1 ·复习 1 级数的概念。2 级数的敛散性。3 级数的性质。
·引入 正像数列一样，对于级数也有两个问题应当研究一是它是否收敛，二是如果收敛，它的和等于什么。一般情况下要判断一个级数的敛散性，只利用级数收敛和发散的定义和性质，常常是很困难的，因此需要建立判定级数敛散性的判别法。我们先来考察正项级数的敛散性。
·讲解新课
7-2 常数项级数的审敛法（一）
一 正项级数及其审敛法
定义 如果级数1nnu的每一项都是非负数，即0nu，(1,2)n，那么称级数1nnu为正项级数．
如果级数1nnu是一个正项级数，那么它的部分和数列nS是一个单调增加数列：12......nSSS，如果数列nS有界，即nS总不大于某一个常数M，根据单调有界数列必有极限的准则，正项级数1nnu必收敛于和S，且nSSM；反之，如果正项级数1nnu收敛于和S，即limnxSS，根据有极限的数列必是有界数列的性质可知：1nnu有界，因此可得如下结论： 2 定理 正项级数1nnu收敛的充分必要条件是：它的部分和数列单调有界。
由此定理可知：如果正项级数1nnu发散，则当n时，它的部分和数列nS，即：1nnu
1 比较审敛法
设有两个正项级数1nnu和1nnv，
如果nu≤nv),3,2,1(n成立，那么
（1）若级数1nnv收敛，则级数1nnu也收敛.
（2）若级数1nnu发散，则级数1nnv也发散．
用比较判别法时，需要适当地选取一个已知其收敛性的级数作为比较的基准，最常被选用作基准级数的是等比级数和p－级数。
定义 当0p时 ，11111123LLppppnnn.
称为 p－级数
特别地：当1p时，p－级数是调和级数11nn。 3 定理 当1p时，p－级数11pnn收敛；当p≤1时，p－级数11pnn发散．
第九章 无穷级数 第三讲
第三讲 常数项级数审敛法
授课题目（章节）：
§11.2常数项级数审敛法
教学目的与要求：
会用交错级数的莱布尼茨定理；
了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念。
教学重点与难点：
绝对收敛与条件收敛的概念
讲授内容：
一、交错级数
定义：0(1,2,...)nun，称级数1234uuuu或1234uuuu
为交错级数，记为11(1)nnnu或1(1)nnnu
定理：若交错级数11(1)nnnu满足
（1）1(1,2,)nnuun （2）lim0nnu
则该级数收敛，且和1su，余项1||nnru
证明：……
例1判定下列级数的收敛性
（1）1211(1)21nnnn （2）11(1)21nnnn
二、绝对收敛与条件收敛
定义：除正项级数和负项级数以外的无穷级数称为任意项级数。
任意项级数1nnu的收敛性与正项级数1||nnu的收敛性有什么关系？ 第九章 无穷级数 第三讲
定理1若正项级数1||nnu收敛，则级数1nnu必收敛，称之为绝对收敛。
证明：……
注意：1||nnu发散时，1nnu不一定发散，如：1(1)nnn
定义：若1||nnu发散，而1nnu收敛，则称1nnu条件收敛。
推论：（1）若1nnu绝对收敛，则1nnu中全体正项所构成的级数1nnv及1nnu中全体负项所构成的级数1nnw均收敛；
n 1 n 1
§ 11-2 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
正项级数： Un Un 0 ⑴
n 1
显然，部分和数列sn单调增加：s1 s2 Sn . sn
1.收敛准则
定理1正项级数 Un收敛部分数列Sn有界.
n 1
n
例1判别正项级数 亠的收敛性
定理2设 Un和 Vn都是正项级数，且Un V. (n
n 1 n 1
则 Un收敛；反之,
n 1 若 Un发散，则 Vn发散.
n 1 n 1
分析: Vn
n 1 ，贝U Un的部分和
n 1
Sn U1 U2 Un V1 V2 Vn (n 1,2, ),
即Sn有界，由TH1知 Un收敛。反之，设
n 1 Un发散，则
n 1 Vn
n 1 必发散.因为若
Vn收敛，由上面已证结论知 Un也收敛，与假设矛盾 n
1
1
解「 sin 2
22
22
1 1
I 2n
1 1
2 2
Sin2n 1 1 1
2n 2 22 2n
1有上界 级数收敛
1,2,).若 Vn收敛,
n 1 2.比较审敛法 推论 设 Un和 Vn都是正项级数，如果级数 Vn收敛，且存在自然数 N,使
n 1 n 1
kvn (k 0)成立，则级数 un收敛；如果级数 vn发散，且当n N
n 1 n 1
分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数 k，以及去掉级数前面的有限项不会 影响级数的收敛性.
