2020届山东省新高考高三优质数学试卷分项解析 专题08 平面解析几何(原卷版)

2020年高考数学立体几何突破性讲练08利用空间向量证明平行、垂直一、考点传真：能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系二、知识点梳理：证明平行、垂直问题的思路(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．3其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可.三、例题：例1. （2019江苏卷）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【解析】证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .例2.（2016年北京卷） 如图，在四棱锥中，平面PAD ⊥平面，，，，，，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)∵面PAD面ABCD AD =，面PAD ⊥面ABCD ，∵AB ⊥AD ，AB ⊂面ABCD ，∴AB ⊥面PAD ，P ABCD -ABCD PA PD ⊥PA PD =AB AD ⊥1AB =2AD =AC CD ==PD ⊥PAB PB PCD PA M //BM PCD AMAP∵PD ⊂面PAD ， ∴AB ⊥PD ， 又PD ⊥PA ，∴PD ⊥面PAB ， (2)取AD 中点为O ，连结CO ，PO ，∵CD AC == ∴CO ⊥AD ， ∵PA PD =， ∴PO ⊥AD ，以O 为原点，如图建系易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，，则(111)PB =-，，，(011)PD =--，，，(201)PC =-，，，(210)CD =--，，， 设n 为面PDC 的法向量，令00(,1)n x y =，．011,120n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫⇒=-⎨⎪⎝⎭⋅=⎪⎩，，则PB 与面PCD 夹角θ有，sin cos ,1n PB n PB n PBθ⋅=<>== (3)假设存在M 点使得BM ∥面PCD ， 设AMAPλ=，()0,','M y z ， 由(2)知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =-，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =- 有()0,1,AM AP M λλλ=⇒- ∴()1,,BM λλ=--∵BM ∥面PCD ，n 为PCD 的法向量， ∴0BM n ⋅=，即102λλ-++=，∴1=4λ∴综上，存在M 点，即当14AM AP =时，M 点即为所求． 例3.（2011安徽）如图，ABCDEFG 为多面体，平面ABED 与平面AGFD 垂直，点O 在线段AD 上，1,2,OA OD ==OAB ∆，OAC ∆，ODE ∆，ODF ∆都是正三角形． （Ⅰ）证明直线BC ∥EF ； （Ⅱ）求棱锥F OBED -的体积．【解析】（Ⅰ）（综合法）证明：设G 是线段DA 与EB 延长线的交点． 由于OAB ∆与ODE∆都是正三角形，所以OB ∥DE 21，OG=OD=2， 同理，设G '是线段DA 与线段FC 延长线的交点，有.2=='OD G O 又由于G 和G '都在线段DA 的延长线上，所以G 与G '重合．在GED ∆和GFD 中，由OB ∥DE 21和OC ∥DF 21，可知B 和C 分别是GE 和GF 的中点，所以BC 是GEF ∆的中位线，故BC ∥EF ．（向量法）过点F 作AD FQ ⊥，交AD 于点Q ，连QE ，由平面ABED ⊥平面ADFC ，知FQ ⊥平面ABED ，以Q 为坐标原点，QE 为x 轴正向，QD 为y 轴正向，QF 为z 轴正向，建立如图所示空间直角坐标系． 由条件知).23,23,0(),0,23,23(),3,0,0(),0,0,3(--C B F E则有33(,0,),(3,0,BC EF =-=- 所以,2=即得BC ∥EF ．（Ⅱ）由OB=1，OE=2，23,60=︒=∠EOB S EOB 知，而O E D ∆是边长为2的正三角形，故.3=OED S 所以.233=+=OED EOB OBED S S S过点F 作FQ ⊥AD ，交AD 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥F —OBED 的高，且FQ=3，所以.2331=⋅=-OBED OBED F S FQ V 例4.（2011江苏）如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD =，BAD ∠=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点． 求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面PCD ；（Ⅱ）平面BEF ⊥平面PAD ．【证明】（Ⅰ）在△PAD 中，因为E 、F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF//PD ．又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以直线EF//平面PCD ．（Ⅱ）连结DB ，因为AB=AD ，∠BAD=60°，所以ABD ∆为正三角形，因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD=AD ，所以BF ⊥平面PAD ．又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAD ．例5.(2010广东)如图，¼AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为»AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FB FD ==，EF =．（Ⅰ）证明：EB FD ⊥；（Ⅱ）已知点,Q R 为线段,FE FB 上的点，23FQ FE =，23FR FB =，求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值．【证明】：（Ⅰ）连结CF ，因为¼AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为»AC 的中点，所以EB AC ⊥．在RT BCE ∆中，EC ===．在BDF ∆中，BF DF ==，BDF ∆为等腰三角形， 且点C 是底边BD 的中点，故CF BD ⊥．在CEF ∆中，222222)(2)6CE CF a a EF +=+==，所以CEF ∆为Rt ∆，且CF EC ⊥．因为CF BD ⊥，CF EC ⊥，且CE BD C =I ，所以CF ⊥平面BED ， 而EB ⊂平面BED ，CF EB ∴⊥．因为EB AC ⊥，EB CF ⊥，且AC CF C =I ，所以EB ⊥平面BDF ， 而FD ⊂平面BDF ，EB FD ∴⊥．（Ⅱ）设平面BED 与平面RQD 的交线为DG ．由23FQ FE =，23FR FB =，知//QR EB ． 而EB ⊂平面BDE ，∴//QR 平面BDE ， 而平面BDE I 平面RQD = DG ， ∴////QR DG EB ．由（Ⅰ）知，BE ⊥平面BDF ，∴DG ⊥平面BDF ， 而,DR DB ⊂平面BDF ，∴DG DR ⊥，DG DQ ⊥， ∴RDB ∠是平面BED 与平面RQD 所成二面角的平面角． 在Rt BCF ∆中，2CF a ===，sin FC RBD BF ∠===cos RBD ∠==． 在BDR ∆中，由23FR FB =知，133BR FB ==，由余弦定理得，RD== 由正弦定理得，sin sin BR RD RDB RBD=∠∠，即332sin RDB =∠，sin RDB ∠=故平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值为29．为GC 的中点，FO ＝3，且FO ⊥平面ABCD .(1)求证：AE ∥平面BCF ； (2)求证：CF ⊥平面AEF .【解析】证明 取BC 中点H ，连接OH ，则OH ∥BD ，又四边形ABCD 为正方形， ∴AC ⊥BD ，∴OH ⊥AC ，故以O 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A (3，0，0)，C (－1，0，0)，D (1，－2，0)，F (0，0，3)，B (1，2，0).BC →＝(－2，－2，0)，CF →＝(1，0，3)，BF →＝(－1，－2，3). (1)设平面BCF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·CF →＝0，即⎩⎨⎧－2x －2y ＝0，x ＋3z ＝0，取z ＝1，得n ＝(－3，3，1). 又四边形BDEF 为平行四边形， ∴DE →＝BF →＝(－1，－2，3)， ∴AE →＝AD →＋DE →＝BC →＋BF →＝(－2，－2，0)＋(－1，－2，3)＝(－3，－4，3)， ∴AE →·n ＝33－43＋3＝0，∴AE →⊥n ， 又AE ⊄平面BCF ，∴AE ∥平面BCF .(2)AF →＝(－3，0，3)，∴CF →·AF →＝－3＋3＝0，CF →·AE →＝－3＋3＝0， ∴CF →⊥AF →，CF →⊥AE →， 即CF ⊥AF ，CF ⊥AE ， 又AE ∩AF ＝A ， AE ，AF ⊂平面AEF ， ∴CF ⊥平面AEF .2.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 和侧面AA 1B 1B 都是正方形且互相垂直，M 为AA 1的中点，N 为BC 1的中点．求证：(1)MN ∥平面A 1B 1C 1； (2)平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C .【解析】证明 由题意知AA 1，AB ，AC 两两垂直，以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设正方形AA 1C 1C 的边长为2，则A (0,0,0)，A 1(2,0,0)，B (0,2,0)，B 1(2,2,0)，C (0,0,2)，C 1(2,0,2)，M (1,0,0)，N (1,1,1)．(1)因为几何体是直三棱柱，所以侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1.因为AA 1→＝(2,0,0)，MN →＝(0,1,1)，所以MN →·AA 1→＝0，即MN →⊥AA 1→.MN ⊄平面A 1B 1C 1，故MN ∥平面A 1B 1C 1.(2)设平面MBC 1与平面BB 1C 1C 的法向量分别为 n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 因为MB →＝(－1,2,0)，MC 1→＝(1,0,2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1·MB →＝0，n 1·MC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋2y 1＝0，x 1＋2z 1＝0，，令x 1＝2，则平面MBC 1的一个法向量为n 1＝(2,1，－1)．同理可得平面BB 1C 1C 的一个法向量为n 2＝(0,1,1)．因为n 1·n 2＝2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以n 1⊥n 2，所以平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C . 3.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，DE ＝2，M 为线段BF 的中点．(1)求M 到平面DEC 的距离及三棱锥M －CDE 的体积； (2)求证：DM ⊥平面ACE .【解析】(1)设AC ∩BD ＝O ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则C (0，3，0)，D (－1,0,0)，E (－1,0,2)，M (1,0,1)， DE →＝(0,0,2)，DC →＝(1，3，0)，DM →＝(2,0,1)， ∵DE →·DC →＝0， ∴DE ⊥DC ，∴S △DEC ＝12×DE ×DC ＝12×2×2＝2，设平面DEC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝2z ＝0，n ·DC →＝x ＋3y ＝0，取x ＝3，得n ＝(3，－1,0)，∴M 到平面DEC 的距离h ＝|DM →·n ||n |＝233＋1＝3，∴三棱锥M －CDE 的体积V ＝13×S △CDE ×h ＝13×2×3＝233.(2)证明：A (0，－3，0)，AC →＝(0,23，0)，AE →＝(－1，3，2)， AC →·DM →＝0，AE →·DM →＝－2＋2＝0， ∴AC ⊥DM ，AE ⊥DM ，∵AC ∩AE ＝A ，∴DM ⊥平面ACE .4．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，且P A ＝PD ＝22AD ，设E ，F 分别为PC ，BD 的中点．(1)求证：EF ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AB ⊥平面PDC .【解析】证明 (1)如图，取AD 的中点O ，连接OP ，OF .因为P A ＝PD ，所以PO ⊥AD .因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ， 所以PO ⊥平面ABCD .又O ，F 分别为AD ，BD 的中点， 所以OF ∥AB .又ABCD 是正方形，所以OF ⊥AD . 因为P A ＝PD ＝22AD ， 所以P A ⊥PD ，OP ＝OA ＝a2.以O 为原点，OA ，OF ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则A ⎝⎛⎭⎫a 2，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，a 2，0，D ⎝⎛⎭⎫－a2，0，0， P ⎝⎛⎭⎫0，0，a 2，B ⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0，C ⎝⎛⎭⎫－a2，a ，0. 因为E 为PC 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫－a 4，a 2，a4. 易知平面P AD 的一个法向量为OF →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0， 因为EF →＝⎝⎛⎭⎫a 4，0，－a 4，且OF →·EF →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0·⎝⎛⎭⎫a4，0，－a 4＝0， 又因为EF ⊄平面P AD ， 所以EF ∥平面P AD .(2)因为P A →＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2，CD →＝(0，－a,0)， 所以P A →·CD →＝⎝⎛⎭⎫a2，0，－a 2·(0，－a,0)＝0， 所以P A →⊥CD →，所以P A ⊥CD . 又P A ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ， PD ，CD ⊂平面PDC ， 所以P A ⊥平面PDC . 又P A ⊂平面P AB ， 所以平面P AB ⊥平面PDC .5．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC .【解析】证明 如图所示，以O 为坐标原点，以射线OP 为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)．(1)∵AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)，∴AP →·BC →＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，AP →⊥BC →，即AP ⊥BC . (2)由(1)知|AP |＝5，又|AM |＝3，且点M 在线段AP 上， ∴AM →＝35AP →＝⎝⎛⎭⎫0，95，125. 又AC →＝(－4,5,0)，BA →＝(－4，－5,0)， ∴BM →＝BA →＋AM →＝⎝⎛⎭⎫－4，－165，125， 则A P →·BM →＝(0,3,4)·⎝⎛⎭⎫－4，－165，125＝0， ∴AP →⊥BM →，即AP ⊥BM ，又根据(1)的结论知AP ⊥BC ，BM ∩BC ＝B ， ∴AP ⊥平面BMC ，于是AM ⊥平面BMC . 又AM ⊂平面AMC ，故平面AMC ⊥平面BCM .6. 如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD .证明：(1)P A ⊥BD ；(2)平面P AD ⊥平面P AB .【解析】证明 (1)取BC 的中点O ，连接PO ，△PBC 为等边三角形，即PO ⊥BC ， ∵平面PBC ⊥底面ABCD ，BC 为交线，PO ⊂平面PBC ， ∴PO ⊥底面ABCD .以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝ 3.∴A (1，－2，0)，B (1，0，0)，D (－1，－1，0)，P (0，0，3). ∴BD →＝(－2，－1，0)，P A →＝(1，－2，－3). ∵BD →·P A →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0， ∴P A →⊥BD →， ∴P A ⊥BD .(2)取P A 的中点M ，连接DM ，则M ⎝⎛⎭⎫12，－1，32.∵DM →＝⎝⎛⎭⎫32，0，32，PB →＝(1，0，－3)，∴DM →·PB →＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0，∴DM →⊥PB →，即DM ⊥PB .∵DM →·P A →＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0，∴DM →⊥P A →，即DM ⊥P A .又∵P A ∩PB ＝P ，P A ，PB ⊂平面P AB ， ∴DM ⊥平面P AB . ∵DM ⊂平面P AD ， ∴平面P AD ⊥平面P AB .7.如图所示，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱A 1A ＝2.(1)证明：AC ⊥A 1B ；(2)是否在棱A 1A 上存在一点P ，使得AP →＝λP A 1→且面AB 1C 1⊥面PB 1C 1.【解析】 如图所示，以DA ，DC ，DA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (1，0,0)，C (0,1,0)，A 1(0,0，3)，B (1,1,0)，D 1(－1,0，3)，B 1(0,1，3)，C 1(－1,1，3)．(1)证明：AC →＝(－1,1,0)，A 1B →＝(1,1，－3)， ∴AC →·A 1B →＝0，∴AC ⊥A 1B . (2)假设存在， ∵AP →＝λP A 1→， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫11＋λ，0，3λ1＋λ. 设平面AB 1C 1的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， ∵AB 1→＝(－1,1，3)，AC 1→＝(－2,1，3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB 1→＝－x 1＋y 1＋3z 1＝0，n 1·AC 1→＝－2x 1＋y 1＋3z 1＝0.令z 1＝3，则y 1＝－3，x 1＝0.∴n 1＝(0，－3，3)．同理可求面PB 1C 1的一个法向量为n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3λ＋1，－1， ∴n 1·n 2＝0.∴－331＋λ－3＝0，即λ＝－4.∵P 在棱A 1A 上，∴λ>0，矛盾． ∴这样的点P 不存在．8.如图，棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC 和∠A 1AC 均为60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .(1)求证：BD ⊥AA 1；(2)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，若存在，求出点P 的位置，若不存在，请说明理由.【解析】(1)证明 设BD 与AC 交于点O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°，∴A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO cos 60°＝3， ∴AO 2＋A 1O 2＝AA 21， ∴A 1O ⊥AO .由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，且平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ，A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，∴A 1O ⊥平面ABCD .以OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (－3，0，0)，A 1(0，0，3)，C 1(0，2，3).由于BD →＝(－23，0，0)，AA 1→＝(0，1，3)， AA 1→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0， ∴BD →⊥AA 1→，即BD ⊥AA 1.(2)解 假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1， 设CP →＝λCC 1→，P (x ，y ，z )，则(x ，y －1，z )＝λ(0，1，3).从而有P (0，1＋λ，3λ)，BP →＝(－3，1＋λ，3λ). 设平面DA 1C 1的法向量为n 3＝(x 3，y 3，z 3)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 3⊥A 1C 1→，n 3⊥DA 1→，又A 1C 1→＝(0，2，0)，DA 1→＝(3，0，3)，则⎩⎨⎧2y 3＝0，3x 3＋3z 3＝0，取n 3＝(1，0，－1)，因为BP ∥平面DA 1C 1， 则n 3⊥BP →，即n 3·BP →＝－3－3λ＝0，得λ＝－1， 即点P 在C 1C 的延长线上，且C 1C ＝CP .。

