2020年山东省新高考数学模拟试卷(十二)

2020年山东省新高考数学模拟试卷（十二）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U＝R，集合A＝{x||x﹣2|≥2}，B＝{x|x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|﹣2≤x≤2}D．{x|﹣2＜x≤2}2．设a，b均为不等于1的正实数，则“a＞b＞1”是“log b2＞log a2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米量为（）A．1升B ．升C ．升D ．升4．已知函数f（x）＝x﹣4+，x∈（0，4），当x＝a时，f（x）取得最小值b，则函数g（x）＝a|x+b|的图象为（）A ．B ．C ．D ．5．如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是（）A ．B ．C ．D ．6．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别为AB、A1B1的中点，则三棱锥F ﹣ECD的外接球体积为（）A ．B ．C ．D ．7．已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C，若△ABC的面积为2a2，则双曲线的渐近线方程为（）A ．B ．C ．D ．8．已知函数，，则方程f（g（x））＝a的实根个数最多为（）A．6B．7C．8D．9二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．（5分）已知a，b均为正实数，若log a b+log b a ＝，a b＝b a ，则＝（）A ．B ．C ．D．210．（5分）对于定义域为D的函数f（x），若存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]上是单调的：②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]为该函数的“和谐区间”．下列函数存在“和谐区间”的是（）A．f（x）＝x3B．f（x）＝3C．f（x）＝e x﹣1D．f（x）＝lnx+211．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则（）A．若2cos C（a cos B+b cos A）＝c，则C ＝B．若2cos C（a cos B+b cos A）＝c，则C ＝C．若边BC 上的高为a ，则当+取得最大值时，A ＝D．若边BC 上的高为a ，则当+取得最大值时，A ＝12．（5分）已知数列{a n}是等差数列，前n项和为S n，满足a1+5a3＝S8，下列选项正确的有（）A．a10＝0B．S10最小C．S7＝S12 D．S20＝0三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2x+y）（x﹣2y）5展开式中x3y3的系数为．14．（5分）已知x＞0，y＞0，是2x 与4y 的等比中项，则的最小值．15．（5分）已知圆x2+y2+4x﹣5＝0的弦AB的中点为（﹣1，1），直线AB交x轴于点P，则的值为．16．（5分）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P（﹣，m）是角θ终边上的一点，且sinθ＝，n＝tan（θ+），则m＝，n＝．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）＝cos x（sin x﹣cos x）+，将f（x）的图象向左平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，且g（）＝，c＝．（1）求C；（2）若3（sin B﹣sin C）2＝3sin2A﹣8sin B sin C，求cos（A﹣C）．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，若．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝（n+3）a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）已知五边形ABECD由一个直角梯形ABCD与一个等边三角形BCE构成，如图1所示，AB⊥BC，AB∥CD，且AB＝2CD．将梯形ABCD沿着BC折起，如图2所示，且AB⊥平面BEC．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面ADE；（Ⅱ）若AB＝BC，求二面角A﹣DE﹣B的余弦值．20．（12分）抛物线C：y＝x2，直线l的斜率为2．（Ⅰ）若l与C相切，求直线l的方程；（Ⅱ）若l与C相交于A，B，线段AB的中垂线交C于P，Q ，求的取值范围．21．（12分）某读书协会共有1200人，现收集了该协会20名成员每周的课外阅读时间（分钟），其中某一周的数据记录如下：75 60 35 100 90 50 85 170 65 70 125 75 70 85 155 110 75 130 80 100对这20个数据按组距30进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：阅读时间分组统计表（设阅读时间为x分钟）组别时间分组频数男性人数女性人数A30≤x＜60211B60≤x＜901046C90≤x＜120m a1D120≤x＜150211E150≤x＜180n2b（I）写出m，n的值，请估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长，以及该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数；（II）该读书协会拟发展新成员5人，记新成员中每周阅读时长在[60，90）之间的人数为ξ，以上述统计数据为参考，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）完成下面的2x2列联表，并回答能否有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”？每周阅读时间不少于120分钟每周阅读时间少于120分钟合计男女合计附：K2＝P（K20.1500.100 0.0500.0250.010 0.005 0.001≥k0）k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 22．（12分）已知函数f（x）＝x﹣alnx+a﹣1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[e a，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．2020年山东省新高考数学模拟试卷（十二）参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【分析】可以求出集合A，然后进行交集和补集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|x≤0或x≥4}，B＝{x|x≤2}，U＝R，∴∁U A＝{x|0＜x＜4}，（∁U A）∩B＝{x|0＜x≤2}．故选：B．【点评】本题考查了描述法的定义，绝对值不等式的解法，交集和补集的运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．2．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法进行判断即可．【解答】解：a，b均为不等于1的正实数，①若“a＞b＞1”时由对数函数的性质可得：一象限底大图低，相同自变量为2时，底大函数值小，可得log b2＞log a2成立．②若：“log b2＞log a2”有①若a，b均大于1，由log b2＞log a2，知必有a＞b＞1；②若a，b均大于0小于1，依题意，必有0＜b＜a＜1；③若log a2＜log b2＜0，则必有0＜b＜a＜1；故：“log b2＞log a2”不能推出a＞b＞1；综上所述由充要条件的定义知，A正确．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．3．【分析】设竹子自下而上的各节容米量分别为a1，a2，…，a7，由题意得a1+a2+a6+a7＝6，由等差数列的性质能求出第四节竹子的装米量．【解答】解：设竹子自下而上的各节容米量分别为a1，a2，…，a7，由题意得a1+a2+a6+a7＝6，由等差数列的性质得：a1+a7＝2a4＝6，解得第四节竹子的装米量为a4＝（升）．故选：B．【点评】本题考查第四节竹子的装米量的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．【分析】先根据基本不等式求出a，b的值，再结合指数函数的性质及函数的图象的平移可求【解答】解：∵x∈（0，4），∴x+1＞1∴f（x）＝x﹣4+＝x +1+﹣5≥2﹣5＝1，当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1∴a＝2，b＝1，此时g（x）＝2|x+1|＝，此函数可以看成函数y ＝的图象向左平移1个单位结合指数函数的图象及选项可知A正确故选：A．【点评】本题主要考察了基本不等式在求解函数的最值中的应用，指数函数的图象及函数的平移的应用是解答本题的关键5．【分析】利用平面的基本性质作出经过P、Q、R三点的平面，然后判断选项的正误即可．【解答】解：由题意可知经过P、Q、R三点的平面如图：红色线的图形，可知N在经过P、Q、R三点的平面上，所以B、C错误；MC1与QE是相交直线，所以A不正确；故选：D．【点评】本题考查平面与平面平行的判断定理的应用，平面的基本性质的应用，是基本知识的考查．6．【分析】首先确定球心的位置，进一步利用勾股定理的应用求出求的半径，进一步求出球的体积．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接FC1，FD1，三棱锥F﹣ECD的外接球即为三棱柱FC1D1﹣ECD的外接球，在△ECD中，取CD中点H，连接EH，则EH为边CD的垂直平分线，所以△ECD的外心在EH上，设为点M，同理可得△FC1D1的外心N，连接MN，则三棱柱外接球的球心为MN的中点设为点O，由图可得，EM2＝CM2＝CH2+MH2，又MH＝2﹣EM，CH＝1，如右图所示：，可得，所以，解得，所以．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：锥体与球的关系的应用，球的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7．【分析】设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，可得四边形AFBC为矩形，由双曲线的定义和勾股定理，以及三角形的面积公式，化简整理可得a，b的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程．【解答】解：设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，由题意可得AC⊥BC，可得四边形F ABC为矩形，即有|AF|＝|BC|，设|AC|＝m，|BC|＝n，可得n﹣m＝2a，n2+m2＝4c2，mn＝2a2，即有4c2﹣8a2＝4a2，即有c ＝a，b ＝＝a，可得双曲线的渐近线方程为y ＝±x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查矩形的定义和勾股定理的运用，考查运算能力，属于基础题．8．【分析】由方程的解的个数与函数图象的交点的个数的关系得：方程f（g（x））＝a的实根个数为函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t＝t4的交点个数之和，再结合函数图象观察可得解．【解答】解：设t＝g（x），则f（t）＝a，则方程f（g（x））＝a的实根个数为函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t＝t4的交点个数之和，要方程f（g（x））＝a的实根个数最多，则需f（t）＝a的解如图所示，由图（2）可知，函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t＝t4的交点个数之和为8，故选：C．【点评】本题考查了方程的解的个数与函数图象的交点的个数的关系及作图能力，属难度较大的题型．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．【分析】设t＝log a b，代入化解求出t的值，得到a的b关系式，由a b＝b a可求出a，b的值．【解答】解：令t＝log a b，则t +＝，∴2t2﹣5t+2＝0，（2t﹣1）（t﹣2）＝0，∴t ＝或t＝2，∴log a b ＝或log a b＝2∴a＝b2，或a2＝b∵a b＝b a，代入得∴2b＝a＝b2或b＝2a＝a2∴b＝2，a＝4，或a＝2．b＝4∴．或故选：AD．【点评】本题考查对数的运算及性质，换元法的应用，属于基础题．10．【分析】由题意，函数在“和谐区间”上单调递增，且满足f（x）＝x至少有两个解，逐项判断即可．【解答】解：由题意，函数在“和谐区间”上单调递增，且满足f（x）＝x至少有两个解，对于A选项，函数f（x）＝x3在定义域R上单调递增，且x3＝x有解﹣1，0，1，满足条件，故正确；对于B选项，函数f（x）＝3在（0，+∞）上单调递增，且有解1，2，满足条件，故正确；对于C选项，函数f（x）＝e x﹣1在定义域上单调递增，但e x﹣1＝x只有一个解0，不满足条件，故错误；对于D选项，函数f（x）＝lnx+2在（0，+∞）上单调递增，显然函数f（x）＝lnx+2与函数y ＝x在（0，+∞）上有两个交点，即lnx+2＝x有两个解，满足条件，故正确．故选：ABD．【点评】本题以新定义问题为载体，考查了函数的单调性、零点及函数图象等基础知识点，属于基础题．解题的关键是理解“和谐区间”的定义．11．【分析】对于选项A，B，由正弦定理，两角和的正弦函数公式可求2cos C sin C＝sin C，结合sin C ≠0，可得cos C ＝，结合范围C∈（0，π），可求C的值；对于选项C，D，由三角形的面积公式可求a2＝2bc sin A ，利用余弦定理，两角和的正弦函数公式可求+＝4sin（A +），结合已知利用正弦函数的性质即可求解．【解答】解：∵2cos C（a cos B+b cos A）＝c，∴由正弦定理可得2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，∴2cos C sin（A+B）＝2cos C sin C＝sin C，∵sin C≠0，∴可得cos C ＝，∵C∈（0，π），∴C ＝，可得A正确，B错误．∵边BC 上的高为a，∴bc sin A ＝•a •，∴a2＝2bc sin A，∵cos A ＝，∴b2+c2＝a2+2bc cos A＝2bc sin A+2bc cos A，∴+＝＝2sin A+2cos A＝4sin（A +）≤4，当A +＝时等号成立，此时A ＝，故C正确，D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理，正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．12．【分析】根据题意，结合等差数列的前n项和公式以及通项公式，依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，数列{a n}是等差数列，若a1+5a3＝S8，即a1+5a1+10d＝8a1+28d，变形可得a1＝﹣9d，又由a n＝a1+（n﹣1）d＝（n﹣10）d，则有a10＝0，故A一定正确，不能确定a1和d的符号，不能确定S10最小，故B不正确；又由S n＝na1+＝﹣9nd +＝×（n2﹣19n），则有S7＝S12，故C一定正确，则S20＝20a1+d＝﹣180d+190d＝﹣10d，S20≠0，则D不正确，故选：AC．【点评】本题考查等差数列的性质以及前n项和公式，关键是掌握与等差数列有关的公式，属于基础题．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．【分析】根据题意，结合二项式定理把（x+2y）5按照二项式定理展开，由多项式乘法的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，（x﹣2y）5＝x5﹣10x4y+40x3y2﹣80x2y3+80xy4﹣32y5，则（2x+y）（x+2y）5展开式中x3y3的系数为2×（﹣80）+1×40＝﹣160+40＝﹣120，故答案为：﹣120．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题．14．【分析】由等比数列可得x+2y＝1，则＝+＝1++，由基本不等式可得．【解答】解：x＞0，y＞0，是2x与4y的等比中项，则2x•4y＝2，∴x+2y＝1，∴＝+＝1++≥1+2＝1+2，当且仅当＝时，即x ＝﹣1，y ＝取等号，故答案为：2+1【点评】本题考查基本不等式，涉及等比数列的性质，属基础题．15．【分析】由已知先求k MC，然后根据圆的性质可求k AB，写出AB所在直线方程，联立方程可求A，B，然后根据向量数量积的坐标表示即可求解．【解答】解：设M（﹣1，1）圆心C（﹣2，0），∵k MC ＝＝1，根据圆的性质可知，k AB＝﹣1，∴AB所在直线方程为y﹣1＝﹣（x+1），即x+y＝0，联立方程可得，2x2+4x﹣5＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，令y＝0可得P（0，0），＝x1x2+y1y2＝2x1x2＝﹣5，故答案为：﹣5．【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及直线与圆相交性质的简单应用．16．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，求得m、n的值．【解答】解：若P （﹣，m）是角θ终边上的一点，且sinθ＝＝，∴m ＝．∵tanθ＝＝﹣1，n＝tan（θ+）＝＝0，故答案为：；0．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，属于基础题．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】（1）先利用三角恒等变换将f（x）化简成y＝A sin（ωx+θ）的形式，再利用图象平移变换方法得到g（x），根据g （）＝，可求得角C．（2）利用正弦定理将给的式子化边，利用余弦定理可求得cos A ，结合，问题可解．【解答】解：（1）f（x）＝cos x（sin x ﹣cos x）+＝＝，∴g（x）＝f（x）＝sin（2x ﹣），∵g （）＝，∴，∴，∴，故C ＝．（2）∵3（sin B﹣sin C）2＝3sin2A﹣8sin B sin C，由正弦定理得：3（b﹣c）2＝3a2﹣8bc，∴，∴，∴，∴cos（A﹣C ）＝，＝．【点评】本题通过考查三角函数的恒等变换和图象变换以及正余弦定理的应用，考查了学生的数学运算、逻辑推理等数学核心素养．属于中档题．18．【分析】（1）通过，说明数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，求解通项公式．（2）由（1）得，，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（1）因为，①当n＝1时，2a1﹣S1＝2a1﹣a1＝2，所以a1＝2．当n≥2时，2a n﹣1﹣S n﹣1＝2，②①﹣②得2a n﹣S n﹣（2a n﹣1﹣S n﹣1）＝0，即a n＝2a n﹣1．因为a1＝2≠0，所以a n≠0，所以（n∈N*，且n≥2），所以数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．（2）由（1）得，，所以，③，④③﹣④得，＝6+（21+22+23+…+2n）﹣（n+3）×2n+1＝＝6+2n+1﹣2﹣（n+3）×2n﹣1＝4﹣（n+2）2n+1，所以．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．19．【分析】（I）取BE的中点F，AE的中点G，证明CF⊥平面ABE，通过证明四边形CDGF是平形四边形得出CF∥DG，故DG⊥平面ABE，于是平面ABE⊥平面ADE；（II）建立空间坐标系，计算平面ADE和平面BDE的法向量，通过计算法向量的夹角得出二面角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：取BE的中点F，AE的中点G，连接FG、GD、CF，则GF AB．∵DC AB，∴CD GF，∴四边形CFGD为平行四边形，∴CF∥DG．∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥CF．∵CF⊥BE，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面ABE．∵CF∥DG，∴DG⊥平面ABE．∵DG⊂平面ADE，∴平面ABE⊥平面ADE．（Ⅱ）解：过E作EO⊥BC于O．∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥EO．∵AB∩BC＝B，∴EO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，OE、BC所在的直线分别为x轴、y轴，过O且平行于AB的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝BC＝4，则A（0，﹣2，4），B（0，﹣2，0），D（0，2，2），E（2，0，0），∴＝（﹣2，2，2），＝（﹣2，﹣2，4），＝（﹣2，﹣2，0）．设平面EAD 的法向量为＝（x1，y1，z1），则有，即，取z1＝2得x1＝，y1＝1，则＝（，1，2），设平面BDE 的法向量为＝（x2，y2，z2），则，即，取x2＝1，得y2＝﹣，z2＝2，则＝（1，﹣，2）．∴cos ＜＞＝＝＝．又由图可知，二面角ADEB的平面角为锐角，∴二面角A﹣DE﹣B 的余弦值为．【点评】本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．20．【分析】（1）设直线l的方程为y＝2x+b，将直线l与抛物线C的方程联立，利用△＝0求出b 的值，从而得出直线l的方程；（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x3，y3）、Q（x4，y4），设直线l的方程为y＝2x+b，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，由△＞0得出b的范围，并列出韦达定理，求出|AB|并求出线段AB的中点坐标，然后得出线段AB中垂线的方程PQ，将直线PQ的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理并求出|PQ|，然后得出的表达式，结合不等式的性质求出这个代数式的取值范围．【解答】解：（1）设直线l的方程为y＝2x+b，联立直线l与抛物线C 的方程，得x2﹣2x﹣b＝0，△＝4+4b＝0，所以，b＝﹣1，因此，直线l的方程为y＝2x﹣1；（2）设直线l的方程为y＝2x+b，设点A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x3，y3）、Q（x4，y4），联立直线l与抛物线C 的方程，得x2﹣2x﹣b＝0，△＝4+4b＞0，所以，b＞﹣1．由韦达定理得x1+x2＝2，x1x2＝﹣b．