无穷级数-任意项级数审敛法

第九章 无穷级数 第三讲

第三讲 常数项级数审敛法

授课题目（章节）：

§11.2常数项级数审敛法

教学目的与要求：

会用交错级数的莱布尼茨定理；

了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念。

教学重点与难点：

绝对收敛与条件收敛的概念

讲授内容：

一、交错级数

定义：0(1,2,...)nun，称级数1234uuuu或1234uuuu

为交错级数，记为11(1)nnnu或1(1)nnnu

定理：若交错级数11(1)nnnu满足

（1）1(1,2,)nnuun （2）lim0nnu

则该级数收敛，且和1su，余项1||nnru

证明：……

例1判定下列级数的收敛性

（1）1211(1)21nnnn （2）11(1)21nnnn

二、绝对收敛与条件收敛

定义：除正项级数和负项级数以外的无穷级数称为任意项级数。

任意项级数1nnu的收敛性与正项级数1||nnu的收敛性有什么关系？ 第九章 无穷级数 第三讲

定理1若正项级数1||nnu收敛，则级数1nnu必收敛，称之为绝对收敛。

证明：……

注意：1||nnu发散时，1nnu不一定发散，如：1(1)nnn

定义：若1||nnu发散，而1nnu收敛，则称1nnu条件收敛。

推论：（1）若1nnu绝对收敛，则1nnu中全体正项所构成的级数1nnv及1nnu中全体负项所构成的级数1nnw均收敛；

高数第十单元无穷级数

第十单元 无穷级数

10－1 常数项级数的概念与审敛法

［教学基本要求］

高等数学 1. 理解无穷级数收敛、发散以及收敛级数和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件；２．了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与p级数的敛散性，掌握正项级数的比较审敛法；３．了解交错级数的莱布尼茨定理；4．了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系．

微积分 1。

理解无穷级数收敛、发散以及收敛级数和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件；２．了解正项级数的比较审敛法，掌握几何级数与p级数的敛散性结果,掌握正项级数的比较审敛法；３．了解交错级数的莱布尼茨定理;4．了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系．

[知识要点]

一、常数项级数的敛散性判别法及其说明

除开因limnnu，而判定nnu发散外，常用以下方法判别级数的收敛性.

名 称 定 理 注意与说明

()nnnuu 正项级数nnu收敛它的部分和数列nS有界．

limnnS存在． 正项级数的部分和数列nS单调上升．

比较判别法 若0nnuv,则

nnv收敛1nnu收敛．(简记：若大敛则小敛)

nnu发散1nnv发散．（简记:若小散则大敛） （1) 若两个正项级数，除有项外都满足定理条件,则结论亦成立．

(2） 选取已知的收敛或发散级数与所求的级数比较

（3）同性和同性相比,即：收敛与收敛比较；发散与发散比较．

（4)记住几个常见级数的敛散性:如等比级数、p－级数等敛散性． 高数第十单元无穷级数

比较判别法的极限形式 设nnu和nnv均为正项级数，且lim(0)nnnnuAvv，

（1）若0A，且nnv收敛，则nnu收敛．

(2) 若0A,且nnv发散,则nnu发散． 选取已知的收敛或发散级数与所求的级数比较．

第十一章 无穷级数

§ 11.1 常数项级数

一、基本概念与性质

1. 基本概念

无穷多个数123,,,,,nuuuu依次相加所得到的表达式1231nnnuuuuu称为数项级数（简称级数）。

1nnkkSu123nuuuu （1,2,3,n）称为级数的前n项的部分和，(1,2,3,)nSn称为部分和数列。

11lim(),,nnnnnnSSuSuS若存在则称级数是收敛的,且其和为记以

limnnS若不存在，则称级数1nnu是发散的，发散级数没有和的概念。（注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。）

2． 基本性质

（1） 如果11111,()nnnnnnnnnnnuvabaubvaubv和皆收敛,为常数,则收敛,且等于

（2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。

（3） 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。 （4） 级数1nnu收敛的必要条件是lim0nnu

