第四课：函数的最大最小值和分段函数

MATLAB求分段函数最大值如何用MATLAB求分段函数的最小值和最大值分段函数是一个由多个子函数组成的函数，每个子函数在定义域的不同区间上有不同的定义。

它通常用于描述真实世界中的非连续现象，如电子设备的开关状态或者非线性系统的行为。

要用MATLAB求解分段函数的最小值和最大值，我们可以按照以下步骤进行：1. 定义分段函数。

首先，我们需要将分段函数表示为一个MATLAB函数。

这可以通过使用if-else语句来实现。

以一个简单的分段函数为例，假设我们要计算以下分段函数在定义域[0,10]上的最小值和最大值：f(x)=x^2,0<=x<5f(x)=10,5<=x<=10我们可以用以下代码来定义这个分段函数：```function y = piecewise_function(x)if x >= 0 && x < 5y=x^2;elseif x >= 5 && x <= 10y=10;elsey=NaN;%处理定义域之外的情况endend```2.创建一个数值范围。

要计算分段函数的最小值和最大值，我们需要在定义域内创建一个数值范围。

在本例中，定义域为[0,10]，我们可以用以下代码来创建一个包含许多离散点的数值范围：```x_range = linspace(0, 10, 100); % 在0到10之间创建100个离散点```这将创建一个包含100个离散点的向量x_range，这些点均匀分布在[0,10]之间。

3. 计算分段函数的值。

使用定义的数值范围和分段函数定义的MATLAB函数，我们可以计算每个离散点的函数值。

我们可以使用一个for 循环来实现这一点：```y_values = zeros(1, length(x_range)); % 创建一个包含每个离散点函数值的向量for i = 1:length(x_range)y_values(i) = piecewise_function(x_range(i));end```这将计算每个离散点的函数值，并将它们存储在一个向量y_values 中。

高中数学《函数的最值》基础知识与讲义专题一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≤，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≥，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值 （3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。

例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln 4,但就是达不到。

()f x 没有最大值。

（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z ππ=+∈，有无穷多个。

2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点 （2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点 8、最值点的作用 （1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =−+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤− 二、典型例题： 例1：求函数()xf x xe−=的最值思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值 解：()()'1x fx x e −=−，令()'0f x >,解得：1x <()f x ∴的单调区间为：()()max 1f x f e∴==，无最小值 小炼有话说：函数()xf x xe−=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。

第04讲（与分段函数有关的取值范围问题）【目标导航】1．理解含义抽象函数的求值问题、与分段函数有关的方程或不等式、分段函数的值域、分段函数的零点问题、分段函数中求参问题、分段函数奇偶性讨论等问题； 2．理解分段函数有关的取值范围等问题并能灵活运用． 【例题导读】例1、若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ， x ≤0f (x －2)，x ＞0，则f (log 23)＝ ．【答案】．34【解析】因为1＜2log 3＜2，所以f (log 23)＝f (log 23－2)＝22log 3log 32223224-==.例2、设函数()()cos ,011,0x x f x f x x π>⎧=⎨+-≤⎩，则103f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_________ 【答案】92-【解析】由()f x 解析式可知，只有0x >，才能得到具体的数值，0x <时只能依靠()()11f x f x =+-向0x > 正数进行靠拢。