所以，，因为线段AB的中点为（1，2+b），所以，直线PQ 的方程为，由，得2x2+x﹣5﹣2b＝0，由韦达定理得，，所以，，所以，，所以，的取值范围是．【点评】本题考查抛物线的综合问题，考查韦达定理设而不求法在抛物线综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题．21．【分析】（Ⅰ）由阅读时间分组统计表，得到m＝4，n＝2．由此能估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长和该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数．（Ⅱ）估计新成员每周阅读时长在[60，90）之间的概率为，依题意ξ～B（5，），由此能求出ξ的分布列和数学期望．（Ⅲ）完成下面的2x2列联表，求出k0≈0.808，从而没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”．【解答】解：（Ⅰ）由阅读时间分组统计表，得到m＝4，n＝2．估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长为：＝93分钟．该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数为：1200×＝480人．（Ⅱ）估计新成员每周阅读时长在[60，90）之间的概率为，依题意ξ～B（5，），共分布列为：P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝5）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ012345P∴E（ξ）＝5×＝．（Ⅲ）完成下面的2x2列联表：每周阅读时间不少于120分钟每周阅读时间少于120分钟合计男3811女189合计41620k0＝≈0.808，∴没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查独立检验的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出函数的最小值，从而确定a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝1﹣＝，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，②当a＞0时，由f′（x）＝0，解得：x＝a，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增，当a＞0时，f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；（Ⅱ）①当a＝0时，∵x≥1，∴f（x）＝x﹣1≥0恒成立，故a＝0符合题意，②当a＜0时，e a＜0，∵f（1）＝a＜0，故f（x）≥0不恒成立，舍，③当a＞0时，由（Ⅰ）知f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，下面先证明：e a＞a（a＞0），设p（a）＝e a﹣a，∵p′（a）＝e a﹣1＞0，∴p（a）在（0，+∞）递增，p（a）≥p（0）＝1＞0，故e a＞a，故f（x）在[e a，+∞）递增，故f（x）min＝f（e a）＝e a﹣a2+a﹣1，设q（a）＝e a﹣a2+a﹣1（a＞0），则q′（a）＝e a﹣2a+1，q″（a）＝e a﹣2，由q″（a）＞0，解得：a＞ln2，由q″（a）＜0，解得：0＜a＜ln2，故q′（a）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，故q′（a）≥q′（ln2）＝3﹣2ln2＞0，故q（a）在（0，+∞）递增，故q（a）＞q（0）＝0，故f（x）min＞0，故f（x）≥0恒成立，故a＞0符合题意，综上，a的范围是[0，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。

2020年山东省高考数学模拟试卷学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共8小题）1.设集合A＝{（x，y）|x+y＝2}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B＝（）A．{（1，1）} B．{（﹣2，4）}C．{（1，1），（﹣2，4）} D．∅2.已知a+bi（a，b∈R）是的共轭复数，则a+b＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．13.设向量＝（1，1），＝（﹣1，3），＝（2，1），且（﹣λ）⊥，则λ＝（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣34.（﹣x）10的展开式中x4的系数是（）A．﹣210 B．﹣120 C．120 D．2105.已知三棱锥S﹣ABC中，∠SAB＝∠ABC＝，SB＝4，SC＝2，AB＝2，BC＝6，则三棱锥S﹣ABC的体积是（）A．4 B．6 C．4D．66.已知点A为曲线y＝x+（x＞0）上的动点，B为圆（x﹣2）2+y2＝1上的动点，则|AB|的最小值是（）A．3 B．4 C．3D．47.设命题p：所有正方形都是平行四边形，则￢p为（）A．所有正方形都不是平行四边形B．有的平行四边形不是正方形C．有的正方形不是平行四边形D．不是正方形的四边形不是平行四边形8.若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c二、多选题（共4小题）9.如图为某地区2006年～2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图．根据该折线图可知，该地区2006年～2018年（）A．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C．财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D．城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大10.已知双曲线C过点（3，）且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是（）A．C的方程为﹣y2＝1B．C的离心率为C．曲线y＝e x﹣2﹣1经过C的一个焦点D．直线x﹣﹣1＝0与C有两个公共点11.正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（）A．直线D1D与直线AF垂直B．直线A1G与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为D．点C与点G到平面AEF的距离相等12.函数f（x）的定义域为R，且f（x+1）与f（x+2）都为奇函数，则（）A．f（x）为奇函数B．f（x）为周期函数C．f（x+3）为奇函数D．f（x+4）为偶函数三、填空题（共4小题）13.某元宵灯谜竞猜节目，有6名守擂选手和6名复活选手，从复活选手中挑选1名选手为攻擂者，从守擂选手中挑选1名选手为守擂者，则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有种．14.已知cos（α+）﹣sinα＝，则sin（α+）＝﹣．15.直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0），且与C交于A，B两点，则p＝，+＝．16.半径为2的球面上有A，B，C，D四点，且AB，AC，AD两两垂直，则△ABC，△ACD与△ADB面积之和的最大值为．四、解答题（共6小题）17.在①b1+b3＝a2，②a4＝b4，③S5＝﹣25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由．设等差数列{a n}的前n项和为S n，{b n}是等比数列，，b1＝a5，b2＝3，b5＝﹣81，是否存在k，使得S k＞S k+1且S k+1＜S k+2？18.在△ABC中，∠A＝90°，点D在BC边上．在平面ABC内，过D作DF⊥BC且DF＝AC．（1）若D为BC的中点，且△CDF的面积等于△ABC的面积，求∠ABC；（2）若∠ABC＝45°，且BD＝3CD，求cos∠CFB．19.如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，E，F分别为AD，SC的中点，EF与平面ABCD所成的角为45°．（1）证明：EF为异面直线AD与SC的公垂线；（2）若EF＝BC，求二面角B﹣SC﹣D的余弦值．20.下面给出了根据我国2012年～2018年水果人均占有量y（单位：kg）和年份代码x绘制的散点图和线性回归方程的残差图（2012年～2018年的年份代码x分别为1～7）．（1）根据散点图分析y与x之间的相关关系；（2）根据散点图相应数据计算得y i＝1074，x i y i＝4517，求y关于x的线性回归方程；（3）根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果（精确到0.01）附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．21.设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点（1，），且离心率为，F为E的右焦点，P为E上一点，PF⊥x轴，⊙F的半径为PF．（1）求E和⊙F的方程；（2）若直线1：y＝k（x﹣）（k＞0）与⊙F交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求l的方程：若不存在，说明理由．22.函数f（x）＝（x＞0），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为．（1）求a；（2）讨论g（x）＝x（f（x））2的单调性；（3）设a1＝1，a n+1＝f（a n），证明：2n﹣2|2lna n﹣ln7|＜1．2020年山东省高考数学模拟试卷参考答案一、单选题（共8小题）1.【分析】可以选择代入选项中的元素．【解答】解：将（1，1）代入A，B成立，则（1，1）为A∩B中的元素．将（﹣2，4）代入A，B成立，则（﹣2，4）为A∩B中的元素．故选：C．【知识点】交集及其运算2.【分析】先利用复数的除法运算法则求出的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b的值，求出a+b．【解答】解：＝＝＝﹣i，∴a+bi＝﹣（﹣i）＝i，∴a＝0，b＝1，∴a+b＝1，故选：D．【知识点】复数代数形式的乘除运算3.【分析】利用（﹣λ）⊥，列出含λ的方程即可．【解答】解：因为﹣λ＝（1+λ，1﹣3λ），又因为（﹣λ）⊥，所以（1+λ，1﹣3λ）•（2，1）＝2+2λ+1﹣3λ＝0，解得λ＝3，故选：A．【知识点】平面向量的坐标运算4.【分析】由二项式展开式通项公式可得：二项式（﹣x）10的展开式的通项为T r+1＝，再令2r﹣10＝4求解即可．【解答】解：由二项式（﹣x）10的展开式的通项T r+1＝得，令2r﹣10＝4，得r＝7，即展开式中x4的系数是，故选：B．【知识点】二项式定理5.【分析】根据条件可以计算出AC，进而判断出SA⊥AC，所以SA⊥平面ABC，则三棱锥体积可表示为•SA•S△ABC，计算出结果即可．【解答】解：如图，因为∠ABC＝，所以AC＝＝2，则SA2+AC2＝40+12＝52＝SC2，所以SA⊥AC，又因为∠SAB＝，即SA⊥AB，AB∩AC＝A，SA⊄平面ABC，所以SA⊥平面ABC，所以V S﹣ABC＝•SA•S△ABC＝＝4，故选：C．【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积6.【分析】作出对勾函数的图象，利用圆的性质，判断当A，B，C三点共线时，|AB|最小，然后进行求解即可．【解答】解：作出对勾函数y＝x+（x＞0）的图象如图：由图象知函数的最低点坐标为A（2，4），圆心坐标C（2，0），半径R＝1，则由图象知当A，B，C三点共线时，|AB|最小，此时最小值为4﹣1＝3，即|AB|的最小值是3，故选：A．【知识点】直线与圆的位置关系7.【分析】找出条件和结论，否定条件和结论．【解答】解：命题的否定为否定量词，否定结论．故￢p，有的正方形不是平行四边形．故选：C．【知识点】命题的否定8.【分析】通过和1比较大小判断，特殊值代入排除选项．【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．【知识点】对数值大小的比较二、多选题（共4小题）9.【分析】根据图分析每一个结论．【解答】解：由图知财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势，A对．由图知城乡居民储蓄年末余额的年增长速度高于财政预算内收入的年增长速度，B错．由图知财政预算内收入年平均增长量低于城乡居民储蓄年末余额年平均增长，C错．由图知城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大，D对．故选：AD．【知识点】进行简单的合情推理10.【分析】根据条件可求出双曲线C的方程，再逐一排除即可．【解答】解：设双曲线C的方程为，根据条件可知＝，所以方程可化为，将点（3，）代入得b2＝1，所以a2＝3，所以双曲线C的方程为，故A对；离心率e＝＝＝＝，故B错；双曲线C的焦点为（2，0），（﹣2，0），将x＝2代入得y＝e0﹣1＝0，所以C对；联立，整理得y2﹣2y+2＝0，则△＝8﹣8＝0，故只有一个公共点，故D错，故选：AC．【知识点】双曲线的简单性质11.【分析】取DD1中点M，则AM为AF在平面AA1D1D上的射影，由AM与DD1不垂直，可得AF与DD1不垂直；取B1C1中点N，连接A1N，GN，得平面A1GN∥平面AEF，再由面面平行的性质判断B；把截面AEF补形为四边形AEFD1，由等腰梯形计算其面积判断C；利用反证法证明D错误．【解答】解：取DD1中点M，则AM为AF在平面AA1D1D上的射影，∵AM与DD1不垂直，∴AF与DD1不垂直，故A错；取B1C1中点N，连接A1N，GN，可得平面A1GN∥平面AEF，故B正确；把截面AEF补形为四边形AEFD1，由等腰梯形计算其面积S＝，故C正确；假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于H，而H不是CG中点，则假设不成立，故D错．故选：BC．【知识点】直线与平面平行的判定12.【分析】利用已知条件推导出f（x）的周期，再利用周期即可得出f（x）与f（x+3）都为奇函数．【解答】解：∵f（x+1）与f（x+2）都为奇函数，∴f（﹣x+1）＝﹣f（x+1）①，f（﹣x+2）＝﹣f（x+2）②，∴由①可得f[﹣（x+1）+1]＝﹣f（x+1+1），即f（﹣x）＝﹣f（x+2）③，∴由②③得f（﹣x）＝f（﹣x+2），所以f（x）的周期为2，∴f（x）＝f（x+2），则f（x）为奇函数，∴f（x+1）＝f（x+3），则f（x+3）为奇函数，故选：ABC．【知识点】函数的周期性、函数奇偶性的判断三、填空题（共4小题）13.【分析】先阅读题意，再结合排列组合中的分步原理计算即可得解．【解答】解：由排列组合中的分步原理，从复活选手中挑选1名选手为攻擂者，共＝6种选法，从守擂选手中挑选1名选手为守擂者，共＝6种选法，则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有6×6＝36种选法，即攻擂者、守擂者的不同构成方式共有36种，故答案为：36．【知识点】排列、组合及简单计数问题14.【分析】由条件利用两角和差的三角公式求得cos（α+）的值，再利用诱导公式求得sin（α+）的值．【解答】解：∵cos（α+）﹣sinα＝cosα﹣sinα﹣sinα＝（cosα﹣sinα）＝cos（α+）＝，∴cos（α+）＝．则sin（α+）＝sin（α﹣）＝﹣cos（α﹣+）＝﹣cos（α+）＝﹣，故答案为：﹣．【知识点】两角和与差的余弦函数15.【分析】本题先根据抛物线焦点坐标可得p的值，然后根据抛物线的定义和准线，可知|AF|＝x1+1，|BF|＝x2+1．再根据直线斜率存在与不存在两种情况进行分类讨论，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理最终可得结果．【解答】解：由题意，抛物线C的焦点F（1，0），∴＝1，故p＝2．∴抛物线C的方程为：y2＝4x．则可设A（x1，y1），B（x2，y2）．由抛物线的定义，可知：|AF|＝x1+1，|BF|＝x2+1．①当斜率不存在时，x1＝x2＝1．∴＝+＝+＝1．②当斜率存在时，设直线l斜率为k（k≠0），则直线方程为：y＝k（x﹣1）．联立，整理，得k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0，∴．∴＝+＝＝＝1．综合①②，可知：＝1．故答案为：2；1．【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题16.【分析】首先求出长方体的外接球的半径，进一步利用三角形的面积和基本不等式的应用求出结果．【解答】解：半径为2的球面上有A，B，C，D四点，且AB，AC，AD两两垂直，如图所示则设四面体ABCD置于长方体模型中，外接球的半径为2，故x2+y2+z2＝16，S＝S△ABC+S△ACD+S△ABD＝，由于2（x2+y2+z2）﹣4S＝（x﹣y）2+（y﹣z）2+（x﹣z）2≥0，所以4S≤2•16＝32，故S≤8，故答案为：8．【知识点】球内接多面体四、解答题（共6小题）17.【分析】利用等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式，先求出，等比数列{b n}的通项公式，再分别结合三个条件一一算出等差数列{a n}的通项公式，并判断是否存在符合条件的k．【解答】解：∵{b n}是等比数列，b2＝3，b5＝﹣81，∴，解得，∴b n＝﹣（﹣3）n﹣1，∴a5＝b1＝﹣1，若S k＞S k+1，即S k＞S k+a k+1，则只需a k+1＜0，同理，若S k+1＜S k+2，则只需a k+2＞0，若选①：b1+b3＝a2时，a2＝﹣1+（﹣9）＝﹣10，又a5＝﹣1，∴a n＝3n﹣16，∴当k＝4时，a5＜0，a6＞0，符合题意，若选②：a4＝b4时，a4＝b4＝27，又a5＝﹣1，∴d＝﹣28，∴等差数列{a n}为递减数列，故不存在k，使得a k+1＜0，a k+2＞0，若选③：S5＝﹣25时，S5＝＝＝5a3＝﹣25，∴a3＝﹣5，又a5＝﹣1，∴a n＝2n﹣11，∴当k＝4时，a5＜0，a6＞0，符合题意，综上所求：①，③符合题意．故答案为：①，③．【知识点】等差数列的前n项和、等比数列18.【分析】（1）直接利用三角形的面积公式的应用建立等量关系，进一步求出∠ABC．（2）利用三角形的边的关系式的应用和余弦定理的应用求出cos∠CFB．【解答】解：（1）如图所示在△ABC中，∠A＝90°，点D在BC边上．在平面ABC内，过D作DF⊥BC且DF＝AC，所以，，且△CDF的面积等于△ABC的面积，由于DF＝AC，所以CD＝AB，D为BC的中点，故BC＝2AC，所以∠ABC＝60°．（2）如图所示：设AB＝k，由于∠A＝90°，∠ABC＝45°，BD＝3DC，DF＝AC，所以AC＝k，CB＝k，BD＝，DF＝k，由于DF⊥BC，所以CF2＝CD2+DF2，则．且BF2＝BD2+DF2，解得，在△CBF中，利用余弦定理＝＝．【知识点】余弦定理19.【分析】（1）根据异面直线共垂线的定义进行证明即可．（2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行转化求解即可．【解答】解：（1）取SD的中点H，连EH，FH，则EH∥SA，则EH⊥平面ABCD，∴EH⊥AD，∵FH∥CD，CD⊥AD，∴FH⊥AD，∴AD⊥平面EFH，∴AD⊥EF设BC＝2，∴EF＝1，EM＝FM＝，∴CD＝AB＝，SA＝，建立如图的空间直角坐标系，则E（0，1，0），F（，1，），S（0，0，），C（，2，0），则＝（，0，），＝（，2，﹣），则＝1﹣1＝0，即EF⊥SC，即EF为异面直线AD与SC的公垂线．（2）若EF＝BC，设BC＝2，则EF＝1，则EM＝FM＝，CD＝AB＝，SA＝，D（0，2，0），B（，0，0），则＝（，2，﹣），＝（0，2，0），＝（﹣，0，0），设面BCS的法向量为＝（a，b，c），则，则，取a＝c＝1，则＝（1，0，1）设面SCD的法向量为＝（x，y，z），则，则，取z＝，则y＝1，则＝（0，1，），则cosθ＝＝＝，∴余弦值为．【知识点】与二面角有关的立体几何综合题20.【分析】（1）根据散点图可以看出，散点均匀的分布在一条直线附近，故y与x成线性相关；（2）根据给出信息，分别计算出x，y的平均值，代入最小二乘法估计公式，即可得到回归方程；（3）根据所给残差图分别区域的宽度分析即可．【解答】解：（1）根据散点图可知，散点均匀的分布在一条直线附近，且随着x的增大，y增大，故y 与x成线性相关，且为正相关；（2）依题意，＝（1+2+3+4+5+6+7）＝4，＝y i＝1074≈153.43，＝＝＝≈7.89，＝﹣＝154.43﹣7.89×4＝121.87，所以y关于x的线性回归方程为：＝7.89x+121.87；（3）由残差图可以看出，残差对应点分布在水平带状区域内，且宽度较窄，说明拟合效果较好，回归方程的预报精度较高．【知识点】线性回归方程21.【分析】（1）根据离心率可得，代入a2＝b2+c2得a＝2b，再代点即可得出E的方程，再求出点F、P的坐标，从而求出圆F的方程；（2）设出C、D的坐标，求出|CF|、|DF|，根据条件得到|AB|＝|CD|＝1，利用韦达定理代入即可得到结论．【解答】解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为，∵椭圆的离心率e＝，∴，∵a2＝b2+c2，∴a＝2b，将点（1，）代入椭圆的方程得：，联立a＝2b解得：，∴椭圆E的方程为：，∴F（），∵PF⊥x轴，∴P（），∴⊙F的方程为：；（2）由A、B再圆上得|AF|＝|BF|＝|PF|＝r＝，设C（x1，y1），D（x2，y2），|CF|＝1同理：，若|AC|＝|BD|，则|AB|＝|CD|＝1，∴4﹣，由得，∴∴4﹣＝1得12k2＝12k2+3，无解，故不存在．【知识点】直线与椭圆的位置关系22.【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，以及切线方程，代入（0，），解方程可得a；（2）求得g（x）的解析式和导数，分解因式可得导数的符号，进而判断单调性；（3）运用分析法证明，结合f（x）和g（x）的单调性，以及a n+1＝f（a n），等比数列的性质，对a n与的大小关系讨论，即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）＝（x＞0）的导数为f′（x）＝，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为，切点为（1，），切线方程为y﹣＝（x﹣1），代入（0，）可得﹣＝（0﹣1），解得a＝7；（2）g（x）＝x（f（x））2＝x•（）2＝，g′（x）＝，当x＞0时，g′（x）＞0，可得g（x）在（0，+∞）递增；（3）要证2n﹣2|2lna n﹣ln7|＜1，只需证|lna n﹣ln7|＜，即为|ln|＜，只要证|ln|＜|ln|，由f（x）在（0，+∞）递减，a n＞0，若a n＞，a n+1＝f（a n）＜f（）＝，此时＜1＜，只要证ln＜ln（），即为＜（），即a n a n+12＞7，此时a n＞，由（2）知a n a n+12＝g（a n）＞g（）＝7；若a n＜，a n+1＝f（a n）＞f（）＝，此时＜1＜，只要证ln＜ln（），即为＜（），即a n a n+12＜7，此时a n＜，由（2）知a n a n+12＝g（a n）＜g（）＝7；若a n＝，不等式显然成立．综上可得|ln|＜|ln|，（n≥1，n∈N*）成立，则|ln|＜•|ln|＝•ln7，由ln7＜lne2＝1，可得|ln|＜，则2n﹣2|2lna n﹣ln7|＜1成立．【知识点】利用导数研究函数的单调性。

