十字相乘法因式分解课件

第五讲：十字相乘法进行因式分解（1） 理解二次三项式的意义： 二次三项式1,：多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．2：在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．3：在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式 （2）理解十字相乘法的根据；1：利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则 （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++注意：这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．例1 把1522--x x 分解因式解：因为 常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；131 -5所以：)5)(3(1522-+=--x x x x 变式：1.x 2+6x －722.x 2－4x －12；3.x 2+9x －10； x 2-14x-15；例2：把2265y xy x +-分解因式解：将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项26y 可分为(－2y )(－3y )， 而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数．1-2y1 -3y所以：)3)(2(6522y x y x y xy x --=+-． 变式：x 2－10xy －56y 2 练习：分解因式1、x 2-5xy+6y 2．2、x 2-7xy+12y 23、x 2+3xy-102例3、(x+y) 2－8(x+y)-48解：因为可将（x+y ）看作一个整体，转化为关于(x+y)的二次三项式，常数项-48可分为（-12）x （4），而（-12）+4=-8,恰好为一次项系数。

十字相乘法讲解观察下列各式由上面各式得到：等式特点：(1) 等式左边是一个关于x 的二次项系数为1的二次三项式.(2) 等式左边的常数项可分解成两个因数的乘积,且这两个数的和等于一次项系数.(3) 等式右边为两个关于x 的一次因式的乘积.例1 分解因式归纳（1）十字相乘法主要对二次三项式进行因式分解；（2）基本步骤：①对二次项系数和常数项进行竖式分解；②验证交叉相乘后，和是否等于一次项系数；③横向相加，分解因式。

=++)2)(3(x x =+-)3)(4(x x =--)7)(6(x x =-+)2)(5(x x =++))((q x p x 652++x x 122--x x 42132+-x x 1032-+x x pqqx px x +++2652++x x )2)(3(++=x x 122--x x )3)(4(+-=x x 42132+-x x )7)(6(--=x x 1032-+x x )2)(5(-+=x x ))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++1=++107.12x x =--82.22x x =-+65.32x x =+-107.42x x 2310.5x x --92721.62-+x x探索新知计算：反过来 首项系数非1的整系数二次三项式的因式分解例3 分解因式86.124++x x ()()34.32++-+b a b a 107.222+-xy y x 2223.4y xy x +-()2044.5222---+x x x x =++)1)(32(x x 3522++x x =++3522x x )1)(32(++x x =++c bx ax 2))((2211c x a c x a ++=++276.12x x =++10113.22x x =+-82315.32x x =-+36196.42x x =++-22865.5y xy x 7)(15)(2.62++++b a b a 22224954.7y y x y x --223231.8y xy x +-补充作业分解因式：（1）232++x x （2）672+-x x （3）2142--x x（4）1072++x x （5）822--x x （6）1272+-y y ；（7）1872-+x x （8）101132++x x （9）6752-+x x(10) 3722+-x x (11) 101332+-x x (12) 101332--x x ;(13) 5762--x x (14) ;86522y xy x -+ (15) 223116y xy x +-(16) ;7624-+x x (17) 12322--mn n m （18）;1032-+x x()1222.12++++k x k x ()212.222-+++-m m x m x ()2223.32+++-m x m mx课外作业（1）;2142-+a a （2）;1242-+m m （3）;1522-+x x（4）;1832--y y （5）;122--x x （6）.841522b ab a +-（7）;2762++x x （8）;101162--y y （9）;1562-+x x（10）;4832+-a a（11）;6752-+x x （12）2675m m -+（13）71522++x x ； （14）;622-+y y （15）;6732--a a（16）;61362+-x x（17）;15442-+n n （18）;10722+-xy y x（19）91024+-x x。

第八讲 十字相乘法因式分解【知识要点】十字相乘法：1．针对q px x ++2的因式：恰好p 可写成b a +，q 可写成ab ，则有： 222()()()()()()x px q x ax bx abx ax bx ab x x a b x a x a x b ++=+++=+++=+++=++ 2．由21122122122111))((c c x c a c c a x a a c x a c x a +++=++，反过来看，就得到c bx ax ++2的因式分解式。