由此可得：107412123433333f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而 221cos 332f π⎛⎫==- ⎪⎝⎭10932f⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭例3、 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（3－x ），x≤0，2x －1，x>0，若f(a －1)＝12，则实数a ＝________．【答案】 log 23【解析】当a －1≤0，即a≤1时，f(a －1)＝log 2(4－a)＝12，解得a ＝4－2(舍)；当a －1>0，即a>1时，f(a －1)＝2a －1－1＝12，解得a ＝log 23.例4、已知函数2220()20x x x f x x x x ⎧-=⎨--<⎩，≥，，， 则不等式()()f x f x >-的解集为 ．【答案】(20)(2)-+∞U ，，【解析】：若0x ≥，则22()2,()2f x x x f x x x =--=-+，由()()f x f x >-得： 22222x x x x x ->-+⇒>，故2x >.若0x <，则22()2,()2f x x x f x x x =---=+，由()()f x f x >-得： 222220x x x x x -->+⇒-<<，故20x -<<. 综上，不等式()()f x f x >-的解集为 (20)(2)-+∞U ，，.例5、函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x， x ≤0，－x 2＋1， x >0的值域为________．【答案】 (－∞，1]【解析】思路分析 先画出图像看看．分段画出f (x )的图像即可看出函数的值域为(－∞，1]．例6、已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋2x －1x 2，x≤－12，log 12⎝⎛⎭⎫1＋x 2，x>－12，g(x)＝－x 2－2x －2.若存在a ∈R ，使得f (a )＋g (b )＝0，则实数b 的取值范围是________． 【答案】. (－2，0)【解析】由题意，存在a ∈R ，使得f (a )＝－g (b )，令h (b )＝－g (b )＝b 2＋2b ＋2.当a ≤－12时，f (a )＝a 2＋2a －1a 2＝－1a 2＋2a ＋1＝－⎝⎛⎭⎫1a －12＋2，因为a ≤－12，所以－2≤1a <0，从而－7≤f (a )<1；当a >－12时，f (a )＝log 12⎝⎛⎭⎫1＋a 2，因为a >－12，所以1＋a 2>14，从而f (a )<2.综上，函数f (a )的值域是(－∞，2)． 令h (b )<2，即b 2＋2b ＋2<2，解得－2<b <0. 例7、已知函数(2)1(1)()log (1)aa x x f x x x --≤⎧=⎨>⎩，若()f x 在(),-∞+∞单调递增，则实数a 的取值范围是_________【答案】(]2,3a ∈【解析】思路：若()f x 在(),-∞+∞单调增，则在R 上任取12x x <，均有()()12f x f x <，在任取中就包含12,x x 均在同一段取值的情况，所以可得要想在R 上单调增，起码每一段的解析式也应当是单调递增的，由此可得：201a a ->⎧⎨>⎩，但仅仅满足这个条件是不够的。

第4课时分段函数【知识与技能】1.能根据不同情况，了解分段函数的含义.2.了解简单的分段函数，并能运用分段函数解决函数值的问题.3.能作出分段函数的图象，利用它解决生活中的简单应用问题.【过程与方法】1.通过对例题的探究，培养学生勤于动脑、乐于探究、主动参与学习的意识，体会数形结合思想在数学学习中的重要性.2.经过训练题和课堂学习，加深对分段函数的概念、图象的认识、应用，提高分析、解决问题的能力.【情感态度】学习过程中进一步体会发现规律、应用规律的乐趣，从而提高学习数学的兴趣，提高学生的求知欲，感悟数学的美.【教学重点】1.理解分段函数的含义及会作分段函数的图象.2.利用分段函数解决日常生活中的实际问题.【教学难点】1.分段函数与一般函数的区别与联系.2.如何作分段函数的图象.3.分段函数的实际应用.一、情境导入，初步认识1.作出函数y=2x+1(x＞0)的图象，命名为图1.2.在同一直角坐标系中，作出函数y=2x+1(x＞1)的图象，命名为图2.【教学说明】作出的两个图象是什么样的函数图象？和以前学的函数图象有何差别？图1和图2是否可以作为某个函数的图象？图1与图2有怎样的区别与联系？让学生发现虽然有两个解析式，但是仍是同一个函数，引出分段函数的定义.在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数.二、思考探究，获取新知例 小芳以200米/分的速度起跑后，先加速跑5分钟，每分钟提高速度20米，又匀速跑10分钟.试写出这段时间里她的跑步速度y （单位：米/分）随跑步时间x 的（单位：分）变化的关系式，并画出函数图象.【分析】本题y 随x 变化的规律分成两段：前5分钟与后10分钟.写y 随x 变化函数关系式时要分成两段来写，且要注意各自变量的取值范围.解：(1)跑步速度y 与跑步时间x 的函数关系式为：()20200053005()15y x x x =+≤≤⎩≤⎧⎨＜ （2）函数图象如图所示.【教学说明】把简单的实际问题转化为数学问题（函数模型）；利用数学方法来解决有关实际问题.三、运用新知，深化理解为了加强公民的节水意识，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6m 3时，水费按0.6元/立方米收费，超过6m 3时，超过部分每立方米按1元收费，每户每月用水量为xm 3,应缴水费y 元.（1）写出每月用水量不超过6m 3和超过6m 3时，y 与x 之间的函数关系式.（2）已知某户5月份用水量为8m 3，求该用户5月份的水费.【教学说明】上面的习题对本节知识进行了拓展，教师应引导、鼓励学生自主解答，再互相交流，并由教师对完成的结果进行点评.【答案】（1）()0.6062.46()y x x y x x =≤≤=-⎧⎪⎨⎪⎩＞ （2）当x=8时，y=5.6,故该用户5月份的水费为5.6元.四、师生互动，课堂小结今天你学到了什么？有哪些收获？1.布置作业：从教材“习题19.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时学习的分段函数，可利用数形结合的思想，引导学生找到解题的思路，提高解决实际问题的能力.。

