高中数学例题：用随机模拟的方法求几何概型问题的概率

17、概率17．2 古典概型与几何概型【知识网络】1． 理解古典概型，掌握古典概型的概率计算公式；会用枚举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

2． 了解随机数的概念和意义，了解用模拟方法估计概率的思想；了解几何概型的基本概念、特点和意义；了解测度的简单含义；理解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题。

【典型例题】[例1]（1）如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 （ ）A ．49B ．29C ．23D ．13（2）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2 Y X 的概率为 （ ）A ．61B ．365 C ．121 D ．21 （3）在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率为（）A ．56B ．12C ．13D ．16（4）向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则随机事件“△PBC 的面积小于3S”的概率为 ．（5）任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为 ．[例2]考虑一元二次方程x 2+mx+n=0，其中m ，n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率。

[例3]甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．[例4]抛掷骰子，是大家非常熟悉的日常游戏了．某公司决定以此玩抛掷（两颗）骰子的游戏，来搞一个大型的促销活动——“轻轻松松抛骰子，欢欢乐乐拿礼券”．方案1：总点数是几就送礼券几十元．方案2：总点数为中间数7时的礼券最多，为120元；以此为基准，总点数每减少或增加1，礼券减少20元．方案3 总点数为2和12时的礼券最多，都为120元；点数从2到7递增或从12到7递减时，礼券都依次减少20元．如果你是该公司老总，你准备怎样去选择促销方案?请你对以上三种方案给出裁决．【课内练习】1． 某班共有6个数学研究性学习小组，本学期初有其它班的3名同学准备加入到这6个小组中去，则这3名同学恰好有2人安排在同一个小组的概率是 （）A ．15 B ．524C ．1081D ．512 2． 盒中有1个红球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别．现由10人依次摸出1个球，设第1个人摸出的1个球是红球的概率为P 1，第8个人摸出红球的概率是P 8，则（）A ．P 8=18P 1B ．P 8=45P 1 C ．P 8=P 1 D ．P 8=0 3． 如图，A 、B 、C 、D 、E 、F 是圆O 的六个等分点，则转盘指针不落在阴影部分的概率为（ ）A ．12 B ．13C ．23D ．144． 两根相距3m 的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于1m 的概率为（）A ．12B ．13C ．14D ．235． 一次有奖销售中，购满100元商品得1张奖卷，多购多得．每1000张卷为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖5个，二等奖100个．则任摸一张奖卷中奖的概率为 ．6． 某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案，该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 ． 7． 在圆心角为150°的扇形AOB 中，过圆心O 作射线交AB 于P ，则同时满足：∠AOP ≥45°且∠BOP ≥75°的概率为 ．8． 某招呼站，每天均有3辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车．某天小曹准备在该招呼站乘车前往北京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他将采取如下决策：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．（1）共有多少个基本事件？（2）小曹能乘上上等车的概率为多少？9．设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点P 与A 连结，第3题图倍的概率．10．正面体ABCD的体积为V，P是正四面体ABCD的内部的点．①设“V P-ABC≥14V”的事件为X，求概率P(X)；②设“V P-ABC≥14V且V P-BCD≥14V”的事件为Y，求概率P(Y)．17、概率17．2 古典概型与几何概型A 组1． 取一个正方形及其它的外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率为 （ ）A ．2π B ．2ππ- C D ．4π2． 甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为 （ ）A ．12B ．13C ．14D ．163． 已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)及内部面积为S=πab ，A 1，A 2是长轴的两个顶点，B 1，B 2是短轴的两个顶点，点P 是椭圆及内部的点，下列命题正确的个数是 （ ） ①△PA 1A 2为钝角三角形的概率为1； ②△PB 1B 2为直角三角形的概率为0；③△PB 1B 2为钝角三角形的概率为ba ；④△PA 1A 2为钝角三角形的概率为ba ；⑤△PB 1B 2为锐角三角形的概率为a ba-。