2020年全国新高考Ⅰ卷高考数学（山东卷）副标题题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={x|1x3}，B={x|2<x<4}，则A B=()A. {x|2<x3}B. {x|2x3}C. {x|1x<4}D. {x|1<x<4.}2.=()A. 1B. −1C. iD. −i3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有()A. 120种B. 90种C. 60种D. 30种4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬，则晷针与点A 处的水平面所成角为()A. B. C. D.5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例时()A. 62%B. 56%C. 46%D. 42%6.基本再生数与世代间隔T是新冠肺炎流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(t)=描述累计感染病例数(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与，T近似满足=1+rT.有学者基于已有数据估计出=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(20.69)()A. 1.2天B. 1.8天C. 2.5天D. 3.5天7.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是()A. (−2,6)B. (−6,2)C. (−2,4)D. (−4,6)8.若定义在R上的奇函数f(x)在(−，0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x−1)0的x的取值范围是()A. [−1,1][3,+)B. [−3,−1][0,1]C. [−1,0][1,+)D. [−1,0][1,3]二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知曲线C:+=1()A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=D. 若m=0，n>0，则C是两条直线10.如图是函数y=(x+)的部分图象，则(x+)=()A. (x+)B. (−2x)C. (2x+)D. (−2x)11.已知a>0，b>0，且a+b=1，则()A. +B. >C. a+b−2D. +12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1，2，，n，且P(X=i)=>0(i=1,2，，n)，=1，定义X的信息熵H(X)=−()A. 若n=1，则H(x)=0B. 若n=2，则H(x)随着的增大而增大C. 若=(i=1,2，，n)，则H(x)随着n的增大而增大D. 若n=2m，随机变量Y的所有可能取值为1，2，，m，且P(Y=j)=+(j=1,2，，m)则H(X)H(Y)三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.斜率为的直线过抛物线C:=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|=__________．14.将数列{2n−1}与{3n−2}的公共项从小到大排列得到数列{}，则{}的前n项和为__________．15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC DG，垂足为C，ODC=，BH DG，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为__________．16.已知直四棱柱ABCD−的棱长均为2，BAD=，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为__________．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在①ac=√3，②csinA=3，③c=√3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值;若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=√3sinB，，__________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.已知公比大于1的等比数列{}满足+=20，=8．(1)求{}的通项公式;(2)记为{}在区间(0,m](m)中的项的个数，求数列{}的前100项和．19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和浓度(单位：g/)，得下表：(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率;(2)根据所给数据，完成下面的22列联表：(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关?附：=，P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.8416.63510.82820.(12分)如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为．(1)证明：l平面PDC;(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．21.已知函数f(x)=−x+a.(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)1，求a的取值范围．22.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2,1)．(1)求C的方程;(2)点M，N在C上，且AM AN，AD MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查并集运算，属于容易题．【解答】解：A⋃B={x|1≤x<4}．故选C2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数除法运算，属于容易题．【解答】解：2−i1+2i =(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−i．故选D．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查组合问题，属于容易题．【解答】解：可以按照先选1名志愿者去甲场馆，再选择2名志愿者去乙场馆，剩下3名安排到丙场馆，安排方法有C61C52C33=60.故选C4.【答案】B【解析】【分析】本题考查空间线面角问题，考查空间想象能力，属于容易题．【解答】解：作截面图可知，晷针与点A处的水平面所成角α=40∘．故选B5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题．【解答】解：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为A·B事件，则P(A)=0.6，P(B)=0.82，P(A+B)=0.96，所以P(A·B)=P(A)+P(B)−P(A+B)=0.6+0.82−0.96=0.46，所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例，46%．故答案为：C．6.【答案】B【解析】【分析】本题结合实际问题考查指数对数化简求值，属于基础题．【解答】解：将R0=3.28，T=6代入R0=1+rT，得r=R0−1T =3.28−16=0.38,由2=e0.38t得t=ln20.38=0.690.38≈1.8.故选B．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量数量积，属于中档题． 【解答】解：AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=2|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >, 由投影定义知，当点P 与点F 重合时， AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值2|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=4cos120∘=−2,当点P 与点C 重合时，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最大值2|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=8×(cos30∘)2=6.故AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是(−2,6)． 故选A ．8.【答案】D【解析】 【分析】本题考查函数奇偶性的应用，考查运算求解及逻辑推理能力，难度一般． 【解答】解：根据题意，不等式xf(x −1)⩾0可化为{x ⩾0f(x −1)⩾0 或{x ⩽0f(x −1)⩽0, 由奇函数性质得，f(x)在上单调递增，所以{x ⩾0x −1⩾0x −1⩽2或{x ⩽0x −1⩽0x −1⩾−2，解得1⩽x ⩽3或−1⩽x ⩽0．满足xf(x −1)⩾0的x 的取值范围是x ∈[−1,0]∪[1,3]． 故选D ．9.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查圆锥曲线的相关概念，考查逻辑推理能力，难度一般． 【解答】解：mx 2+ny 2=1可化为x 21m+y 21n=1，若m>n>0，则1m <1n，故x21m+y21n=1表示焦点在y轴的椭圆，故A正确；若m=n>0，mx2+ny2=1可化为x2+y2=1n ，表示圆心为原点，半径为√1n的圆，故B错误；若mn<0，则C是双曲线，令mx2+ny2=0,故其渐近线方程为y=±√−mnx，故C正确；若m=0，n>0，mx2+ny2=1可化为y2=1n ，即y=±√1n，表示两条直线，故D正确．故选ACD．10.【答案】BC【解析】【分析】本题考查正弦型函数的图象，考查逻辑推理能力，难度一般．利用排除法逐一判断即可．【解答】解：由图可知x=π6时，y=0，逐一代入可排除A；x=0时，y>0，逐一代入可排除D；x=π3时，y<0，BC满足，且sin(π3−2x)=cos(2x+π6)，综上，可知BC正确．故选BC．11.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查利用不等式比较大小，函数性质的应用，基本不等式的应用，属于中档题．结合各选项依次判断即可．【解答】解：因为a>0，b>0，且a+b=1，所以a 2+b 2=a 2+(1−a)2=2a 2−2a +1=2(a −12)2+12≥12，故A 正确； 由已知得0<a <1，0<b <1，所以−1<a −b <1，所以2a−b >2−1=12，故B 正确；log 2a +log 2b =log 2ab ≤log 2(a+b)24=−2，当且仅当a =b 时，等号成立，故C 错误；(√a +√b)2=a +b +2√ab ≤1+2√(a+b)24=2，则√a +√b ≤√2，当且仅当a =b 时，等号成立，故D 正确， 故选ABD ．12.【答案】AC【解析】【分析】本题考查离散型随机变量的应用，重点考查对新定义的理解，属于难题． 【解答】解：A 选项中，由题意知p 1=1，此时H(X)=−1×log 21=0，故A 正确； B 选项中，由题意知p 1+p 2=1，且p 1∈(0,1)，H(X)=−p 1log 2p 1−p 2log 2p 2=−p 1log 2p 1−(1−p 1)log 2(1−p 1)， 设f(x)=−xlog 2x −(1−x)log 2(1−x)，x ∈(0,1) 则f′(x)=−log 2x −1ln2+log 2(1−x)+1ln2=log 2(1x −1)， 当x ∈(12,1)时，f′(x)<0，当x ∈(0,12)时，f′(x)>0， 故当p 1∈(0,12) 时，H(X)随着p 1的增大而增大， 当p 1∈(12,1) 时，H(X)随着p 1的增大而减小，故B 错误； C 选项中，由题意知H(X)=n ×(−1n )log 21n =log 2n ， 故H(X)随着n 的增大而增大，故C 正确．D 选项中，由题意知H(Y)=−∑(p j +p 2m+1−j )m j=1log 2(p j +p 2m+1−j )，H(X)=−∑p j 2m j=1log 2p j =−∑(p j m j=1log 2p j +p 2m+1−j log 2p 2m+1−j )，H(X)−H(Y)=∑log 2(p j +p 2m+1−j )p j +p 2m+1−j m j=1−∑(log 2p j p j+m j=1log 2p 2m+1−j p 2m+1−j ) =∑log 2(p j +p 2m+1−j )p j +p 2m+1−j p jp j p 2m+1−jp 2m+1−jm j=1=∑log 2(p j +p 2m+1−j )pj (p j +p 2m+1−j )p 2m+1−jp jp j p2m+1−jp 2m+1−j m j=1=∑log 2(1+p 2m+1−j p j )p j (1+p jp 2m+1−j)p 2m+1−jm j=1>0,故D 错误， 故答案为AC ．13.【答案】163【解析】【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，焦点弦的求法，属于基础题．先求出抛物线的交点坐标，从而求出直线方程，联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系从而可求得焦点弦． 【解答】解：抛物线C:y 2=4x 的焦点为(1,0)， 则直线AB 的方程为y =√3(x −1)， 联立{y =√3(x −1),y 2=4x得3x 2−10x +3=0， 所以x 1+x 2=103，从而 |AB |=x 1+x 2+p =103+2=163，故答案为：163．14.【答案】3n 2−2n【解析】【分析】本题考查数列的特定项与性质以及等差数列求和，是基础题． 【解答】解：数列{2n −1} 的首项是1，公差为2的等差数列；数列{3n−2}的首项是1，公差为3的等差数列；公共项构成首项为1，公差为6的等差数列;故{a n}的前n项和S n为：S n=1×n+n×(n−1)2×6=3n2−2n．故答案为3n2−2n．15.【答案】52π+4【解析】【分析】本题考查平面图形中的边角关系，结合题意确立对应的角和边的长度以及比例关系，最后算出大的扇形面积和三角形面积减去小半圆的面积即可求解，是中档题．【解答】解：设上面的大圆弧的半径为x，由题意中的长度关系易知∠AGD=45∘，同理∠AHO=45∘，可得▵AOH为等腰直角三角形，可得OJ=AJ=√22x，OL=JK=5−√22x，DL=DK−LK=DK−OJ=7−√22x，其中OLDL =35，可得5−√22x7−√22x=35，解得x=2√2，S阴影=S扇形+S▵AOH−12S圆O=12×3π4×(2√2)2+12×(2√2)2−12π=52π+4cm2，故答案为52π+4．16.【答案】√2π2【解析】【分析】本题考查空间几何体的外接球与面的交线问题，注意球心到面的距离和形成的交线位置与所对应得圆弧和圆心角，这是本题的难点．【解答】解：直四棱柱边长为2，底面是边长为2的菱形，侧面是边长为2的正方形，又∵∠BAD= 60∘,可得∠D1C1B1=60∘，点D1到面BB1C1C的距离即为点D1到线B1C1的距离，即为√3，则根据勾股定理可得截面的圆半径为r=√5−3=√2，与侧面BB1C1C所形成的为一段圆弧长，其圆心角为π2，故形成得交线长为l=π2×√2=√22π．故答案为√2π2．17.【答案】解：sin A=√3sin B，故有a=√3b，C=π6，由余弦定理得：，有；假设三角形存在，若选①，有ac=√3，则有，则a=√3,b=1,c=1．故存在满足题意的三角形，c=1．若选②，有csin A=3，则有，则sin A=√32，故c=2√3，a=6,b=2√3,．故存在满足题意的三角形，c=2√3．若选③，其中由题意有a=√3b,a=√3c，则有b=c，这和c=√3b矛盾，故不存在满足题意的三角形．【解析】本题考查解三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，判断三个边的关系与求值，是中档题．若选①，可利用已知条件得到的a,b,c 的关系，代入ac =√3 求解即可． 若选②，可利用已知条件得到的a,b,c 的关系，求出cos A ，从而求出c =2√3． 若选③，可利用已知条件得到的a,b,c 的关系，和第三个条件矛盾，从而无此三角形．18.【答案】解：(1)设等比数列的公比为q ，且q >1，∵a 2+a 4=20，a 3=8，∴{a 1q +a 1q 3=20a 1q 2=8,解得{a 1=32q =12(舍)或{a 1=2q =2, ∴数列{a n }的通项公式a n =2n ;(2)由(1)知a 1=2，a 2=4，a 3=8，a 4=16，a 5=32，a 6=64，a 7=128， 则当m =1时，b 1=0，当m =2时，b 2=1，以此类推，b 3=1，b 4=b 5=b 6=b 7=2，b 8=...=b 15=3，b 16=...=b 31=4，b 32=...=b 63=5，b 64=...=b 100=6，∴S 100=b 1+b 2+...+b 100=0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×37=480.【解析】本题考查了数列求和及等比数列通项公式，属中档题．(1)根据等比数列通项公式列出方程，求出首项和公比，即可求出通项公式; (2)根据等比数列通项公式，归纳数列{b m }的规律，从而求出其前100项和． 19.【答案】解：(1)根据题意可知，基本事件总数为100， “该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150”的基本事件个数为64， 由古典概型概率公式p =64100=1625，即事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150”的概率1625； SO 2 PM2.5[0,150](150,475] [0,75] 64 16 (75,150]10 10(3)由(2)中的数值，代入公式k 2=100×(64×10−10×16)2(64+16)×(10+10)×(64+10)×(16+10)≈7.484>6.635， 因此，有99％的把握认为该市一天空气中P M 2.5浓度与SO 2浓度有关．【解析】本题考查了独立性检验、2×2列联表及古典概型，属中档题．(1)根据题意确定基本事件总数和满足条件的基本事件个数，利用古典概型概率公式计算即可;(2)根据题意确定各范围内对应的数量即可；(3)利用(2)中的2×2列联表里的数值，代入公式计算即可．20.【答案】解：底面ABCD ，且AD ⊂平面ABCD ，，∵ABCD 为正方形，∴AD ⊥DC ，又∵PD ∩DC =D ，且PD 、DC 在平面PDC 内， ∴AD ⊥平面PDC ，∵AD//BC ，且BC ⊂平面PBC ，平面PBC ， ∴AD//平面PBC ，又∵平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，且AD ⊂平面PAD ， ∴AD//l ，∴l ⊥平面PDC ；(2)建立空间直角坐标系如图所示：由PD =AD =1，得P(0,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，则PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)， 设点Q 的坐标为(t,0,1)，平面QCD 的法向量为n⃗ =(x 0,y 0,z 0)， 则DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,0,1)，即有{n ⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，亦即{y 0=0tx 0+z 0=0, 取x 0=1，得n⃗ =(1,0,−t)， 又设PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与n ⃗ 夹角为α，PB 与平面QCD 所成角为θ， 则cosα=PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=1×1+1×0+(−1)×(−t)√3×√1+t 2=1+t √3×√1+t 2，于是sinθ=|1+t|√3×√1+t 2=1√3×√1+2t+t 21+t 2，当t =0时，sinθ=√33，当时，sinθ=1√3×√1+2t+t 21+t 2=1√3×√1+2−[1(−t)+(−t)]，又−[1(−t)+(−t)]≤−2(当且仅当t =−1 时，取等号)，即得0≤sinθ<√33，当时，sinθ=√3×√1+2t+t 21+t 2=√3√1+21t+t，又1t +t ≥2(当且仅当t =1 时，取等号)，即得√33<sinθ≤√63，综上可知，PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为√63.【解析】本题考查了线面角的求解及线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理和性质定理，难度较大．(1)本题先证明AD⊥平面PDC，再证明AD//平面PBC，再利用线面平行性质定理证得AD//l，从而证得l⊥平面PDC；(2)本题可以建立空间直角坐标系，设出Q点坐标，求出PB⃗⃗⃗⃗⃗ 和平面QDC的法向量，再利用向量夹角公式求解，再结合基本不等式可求出PB与平面QCD所成角的正弦值最大值．21.【答案】解：▵当a=e，f(x)=e x−lnx+1，f′(x)=e x−1x,k=f′(1)=e−1,f(1)=e+1，所以切线方程为：y−e−1=(e−1)(x−1)，即y=(e−1)x+2，所以切线在y轴上截距为2，在x轴上的截距为21−e，所以三角形的面积S=12×2×2e−1=2e−1．▵f(x)=ae x−1−lnx+lna=e lna+x−1−lnx+lna，要使f(x)≥1，只需e lna+x−1−lnx+lna≥1，即e lna+x−1+lna−1≥lnx，即e lna+x−1+lna−1+x≥lnx+x=e lnx+lnx，令g(x)=e x+x，故只需g(lna+x−1)≥g(lnx)，因为g(x)为增函数，只需证lna+x−1≥lnx，即lna≥lnx+1−x，设ℎ(x)=lnx+1−x，ℎ′(x)=1x −1=1−xx，所以ℎ(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，ℎ(x)max=ℎ(1)=0，所以lna ≥0，a ≥1，即a 的取值范围为[1,+∞)．【解析】本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性问题，属于较难题． ▵根据导数的几何意义进行计算即可．▵把条件进行等价转化，利用导数研究函数的单调性、最值，再根据函数的单调性得不等式，求解即可．22.【答案】▵解：由题意可知c a =√22，4a 2+1b 2=1，a 2=b 2+c 2， 解得a 2=6，b 2=3， 所以椭圆方程为x 26+y 23=1．▵证明：设点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 因为AM ⊥AN ，所以y 1−1x1−2⋅y 2−1x 2−2=−1，所以y 1y 2−(y 1+y 2)+1=−x 1x 2+2(x 1+x 2)−4，① 设MN:y =kx +m ， 联立{y =kx +m,x 2+2y 2=6得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−6=0， 由Δ>0，得6k 2−m 2+3>0，由根与系数的关系得x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−61+2k 2，所以y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m 1+2k 2， y 1y 2=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=m 2−6k 21+2k 2，代入①式化简可得4k 2+8km +(m −1)(3m +1)=0， 即(2k +m −1)(2k +3m +1)=0， 所以m =1−2k 或m =−2k+13，所以直线方程为y =kx +1−2k 或y =kx −2k+13，所以直线过定点(2,1)或(23,−13)， 又因为(2,1)和A 点重合，故舍去， 所以直线过定点E(23,−13)，所以AE 为定值，又因为▵AED 为直角三角形，AE 为斜边， 所以AE 中点Q 满足|QD|为定值2√23，此时Q(43,13)．【解析】本题考查椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系，属于难题． ▵根据条件列方程求解即可．▵联立直线与椭圆的方程，根据根与系数的关系结合两直线的斜率之积为−1化简即可证明．。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A ={x |1≤x ≤3},B ={x |2<x <4},则A ∪B =（）A.{x |2<x ≤3} B.{x |2≤x ≤3} C.{x |1≤x <4} D.{x |1<x <4}【答案】C【解析】[1,3](2,4)[1,4)A B ==U U ,故选C.2.2i12i-=+（）A.1B.−1C.iD.−i【答案】D 【解析】2(2)(12)512(12)(12)5i i i ii i i i ----===-++-,故选D.3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A.120种B.90种C.60种D.30种【答案】C【解析】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C ；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C ；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种.故选C4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（）A.20° B.40° C.50° D.90°【答案】B【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//m CD ,根据线面垂直的定义可得AB m ⊥..∵40,//AOC m CD ∠=︒，∴40OAG AOC ∠=∠=︒，∵90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，∴40BAE OAG ∠=∠=︒，∴晷针与点A 处的水平面所成角40BAE ∠=︒.故选B.5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A.62%B.56%C.46%D.42%【答案】C【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，∴()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-=∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选C.6.基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天【答案】B【解析】∵0 3.28R =,6T =,01R rT =+，∴ 3.2810.386r -==,∴()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，∴10.382t e =，∴10.38ln 2t =，∴1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天.故选B.7.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A.()2,6- B.(6,2)- C.(2,4)- D.(4,6)-【答案】A【解析】AB的模为2，根据正六边形的特征，可得AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB方向上的投影的乘积，∴AP AB⋅的取值范围是()2,6-，故选A.8.若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A.[)1,1][3,-+∞B.3,1][,[01]--C.[1,0][1,)-+∞ D.[1,0][1,3]- 【答案】D【解析】∵定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减,且(2)0f =，∴()f x 在(0,)+∞上也是单调递减,且(2)0f -=,(0)0f =，∴当(,2)(0,2)x ∈-∞- 时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，∴由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，∴满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]- ，故选D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.已知曲线22:1C mx ny +=.（）A.若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B.若m =n >0，则CC.若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y =D.若m =0，n >0，则C 是两条直线【答案】ACD【解析】对于A，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，∵0m n >>，∴11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A正确；对于B，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B 不正确；对于C，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得y =，故C 正确；对于D，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；综上，ACD 正确.10.下图是函数y =sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=（）A.πsin(3x + B.πsin(2)3x - C.πcos(26x +）D.5πcos(2)6x -【答案】BC【解析】由函数图像可知22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，排除A,当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得()223k k ϕπ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭.故选BC.11.已知a >0，b >0，且a +b =1，则（）A.2212a b +≥B.122a b ->C.22log log 2a b +≥-D.≤【答案】ABD【解析】对于A，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D，因为2112a b =+≤++=，+≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确；故选ABD.12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑ ，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.（）A.若n =1，则H (X )=0B.若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C.若1(1,2,,)i p i n n== ，则H (X )随着n 的增大而增大D.若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+= ，则H (X )≤H (Y )【答案】AC【解析】对于A,若1n =,则11,1i p ==，∴()()21log 10H X =-⨯=，∴A 正确.对于B，若2n =,则1,2i =,211p p =-，∴()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦，当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误.对于C，若()11,2,,i p i n n== ，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且()21j m j P Y j p p +-==+（1,2,,j m = ）.()2222111log log mmi i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅ .()H Y =()()12222121222111log log m m m m p p p p p p p p --+⋅++⋅+++()1211log m m m m p p p p ++++⋅+ 12221222111log log m m p p p p p p -=⋅+⋅+++212222211211log log m m m mp p p p p p --+⋅+⋅++由于()01,2,,2i p i m >= ，∴2111i i m i p p p +->+，∴222111log log i i m ip p p +->+，∴222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+，∴()()H X H Y >，∴D 选项错误.故选AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点FAB的方程为1)y x =-，代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x ==∴12116|||||3|33AB x x =-=-=解法二：10036640∆=-=>，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=,过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为163.14.将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．【答案】232n n-【解析】∵数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，∴这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，6为公差的等差数列，∴{}n a 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+⋅=-，故答案为232n n -.15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，BH DG ∥，EF =12cm ，DE=2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．【答案】542π+【解析】设==OB OA r ，由题意7AM AN ==，12EF =，∴5NF =，∵5AP =,∴45AGP ︒∠=，∵//BH DG ，∴45AHO ︒∠=，∵AG 与圆弧AB 相切于A 点，∴OA AG ⊥，即OAH △为等腰直角三角形；在直角OQD △中，252OQ r =-，272DQ r =-，∵3tan 5OQ ODC DQ ∠==，∴212522r r -=-，解得r =等腰直角OAH △的面积为1142S =⨯=；扇形AOB 的面积(2213324S ππ=⨯⨯=，∴阴影部分的面积为1215422S S ππ+-=+.故答案为542π+.16.已知直四棱柱ABCD –A1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．【答案】2.【解析】如图，取11B C 的中点为E ，1BB 的中点为F ，1CC 的中点为G ，∵BAD ∠=60°，直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，∴△111D B C 为等边三角形，∴1D E =111D E B C ⊥，又四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，∴1BB ⊥平面1111D C B A ，所以111BB B C ⊥，∵1111BB B C B = ，∴1D E ⊥侧面11B C CB ，设P 为侧面11B C CB 与球面的交线上的点，则1D E EP ⊥，，1D E =，∴||EP ===，∴侧面11B C CB 与球面的交线上的点到E ，∵||||EF EG ==11B C CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧 FG，∵114B EF C EG π∠=∠=，∴2FEG π∠=，∴根据弧长公式可得 222FGπ==.答案为22π.四、解答题：本题共6小题，共70分。