函数的值域与最值知识点归纳函数是数学中的重要概念，是描述两个集合之间元素的对应关系。

在函数的研究中，值域和最大最小值是两个重要的知识点。

本文将对函数的值域与最值进行归纳与总结，以帮助读者更加深入地理解和掌握这些知识点。

一、函数的值域值域是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。

即对于函数f(x)，其值域为所有符合f(x) = y的y的取值。

确定函数的值域可以采用以下方法：1. 列表法：将定义域内所有可能的输入值代入函数，得到对应的输出值，将这些输出值按照从小到大的顺序排列，即可得到函数的值域。

2. 图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的值域。

需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的值域。

3. 函数表达式法：通过分析函数的解析表达式，确定函数的值域。

例如，对于一次函数f(x) = ax + b，由于a为常数，那么当x趋向于正无穷或负无穷时，f(x)也趋向于正无穷或负无穷，因此可以确定该一次函数的值域为整个实数集。

二、函数的最大最小值最大最小值是函数在定义域内取得的最大和最小的输出值。

确定函数的最大最小值可以采用以下方法：1. 导数法：对函数进行求导，找到导数为零的点和导数不存在的点，然后将这些点代入原函数，得到对应的函数值，即为函数的最大最小值。

需要注意的是，在求导的过程中，要注意判断定义域的边界情况。

2. 极值点法：对于闭区间上的函数，可以通过求解函数的极值点来确定函数的最大最小值。

首先求解函数的驻点，即导数为零或不存在的点，然后将这些驻点以及端点的函数值进行比较，得到函数的最大最小值。

3. 函数图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的最大最小值。

需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的最大最小值，并对比得到整个函数的最大最小值。

综上所述，函数的值域与最值是函数研究中的重要内容。

确定函数的值域可以通过列表法、图像法和函数表达式法等方法进行，确定函数的最大最小值可以通过导数法、极值点法和函数图像法等方法进行。

函数专题：分段函数的6种常见考法一、分段函数的概念若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数.【注意】分段函数是一个函数而不是几个函数二、分段函数问题解题思路1、分段求解时解决分段函数问题的基本原则；当求()0f x 的值时，要先判断0x 属于定义域中的“哪段”，然后再代入相应的解析式求解。

2、有关分段函数的不等式问题，要先按照分段函数的“分段”进行分类讨论，从而将问题转化为简单的不等式组来解。

3、已知分段函数，求参数值，往往要对含参数的自变量属于“哪段”进行分类讨论，然后再代入相应的解析式，列出方程求解，当出现()()f f a 的形式时，应从内往外依次求值。