1．几何概型的概念设D是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．2．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝d的测度D的测度.3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率f n(A)＝MN作为所求概率的近似值．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．(√)(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × ) (6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( × )1．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为________． 答案 13解析 坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3，故所求概率为13.2．(2015·山东改编)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤12log ⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为________． 答案 34解析 ∵由－1≤12log ⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2， ∴0≤x ≤32.∴由几何概型的概率计算公式得所求概率 P ＝32－02－0＝34.3．(2014·辽宁改编)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________． 答案 π4解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ， 则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.4．(2014·福建)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案 0.18解析 由题意知，这是个几何概型问题， S 阴S 正＝1801 000＝0.18， ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.5．(教材改编)如图，圆中有一内接等腰三角形．假设你在图中随机撒一把黄豆，则它落在阴影部分的概率为________． 答案 1π解析 设圆的半径为R ，由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形，其直角边长为2R ，则所求事件的概率为： P ＝S 阴S 圆＝12×2R ×2R πR 2＝1π.题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 (1)(2015·重庆)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．(2)(2015·烟台模拟)在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________． 答案 (1)23 (2)13解析 (1)方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2＜0，x 1·x 2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧4p 2－4(3p －2)≥0，－2p ＜0，3p －2＞0，解得p ≥2或23＜p ≤1，又p ∈[0,5]，则所求概率为P ＝3＋135＝1035＝23.(2)当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12，得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为13.(3)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率． 解 因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°. 在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， 所以BD ＝AD tan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得：P (N )＝30°75°＝25.引申探究1．本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”，则概率如何？解 当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤32，得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为23.2．若本例(3)中“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，求BM <1的概率．解 依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3，P (BM <1)＝11＋3＝3－12.思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．(1)如图，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．(2)已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －23－x >0，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈(A ∩B )”的概率是________． 答案 (1)16 (2)16解析 (1)如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，所以OA 落在∠yOT 内的概率为60°360°＝16. (2)由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{}x | 2<x <3，故A ∩B ＝{x |2<x <3}．由几何概型知，在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈(A ∩B )的概率为P ＝16.题型二 与面积有关的几何概型命题点1 与平面图形面积有关的问题例2 (2015·福建改编)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________． 答案 14解析 由图形知C (1,2)，D (－2,2)，∵S 四边形ABCD ＝6，S 阴＝12×3×1＝32.∴P ＝326＝14.命题点2 与线性规划知识交汇命题的问题例3 (2014·重庆)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________． 答案932解析 设小张与小王的到校时间分别为7：00后第x 分钟，第y 分钟，根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为(50－30)2＝400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A ＝{(x ，y )|y －x ≥5,30≤x ≤50,30≤y ≤50}，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为12×15×15＝2252，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P (A )＝2252400＝932.思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．(1)在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为________．(2)(2014·湖北改编)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________． 答案 (1)1－π4 (2)78解析 (1)由函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点， 可得Δ＝(2a )2－4(－b 2＋π2)≥0，整理得a 2＋b 2≥π2， 如图所示，(a ，b )可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为 Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}， 其面积S Ω＝(2π)2＝4π2. 事件A 表示函数f (x )有零点，所构成的区域为M ＝{(a ，b )|a 2＋b 2≥π2}， 即图中阴影部分，其面积为S M ＝4π2－π3，故P (A )＝S M S Ω＝4π2－π34π2＝1－π4.(2)如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C (－12，32)，故由几何概型的概率公式，得所求概率P ＝S 四边形OACD S △OAB ＝2－142＝78.题型三 与体积有关的几何概型例4 在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 1－π12解析 V 正＝23＝8，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 正＝2π8×3＝π12， 故点P 到O 的距离大于1的概率为1－π12.思维升华 求解与体积有关问题的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________．答案 16解析 因为11A A BD A ABD V V －－＝＝13·S △ABD ·AA 1＝16·S矩形ABCD ·AA 1＝16V 长方体，故所求概率为1A A BD V V －长方体＝16.12．混淆长度型与面积型几何概型致误典例 (14分)在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，试求这三条线段能构成三角形的概率．易错分析 不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率． 规范解答解 设x 、y 表示三段长度中的任意两个． 因为是长度，所以应有0<x <1,0<y <1,0<x ＋y <1，即(x ，y )对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点，如图所示．[6分]要形成三角形，由构成三角形的条件知 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >1－x －y ，1－x －y >x －y ，1－x －y >y －x ，所以x <12，y <12，且x ＋y >12，故图中阴影部分符合构成三角形的条件．[10分] 因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的14，故这三条线段能构成三角形的概率为14.[14分]温馨提醒 解决几何概型问题的易误点：(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型，导致错误．(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否具有等可能性，导致错误．[方法与技巧]1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个． 2．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可； (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型． [失误与防范]1．准确把握几何概型的“测度”是解题关键；2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．(2014·湖南改编)在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为________． 答案 35解析 在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1，即－2≤X ≤1的概率为P ＝35.2．在区间[－1,4]内取一个数x ，则2x －x 2≥14的概率是________．答案 35解析 不等式22x x －≥14，可化为x 2－x －2≤0， 则－1≤x ≤2，故所求概率为2－(－1)4－(－1)＝35.3．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为__________． 答案 12解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D在线段CF (不包含C 、F 点)上时，△ABD 为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12. 4．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是__________．答案 1－π4解析 如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是1－π4. 5．已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为________．答案 45解析 由题意可知，三角形的三条边长的和为5＋12＋13＝30，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3＋10＋11＝24，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为2430＝45. 6．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．答案 23解析 V 圆柱＝2π，V 半球＝12×43π×13＝23π， V 半球V 圆柱＝13， 故点P 到O 的距离大于1的概率为23.7．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________． 答案 12 解析 ∵方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n . 如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，∴所求的概率为P ＝12. 8．随机地向半圆0<y <2ax －x 2(a 为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4的概率为______． 答案 12＋1π解析 半圆域如图所示：设A 表示事件“原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝A 的面积半圆的面积＝14πa 2＋12a 212πa 2＝12＋1π. 9．随机向边长为5,5,6的三角形中投一点P ，则点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是________．答案 24－π24解析 由题意作图，如图则点P 应落在深色阴影部分，S 三角形＝12×6×52－32＝12，三个小扇形可合并成一个半圆，故其面积为π2，故点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率为12－π212＝24－π24. 10．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)； 由a ·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个；故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112. (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}；满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}；画出图形如图，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21， 故满足a ·b <0的概率为2125. B 组 专项能力提升(时间：30分钟)11．一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________．答案 π120解析 屋子的体积为5×4×3＝60立方米，捕蝇器能捕捉到的空间体积为18×43π×13×3＝π2立方米．故苍蝇被捕捉的概率是π260＝π120. 12．(2015·湖北改编)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则下列正确的是________． ①p 1<p 2<12 ②p 2<12<p 1③12<p 2<p 1 ④p 1<12<p 2 答案 ④ 解析 在直角坐标系中，依次作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y ≤12，⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤1，0≤y ≤1，xy ≤12的可行域如图所示：依题意，p 1＝S △ABOS 四边形OCDE ，p 2＝S 曲边多边形OEGFC S 四边形OCDE ， 而12＝S △OEC S 四边形OCDE ，所以p 1<12<p 2. 13.如图，已知点A 在坐标原点，点B 在直线y ＝1上，点C (3,4)，若AB ≤10，则△ABC 的面积大于5的概率是________．答案 524解析 设B (x,1)，根据题意知点D (34，1)，若△ABC 的面积小于或等于5，则12×DB ×4≤5，即DB ≤52，此时点B 的横坐标x ∈[－74，134]，而AB ≤10， 所以点B 的横坐标x ∈[－3,3]，所以△ABC 的面积小于或等于5的概率为P ＝3－(－74)6＝1924， 所以△ABC 的面积大于5的概率是1－P ＝524. 14．已知集合A ＝[－2,2]，B ＝[－1,1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率；(2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率．解 (1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8.因圆x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π，故所求概率为S 1S ＝π8. (2)由题意|x ＋y |2≤22，即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分，阴影部分面积S 2＝4， 所求概率为S 2S ＝12.15．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24,0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝(24－1)2×12＋(24－2)2×12242 ＝506.5576＝1 0131 152.。