专题8 平面解析几何纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程及几何性质为主，难度在中等或以上；大题则主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.预测2021年将保持稳定，一大二小.其中客观题考查圆、椭圆、双曲线、抛物线问题，难度在中等或以下.主观题考查或直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系，相关各种综合问题应有充分准备.1．（2020·山东海南省高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ）A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD 【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线CB 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得y =，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y =C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确； 故选：ACD.2．（2020·C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点FAB的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1633．（2020·浙江省高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．【答案】33 233- 【解析】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C 2211k =+，2211k =+，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得3333k b ==-. 3234．（2020·山东海南省高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析. 【解析】(1)由题意可得：222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)设点()()1122,,,M x y N x y .因为AM ⊥AN ，∴·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=,① 当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+,如图1. 代入椭圆方程消去y 并整理得：()22212k4260xkmx m +++-=,2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++ ②, 根据1122,y kx m y kx m =+=+,代入①整理可得：()()()()221212k1x 2140x km k x x m ++--++-+=将②代入，()()()22222264k 121401212m km km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭， 整理化简得()()231210k m k m +++-=,∵2,1A （）不在直线MN 上，∴210k m +-≠，∴23101k m k ++=≠，， 于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以直线过定点直线过定点21,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭. 当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -,如图2.代入()()()()121222110x x y y --+--=得()2212210x y -+-=,结合2211163x y +=,解得()1122,3x x ==舍,此时直线MN 过点21,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭,由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足QD 为定值（AE 221214221233⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭）. 由于()21,32,13,A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故由中点坐标公式可得41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故存在点41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得|DQ|为定值.一、单选题1．（2020·山东省泰安市6月三模）已知抛物线2:4C x y =的准线恰好与圆()()()222:340M x y r r -+-=>相切，则r =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】抛物线2:4C x y =的准线方程为1y =-，()()()222:340M x y r r -+-=>的圆心为()3,4，因为准线恰好与圆M 相切，所以圆心到直线的距离为415r =+=. 故选：C.2．（2020·山东省泰安市6月三模）如图，已知双曲线22212x y C a a -=+：的左、右焦点分别为12,,F F M 是C上位于第一象限内的一点，且直线2F M 与y 轴的正半轴交于A 点，1AMF ∆的内切圆在边1MF 上的切点为N ，若=2MN ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．5 B ．5C ．2D ．2【答案】D 【解析】设1AMF ∆的内切圆在边1,AF AM 的切点分别为E ，G ，则122MF MF a -=，得1222NF MF a +-=，又112||||||NF EF GF ==，则22||22GF MF a +-=，得2||2MG a +=，又||2MG =，得24,a = 2a =，所以双曲线C 的离心率为22422+=故选：D3．（2020·山东省临沂市、枣庄市临考演练）已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，AB 的中点为C ，过C 作抛物线准线的垂线交准线于1C ，若1CC 的中点为()1,4M ，则p =（ ） A ．4 B ．8C ．42D．82【答案】B 【解析】因为1CC 的中点为()1,4M ，所以8,212A B C py y x +=-=⨯， 所以4,22A B C p x x p x +=+=+， 设直线AB 的方程为2p x my =+，代入抛物线的方程得，2220y pmy p --=，所以 2,()8A B A B A B y y pm x x m y y p m p +=+=++=+所以8284pm m p p =⎧⎨+=+⎩，解得812p m =⎧⎪⎨=⎪⎩，故选：B4．（2020·山东省济南市二模）已知抛物线24x y =的焦点为F ，点P 在抛物线上且横坐标为4，则||PF =（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．6【答案】C 【解析】将4x =代入抛物线得到()4,4P ，根据抛物线定义得到||44152pPF =+=+=. 故选：C.5．（2020·山东省济南市二模）已知点A ，B ，C 均在半径为2的圆上，若||2AB =，则AC BC ⋅的最大值为（ ） A ．3+22 B ．222+C ．4D ．2【答案】B 【解析】根据圆O 半径为2，2AB =得到OA OB ⊥，以,OB OA 为,x y 轴建立直角坐标系， 则()0,2A ，()2,0B ，设()2cos ,2sin Cθθ，则()()2cos ,2sin 22cos 2,2sin 222sin 4AC BC πθθθθθ⎛⎫⋅=-⋅-=-+ ⎪⎝⎭，当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时有最大值为222+. 故选：B.6．（2020·山东省仿真联考3）已知双曲线2222:10,0)x y C a b a b-=>>（，直线y b =与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ，O 为坐标原点．若OMN 为直角三角形，则C 的离心率为（）． A 2 B 3C ．2D 5【答案】A 【解析】OMN ∆为直角三角形，结合对称性可知，双曲线C 的渐近线为：y x =±即1ba=c ∴==c e a ∴==本题正确选项：A7．（2020·山东省仿真联考3）已知点P 在圆224x y +=上，(2,0)A -，(2,0)B ，M 为BP 中点，则sin BAM ∠的最大值为( ) A ．14BC ．13D ．12【答案】C 【解析】设(),P x y ，因为为BP 中点，所以2M ,22x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2tan 2622yy BAM x x ∠==+++，因为点P 在圆224x y +=上，则22x -≤≤,不妨令0y >，则tan 6yBAM x ∠====+ 令111t ,684x ⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦，则tan BAM ∠==所以当且仅当316t=时，tan BAM ∠取最大值4，故1sin 3BAM ∠=.故选C. 8．（2020·山东省仿真联考2）设曲线x =20x y --=的距离的最大值为a ，最小值为b ，则-a b 的值为 （） A．2BC ．12+ D ．2【答案】C 【解析】将x =化为：x 2+（y ﹣1）2＝1， ∴圆心（0，1），半径r ＝1， ∵圆心到直线x ﹣y ﹣2＝0的距离d =，∴圆上的点到直线的最小距离b 32=-1， 最大值为（0，2）到直线的距离，即a 2==22 则a ﹣b 2=+1． 故选：C ．9．（2020·山东省仿真联考2）已知双曲线的左右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，分别交轴于两点，若的周长为12，则取得最大值时该双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意，得①，且分别为的中点．由双曲线定义，知②，③，联立①②③，得．因为的周长为12，所以的周长为24，即，亦即，所以．令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，此时，所以，所以，故选C ．10．（2020·山东省滨州市三模）已知抛物线24C y x =：与圆()2219：-+=E x y 相交于A ，B 两点，点M为劣弧AB 上不同A ，B 的一个动点，平行于x 轴的直线MN 交抛物线于点N ，则MNE 的周长的取值范围为（ ） A ．(3，5) B ．(5，7)C ．(6，8)D ．(6，8]【答案】C 【解析】画出图象如下图所示.圆E 的圆心为()1,0，半径为3，抛物线的焦点为()1,0，准线为1x =-.由()222419y x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩解得()()2,22,2,22A B -，所以24m x <<. 设平行于x 轴的直线MN 交抛物线的准线1x =-于D ，根据抛物线的定义可知NE ND =， 所以MNE 的周长为33ME NE MN ND MN MD ++=++=+. 而()13,5m MD x =+∈，所以()36,8MD +∈. 也即MNE 周长的取值范围是()6,8. 故选：C11．（2020·山东省济南市6月模拟）已知双曲线C 的方程为221169x y -=，则下列说法错误的是（ ） A ．双曲线C 的实轴长为8B ．双曲线C 的渐近线方程为34yx C ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3 D ．双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为94【答案】D 【解析】由双曲线C 的方程为221169x y -=得：2216,9,a b ==224,3,5a b c a b ∴===+=.∴双曲线C 的实轴长为28a =,故选项A 正确.双曲线C 的渐近线方程为34=±=±b y x x a ，故选项B 正确.取焦点()5,0F ，则焦点()5,0F 到渐近线34yx 的距离2235334d ⨯==+，故选项C 正确.双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为541c a -=-=，故选项D 错误. 故选：D .12．（2020·山东省济宁市6月三模）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C 的两个交点分别为A ，B ，且满足2,AF FB E =为AB 的中点，则点E 到抛物线准线的距离为( ) A ．114B ．94C ．52D ．54【答案】B 【解析】由题得抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，2,AF FB =||2||AF BF ∴=，1212(1)x x ∴+=+，1221x x ∴=+， 221212||2||,y 4y y y =∴=，124x x ∴=，12x ∴=，212x =. ∴线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为1219[(1)(1)]24x x +++=. 故选：B.13．（2020届山东省青岛市三模）若直线21:320l a x y -+=，2:250l ax y a +-=．:0p a =，1:q l 与2l 平行，则下列选项中正确的（ ） A ．p 是q 的必要非充分条件B ．q 是p 的充分非必要条件1C ．p 是q 的充分非必要条件D ．q 是p 的非充分也非必要条件【答案】C 【解析】因为1l 与2l 平行，所以25(3)20,0a a a ⨯--⨯=∴=或65a =-. 经检验，当0a =或65a =-时，两直线平行. 设{|0}A a a ==，{|0B a a ==或6}5a =-，因为A B ,所以p 是q 的充分非必要条件. 故选：C.14．（2020·山东省青岛市二模）已知曲线C 的方程为()222126x y k k k-=∈--R ，则下列结论正确的是（ ）A ．当8k时，曲线C 为椭圆，其焦距为4B ．当2k =时，曲线C C ．存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线D ．当3k =时，曲线C 为双曲线，其渐近线与圆()2249x y -+=相切 【答案】B 【解析】对于A ，当8k 时，曲线C 的方程为221622x y +=，轨迹为椭圆，焦距2c ==A 错误；对于B ，当2k =时，曲线C 的方程为22124x y -=，轨迹为双曲线，则a =c =∴离心率==ce a，B 正确； 对于C ，若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则26020k k -<⎧⎨-<⎩，解集为空集，∴不存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，C 错误；对于D ，当3k =时，曲线C 的方程为22173x y -=，其渐近线方程为7y x =±，则圆()2249x y -+=的圆心到渐近线的距离35d ===≠，∴双曲线渐近线与圆()2249x y -+=不相切，D 错误.故选：B .15．（2020·山东省日照丶潍坊、临沂部分6月模拟）已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，则“a =是“0OA OB ⋅=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立22202x y a x y -+=⎧⎨+=⎩，化为225420y xy a -+-=， 直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于,A B 两点，(O 为坐标原点），()22162020a a ∴∆=-->，解得210a <， 2121242,55a a y y y y -∴+==， 121200OA OB x x y y ⋅=⇔+=， ()()1212220y a y a y y ∴--+=， ()21212520y y a y y a ∴-++=，222452055a aa a -∴⨯-⨯+=，解得a =则“5a =”是“0OA OB ⋅=”的充分不必要条件，故选A.16．（2020·山东省日照丶潍坊、临沂部分6月模拟）如图，点F 是抛物线28y x =的焦点，点A ，B 分别在抛物线28y x =及圆22(2)16x y -+=的实线部分上运动，且AB 始终平行于x 轴，则ABF ∆的周长的取值范围是（ ）A ．(2,6)B ．(6,8)C ．(8,12)D ．(10,14)【答案】C 【解析】抛物线的准线2l x =-：，焦点20F （，）， 由抛物线定义可得2A AF x =+，圆()22216x y -+=的圆心为20（，），半径为4， ∴FAB 的周长()246A B A B AF AB BF x x x x =++=++-+=+， 由抛物线28y x =及圆()22216x y -+=可得交点的横坐标为2，∴26B x ∈（，），∴()6812B x +∈，，故选 C. 17．（2020·山东省日照丶潍坊、临沂部分6月模拟）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 为左顶点，过点A 3M ，若120MF MF ⋅=，则该双曲线的离心率是（ ）A 2B 21C 13D ．53【答案】B 【解析】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，设点,b M m m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为120MF MF ⋅=，即12MF F ∆为直角三角形，且12F MF ∠为直角， 所以1212OM F F =，则222bm m c a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭上， 解得m a =，故(),M a b ，又(),0A a -，所以直线AM 的斜率23b k a ==，所以2243b a =，故该双曲线的离心率3c e a ===.故选：B . 二、多选题18．（2020·山东省德州市6月二模）抛物线24C x y =：的焦点为F ，P 为其上一动点，设直线l 与抛物线C相交于A ，B 两点，点()22,M ，下列结论正确的是（ ） A ．|PM | +|PF |的最小值为3B ．抛物线C 上的动点到点()0,3H 的距离最小值为3 C ．存在直线l ，使得A ，B 两点关于30x y +-=对称D ．若过A 、B 的抛物线的两条切线交准线于点T ，则A 、B 两点的纵坐标之和最小值为2 【答案】AD 【解析】A ．设l 是抛物线的准线，过P 作PN l '⊥于N ，则3PM PF PM PN +=+≥，当且仅当,,P M N 三点共线时等号成立．所以PM PF +最小值是3，A 正确；B ．设(,)P x y 是抛物线上任一点，即24x y =，2222(3)4(3)(1)8PH x y y y y =+-=+--+1y =时，min 822PH ==B 错误；C ．假设存在直线l ，使得A ，B 两点关于30x y +-=对称，设l 方程为0x y m -+=，由240x yx y m ⎧=⎨-+=⎩得2440x x m --=，所以16160m ∆=+>，1m >-，设1122(,),(,)A x y B x y ，则124x x +=，AB 中点为00(,)Q x y ，则12022x x x +==，002y x m m =+=+，Q 必在直线30x y +-=上， 所以2230m ++-=，1m =-，这与直线l 抛物线相交于两个点矛盾，故不存在，C 错误；D ．设1122(,),(,)A x y B x y ，由24x y =即214y x =，得12y x '=，则切线AT 方程为1111()2y y x x x -=-，即2111124y x x x =-，同理BT 方程是2221124y x x x =-，由21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得12121()214x x x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由题意T 在准线1y =-上，所以12114x x =-，124x x =-， 所以22221212121212111()[()2]()2444y y x x x x x x x x +=+=+-=++，所以120x x +=时，122y y +=为最小值．D 正确． 故选：AD ．19．（2020·山东省德州市6月二模）直线1y kx =-与圆C ：()()223336x y ++-=相交于A 、B 两点,则AB 长度可能为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．16【答案】BC 【解析】因为直线1y kx =-过定点()0,1-,故圆C 的圆心()3,3-到直线1y kx =-的距离的最大值为5=.又圆C 的半径为6,故弦长AB 的最小值为=.又当直线1y kx =-过圆心时弦长AB 取最大值为直径12,故AB ⎡⎤∈⎣⎦.故选：BC20．（2020·山东省滨州市三模）已知曲线22:22C x y x y +=+，则曲线C 的图形满足（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．所围成图形的面积为84π+【答案】ABCD 【解析】设(),x y 是曲线上任意一点，由于曲线方程为2222x y x y +=+，所以()()()(),,,,,,,x y x y x y x y ----都满足曲线方程，所以曲线C 的图形满足关于x 轴对称、关于y 轴对称、关于原点对称，故ABC 选项正确. 当0,0x y >>时，曲线方程为2222x y x y +=+，即()()22112x y -+-=，是圆心为()1,1的圆在第一象限的部分，如下图阴影部分所示. 阴影部分是由一个等腰直角三角形和一个半圆组合而成，其面积为21122222ππ⨯⨯+⨯⨯=+，根据对称性可知，曲线C 所围成图形的面积为()2484ππ+⨯=+.故D 选项正确. 故选：ABCD21．（2020·山东省威海市三模）已知抛物线()220y px p =>上三点()11,A x y ，()1,2B ，()22,C x y ，F 为抛物线的焦点，则（ ） A ．抛物线的准线方程为1x =-B ．0FA FB FC ++=，则FA ，FB ，FC 成等差数列 C ．若A ，F ，C 三点共线，则121y y =-D ．若6AC =，则AC 的中点到y 轴距离的最小值为2 【答案】ABD 【解析】把点(1,2)B 代入抛物线22y px =，得2p =，所以抛物线的准线方程为1x =-，故A 正确；因为1122(,),(1,2),(,),(1,0)A x y B C x y F ，所以11(1,)FA x y =-，(0,2)FB =，22(1,)FC x y =-，又由0FA FB FC ++=，得122x x +=，所以121142FA FC x x FB +=+++==，即FA ，FB ，FC 成等差数列，故B 正确； 因为A ，F ，C 三点共线，所以直线斜率AFCF k k =，即121211y y x x =--，所以122212111144y y y y =--，化简得，124y y =-，故C 不正确；设AC 的中点为00(,)M x y ，因为AF CF AC +≥，1201122AF CF x x x +=+++=+，所以0226x +≥，得02x ≥，即AC 的中点到y 轴距离的最小值为2，故D 正确. 故选：ABD22．（2020·山东省仿真联考1）已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()F ，点P 的坐标为（0，1），点Q 为双曲线C 左支上的动点，且PQF △的周长不小于14，则双曲线C 的离心率可能为( )A B ．C D ．3【答案】AC 【解析】设双曲线C 的左焦点为F ',则2QF QF a '-=,即2QF QF a '=+，故22QF PQ QF PQ a PF a ''+=++≥+.由题意可得5PF PF '===，所以2214PQ QF PF PF a +≥+≥+，所以2a ≥.则双曲线C 的离心率c e a ==≤因为1e >.所以双曲线C 的离心率的取值范围为(. 故选：AC23．（2020·山东省仿真联考3）设M ，N 是抛物线2y x =上的两个不同的点，O 是坐标原点．若直线OM 与ON 的斜率之积为12-，则（ ）．A ．||||OM ON +≥B ．以MN 为直径的圆的面积大于4πC ．直线MN 过定点(2,0)D ．点O 到直线MN 的距离不大于2【答案】CD 【解析】不妨设M 为第一象限内的点，①当直线MN x ⊥轴时，OM ON k k =-，由12OM ON k k ⋅=-，得OM k =2ON k =-，所以直线OM ，ON的方程分别为：y x =和y x =．与抛物线方程联立，得M，(2,N ，所以直线MN 的方程为2x =，此时||||OM ON += 以MN 为直径的圆的面积2S π=，故A 、B 不正确．②当直线MN 与x 轴不垂直时，设直线MN 的方程为y kx m =+， 与抛物线方程联立消去x ，得20ky y m -+=，则140km ∆=->．设()11,M x y ，()22,N x y ，则12m y y k=． 因为12OM ONk k ⋅=-，所以121212y y x x ⋅=-， 则222121122y y x x y y =-=-，则122y y =-，所以2mk=-，即2m k =-， 所以直线MN 的方程为2y kx k =-，即(2)y k x =-．综上可知，直线MN 为恒过定点(2,0)Q 的动直线，故C 正确； 易知当OQ MN ⊥时，原点O 到直线MN 的距离最大，最大距离为2， 即原点O 到直线MN 的距离不大于2．故D 正确． 故选：CD24．（2020·山东省泰安市模拟）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，点Q在圆()()22:344E x y ++-=上，且圆E 上的所有点均在椭圆C 外，若PQ PF -的最小值为6，且椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，则下列说法正确的是（ ） A ．椭圆C 的焦距为2B ．椭圆CC ．PQ PF +的最小值为D ．