4、求解分段函数参数的取值范围问题时，一般将参数当成已知，画出分段函数图象，根据函数图象列出满足要求的不等式（组）。

题型一 求分段函数值【例1】已知函数()2,222,2xx x f x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，则()1f =（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C【解析】当2x ≤时，()22x f x =+，()11224f ∴=+=，故选：C.【变式1-1】若()()231log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()()016f f +=_________.【答案】5【解析】因函数()()231log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，所以()()020163log 16145f f +=+=+=.【变式1-2】若函数()2321,3,log ,3,x x f x x x ⎧+<=⎨⎩则()()2f f =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C【解析】因为()222219f =⨯+=，所以()()()329log 92f f f ===，故选：C.【变式1-3】已知函数()()21log 21,02,0,x x x f x x +⎧+>=⎨≤⎩，则()()2f f -=______.【答案】1【解析】由题意可得()11222f --==，所以()()21log 2122f f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭==-.题型二 根据分段函数值求参数【例2】已知函数()2,0,2,0.x x a x f x x ⎧+≤=⎨>⎩若()14f f ⎡⎤-=⎣⎦，且1a >-，则=a （ ） A ．12- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】C【解析】由题意知，2(1)(1)1f a a -=-+=+，又1a >-，所以10a +>，所以1[(1)](1)24af f f a +-=+==，解得1a =，故选：C【变式2-1】设函数21,1()2,1x a x x f x x -⎧+<=⎨≥⎩，若1124f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则=a _____________. 【答案】134【解析】因为21,1()2,1x a x x f x x -⎧+<=⎨≥⎩，所以21151224f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1124f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得5144f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以54124a -=，52422a --=， 所以524a -=-，得134a =，【变式2-2】设函数2,1(),1x a x f x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，若()()29f f -=，则实数a 的值为___________. 【答案】5【解析】()22f -=，()()()2249f f f a -==+=，解得：5a =.【变式2-3】（多选）已知()12,0,ln ,0,x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，若()()1f f a =，则实数a 的值可以为（ ）A ．1e 2- B ．12 C ．1 D ．e e 【答案】ACD【解析】因为()12,0,ln ,0,x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，()()1f f a =，所以当0a ≤时，()12>0f a a =-，所以()()()()12ln 121f f a f a a =-=-=， 所以12e a -=，解得1e 02a -=<，所以1e2a -=满足； 当01a <≤时，()ln 0f a a =≤，所以()()()ln 12ln 1f f a f a a ==-=， 所以ln 0a =，解得1a =，满足题意；当>1a 时，()ln >0f a a =，所以()()()()ln ln ln 1f f a f a a ===， 所以ln e a =，解得e e a =，满足题意； 故选：ACD.题型三 根据分段函数的单调性求参数【例3】若函数()()22212311x ax x f x a x x ⎧--+>⎪=⎨-+≤⎪⎩，，是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．213⎛⎤⎥⎝⎦，B ．215⎡⎫-⎪⎢⎣⎭， C ．23⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， D ．223⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【答案】D【解析】由题意得，1a -≤ 解得1a ≥-；230-<a ，解得23a >；当1x =时122231--+≤-+a a ，解得2a ≤. 综上得实数a 的取值范围为223a <≤.故选：D.【变式3-1】已知函数()()2,0112,0x x f x x x a x a x ⎧≤⎪=-⎨⎪--++>⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,0-B ．[]1,0-C ．()1,-+∞D ．[)1,-+∞ 【答案】B【解析】当0x ≤时，()1111x f x x x ==+--单调递减， ()f x 在R 上递减， 102a +∴-≤且()20010201a a ≥--+⨯+-， 解得10a -≤≤，故选：B .【变式3-2】已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围为（ ）A ．(),2-∞-B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．(],2-∞ D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】对任意的()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，()f x ∴在R 上单调递减，()22011222a a -<⎧⎪∴⎨⎛⎫-≥- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：138a ≤，即实数a 的取值范围为13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：B.【变式3-3】已知(6)4,1()log ,1a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩在区间-∞+∞（，）上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,6)B ．6[,6)5C ．6[1,]5D ．(1,)+∞ 【答案】B【解析】()f x 在-∞+∞（，）上为单调递增函数；601(6)14log 1a a a a a ->⎧⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩，解得665a ≤<；∴实数a 的取值范围为6[,6)5．故选：B ．【变式3-4】若2210()(1)(1)20axax x f x a a x ⎧+≥=≠⎨-⋅<⎩，在定义域(,)-∞+∞上是单调函数，则a 的取值范围_______. 【答案】((,21,2⎤-∞⎦.【解析】()f x 在定义域(,)-∞+∞上是单调函数，①函数的单调性是增函数时，可得当0x =时，()20121a -⋅≤即，211a -≤解之得22a -≤0x ≥时，21y ax =+是增函数，0a ∴>0x <时 2(1)2ax a -⋅是增函数，210a ∴->，得1a <-或1a >，综上实数a 的取值范围是12a <≤②函数的单调性是减函数时，可得当0x =时， ()20121a -⋅≥即211a -≥，解之得2a ≤2a ≥0x ≥时，21y ax =+是减函数，0a ∴<又0x <时， 2(1)2axa -⋅减函数，210a ∴->，得1a <-或1a >综上：实数a 的取值范围是2a ≤- 综上所述：a 的取值范围为((,21,2⎤-∞-⎦。