专题52 几何概型（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.（2）了解几何概型的意义.一、几何概型1．几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.2．几何概型的特点（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个.（2）每个基本事件发生的可能性相等.3．几何概型的概率计算公式() P AA构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.4．必记结论（1）与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；（2）与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；（3）与体积有关的几何概型.二、随机模拟用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗方法.这个方法的基本步骤是：（1）用计算器或计算机产生某个X围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；（2）统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；（3）计算频率()n Mf AN作为所求概率的近似值.注意，用随机模拟方法得到的结果只能是概率的近似值或估计值，每次试验得到的结果可能不同，而所求事件的概率是一个确定的数值.考向一与长度有关的几何概型求解与长度有关的几何概型的问题的关键是将所有基本事件及事件A包含的基本事件转化为相应长度，进而求解．此处的“长度”可以是线段的长短，也可以是时间的长短等.注意：在寻找事件A发生对应的区域时，确定边界点是问题的关键，但边界点能否取到不会影响事件A的概率.典例1某学校星期一至星期五每天上午都安排五节课,每节课的时间为40分钟．第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟．某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间到达教室,则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率是A．12B．13C．23D．35【答案】A故所求概率为201402=,选A ． 典例2 在区间[]0,2上随机抽取一个数x ,则事件“1211log 12x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭”发生的概率为 A ．34B ．23 C ．13D ．14【答案】A【解析】区间[]0,2的长度为2, 由1211log 12x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭可得302x ≤≤, 所以所求事件的概率为P =33224-=.1．公共汽车在7:00到7:20内随机到达某站,李老师从家里赶往学校上班,7:15到达该站,则她能等到公共汽车的概率为A ．13B ．23 C ．14D ．342．在长度为10的线段AB 上任取一点C (不同于A ,B ),则以AC ,BC 为半径的圆的面积之和小于58π的概率为A ．B ．C ．D ．考向二 与面积有关的几何概型求解与面积有关的几何概型的问题的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型的概率计算公式，从而求得随机事件的概率. 必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．“面积比”是求几何概型的一种重要的方法.典例3 在如图所示的扇形AOB中,∠AOB=,半圆C切AO于点D,与圆弧AB切于点B,若随机向扇形AOB内投一点,则该点落在半圆C外的概率为A．B．C．D．【答案】A则所求概率P=1-SS=1-,故选A．典例4 如图,已知A(a,0)(a>0),B是函数f(x)=2x2图象上的一点,C(0,2),若在矩形OABC内任取一点P,则点P落在阴影部分的概率为________.【答案】3．圆O 内有一内接正三角形,向圆O 内随机投一点,则该点落在正三角形内的概率为 A 33B ．3C ．33．34．已知1Ω是集合()22{,|1}x y x y +≤所表示的区域，2Ω是集合(){,|1}x y x y +≤所表示的区域，向区域1Ω内随机地投一个点，则该点落在区域2Ω内的概率为________.考向三 与体积有关的几何概型的求法用体积计算概率时，要注意所求概率与所求事件构成的区域的体积的关系，准确计算出所求事件构成的区域的体积，确定出基本事件构成的区域的体积，求体积比即可.一般当所给随机事件是用三个连续变量进行描述或当概率问题涉及体积时，可以考虑用此方法求解.典例5一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行,若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器六个表面中至少有一个的距离不大于10,则就有可能撞到玻璃上而不安全,即始终保持与正方体玻璃容器六个表面的距离均大于10,飞行才是安全的.假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到任意位置的可能性相等,那么蜜蜂飞行安全的概率是A．512B．23C．127D．425【答案】C5．如图,在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器,圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切,圆锥的顶点在鱼缸的缸底上,现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食,则“鱼食落在圆锥外面”的概率是A．π14B．π12C．π4D．π112-考向四随机模拟的应用利用随机模拟试验可以近似计算不规则图形A的面积,解题的依据是根据随机模拟估计概率()AP A=随机取的点落在中的随机取点频数的总次数，然后根据()随机取点构的成事全部件的区结果构成的区域面积域面积AP A=列等式求解.典例6 《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明,如图是赵爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成朱(红)色及黄色,其面积分别称朱实、黄实,利用2×勾×股+(股-勾)2=4×朱实+黄实=弦实,化简得勾2+股2=弦2.设勾股形中勾股比为1∶3,若向弦图内随机抛掷3000颗图钉,则落在黄色图形内的图钉数约为(3≈1.732)A．134 B．268C．402 D．536【答案】C6．如图,在一不规则区域内,有一边长为1 m 的正方形,向区域内随机地撒1000颗黄豆,数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为 375,以此试验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为A ．83 m 2 B ．2 m 2C ．38m 2 D ．3 m 21．在[]0,π内任取一个实数x ，则1sin 2x ≤的概率为 A ．2 3B ．1 2C ．13D ．1 42．若任取[]0,1、x y ∈,则点(),P x y 满足y x >的概率为A ．23B ．13 C ．12D ．343．在区间[]0,4上随机地选择一个数,p 则方程2380x px p -+-=有两个正根的概率为A ．13B ．23 C ．12D ．144．在直角坐标系中,任取n 个满足x 2+y 2≤1的点(x ,y ),其中满足|x|+|y|≤1的点有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4m n B ．4nmC ．2m n D ．2nm5．某校航模小组在一个棱长为6米的正方体房间内试飞一种新型模型飞机,为保证模型飞机安全,模型飞机在飞行过程中要始终保持与天花板、地面和四周墙壁的距离均大于1米,则模型飞机“安全飞行”的概率为 A ．