过点F 的圆E的切线斜率为43-± 【答案】AD 【解析】圆E 的圆心为()3,4E -，半径长为2，由于椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，则24a =，可得2a =，设椭圆的左焦点为点1F ，由椭圆的定义可得124PF PF a +==，14PF PF ∴=-，所以，()111144246256PQ PF PQ PF PF PQ PF PE EF -=--=+-≥+--≥-=， 当且仅当P 、Q 、E 、1F 四点共线，且当P 、Q 分别为线段1EF 与椭圆C 、圆E 的交点时，等号成立， 则()()()222134031625EF c c =-++-=-+=02c a <<=，解得1c =，所以，椭圆C 的焦距为22c =，A 选项正确；椭圆C 的短轴长为222223b a c =-=，B 选项错误；()()222231402422PQ PF PE PF EF +≥+-≥-=--+-=，当且仅当P 、Q 、E 、F 四点共线，且当P 、Q 分别为线段EF 与椭圆C 、圆E 的交点时，等号成立，C 选项错误；若所求切线的斜率不存在，则直线方程为1x =，圆心E 到该直线的距离为3142--=>，则直线1x =与圆E 相离，不合乎题意；若所求切线的斜率存在，可设切线的方程为()1y k x =-，即kx y k 0--=，223441211k k k k k ---+==++，整理得23830k k ++=，解得47k -±=.故选：AD.25．（2020·山东省潍坊市6月模拟）已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 且122F F =，点()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A ．1QF QP +的最小值为21a -B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆C的离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．若11PF FQ =，则椭圆C【答案】ACD 【解析】A. 因为122F F =，所以()221,0,1=F PF ，所以1222221+=-+≥-=-QF QP a QF QP a PF a ，当2,,Q F P ，三点共线时，取等号，故正确；B.若椭圆C 的短轴长为2，则1,2b a ==，所以椭圆方程为22121x y +=，11121+>，则点P 在椭圆外，故错误；C. 因为点()1,1P 在椭圆内部，所以111a b +<，又1a b -=，所以1b a =-，所以1111+<-a a ，即2310a a -+>，解得(214+>==a12+>，所以12=<e ，所以椭圆C的离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故正确；D. 若11PF FQ =，则1F 为线段PQ 的中点，所以()3,1Q --，所以911+=a b，又1a b -=，即21190-+=a a ，解得21122244+===a ，2=，所以椭圆C 的.三、填空题26．（2020·山东省潍坊市6月模拟）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与圆()2223F x y -+=：相切，且双曲线C 的一个焦点与圆F 的圆心重合，则双曲线C 的方程为______. 【答案】2213y x -=【解析】由题意，圆()2223F x y -+=：的圆心()2,0F 是双曲线C 的右焦点，2c ∴=.双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±.双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与圆()2223F x y -+=：相切，∴圆心()2,0F 到直线by x a=，223b a =∴=，又2224c a b =+=，221,3a b ∴==.∴双曲线C 的方程为2213y x -=.故答案为：2213y x -=.27．（2020届山东省青岛市三模）若方程2211x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为________． 【答案】1(0,)2【解析】由题可知，方程2211x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，可得10m m ->>，解得：102m <<， 所以实数m 的取值范围为：1(0,)2. 故答案为：1(0,)2.28．（2020·山东省威海市三模）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于P ，Q 两点，以P ，Q ，则双曲线的离心率为________． 【答案】32【解析】设(),0F c -，当x c =-，代人双曲线方程22221c ya b-=，解得：2b y a =±，设2,b Pc a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,b Q c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭根据对称性，可设与两圆相切的渐近线是by x a=，则,P Q 两点到渐近线的距离22bc b bc b cc---++=，c b >，上式去掉绝对值为22bc b bc b c c +-+=，即2b a =，那么32c a ==.∴双曲线的离心率32e =. 故答案为：3229．（2020·山东省泰安市模拟）已知点12F F ，分别为双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的左、右焦点，点A ，B 在C 的右支上，且点2F 恰好为1F AB 的外心，若11()0BF BA AF +⋅=，则C 的离心率为__________.【答案】31+ 【解析】取1AF 的中点为C ，连接BC 、2AF 、2BF ，如图所示：因为1111()02BF BA AF BC AF +⋅=⋅=，所以1BC AF ⊥， 又C 为1AF 的中点，所以1ABF 为等腰三角形且1BF BA =，因为点2F 恰好为1F AB 的外心，所以点2F 在直线BC 上，且22122AF BF F F c ===， 由双曲线的定义知12122AF AF BF BF a -=-=，则1122AF BF a c ==+， 所以1ABF 为等边三角形，则2332BC BF c ==， 在1CBF 中，22211CB CF BF +=即()()222922c a c a c ++=+，化简得223660a ac c +-=， 同时除以2a 可得22210e e --=，解得132e +=13-(舍去). 故答案为：31230．（2020·山东省青岛市二模）抛物线()220y px p =>过圆2248190x y x y +-++=的圆心，()3,A m 为抛物线上一点，则A 到抛物线焦点F 的距离为__________. 【答案】5 【解析】圆2248190x y x y +-++=的圆心为48,22-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即()2,4-，代入抛物线方程得()24224p p -=⨯⇒=，所以抛物线方程为28y x =，其准线方程为2x =-，()3,A m 则A 到抛物线焦点F 的距离等于A 到抛物线准线的距离，即距离为325+=. 故答案为：531．（2020·山东省临沂市、枣庄市临考演练）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，M 为虚轴的一端点，若以M 为圆心的圆与C 的一条渐近线相切于点N ，且M ，N ，F 三点共线，则该双曲线的离心率为________. 【答案】152+ 【解析】由题意可得(),0F c -，()0,A b -， 双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=， 可得22ab abMN ca b ==+，22MF c b =+， 在直角三角形MOF 中，可得：222abb c b c=+， 化为()22222b c acb =+，由222b c a =-，可得422430c a c a -+=， 由ce a=，可得42310e e -+=， 解得235e ±=1e >，所以2e =e =.32．（2020·山东省济宁市6月三模）设双曲线()222210x y C a b a b -=>0,>：的左、右焦点分别为1212,,2F F F F c =，过2F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A ，点Q 坐标为3,2a c ⎛⎫⎪⎝⎭且满足22F Q F A >，若在双曲线C 的右支上存在点P 使得11276PF PQ F F +<成立，则双曲线的离心率的取值范围是___________.【答案】32⎛ ⎝⎭【解析】将x c =代入双曲线的方程，得2by a =±=±，所以2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又22F Q F A >，得232a b a >，所以232b a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以2c e a ==<=；因为12222PF PQ a PF PQ a F Q +=++≥+，又在双曲线C 的右支上存在点P 使得11276PF PQ F F +<成立，所以有212726a F Q F F +<， 即372226a a c +<⨯，解得：32e >，又1e >，所以32e <<故答案为：3,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭33．（2020·山东省济南市6月模拟）已知1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，2AF 的中点P 恰好落在y 轴上，若20BP AF ⋅=，则椭圆C 的离心率的值为__________.【解析】由于2AF 的中点P 恰好落在y 轴上，又A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，所以AB 过左焦点1F 且12AB F F ⊥，则22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为P 是2AF 的中点，则20,2b P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又()2,0F c ，则2223,,2,2b b BP c AF c a a ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为20BP AF ⋅=，则4223202b c a -=，即2c =.又222b ac =-，则)222ac a c=-220e +=，解得：3e =或e =（舍去）.34．（2020·山东省德州市6月二模）已知双曲线C 过点()1,-且与双曲线221126x y -=有相同的渐近线，则双曲线C 的标准方程为______.【答案】221105x y -=【解析】由题意设所求双曲线方程为22126x y k -=，因为双曲线过点()1,-所以121126k -=，56k =，所以双曲线方程为2251266x y -=，即221105x y -=． 故答案为：221105x y -=．35．（2020·山东省仿真联考2）已知抛物线22(0)y px p =>与直线:4320l x y p --=在第一、四象限分别交于A ，B 两点，F 是抛物线的焦点，若||||AF FB λ=，则λ=________. 【答案】4 【解析】直线:l 当0y =时，2p x =， ∴直线l 过抛物线的焦点，,,A F B 三点共线，联立直线与抛物线方程，224320y pxx y p ⎧=⎨--=⎩ ， 得2281720x px p -+=， 解得：2A x p = ，8B p x =， 522A p AF x p ∴=+=，528B p BF x p =+=， 4AF FBλ==.故答案为：436．（2020·山东省仿真联考1）已知抛物线()2:20Cx py p =>的焦点为F ，斜率为1的直线l 过点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，点M 在抛物线C 上，且点M 在直线l 的下方，若MAB △面积的最大值是C 的方程是_______；此时，点M 的坐标为_______.【答案】24x y = ()2,1【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意可得直线l 的方程为2p y x =+， 联立222p y x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理得2220x px p--=，所以122x x p +=，212x x p =-，则12x x -==，故124AB x p =-=，设()00,M x y ，由题意可知当直线l 与过点M ，且与抛物线C 相切的直线平行时，MAB △的面积取最大值.因为212y x p =，所以1y x p '=，所以011k x p ==.所以0x p =，则,2p M p ⎛⎫⎪⎝⎭， 此时，点M 到直线l的距离2d ==，故1422p ⨯⨯=2p =， 故抛物线C 的方程为24x y =，此时点M 的坐标为()2,1. 故答案为：24x y =，()2,137．（2020·山东省济南市二模）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点，过点1F 向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点P ，直线2F P 与y 轴交于点Q （P ，Q 在x 轴同侧），连接1QF ，若1PQF △的内切圆圆心恰好落在以12F F 为直径的圆上，则12F PF ∠的大小为________；双曲线的离心率为________． 【答案】2π【解析】如图所示：不妨取渐近线by x a=，易知b a >，（否则不能与右支相交）. 则直线1F P 为：()ay x c b=-+，即0ax by ac ++=， 设内切圆圆心为1O ，根据对称性知1O 在y 轴上，1PQF △的内切圆圆心恰好落在以12F F 为直径的圆上，故1112O F O F ⊥，故()10,O c -，1O 到直线1PF的距离为：1d b a ==-，设直线2PF ：()y k x c =-，即0kx y kc --=1O 到直线2PF的距离为：21d d b a ===-，化简整理得到()2220abk a b k ab -++=，解得bk a=或a k b =， 当a k b =时，直线()a y x c b =-+与()ay x c b=-的交点横坐标为0，不满足题意，舍去. 故直线2PF ：()b y x c a =-，故12PF PF ⊥，122F PF π∠=，联立方程得到()()a y xc bb y xc a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得222,b a ab P c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入双曲线方程得到：()22222222241ba ab ac b c--=，化简整理得到：225c a =，故5e =. 故答案为：2π；5.38．（2020·山东省山东师范大学附中最后一卷）已知双曲线2218y x -=，F 1，F 2是双曲线的左右两个焦点，P 在双曲线上且在第一象限，圆M 是△F 1PF 2的内切圆.则M 的横坐标为_________，若F 1到圆M 上点的最大距离为3△F 1PF 2的面积为___________. 【答案】1 243 【解析】双曲线的方程为2218y x -=，则1,2,183a b c ===+=.设圆M 分别与1212,,PF PF F F 相切于,,B C A ，根据双曲线的定义可知122PF PF -=，根据内切圆的性质可知()121212122PF PF PB F B PC F C F B F C F A F A -=+-+=-=-=①，而12126F A F A F F +==②. 由①②得：124,2F A F A ==，所以1,0A , 所以直线MA 的方程为1x =，即M 的横坐标为1.设M 的坐标为()()1,0M r r >，则1F 到圆M上点的最大距离为1MF r +=r =，解得3r =. 设直线1PF 的方程为()()30y k x k =+>，即30kx y k -+=.M 到直线1PF=k =所以线1PF的方程为)3y x +.由)22318y x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩且P在第一象限，解得(P . 所以116PF ==，21214PF PF a =-=.所以△F 1PF 2的面积为()121212PF PF F Fr ⨯++⋅()1161462=⨯++=. 故答案为：1；四、解答题39．（2020·山东省潍坊市6月模拟）设抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，点A 是E 上一点，且线段AF 的中点坐标为()1,1.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若B ，C 为抛物线E 上的两个动点（异于点A ），且BA BC ⊥，求点C 的横坐标的取值范围. 【答案】（1）24x y =；（2）()[),610,-∞-+∞.【解析】（1）依题意得0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()00,A x y ，由AF 的中点坐标为()1,1，得0012212x p y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即02x =，022p y =-，所以4222p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得2440p p -+=，即2p =，所以抛物线E 的标准方程为24x y =；（2）由题意知()2,1A ，设211,4xB x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4xC x ⎛⎫⎪⎝⎭，则()2111114224BA x kx x -==+-，因为12x ≠-，所以142BCk x =-+，BC 所在直线方程为()2111442x y x x x --=-+，联立()211124424x y x x x x y ⎧--=-⎪+⎨⎪=⎩， 因为1x x ≠，得()()112160x x x +++=，即()21122160x x x x ++++=，因为()()2242160x x ∆=+-+≥，即24600x x --≥，故10x ≥或6x ≤-. 经检验，当6x =-时，不满足题意； 所以点C 的横坐标的取值范围是()[),610,-∞-+∞.40．（2020·山东省威海市三模）已知P是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，以点P 及椭圆的左、右焦点1F ，2F为顶点的三角形面积为 （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过2F 作斜率存在且互相垂直的直线1l ，2l ，M 是1l 与C 两交点的中点，N 是2l 与C 两交点的中点，求△2MNF 面积的最大值．【答案】（Ⅰ）22184x y +=；（Ⅱ）49． 【解析】 解：（Ⅰ）由点P在椭圆上可得22231a b+=， 整理得222223b a a b +=①．12122PF F Sc =⨯=2c =， 所以22224a b c b =+=+，代入①式整理得42120b b --=， 解得24b =，28a =．所以椭圆的标准方程为22184x y +=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()22,0F ，所以设直线1l ：2x my =+，联立直线与椭圆的方程222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222480m y my ++-=．所以直线1l 与椭圆两交点的中点M 的纵坐标122222M y y my m +==+， 同理直线2l 与椭圆两交点的中点N 的纵坐标22221212N m m y m m --==++，所以22212MNF M N S MF NF y ==△()24221252m m m m +=++()()22222121m m m m+=++， 将上式分子分母同除()21m m+可得，2222121MNF S m m m m =+++△，不妨设0m >，令21m t m+=，2t ≥，则2212MNF S t t =+△， 令()12f t t t =+，()2221't f t t-=，因为2t ≥，所以()'0f t >， 所以f t 在[)2,+∞单调递增，所以当2t =时，三角形△2MNF 面积取得最大值max 241942S ==+．41．（2020·山东省泰安市模拟）已知点()0,2M -，点P 在直线21216y x =+上运动，请点Q 满足12MQ MP =，记点Q 的为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设()()0,3,0,3D E -，过点D 的直线交曲线C 于A ，B 两个不同的点，求证：2AEB AED ∠=∠. 【答案】（1）28x y =；（2）证明见解析. 【解析】（1）设()()00,,,Q x y P x y ，由12MQ MP =可得()()001,2,22x y x y +=+， 所以0012222x x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩即00222x x y y =⎧⎨=+⎩，因为点P 在曲线21216y x =+上， 所以2001216y x =+即()21222216y x +=⋅+，整理得28x y =. 所以曲线C 的方程为28x y =；（2）证明：当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 与抛物线仅有一个交点，不符合题意； 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，()()1122,,,A x y B x y ，由238y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去x 得28240x kx --=，264960k ∆=+>， 可知128x x k +=，1224x x ⋅=-， 直线AE ，BE 的斜率之和为121212123366AE BE y y kx kx k k x x x x +++++=+=+ ()121212264848024kx x x x k kx x ++-+===-，故AE ，BE 的倾斜角互补，∴AED BED ∠=∠， ∴2AEB AED ∠=∠.42．（2020·山东省日照丶潍坊、临沂部分6月模拟）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左，右两个焦点为1F 、2F ，抛物线22:4(0)C y mx m =>与椭圆1C 有公共焦点()21,0F .且两曲线1C 、2C 在第一象限的交点P 的横坐标为23. （1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）直线:l y kx =与抛物线2C 的交点为Q 、O （O 为坐标原点），与椭圆1C 的交点为M 、N （N 在线段OQ 上），且MO NQ =.问满足条件的直线l 有几条，说明理由.【答案】（1）221:143x y C +=；22:4C y x =；（2）满足条件的直线l 有2条，理由见解析. 【解析】（1）由于椭圆1C 和抛物线2C 的公共焦点为()21,0F ，故椭圆1C 的焦点坐标为()1,0±. 所以1m =，所以抛物线2C 的方程24y x =，由点P 在抛物线上，所以226,3P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，又点P 又在椭圆1C 上，所以222222622621143333a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以2a =，又1c =，故3b =，从而椭圆1C 的方程为22143x y +=；（2）联立直线与椭圆方程得22143y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2223412x k x +=，解得2334M x k =-+2334N x k=+. 联立直线与抛物线得24y kx y x=⎧⎨=⎩，得224k x x =，解得0O x =，24Q x k =，由MO NQ =，故N 为线段OQ 的中点，即2O QN x x x +=，得24k=，化简得423430k k --=，解得223k +=（负值含去）， 故满足题意的k 值有2个，从而存在过原点O 的有两条直线l 满足题意.43．（2020·山东省青岛市二模）已知O 为坐标原点，椭圆()22:10x y C a b a b +=>>线2214x y -=的渐近线与椭圆C 的交点到原点的距离均为2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点,,D M N 为椭圆C 上的动点，,,M O N 三点共线，直线,DM DN 的斜率分别为12,k k . （i ）证明：1214k k =-； （ii ）若120k k +=，设直线DM 过点()0,m ，直线DN 过点()0,n ，证明：22m n +为定值.【答案】（1）2214x y +=（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析； 【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意知：c e a ====，2a b ∴=…①， 双曲线2214x y -=的渐近线方程为12y x =±， ∴可设双曲线的渐近线与椭圆C 在第一象限的交点为()2,P t t ，=，解得：212t =. ()2,P t t 在椭圆上，222241t t a b∴+=，即：222112a b +=…②，由①②解得：2a =，1b =，∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=.（2）由题意知：,M N 关于原点对称，则可设()11,D x y ，()22,M x y ，()22,N x y --.（i ）点,D M 在椭圆C 上，221114x y ∴+=，222214x y +=， 221114x y ∴=-，222214x y =-，22122212121212222212121212114414x x y y y y y y k k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭∴=⋅===--+--. （ii ）不妨设10k >，20k <，1214k k =-，120k k +=，112k ∴=，212k =-，直线DM 过点()0,m ，直线DN 过点()0,n ，∴直线1:2DM y x m =+，1:2DN y x n =-+， 由221214y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：22 2220x mx m ++-=，21222x x m ∴=-， 由221214y x n x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：222220x nx n -+-=，21222x x n ∴-=-， ()2212122240x x x x m n ∴+-=+-=，即222m n +=， 22m n ∴+为定值2.44．（2020届山东省青岛市三模）已知直线1l 过坐标原点O 且与圆224x y +=相交于点A ，B ，圆M 过点A ，B 且与直线20y +=相切． （1）求圆心M 的轨迹C 的方程；（2）若圆心在x 轴正半轴上面积等于2π的圆W 与曲线C 有且仅有1个公共点． （ⅰ）求出圆W 标准方程；。

