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常见连续性随机变量1、均匀分布2、正态分布3、指数分布4、埃尔兰分布5、 T 分布（一）均匀分布 ξ～U(a,b)▪ 实际背景：随机变量 X 仅在一个有限区间（a,b ）上取值；随机变量 X 在其内取值具有“等可能”性，则 ξ～U(a,b)。
“等可能”表现在： 若a ≤c<c+l ≤b ，则P{c<ξ<c+l } 与位置无关，只与长度有关设ξ具有概率密度：则称ξ在区间 (a,b)上服从均匀分布，记为ξ ~U(a,b)。
例1：设电阻值R 是一个随机变量，均匀分布在900Ώ~1100Ώ，求R 的概率密度及R 落在 950Ώ~1050Ώ的概率。
解：按题意，R 的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧∉∈-=].,[,0];,[,1)(b a x b a x a b x p ⎪⎩⎪⎨⎧>≤<--≤=.,1;,;,0)(b x b x a a b a x a x x F ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它0110090090011001)(x x p 5.02001}1050950{1050950==<<⎰dr R P例2 ξ ~ U (2, 5). 现在对 ξ 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率.解：记 A = { ξ > 3 },则 P (A ) = P ( ξ> 3) = 2/3设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数,则 Y ~ B (3, 2/3)，所求概率为P (Y ≥2) =P (Y =2)+P (Y =3)=20/27（二）正态分布(normal distribution )记为ξ ~ N (μ, σ2),其中σ >0， μ 是任意实数.➢ μ 是位置参数➢ σ 是尺度参数.正态分布的性质(1) p (x ) 关于μ 是对称的. 在μ 点 p (x ) 取得最大值.(2) 若σ 固定, μ 改变, p (x )左右移动, 形状保持不变.(3) 若μ 固定, σ 改变,σ 越大曲线越平坦; σ 越小曲线越陡峭标准正态分布N (0, 1)密度函数记为 ϕ(x ),分布函数记为 Φ(x ).Φ(x ) 的计算(1) x ≥ 0 时, 查标准正态分布函数表.(2) x < 0时, 用 若 ξ ~ N (0, 1), 则(1) P (ξ < a ) = Φ(a );(2) P (ξ≥a ) =1-Φ(a );(3) P (a ≤ξ<b ) = Φ(b )Φ-(a );(4) 若a ≥ 0, 则P (|ξ|<a ) = P (-a <ξ<a ) = Φ(a )Φ-(-a ) = Φ(a )- [1- Φ(a )] = 2Φ(a )-1230233*********C C =+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2()(),22x p x x μσ⎧⎫-⎪⎪=--∞<<∞⎨⎬⎪⎪⎩⎭R x dt e x F x t ∈=⎰∞---,21)(222)(σμσπ1(1) (0),2Φ=(2)()1()x x Φ-=-Φ()1().x x Φ=-Φ-例2.5.1 设 ξ ~ N (0, 1), 求P (ξ>-1.96) , P (|ξ|<1.96)解: P (ξ>-1.96)= 1- Φ(-1.96) = 1-(1- Φ(1.96)) = Φ(1.96)= 0.975 (查表得)P (|ξ|<1.96)= 2 Φ(1.96)-1= 2 ⨯0.975-1= 0.95例2.5.2 设 ξ ~ N (0, 1), P (ξ ≤ b ) = 0.9515, P (ξ ≤ a ) = 0.04947, 求 a , b . 解: Φ(b ) = 0.9515 >1/2,所以 b > 0,反查表得: Φ(1.66) = 0.9515,故 b = 1.66而 Φ(a ) = 0.0495 < 1/2,所以 a < 0,Φ(-a ) = 0.9505, 反查表得:Φ(1.65) = 0.9505,故 a = - 1.65一般正态分布的标准化 结论1 设 ξ ~ N (μ, σ 2), 结论2:若 ξ ~ N (μ, σ 2), 则 若 ξ ~ N (μ, σ2), 则P (ξ<a ) = ， P (ξ>a ) = 例2.5.3 设ξ ~ N (10, 4), 求 P (10<ξ<13), P (|ξ-10|<2).解: P (10<ξ<13) = Φ(1.5)Φ-(0) = 0.9332 - 0.5= 0.4332P (|ξ -10|<2) = P (8<ξ<12)= 2Φ(1)-1= 0.6826例2.5.4 设 ξ ~ N (μ, σ 2), P (ξ ≤ -5) = 0.045,P (ξ ≤ 3) = 0.618, 求 μ 及 σ.解:μ = 1.76σμξη-=()x F x μσ-=Φ⎛⎫ ⎪⎝⎭a μσ-⎛⎫Φ ⎪⎝⎭1a μσ-⎛⎫-Φ ⎪⎝⎭5 1.6930.3μσμσ+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩σ =4课堂练习(1)已知ξ~ N(3, 22), 且P{ξ>k} = P{ξ≤k}, 则k = ( ).课堂练习(2)设ξ~ N(μ, 42), η~ N(μ, 52), 记p1 = P{ξ≤μ-4}，p2 = P{η≥μ +5}, 则( )①对任意的μ，都有p1 = p2②对任意的μ，都有p1 < p2③只个别的μ，才有p1 = p2④对任意的μ，都有p1 > p2课堂练习(3)设ξ~ N(μ , σ2), 则随σ的增大，概率P{| ξ-μ | <σ} ( )①单调增大②单调减少③保持不变④增减不定▪例假设在设计公共汽车车门的高度时，要求男子的碰头机会在1%以下，设男子的身高ξ(cm)服从正态分布，ξ~ N (170,36)，问车门高度至少应为多高?实际背景：如果一个随机现象是由大量微小的相互独立的因素共同构成，那么描述这种随机现象的随机变量通常被认为服从或近似服从正态分布．在自然现象和社会现象中，大量随机变量都服从或近似服从正态分布。