注：比较审敛法的：必须有参考级数。常用：几何级数， p —级数(调级数)
例3判别下列级数的敛散性. 当n N时有Un
时有 un kvn (k 0)成立,则级数 Un发散.
n 1
例2讨论p —级数 ⑵的收敛性，其中常数p>0.
1，当n 则書
n时, 1
丄，但调和级数发散，故级数(2)发散.
n
有
1
np I
n 1np 2dx
x (n np 1 n 2,3,
考虑级数 (n 1) 级数(3)的部分和
sn 1
2卩1 1
3p 1 1 =1 1
【专题研讨】 常数项级数审敛法探讨 马春萍 华北电力大学保定校区数理系河北保定市０７１０００ 摘要：本文针对常数项级数的一般审敛法作出讨论。 关键词：常数项级数收敛正项级数 交错级数审敛法 若给定数列ＬＩ１，ｕ２…，Ｕ …，则Ｕｌ＋ｕ２＋…＋ｕｎ＋…称为 常数项级数．常数项级数的敛散性与幂级数的收敛半 径、收敛域和函数有密切联系，故其审敛法是高等数学 的重要教学内容，亦是典型题型。常见的常数项级数审 敛法主要有以下几类。 一、利用定义 常数项级数的前ｎ项和Ｓｎ＝ｕ ＋ｕ：＋．．・ｔｌ 称为级数的 部分和，随ｎ取值不同，形成一数列，记为｛Ｓｎ｝．若ｌｉｍ Ｓｎ＝Ｓ， 称 ｕ 收敛于和ｓ。有一部分级数可通过求Ｓｎ ｒｌ＝１ 的极限得到其敛散性结论，常见方法是将ｓｎ通过拆项、 错位相减进行整理再求极限，例如∑ 等。 ｎ＝１ ＩＩ ＩＩ１＿１／ 二、利用性质 １．设ｃ≠０，则∑ｕ 与∑ｃｕ 敛散性相同。 ｎ：ｌ ｎ １ ２．若∑ｕ 与∑、， 分别收敛于ｓ和ｏ，则 ｎ＝１ ｎ＝１ ∑（ｕ ±ｖ ）收敛于ｓ± 。 ｎ １ 需要注意的是一个发散级数加一个收敛级数必得 发散级数，但两个发散级数之和未必发散，例如∑ｔｌｎ发 ｎ＝１ 散，而Ｙｎ＝一ｕ 。 ． ３．在级数中去掉、加上或改变有限项不会改变级数 的敛散性。 ４．若∑ｔｉｎ收敛，则对级数的项任意加括号后所成 ｎ：ｌ 的级数仍收敛，且和不变。 一十一＋一＋一＋一＋一＋”＋ （上接６９页） 求分数而放弃了一些实践操作的学习。因此考核应增加 上机部分，设置专门考试，课程最终的成绩通过学生上 机考试得分（占２０％）和平时成绩（占２０％）笔试（占 ６０％）的得分计算而来。这样，只有平时重视理论联系实 际，勤思考、勤动手的学生，期末才能获得好的成绩。这 样不仅可以提高学生在上机实验课中的积极性，也减轻 了学生考试的压力。 需要注意的是加括号后所成的级数收敛，原级数 未必收敛，例如（１—１）＋（１＋１）＋＿．．收敛于０，但∑（一１）ｎ＋ｔ 发散，而发散的级数加括号后未必发散，加括号后发散 的级数本身必发散。 ５．若∑ｕ 收敛，￣ＥＪｌｉｍ ｕ ＝０。 此性质的逆否命题常用来判定级数发散，即若ｌｉｒａ ｕ ≠０，则∑ｕ 发散。同时，若ｌｉｍ ｕＴｌ＝０，∑ｕ 未必收敛， 例如∑１；而∑ｕ 发散，未必有ｌｉｍ ｕ ≠０成立。 ． 三、利用重要的常数项级数 １．等比级数∑ａｑ＂－ ：当０＜ＩｑＩ＜１时级数收敛，和为 ；当Ｉｑｌ≥１时级数发散。 ２．ｐ－级数∑ １：当Ｐ＞ｌ时级数收敛；当 一１ ｎ ０＜ｐ≤１级数发散。 ３．调和级数ｎ∑｝是发散的。 以上几个级数常会用到，特别是正项级数审敛问题 中常被取为比较的对象。 参考文献： １．同济大学数学教研室．高等数学，第四版，高等教育出版 社．１９９３． ２．华东师范大学数学系．数学分析，第二版，高等教育出版 社．１９９１．