2020年高考山东卷理数试题解析（精编版）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填 写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案卸载试卷上无效.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能 使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效.4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）【2020高考山东，理1】已知集合{}2430A x x x =-+<，{}24B x x =<<,则A B =I （ ）（A ）（1，3） （B ）（1，4） （C ）（2，3） （D ）（2，4） 【答案】C【解析】因为{}{}243013A x x x x x =-+<=<<， 所以{}{}{}132423A B x x x x x x =<<<<=<<I I .故选：C.【考点定位】1、一元二次不等式；2、集合的运算.【名师点睛】本题考查集合的概念与运算，利用解一元二次不等式的解法化简集合并求两集合的交集，本题属基础题，要求学生最基本的算运求解能力. （2）【2020高考山东，理2】若复数z 满足1zi i=-，其中i 为虚数为单位，则z =（ ）（A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+ 【答案】A【考点定位】复数的概念与运算.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性.（3）【2020高考山东，理3】要得到函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B【考点定位】三角函数的图象变换.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.（4）【2020高考山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=o,则BD CD ⋅=u u u r u u u r（ ）（A ）232a - （B ）234a - （C ） 234a （D ） 232a【答案】D【考点定位】平面向量的线性运算与数量积.【名师点睛】本题考查了平面向量的基础知识，重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌握，属基础题，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题. （5）【2020高考山东，理5】不等式152x x ---<的解集是（ ）（A ）（-，4） （B ）（-，1）（C ）（1，4） （D ）（1，5） 【答案】A【考点定位】含绝对值的不等式的解法.【名师点睛】本题考查了含绝对值的不等式的解法，重点考查学生利用绝对值的意义将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式（组）从而求解的能力，本题属中档题.（6）【2020高考山东，理6】已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a = （ ）（A ）3 （B ）2 （C ）-2 （D ）-3 【答案】B【解析】不等式组020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，若z ax y =+的最大值为4，则最优解可能为1,1x y == 或2,0x y == ，经检验，2,0x y ==是最优解，此时2a = ；1,1x y ==不是最优解.故选B. 【考点定位】简单的线性规划问题.【名师点睛】本题考查了简单的线性规划问题，通过确定参数a 的值，考查学生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵活性，意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力. （7）【2020高考山东，理7】在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//,222AD BC BC AD AB === .将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） （A ）23π （B ）43π （C ）53π（D ）2π 【答案】C【考点定位】1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.【名师点睛】本题考查了空间几何体的结构特征及空间几何体的体积的计算，重点考查了圆柱、圆锥的结构特征和体积的计算，体现了对学生空间想象能力以及基本运算能力的考查，此题属中档题.（8）【2020高考山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ） （附：若随机变量ξ服从正态分布()2,Nμσ ，则()68.26%P μσξμσ-<<+= ，()2295.44%P μσξμσ-<<+=。