《概率论与数理统计》典型例题第一章 随机事件与概率例1．已知事件,A B 满足，A B 与同时发生的概率与两事件同时不发生的概率相等，且()P A p =，则()P B = 。
分析：此问题是考察事件的关系与概率的性质。
解：由题设知，()(P AB P A B =∩)，则有()()()1()1()()()P AB P A B P A B P A B P A P B P AB ===−=−−+∩∪∪而，故可得。
()P A p =()P B =1p −注：此题具体考察学生对事件关系中对偶原理，以及概率加法公式的掌握情况，但首先要求学生应正确的表示出事件概率间的关系，这三点都是容易犯错的地方。
例2．从10个编号为1至10的球中任取1个，则取得的号码能被2或3整除的概率为 。
分析：这是古典概型的问题。
另外，问题中的一个“或”字提示学生这应该是求两个事件至少发生一个的概率，即和事件的概率，所以应考虑使用加法公式。
解：设A ：“号码能被2整除”，B ：“号码能被3整除”，则53(),()1010P A P B ==。
只有号码6能同时被2和3整除，所以1()10P AB =，故所求概率为 5317()()()()10101010P A B P A P B P AB =+−=+−=∪。
注：这是加法公式的一个应用。
本例可做多种推广，例如有60只球，又如能被2或3或5整除。
再如直述从10个数中任取一个，取得的数能被2或3整除的概率为多少等等。
例3．对于任意两事件，若，则 A B 和()0,()0P A P B >>不正确。
（A ）若AB φ=，则A 、B 一定不相容。
（B ）若AB φ=，则A 、B 一定独立。
（）若C AB φ≠，则A 、B 有可能独立。
（）若D AB φ=，则A 、B 一定不独立。
分析：此问题是考察事件关系中的相容性与事件的独立性的区别，从定义出发。
解：由事件关系中相容性的定义知选项A 正确。
典型例题：一．排列1．特殊排列相邻、彼此隔开、顺序一定和不可分辨例1．晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例2．4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例3．5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？2．重复排列和非重复排列（有序）例4．5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？3．对立事件例5．七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例6．15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例7．有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？4．顺序问题例8．3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序）例9．3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序）例10．3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）二．概率1. 一批产品由90件正品和10件次品组成，从中任取一件，问取得正品的概率多大.2. 甲、乙两人各自向同一目标射击，已知甲命中目标的概率为0.7，乙命中目标的概率为0.8 求：(1)甲、乙两人同时命中目标的概率；(2)恰有一人命中目标的概率；(3)目标被命中的概率.3. 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.4. 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的.其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%, 丙厂产品占20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品正品率为90%, 丙厂产品正品率为85%, 如果从这批产品中随机抽取一件, 试计算该产品是正品的概率多大.1.7 一个小孩用13个字母T T N M M I I H E C A A A ,,,,,,,,,,,,作组字游戏。
概率论例题
例1.设某班车起点站上车人数X 服从参数为λ（λ>0）的泊松分布，并且中途不再有人上车。
而车上每位乘客在中途下车的概率为p )1p 0(<<,且中途下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数。
试求（1）（X,Y ）的联合概率分布律；（2）求Y 的分布律（列）。
解：X 可能的取值是0，1，2，…..，k ，…，n ，... P{X =k }=
!
k e k λ
λ-
Y 可能的取值是0，1，2，…，r ，…，k
P{x =k, y =r }=P{x=k}P{y=r/x=k}=
!
k e k λ
λ-r k r r k q p C - r=0,1,2,…,k
当r>k 时，P{x=k, y=r}=0, Y 的边缘分布
P{Y = r }=∑+∞
===0
},{k r y k x P =∑+∞
====0
}/{}{k k x r y P k x P =∑
+∞
=--r
k r k r r k k
q p C e k λλ!
=∑+∞
=--+--r k r k r
q r r k k k k p e )(!)
1()1(!