2020年山东省高考数学模拟试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合A ＝{（x ，y ）|x +y ＝2}，B ＝{（x ，y ）|y ＝x 2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{（1，1）}B ．{（﹣2，4）}C ．{（1，1），（﹣2，4）}D ．∅2．（5分）已知a +bi （a ，b ∈R ）是1−i 1+i的共轭复数，则a +b ＝（ ）A ．﹣1B ．−12C ．12D ．13．（5分）设向量a →=（1，1），b →=（﹣1，3），c →=（2，1），且（a →−λb →）⊥c →，则λ＝（ ） A ．3B ．2C ．﹣2D ．﹣34．（5分）（1x−x ）10的展开式中x 4的系数是（ ） A ．﹣210B ．﹣120C ．120D ．2105．（5分）已知三棱锥S ﹣ABC 中，∠SAB ＝∠ABC =π2，SB ＝4，SC ＝2√13，AB ＝2，BC ＝6，则三棱锥S ﹣ABC 的体积是（ ） A ．4B ．6C ．4√3D ．6√36．（5分）已知点A 为曲线y ＝x +4x（x ＞0）上的动点，B 为圆（x ﹣2）2+y 2＝1上的动点，则|AB |的最小值是（ ） A ．3B ．4C ．3√2D ．4√27．（5分）设命题p ：所有正方形都是平行四边形，则￢p 为（ ） A ．所有正方形都不是平行四边形B ．有的平行四边形不是正方形C ．有的正方形不是平行四边形D ．不是正方形的四边形不是平行四边形 8．（5分）若a ＞b ＞c ＞1且ac ＜b 2，则（ ） A ．log a b ＞log b c ＞log c a B ．log c b ＞log b a ＞log a c C ．log b c ＞log a b ＞log c aD ．log b a ＞log c b ＞log a c 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得09．（5分）如图为某地区2006年～2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图．根据该折线图可知，该地区2006年～2018年（ ） A ．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势 B ．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C ．财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D ．城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大10．（5分）已知双曲线C 过点（3，√2）且渐近线为y ＝±√33x ，则下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为x 23−y 2＝1B ．C 的离心率为√3C ．曲线y ＝e x ﹣2﹣1经过C 的一个焦点D ．直线x −√2y −1＝0与C 有两个公共点11．（5分）正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点．则（ ）A ．直线D 1D 与直线AF 垂直B ．直线A 1G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D．点C与点G到平面AEF的距离相等12．（5分）函数f（x）的定义域为R，且f（x+1）与f（x+2）都为奇函数，则（）A．f（x）为奇函数B．f（x）为周期函数C．f（x+3）为奇函数D．f（x+4）为偶函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）某元宵灯谜竞猜节目，有6名守擂选手和6名复活选手，从复活选手中挑选1名选手为攻擂者，从守擂选手中挑选1名选手为守擂者，则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有种．14．（5分）已知cos（α+π6）﹣sinα=4√35，则sin（α+11π6）＝．15．（5分）直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0），且与C交于A，B两点，则p＝，1|AF|+1|BF|=．16．（5分）半径为2的球面上有A，B，C，D四点，且AB，AC，AD两两垂直，则△ABC，△ACD与△ADB面积之和的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①b1+b3＝a2，②a4＝b4，③S5＝﹣25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由．设等差数列{a n}的前n项和为S n，{b n}是等比数列，，b1＝a5，b2＝3，b5＝﹣81，是否存在k，使得S k＞S k+1且S k+1＜S k+2？18．（12分）在△ABC中，∠A＝90°，点D在BC边上．在平面ABC内，过D作DF⊥BC 且DF＝AC．（1）若D为BC的中点，且△CDF的面积等于△ABC的面积，求∠ABC；（2）若∠ABC＝45°，且BD＝3CD，求cos∠CFB．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，E，F分别为AD，SC的中点，EF与平面ABCD所成的角为45°．（1）证明：EF为异面直线AD与SC的公垂线；（2）若EF=12BC，求二面角B﹣SC﹣D的余弦值．20．（12分）下面给出了根据我国2012年～2018年水果人均占有量y（单位：kg）和年份代码x绘制的散点图和线性回归方程的残差图（2012年～2018年的年份代码x分别为1～7）．（1）根据散点图分析y与x之间的相关关系；（2）根据散点图相应数据计算得∑7i=1y i＝1074，∑7i=1x i y i＝4517，求y关于x的线性回归方程；（3）根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果（精确到0.01）附：回归方程y=b x+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=∑n i=1(x i−x)(y i−y)，a=y−b x．∑n i−1(x i−x)221．（12分）设中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆E 过点（1，√32），且离心率为√32，F 为E 的右焦点，P 为E 上一点，PF ⊥x 轴，⊙F 的半径为PF ． （1）求E 和⊙F 的方程；（2）若直线l ：y ＝k （x −√3）（k ＞0）与⊙F 交于A ，B 两点，与E 交于C ，D 两点，其中A ，C 在第一象限，是否存在k 使|AC |＝|BD |？若存在，求l 的方程：若不存在，说明理由．22．（12分）函数f （x ）=a+x1+x （x ＞0），曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线在y 轴上的截距为112．（1）求a ；（2）讨论g （x ）＝x （f （x ））2的单调性；（3）设a 1＝1，a n +1＝f （a n ），证明：2n ﹣2|2lna n ﹣ln 7|＜1．2020年山东省高考数学模拟试卷答案解析1．解：将（1，1）代入A ，B 成立，则（1，1）为A ∩B 中的元素．将（﹣2，4）代入A ，B 成立，则（﹣2，4）为A ∩B 中的元素．故选：C ． 2．【解答】解：1−i 1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i 2=−i ，∴a +bi ＝﹣（﹣i ）＝i ， ∴a ＝0，b ＝1， ∴a +b ＝1，故选：D ．3．【解答】解：因为a →−λb →=（1+λ，1﹣3λ），又因为（a →−λb →）⊥c →， 所以（1+λ，1﹣3λ）•（2，1）＝2+2λ+1﹣3λ＝0，解得λ＝3，故选：A ． 4．【解答】解：由二项式（1x−x ）10的展开式的通项T r +1=C 10r (1x)10−r (−x)r =(−1)r C 10r x2r−10得，令2r ﹣10＝4，得r ＝7，即展开式中x 4的系数是(−1)7C 107=−120，故选：B ．5【解答】解：如图，因为∠ABC =π2，所以AC =√AB 2+BC 2=2√10， 则SA 2+AC 2＝40+12＝52＝SC 2，所以SA ⊥AC ，又因为∠SAB =π2，即SA ⊥AB ，AB ∩AC ＝A ，SA ⊄平面ABC ，所以SA ⊥平面ABC ， 所以V S ﹣ABC =13•SA •S △ABC =13×2√3×12×2×6=4√3， 故选：C ．6．【解答】解：作出对勾函数y ＝x +4x （x ＞0）的图象如图：由图象知函数的最低点坐标为A （2，4），圆心坐标C （2，0），半径R ＝1，则由图象知当A ，B ，C 三点共线时，|AB |最小，此时最小值为4﹣1＝3， 即|AB |的最小值是3， 故选：A ．7．【解答】解：命题的否定为否定量词，否定结论．故￢p ，有的正方形不是平行四边形． 故选：C ．8．【解答】解：因为a ＞b ＞c ＞1，令a ＝16，b ＝8，c ＝2， 则log c a ＞1＞log a b 所以A ，C 错， 则log c b =3＞log b a =43故D 错，B 对． 故选：B ．9．【解答】解：由图知财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势，A 对． 由图知城乡居民储蓄年末余额的年增长速度高于财政预算内收入的年增长速度，B 错． 由图知财政预算内收入年平均增长量低于城乡居民储蓄年末余额年平均增长，C 错． 由图知城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大，D 对． 故选：AD ．10．【解答】解：设双曲线C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1，根据条件可知ba=√33，所以方程可化为x 23b 2−y 2b 2=1，将点（3，√2）代入得b 2＝1，所以a 2＝3，所以双曲线C 的方程为x 23−y 2=1，故A对；离心率e =c a =√a 2+b 2a 2=√3+13=2√33，故B 错；双曲线C 的焦点为（2，0），（﹣2，0），将x ＝2代入得y ＝e 0﹣1＝0，所以C 对；联立{x 23−y 2=1x −√2y −1=0，整理得y 2﹣2√2y +2＝0，则△＝8﹣8＝0，故只有一个公共点，故D 错，故选：AC ．11．【解答】解：取DD 1 中点M ，则AM 为AF 在平面AA 1D 1D 上的射影， ∵AM 与DD 1 不垂直，∴AF 与DD 1不垂直，故A 错；取B 1C 1中点N ，连接A 1N ，GN ，可得平面A 1GN ∥平面AEF ，故B 正确； 把截面AEF 补形为四边形AEFD 1，由等腰梯形计算其面积S =98，故C 正确；假设C 与G 到平面AEF 的距离相等，即平面AEF 将CG 平分，则平面AEF 必过CG 的中点，连接CG 交EF 于H ，而H 不是CG 中点，则假设不成立，故D 错．故选：BC ．12【解答】解：∵f （x +1）与f （x +2）都为奇函数，∴f （﹣x +1）＝﹣f （x +1）①，f （﹣x +2）＝﹣f （x +2）②，∴由①可得f [﹣（x +1）+1]＝﹣f （x +1+1），即f （﹣x ）＝﹣f （x +2）③， ∴由②③得f （﹣x ）＝f （﹣x +2），所以f （x ）的周期为2， ∴f （x ）＝f （x +2），则f （x ）为奇函数，∴f （x +1）＝f （x +3），则f （x +3）为奇函数，故选：ABC ．13【解答】解：由排列组合中的分步原理，从复活选手中挑选1名选手为攻擂者，共C 61=6种选法，从守擂选手中挑选1名选手为守擂者，共C 61=6种选法，则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有6×6＝36种选法， 即攻擂者、守擂者的不同构成方式共有36种，故答案为：36．14．【解答】解：∵cos （α+π6）﹣sin α=√32cos α−12sin α﹣sin α=√3（12cos α−√32sin α）=√3cos（α+π3）=4√35， ∴cos （α+π3）=45．则sin （α+11π6）＝sin （α−π6）＝﹣cos （α−π6+π2）＝﹣cos （α+π3）=−45， 故答案为：−45．15．【解答】解：由题意，抛物线C 的焦点F （1，0）， ∴p2=1，故p ＝2．∴抛物线C 的方程为：y 2＝4x ．则可设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由抛物线的定义，可知：|AF |＝x 1+1，|BF |＝x 2+1． ①当斜率不存在时，x 1＝x 2＝1． ∴1|AF|+1|BF|=1x 1+1+1x 2+1=12+12=1．②当斜率存在时，设直线l 斜率为k （k ≠0），则直线方程为：y ＝k （x ﹣1）． 联立{y =k(x −1)y 2=4x，整理，得k 2x 2﹣2（k 2+2）x +k 2＝0，∴{△=4(k 2+2)2−4k 4=16(k 2+1)＞0x 1+x 2=2(k 2+2)k 2x 1⋅x 2=1．∴1|AF|+1|BF|=1x 1+1+1x 2+1=x 1+x 2+2x 1x 2+x 1+x 2+1=x 1+x 2+2x 1+x 2+2=1．综合①②，可知：1|AF|+1|BF|=1．故答案为：2；1．16．【解答】解：半径为2的球面上有A ，B ，C ，D 四点，且AB ，AC ，AD 两两垂直， 如图所示则设四面体ABCD 置于长方体模型中，外接球的半径为2，故x2+y2+z2＝16，S＝S△ABC+S△ACD+S△ABD=12yz+12xy+12xz，由于2（x2+y2+z2）﹣4S＝（x﹣y）2+（y﹣z）2+（x﹣z）2≥0，所以4S≤2•16＝32，故S≤8，故答案为：8．17．【解答】解：因为在等比数列{b n}中，b2＝3，b5＝﹣81，所以其公比q＝﹣3，从而b n=b2(−3)n−2=3×(−3)n−2，从而a5＝b1＝﹣1．若存在k，使得S k＞S k+1，即S k＞S k+a k+1，从而a k+1＜0；同理，若使S k+1＜S k+2，即S k+1＜S k+1+a k+2，从而a k+2＞0．若选①：由b1+b3＝a2，得a2＝﹣1﹣9＝﹣10，所以a n＝3n﹣16，当k＝4时满足a5＜0，且a6＞0成立；若选②：由a4＝b4＝27，且a5＝﹣1，所以数列{a n}为递减数列，故不存在a k+1＜0，且a k+2＞0；若选③：由S5=−25=5(a1+a5)2=5a3，解得a3＝﹣5，从而a n＝2n﹣11，所以当n＝4时，能使a5＜0，a6＞0成立．18．【解答】解：（1）如图所示在△ABC中，∠A＝90°，点D在BC边上．在平面ABC内，过D作DF⊥BC且DF＝AC，所以S△ABC=12⋅AB⋅AC，S△CDF=12⋅CD⋅DF，且△CDF的面积等于△ABC的面积，由于DF＝AC，所以CD＝AB，D为BC的中点，故BC＝2AC，所以∠ABC＝60°．（2）如图所示：设AB＝k，由于∠A＝90°，∠ABC＝45°，BD＝3DC，DF＝AC，所以AC＝k，CB=√2k，BD=3√24k，DF＝k，由于DF⊥BC，所以CF2＝CD2+DF2，则CF=3√24k．且BF2＝BD2+DF2，解得BF=√344k，在△CBF中，利用余弦定理cos∠CBF=CF2+BF2−BC22⋅CF⋅BF=98k2+178k2−2k22⋅3√24k⋅√344k=5√1751．19．【解答】解：（1）取SB中点M，连接FM和MA，则四边形FMAE为平行四边形，∵EF与底面所成角度为45°，∴AM与底面所成角度为45°，即∠MAB＝45°，则△SAB为等腰直角三角形，则AM ⊥SB ，AM ⊥BC ，即AM ⊥面SBC ，EF ⊥面SBC ，则EF ⊥SC ，EF ⊥BC ，EF ⊥AD ，即EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线． （2）若EF =12BC ，设BC ＝2，则EF ＝1，则EM ＝FM =√22，CD ＝AB =√2，SA =√2，D （0，2，0），B （√2，0，0），则SC →=（√2，2，−√2），BC →=（0，2，0），CD →=（−√2，0，0），设面BCS 的法向量为n →=（a ，b ，c ），则{n →⋅SC →=√2a +2b −√2c =0n →⋅BC →=2b =0，则{b =0a =c ，取a ＝c ＝1，则n →=（1，0，1） 设面SCD 的法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅SD →=√2x +2y −√2z =0m →⋅CD →=−√2x =0，则{x =02y =√2z，取z =√2，则y ＝1，则m →=（0，1，√2），则cos θ=m →⋅n→|m →||n →|=√2√2⋅√3=√33，由图象知二面角B ﹣SC ﹣D 为钝二面角．则二面角B ﹣SC ﹣D 的余弦值为−√33．20．【解答】解：（1）根据散点图可知，散点均匀的分布在一条直线附近，且随着x 的增大，y 增大，故y 与x 成线性相关，且为正相关；（2）依题意，x =17（1+2+3+4+5+6+7）＝4，y =17∑ 7i=1y i =17×1074≈153.43， b =∑ 71x i y i −7xy ∑ 71x i 2−7x2=∑ 71x 1y i −7x×y ∑ 71x i 2−7x2=4517−7×154.43×4140−7×42≈7.89， a =y −b x =154.43﹣7.89×4＝121.87，所以y 关于x 的线性回归方程为：y =7.89x +121.87；（3）由残差图可以看出，残差对应点分布在水平带状区域内，且宽度较窄，说明拟合效果较好，回归方程的预报精度较高．21．【解答】解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1，∵椭圆的离心率e =√32，∴c a =√32，∵a 2＝b 2+c 2，∴a ＝2b ，将点（1，√32）代入椭圆的方程得：1a 2+34b2=1， 联立a ＝2b 解得：{a =2b =1，∴椭圆E 的方程为：x 24+y 2=1，∴F （√3，0），∵PF ⊥x 轴，∴P （√3，±12），∴⊙F 的方程为：(x −√3)2+y 2=14； （2）由A 、B 在圆上得|AF |＝|BF |＝|PF |＝r =12，设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），|CF |=√(x 1−√3)2+y 12=2−√32x 1同理：|DF|=2−√32x 2，若|AC |＝|BD |，则|AC |+|BC |＝|BD |+|BC |，即|AB |＝|CD |＝1， ∴4−√32(x 1+x 2)=1，由{x 24+y 2=1y =k(x −√3)得(4k 2+1)x 2−8√3k 2x +12k 2−4=0， ∴x 1+x 2=8√3k24k 2+1∴4−12k24k 2+1=1得12k 2＝12k 2+3，无解，故不存在．22．【解答】解：（1）函数f （x ）=a+x 1+x （x ＞0）的导数为f ′（x ）=1−a(x+1)2， 曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为1−a 4，切点为（1，a+12），切线方程为y −a+12=1−a 4（x ﹣1）， 代入（0，112）可得112−a+12=1−a 4（0﹣1），解得a ＝7；（2）g （x ）＝x （f （x ））2＝x •（7+x 1+x）2=x 3+14x 2+49x(x+1)2，g ′（x ）=(x+7)[(x−2)2+3](x+1)3，当x ＞0时，g ′（x ）＞0，可得g （x ）在（0，+∞）递增；（3）要证2n ﹣2|2lna n ﹣ln 7|＜1，只需证|lna n −12ln 7|＜12n−1，即为|lnn √7|12n−1，只要证|lnn+1√7|12|lnn√7|由f （x ）在（0，+∞）递减，a n ＞0，若a n ＞√7，a n +1＝f （a n ）＜f （√7）=√7，此时n+1√7＜1n √7， 只要证ln √7a n+1＜ln （n √7）12，即为√7a n+1＜（n √7）12，即a n a n +12＞7√7，此时a n ＞√7，由（2）知a n a n +12＝g （a n ）＞g （√7）＝7√7； 若a n ＜√7，a n +1＝f （a n ）＞f （√7）=√7，此时n √71n+1√7， 只要证ln n+1√7＜ln （√7a n）12，即为n+1√7＜（√7a n ）12，即a n a n +12＜7√7，此时a n ＜√7，由（2）知a n a n +12＝g （a n ）＜g （√7）＝7√7； 若a n =√7，不等式显然成立． 综上可得|ln n+1√7|12|lnn√7|（n ≥1，n ∈N *）成立，则|lnn√7|12n−1•|ln1√7|=12n−1•12ln 7，由12ln 7＜12lne 2＝1，可得|lnn√7|12n−1，则2n ﹣2|2lna n ﹣ln 7|＜1成立．。

2020年2020届山东省高三高考模拟考试数学试卷★祝考试顺利★ (解析版)一、单项选择题：1.已知集合{1,2}A =-,{|1}B x ax ==,若B A ⊆,则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为（ ）A. 11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. 11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C. 10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭D. 11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】分B 为空集和B 不为空集两种情况讨论,分别求出a 的范围,即可得出结果. 【详解】因为集合{1,2}A =-,{|1}B x ax ==,B A ⊆, 若B 为空集,则方程1ax =无解,解得0a =； 若B 不为空集,则0a ≠；由1ax =解得1x a=,所以11a =-或12a =,解得1a =-或12a =,综上,由实数a 的所有可能的取值组成的集合为11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.故选D2.若1iz i =-+（其中i 是虚数单位）,则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D分析：变形1iz i =-+,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z 的坐标即可得结论. 详解：由i 1i z =-+, 得()()21i i 1i 1i i iz -+--+===+-,1z i =- ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为()1,1-,位于第四象限,故选D.3.函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数,图象关于y 轴对称,排除D ；根据()0,1x ∈时,()0f x <,排除,A C ,从而得到正确选项. 【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠,且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数,关于y 轴对称,排除D ；当()0,1x ∈时,220x x -+>,ln 0x <,可知()0f x <,排除,A C . 本题正确选项：B4.《九章算术⋅衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关,关税共计100钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（ ） A. 甲付的税钱最多 B. 乙、丙两人付的税钱超过甲 C. 乙应出的税钱约为32 D. 丙付的税钱最少【答案】B 【解析】通过阅读可以知道,A D 说法的正确性,通过计算可以知道,B C 说法的正确性.【详解】甲付的税钱最多、丙付的税钱最少,可知,A D 正确:乙、丙两人付的税钱占总税钱的3511002<不超过甲。