高三总复习—-分段函数专题分段函数的定义:分段函数;对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。

它是一个函数，而不是几个函数：分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。

知识点梳理一、定义：分段函数是指自变量在不同范围内，有不同对应法则的函数. 二、注意：1、分段函数是一个函数，而不是几个函数;2、分段函数的定义域是自变量各段取值的并集；3、分段函数的值域是各段函数值的并集。

4、解决分段函数的方法:先分后合 三、涉及的内容及相应的常用方法：1、求解析式： 利用分段中递推关系，如平移、周期、对称关系,已知其中一段的解析式，得到整个定义域的解析式；2、求值、解不等式：注意只有自变量在相应的区间段才可以代入对应的解析式。

不能确定时常需要分情况讨论;3、单调性： 各段单调(如递增）+连接处不等关系.(如()()()12,(,],[,)f x x a f x f x x a ∈-∞⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩在R 上是增函数，则()()()()1212(,)[,)f x a f x a f a f a ⎧-∞↑⎪⎪+∞↑⎨⎪≤⎪⎩①在上②在上③)；4、奇偶性： 分段讨论，各段均符合相同的定义中的恒等式,才有奇偶性,否则为非奇非偶函数；A5、图像性质或变换等： 作图、赋值等,注意变量的范围限制；6、最值： 求各段的最值或者上下界再进行比较；7、图像： 分类讨论，如零点分段法得到各段解析式再作图； 例题讲解：题型一、分段函数的图像。

1.作出函数()1y x x =+的图象2. 函数ln |1|xy e x =--的图象大致是 （ ）题型二、分段函数的奇偶性 1、判断函数(1)(0),()(1)(0).x x x f x x x x -<⎧=⎨+>⎩的奇偶性2、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当20,()2 3.x f x x x >=-+时求f （x ）的解析式。