1)
(λλλ =∑+∞=---r k r
k r
rq r k r p e )()!
(1!1)(λλ
=rq r e r p e --!1)(λλ=rp r e r p -!)(λ r = 0, 1, 2, … , 验证Y 的分布律
∑+∞
==0
}{r r y P = 1 ？
例2. 解 因为η只取非负值，所以当0y ≤时，
2()()
()
F y P y P y ηηξ=<=<
=
当
0y >时
2()()())
F y P y P y y y ηηξξ=<=<=<
2
2
2
2
12()t t t dt dt dt ξ--===
2
20
u u y
y
e
-
-=
=⎰
⎰
所以
20
,0()0,0u y y F y y η-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩⎰
1
y --⎧
这样平均来说,可以减少40%的工作量.
例4.按规定，某车站每天8：00-9：00，9：00-10：00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立. 其规律为
一旅客8：20到车站，求他候车时间的数学期望. 解 设旅客的候车时间为X （以分计）. X 的分布律为
在上表中，例如
其中A 为事件“第一班车在8：10到站”，B 为“第二班车在9：30到站”. 候车时间的数学期望为
32132
()10+30+ 50+ 70+ 90=27.2266363636
E X =⨯⨯⨯⨯⨯（分）.
例5.某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式. 记使用寿命为X （以年计），规定：
1X ≤， 一台付款1500元； 12X <≤ ,一台付款2000元；
23X <≤,一台付款2500元；3X >，一台付款3000元.
设寿命X 服从指数分布，概率密度为
10
1, 0 ()100 , 0x
e x
f x x -⎧>⎪=⎨⎪⎩
≤
试求该商店对上述家电收费（Y 元）的数学期望.
解 先求出寿命X 落在各个时间区间的概率，即有
1
/10
0.10
1{1}d 10.0952,10x P X e x e --==-=⎰
≤ 2
0.20.310
1
1{12}d 0.086110
x P X e x e e ---<==-=⎰
≤,
3/10
0.20.321{23}d 0.077910
x P X e x e e ---<==-=⎰
≤, 0.310
3
1{3}d 0.0740810
x P X e x e ∞
-->===⎰
. 一台收费
得()2732.15E X =,即平均一台收费2732.15元. □
例6 ()max ,M X Y =及()min ,N X Y =的分布 设,X Y 是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为()X F x 和()Y F y .现在来求()max ,M X Y =及()min ,N X Y =的分布函数.
由于()max ,M X Y =不大于z 等价与X 和Y 不大于z ，故有
{}{},P M z P X z Y z =≤≤≤.
又由于X 和Y 相互独立，得到()max ,M X Y =的分布函数为
(){}{}{}{}max ,F z P M z P X z Y z P X z P Y z ===≤≤≤≤≤
即有
()()()m a x X Y F z F z F z =.
类似地，可得到()min ,N X Y =的分布函数为
(){}{}{}{}{}min 11,1F z P N z P N z P X z Y z P X z P Y z ==->=->>=->⋅>≤.
即 ()()()m i n 111X Y F z F z F z =---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.
例7.有2个相互独立工作的电子装置,它们的寿命 (1,2)k X k = 服从同一指数分布,其概率密度为
1, 0 ()0.0 , 0x e x f x x θθ-⎧>⎪=>⎨⎪⎩
，
≤，
若将这2个电子装置串联联接组成整机,求整机寿命(以小时计)N 的数学期望.
解 (1,2)k X k =的分布函数为
1,0,()0,0.
x e x F x x θ-⎧⎪
->=⎨⎪⎩≤
由第三章§5(5.8)式12min(,)N X X =的分布函数为
22min 1, 0()1[1()] 0, 0
x
e x F x F x x θ-⎧⎪
->=--=⎨⎪⎩≤
因而N 的概率密度为
2min , 0
()2
0, 0x
e x
f x x θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩
≤ 于是N 的数学期望为
2/min 0
2()()d d 2
x x
E N xf x x e x θθ
θ
∞
∞
--∞
=
==
⎰⎰
.
例8.一民航机场的送客车载有20位旅客，自机场开出，旅客有10个站可以下车。
如果到达一个车站没有人下车则不停车。
以X 表示停车的次数，求E X （设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立）。
解 引人随机变量
0, 1,2,
,10.1,i i X i i ⎧==⎨⎩
在第站没有人下车，在第站有人下车，
易知 1210.X X X X =++
+ 现在来求()E X .
按题意, 任一旅客在第i 站不下车的概率为10
9
, 因此20位旅客都不在第i 站下车的概率为(
109)20,在第i 站有人下车的概率为1－(10
9
)20，也就是 202099
{0}(),{1}1(),1,2,
,10.1010
i i P X P X i ====-=
由此
209
()1(),1,2,
10.10
i E X i =-=
进而 1210()()E X E X X X =+++
121020
()()()
9 10[1()]8.784().
10
E X E X E X =++
=-=次。