山东省2020年普通高等院校统一招生模拟考试高三教学质量检测数学试题2020．02本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，将第I 卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡交回．考试时间120分钟，满分150分． 注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数2,i z z 在复平面内对应的点分别为()()11221,1,0,1z Z Z z =，则 A ．1i +B ．1i -+C ．1i --D ．1i -2．设a R ∈，则“sin cos αα=”是“sin 21α=”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．向量a b r r ，满足()()1,2a b a b a b ==+⊥-u u r u u r r r r r，则向量a b r r 与的夹角为 A ．45oB ．60oC ．90oD ．120o4．已知数列{}n a 中，372,1a a ==．若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则5a = A ．23B ．32C ．43D ．345．已知点()2,4M 在抛物线()2:20C y px p =>上，点M 到抛物线C 的焦点的距离是A ．4B ．3C ．2D ．16．在ABC ∆中，2,20AB AC AD AE DE EB x AB y AC +=+==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，若，则 A ．2y x =B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =-7．已知双曲线()2222:1,0,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F O ，为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，()21212=2=2,0,PF PF m m PF PF m >⋅=u u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，则双曲线C 的渐近线方程为 A ．12y x =±B ．22y x =±C ．y x =±D ．2y x =±8．已知奇函数()f x 是R 上增函数，()()g x xf x =则A. 233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

专题8 数列数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系；解答题的难度中等或稍难，将稳定在中等难度.往往在利用方程思想解决数列基本问题后，进一步数列求和，在求和后可与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要． 预测2020年将保持稳定，注意主观题与不等式、函数等相结合.一、单选题1．（2020届山东省淄博市高三二模）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC．D．2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的最大值为（ ） A ．3-B ．1-C ．3D ．13．（2020届山东省济宁市高三3月月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路 B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了42里路若存在两项,m n a a32=，则14m n+的最小值为 A ．34B ．910C ．32D ．955．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知数列{}n a 中,32a =,71a =.若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则5a =( ) A ．23B ．32C ．43D ．34二、多选题6．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=，648S =，则下列正确的是（ ） A ．12a =-B ．12a =C ．4d =D ．4d =-7．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路8．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+- 9．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ） A ． 0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为810．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知数列{}{},n n a b 满足1111312,2ln(),0n n n n n n n a a b b a b n N a b n*+++=+=++∈+> 给出下列四个命题，其中的真命题是（ ） A ．数列{}n n a b -单调递增； B ．数列{}n n a b + 单调递增； C ．数{}n a 从某项以后单调递增； D ．数列{}n b 从某项以后单调递增.三、填空题11．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列{}n a 的前n 项和公式为221n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为___．12．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用n a 表示解下()*9,n n n N≤∈个圆环所需移动的最少次数，{}na 满足11a=，且()()112122n n n a n a a n --⎧-⎪=⎨+⎪⎩为偶数为奇数，则解下5个圆环需最少移动________次.四、解答题13．（2020·山东高三模拟）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为414S =, 且137,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .14．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 15．（2020届山东省高考模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a a =-（*n N ∈），数列{}n b 满足16b =，14n n nb S a =++（*n N ∈）． （Ⅰ）求数列{}n a 通项公式； （Ⅱ）记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12nT ＜． 16．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．17．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若2822a a +=，且4712,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12111n n T S S S =+++，证明：34n T <. 19．（2020届山东省泰安市肥城市一模）记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小.20．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，且139a a a 、、成等比数列，246a a +=.（1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）设()21cos3n n n a b a π+=，求数列{}nb 的前2020项的和2020S.21．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N . (1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式; (2)若n nn b a =,求{}n b 的前n 项和n T ,并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由.22．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，627S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，记n T 为数列{}n b 的前n 项和.若124m T =，求m .23．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且*12(1)()n n a a n N +=+∈.（Ⅰ）证明：数列{a n +2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n ＝log 2（a n +2）﹣log 23，求数列32n n b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .24．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）数列{}n a 满足：123a a a +++()1312nn a +=- （1）求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足3n na b n a =，求{}n b 的前n 项和n T .25．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠）． （1）在下列条件中选择一个________使数列{}n a 是等比数列，说明理由； ①数列(){}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；③数列(){}n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k =12241+=-n n n a b n ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 26．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}n c ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 27．（2020·山东高三下学期开学）已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a ++++=----…．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：11226n T ≤<． 28．（2020届山东省淄博市高三二模）已知数列{}n a 满足132a =，且()1112,22n n n a a n n *--=+≥∈N .（1）求证：数列{}2nn a 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .29．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知数列{}n a 满足11a =，1431n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）证明：数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和.30．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）（本小题满分12分）设函数()()22ln 11x f x x x =+++.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）如果对所有的x ≥0，都有()f x ≤ax ，求a 的最小值；（Ⅲ）已知数列{}n a 中， 11a =，且()()1111n n a a +-+=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：11ln 2n n n na S a a ++>-.一、单选题1．（2020届山东省淄博市高三二模）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC． D．【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈， 又1a f =，则7781a a q f === 故选D.2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的最大值为（ ） A ．3- B ．1-C ．3D ．1【答案】C 【解析】当2n ≥ 时，1121,,33n n n n n n S a S a --++== 两式作差可得：11211213311n n n n n a n n n a a a a n n --+++=-⇒==+-- ， 据此可得，当2n = 时，1nn a a -的最大值为33．（2020届山东省济宁市高三3月月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（ ）A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了42里路【答案】C 【解析】由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由S 6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求第二天的，第三天的，后三天的路程，即可得到答案．4．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知正项等比数列{}n a 满足：2853516,20a a a a a =+=，若存在两项,m n a a 32=，则14m n+的最小值为 A ．34B ．910C ．32D ．95【答案】A 【解析】因为数列{}n a 是正项等比数列，28516a a a ，3520a a +=，所以2285516a a a a ，516a =，34a =，所以253a a q =，2q ，451a a q ，11a =，1112n n n a a q --==，32=，所以1110222m n，12m n +=，414114112125n m mnm n mnm n431124520,0n m mnm n ，当且仅当2n m =时“=”成立， 所以14mn的最小值为34，故选A 。

山东省2020年高考数学模拟考试试题及答案参考答案一、单项选择题1. 一看就是两个交点，所以需要算吗？C2. 分母实数化，别忘了“共轭”，D3. 简单的向量坐标运算，A4. 球盒模型（考点闯关班里有讲），37分配，B5. 在一个长方体中画图即可（出题人就是从长方体出发凑的题，其实就是一个鳖臑bie nao ）C6. 画个图，一目了然，A7. 关键是把“所有”翻译成“任取”，C8. 用6、4、2特值即可（更高级的，可以用极限特值8-、4、2，绝招班里有讲），B二、多项选择题9. 这个，主要考语文，AD10. 注意相同渐近线的双曲线设法，2222x y a bλ-=，D 选项可用头哥口诀（直线平方……）AC11. B 选项构造二面平行，C 选项注意把面补全为AEFD1（也可通过排除法选出），D 选项CG中点明显不在面上，BC12. 利用函数平移的思想找对称中心，ABC三、填空题13. 确定不是小学题？3614. 竟然考和差化积，头哥告诉过你们记不住公式怎么办，不过这题直接展开也可以，45- 15. 利用焦半径公式，或者更快的用特殊位置，或者更更快用极限特殊位置（绝招班有讲），2，116. 根据对称之美原则（绝招班有讲），8（老实讲，选择填空所有题都可以不动笔直接口算出来的呀~~~）四、解答题17. 故弄玄虚，都是等差等比的基本运算，选①，先算等比的通项()13n n b -=--，再算等差的通项316n a n =-，4k =，同理②不存在，③ m.cksdu 牛逼 4k =18. （1）根据三角形面积很容易得出两边之比，再用正弦定理即可，60°（2）设AC=4x （想想为什么不直接设为x ？），将三角形CFB 三边表示出来，再用余弦19. （1）取SB 中点M ，易知AM//EF ，且MAB=45°，可得AS=AB ，易证AM ⊥面SBC ，进一步得证（2）可设AB=AS=a ，，建系求解即可，20. （1）正相关（2）公式都给了，怕啥，但是需要把公式自己化简一下，ˆ121.867.89yx =+ （3）两侧分布均匀，且最大差距控制在1%左右，拟合效果较好21. （1）没啥可说的，2214x y +=，(2214x y -+= （2）单一关参模型，条件转化为AB=CD=1（绝招班里有讲），剩下就是计算了，无解，所以不存在22. （1）送分的（求导可用头哥口诀），7（2）考求导，没啥意思，注意定义域，单增()0,+∞（3）有点意思，详细点写由递推公式易知1n a ≥由(11711n n n n n a a a a a +-+-==++知若n a，则1n a +；若n a >，则1n a +<又11a =<，所以n为奇数时n a <，n为偶数时n a >1）n为奇数时，n a <，1n a +>，由（2）的单增可知 ()2221n n n n a a a f a +=<=可知22111ln ln 0ln 277n n n n a a a a ++<<⇒>>⇒>2）n为偶数时，n a >，1n a +<2）的单增可知()2221n n n n a a a f a +=>=2211771ln 02ln n n a a ++>>⇒>>⇒>由1）212<所以111117ln ln22lnn nna---⎛⎫⎛⎫=≤<⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以222ln ln71nna-⋅-<证毕注：奉劝大家千万不要求通项公式，当然利用不动点也能求出来)(((117711nn na--⎛⎫-⎝⎭=-，只是接下来你就要崩溃了吧~~~。

2020年山东省高考数学模拟试卷（12）一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|3x≥1}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x≤3}B．{x|0≤x≤3}C．{x|1＜x≤3}D．{x|1＜x＜3}2．（5分）函数f(x)=(x−1x+1)e x的部分图象大致是（）A．B．C．D．3．（5分）已知z＝（m+3）+（m﹣1）i（m∈R）在复平面内对应的点为P，则P点不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）命题p：∀x∈（0，+∞），x 13=x15，则￢p为（）A．∃x∈（0，+∞），x 13≠x15B．∀x∈（0，+∞），x13≠x15C．∃x∈（﹣∞，0），x 13≠x15D．∀x∈（﹣∞，0），x13≠x155．（5分）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分用茎叶图表示，茎叶图中甲得分的部分数据丟失（如图），但甲得分的折线图完好，则下列结论正确的是（）A．甲得分的极差是11B．乙得分的中位数是18.5C．甲运动员得分有一半在区间[20，30]上D．甲运动员得分的平均值比乙运动员得分的平均值高6．（5分）已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=√3AB，若四面体P﹣ABC的体积为32，则该球的表面积为（）A．12 πB．4√3πC．16πD．8π7．（5分）在△ABC 中，D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，BE 与CD 交于点P ，设BE →=a →，CD →=b →，则AP →=（ ）A ．−23a →−23b →B ．−43a →−43b →C ．−34a →−34b →D ．−54a →−54b →8．（5分）已知函数f （x ）＝mx ﹣2m ，g(x)={x 2+2(m +1)x +1−m ，x ≤0lnx ，x ＞0，若这两个函数图象有且只有三个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[﹣2，﹣1]B ．（﹣2，﹣1]C ．[﹣1，0）D ．[﹣1，0]二．多选题（共3小题，满分15分，每小题5分）9．（5分）某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调査了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表．经计算K 2的观测值k ≈4.762，则可以推断出（ ） 满意 不满意 男 30 20 女 4010P （k 2≥k ） 0.100 0.050 0.010k2.7063.841 6.635A ．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为35B ．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意C ．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异D ．有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异10．（5分）某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考升学情况，得到如下柱图：则下列结论正确的是（）A．与2016 年相比，2019 年一本达线人数有所增加B．与2016 年相比，2019 年二本达线人数增加了0.5 倍C．与2016年相比，2019 年艺体达线人数相同D．与2016 年相比，2019 年不上线的人数有所增加11．（5分）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论正确的是（）A．卫星向径的取值范围是[a﹣c，a+c]B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）12．（5分）已知函数f（x）=12sin2ωx+√32cos2ωx的最小正周期为π，则f（x）在闭区间[0，π4]的最大值为．13．