2020年高考数学二轮复习微专题（文理通用）多题一解之点线距离篇【知识储备】在解析几何中，曲线上任意一点到直线距离的问题、圆的切线的长度问题、一些与圆锥曲线有关的三角形、四边形面积的最值问题以及直线与圆的位置关系问题最终都可以转化为点线距离问题。

因此把这些问题称为多题一解。

点线距离定义：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

(1)点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)间的距离为：|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2。

(2)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2。

(3)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离为d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2。

注：在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时，一定要注意将两方程中x ，y 的系数分别化为相同的形式。

【走进高考】【例】【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .【例】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形；（ii ）求PQG △面积的最大值. 【例】(2018全国卷Ⅲ)直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．[2,6]B ．[4,8]C ．D ．【例】 (2018天津)已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线1,3⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 ．【例】(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．4【例】（2017新课标Ⅲ）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为A ．3 B． CD ．2 【典例分析】利用点线距离公式建立方程求值【例】（2020·天津高二期末）已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为A．2x y =B．2x y =C ．28x y =D ．216x y =【例】（2020·甘肃省高考模拟）已知F 是椭圆22:196x y C +=的右焦点，直线0x +=与C 相交于,M N 两点，则MNF ∆的面积为（ ）AB．CD．【例】（2020·黑龙江省高考模拟）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作垂直x 轴的直线交椭圆E 于,A B 两点，点A 在x 轴上方.若||3AB =，2ABF ∆的内切圆的面积为916π，则直线2AF 的方程是（ ）A ．3230x y +-=B ．2320x y +-=C ．4340x y +-=D ．3430x y +-=抛物线上的点到直线距离的问题【例】（2020·福建省仙游县枫亭中学高三期末）抛物线22y x =上的点到直线43+10x y -=的距离最小值为（ ）A ．43B ．115 C ．13D ．3椭圆上的点到直线距离的问题【例】（2020·新疆维吾尔自治区高三期末）设点是椭圆上一动点，椭圆的长轴长为，离心率为. (1)求椭圆__D_Dd_____D3Dd33 曲线上的点到直线距离的问题【例】（2020·北省高考模拟）已知实数a ，b ，c ，d 满足ln 12113a cb d +-==+-，则22()()ac bd -+-的最小值为（ ）A ．8B ．4C ．2D 2线圆距离实为点线距离【例】（2020 ·辽宁省高考模拟）已知圆C 的方程为226290x y x y +-++=，点M 在直线10x y +-=上，则圆心C 到点M 的最小距离为（ ）A 52B 32C 2D ．12【例】（2020·安徽省高考模拟）直线l 是抛物线22x y =在点(2,2)-处的切线，点P 是圆2240x x y -+=上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值等于（）A ．0B 65C 652 D ．65两条平行线之间的距离实为点线距离【例】过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 间的距离为( )A ．4B ．2C ．85D ．125圆切线的最值问题实为点线距离【例】已知圆22:1O x y +=，直线:l 250x y -+=上动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【例】若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．3D ．6直线与圆位置关系问题实为点线距离【例】已知圆22:40C x y x +-=与直线l 切于点(P ，则直线l 的方程为（ ）A ．20x +=B ．40x +=C ．40x -=D ．20x -=与圆有关的三角形面积最值问题实为点线距离【例】已知圆C 的方程为2220x x y -+=，直线:220l kx y k -+-=与圆C 交于A ，B 两点，则当ABC ∆面积最大时，直线l 的斜率k =（ ）A ．1B ．6C ．1或7D ．2或6【例】（2020·赣州市赣县第三中学高三模拟）已知抛物线()220x py p =>的准线方程为1y =-，ABC ∆的顶点A 在抛物线上，B 、C 两点在直线25y x =-上，若BC =，则ABC ∆面积的最小值为（ ）A ．10B ．8C ．1D ．2与圆有关的四边形面积最值问题实为点线距离【例】若直线:l y x m =+上存在满足以下条件的点P :过点P 作圆22:1O x y +=的两条切线(切点分别为,A B ),四边形PAOB 的面积等于3，则实数m 的取值范围是_______【例】已知圆C 过点()1,1A ，()3,1B -，圆心C 在直线250x y --=上，P 是直线34100x y -+=上任意一点．（1）求圆C 的方程；（2）过点P 向圆C 引两条切线，切点分别为M ，N ，求四边形PMCN 的面积的最小值． 与椭圆有关的三角形面积最值问题实为点线距离【例】在直角坐标系中，椭圆C ：22y a+22x b =1经过A ，0），B （0，2）两点．（1）求椭圆C 的方程；（2点P 为椭圆上任一点，求△ABP 面积的最大值，并求出△ABP 面积最大值时点P 的坐标．【跟踪练习】1、已知点P 为圆22:24+10C x y x y +--=上动点，点P 到某直线l 的最大距离为6,若在直线l 上任取一点A 作圆C 的切线AB ,切点为B ,则||AB 的最小值为（ ）A ．3B ．23C ．43D ．632．已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b ab-=>>的离心率为2．若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为A ．2833x y = B ．2163x y = C ．28x y = D ．216x y =3．（2020·南昌市新建一中高二期末）已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2020·上海市南洋模范中学高二期末）在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ）A ．45πB ．34πC ．(625)π-D ．54π5．（2020·宁夏回族自治区高考模拟）已知圆M ：22(2)1x y -+=经过椭圆C ：2213x y m +=的一个焦点，圆M 与椭圆C 的公共点为A ，B ，点P 为圆M 上一动点，则P 到直线AB 的距离的最大值为( )A ．2105-B ．2104-C ．41011-D ．41010-6．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线210()mx y m m ---=∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______．7．（2020·江苏省高三专题练习）在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点．若点到直线的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为8．（2018·上海高考真题）已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，11221122x y x y +-+-的最大值为______．9．（2020·天津市新华中学高考模拟）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为13,2x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C e的极坐标方程为ρθ=.P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，则P 的直角坐标为__________________.10．（2020·江苏省高考模拟）若直线1:240l x y -+=与2:430l mx y -+=平行，则两平行直线1l ，2l 间的距离为______.11．（2020·北京清华附中高考模拟）在ABC △中，D 为BC的中点，AC =AD =1CD =，点P 与点B 在直线AC的异侧，且PB BC =，则平面四边形ADCP 的面积的最大值为_____．12．（2020·山西省高考模拟）已知直线():cos sin 1l x y R ααα+=∈与圆()222:0C x y r r +=>相交，则r 的取值范围是_______．13．（2020·江西省高考模拟）记命题p 为“点(),M x y 满足222(0)x y a a +≤>”，记命题q 为“(),M x y 满足2444340x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-+≥⎩”,若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的最大值为______． 14．（2020·内蒙古自治区高考模拟）已知直线3y x 34=--与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，动点P 在圆22x y 2x 2y 10+--+=上，则ABP V 面积的最大值为______．15．（2020·山东省高考模拟）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数，>0a ），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C上的一个动眯，当a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值； （2）若曲线C 上所有的点都在直线l 的右下方，求实数a 的取值范围.16．已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b )向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，|PQ |＝|P A |成立，如图.(1)求a ，b 间的关系；(2)求|PQ |的最小值．17．已知圆C 过点()1,0A -和点(3,2)B -,且圆心C 在直线260x y -+=上． （1）求圆C 的方程；（2）动点P 在直线220x y --=上，从P 点引圆C 的两条切线，切点分别为M 、N ，求四边形PMCN 面积的最小值．。

第08练-平面解析几何一、单选题1．已知点F 为椭圆2221(1)x y a a+=>的一个焦点，过点F 作圆221x y +=的两条切线，若这两条切线互相垂直，则a =（ ）A ．2B ．1C D2．已知圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣2）2＝4（a ＞0）及直线l ：x ﹣y+3＝0，当直线l 被圆C 截得的弦长为时，a 的值等于（ ）A B ．2-C 1 D 13．已知两点()1,0A -，()10B ,以及圆C ：222(3)(4)(0)x y r r -+-=>，若圆C 上存在点P ，满足0AP PB ⋅=u u u v u u u v ，则r 的取值范围是（ ）A ．[]3,6B ．[]3,5C ．[]4,5D ．[]4,6 4．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为35，直线2100x y ++=过椭圆的左顶点，则椭圆方程为（ ）A ．22154x y += B ．221259x y += C ．221169x y += D ．2212516x y +=5．已知双曲线的标准方程为2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0），若渐近线方程为y ＝，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2CD ．46．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，点P 为抛物线上的任意一点，(1,2)M 为平面上点，则PM PF +的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．4D ．7．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）A ．3y x =± B ．y =C ．2y x =±D ．y =8．已知双曲线221169x y C -=：的右焦点为F ，过原点O 的直线与双曲线C 交于,A B 两点，且60AFB ∠=︒，则BOF V 的面积为( )A ．2B ．2C ．32D ．929．已知椭圆2221(02)4x y b b+=<<的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若22BF AF +的最大值为5，则b 的值为（）A ．1BCD ．310．过双曲线2213y x -=的右支上一点P 分别向圆1C ：22(2)4x y ++=和圆2C ：22(2)1x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22||||PM PN -的最小值为（ ） A ．5B ．4C ．3D ．2二、多选题11．已知点A 是直线:0l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（ ）A ．(B ．()1C ．)D ．)1,1 12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy 中,()()2,0,4,0,A B -点12PA P PB =满足.设点P 的轨迹为C ,下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为()2249x y ++=B ．在x 轴上存在异于,A B 的两定点,D E ,使得12PD PE = C ．当,,A B P 三点不共线时,射线PO 是APB ∠的平分线D ．在C 上存在点M ,使得2||MO MA =三、填空题13．直线与圆交于两点，则________． 14．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F (4，0)，过F 作直线l 交抛物线于M ，N 两点，则p =_______，49NFMF-的最小值为______．四、解答题15．已知抛物线21:2(0)C y px p =>与椭圆222:143x y C +=有一个相同的焦点，过点(2,0)A 且与x 轴不垂直的直线l 与抛物线1C 交于P ，Q 两点，P 关于x 轴的对称点为M .（1）求抛物线1C 的方程；（2）试问直线MQ 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.16．如图，已知椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>经过点()2,0A ，离心率3e =（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）设点B为椭圆与y轴正半轴的交点，点C为线段AB的中点，点P是椭圆Γ上的动点（异于椭圆顶⋅是否为定值？若是，求出定值；若不点）且直线PA，PB分别交直线OC于M，N两点，问OM ON是，请说明理由.第08练-平面解析几何一、单选题1．已知点F 为椭圆2221(1)x y a a+=>的一个焦点，过点F 作圆221x y +=的两条切线，若这两条切线互相垂直，则a =（ ）A ．2B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】根据切线垂直，推导出F 点至坐标原点的距离，即可求得交点坐标和a .【详解】由题可设(),0F c ，根据题意，作图如下：因为过F 点的两条切线垂直，故可得45OFH ∠=︒，则1OH HF ==，故可得2OF =，即点F 坐标为)2,0. 则2,1c b ==，故2223a b c =+=，解得3a =故选：D.【点睛】 本题考查椭圆方程的求解，涉及直线与圆相切时的几何性质，属基础题.2．已知圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣2）2＝4（a ＞0）及直线l ：x ﹣y+3＝0，当直线l 被圆C 截得的弦长为3时，a 的值等于（ ）A B ．2-C 1 D 1【答案】C【解析】【分析】由题意，结合垂径定理算出圆心到直线l ：x ﹣y+3＝0的距离d ＝1，利用点到直线的距离公式建立关于a 的方程，求解即可．【详解】∵圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣2）2＝4的圆心为C （a ，2），半径r ＝2∴圆心到直线l ：x ﹣y+3＝0的距离d=l 被圆C 截得的弦长为∴2d +2＝22，解得d ＝1，因此，d=1，得1a =-或1a =（舍） 故选C ．【点睛】本题考查了圆的方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置等知识，属于基础题．3．已知两点()1,0A -，()10B ,以及圆C ：222(3)(4)(0)x y r r -+-=>，若圆C 上存在点P ，满足0AP PB ⋅=u u u v u u u v ，则r 的取值范围是（ ）A ．[]3,6B ．[]3,5C ．[]4,5D ．[]4,6 【答案】D【解析】【分析】由题意可知：以AB 为直径的圆与圆()()22234(0)x y r r -+-=>有公共点，从而得出两圆圆心距与半径的关系，列出不等式得出r 的范围．【详解】 Q 0AP PB ⋅=u u u v u u u v，∴点P 在以()1,0A -，()1,0B 两点为直径的圆上，该圆方程为：221x y +=，又点P 在圆C 上，∴两圆有公共点．两圆的圆心距5d ==∴151r r -≤≤+解得：46r ≤≤故选D【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，还考查了向量垂直的数量积表示，属于中档题．4．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为35，直线2100x y ++=过椭圆的左顶点，则椭圆方程为（ ）A ．22154x y +=B ．221259x y += C ．221169x y += D ．2212516x y += 【答案】D【解析】【分析】直线2100x y ++=过椭圆的左顶点,则椭圆的左顶点为(5,0)-,所以椭圆中5a =，由离心率为35，则3c =，可求出椭圆的b ，从而可得椭圆的方程.【详解】直线2100x y ++=与x 轴的交点为(5,0)-,直线2100x y ++=过椭圆的左顶点，即椭圆的左顶点为(5,0)-.所以椭圆中5a =，由椭圆的离心率为35，则3c =. 则4b =，所以椭圆的方程为：2212516x y +=. 故答案为：D【点睛】本题考椭圆的简单几何性质，根据离心率求,,a b c ，属于基础题.5．已知双曲线的标准方程为2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0），若渐近线方程为y ＝，则双曲线的离心率为（ ）A B ．2 C D ．4【答案】B【解析】【分析】由双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程是y =，可得b a=c e a == 【详解】Q 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程是y =，∴b a=∴双曲线的离心率2c e a ===． 故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，确定b a= 6．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，点P 为抛物线上的任意一点，(1,2)M 为平面上点，则PM PF +的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．4D ．【答案】A【解析】【分析】作PN 垂直准线于点N ，根据抛物线的定义，得到+=+PM PF PM PN ，当,,P M N 三点共线时，PM PF +的值最小，进而可得出结果.【详解】如图，作PN 垂直准线于点N ，由题意可得+=+≥PM PF PM PN MN ，显然，当,,P M N 三点共线时，PM PF +的值最小；因为(1,2)M ，(0,1)F ，准线1y =-，所以当,,P M N 三点共线时，(1,1)-N ，所以3MN =.故选A【点睛】本题主要考查抛物线上任一点到两定点距离的和的最值问题，熟记抛物线的定义与性质即可，属于常考题型.7．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）A ．3y x =B ．3y x =C ．2y x =D ．2y x = 【答案】A【解析】【分析】由题意可得222222a b a b -=+，即223a b =，代入双曲线的渐近线方程可得答案.【详解】依题意椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>与双曲线22221(a 0,b 0)2x y a b -=>>即22221(a 0,b 022)x y a b -=>>的焦点相同，可得：22221122a b a b -=+， 即223a b =，∴3b a =3=双曲线的渐近线方程为：3x y x =±=, 故选：A ．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8．已知双曲线221169x y C -=：的右焦点为F ，过原点O 的直线与双曲线C 交于,A B 两点，且60AFB ∠=︒，则BOF V 的面积为( )A．2 B．2 C ．32 D ．92【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图像，设双曲线的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，即可得四边形1AFBF 为平行四边形，从而求出1F BF ∠，利用余弦定理和双曲线的定义联立方程可求出1|BF ||BF|的值，利用面积公式可求出1F BF V 的面积，根据1F BF V 和BOF V 的关系即可得到答案.【详解】如图，设双曲线的左焦点为1F ，连接11,AF BF ， 依题可知四边形1AFBF 的对角线互相平分，则四边形1AFBF 为平行四边形，由60AFB ∠=︒可得1120F BF ∠=︒， 依题可知12||2216910F F c ==+=， 由余弦定理可得：2221111|BF |+|BF|-2|BF ||BF|cos |||F BF F F ∠= 即2211|BF |+|BF|+|BF ||BF|100=；又因为点B 在椭圆上，则1||BF |-|BF||28a ==，所以2211|BF |+|BF|-2|BF ||BF|64=.两式相减得13|BF ||BF|36=，即1|BF ||BF|12=， 所以1F BF V 的面积为：111113||||sin 123322F BF S BF BF F BF =∠=⨯=V 因为O 为1F F 的中点，所以11332OBF F BF S S ==V V 故选：A 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，涉及到了双曲线的定义，余弦定理和面积公式，考查学生转化和化归的能力，属中档题.9．已知椭圆2221(02)4x y b b+=<<的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若22BF AF +的最大值为5，则b 的值为（）A ．1B C D ．3【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知椭圆是焦点在x 轴上的椭圆，利用椭圆定义得到228||BF AF AB +=-，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB 垂直于x 轴时||AB 最小，把||AB 的最小值2b 代入228||BF AF AB +=-，由22BF AF +的最大值等于5可求b 的值． 【详解】由02b <<可知，焦点在x 轴上，∴2a =，∵过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，∴22112248BF AF BF AF a a a +++=+== ∴228||BF AF AB +=-．当AB 垂直x 轴时||AB 最小，22BF AF +值最大，此时222||b AB b a==，∴258b =-，解得b =C ．【点睛】本题主要考查椭圆的定义，解题的关键是得出22114BF AF BF AF a +++=，属于一般题．10．过双曲线2213y x -=的右支上一点P 分别向圆1C ：22(2)4x y ++=和圆2C ：22(2)1x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22||||PM PN -的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】A 【解析】 【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线2213y x -=的左右焦点为1(2,0)F -，2(2,0)F ，连接1PF ，2PF ，1F M ，2F N ，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值． 【详解】圆221:(2)4C x y ++=的圆心为(2,0)-，半径为12r =； 圆222:(2)1C x y -+=的圆心为(2,0)，半径为21r =，设双曲线2213y x -=的左右焦点为1(2,0)F -，2(2,0)F ，连接1PF ，2PF ，1F M ，2F N ，可得2222221122||||(||)(||)PM PN PF r PF r -=--- 2212(||4)(||1)PF PF =---22121212||||3(||||)(||||)3PF PF PF PF PF PF =--=-+-12122(||||32(||||)32232435a PF PF PF PF c =+-=+--=-=g g ）…．当且仅当P 为右顶点时，取得等号， 即最小值5． 故选A ．【点睛】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算 能力，属于中档题．二、多选题11．已知点A 是直线:20l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（ ）A ．()0,2B ．()1,21- C ．()2,0 D ．()21,1-【答案】AC 【解析】 【分析】设点A 的坐标为(),2t t -，可得知当AP 、AQ 均为圆221x y +=的切线时，PAQ ∠取得最大值90o ，可得出四边形APOQ 为正方形，可得出2OA =，进而可求出点A 的坐标. 【详解】 如下图所示：原点到直线l 的距离为222111d ==+，则直线l 与圆221x y +=相切，由图可知，当AP 、AQ 均为圆221x y +=的切线时，PAQ ∠取得最大值，连接OP 、OQ ，由于PAQ ∠的最大值为90o ，且90APO AQO ∠=∠=o，1OP OQ ==，则四边形APOQ 为正方形，所以22OA ==由两点间的距离公式得()2222OA t t=+-=整理得22220t t -=，解得0t =2，因此，点A 的坐标为(2或)2,0.故选：AC. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合问题，考查利用角的最值来求点的坐标，解题时要找出直线与圆相切这一临界位置来进行分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题.12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy 中,()()2,0,4,0,A B -点12PA P PB=满足.设点P 的轨迹为C ,下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为()2249x y ++=B ．在x 轴上存在异于,A B 的两定点,D E ,使得12PD PE=C ．当,,A B P 三点不共线时,射线PO 是APB ∠的平分线D ．在C 上存在点M ,使得2||MO MA = 【答案】BC 【解析】 【分析】通过设出点P 坐标，利用12PA PB=即可得到轨迹方程，找出两点,D E 即可判断B 的正误，设出M 点坐标，利用2||MO MA =与圆的方程表达式解出就存在，解不出就不存在. 【详解】设点(),P x y ，则12PA PB=，化简整理得2280x y x ++=，即()22416x y ++=，故A错误；当()()1,0,2,0,D B -时，12PDPE =，故B 正确；对于C 选项，222cos =2AP PO AO APO AP PO+-∠⋅，222cos =2BP PO BO BPO BP PO+-∠⋅,要证PO 为角平分线，只需证明cos =cos APO BPO ∠∠，即证22222222AP PO AO BP PO BO AP PO BP PO +-+-=⋅⋅，化简整理即证2228PO AP =-，设(),P x y ，则222PO x y =+， ()()222222222282828AP x x y x x y x y x y -=++=++++=+，则证cos =cos APO BPO ∠∠，故C 正确；对于D 选项，设()00,M x y ,由2||MO MA =可得()22220000=2x y x y +++，整理得220003316+160x y x ++=，而点M 在圆上，故满足2280x y x ++=，联立解得0=2x ，0y 无实数解，于是D 错误.故答案为BC. 【点睛】本题主要考查阿氏圆的相关应用，轨迹方程的求解，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.三、填空题 13．直线与圆交于两点，则________．【答案】【解析】 【分析】首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长. 【详解】根据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是，根据点到直线的距离公式可以求得，结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为.【点睛】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.14．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F(4，0)，过F 作直线l 交抛物线于M ，N 两点，则p=_______，49NF MF-的最小值为______．【答案】8p = 13【解析】 【分析】利用抛物线的定义可得8p =，设直线l 的方程为4x my =+，联立直线与抛物线方程消元，根据韦达定理和抛物线的的定义可得1114MF NF +=，代入到49NF MF-，再根据基本不等式求最值． 【详解】解：∵ 抛物线()220y px p =>的焦点为F(4，0)，∴ 8p =，∴ 抛物线的方程为216y x =，设直线l 的方程为4x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，由2164y x x my ⎧=⎨=+⎩得216640y my --=， ∴1216y y m +=，1264y y =-， 由抛物线的定义得11MF NF +121144x x =+++()()21124444x x x x +++=++()()211244888my my my my ++++=++()()122121216864m y y m y y m y y ++=+++22216166412864m m m +=-++()()22161641m m +=+14=， ∴49NFMF -11494NF NF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭419NF NF =+-4?19NF NF ≥13=，当且仅当49NF NF=即6NF =时，等号成立， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线定义的应用，属于中档题．四、解答题15．已知抛物线21:2(0)C y px p =>与椭圆222:143x y C +=有一个相同的焦点，过点(2,0)A 且与x 轴不垂直的直线l 与抛物线1C 交于P ，Q 两点，P 关于x 轴的对称点为M . （1）求抛物线1C 的方程；（2）试问直线MQ 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】（1）24y x =；（2）(2,0)-【解析】 【分析】（1）求出椭圆的焦点，容易求得抛物线的方程.（2）解法一：设直线PQ 的方程为()2y k x =-与抛物线联立，得到,P Q 横坐标关系，设直线MQ 的方程为y mx n =+与抛物线联立，得到,M Q 横坐标关系,从而得到,m n 的关系，找出定点.解法二：直线PQ 的方程为2x ty =+，与抛物线联立，得到,P Q 纵坐标关系，设直线MQ 的方程为x my n =+，与抛物线联立，得到,M Q 纵坐标关系，从而可以解出n ，得到定点.【详解】（1）由题意可知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为()1,0，所以2p =，所以抛物线的方程为24y x =；（2）【解法一】因为点P 与点M 关于x 轴对称 所以设()11,P x y ，()22,Q x y ，()11,M x y -，设直线PQ 的方程为()2y k x =-，代入24y x =得：()22224140k x k x k -++=，所以124x x =，设直线MQ 的方程为y mx n =+，代入24y x =得：()222240m x mn x n +-+=，所以21224n x x m==，因为10x >，20x >，所以2nm=，即2n m =， 所以直线MQ 的方程为()2y m x =+，必过定点()2,0-. 【解法二】设()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,M x y ， 因为点P 与点M 关于x 轴对称，所以31y y =-， 设直线PQ 的方程为2x ty =+，代入24y x =得：2480y ty --=，所以128y y =-，设直线MQ 的方程为x my n =+，代入24y x =得：2440y my n --=，所以234y y n =-，因为31y y =-，所以()211248y y y y n -=-=-=，即2n =-， 所以直线MQ 的方程为2x my =-，必过定点()2,0-. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的关系，直线过定点问题，比较综合，对计算能力要求较高，属于难题.16．如图，已知椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>经过点()2,0A ，离心率32e =.（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）设点B 为椭圆与y 轴正半轴的交点，点C 为线段AB 的中点，点P 是椭圆Γ上的动点（异于椭圆顶点）且直线PA ，PB 分别交直线OC 于M ，N 两点，问OM ON ⋅是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）是定值，52【解析】 【分析】（Ⅰ）根据已知条件列方程组2222a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，求解椭圆方程； （Ⅱ）由（Ⅰ）求得点C 的坐标，并求直线OC 的方程20x y -=，设()00,P x y ，()112,M y y ，()222,N y y ，根据三点共线求1y 和2y，并表示2125OM ON y y ==.【详解】（Ⅰ）由题意可知：22222a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆Γ的方程：2214x y +=；（Ⅱ）由已知，点C 的坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，得直线OC 的方程为20x y -=， 设()00,P x y ，()112,M y y ，()222,N y y ， 因P ，A ，M 三点共线，故0110222y y y x =--，整理得0100222y y x y -=--，因P ，B ，N 三点共线，故0220112y y y x --=，整理得020022x y x y =-+， 因点P 在椭圆Γ上，故220044x y +=，21 / 21从而()000012200000022222224y x x y y y x y x y x y --=⋅=---+--00220000214442x y x y x y -==+--，所以1212552OM ON y y ===为定值. 【点睛】本题考查椭圆方程以及椭圆直线与椭圆位置关系的综合问题，本题所涉及直线比较多，分析问题时抓住关键求点,M N 的纵坐标并用点P 的纵坐标表示，并将OM ON2125y y y y =，这样问题迎刃而解.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（山东卷，解析版）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。