127B ．116C ．38D ．8276．如图,在矩形ABCD 中,AB =3,BC =1,以A 为圆心、1为半径作圆弧DE ,点E 在线段AB 上,在圆弧DE 上任取一点P ,则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是A ．1 4B ．13C ．25D ．357．已知函数()2,01(e 1,1e x x f x x x⎧≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩为自然对数的底数)的图象与直线e 、x x =轴围成的区域为E ,直线e 1、x y ==与x 轴、y 轴围成的区域为F ,在区域F 内任取一点,则该点落在区域E 内的概率为A ．43e B ．23e C ．23D ．2e8．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 A ．3π 10B ．3π 20C ．3π110-D ．3π120- 9．有一根长为1米的细绳,将细绳随机剪断,则两截的长度都大于18米的概率为__________. 10．一个正方体的外接球的表面积为48π,从这个正方体内任取一点,则该点取自正方体的内切球内的概率为__________.11．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时,假定它们在一天内随机到达,若两船同时到达则有一艘必须等待,试求这两艘轮船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.12．某班早晨7：30开始上早读课，该班学生小陈和小李在早上7：10至7：30之间到班，且两人在此时间段的任何时刻到班是等可能的.(1)在平面直角坐标系中画出两人到班的所有可能结果表示的区域； (2)求小陈比小李至少晚5分钟到班的概率.13．已知函数()22(,f x ax bx a a b =-+∈R ).(1)若a 从集合{}0,1,2,3中任取一个元素,b 从集合{}0,1,2,3中任取一个元素,求方程()0f x =有实根的概率;(2)若b 从区间[]0,2中任取一个数,a 从区间[]0,3中任取一个数,求方程()0f x =没有实根的概率.1．（2017新课标全国Ⅰ理科）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π42．（2016新课标全国Ⅰ理科）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A ．13B ．12C ．23D ．343．（2017某某）记函数2()6f x x x =+-的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ▲ ．4．（2016某某理科）在[1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y =kx 与圆22(5)9xy 相交”发生的概率为 .1．【答案】 C2．【答案】C【解析】设AC =x ,则BC =10-x ,0<x <10,由题意πx 2+π(10-x )2<58π,得x 2-10x +21<0,得3<x <7, 故所求的概率为.3．【答案】C4．【答案】2π【解析】易知1Ω的面积1πS =,2 Ω的面积22S =, 根据几何概型可得所求事件的概率为P=2.π5．【答案】D【解析】由题意可知,正方体的体积V =8,圆锥的体积V 1=212ππ1233⨯⨯⨯=,所以“鱼食落在圆锥外面”的概率是P=1π112V V V -=-. 6．【答案】A变式拓展【解析】由几何概型的概率计算公式及题意可近似得到正方形不规则图形S S =3751000,所以该不规则图形的面积大约为1000375=83(m 2).1．【答案】C【解析】若1sin 2x ≤,则在[]0,π内π5π0π66或x x ≤≤≤≤， 所以所求概率为π216π03P ⨯==-.选C ．2．【答案】C【解析】根据几何概型的概率计算公式可知P =11112112⨯⨯=⨯.故选C ．3．【答案】A【解析】因为方程2380x px p -+-=有两个正根,所以()243800,380p p p p ∆⎧=--≥⎪>⎨⎪->⎩所以8p ≥或 84,3p <≤ 又因为[]0,4,p ∈所以所求概率为841343P -==. 4．【答案】D5．【答案】D【解析】依题意得,模型飞机“安全飞行”的概率为(626-)3=827,故选D.6．【答案】B【解析】连接AC,交圆弧DE于点M.在Rt△ABC中,AB3BC=1,所以tan∠BAC=3BCAB=即∠BAC=π6.要使直线AP与线段BC有公共点,则点P必须在圆弧EM上,于是所求概率为P=π16π32=.故选B．7．【答案】A【解析】由题意，区域F的面积为e;区域E的面积S=1e2011d dx x xx+⎰⎰=31e0114|ln|33x x+=,所以在区域F内任取一点,则该点落在区域E内的概率为43e.8．【答案】D【解析】由题意，直角三角形内切圆的半径r=8151732+-=，所以现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率P =18159π3π211208152⨯⨯-=-⨯⨯. 9．【答案】3410．【答案】【解析】因为一个正方体的外接球的表面积为48π,所以这个正方体的棱长为4,而棱长为4的正方体的体积为43,该正方体的内切球的半径为2,体积为×23,所以所求概率P =.11．【解析】设甲船到达的时间为x ,乙船到达的时间为y ,则0≤x <24,0≤y <24.若有一艘在停靠泊位时必须等待,则|y-x|<6,如图中阴影部分所示,所以所求概率为1-=1-=.12．【解析】（1）用，x y 分别表示小陈、小李到班的时间，则][10,3010,30，x y ⎡⎤∈∈⎣⎦，所有可能结果对应坐标平面内一个正方形区域ABCD ，如图所示．（2）小陈比小李至少晚到5分钟，即5x y -≥，对应区域为△BEF ，则所求概率为1151592202032△BEF ABCDS P S ⨯⨯===⨯．“b a ≥或0a =”.于是此时,a b 的取值情况为()()()()()()()()()()0,0,0,1,0,2,0,3,1,2,1,3,2,3,1,1,2,2,3,3,即A 包含的基本事件数为10．故 “方程()0f x =有实根”的概率为()105168P A ==． （2）从区间[]0,2中任取一个数,b 从区间[]0,3中任取一个数,a 则试验的全部结果构成区域(){,|03,02}a b a b ≤≤≤≤, 这是一个长方形区域,其面积为236⨯=,设“方程()0f x =没有实根”为事件B ，则事件B 所构成的区域为(){,|03,02,}a b a b a b ≤≤≤≤>，其面积为162242-⨯⨯=．由几何概型的概率计算公式可得“方程()0f x =没有实根”的概率为()4263P B ==．1．【答案】B秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率p 满足1142p <<，故选B ． 【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A . 2．【答案】B【解析】由题意，这是一个几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为201402=，选B ． 【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等. 3．【答案】59【解析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是3(2)55(4)9--=--．【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解． （2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．直通高考4．【答案】34【解析】直线y =kx 与圆22(5)9x y相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即3d =<，解得3344k -<<，而[1,1]k ，所以所求概率P =33224=.。