（5分）某校3个兴趣小组的学生人数分布如表（每名学生只参加一个小组）（单位：人）．篮球组书画组乐器组高一 45 30 ★ 高二152010已知用分层抽样的方法从参加这三个兴趣小组的学生中共抽取30人，其中篮球组被抽出12人，则★处的值为 ．14．（5分）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝1，E 为BC 的中点，则点A 到平面A 1DE 的距离是 ．15．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 27=1(a ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，左顶点为A ，以F 2为圆心，|F 2A |为半径的圆交双曲线右支于M 、N 两点，且线段AM 的垂直平分线过点N ，则a ＝ ． 四．解答题（共6小题）16．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sinA +sinB =csinC+3bsinAa+b． （Ⅰ）求∠C 的值；（Ⅱ）若c =√2，求△ABC 面积的最大值．17．已知数列{a n }的前n 项和为S n =C n 0+C n 1+C n 2+⋯+C n n−1，数列{b n }满足b n ＝log 2a n ．（1）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（2）求T n ＝b 12﹣b 22+b 32﹣b 42+…+（﹣1）n +1b n 2．18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD =12AD ．E 、M 分别为棱AD 、PD 的中点，P A ⊥CD ． （1）证明：平面MCE ∥平面P AB ；（2）若二面角P ﹣CD ﹣A 的大小为45°，求直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值．19．已知抛物线E ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，圆M 的方程为：x 2+y 2﹣py ＝0，若直线x ＝4与x 轴交于点R ，与抛物线交于点Q ，且|QF|=54|RQ|． （1）求出抛物线E 和圆M 的方程；（2）过焦点F 的直线l 与抛物线E 交于A 、B 两点，与圆M 交于C 、D 两点（A ，C 在y 轴同侧），求证：|AC |•|DB |是定值．20．医院为筛查某种疾病，需要血检，现有n （n ∈N *）份血液样本，有以下两种检验方式： 方式一：逐份检验，需要检验n 次；方式二：混合检验，把每个人的血样分成两份，取k （k ≥2）个人的血样各一份混在一起进行检验，如果结果是阴性，那么对这k 个人只作﹣一次检验就够了；如果结果是阳性，那么再对这k 个人的另一份血样逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为k +1次． （1）假设有6份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p （0＜p ＜1）．现取其中k （k ∈N *且k ≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为X 1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为X 2．①运用概率统计的知识，若EX 1＝EX 2，试求p 关于k 的函数关系式p ＝f （k ）； ②若p =1−e−15，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值．参考数据：ln 11≈2.3978，1n 12≈2.4849，ln 13≈2.5649． 21．已知函数f （x ）＝a （x ﹣1）（e x ﹣a ）（常数a ∈R 且a ≠0）． （1）当a ＝1时，求f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）求证：当a ＞0时，函数f （x ）有且只有一个极值点； （3）若函数f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，求证：0＜f （x 1）＜4e 2且0＜f （x 2）＜4e 2．2020年山东省高考数学模拟试卷（12）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|3x≥1}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x≤3}B．{x|0≤x≤3}C．{x|1＜x≤3}D．{x|1＜x＜3}【解答】解：∵集合A={x|3x≥1}={x|0＜x≤3}，B＝{x|x≥0}，∴A∩B＝{x|0＜x≤3}．故选：A．2．（5分）函数f(x)=(x−1x+1)e x的部分图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：当x→﹣∞时，e x→0+，x−1x+1=1−2x+1→1+，所以f（x）→0+，排除C，D；因为x→+∞时，e x→+∞，x−1x+1=1−2x+1→1+，所以f（x）→+∞，因此排除B，故选：A．3．（5分）已知z＝（m+3）+（m﹣1）i（m∈R）在复平面内对应的点为P，则P点不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由z＝（m+3）+（m﹣1）i（m∈R），得P（m+3，m﹣1），由{m+3＞0m−1＞0，得m＞1；由{m+3＜0m−1＞0，得m∈∅；由{m +3＜0m −1＜0，得m ＜﹣3；由{m +3＞0m −1＜0，得﹣3＜m ＜1．由上可知，P 点不可能在第二象限． 故选：B ． 4．（5分）命题p ：∀x ∈（0，+∞），x 13=x 15，则￢p为（ ）A ．∃x ∈（0，+∞），x 13≠x 15 B ．∀x ∈（0，+∞），x 13≠x 15C ．∃x ∈（﹣∞，0），x 13≠x 15D ．∀x ∈（﹣∞，0），x 13≠x 15【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x ∈（0，+∞），使得x 13≠x 15．故选：A ．5．（5分）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分用茎叶图表示，茎叶图中甲得分的部分数据丟失（如图），但甲得分的折线图完好，则下列结论正确的是（ ）A ．甲得分的极差是11B ．乙得分的中位数是18.5C ．甲运动员得分有一半在区间[20，30]上D ．甲运动员得分的平均值比乙运动员得分的平均值高 【解答】解：甲的极差为28﹣9＝19，A 错， 乙的中位数为16+172=16.5，B 错，由甲得分的折线图可知甲运动员得分有2次在区间[20，30]，C 错， 故选：D ．6．（5分）已知四面体P ﹣ABC 的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC ，2AC =√3AB ，若四面体P ﹣ABC 的体积为32，则该球的表面积为（ ）A ．12 πB ．4√3πC ．16πD ．8π【解答】解：因为四面体P ﹣ABC 的外接球的球心O 在AB 上可得：O 为外接球的球心，PO ＝AO ＝CO 为外接球的半径R ，AB 为外接球的直径2R ，AC ⊥BC ，因为2AC =√3AB ，所以AC =√3R ，BC =√AB 2−AC 2=R ， 因为PO ⊥平面ABC ，所以V P ﹣ABC =13⋅12⋅AC ⋅CB ⋅OP =16⋅√3R 3=32，可得R 3=3√3，所以R =√3， 所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝12π， 故选：A ．7．（5分）在△ABC 中，D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，BE 与CD 交于点P ，设BE →=a →，CD →=b →，则AP →=（ ）A ．−23a →−23b →B ．−43a →−43b →C ．−34a →−34b →D ．−54a →−54b →【解答】解：设AB →=x →，AC →=y →，根据三角形法则：BE →=12(BA →+BC →)=−12x →+12(y →−x →)=a →，整理得12y →−x →=a →，同理CD →=12(CA →+CB →)=−12y →+12(x →−y →)=b →，整理得12x →−y →=b →，所以{12y →−x →=a →12x →−y →=b →，解得：x →=−4a →+2b →3，y →=−4a →+4b→3，所以AP →=23×12(AB →+AC →)=−23a →−23b →．故选：A ．8．（5分）已知函数f （x ）＝mx ﹣2m ，g(x)={x 2+2(m +1)x +1−m ，x ≤0lnx ，x ＞0，若这两个函数图象有且只有三个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[﹣2，﹣1]B ．（﹣2，﹣1]C ．[﹣1，0）D ．[﹣1，0]【解答】解：由题意，可知当m ＝0时，f （x ）＝0，g （x ）={(x +1)2，x ≤0lnx ，x ＞0，此时函数f（x）即为x轴，g（x）图象如右：结合图象，可知函数f（x）与g（x）图象只有2个交点，不符合题意，故排除D选项；当m=−32时，f（x）=−32（x﹣2），g（x）={x2−x+52，x≤0lnx，x＞0，此时函数f（x）与g（x）图象如右：结合图象，可知函数f（x）与g（x）图象只有2个交点，不符合题意，故排除A、B选项；故选：C．二．多选题（共3小题，满分15分，每小题5分）9．（5分）某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调査了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表．经计算K2的观测值k≈4.762，则可以推断出（）满意不满意男3020女4010P （k 2≥k ） 0.100 0.050 0.010k2.7063.841 6.635A ．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为35B ．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意C ．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异D ．有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异【解答】解：由统计表格知：女生对食堂的满意率为：45；男生对食堂的满意率为35；故A ，该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为35，A 正确；对于B ，应为该校女生比男生对食堂服务更满意；B 错误； 由题意算得，k 2＝4.762＞3.841，参照附表，可得： 有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异； 故C 正确，D 错误． 故选：AC ．10．（5分）某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考升学情况，得到如下柱图：则下列结论正确的是（ ）A ．与 2016 年相比，2019 年一本达线人数有所增加B ．与 2016 年相比，2019 年二本达线人数增加了0.5 倍C ．与 2016年相比，2019 年艺体达线人数相同D ．与 2016 年相比，2019 年不上线的人数有所增加【解答】解：依题意，设2016年高考考生人数为x ，则2019年高考考生人数为1.5x ， 由24%•1.5x ﹣28%•x ＝8%•x ＞0，故选项A 正确；由（40%•1.5x ﹣32%•x ）÷32%•x =78，故选项B 不正确； 由8%•1.5x ﹣8%•x ＝4%•x ＞0，故选项C 不正确； 由28%•1.5x ﹣32%•x ＝42%•x ＞0，故选项D 正确． 故选：AD ．11．（5分）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，下列结论正确的是（ ）A ．卫星向径的取值范围是[a ﹣c ，a +c ]B ．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C ．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D ．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小【解答】解：由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为a ﹣c ，最大值为a +c ，所以A 正确；根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B 正确；卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即a−c a+c=1−e 1+e=−1+21+e越小，则e 越大，椭圆越扁，故C 不正确．因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故D 正确； 故选：ABD ．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）12．（5分）已知函数f （x ）=12sin2ωx +√32cos2ωx 的最小正周期为π，则f （x ）在闭区间[0，π4]的最大值为 1 ．【解答】解：∵函数f （x ）=12sin2ωx +√32cos2ωx ＝sin （2ωx +π3）， 且f （x ）的最小正周期为π， ∴T =2π2ω=π，解得ω＝1， ∴f （x ）＝sin （2x +π3）； ∴当x ∈[0，π4]时，2x +π3∈[π3，5π6]，∴当2x +π3=π2时，f （x ）＝sin （2x +π3）取得最大值为1． 故答案为：1．13．（5分）某校3个兴趣小组的学生人数分布如表（每名学生只参加一个小组）（单位：人）．篮球组 书画组 乐器组 高一 45 30 ★ 高二152010已知用分层抽样的方法从参加这三个兴趣小组的学生中共抽取30人，其中篮球组被抽出12人，则★处的值为 30 ．【解答】解：根据分层抽样的定义和方法可得，1245+15=30120+☆，解得☆＝30， 故答案为：30．14．（5分）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝1，E 为BC 的中点，则点A 到平面A 1DE 的距离是√63．【解答】解：V 三棱锥A 1−ADE =13×12×2×1×1=13，S △A 1DE =12×√2×√3=√62V 三棱锥A−A 1DE =13×√62×ℎ=13，解得ℎ=√63． 故答案为：√63． 15．（5分）已知双曲线x 2a −y 27=1(a ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，左顶点为A ，以F 2为圆心，|F 2A |为半径的圆交双曲线右支于M 、N 两点，且线段AM 的垂直平分线过点N ，则a ＝ 3 ．【解答】解：由线段AM 的垂直平分线过点N ，可得AN ＝MN ，而由题意可得AM ＝AN ，所以三角形AMN 为等边三角形，M ，N 关于x 轴对称，F 2为三角形的外心，即是圆心，半径为a +c ，所以AM 的中垂线过圆心F 2，∠AF 2N ＝120°，即∠F 1F 2N ＝120°，|AF 2|＝|F 2M |＝a +c ， N 在双曲线上，所以|NF 1|﹣|NF 2|＝2a ，则|NF 1|＝2a +|NF 2|＝3a +c ，在三角形NF 1F 2中，由余弦定理可得：|NF 1|2＝|NF 2|2+|F 1F 2|2﹣|2NF 2||F 1F 2|•cos ∠F 1F 2N ， 即（3a +c ）2＝（a +c ）2+（2c ）2﹣2（a +c ）（2c ）（−12），整理可得2（4a ﹣3c ）（a +c ）＝0，所以可得4a ＝3c ，或a +c ＝0（舍） 即4a ＝3√a 2+7，解得a ＝3， 故答案为：3．四．解答题（共6小题）16．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sinA +sinB =csinC+3bsinAa+b．（Ⅰ）求∠C 的值；（Ⅱ）若c =√2，求△ABC 面积的最大值．【解答】解：（I ）由题意结合正弦定理可得，（a +b ）2＝3ab +c 2， 即a 2+b 2﹣c 2＝ab ，所以cos C =a 2+b 2−c 22ab=12，∵C∈（0，π），故C=13π，（II）由余弦定理可得，2＝a2+b2﹣ab，所以，a2+b2＝2+ab≥2ab，故ab≤2，则S△ABC=12absinC≤√32，当且仅当a＝b=√2时，面积取得最大值√32．17．已知数列{a n}的前n项和为S n=C n0+C n1+C n2+⋯+C n n−1，数列{b n}满足b n＝log2a n．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）求T n＝b12﹣b22+b32﹣b42+…+（﹣1）n+1b n2．【解答】解：（1）由题意，S n=C n0+C n1+C n2+⋯+C n n−1=2n﹣1，当n＝1时，a1＝S1＝21﹣1＝1，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣1﹣2n﹣1+1＝2n﹣1，∵当n＝1时，a1＝1也满足a n＝2n﹣1，∴a n＝2n﹣1，n∈N*，∴b n＝log2a n＝log22n﹣1＝n﹣1，n∈N*．（2）由（1）知，b n＝n﹣1＝0+1•（n﹣1），故数列{b n}是以0为首项，1为公差的等差数列，①当n为奇数时，n﹣1为偶数，T n＝b12﹣b22+b32﹣b42+…+（﹣1）n+1b n2＝b12﹣b22+b32﹣b42+…+b n﹣22﹣b n﹣12+b n2＝（b1+b2）（b1﹣b2）+（b3+b4）（b3﹣b4）+…+（b n﹣2+b n﹣1）（b n﹣2﹣b n﹣1）+b n2＝﹣（b1+b2+b3+b4+…+b n﹣2+b n﹣1）+b n2=−(n−1)(n−2)2+（n﹣1）2=n 2−n 2；②当n为偶数时，n﹣1，n+1均为奇数，T n＝b12﹣b22+b32﹣b42+…+（﹣1）n+1b n2＝b12﹣b22+b32﹣b42+…+b n﹣12﹣b n2＝（b1+b2）（b1﹣b2）+（b3+b4）（b3﹣b4）+…+（b n﹣1+b n）（b n﹣1﹣b n）＝﹣（b 1+b 2+b 3+b 4+…+b n ﹣1+b n ） =−n(n−1)2=n−n 22；综上所述，可知：T n ={n 2−n2，n 为奇数n−n 22，n 为偶数． 18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD =12AD ．E 、M 分别为棱AD 、PD 的中点，P A ⊥CD ． （1）证明：平面MCE ∥平面P AB ；（2）若二面角P ﹣CD ﹣A 的大小为45°，求直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵点E 为AD 的中点，BC =12AD ，AD ∥BC ， ∴四边形ABCE 为平行四边形，即EC ∥AB ， ∵E ，M 分别为棱AD 、PD 的中点，∴EM ∥AP ， 又EM ∩EC ＝E ， ∴平面MCE ∥平面P AB ；（2）解：如图所示，∵P A ⊥AB ，P A ⊥CD ，AB 与CD 是相交直线，∴P A ⊥平面ABCD ． 不妨设AD ＝2，则BC ＝CD =12AD ＝1，以与AD 垂直的直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．设AP ＝h ，A （0，0，0），D （0，2，0），C （﹣1，2，0），P （0，0，h ）， 从而PD →=(0，2，−ℎ)，CD →=(1，0，0)． 设平面PCD 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，由{m →⋅PD →=2y +ℎz =0m →⋅CD →=x =0，令y ＝1，则m →=(0，1，2ℎ)； 又平面ACD 的一个法向量t →=（0，0，1）， 二面角P ﹣CD ﹣A 的大小为45°，得2ℎ√1+ℎ2=√22，解得h ＝2． ∴P （0，0，2），E （0，1，0），C （﹣1，2，0），∴EC →=(−1，1，0)，PE →=(0，1，−2)，AP →=(0，0，2)． 设平面PCE 的一个法向量为n →=(x 1，y 1，z 1)，由{n →⋅PE →=y 1−2z 1=0n →⋅EC →=−x 1+y 1=0，取y 1＝2，得n →=(2，2，1)． 设直线P A 与平面PCE 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜AP →，n →＞|=|AP →⋅n →||AP →|⋅|n →|=29×2=13． 即直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值为13．19．已知抛物线E ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，圆M 的方程为：x 2+y 2﹣py ＝0，若直线x ＝4与x 轴交于点R ，与抛物线交于点Q ，且|QF|=54|RQ|． （1）求出抛物线E 和圆M 的方程；（2）过焦点F 的直线l 与抛物线E 交于A 、B 两点，与圆M 交于C 、D 两点（A ，C 在y 轴同侧），求证：|AC |•|DB |是定值．【解答】解：（1）设Q （4，y 0），由|QF|=54|RQ|， 得y 0+p 2=54y 0，即y 0＝2p ．将点（4，2p ）代入抛物线方程，可得p ＝2．∴抛物线E ：x 2＝4y ，圆M 的方程为：x 2+y 2﹣2y ＝0； 证明：（2）抛物线E ：x 2＝4y 的焦点F （0，1）， 设直线l 的方程为y ＝kx +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 联立{x 2=4y y =kx +1，得x 2﹣4kx ﹣4＝0．则△＝16（k 2+1）＞0，且x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝﹣4．由圆的方程可得圆M 的圆心坐标为M （0，1），半径为1，圆心就是焦点． 由抛物线的定义可知|AF |＝y 1+1，|BF |＝y 2+1． 则|AC |＝|AF |﹣1＝y 1，|BD |＝|BF |﹣1＝y 2，|AC |•|BD |＝y 1y 2＝（kx 1+1）（kx 2+1）＝k 2x 1x 2+k （x 1+x 2）+1＝﹣4k 2+4k 2+1＝1． 即|AC |•|DB |是定值1．20．医院为筛查某种疾病，需要血检，现有n （n ∈N *）份血液样本，有以下两种检验方式： 方式一：逐份检验，需要检验n 次；方式二：混合检验，把每个人的血样分成两份，取k （k ≥2）个人的血样各一份混在一起进行检验，如果结果是阴性，那么对这k 个人只作﹣一次检验就够了；如果结果是阳性，那么再对这k 个人的另一份血样逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为k +1次． （1）假设有6份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p （0＜p ＜1）．现取其中k （k ∈N *且k ≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为X 1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为X 2．