2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

咎在试题卷、草稿纸上无效。

3填空题和解答题用0 5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.【解析】因为22(2)34255i i iz i ---===+,故复数z 对应点在第四象限,选D. 3.若点（a,9）在函数3xy =的图象上，则tan=6a π的值为 （A ）33 【答案】D【解析】由题意知:9=3a,解得a =2,所以2tantan tan 3663a πππ===故选D.5. 对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要 【答案】B【解析】由奇函数定义,容易得选项B 正确. 6.若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= （A ）3 （B ）2 （C ）32 （D ）23【答案】C【解析】由题意知,函数在3x π=处取得最大值1,所以1=sin3ωπ,故选C. 7. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 (A)63.6万元 (B)65.5万元 (C)67.7万元 (D)72.0万元 【答案】B【解析】由表可计算4235742x +++==,49263954424y +++==,因为点7(,42)2在回归直线ˆˆˆybx a =+上,且ˆb 为9.4，所以7ˆ429.42a =⨯+, 解得$9.1a =,故回归方程为ˆ9.49.1y x =+, 令x=6得ˆy=65.5,选B. 8.已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为(A)22154x y -= (B) 22145x y -= (C) 22136x y -= (D) 22163x y -= 【答案】A【解析】由圆C:22650x y x +-+=得:22(3)4x y -+=,因为双曲线的右焦点为圆C 的圆心(3,0),所以c=3,又双曲线的两条渐近线0bx ay ±=均和圆C 相切,所以222a b =+,即32bc=,又因为c=3,所以b=2,即25a =,所以该双曲线的方程为22154x y -=,故选A. 9. 函数2sin 2xy x =-的图象大致是【答案】C 【解析】因为'12cos 2y x =-,所以令'12cos 02y x =->,得1cos 4x <,此时原函数是增函数;令'12cos 02y x =-<,得1cos 4x >,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C 正确.10. 已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 【答案】A【解析】因为当02x ≤<时, 3()f x x x =-,又因为()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且(0)0f =,所以(6)(4)(2)(0)0f f f f ====,又因为(1)0f =,所以(3)0f =,(5)0f =,故函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为6个,选A.11.下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是(A)3 (B)2 (C)1 (D)0 【答案】A【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱；容易判断②③可以.12.设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=u u u u v u u u u v (λ∈R)，1412A A A A μ=u u u u v u u u u v(μ∈R)，且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知点C(c ，o),D(d ，O )(c ，d ∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是(A)C 可能是线段AB 的中点(B)D 可能是线段AB 的中点(C)C ，D 可能同时在线段AB 上(D) C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D【解析】由1312A A A A λ=u u u u v u u u u v (λ∈R)，1412A A A A μ=u u u u v u u u u v(μ∈R)知:四点1A ，2A ，3A ，4A 在同一条直线上,因为C,D 调和分割点A,B,所以A,B,C,D 四点在同一直线上,且112c d+=, 故选D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13.执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y 的值是 . 【答案】68【解析】由输入l=2，m=3，n=5，计算得出y=278,第一次得新的y=173;第二次得新的y=68<105,输出y. 14. 若62()a x x -展开式的常数项为60，则常数a 的值为 .【答案】4【解析】因为616()rrr r a T C x -+=⋅⋅-,所以r=2, 常数项为26a C ⨯=60,解得4a =. 15. 设函数()(0)2xf x x x =>+,观察: 1()(),2x f x f x x ==+ 21()(()),34xf x f f x x ==+32()(()),78xf x f f x x ==+43()(()),1516xf x f f x x ==+L L 根据以上事实，由归纳推理可得：当n N +∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== .【答案】22(1)xn x n -+【解析】观察知:四个等式等号右边的分母为2,34,78,1516x x x x ++++,即(21)2,(41)4,(81)8,(161)16x x x x -+-+-+-+,所以归纳出分母为1()(())n n f x f f x -=的分母为22(1)n x n -+,故当n N +∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -==22(1)xn x n -+.16.已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .【答案】5【解析】方程log (0a 1)a x x b a +-≠＞，且=0的根为0x ,即函数log (23)a y x a =<<的图象与函数(34)y x b b =-<<的交点横坐标为0x ,且*0(,1),x n n n N ∈+∈,结合图象,因为当(23)x a a =<<时,1y =,此时对应直线上1y =的点的横坐标1(4,5)x b =+∈;当2y =时, 对数函数log (23)a y x a =<<的图象上点的横坐标(4,9)x ∈,直线(34)y x b b =-<<的图象上点的横坐标(5,6)x ∈,故所求的5n =.三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17.（本小题满分12分）在V ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cosC 2c-a=cos B b. （I ） 求sin sin CA的值； （II ）若cosB=14，2b =,求ABC ∆的面积.【解析】（Ⅰ）由正弦定理得2sin ,a R A =2sin ,b R B =2sin ,c R C =所以cos A-2cosC 2c-a =cos B b=2sin sin sin C AB -,即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A BC C B A B -=-,即有sin()2sin()A B B C +=+,即sin 2sin C A =,所以sin sin CA=2.（Ⅱ）由（Ⅰ）知: sin sin c Ca A==2,即c=2a,又因为2b =,所以由余弦定理得： 2222cos b c a ac B =+-，即222124224a a a a =+-⨯⨯,解得1a =,所以c=2,又因为cosB=14，所以sinB=154，故ABC ∆的面积为11sin 1222ac B =⨯⨯⨯154=154.18.（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。

专题08平面解析几何一、单选题1．已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-，点()6,4-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．4B ．3C ．2D 2．已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．3．双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -= 4．已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（ ）A ．221164x y +=（0y >） B ．221168x y +=（0y >） C ．221164y x +=（0y >） D ．221168y x +=（0y >） 5．圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（ ）A B ．2 C ．3 D ．二、多选题6．设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（ ）A ．2a =- B．点在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+ 7．抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ）A ．l 与A e 相切B ．当P ，A ，B三点共线时，||PQ =C ．当||2PB =时，PA AB ⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个三、填空题8．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为．9．圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．10．若函数()21f x ax =-+恰有一个零点，则a 的取值范围为．11．抛物线216y x =的焦点坐标为．12．若直线()3y k x =-与双曲线2214x y -=只有一个公共点，则k 的一个取值为 ．四、解答题13．已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点. (1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP V 的面积为9，求l 的方程．14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴． (1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．15．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △． (1)求椭圆方程． (2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤u u r u u u r ．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．16．已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =：过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .(1)若12k =，求22,x y ； (2)证明：数列{}n n x y -是公比为11k k +-的等比数列； (3)设n S 为12n n n P P P ++V 的面积，证明：对任意正整数n ，1n n S S +=.17．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．。