高中数学例题：用随机模拟的方法求几何概型问题的概率 例．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，利用随机模拟法试求这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率．【思路点拨】正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为在1.2 cm 长的线段上任取一点M ，求使得AM 的长度介于6 cm 与9 cm 之间的概率．【解析】（1）用计算器产生一组[0，1]内的均匀随机数a 1=RAND ．（2）经过伸缩变换，a=12a 1得到一组[0，12]内的均匀随机数．（3）统计试验总次数N 和[6，9]内随机数的个数N 1．（4）计算频率1N N． 记事件A={正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间}={正方形的边长介于6 cm 与9 cm 之间}，则P （A ）的近似值为1()n N f A N． 【总结升华】 用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大；用计算机产生随机数。

可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．举一反三：【变式1】用随机模拟的方法近似计算边长为2的正方形内切圆面积，并估计π的近似值.【解析】(1)利用计算机产生两组[]10，上的均匀随机数，RAND b RAND a ==11,.(2)进行平移和伸缩变换，()25.0,2)5.0(11*-=*-b b a ，得到两组[]1,1-上的均匀随机数.(3)统计试验总次数N 和点落在圆内的次数1N ）数）的点（（满足b a b a ,122≤+.(4)计算频率NN 1即为点落在圆内的概率近似值. (5)设圆面积为S ，则由几何概率公式得4S P =. ∴N N S 14≈，则N N S 14≈即为圆面积的近似值.又∵2S r ππ==圆.∴NN S 14≈=π即为圆周围率π的近似值.。

几何概型的概率计算公式
几何概型是指在随机试验中，样本空间中的事件是由几何图形表示的情况。

比如投掷一枚硬币，其几何概型为一个二元组成的集合{正面，反面}，用几何图形表示就是一个圆，圆内分别标有正面和反面。

对于几何概型，我们可以使用概率计算公式来计算事件发生的概率。

下面介绍两种常见的几何概型及其概率计算公式。

一、均匀分布的几何概型
均匀分布的几何概型是指样本空间中所有可能的事件发生概率相等的情况。

比如扔一个骰子，其几何概型为{1,2,3,4,5,6}，每个数字出现的概率都是1/6。

对于均匀分布的几何概型中的某个事件A，其概率计算公式为：
P(A) = 面积(A) / 面积(样本空间)
其中，面积(A)是事件A所对应的几何图形的面积，面积(样本空间)是样本空间所对应的几何图形的面积，两者都必须是可测量的。

二、正态分布的几何概型
正态分布的几何概型是指事件在一个连续的区间内发生的概率，符合正态分布的概率密度函数。

比如身高和体重等连续型随机变量的分布，常常使用正态分布的几何概型进行概率计算。

对于正态分布的几何概型，设事件A在区间[a,b]内发生的概率为P(A)，则其概率计算公式为：
P(A) = ∫a~b f(x) dx
其中，f(x)是正态分布的概率密度函数，a和b分别是区间的上下界，∫a~b代表对x从a到b的积分。

通过以上公式，我们可以对几何概型中的事件概率进行准确计算。

§3模拟方法-—概率的应用错误!教学分析这部分是新增加的内容．介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要,但是对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义，所以教科书中选的例题都是比较简单的．随机模拟部分是本节的重点内容．几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子,概率为1的事件不是必然事件的例子．本节的教学需要一些实物模型为教具，教学中应当注意让学生实际动手操作,以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果．在这个过程中，要让学生体会结果的随机性与规律性，体会随着试验次数的增加，结果的精度会越来越高．几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个．它的特点是在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关．如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点,则它出现的概率为1，但它不是必然事件．三维目标1．通过师生共同探究，体会数学知识的形成，正确理解几何概型的概念；掌握几何概型的概率公式：P（A）＝错误!，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力．2．本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯，会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型，会进行简单的几何概率计算,培养学生从有限向无限探究的意识．重点难点教学重点:理解几何概型的定义、特点，会用公式计算几何概率．教学难点:等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别．课时安排1课时错误!导入新课思路1。

复习古典概型的两个基本特点：(1)所有的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件发生都是等可能的．那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?为此我们学习几何概型．思路2。

高考数学技巧：几何概型问题—5类重要题型解决几何概型问题首先要明确几何概型的定义，掌握几何概型中事件A的概率计算公式:.其次要学会构造随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．1 几何概型的两个特征：(1)试验结果有无限多；(2)每个结果的出现是等可能的．事件A可以理解为区域的某一子区域，事件A的概率只与区域A的度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关．2 解决几何概型的求概率问题关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．3 用几何概型解简单试验问题的方法(1)适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解．(2)把基本事件转化为与之对应的总体区域D(3)把随机事件A转化为与之对应的子区域d(4)利用几何概型概率公式计算．4 均匀随机数在一定范围内随机产生的数，其中每一个数产生的机会是一样的，通过模拟一些试验，可以代替我们进行大量的重复试验，从而求得几何概型的概率．一般地．利用计算机或计算器的rand（）函数可以产生0～1之间的均匀随机数．a～b之间的均匀随机数的产生：利用计算机或计算器产生0～1之间的均匀随机数x=.rand(..)，然后利用伸缩和平移变换x=. rand(..)*(b-a)+a,就可以产生[a，b]上的均匀随机数，试验的结果是产生a～b之间的任何一个实数，每一个实数都是等可能的．5 均匀随机数的应用(1)用随机模拟法估计几何概率；(2)用随机模拟法计算不规则图形的面积．下面举几个常见的几何概型问题.一.与长度有关的几何概型例1.如图,A,B两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A与C,B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？.思路点拨.从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型．解.记.E：“A与C,B与D之间的距离都不小于10米”，把AB三等分，由于中间长度为30×=10米，∴方法技巧.我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．二.与面积有关的几何概型例2.如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122.cm,靶心直径为12 2. cm 运动员在70.m外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？思路点拨.此为几何概型，只与面积有关．解.记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为的大圆内，而当中靶点落在面积为的黄心时，事件B发生，于是事件B发生的概率为即：“射中黄心”的概率是0 01方法技巧.事件的发生是“击中靶心”即“黄心”的面积；总面积为最大环的圆面积．三.与体积有关的几何概型例3 在区间[0,l]上任取三个实数x y z,事件A={(x,y,z)|.x2+y2+z2＜1,.x≥0,y≥0,z≥0}..(1)构造出随机事件A对应的几何图形；..（2)利用该图形求事件A的概率思路点拨:.在空间直角坐标系下，要明确x2+y2+z2＜1表示的几何图形是以原点为球心，半径r=1的球的内部．事件A对应的几何图形所在位置是随机的，所以事件A的概率只与事件A对应的几何图形的体积有关，这符合几何概型的条件．解：（1）A={(x,y,z)|.x2+y2+z2＜1,.x≥0,y≥0,z≥0}表示空间直角坐标系中以原点为球心，半径r=1的球的内部部分中x≥0,y≥0,z≥0的部分，如图所示．.(2)由于x,y,z属于区间[0,1]，当x=y=z=1时，为正方体的一个顶点，事件A为球在正方体内的部分．.....∴方法技巧：本例是利用几何图形的体积比来求解的几何概型，关键要明白点P(x,y,z)的集合所表示的图形．从本例可以看出求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可解，另外要适当选择观察角度四.求会面问题中的概率例4.两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．思路点拨.两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即小时．设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，当且仅当-.xx-yx，因此转化成面积问题，利用几何概型求解．解.设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当-.xx-yx两人到达约见地点所有时刻(x,y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内（包括边界）的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻（x,y）的各种可能结果可用图中的阴影部分（包括边界）来表示．因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为方法技巧.会面的问题利用数形结合转化成面积问题的几何概型．难点是把两个时间分别用x,y两个坐标表示，构成平面内的点(x,y),从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题．五.均匀随机数的应用例5.利用随机模拟方法计算图中阴影部分(由曲线y=.2x与x轴、x=±1围成的部分）面积．.思路点拨.不规则图形的面积可用随机模拟法计算．解.(1)利用计算机产生两组[0,1]上的随机数,a1=rand（..），b1=rand(...)．...(2)进行平移和伸缩变换,a=(a1-0 5)*2,b=b1*2,得到一组[0,2]上的均匀随机数．...(3)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1...(4)计算频率，则即为落在阴影部分的概率的近似值．...(5)利用几何概型公式得出点落在阴影部分的概率...(6)因为.=.,所以S=即为阴影部分的面积方法技巧.根据几何概型计算公式，概率等于面积之比，如果概率用频率近似在不规则图形外套上一个规则图形，则不规则图形的面积近似等于规则图形面积乘以频率．而频率可以通过随机模拟的方法得到，从而求得不规则图形面积的近似值．。

