,
又
lim
n
un

lim
n
n
n 1

0.
原级数收敛.
三、绝对收敛与条件收敛
定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.


定理 若 un 收敛,则 un 收敛.
n1
比较审敛法的不便: 须有参考级数.

例 2 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明 1 1 , n(n 1) n 1

而级数
1



1
发散,
n1 n 1 n2 n

级数
1 发散.
n1 n(n 1)
3.比较审敛法的极限形式:
定理4:


3 2n

vn ,


级数 un
n1
2 (1)n源自n12n收敛,但
un1 un

2 (1)n1 2(2 (1)n )

an ,
lim
n
a2n

1, 6
lim
n
a2
n1

3, 2

lim
n
un 1 un

lim
n
an
不存在.
例 5 判别下列级数的收敛性:
n4
收敛
因此
sin n

n1
n4

故 M > 0 (不妨取 M > 1) , N > 0, 当 n > N 时,
un M 1 vn
即
0 vn < un
由比较判别法, 当 = 时,
vn 发散 un 发散
n1
n1
20
例4
判别级数
n1
1 n2 a2
的敛散性 ( a > 0 为常数).
1
解 因为 lim n2 a 2 1 ( 即 = 1 为常数 )
34
二. 任意项级数的敛散性 1.交错级数及其敛散性 定义
交错级数是各项正负相间的一种级数, 它的一般形式为
u1 u2 u3 u4 (1)n1un 或 u1 u2 u3 u4 (1)n un
其中, un 0 ( n = 1 , 2 , … ).
35
定理 (莱布尼兹判别法)
S2m u1 (u2 u3) (u4 u5 ) (u2m2 u2m1) u2m u1
2n 1 2n
(n =1, 2, …)
故 当n 1 时, 有
n 1
n1
Sn k 1 2k 1 k 1 2k
1
1
1
n
2 2
1 1
1
1 2n
1
2
即其部分和数列 {Sn} 有界,
从而,
级数
1 n1 2n 1
收敛.
8
3. 正项级数敛散性的比较判别法
设有正项级数 un 与 vn,
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第六讲 常数项级数的审敛法
脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民
1
第二章 数列的极限与常数项级数

所以级数
n 1

π n

sin
π n

也收敛.
结论：当 n 时,
如果 un 是与 vn 同价或是比 vn 高阶的无穷小,


而级数 vn 收敛, 那么级数 un 收敛;
n1
n1
如果 un 是与 vn 同价或是比 vn 低阶的无穷小,


而级数 vn 发散, 那么级数 un 发散.
n1
π n
sin
π n

的敛散性.
解 由于 lim x sin x lim 1 cos x 1 ,
x0
π
xπ3 sin
可得 lim n
n
π
3
n
x0 3x2
6

1 6
.而级数

n1
π 3 n

n 1
π3
1 n3
收敛,
n
n1
n 1


将 un 与 aqn 作比较
n 1
n0
3.比值审敛法(达朗贝尔(d’Alembert)判别法)
设
n 1
un
为正项级数, 如果
lim
n
un1 un
,
则
当 1时级数收敛,
1 (或 lim un1 )时级数发散,
u n n
1 时级数可能收敛也可能发散.


则级数 un 收敛; 如果级数 vn 发散, 且当 n N 时有
n1
n1

un kvn (k 0) 成立,则级数 un 发散.
n1

因此 lim u n u N 0 , 所以级数发散.
u n 1 说明: 当 lim 1 时,级数可能收敛也可能发散. n u n 1 u n 1 ( n 1) p lim lim 1 1 例如, p – 级数 n u n n p
n
n
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
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例5. 讨论级数
的敛散性 .
u n 1 (n 1) x n lim 解: lim x n 1 n u n n n x
根据定理4可知:
当0 x 1 时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数目录
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收敛 ,
故有界.
∴部分和数列
收敛 , 从而
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单调递增,
也收敛.
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定理2 (比较审敛法) 设
且存在 对一切 有
是两个正项级数, (常数 k > 0 ),
则有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
也收敛 ;
也发散 .
(2) 若弱级数
发散 , 则强级数
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
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例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n
un n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 . 令 rn S S n , 则所求误差为
1 1 0 rn n 1 n2 (n 1) (n 2)
n
n
n
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