①运用概率统计的知识，若EX 1＝EX 2，试求p 关于k 的函数关系式p ＝f （k ）； ②若p =1−e−15，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值．参考数据：ln 11≈2.3978，1n 12≈2.4849，ln 13≈2.5649．【解答】解：（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为A 事件， 则恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为P （A ）=C 21C 41A 22A 63=215．（2）①X 1的取值为k ，P （X 1＝k ）＝1，∴EX 1＝k ， X 2的取值为1，k +1，P（X2＝1）＝（1﹣p）k，P（X2＝k+1）＝1﹣（1﹣p）k，∴E（X2）＝（1﹣p）k+（k+1）[1﹣（1﹣p）k]＝k+1﹣k（1﹣p）k，由EX1＝EX2，得k＝k+1﹣k（1﹣p）k，∴p＝1﹣（1k ）1k，（k∈N*，k≥2）．②p=1−e−15，EX2＝k+1﹣ke−k5＜k，∴lnk−k5＞0，设f（x）＝lnx−x5，则f′(x)=1x−15=5−x5x，x＞0，当x∈（0，5）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，5）上单调递增，x∈（5，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（5，+∞）单调递减，且f（12）＝ln2﹣2，.2＞0，f（13）＝ln13﹣2.6＜0，∴k的最大值为12．21．已知函数f（x）＝a（x﹣1）（e x﹣a）（常数a∈R且a≠0）．（1）当a＝1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求证：当a＞0时，函数f（x）有且只有一个极值点；（3）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，求证：0＜f（x1）＜4e2且0＜f（x2）＜4e2．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝（x﹣1）（e x﹣1），f′（x）＝e x﹣1+（x﹣1）e x ＝xe x﹣1，则f′（1）＝e﹣1，又f（1）＝0，故所求切线方程为y＝（e﹣1）（x﹣1）；（2）证明：依题意，f′（x）＝a（xe x﹣a），令h（x）＝a（xe x﹣a），则h′（x）＝a （x+1）e x，①当x＜0时，xe x＜0，故h（x）＝f′（x）＜0，∴f′（x）在（﹣∞，0）上不存在零点，则函数f（x）在（﹣∞，0）上不存在极值点；②当x≥0时，h′（x）＝a（x+1）e x＞0，故h（x）在[0，+∞）上单调递增，又h（0）＝﹣a2＜0，h（a）＝a（ae a﹣a）＝a2（e a﹣1）＞0，∴h（x）＝f′（x）在[0，+∞）上有且只有一个零点，又注意到在f′（x）的零点左侧f′（x）＜0，在f′（x）的零点右侧f′（x）＞0，∴函数f（x）在[0，+∞）上有且只有一个极值点，综上所述，当a＞0时，函数f（x）有且只有一个极值点；（3）证明：∵函数f（x）存在两个极值点x1，x2，不妨设x1＜x2，∴x1，x2，是h（x）＝f′（x）＝0的两个零点，且由（2）知，必有a＜0，令h′（x）＞0，解得x＜﹣1；令h′（x）＜0，解得x＞﹣1；故函数h（x）在（﹣∞，﹣1）上递增，在（﹣1，+∞）上递减，又h（0）＝f′（0）＝﹣a2＜0，∴x1＜﹣1＜x2＜0，令f′（t）＝a（te t﹣a）＝0，解得a＝te t，此时f（t）＝a（t﹣1）（e t﹣a）＝te t（t﹣1）（e t﹣te t）＝﹣e2t（t3﹣2t2+t），∵x1，x2，是h（x）＝f′（x）＝0的两个零点，∴f(x1)=−e2x1(x13−2x12+x1)，f(x2)=−e2x2(x23−2x22+x2)，将代数式﹣e2t（t3﹣2t2+t）视为以t为自变量的函数g（t）＝﹣e2t（t3﹣2t2+t），则g′（t）＝﹣e2t（t2﹣1）（2t﹣1），当t＜﹣1时，因为t2﹣1＞0，2t﹣1＜0，e2t＞0，∴g′（t）＞0，则函数g（t）在（﹣∞，﹣1）上递增，∵x1＜﹣1，∴f(x1)=g(x1)＜g(−1)=4e2，又因为f(x1)=−e2x1x1(x1−1)2＞0，∴0＜f(x1)＜4e2，当﹣1＜t＜0时，因为t2﹣1＜0，2t﹣1＜0，e2t＞0，∴g′（t）＜0，则函数g（t）在（﹣1，0）上递减，∴0=g(0)＜g(x2)=f(x2)＜g(−1)=4e2，综上，0＜f（x1）＜4e2且0＜f（x2）＜4e2．。

2020届山东省高考模拟考试（12月）数学试题一、单选题 1．设集合(){}(){}2,2,,A x y x y B x y y x =+===，则AB =（ ）A ．(){}1,1 B ．(){}2,4-C ．()(){}1,1,2,4-D ．∅【答案】C【解析】首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立22x y y x+=⎧⎨=⎩，解得方程组的解，从而得到结果. 【详解】首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立22x y y x+=⎧⎨=⎩， 解得11x y =⎧⎨=⎩，或24x y =-⎧⎨=⎩，从而集合{(1,1),(2,4)}A B =-，故选：C. 【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查二元方程组的解法，属于基础题. 2．已知(),a bi a b +∈R 是11ii -+是共轭复数，则a b +=（ ） A ．1- B ．12-C ．12D ．1【答案】D 【解析】化简11i ii -+=-，结合共轭复数的概念得到+a b 的值.【详解】 由1(1)(1)1(1)(1)i i i i i i i ---==-++-，从而知a b +=i i ， 由复数相等，得0a =，1b =，从而1a b +=. 故选：D. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查共轭复数概念，考查计算能力，属于基础题.3．设向量()()()1,1,1,3,2,1==-=r r ra b c ，且()λ-⊥r r r a b c ，则λ=（ ）A ．3B ．2C ．2-D ．3-【答案】A【解析】由题意得到(1,13)a b λλλ-=+-，利用向量垂直的坐标形式得到3λ=. 【详解】由题，得(1,13)a b λλλ-=+-，由()λ-⊥r r ra b c ，从而2(1)1(13)0λλ⨯++⨯-=，解得3λ=. 故选：A. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标形式，考查计算能力，属于基础题.4．101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数是（ ）A ．210-B ．120-C ．120D ．210【答案】B【解析】根据题意，结合二项展开式的通项公式，可得2104r -=，则r ＝7，将r ＝7代入通项公式计算可得答案． 【详解】由二项展开式，知其通项为10210110101()(1)rr r r r r r T C x C xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令2104r -=，解得7r =.所以4x 的系数为7710(1)120C -=-.故选：B. 【点睛】本题考查指定项的系数，应该牢记二项展开式的通项公式，属于基础题． 5．已知三棱锥S ABC -中，,4,2,62SAB ABC SB SC AB BC π∠=∠=====，则三棱锥S ABC -的体积是（ ）A ．4B ．6C ．D ．【答案】C【解析】由题意明确SA ABC ⊥平面，结合棱锥体积公式得到结果. 【详解】由4SB =，2AB =，且2SAB π∠=，得SA =；又由2AB =，6BC =，且2ABC π∠=，得AC =因为222SA AC SC +=，从而知2SAC π∠=，即SA AC ⊥所以SA ABC ⊥平面.又由于12662ABCS =⨯⨯=，从而11633S ABC ABC V S SA -=⋅=⨯⨯=.故选：C. 【点睛】本题考查棱锥体积的计算，考查线面垂直的证明，考查计算能力与推理能力，属于基础题.6．已知点A 为曲线()40y x x x=+>上的动点，B 为圆()2221x y -+=上的动点，则AB 的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．D ．【答案】A 【解析】设4,A x x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，并设点A 到圆22(2)1x y -+=的圆心C 距离的平方为()g x ，利用导数求最值即可. 【详解】（方法一）设4,A x x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，并设点A 到圆22(2)1x y -+=的圆心C 距离的平方为()g x ，则2222416()(2)2412(0)g x x x x x x x x ⎛⎫=-++=+-+> ⎪⎝⎭，求导，得433388()414x x g x x x x --⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭，令()0g x '=，得2x =. 由02x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增.从而()g x 在2x =时取得最小值为(2)16g =，从而点A 到圆心C 的最小值为4==，所以||AB 的最小值为413-=.故选：A（方法二）由对勾函数的性质，可知44y x x=+≥，当且仅当2x =时取等号，结合图象可知当A 点运动到2,4（）时能使点A 到圆心的距离最小，最小为4，从而AB 的最小值为413-=.故选：A 【点睛】本题考查两动点间距离的最值问题，考查利用导数求最值，考查转化思想与数形结合思想，属于中档题.7．设命题:p 所有正方形都是平行四边形，则p ⌝为（ ） A ．所有正方形都不是平行四边形 B ．有的平行四边形不是正方形C ．有的正方形不是平行四边形D ．不是正方形的四边形不是平行四边形【答案】C【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 【详解】“所以”改为“存在”（或“有的”），“都是”改为“不都是”（或“不是”）， 即p ⌝为有的正方形不是平行四边形 故选：C. 【点睛】本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．8．若1a b c >>>且2ac b <，则（ ） A ．log log log a b c b c a >> B ．log log log c b a b a c >> C ．log log log b a c c b a >> D ．log log log b c a a b c >>【答案】B【解析】利用特值法或利用对数函数的图象与性质即可得到结果. 【详解】（方法一）对选项A ：由a b c >>，从而log log 1a a b a <=，log log 1b b c b <=，log log 1c c a c >=，从而选项A 错误；对选项B ：首先log log 1c c b c >=，log log 1b b a b >=，log log 1a a c a <=，从而知log a c 最小，下只需比较log c b 与log b a 的大小即可，采用差值比较法：222lg lg (lg )lg lg (lg )lg lg 2log log lg lg lg lg lg lg c b a c b b a b a c b a c b c b c b+⎛⎫- ⎪-⋅⎝⎭-=-=≥⋅⋅ 222lg (lg )20lg lg b b c b⎛⎫-⎪⎝⎭>=⋅， 从而log log c b b a >，选项B 正确；对于选项C ：由log log 1a a b a <=，log log 1c c a c >=，知C 错误； 对于选项D ：可知log log c b b a >，从而选项D 错误； 故选：B（方法二）取5a =，4b =，3c =代入验证知选项B 正确. 【点睛】本题考查式子间大小的比较，考查对数函数的图象与性质，考查运算能力，属于常考题型.二、多选题9．下图为某地区2006年~2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图．根据该折线图可知，该地区2006年~2018年（ ）A ．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B ．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C ．财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D ．城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大 【答案】AD【解析】先对图表数据的分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解． 【详解】由图可以看出两条曲线均在上升，从而选项A 正确；图中两曲线间隔越来越大，说明年增长速度不同，差额逐年增大，故选项B 错误，选项D 正确；又从图中可以看出财政预算内收入年平均增长应该小于城乡储蓄年末余额年平均增长量，所以选项C 错误; 故选：AD. 【点睛】本题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题．10．已知双曲线C 过点(且渐近线为3y x =±，则下列结论正确的是（ ）A ．C 的方程为2213x y -=B ．CC ．曲线21x y e -=-经过C 的一个焦点D ．直线10x -=与C 有两个公共点【答案】AC【解析】根据题意得到双曲线C 的方程，结合双曲线的性质逐一判断即可. 【详解】对于选项A ：由已知y x=，可得2213y x =，从而设所求双曲线方程为2213x y λ-=，又由双曲线C 过点(，从而22133λ⨯-=，即1λ=，从而选项A正确；对于选项B：由双曲线方程可知a=1b=，2c=，从而离心率为3cea===，所以B选项错误；对于选项C：双曲线的右焦点坐标为()2,0，满足21xy e-=-，从而选项C正确；对于选项D：联立221013xxy⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，整理，得220y++=，由2420∆=-⨯=，知直线与双曲线C只有一个交点，选项D错误.故选：AC【点睛】本题考查双曲线的标准方程及简单的几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查推理能力与运算能力.11．正方体1111ABCD A BC D-的棱长为1，,,E F G分别为11,,BC CC BB的中点．则（）A．直线1D D与直线AF垂直B．直线1A G与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为98D．点C和点G到平面AEF的距离相等【答案】BC【解析】利用向量法判断异面直线所成角；利用面面平行证明线面平行；作出正方体的截面为等腰梯形，求其面积即可；利用等体积法处理点到平面的距离.【详解】对选项A：（方法一）以D点为坐标原点，DA、DC、1DD所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D、(1,0,0)A、1(1,0,1)A、1,1,02E⎛⎫⎪⎝⎭、10,1,2F⎛⎫⎪⎝⎭、11,1,2G⎛⎫⎪⎝⎭.从而1(0,0,1)DD=，11,1,2AF⎛⎫=-⎪⎝⎭，从而1102DD AF ⋅=≠，所以1DD 与直线AF 不垂直，选项A 错误；（方法二）取1DD 的中点N ，连接AN ，则AN 为直线AF 在平面11ADD A 内的射影，AN 与1DD 不垂直，从而AF 与1DD 也不垂直，选项A 错误；取BC 的中点为M ，连接1A M 、GM ，则1A M AE ∥，GM EF ∥，易证1A MG AEF 平面∥平面，从而1A G AEF ∥平面，选项B 正确；对于选项C ，连接1AD ，1D F ，易知四边形1AEFD 为平面AEF 截正方体所得的截面四边形（如图所示），且1D H AH ==1A D =132AD HS ∆==，而113948AD H AEFD S S ==四边形△，从而选项C 正确；对于选项D ：（方法一）由于111111112222224GEF EBG BEFG S S S ∆∆⎛⎫=-=+⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭梯形，而11112228ECF S ∆=⨯⨯=，而13A GEF EFG V S AB -∆=⋅，13A ECF ECF V S AB -∆=⋅，所以2A GEF A ECF V V --=，即2G A E FC A E F V V --=，点G 到平面AEF 的距离为点C 到平面AEF的距离的二倍.从而D 错误.（方法二）假设点C 与点G 到平面AEF 的距离相等，即平面AEF 将CG 平分，则平面AEF 必过CG 的中点，连接CG 交EF 于点O ，易知O 不是CG 的中点，故假设不成立，从而选项D 错误. 【点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系，主要是平行和垂直，记熟线面平行、垂直的判定和性质是迅速解题的关键，同时考查截面的画法及计算，以及空间异面直线所成的角的求法，属于基础题和易错题． 12．函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +与()2f x +都为奇函数，则（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为周期函数C ．()3f x +为奇函数D ．()4f x +为偶函数【答案】ABC 【解析】利用()1f x +与()2f x +都为奇函数，可知()f x 是以2为周期的函数.从而得到结果. 【详解】由(1)f x +与(2)f x +都为奇函数知函数()f x 的图象关于点()1,0-，()2,0-对称， 所以()(2)0f x f x +--=，()(4)0f x f x +--=， 所以(2)(4)f x f x --=--，即()(2)f x f x =-+ 所以()f x 是以2为周期的函数.又()1f x +与()2f x +都为奇函数，所以()f x ，(3)f x +均为奇函数. 故选：ABC. 【点睛】本题考查函数的对称性与周期性，考查推理能力，属于中档题.三、填空题13．某元宵灯谜竞猜节目，有6名守擂选手和6名复活选手，从复活选手中挑选一名选手为攻擂者，从守擂选手中挑选1名选手为守擂者，则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有______种． 【答案】36【解析】根据分步计数原理即可得到结果. 【详解】从6名守擂选手中选1名，选法有166C =种；复活选手中挑选1名选手，选法有16C 种．由分步乘法计数原理，不同的构成方式共有6636⨯=种． 故答案为：36 【点睛】本题考查分步计算原理，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题.14．已知cos sin 65a πα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则11sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______． 【答案】45-【解析】由题意可得π3cos sin sin 62265πααααα⎛⎫⎛⎫+-=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合诱导公式可得结果. 【详解】由π3cos sin sin 626πααααα⎛⎫⎛⎫+-=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴4sin 65πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 而11πππ4sin sin 2sin 6665ααπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故答案为：45- 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查两角和与差正弦公式、诱导公式，考查计算能力，属于常考题型.15．直线l 过抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F ，且与C 交于,A B 两点，则p =______，11AF BF+=______． 【答案】2 1 【解析】由题意知12p=，从而2p =，所以抛物线方程为24y x =．联立方程，利用韦达定理可得结果. 【详解】 由题意知12p=，从而2p =，所以抛物线方程为24y x =． （方法一）将1x =代入，解得2AF BF ==，从而111AF BF+=． （方法二）设AB 的方程为()1y k x =-，联立()214y k x y x ⎧=-⎨=⎩，整理，得 ()2222240k x k x k -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩从而12121212121222111111112x x x x AF BF x x x x x x x x +++++=+===+++++++． （方法三）利用二级结论：112AF BF p+=，即可得结果． 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化能力与计算能力，属于基础题.16．半径为2的球面上有,,,A B C D 四点，且,,AB AC AD 两两垂直，则ABC ∆，ACD ∆与ADB ∆面积之和的最大值为______． 【答案】8【解析】AB ，AC ，AD 为球的内接长方体的一个角，故22216x y z ++=，计算三个三角形的面积之和，利用基本不等式求最大值． 【详解】如图所示，将四面体A BCD -置于一个长方体模型中，则该长方体外接球的半径为2．不妨设AC x =，AD y =，AB z =2=，即22216x y z ++=．记111222ABC ACD ADB S S S S yz xy zx =++=++△△△． 从而有()()()()222222240x y zS x y y z z x ++-=-+-+-≥，即432S ≤，从而8S ≤．当且仅当x y z ==，即该长方体为正方体时等号成立．从而最大值为8． 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值问题，考查了学生解决交汇性问题的能力．解答关键是利用构造法求球的直径．四、解答题17．在①132b b a +=，②44a b =，③525S =-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，______，1525,3,81b a b b ===-，是否存在k ，使得1k k S S +>且12k k S S ++<？【答案】答案不唯一，见解析【解析】从三个条件中任选一个，利用等差、等比数列的基本知识解决问题即可. 【详解】因为在等比数列{}n b 中，23b =，581b =-，所以其公比3q =-， 从而()()222333n n n b b --=-=⨯-，从而511a b ==-．