人教版高中数学必修三知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习几何概型【学习目标】1.了解几何概型的概念及基本特点；2.熟练掌握几何概型中概率的计算公式；3.会进行简单的几何概率计算；4.能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想. 【要点梳理】要点一、几何概型 1.几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.2.几何概型的基本特点：(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； (2)每个基本事件出现的可能性相等. 3.几何概型的概率：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d 内＂为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D的测度的测度.说明：(1)D 的测度不为0；(2)其中＂测度＂的意义依D 确定，当D 分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积.(3)区域为＂开区域＂；(4)区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关.要点诠释：几种常见的几何概型(1)设线段l 是线段L 的一部分，向线段L 上任投一点，若落在线段l 上的点数与线段l 的长度成正比，而与线段l 在线段L 上的相对位置无关，则点落在线段l 上的概率为：P=l 的长度/L 的长度(2)设平面区域g 是平面区域G 的一部分，向区域G 上任投一点，若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比，而与区域g 在区域G 上的相对位置无关，则点落在区域g 上概率为：P=g 的面积/G 的面积(3)设空间区域上v 是空间区域V 的一部分，向区域V 上任投一点，若落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比，而与区域v 在区域V 上的相对位置无关，则点落在区域v 上的概率为：P=v 的体积/V 的体积要点二、均匀随机数的产生 1.随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的.它可以帮助我们模拟随机试验，特别是一些成本高、时间长的试验，用随机模拟的方法可以起到降低成本，缩短时间的作用.2.随机数的产生方法(1)实例法.包括掷骰子、掷硬币、抽签、转盘等.(2)计算器模拟法.现在大部分计算器的RAND 函数都能产生0～1之间的均匀随机数. (3)计算机软件法.几乎所有的高级编程语言都有随机函数，借用随机函数可以产生一定范围的随机数. 要点诠释：1.在区间[a ，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.3.用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是：构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决.4.利用计算机和线性变换Y=X*(b-a)＋a ，可以产生任意区间[a ，b]上的均匀随机数. 【典型例题】类型一：与长度有关的几何概型问题例1．假设车站每隔10分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过3分钟的概率 ？【思路点拨】以两班车出发间隔( 0，10 )区间作为样本空间 S ，乘客随机地到达，即在这个长度是10 的区间里任何一个点都是等可能地发生，因此是几何概率问题.【答案】0.3【解析】 记“等车时间不超过3分钟”为事件a ，要使得等车的时间不超过 3 分钟，即到达的时刻应该是图中a 包含的样本点，P=的长度的长度S a =103= 0.3 .【总结升华】在本例中，到站等车的时刻X 是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X 服从[0，60]上的均匀分布，X 为[0，60]上的均匀随机数. 举一反三：【变式1】 某汽车站每隔15 min 有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间大于10 min 的概率． 【答案】13【解析】 设上一辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，线段T 1T 2的长度为15，设T 是线段T 1T 2上的点，且T 1T=5，T 2T=10，如图所示．记“等车时间大于10 min ”为事件A ，则当乘客到达车站的时刻t 落在线段T 1T 上时，事件A 发生，区域T 1T 2的长度为15，区域T 1T 的长度为5． ∴11251()153T T P A T T ===的长度的长度．即乘客等车时间大于10 min 的概率是13． 0← S →10【变式2】在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于4S的概率为（ ）． A ．14 B ．12 C ．34 D ．23【答案】C【变式3】某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率． 【答案】16【解析】 因为电台每隔1小时报时一次，他在0到60之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，这符合几何概型的条件，因此，可以通过几何概型的概率公式得到事件发生的概率．于是，设A={等待报时的时间不多于10分钟}．事件A 是打开收音机的时刻位于50～60的时间段内，因此由几何概型求概率的公式得60501()606P A -==． 即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为16．类型二：与面积有关的几何概型问题 【几何概型 例4】例2．两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率． 【思路点拨】两人不论谁先到最多只等40分钟，设两人到的时间分别为x 、y ，则当且仅当2||3x y -≤时，两人才能见面，所以此问题转化为面积性几何概型问题。