即))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++与c bx ax ++2比较，就知道a 分解成21a a ，c 分解成21c c ，并且把2121,,,c c a a 排列成方阵再交叉相乘后相加，就得到b 。

b c a c a c a c a =+211222113、十字相乘法口诀：拆两头、凑中间、交叉乘、横着写。

【经典例题】例1．分解因式：（1）1492++x x （2）1032+--x x（3）5922-+x x （4）22823y xy x --同步练习：（1）122--x x (2)1032--x x（3）31082---x x （4）221435y xy x --例2．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：x 2+2x ﹣3，解：原式＝x 2+2x +1﹣1﹣3＝（x 2+2x +1）﹣4＝（x +1）2﹣4＝（x +1+2）（x +1﹣2）＝（x +3）（x ﹣1）上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：（1）x 2﹣4x +3 （2）4x 2+12x ﹣7．例3．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由（x +p ）（x +q ）＝x 2+（p +q ）x +pq ，可得x 2+（p +q ）x +pq ＝（x +p ）（x +q ）．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子x 2+3x +2分解因式．这个式子的常数项2＝1×2，一次项系3＝1+2，所以x 2+3x +2＝x 2+（1+2）x +1×2．解：x 2+3x +2＝（x +1）（x +2）．上述分解因式x 2+3x +2的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）分解因式：x 2﹣5x +6＝ ；（2）若x 2+px +8可分解为两个一次因式的积，则整数P 的所有可能值是 ．例4．分解因式（1）()a x a x +++12 （2）()k x k kx +++122例5．阅读理解：对于多项式x 2+px +q ，若满足关系式p ＝a +b ，q ＝ab ，那么这个多项式可进行如下的因式分解：x 2+px +q ＝x 2+（a +b ）x +ab ＝（x +a ）（x +b ），这种因式分解的方法叫做常数项分解法．例如多项式x 2+5x +6，因为6＝2×3，5＝2+3，故可因式分解为x 2+5x +6＝x 2+（2+3）x +2×3＝（x +2）（x +3）．（1）多项式x 2+3x ﹣18分解结果正确的是 ；A ．（x ﹣6）（x +3）B ．（x ﹣9）（x +2）C ．（x +6）（x ﹣3）D ．（x +9）（x ﹣2）（2）填空：x 2+2x ﹣8＝x 2+[ + ]x +[ ]×[ ]＝[x + ][x + ]；（3）仿照上面的方法分解因式：x 2﹣5x ﹣24．思考题:（1）38844322--+-+y x y xy x （2）612767322-++--y x y xy x【课堂练习】一、填空1．若3,5-+x x 都是152--kx x 的因式，则=k ．2．若202++ax x 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是 ．3．阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x 2﹣x ﹣3的方法．（1）二次项系数2＝1×2；（2）常数项﹣3＝﹣1×3＝1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和”；1×3+2×（﹣1）＝1 1×（﹣1）+2×3＝5 1×（﹣3）+2×1＝﹣1 1×1+2×（﹣3）＝﹣5（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1＝﹣1，等于一次项系数﹣1．即：（x +1）（2x ﹣3）＝2x 2﹣3x +2x ﹣3＝2x 2﹣x ﹣3，则2x 2﹣x ﹣3＝（x +1）（2x ﹣3）．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x 2+5x ﹣12＝ ．二、分解因式1．1072+-x x 2．1492-+-x x 3. 223102ab b a a -+4．22673y xy x -- 5．223108y xy x ++ 6．2252710y xy x ++7．2)(3)(2++-+y x y x 8．8)(6)(2++++y x y x 9. 221y xy a a x +⎪⎭⎫ ⎝⎛++10．()()42522+-+-x x 11．()()2532++++b a b a【课后作业】一、因式分解：（1）（x ﹣4）（x +7）+18． （2）（x 2﹣x ）2+（x 2﹣x ）﹣6． （3）x 2+x ﹣2（4）a 2﹣2a ﹣15 （5）（x 2﹣2x ）2﹣2（x 2﹣2x ）﹣3 （6）x 2﹣4x ﹣12（7）2254y xy x -- （8）1032-+x x （9）222212y xy x --8．若041222=+-+-y xy x x ，则=x ，=y ． 9．若36412++kx x 是一个完全平方式，则=k ． 10．a a a 1216423++-在分解因式时，应提取的公因式是 ． 11．多项式78622++-+y x y x 的最小值为 ．12．阅读下列问题因式分解：x 2+4x +3．解：原式＝x 2+4x +4﹣4+3＝（x 2+4x +4）﹣1＝（x +2）2﹣1＝（x +2+1）（x +2﹣1）＝（x +3）（x +1）上述因式分解的方法称为配方法．请仿照上述配方法的解题步骤将下列各式因式分解：（1）x 2﹣6x +5 （2）4x 2+4x ﹣15第八讲 十字相乘法因式分解【知识要点】十字相乘法：1．针对q px x ++2的因式：恰好p 可写成b a +，q 可写成ab ，则有： 222()()()()()()x px q x ax bx abx ax bx ab x x a b x a x a x b ++=+++=+++=+++=++ 2．由21122122122111))((c c x c a c c a x a a c x a c x a +++=++，反过来看，就得到c bx ax ++2的因式分解式。