若存在k ，使得1k k S S +>，即1k k k S S a +>+，从而10k a +<； 同理，若使12k k S S ++<，即112k k k S S a +++<+，从而20k a +>．（方法一）若选①：由132b b a +=，得21910a =--=-，所以316n a n =-， 当4k =时满足50a <，且60a >成立；若选②：由4427a b ==，且51a =-，所以数列{}n a 为递减数列， 故不存在10k a +<，且20k a +>； 若选③：由()155352552a a S a +=-==，解得35a =-，从而211n a n =-， 所以当4n =时，能使50a <，60a >成立．（方法二）若选①：由132b b a +=，得21910a =--=-， 所以公差5233a a d -==，1213a a d =-=-， 从而()()21111332922n n n S a d n n -=+⨯=-； ()()()()()()()1123129132922312913229222k k k k k k k k S S S S k k k k +++⎧⎡⎤+-+-⎣⎦>⎪>⎧⎪⇔⎨⎨<⎡⎤⎡⎤+-++-+⎩⎪⎣⎦⎣⎦<⎪⎩，解得101333k <<， 又k *∈N ，从而4k =满足题意． 【点睛】本题为开放性试题，答案不唯一，要求考生能综合运用所学知识，进行探究，分析问题并最终解决问题，属于中档题.18．在ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 在BC 边上．在平面ABC 内，过D 作DF BC ⊥且DF AC =．（1）若D 为BC 的中点，且CDF ∆的面积等于ABC ∆的面积，求ABC ∠； （2）若45ABC ∠=︒，且3BD CD =，求cos CFB ∠． 【答案】(1) 60ABC ∠=︒(2)【解析】（1）根据ABC CDF S S =△△可得2BC AB =，又90A ∠=︒，从而30ACB ∠=︒，即可得到结果；（2）由45ABC ∠=︒，从而AB AC =，设AB AC k ==，则BC =．结合余弦定理可得结果. 【详解】（1）如图所示，D 为BC 的中点，所以BD CD =．又因ABC CDF S S =△△，即111224AB AC CD DF BC AC ⨯=⨯=⨯，从而2BC AB =， 又90A ∠=︒，从而30ACB ∠=︒，所以903060ABC ∠=︒-︒=︒． （2）由45ABC ∠=︒，从而AB AC =，设AB AC k ==，则BC =．由3BD CD =，所以34BD BC ==，4CD k =． 因为DF AC k ==，从而4BF ==，4CF k ==． （方法一）从而由余弦定理，得2222229172cos 251k k k CF BF BC CFB CF BF +-+-∠===⨯．（方法二）所以cos DF DFB BF ∠==从而cos 17BD DFB BF ∠==；cos DF DFC CF ∠== 从而1sin 3CD DFC CF ∠==． 所以()cos cos 51CFB CFD DFB ∠=∠+∠=． 【点睛】本题考查解三角形问题，考查三角形面积公式，正弦定理，考查计算能力与推理能力，属于中档题.19．如图，四棱锥S ABC -中，底面ABCD 为矩形．SA ⊥平面ABCD ，,E F 分别为,AD SC 的中点，EF 与平面ABCD 所成的角为45︒．（1）证明：EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线； （2）若12EF BC =，求二面角B SC D --的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）要证EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线，即证AD EF ⊥，EF SC ⊥，转证线面垂直即可；（2）以A 为坐标原点，AB 、AD 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面BCS 与平面SCD 的法向量，代入公式即可得到结果. 【详解】（1）连接AC 、BD 交于点G ，连接EG 、FG ．因为四边形ABCD 为矩形，且E 、F 分别是AD 、SC 的中点， 所以EG CD ，且FG SA P ．又SA ⊥平面ABCD ，所以GF ⊥平面ABCD ，所以GF AD ⊥． 又AD GE ⊥，GEGF G =，所以AD ⊥平面GEF ，所以AD EF ⊥．因为EF 与平面ABCD 所成的角为45︒，所以45FEG ∠=︒， 从而GE GF =．所以SA AB =．取SB 的中点H ，连接AH 、FH ，则由F 、H 分别为SC 、SB 的中点， 从而12FHBC AE ，从而四边形AEFH 为平行四边形． 又由SA AB =，知AH SB ⊥．又BC ⊥平面SAB ，所以AH BC ⊥． 又SB BC B ⋂=，从而AH ⊥平面SBC ．从而EF ⊥平面SBC ．SC ⊂平面SBC ，从而EF SC ⊥． 综上知EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线． （2）因为12EF BC =，设1BC =，则1EF =，从而2GE GF ==，所以SA AB == 以A 为坐标原点，AB 、AD 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则)B、()0,2,0D、(S、)C，从而，(2,2,SC =，()0,2,0BC =uu u r．设平面BCS 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则110n SC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，令11z =，从而得()11,0,1n =．同理，可求得平面SCD 的一个法向量为(2=n ． 设二面角B SC D --的平面角为θ，从而1212cos 32θ⋅===n n n n ． 【点睛】本题是中档题，考查异面直线的公垂线的证明，向量法求二面角，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．20．下面给出了根据我国2012年~2018年水果人均占有量y （单位：kg ）和年份代码x 绘制的散点图和线性回归方程的残差图（2012年~2018年的年份代码x 分别为1~7）．（1）根据散点图分析y 与x 之间的相关关系； （2）根据散点图相应数据计算得77111074,4517ii i i i yx y ====∑∑，求y 关于x 的线性回归方程；（3）根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果．（精确到0．01） 附：回归方程y a bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121,niii nii x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑．【答案】(1) 正相关关系；(2) 221853ˆ287yx =+． (3) 拟合效果较好． 【解析】（1）根据散点图判断y 与x 之间的相关关系； （2）利用最小二乘法求线性回归方程； （3）根据残差图判断线性回归方程的拟合效果． 【详解】（1）由散点图可以看出，点大致分布在某一直线的附近，且当x 由小变大时，y 也由小变大，从而y 与x 之间是正相关关系； （2）由题中数据可得()1123456747x =++++++=，11074107477y =⨯=， 从而717222222222211745177107442217ˆ123456774287i ii ii x y x ybxx ==-⋅-⨯⨯⨯===++++++-⨯-∑∑，1074221853ˆˆ47287ay b x =-⋅=-⨯=， 从而所求y 关于x的线性回归方程为221853ˆ287yx =+． （3）由残差图可以看出，残差对应的点均匀地落在水平带状区域内，且宽度较窄，说明拟合效果较好．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查散点图与残差图，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.21．设中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆E 过点⎛⎝⎭，且离心率为2．F 为E 的右焦点，P 为E 上一点，PF x ⊥轴，F 的半径为PF ．（1）求E 和F 的方程；（2）若直线(():0l y k x k =->与F 交于,A B 两点，与E 交于,C D 两点，其中,A C 在第一象限，是否存在k 使AC BD =？若存在，求l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】(1) E 的方程为2214x y +=．F的方程为(2214x y +=．(2) 满足题设条件的直线l 不存在．理由见解析【解析】（1）利用待定系数法求出椭圆与圆的方程；（2）若AC BD =，则1AB AC CB DB CB DC ==+=+=．联立方程，利用韦达定理可得12CD x =-=224441k k ++，显然与题意矛盾，故不存在. 【详解】（1）设椭圆E 的方程为22221x y a b+=．由e =，从而得222222314a b b e a a -===-，从而2214b a =，即224a b =．又椭圆过点⎛ ⎝⎭，从而得221314a b +=，解得24a =，21b =， 从而所求椭圆E 的方程为2214x y +=．所以)F，令x =12PF r ==， 所以F的方程为(2214x y +=． （2）不存在，理由如下：若AC BD =，则1AB AC CB DB CB DC ==+=+=．联立(2214y k x xy ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，整理，得()2222411240k x x k +-+-=．设()11,C x y 、()22,D x y，则12212212441x x k x x k ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎩．从而12CD x =-=224441k k +==+由1DC =，从而224441k k +=+，从而41=，矛盾． 从而满足题设条件的直线l 不存在． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算能力，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题． 22．函数()()01a xf x x x+=>+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线在y 轴上的截距为112． （1）求a ；（2）讨论()()()2g x x f x =的单调性； （3）设()111,n n a a f a +==，证明：222ln ln71n n a --<．【答案】(1) 7a = (2) ()g x 在()0,∞+上单调递增．(3)证明见解析 【解析】（1）由题意知切点坐标为11,2a +⎛⎫⎪⎝⎭，切线方程为：()11124a a y x +--=-，结合条件列方程即可得到结果； （2）由（1）知()271x g x x x +⎛⎫=⋅⎪+⎝⎭，对()g x 求导，得()()()()227471x x x g x x +-+'=+，从而可知()g x 在()0,∞+上的单调性； （3）欲证222ln ln71n n a --<，即证12ln 1n n a --<．只需证112n -<．不妨设n b=1n b +=．因此，欲证11ln2n -<，只需证11ln 2n n b b -<．【详解】（1）由题意知切点坐标为11,2a +⎛⎫⎪⎝⎭． 对()f x 求导，得()()211af x x -'=+，从而()114af -'=． 所以切线方程为()11124a a y x +--=-，令0x =，得1111224a a+-=-，解得7a =． （2）由（1）知()71x f x x +=+，从而()271x g x x x +⎛⎫=⋅ ⎪+⎝⎭，对()g x 求导，得()()()()2274701x x x g x x +-+'=>+，从而可知()g x 在()0,∞+上单调递增． （3）（方法一）欲证222ln ln71n n a --<，即证12ln 1n n a --<．只需证112n -<．不妨设n b =，由此可得1n b +=．因此，欲证112n -<，只需证11ln 2nn b b -<． 由于不动点为1，下面研究n b 与不动点的大小关系：()11111nn b b +--=-=，即11n b +-与1n b-是异号的．由于11b =<，由此，得211n b -<，21n b >． 当n 为奇数时，11ln ln 2n n b b -<，此时1n b <，11n b->． 故只需证1nb <nb > ． 当n 为偶数时，欲证11ln ln 2n n b b -<，此时1n b >，11n b-<． 故只需证n b <n b =<．)1x >>)01x <<<成立．构造函数()1g x =-， 则()10g =，()0g x '=≥>=则()g x 单调递增，由此可得11ln ln 2n n b b -<．因此，111111111ln ln ln 2222n n n n n b b ----<=<=．故不等式得证． （方法二）令()71x f x x x +==+，解得x =从而((111111n n n n n n a a a a a a ++⎧-⎪-=⎪+⎪⎨++⎪+=⎪+⎪⎩=，1n n-==，从而11n n n a ⎤⎥+⎥⎣⎦=⎛-．所以2ln 7n a =． 当n为偶数时，211ln 2ln 2ln 711nnn n na ++⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛--； 当n为奇数时，21ln 2ln 2ln 71nn n a ⎛⎫+⎝⎭===-．故无论n为奇数还是偶数，21ln 2ln 71nn na +⎝⎭=-．下只需证明111ln 21nn n -+⎝⎭<-． 当1n =时，有ln 712<，满足题意； 当2n ≥时，122ln ln 1111nn n n⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎝⎭=+<⎢⎥⎛⎫⎛⎛⎢⎥---⎢⎥⎣⎦．故只需证12121nn -<-，即证21n n ⎛⎫>+．而当2n ≥时，1143222221n nn n n nn C -⎛⎫⎛=+>+⋅>>+ ⎝． 故不等式得证． （方法三）要证222ln ln71n n a --<，只需证112n -<，只需证12<()f x 在()0,∞+上单调递减，且0n a>． 若n a，则()1n n a f a f+=<=1<<，只需证121ln n +<，只需证12211n n n a a a ++⎫<⇔>n a >． 由（2）知()21n n n a a g a g +=>=若n a <，则()1n na f a f +=>=1<<，只需证12ln n a ⎛⎫< ⎝⎭．12211n n n a a ++⎫<⇔<n a ． 由（2）知，()21n n n a a g a g +=<=．综上所述，)11,2n n *<≥∈N 成立．所以，11111ln 7222n n --⎛⎫⎛⎫<=⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 易知，211ln 7ln 122e <=，所以112n -<成立．故原不等式得证． 【点睛】本题是数列与函数的综合问题，考查了数列递推关系的推导应用，不等式证明，切线的几何意义，以及函数单调性与数列的单调性，需要具备一定的基础知识和解题方法，属于难题．。

2020年山东省新高考数学模拟试卷（十二）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U R =，集合{||2|2}A x x =-…，{|2}B x x =„，则()(U A B =I ð ) A ．{|02}x x 剟B ．{|02}x x <„C ．{|22}x x -剟D ．{|22}x x -<„2．（5分）设a ，b 均为不等于1的正实数，则“1a b >>”是“log 2log 2b a >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（5分）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米量为( ) A ．1升B ．32升 C ．23升 D ．43升 4．（5分）已知函数9()41f x x x =-++，(0,4)x ∈，当x a =时，()f x 取得最小值b ，则函数||()x bg x a +=的图象为( )A ．B ．C ．D ．5．（5分）如图，在下列四个正方体中，P ，R ，Q ，M ，N ，G ，H 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ 所在平面平行的是( )A ．B ．C ．D ．6．（5分）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别为AB 、11A B 的中点，则三棱锥F ECD -的外接球体积为( )A ．414π B ．43π C ．414164 D ．4141487．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C ，若ABC ∆的面积为22a ，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．2y = B ．2y x = C ．3y = D ．3y x =8．（5分）已知函数32|log (2)|,2()(3)2,2x x f x x x -<⎧=⎨--+⎩…，1()1g x x x =+-，则方程(())f g x a =的实根个数最多为( ) A ．6B ．7C ．8D ．9二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．（5分）已知a ，b 均为正实数，若5log log 2a b b a +=，b a a b =，则(ab= )A ．12B C D ．210．（5分）对于定义域为D 的函数()f x ，若存在区间[m ，]n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在[m ，]n 上是单调的：②当定义域是[m ，]n 时，()f x 的值域也是[m ，]n ，则称[m ，]n 为该函数的“和谐区间”．下列函数存在“和谐区间”的是( ) A ．3()f x x =B ．2()3f x x=-C ．()1x f x e =-D ．()2f x lnx =+11．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则( ) A ．若2cos (cos cos )C a B b A c +=，则3C π= B ．若2cos (cos cos )C a B b A c +=，则6C π=C ．若边BC ，则当c b b c +取得最大值时，3A π=D ．若边BC ，则当c b b c +取得最大值时，6A π= 12．（5分）已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，满足1385a a S +=，下列选项正确的有( ) A ．100a =B ．10S 最小C ．712S S =D ．200S =三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）5(2)(2)x y x y +-展开式中33x y 的系数为 ．14．（5分）已知0x >，0y >是2x 与4y 的等比中项，则1xx y+的最小值 ． 15．（5分）已知圆22450x y x ++-=的弦AB 的中点为(1,1)-，直线AB 交x 轴于点P ，则PA PB u u u r u u u rg 的值为 ．16．（5分）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若(P ，)m 是角θ终边上的一点，且sin θ=，tan()4n πθ=+，则m = ，n = ． 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，函数()cos (sin )f x x x x =+，将()f x 的图象向左平移12π个单位得到函数()y g x =的图象，且1()22C g =，3c =．（1）求C ；（2）若223(sin sin )3sin 8sin sin B C A B C -=-，求cos()A C -． 18．（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*22()n n a S n N -=∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(3)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）已知五边形ABECD 由一个直角梯形ABCD 与一个等边三角形BCE 构成，如图1所示，AB BC ⊥，//AB CD ，且2AB CD =．将梯形ABCD 沿着BC 折起，如图2所示，且AB ⊥平面BEC ．（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面ADE ；（Ⅱ）若AB BC =，求二面角A DE B --的余弦值．20．（12分）抛物线2:C y x =，直线l 的斜率为2． （Ⅰ）若l 与C 相切，求直线l 的方程；（Ⅱ）若l 与C 相交于A ，B ，线段AB 的中垂线交C 于P ，Q ，求||||PQ AB 的取值范围． 21．（12分）某读书协会共有1200人，现收集了该协会20名成员每周的课外阅读时间（分钟），其中某一周的数据记录如下：75 60 35 100 90 50 85 170 65 70 125 75 70 85 155 110 75 130 80 100对这20个数据按组距30进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：阅读时间分组统计表（设阅读时间为x 分钟） 组别时间分组频数男性人数女性人数()I 写出m ，n 的值，请估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长，以及该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数；()II 该读书协会拟发展新成员5人，记新成员中每周阅读时长在[60，90)之间的人数为ξ，以上述统计数据为参考，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）完成下面的22x 列联表，并回答能否有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”？附：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++22．（12分）已知函数()1()f x x alnx a a R =-+-∈． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若[a x e ∈，)+∞时，()0f x …恒成立，求实数a 的取值范围．2020年山东省新高考数学模拟试卷（十二）参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U R =，集合{||2|2}A x x =-…，{|2}B x x =„，则()(U A B =I ð ) A ．