第三节 模拟方法—概率的应用[考纲传真] 1.了解随机数的意义，能运用随机模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义．1．模拟方法对于某些无法确切知道的概率问题，常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验．2．几何概型(1)向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型．(2)几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．[常用结论] 几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率． ( ) (2)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关． ( ) (3)在一个正方形区域内任取一点的概率为0． ( ) (4)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是110．( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) A ．12B ．134B [坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为13.]3．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )A B C DA [∵P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，∴P (A )＞P (C )＝P (D )＞P (B )．]4．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M ­ABCD 的体积小于16的概率为________．12 [在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，设M ­ABCD 的高为h ，则13×S 四边形ABCD×h ＝16.又S四边形ABCD＝1，所以h ＝12.若体积小于16，则h ＜12.即点M 在正方体的下半部分，所以P ＝12.]5．如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．0.18 [由题意知，S 阴S 正＝1801 000＝0.18，∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.]与长度(角度)有关的几何概型1．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为 ( )63C ．23D ．45C [设|AC |＝x ，则|BC |＝12－x ，所以x (12－x )＞20，解得2＜x ＜10，故所求概率P ＝10－212＝23.] 2．(2017·某某高考)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D ．在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．59[由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，∴D ＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P ＝59.]3．如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与AB 交于点M ，则AM ＜AC 的概率为________．34[过点C 作交AB 于点N ，使AN ＝AC ，如图所示．显然当射线CM 处在∠A 内时，AM ＜AC ．又∠A ＝45°，所以∠A ＝67.5°，故所求概率为P ＝67.5°90°＝34.] [规律方法] 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．与面积有关的几何概型►考法1 与平面图形面积有关的问题【例1】 (2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A ．14 B ．π8C ．12D ．π4B [不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.故选B.]►考法2 与线性规划知识交汇命题的问题【例2】 在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤1,1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤2x 的概率为( )A ．14B ．12C ．23D ．34A [依题意作出图像如图，则P (y ≤2x )＝S 阴影S 正方形＝12×12×112＝14.][规律方法] 1.与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．2．与线性规划交汇问题的解题思路先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率．(1)已知实数m ∈[0,1]，n ∈[0,2]，则关于x 的一元二次方程4x 2＋4mx －n2＋2n ＝0有实数根的概率是( )A ．1－π4B ．π4C ．π－32D ．π2－1(2)在满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面内随机取一点M (x 0，y 0)，设事件A ＝“y 0－2x 0”，那么事件A 发生的概率是( )A ．14 B ．34 C ．13D ．23(1)A (2)B [(1)方程有实数根，即Δ＝16m 2－16(－n 2＋2n )≥0，m 2＋n 2－2n ≥0，m 2＋(n －1)2≥1，画出图形如图所示，长方形面积为2，半圆的面积为π2，故概率为2－π22＝1－π4.(2)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面区域即△ABC ，其面积为4，且事件A ＝“y 0＜2x 0”表示的区域为△AOC ，其面积为3，所以事件A 发生的概率是34.]与体积有关的几何概型1．已知正三棱锥S ­ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P ­ABC＜12V S ­ABC 的概率是( ) A ．78 B ．34 C ．12D ．14A [当P 在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P ＝1－18＝78.]2．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF ­BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F ­AMCD 内的概率为( )A ．34B ．23 C ．13D ．12D [由题图可知V F ­AMCD ＝13×S四边形AMCD×DF ＝14a 3，V ADF ­BCE ＝12a 3，所以它飞入几何体F ­AMCD内的概率为14a 312a 3＝12.][规律方法] 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.1．(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A ．13B ．12C ．23D ．34B [如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝12.故选B.]2．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A ．710B ．58C ．38D ．310B [如图，若该行人在时间段AB 的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB 长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B.]3．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A ．4n mB ．2n mC ．4m nD ．2m nC [因为x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n 都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )都在正方形OABC 内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC 内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个．用随机模拟的方法可得S扇形S正方形＝mn，即π4＝mn，所以π＝4mn.]六概率与统计中的高考热点问题[命题解读] 1. 统计与概率是高考中相对独立的一块内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量，该类问题以应用题为载体，注重考查学生的数学建模及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力．2．概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立是概率计算的核心. 统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征，统计与概率内容相互渗透，背景新颖．统计与统计案例以统计图表或文字叙述的实际问题为载体，通过对相关数据的分析、抽象概括，作出估计、判断. 常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查，考查学生的数据处理能力与运算能力及应用意识．【例1】已知某班n名同学的数学测试成绩(单位：分，满分100分)的频率分布直方图如图所示，其中a，b，c成等差数列，且成绩在[90,100]内的有6人．(1)求n的值；(2)规定60分以下为不及格，若不及格的人中女生有4人，而及格的人中，男生比女生少4人，借助独立性检验分析能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“本次测试的及格情况与性别有关”？附：P(χ2≥x0)0.100.050.0100.005 x0 2.706 3.841 6.6357.879χ2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d.[解](1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧10×0.035＋0.025＋c ＋2b ＋a ＝1，2b ＝a ＋c ，解得b ＝0.01.因为成绩在[90,100]内的有6人， 所以n ＝60.01×10＝60.(2)由于2b ＝a ＋c ，而b ＝0.01，可得a ＋c ＝0.02，则不及格的人数为0.02×10×60＝12，及格的人数为60－12＝48，设及格的人中，女生有x 人，则男生有x －4人，于是x ＋x －4＝48，解得x ＝26，故及格的人中，女生有26人，男生有22人．于是本次测试的及格情况与性别的2×2列联表如下：及格 不及格 总计 男 22 8 30 女 26 4 30 总计481260所以χ2＝60×22×4－8×26230×30×48×12＝1.667＜2.706，故不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“本次测试的及格情况与性别有关”．[规律方法] 独立性检验的方法 (1)构造2×2列联表； (2)计算χ2；(3)查表确定有多大的把握判定两个变量有关联．易错提示：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的临界值与求得的χ2相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性p ，所以其有关联的可能性为1－p .