2020年普通高等学校招生全国统一考试新高考全国一卷（山东卷）数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{|13}A x x =≤≤，{|24}B x x =<<，则A B =A ．{|23}x x <≤B ．{|23}x x ≤≤C ．{|14}x x ≤<D ．{|14}x x <<答案：C解析：利用并集的定义可得{|14}AB x x =≤<，故选C.2．2i 12i -=+ A ．1 B ．−1C ．iD ．−i答案：D 解析：222i (2i)(12i)(22)(41)i i 12i 125----+--===-++，故选D3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种答案：C解析：不同的安排方法有123653C C C 60⋅⋅=4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°答案：B解析：因为晷面与赤道所在平面平行，晷针垂直晷面，所以晷针垂直赤道所在平面，如图所示，设AB 表示晷针所在直线，且AB OB ⊥，AC 为AB 在点A 处的水平面上的射影，则晷针与点A 处的水平面所成角为BAC ∠，因为OA AC ⊥，AB OB ⊥，所以BAC AOB ∠=∠，由已知40AOB ∠=︒，所以40BAC ∠=︒，故选BCBO赤道A5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%答案：C解析：既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例=60%+82%－96%=46%，故选C6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天答案：B 解析：设从1t 到2t 累计感染数增加1倍，即21()2()I t I t =，因为(e )rt I t =，所以21e 2ert rt =，所以21()e 2r t t -=，所以21()ln 2r t t -=.因为R 0 =1+rT ，所以01R r T-=，所以210ln 2ln 260.69 1.81 2.28T t t r R ⨯-==≈≈- 7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是A ．()2,6-B ．()6,2-C ．()2,4-D ．()4,6-答案：A解析：如图，过P 作PG AB ⊥，G 为垂足，则()||||cos ,AP AB AG GP AB AG AB AG AB AG AB ⋅=+⋅=⋅=⋅〈〉，当G 点落在AB 的反向延长线上时，cos ,1AG AB 〈〉=-，这时0||||cos 60AG AF <<︒，即0||1AG <<，所以这时20AP AB -<⋅<；当G 点落在AB 上或AB 的延长线上时，cos ,1AG AB 〈〉=，这时0||||cos 60AG AB BC ≤<+︒，即0||3AG ≤<，所以06AP AB ≤⋅<.综上所述，AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选A。

黄金卷08 备战2020年新高考全真模拟卷数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合102x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，{|lg(23)}B x y x ==-，则A B =I （ ） A ．322x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭ B ．{|1}x x >C ．{|2}x x >D ．322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭2．设复数11i z i =+，21z z i =，12,z z 在复平面内所对应的向量分别为OP uuu r ，OQ uuu r （O 为原点），则OP OQ ⋅=u u u r u u u r （ ）A ．12-B ．0C ．12D ．23．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为403米的弧田，其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中3π≈，3 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20 4．已知函数()21f x x lnx =--，则y ＝f （x ）的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．5．已知函数()()273cos sin 322x x f x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将函数()f x 的图像向下平移12个单位后，再向左平移4π个单位，得到函数()g x 的图像，则（ ） A ．函数()g x 的图像关于x π=-对称 B ．函数()g x 的图像关于2x π=-对称 C ．55066g x g x ππ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．7701212g x g x ππ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，3620a a +=，则63S S =（ ） A ．1- B ．1 C ．2-D ．2 7．已知3412a b ==，则,a b 不可能满足的关系是（ ）A ．4a b +>B ．4ab >C ．22(1)(1)2a b -+->D ．223a b +< 8．双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的右焦点为()1F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．2 D． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

2020山东高考数学试题解析1.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（）A. {x|2<x≤3}B. {x|2≤x≤3}C. {x|1≤x<4}D. {x|1<x<4} 根据集合并集概念求解.【解析】[1,3](2,4)[1,4)A B==选：C【迁移】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.2.2i12i-=+（）A. 1B. −1C. iD. −i 选根据复数除法法则进行计算.【解析】2(2)(12)512(12)(12)5i i i iii i i----===-++-选：D3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A. 120种B. 90种C. 60种D. 30种分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【解析】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种.选：C4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A. 20°B. 40°C. 50°D. 90°画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角.【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥..由于40,//AOCm CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒，由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒， 所以40BAEOAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒.选：B【迁移】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A. 62% B. 56% C. 46%D. 42%记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，然后根据积事件的概率公式()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+可得结果.【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅， 则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-=所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%. 选：C.【迁移】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.6.基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ） A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.5天 D. 3.5天根据题意可得()0.38rt t It e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，根据10.38()0.382t t t e e +=，解得1t 即可得结果.【解析】因为03.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt tI t e e ==， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天， 则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天. 选：B.【迁移】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题. 7.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范用是（ ） A. ()2,6-B. (6,2)-C.(2,4)- D.(4,6)-【答案】A首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果.【解析】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式， 可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，选：A.【迁移】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.8.若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ） A. [)1,1][3,-+∞B. 3,1][,[01]--C.[1,0][1,)-⋃+∞D.[1,0][1,3]-⋃选首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，选：D.【迁移】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 9.已知曲线22:1C mxny +=.（ ）A. 若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B. 若m =n >0，则CC. 若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D. 若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C表示圆心在原点，半径为n的圆，故B 不正确；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 此时曲线C 表示双曲线，由220mxny +=可得my x n=±-，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mxny +=可化为21y n=， n y =±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；选：ACD.【迁移】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.10.下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A.πsin(3x +） B.πsin(2)3x - C.πcos(26x +） D.5πcos(2)6x -【答案】BC 分析】首先利用周期确定ω的值，然后确定ϕ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A,当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭ 选：BC.【迁移】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 11.已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ）A.2212a b +≥B. 122a b->C. 22log log 2a b +≥-D.≤【答案】ABD根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【解析】对于A ，()222221221ab a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确； 对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12ab ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+≤++=，≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确； 选：ABD【迁移】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.（ ）A. 若n =1，则H (X )=0B. 若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C. 若1(1,2,,)i p i n n==，则H (X )随着n 的增大而增大D. 若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则H (X )≤H (Y )【答案】AC 对于A 选项，求得()H X ，由此判断出A 选项的正确性；对于B 选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出()H X ，利用对数函数的性质可判断出C 选项的正确性；对于D 选项，计算出()(),H X H Y ，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D 选项的正确性.【解析】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确.对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-，所以()()()121121X log 1log 1Hp p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦，当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭， 当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误. 对于C 选项，若()11,2,,i p i n n==，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()HX 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且()21j m jP Y j p p +-==+（1,2,,j m =）.()2222111log log mmi i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅.()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅++⋅+++⋅+++12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++由于()01,2,,2i p i m >=，所以2111i i m ip p p +->+，所以222111log log i i m ip p p +->+，所以222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+，所以()()HX H Y >，所以D 选项错误.选：AC13.斜率为3的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB=________．【答案】163先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果. 【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F 且斜率为3，∴直线AB 的方程为：3(1)y x =-代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x ==所以212116||1||13|3|33AB k x x =+-=+⋅-=解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：163【迁移】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.14.将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________． 【答案】232n n - 首先判断出数列{}21n -与{}32n -项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果. 【解析】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{}n a 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+⋅=-， 故答案为：232n n -.【迁移】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，BH DG ∥，EF =12 cm ，DE=2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．【答案】542π+利用3tan 5ODC ∠=求出圆弧AB 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB 的面积，求出直角OAH △的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得. 【解析】设==OB OA r ，由题意7AM AN ==，12EF =，所以5NF =，因为5AP =,所以45AGP ︒∠=，因为//BH DG ，所以45AHO ︒∠=，因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ⊥，即OAH △为等腰直角三角形； 在直角OQD △中，252OQr =-，272DQ r =-， 因为3tan 5OQ ODC DQ ∠==，所以32522125r r -=-， 解得22r =；等腰直角OAH △的面积为11222242S =⨯⨯=； 扇形AOB 的面积()221322324S ππ=⨯⨯=，所以阴影部分的面积为1215422S S ππ+-=+.故答案为：542π+.【迁移】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.16.已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．【答案】22π.根据已知条件易得1D E 3=，1D E ⊥侧面11B C CB ，可得侧面11B C CB 与球面的交线上的点到E 的距离为2，可得侧面11B C CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ，再根据弧长公式可求得结果.【解析】如图：取11B C 的中点为E ，1BB 的中点为F ，1CC 的中点为G ， 因为BAD ∠=60°，直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，所以△111D B C 为等边三角形，所以1D E 3=111D E B C ⊥，又四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以1BB ⊥平面1111D C B A ，所以111BB B C ⊥， 因为1111BB B C B =，所以1D E ⊥侧面11B C CB ，设P 为侧面11B C CB 与球面的交线上的点，则1D E EP ⊥，513D E ，所以2211||||||532EP D P D E =-=-=所以侧面11B C CB 与球面的交线上的点到E 2，因为||||2EFEG ==11B C CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ，因为114B EFC EG π∠=∠=，所以2FEG π∠=，所以根据弧长公式可得22FG π==..【迁移】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.17.在①ac =sin 3c A =，③=c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin AB ，6Cπ=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a ,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解. 解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tanA 的值，得到角,,A B C 的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解. 【解析】解法一：由sin3sin A B 可得：ab=不妨设(),0a b m m ==>，则：2222222cos 322c a b ab C m m m m =+-=+-⨯⨯=，即c m =. 选择条件①的解析：据此可得：2ac m =⨯==，1m ∴=，此时1c m ==.选择条件②的解析：据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-，则：sin A ==sin 3c A m ==，则：c m ==选择条件③的解析： 可得1c mb m==，c b =，与条件=c矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵(),,6sinA C B A C ππ===-+,∴()6sinA A C A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,()1?2sinA A C =+= ，∴sinA =,∴tanA =∴23A π=,∴6B C π==,若选①，ac=,∵a ==,2=∴c=1;若选②，3csinA =,则32=,c =若选③,与条件=c 矛盾.【迁移】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18.已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ． 【答案】（1）2n n a =；（2）100480S =.（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为1,a q 的形式，求解出1,a q ，由此求得数列{}n a 的通项公式.（2）通过分析数列{}m b 的规律，由此求得数列{}m b 的前100项和100S .【解析】（1）由于数列{}n a 是公比大于1的等比数列，设首项为1a ，公比为q ，依题意有31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得解得12,2a q ==，或1132,2a q ==(舍)， 所以2n na =，所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =.（2）由于123456722,24,28,216,232,264,2128=======，所以1b 对应的区间为：(]0,1，则10b =；23,b b 对应的区间分别为：(](]0,2,0,3，则231b b ==，即有2个1；4567,,,b b b b 对应的区间分别为：(](](](]0,4,0,5,0,6,0,7，则45672b b b b ====，即有22个2；8915,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,8,0,9,,0,15，则89153b b b ====，即有32个3；161731,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,16,0,17,,0,31，则1617314b b b ====，即有42个4；323363,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,32,0,33,,0,63，则3233635b b b ====，即有52个5；6465100,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,64,0,65,,0,100，则64651006b b b ====，即有37个6. 所以23451001222324252637480S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【迁移】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查分析思考与解决问的能力，属于中档题.19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO浓度有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，2()P K k≥0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）0.64；（2）答案见解析；（3）有（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果； （2）根据表格中数据可得22⨯列联表； （3）计算出2K ，结合临界值表可得结论.【解析】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天， 所以该市一天中，空气中的2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=； （2）由所给数据，可得22⨯列联表为：2SO2.5PM[]0,150(]150,475合计[]0,75641680(]75,115101020合计7426100（3）根据22⨯列联表中的数据可得222()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈>，因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关. 【迁移】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善22⨯列联表，考查了独立性检验，属于中档题. 20.如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2（1）利用线面垂直的判定定理证得AD ⊥平面PDC ，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得//AD l ，从而得到l ⊥平面PDC ；（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点(,0,1)Q m ，之后求得平面QCD 的法向量以及向量PB 的坐标，求得cos ,n PB <>的最大值，即为直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值. 【解析】（1）证明： 在正方形ABCD 中，//AD BC ，因AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以//AD 平面PBC ，又因为AD ⊂平面PAD ，平面PAD 平面PBC l =，所以//AD l ，因为在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，所以,,AD DC l DC ⊥∴⊥且PD ⊥平面ABCD ，所以,,AD PD l PD ⊥∴⊥因为CD PD D =所以l⊥平面PDC ；（2）如图建立空间直角坐标系D xyz -，因为1PD AD ==，则有(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)D C A P B ，设(,0,1)Q m ，则有(0,1,0),(,0,1),(1,1,1)DCDQ m PB ===-， 设平面QCD 的法向量为(,,)nx y z =，则00DC n DQ n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00y mx z =⎧⎨+=⎩，令1x =，则z m =-，所以平面QCD 的一个法向量为(1,0,)n m =-，则2cos ,31n PB n PB n PBm ⋅<>==⋅+根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于2|cos ,|31n PB m <>=⋅+223121m m m ++=+223232||36111111m m m m =+≤+≤+=++，当且仅当1m =时取等号，所以直线PB 与平面QCD 6.【迁移】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目. 21.已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围． 【答案】（1）21e -（2）[1,)+∞ 【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果； （2）解法一：利用导数研究，得到函数()f x 得导函数()’f x 的单调递增，当a=1时由()’10f =得()()11min f x f ==,符合题意；当a>1时，可证1()(1)0f f a''<，从而()'f x 存在零点00x >，使得01001()0x f x ae x -'=-=，得到min ()f x ，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得()1x ≥恒成立；当01a <<时，研究()f 1.即可得到不符合题意.综合可得a 的取值范围.解法二：利用指数对数的运算可将()111lna x lnx f x e lna x e lnx +-≥++-≥+转化为,令()x gx e x =+,上述不等式等价于()()1g lna x g lnx +-≥,注意到()g x 的单调性，进一步等价转化为1lna lnx x ≥-+，令()1hx lnx x =-+,利用导数求得()max h x ，进而根据不等式恒成立的意义得到关于a 的对数不等式，解得a 的取值范围. 【解析】（1）()ln 1x f x e x =-+，1()x f x e x'∴=-，(1)1k f e '∴==-. (1)1f e =+，∴切点坐标为(1,1+e ),∴函数f(x)在点(1,f (1)处的切线方程为1(1)(1)y e e x --=--,即()12y e x =-+,∴切线与坐标轴交点坐标分别为2(0,2),(,0)1e --, ∴所求三角形面积为1222||=211e e -⨯⨯--; （2）解法一：1()ln ln x f x ae x a -=-+,11()x f x ae x-'∴=-，且0a >. 设()()g x f x =',则121()0,x g x ae x-'=+> ∴g(x )在(0,)+∞上单调递增，即()f x '在(0,)+∞上单调递增， 当1a =时，()01f '=,∴()()11min f x f ==,∴()1f x ≥成立.当1a >时，11a < ，111ae -<∴，111()(1)(1)(1)0af f a e a a-''∴=--<, ∴存在唯一00x >，使得01001()0x f x aex -'=-=，且当0(0,)x x ∈时()0f x '<，当0(,)x x ∈+∞时()0f x '>，011x aex -∴=，00ln 1ln a x x ∴+-=-，因此01min 00()()ln ln x f x f x ae x a -==-+001ln 1ln 2ln 12ln 1a x a a a x =++-+≥-+=+>1, ∴()1,f x >∴()1f x ≥恒成立；当01a <<时，(1)ln 1,f a a a =+<<∴(1)1,()1f f x <≥不是恒成立.综上所述，实数a 的取值范围是[1,+∞). 解法二：()111x lna x f x ae lnx lna e lnx lna -+-=-+=-+≥等价于11lna x lnx e lna x lnx x e lnx +-++-≥+=+,令()x gx e x =+,上述不等式等价于()()1g lna x g lnx +-≥,显然()g x 为单调增函数，∴又等价于1lna x lnx +-≥，即1lna lnx x ≥-+，令()1h x lnx x =-+,则()111xh x x x-=-=' 在()0,1上h ’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h ’(x)<0,h(x)单调递减， ∴()()10max hx h ==,01lna a ≥≥，即，∴a 的取值范围是[1,+∞).【迁移】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.22.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析. (1)由题意得到关于a ,b ,c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程. (2)设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到m,k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置.【解析】(1)由题意可得：222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)设点()()1122,,,Mx y N x y .因为AM ⊥AN ，∴·0AM AN=，即()()()()121222110x x y y --+--=,①当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+,如图1.代入椭圆方程消去y 并整理得：()22212k 4260x kmx m +++-=,2121222426,1212km m x x x x k k-+=-=++ ②, 根据1122,y kx m y kx m =+=+,代入①整理可得：()()()()221212k1x 2140x km k x x m ++--++-+=将②代入，()()()22222264k 121401212m km km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭， 整理化简得()()231210k m k m +++-=,∵2,1A （）不在直线MN 上，∴210k m +-≠，∴23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以直线过定点直线过定点21,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭. 当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -,如图2.代入()()()()121222110x x y y --+--=得()2212210x y -+-=,结合2211163x y +=,解得()1122,3x x ==舍,此时直线MN 过点21,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭,由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足QD 为定值（AE 221214221233⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭）.由于()21,32,13,A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故由中点坐标公式可得41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得|DQ|为定值.2020年山东高考数学试题1. 设集合{}|13A x x =≤≤，{}|24B x x =<<，则A B =A ．{}|23x x <≤B ．{}|23x x ≤≤C ．{}|14x x ≤<D ．{}|14x x <<2.212i i-=+A ．1 B.-1 C.i D.i -3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3买名，则不同的安排方法共有 A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种4.日晷是中国古代用来测量时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间。