{|02}x x 剟B ．{|02}x x <„C ．{|22}x x -剟D ．{|22}x x -<„【解答】解：{|0A x x =Q „或4}x …，{|2}B x x =„，U R =， {|04}U A x x ∴=<<ð，(){|02}U A B x x =<I „ð． 故选：B ．2．（5分）设a ，b 均为不等于1的正实数，则“1a b >>”是“log 2log 2b a >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：a ，b 均为不等于1的正实数，①若“1a b >>”时由对数函数的性质可得：一象限底大图低，相同自变量为2时，底大函数值小，可得log 2log 2b a >成立． ②若：“log 2log 2b a >”有①若a ，b 均大于1，由log 2log 2b a >，知必有1a b >>； ②若a ，b 均大于0小于1，依题意，必有01b a <<<； ③若log 2log 20a b <<，则必有01b a <<<； 故：“log 2log 2b a >”不能推出1a b >>； 综上所述由充要条件的定义知，A 正确． 故选：A ．3．（5分）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米量为( ) A ．1升B ．32升 C ．23升 D ．43升【解答】解：设竹子自下而上的各节容米量分别为1a ，2a ，⋯，7a ， 由题意得12676a a a a +++=， 由等差数列的性质得： 17426a a a +==，解得第四节竹子的装米量为432a =（升)． 故选：B ．4．（5分）已知函数9()41f x x x =-++，(0,4)x ∈，当x a =时，()f x 取得最小值b ，则函数||()x bg x a +=的图象为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：(0,4)x ∈Q ， 11x ∴+> 999()4152(1)51111f x x x x x x x ∴=-+=++-+=+++g …， 当且仅当2x =时取等号，此时函数有最小值1 2a ∴=，1b =，此时1|1|12,1()21(),12x x x x g x x +++⎧-⎪==⎨<-⎪⎩…， 此函数可以看成函数2,01(),02x x x y x ⎧⎪=⎨<⎪⎩…的图象向左平移1个单位结合指数函数的图象及选项可知A 正确 故选：A ．5．（5分）如图，在下列四个正方体中，P ，R ，Q ，M ，N ，G ，H 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ 所在平面平行的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：由题意可知经过P 、Q 、R 三点的平面如图：红色线的图形，可知N 在经过P 、Q 、R 三点的平面上，所以B 、C 错误； 1MC 与QE 是相交直线，所以A 不正确；故选：D ．6．（5分）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别为AB 、11A B 的中点，则三棱锥F ECD -的外接球体积为( )A ．414π B ．43πC ．4141π D ．4141π 【解答】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，连接1FC ，1FD ，三棱锥F ECD -的外接球即为三棱柱11FC D ECD -的外接球，在ECD ∆中，取CD 中点H ，连接EH ，则EH 为边CD 的垂直平分线，所以ECD ∆的外心在EH 上，设为点M ，同理可得△11FC D 的外心N ， 连接MN ，则三棱柱外接球的球心为MN 的中点设为点O ，由图可得，2222EM CM CH MH ==+，又2M H EM =-，1CH =， 如右图所示：，可得54EM CM ==， 所以222251()4OC MO CM =+=+，解得41OC =， 所以34414141(3V π=． 故选：D ．7．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C ，若ABC ∆的面积为22a ，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．2y = B ．2y x = C ．3y = D ．3y x =【解答】解：设双曲线的左焦点为F ，连接AF ，BF ， 由题意可得AC BC ⊥， 可得四边形FABC 为矩形，即有||||AF BC =， 设||AC m =，||BC n =，可得2n m a -=，2224n m c +=，2122mn a =，即有222484c a a -=，即有3c a =，222b c a a =-=， 可得双曲线的渐近线方程为2y x =±． 故选：B ．8．（5分）已知函数32|log (2)|,2()(3)2,2x x f x x x -<⎧=⎨--+⎩…，1()1g x x x =+-，则方程(())f g x a =的实根个数最多为( ) A ．6B ．7C ．8D ．9【解答】解：设()t g x =，则()f t a =，则方程(())f g x a =的实根个数为函数()t g x =的图象与直线1t t =，2t t =，3t t =，4t t =的交点个数之和，要方程(())f g x a =的实根个数最多， 则需()f t a =的解如图所示，由图（2）可知，函数()t g x =的图象与直线1t t =，2t t =，3t t =，4t t =的交点个数之和为8， 故选：C ．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9．（5分）已知a ，b 均为正实数，若5log log 2a b b a +=，b a a b =，则(ab= )A ．12B ．2C D ．2【解答】解：令log a t b =， 则152t t +=，22520t t ∴-+=，(21)(2)0t t --=， 12t ∴=或2t =， 1log 2a b ∴=或log 2a b = 2a b ∴=，或2a b = b a a b =Q ，代入得 22b a b ∴==或22b a a == 2b ∴=，4a =，或2a =．4b =∴2a b =．或12a b = 故选：AD ．10．（5分）对于定义域为D 的函数()f x ，若存在区间[m ，]n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在[m ，]n 上是单调的：②当定义域是[m ，]n 时，()f x 的值域也是[m ，]n ，则称[m ，]n 为该函数的“和谐区间”．下列函数存在“和谐区间”的是( ) A ．3()f x x =B ．2()3f x x=-C ．()1x f x e =-D ．()2f x lnx =+【解答】解：由题意，函数在“和谐区间”上单调递增，且满足()f x x =至少有两个解， 对于A 选项，函数3()f x x =在定义域R 上单调递增，且3x x =有解1-，0，1，满足条件，故正确；对于B 选项，函数2()3f x x =-在(0,)+∞上单调递增，且23x x-=有解1，2，满足条件，故正确；对于C 选项，函数()1x f x e =-在定义域上单调递增，但1x e x -=只有一个解0，不满足条件，故错误；对于D 选项，函数()2f x lnx =+在(0,)+∞上单调递增，显然函数()2f x lnx =+与函数y x =在(0,)+∞上有两个交点，即2lnx x +=有两个解，满足条件，故正确． 故选：ABD ．11．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则( ) A ．若2cos (cos cos )C a B b A c +=，则3C π= B ．若2cos (cos cos )C a B b A c +=，则6C π=C ．若边BC ，则当c b b c +取得最大值时，3A π=D ．若边BC ，则当c b b c +取得最大值时，6A π= 【解答】解：2cos (cos cos )C aB b A c +=Q ，∴由正弦定理可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，2cos sin()2cos sin sin C A B C C C ∴+==， sin 0C ≠Q ，∴可得1cos 2C =， (0,)C π∈Q ， 3C π∴=，可得A 正确，B 错误．Q 边BC ，∴11sin 22bc A a =g ，2sin a A ∴=，222cos 2b c a A bc+-=Q ，2222cos sin 2cos b c a bc A A bc A ∴+=+=+，∴222cos 4sin()46c b b c A A A b c bc π++==+=+…，当62A ππ+=时等号成立，此时3A π=，故C 正确，D 错误． 故选：AC ．12．（5分）已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，满足1385a a S +=，下列选项正确的有( ) A ．100a =B ．10S 最小C ．712S S =D ．200S =【解答】解：根据题意，数列{}n a 是等差数列，若1385a a S +=，即111510828a a d a d ++=+，变形可得19a d =-，又由1(1)(10)n a a n d n d =+-=-，则有100a =，故A 一定正确， 不能确定1a 和d 的符号，不能确定10S 最小，故B 不正确； 又由21(1)(1)9(19)222n n n d n n d dS na nd n n --=+=-+=⨯-，则有712S S =，故C 一定正确， 则201201920180190102S a d d d d ⨯=+=-+=-，200S ≠，则D 不正确， 故选：AC ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）5(2)(2)x y x y +-展开式中33x y 的系数为 120- ．【解答】解：根据题意，554322345(2)1040808032x y x x y x y x y xy y -=-+-+-， 则5(2)(2)x y x y ++展开式中33x y 的系数为2(80)14016040120⨯-+⨯=-+=-， 故答案为：120-．14．（5分）已知0x >，0y >2x 与4y 的等比中项，则1xx y+的最小值 1 ．【解答】解：0x >，0y >2x 与4y 的等比中项，则242x y =g ， 21x y ∴+=，∴122111x x y x y x x y x y x y ++=+=+++=+…，当且仅当2y xx y=时，即1x =，y =取等号，故答案为：115．（5分）已知圆22450x y x ++-=的弦AB 的中点为(1,1)-，直线AB 交x 轴于点P ，则PA PB u u u r u u u rg 的值为 5- ．【解答】解：设(1,1)M -圆心(2,0)C -， 10112MC k -==-+Q ， 根据圆的性质可知，1AB k =-，AB ∴所在直线方程为1(1)y x -=-+，即0x y +=，联立方程22450x y x x y ⎧++-=⎨+=⎩可得，22450x x +-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则1252x x +=-，令0y =可得(0,0)P ，12121225PA PB x x y y x x =+==-u u u r u u u rg ，故答案为：5-．16．（5分）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若(P ，)m 是角θ终边上的一点，且sin θ=，tan()4n πθ=+，则m = ，n = ．【解答】解：若(P )m 是角θ终边上的一点，且sin θ==，m ∴=．tan 1θ==-Q ，tan 1tan()041tan n πθθθ+=+==-，；0． 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，函数()cos (sin )f x x x x =+，将()f x 的图象向左平移12π个单位得到函数()y g x =的图象，且1()22C g =，c ．（1）求C ；（2）若223(sin sin )3sin 8sin sin B C A B C -=-，求cos()A C -．【解答】解：（1）()cos (sin )f x x x x =+1sin 2sin(2)23x x x π==-， ()()sin(2)126g x f x x ππ∴=+=-，1()22C g =Q ，∴1sin()62C π-=，∴5666C πππ-=或，∴()3C ππ=或舍， 故3C π=．（2）223(sin sin )3sin 8sin sin B C A B C -=-Q ， 由正弦定理得：223()38b c a bc -=-，∴22223b c a bc +-=-，∴2221cos 23b c a A bc +-==-，∴sin A ， cos()cos cos sin sin 33A C A A ππ∴-=+，11323=-⨯+． 18．（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*22()n n a S n N -=∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(3)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解答】解：（1）因为*22()n n a S n N -=∈，① 当1n =时，1111222a S a a -=-=，所以12a =．当2n …时，1122n n a S ---=，② ①-②得112(2)0n n n n a S a S -----=，即12n n a a -=． 因为120a =≠，所以0n a ≠，所以*12(nn a n N a -=∈，且2)n …， 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以1222n n n a -=⨯=．（2）由（1）得，(3)2n n b n =+， 所以123425262(3)2nn T n =⨯+⨯+⨯+⋯++⨯，③23124252(2)2(3)2n n n T n n +=⨯+⨯+⋯++⨯++⨯，④ ③-④得，123142(222)(3)2n n n T n +-=⨯+++⋯+-+⨯12316(2222)(3)2n n n +=++++⋯+-+⨯12(21)6(3)221n n n +-=+-+⨯-11622(3)2n n n +-=+--+⨯ 14(2)2n n +=-+， 所以1(2)24n n T n +=+-．19．（12分）已知五边形ABECD 由一个直角梯形ABCD 与一个等边三角形BCE 构成，如图1所示，AB BC ⊥，//AB CD ，且2AB CD =．将梯形ABCD 沿着BC 折起，如图2所示，且AB ⊥平面BEC ．（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面ADE ；（Ⅱ）若AB BC =，求二面角A DE B --的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取BE 的中点F ，AE 的中点G ，连接FG 、GD 、CF ，则//12GF AB =．1//2DC AB Q ，//CD GF ∴=，∴四边形CFGD 为平行四边形，//CF DG ∴．AB ⊥Q 平面BEC ，AB CF ∴⊥．CF BE ⊥Q ，AB BE B =I ， CF ∴⊥平面ABE ． //CF DG Q ， DG ∴⊥平面ABE ．DG ⊂Q 平面ADE ，∴平面ABE ⊥平面ADE ．（Ⅱ）解：过E 作EO BC ⊥于O ．AB ⊥Q 平面BEC ，AB EO ∴⊥．AB BC B =Q I ，EO ∴⊥平面ABCD ．以O 为坐标原点，OE 、BC 所在的直线分别为x 轴、y 轴，过O 且平行于AB 的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设4AB BC ==，则(0A ，2-，4)，(0B ，2-，0)，(0D ，2，2)，(23E ，0，0)， ∴(23ED =-u u u r ，2，2)，(23EA =-u u u r ，2-，4)，(23EB =-u u u r，2-，0)．设平面EAD 的法向量为1(n x =r ，1y ，1)z ，则有00n EA n ED ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u rr g ，即1111112324023220x y z x y z ⎧--+=⎪⎨-++=⎪⎩， 取12z =得13x =，11y =，则(3n =r，1，2)，设平面BDE 的法向量为2(m x =r ，2y ，2)z ，则00m ED m EB ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，即22222232202320x y z x y ⎧-++=⎪⎨--=⎪⎩， 取21x =，得23y =-，223z =，则(1m =r，3-，23)．436cos ,||||224m n m n m n ∴<>===⨯r r g r rr r ．又由图可知，二面角ADEB 的平面角为锐角，∴二面角A DE B --的余弦值为6．20．（12分）抛物线2:C y x =，直线l 的斜率为2． （Ⅰ）若l 与C 相切，求直线l 的方程；（Ⅱ）若l 与C 相交于A ，B ，线段AB 的中垂线交C 于P ，Q ，求||||PQ AB 的取值范围． 【解答】解：（1）设直线l 的方程为2y x b =+，联立直线l 与抛物线C 的方程22y x by x =+⎧⎨=⎩，得220x x b --=，△440b =+=，所以，1b =-， 因此，直线l 的方程为21y x =-；（2）设直线l 的方程为2y x b =+，设点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 、3(P x ，3)y 、4(Q x ，4)y ， 联立直线l 与抛物线C 的方程22y x by x=+⎧⎨=⎩，得220x x b --=，△440b =+>，所以，1b >-． 由韦达定理得122x x +=，12x x b =-．所以，12|||AB x x =-=，因为线段AB 的中点为(1,2)b +，所以，直线PQ 的方程为1522y x b =-++，由21522y x by x⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，得22520x x b +--=，由韦达定理得3412x x +=-，3452x x b =--，所以，34|||PQ x x =-=所以，||1||2PQ AB >， 所以，||||PQ AB 的取值范围是1(,)2+∞． 21．（12分）某读书协会共有1200人，现收集了该协会20名成员每周的课外阅读时间（分钟），其中某一周的数据记录如下：75 60 35 100 90 50 85 170 65 70 125 75 70 85 155 110 75 130 80 100对这20个数据按组距30进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：阅读时间分组统计表（设阅读时间为x 分钟）()I 写出m ，n 的值，请估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长，以及该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数；()II 该读书协会拟发展新成员5人，记新成员中每周阅读时长在[60，90)之间的人数为ξ，以上述统计数据为参考，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）完成下面的22x 列联表，并回答能否有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”？附：2()()()()K a b c d a c b d =++++【解答】解：（Ⅰ）由阅读时间分组统计表，得到4m =，2n =． 估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长为： 2104224575105135165932020202020⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分钟． 该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数为： 422120048020++⨯=人． （Ⅱ）估计新成员每周阅读时长在[60，90)之间的概率为12， 依题意1~(5,)2B ξ，共分布列为：05511(0)()232P C ξ===， 145115(1)()()2232P C ξ===，22351110(2)()()2232P C ξ===， 33251110(3)()()2232P C ξ===，445115(4)()()2232P C ξ===， 55511(5)()232P C ξ===， ξ∴的分布列为：15()522E ξ∴=⨯=． （Ⅲ）完成下面的22x 列联表：020(3818)0.808416119k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，∴没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”．22．（12分）已知函数()1()f x x alnx a a R =-+-∈． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若[a x e ∈，)+∞时，()0f x …恒成立，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞， ()1a x af x x x-'=-=， ①当0a „时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞递增， ②当0a >时，由()0f x '=，解得：x a =， 故()f x 在(0,)a 递减，在(,)a +∞递增， 综上，当0a „时，()f x 在(0,)+∞递增， 当0a >时，()f x 在(0,)a 递减，在(,)a +∞递增；（Ⅱ）①当0a =时，1x Q …，()10f x x ∴=-…恒成立，第21页（共21页）故0a =符合题意，②当0a <时，0a e <，f Q （1）0a =<，故()0f x …不恒成立，舍， ③当0a >时，由（Ⅰ）知()f x 在(0,)a 递减，在(,)a +∞递增， 下面先证明：(0)a e a a >>，设p （a ）a e a =-，p 'Q （a ）10a e =->，p ∴（a ）在(0,)+∞递增，p （a ）(0)10p =>…，故a e a >， 故()f x 在[a e ，)+∞递增，故2()()1a a min f x f e e a a ==-+-，设q （a ）21(0)a e a a a =-+->，则q '（a ）21a e a =-+，q ''（a ）2a e =-， 由q ''（a ）0>，解得：2a ln >，由q ''（a ）0<，解得：02a ln <<， 故q '（a ）在(0,2)ln 递减，在(2,)ln +∞递增，故q '（a ）(2)3220q ln ln '=->…，故q （a ）在(0,)+∞递增，故q （a ）(0)0q >=，故()0min f x >，故()0f x …恒成立，故0a >符合题意，综上，a 的范围是[0，)+∞．。