近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：(1)请将如图的列联表补充完整．若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽9人，其中女生抽多少人？(2)为了研究患三高疾病是否与性别有关，请计算出统计量χ2，并说明是否可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为患三高疾病与性别有关．患三高疾病 不患三高疾病总计 男630女 总计36下面的临界值表供参考：P (χ2≥x 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )[解] (1)完善补充列联表如下：患三高疾病不患三高疾病总计 男 24 6 30 女 12 18 30 总计362460在患三高疾病人群中抽9人，则抽取比例为936＝14，所以女性应该抽取12×14＝3(人)．(2)根据2×2列联表，则 χ2＝60×24×18－6×12230×30×36×24＝10＞7.879.所以可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为患三高疾病与性别有关．常见概率模型的概率概率. 解决简单的古典概型试题可用直接法(定义法)，对于较为复杂的事件的概率，可以利用所求事件的性质将其转化为互斥事件或对立事件的概率求解．【例2】 (2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天数216362574(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．[解] (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300； 若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100， 所以，Y 的所有可能值为900,300，－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.[规律方法] 统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题．某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0,1,2,3,4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的编号之和等于7，则中一等奖，等于6或5，则中二等奖，等于4，则中三等奖，其余结果为不中奖．(1)求中二等奖的概率； (2)求不中奖的概率．[解] (1)记“中二等奖”为事件A ．从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有{0,1}，{0,2}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共10个基本事件．记两个小球的编号之和为x ，由题意可知，事件A 包括两个互斥事件：x ＝5，x ＝6. 事件x ＝5的取法有2种，即{1,4}，{2,3}，故P (x ＝5)＝210＝15；事件x ＝6的取法有1种，即{2,4}，故P (x ＝6)＝110.所以P (A )＝P (x ＝5)＋P (x ＝6)＝15＋110＝310.(2)记“不中奖”为事件B ，则“中奖”为事件B ，由题意可知，事件B 包括三个互斥事件：中一等奖(x ＝7)，中二等奖(事件A )，中三等奖(x ＝4)．事件x ＝7的取法有1种，即{3,4}，故P (x ＝7)＝110；事件x ＝4的取法有{0,4}，{1,3}，共2种，故P (x ＝4)＝210＝15.由(1)可知，P (A )＝310.所以P (B )＝P (x ＝7)＋P (x ＝4)＋P (A )＝110＋15＋310＝35.所以不中奖的概率为P (B )＝1－P (B )＝1－35＝25.统计与概率的综合应用统计和概率知识相结合命题统计概率解答题已经是一个新的命题趋向，概率和统计知识初步综合解答题的主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键，在此基础上掌握好样本数字特征及各类概率的计算．【例3】 (本小题满分12分)(2018·全国卷Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m 3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用 水量 [0，0.1) [0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6) [0.6，0.7) 频数13249265日用 水量 [0，0.1) [0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6)频数151310165(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m 3的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．)[信息提取]看到作频率分布直方图，想到作频率分布直方图的作图规则； 看到求概率，想到利用频率分布直方图求概率的方法； 看到估计节水量，想到求使用节水龙头前后的用水量． [规X 解答] (1)如图所示．4分(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m 3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，6分因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m 3的概率的估计值为0.48.7分 (3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为x －1＝150(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.9分该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为x －2＝150(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.11分估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m 3).12分 [易错与防X] 作频率分布直方图时注意纵轴单位是“f iΔx i”，计算平均数时运算要准确，避免“会而不对”的失误．[通性通法] 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某校为了解A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字)．(1)你能否估计哪个班级平均每周上网时间较长？(2)从A 班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a ，从B 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b ，求a >b 的概率．[解] (1)A 班样本数据的平均值为15(9＋11＋14＋20＋31)＝17，由此估计A 班学生每周平均上网时间为17小时；B 班样本数据的平均值为15(11＋12＋21＋25＋26)＝19，由此估计B 班学生每周平均上网时间为19小时． 所以B 班学生上网时间较长．(2)A 班的样本数据中不超过19的数据a 有3个，分别为9,11,14，B 班的样本数据中不超过21的数据b 也有3个，分别为11,12,21.从A 班和B 班的样本数据中各随机抽取一个共有9种不同的情况，分别为(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,12)，(11,21)，(14,11)，(14,12)，(14,21)，其中a >b 的情况有(14,11)，(14,12)，2种，故a >b 的概率P ＝29.[大题增分专训]1．某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按1∶20进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：分数 段(分) [50,70) [70,90) [90,110) [110,130) [130,150] 总计 频数b 频率 a0.25(1)求表中a ，b 的值及成绩在[90,110)X 围内的样本数，并估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率(成绩在[90,150]内为及格)；(2)若从茎叶图中成绩在[100,130)X 围内的样本中一次性抽取两个，求取出两个样本数字之差的绝对值小于或等于10的概率．[解] (1)由茎叶图知成绩在[50,70)X 围内的有2人，在[110,130)X 围内的有3人，∴a ＝0.1，b ＝3.∵成绩在[90,110)X 围内的频率为1－0.1－0.25－0.25＝0.4， ∴成绩在[90,110)X 围内的样本数为20×0.4＝8. 估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为P ＝1－0.1－0.25＝0.65.(2)所有可能的结果为(100,102)，(100,106)，(100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)，(102,106)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,106)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)，共21个，取出的两个样本中数字之差小于或等于10的结果为(100,102)，(100,106)，(100,106)，(102,106)，(102,106)，(106,106)，(106,116)，(106,116)，(116,118)，(118,128)，共10个，∴P (A )＝1021.2．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期 12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差x (℃)101113128程，再对被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？(附：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归直线y ＝bx ＋a 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑ni ＝1x 2i －n x2，a ＝y －b x .)[解] (1)设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况共有4种，所以P (A )＝1－410＝35，故选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率为35. (2)由数据，求得x ＝13×(11＋13＋12)＝12，y ＝13×(25＋30＋26)＝27，∑3i ＝1x i y i ＝11×25＋13×30＋12×26＝977，∑3i ＝1x 2i ＝112＋132＋122＝434，所以b ＝∑3i ＝1x i y i －3x y∑3i ＝1x 2i －3x2＝977－3×12×27434－3×122＝52，a ＝27－52×12＝－3. 所以回归直线方程为y ＝52x －3.(3)当x ＝10时，y ＝22，|22－23|＜2，同理当x ＝8时，y ＝17，|17－16|<2. 所以该研究得到的线性回归方程是可靠的．。