（注：引言中提到的级数11(1),nn具有limn11n不存在，因此收敛级数的必要条件不满足，1n11n发散。调和级数1n1n满足limn10,n但1n1n却是发散的，所以满足收敛级数的必要条件limn0nu，而1nnu收敛性尚不能确定。）

3．两类重要的级数

（1）等比级数（几何级数）：0nnar 0a

当1r时，0nnar1ar收敛；当1r时，0nnar发散

（2）p--级数：11pnn 当p>1时，11pnn收敛， 当p1时11pnn发散

第２５卷第５期　２０１２年５月　传感技术学报　

ＣＨＩＮＥＳＥ．ＩＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＳＥＮＳＯＲＳ　ＡＮＤ　ＡＣＴＵＡＴ０ＲＳ　Ｖ０１．２５　Ｎｏ．５　Ｍａｖ　２０１２　

Ｉｎｆｉｎｉｔｅ　Ｓｅｒｉｅｓ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　Ｔｏｒｓｉｏｎａｌ　Ｒｉｇｉｄｉｔｙ　ｏｆ　ａ　Ｐｒｉｓｍ　ｗｉｔｈ　

Ｒｉｇｈｔ－Ａｎｇｌｅｄ　Ｔｒａｐｅｚｏｉｄ　Ｃｒｏｓｓ—Ｓｅｃｔｉｏｎｓ　

ＹＡＮＧ　Ｇａｎｇ　，ＨＡＯ　Ｙｉｌｏｎｇ　，ＨＵ　Ｑｉｆａｎｇ　，ＧＡＯ　Ｃｈｅｎｇｃｈｅｎ　

（１．Ｎａｔｉｏｎａｌ　Ｋｅｙ　Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　ｏｎ　Ｍｉｃｒｏ／Ｎａｎｏ　Ｆａｂｒｉｃａｔｉｏｎ，Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｍｉｃｒｏｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ，Ｐｅｋｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｂｅｉｊｉｎｇ　１００８７１，Ｃｈｉｎａ；２．Ｓｈｅｎｚｈｅｎ　Ｇｒａｄｕａｔｅ　Ｓｃｈｏｏｌ，Ｐｅｋｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈｅｎｚｈｅｎ　Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ　５１８０５５，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｔｏｒｓｉｏｎ　ｒｉｇｉｄｉｔｙ　ｏｆ　ａｎ　ｅｌａｓｔｉｃ　ｂｅａｍ　ｗｉｔｈ　ｒｉｇｈｔ－ａｎｇｌｅｄ　ｔｒａｐｅｚｏｉｄ　ｃｒｏｓｓ　ｓｅｃｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｂａｓｅ　ａｎｇｌｅｓ　ｒａｎｇｉｎｇ　

ｆｒｏｍ　１０。ｔｏ　８０。ｉｓ　ｓｔｕｄｉｅｄ　ａｎａｌｙｔｉｃａｌｌｙ　ａｎｄ　ｅｘａｍｉｎｅｄ　ｔｈｒｏｕｇｈ　ＦＥＭ（Ｆｉｎｉｔｅ　Ｅｌｅｍｅｎｔｅ　Ｍｅｔｈｏｄ）ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ．Ｔｏ　ｓｏｌｖｅ　ｔｈｉｓ　

ｓｐｅｃｉａｌ　ｃａｓｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆｒｅｅ　ｔｏｒｓｉｏｎ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｏｆ　ｅｌａｓｔｉｃ　ｐｒｉｓｍｓ（ｔｈｅ　Ｓａｉｎｔ—Ｖｅｎａｎｔ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ）ｔｈｅ　ｉｎｆｉｎｉｔｅ　ｓｅｒｉｅｓ　ｍｅｔｈｏｄ　

ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ’ｓ　ｈｙｄｒｏｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｓ　ｉｓ　ａｄｏｐｔｅｄ　ａｎｄ　ｆｉｒｓｔｌｙ　ｒｅｐｏｓｅｄ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｗｏｒｋ．Ｂｙ　ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