2013年新课标数学40个考点总动员 考点04 函数的定义域和值域、解析式和分段函数（教师版）热点一 函数的定义域和值域1.（2012年高考（江西理））下列函数中,与函数定义域相同的函数为 （ ） A ．y=1sin xB ．y=1nxxC ．y=xe xD ．sin xx2.（2012年高考（山东文））函数1()ln(1)f x x =+ （ ）A ．[2,0)(0,2]-B ．(1,0)(0,2]-C ．[2,2]-D ．(1,2]-【答案】B【解析】要使函数)(x f 有意义只需⎩⎨⎧≥-≠+040)1ln(2x x ,即⎩⎨⎧≤≤-≠->220,1x x x ,解得21≤<-x ,且0≠x .答案应选B.3.（2012年高考（上海春））函数224log ([2,4])log y x x x=+∈的最大值是______. 【答案】5【解析】22log ,24,1log 2,1 2.t x x x t =≤≤∴≤≤∴≤≤ 令因对号函数4y t t=+在区间[1,2]上单调递减，故当1t =时函数取得最大值为5.4.（2012年高考（江苏））函数x x f 6log 21)(-=的定义域为____.5.（2012年高考（四川文））函数()f x =的定义域是____________.(用区间表示)【答案】(21-，∞)【解析】由12>0x -,得1(-)2x ∈∞，.6.（2012年高考（广东文））(函数)函数y =的定义域为__________.热点二 函数的解析式7.（2012年高考（安徽理））下列函数中,不满足(2)2()f x f x =的是 （ ）A ．()f x x =B ．()f x x x =-C ．()f x x =+1D ．()f x x =-【解析】C【解析】()f x kx =与()f x k x =均满足:(2)2()f x f x =得:,,A B D 满足条件 ，故C 不满足.8.（2012年高考（上海理））已知2)(x x f y +=是奇函数,且1)1(=f .若2)()(+=x f x g , 则=-)1(g _______ .热点三 分段函数9.（2012年高考（江西理））若函数21(1)()lg (1)x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则((10))f f =（ ）A.lg101B.2C.1D.0 【答案】B【解析】本题考查分段函数的求值.因为101>，所以()10lg101f ==.所以2((10))(1)112f f f ==+=.10.（2012年高考（福建理））设函数1,()0,D x ⎧⎪=⎨⎪⎩x x 为有理数为无理数,则下列结论错误的是（ ）A ．()D x 的值域为{}0,1B ．()D x 是偶函数C ．()D x 不是周期函数D ．()D x 不是单调函数11.（2012年高考（陕西文））设函数发0,()1(),0,2x x f x x ìï³ïï=íï<ïïïî,则((4))f f -=_____【考点剖析】一．明确要求1．主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法． 2．考查分段函数的简单应用．3．由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查． 二．命题方向三．规律总结 一个方法求复合函数y ＝f (t )，t ＝q (x )的定义域的方法：①若y ＝f (t )的定义域为(a ，b )，则解不等式得a ＜q (x )＜b 即可求出y ＝f (q (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )的值域即为f (t )的定义域． 两个防范(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域． (2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性．【基础练习】1.(教材习题改编)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0，若f (a )＋ f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1【答案】C【解析】若a ≥0，则a ＋1＝2，得a ＝1；若a <0，则－a ＋1＝2，得a ＝－1.2.(教材习题改编)函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域为________．【答案】{x |x ≥4且x ≠5}【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，|x |－5≠0∴x ≥4且x ≠5.3.(教材习题改编)若x 有意义，则函数y ＝x 2＋3x －5的值域是________．4.(教材习题改编)若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (－1)＝________. 【答案】8【解析】由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3.∴f (x )＝x 2－4x ＋3.∴f (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8.5. (人教A 版教材习题改编)函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( )． A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞)【答案】A【解析】 ∵3x＋1＞1，∴f (x )＝log 2(3x＋1)＞log 21＝0.6．（经典习题）函数y ＝f (x )的图象如图所示．那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．【名校模拟】 一．扎实基础1. （2012海淀区高三年级第二学期期末练习文）函数21,12y x x =-+-?的值域是（A ）(3,0]- （B ） (3,1]- （C ）[0,1] （D ）[1,5) 【答案】B【解析】212,(4,0],(3,1].xx y -?\-?\?2. (唐山市2011—2012学年度高三年级第一次模拟考试文)函数2l o g (12y x =+的定义域为(A ) (-1, 2) (B ) (0, 2] (C ) (0, 2) (D ) (-1, 2]3.(湖北省八校2012届高三第一次联考理)函数3()33x f x =-的值域为 （ ） A ．(,1)-∞-B ．(1,0)(0,)-+∞C ．(1,)-+∞D ．(,1)(0,)-∞-+∞4. (浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期高考仿真试题理)设3,10,()[(5),10,x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩则(6)f 的值为A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】()()()()(6)11813107f f f f f f f =====⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．5. (长春市实验中学2012届高三模拟考试（文）)若函数⎩⎨⎧≥<<-=)2()20(ln 1)(2x x x x x f ，且2)(=x f ，则x 的值为e A . 2.B 1.-e C 1.-e D 或2【答案】C【解析】本题考查函数的定义和对分段函数的解析式的理解。

分段函数最值问题及解题技巧1. 问题描述分段函数是由若干个不同部分组成的函数，每个部分在定义域内具有不同的表达式或函数关系。

分段函数的最值问题是指在给定定义域上，如何找到分段函数的最大值或最小值。

在解决这类问题时，需要注意以下几个方面：2. 解题技巧2.1 分段函数分类通常，分段函数可以分为线性分段函数和非线性分段函数两类。

- 线性分段函数：线性分段函数：线性分段函数是由线性函数组成的函数，如：$f(x) = ax + b$。

求线性分段函数的最值可以通过计算斜率来确定。

- 非线性分段函数：非线性分段函数：非线性分段函数是由非线性函数组成的函数，如：$f(x) =\begin{cases} g(x), & \text{if } x < a \\ h(x), & \text{if } x \geq a\end{cases}$。

求非线性分段函数的最值需要分别计算不同区间上的最值，然后比较得出最终结果。

2.2 寻找定义域在解决分段函数的最值问题时，首先需要明确函数的定义域。

定义域是指函数的自变量的取值范围。

通过分析函数的定义，结合问题的条件，可以确定函数的定义域。

确定了定义域之后，才能在该范围内寻找最值。

2.3 区间的开闭性在找分段函数的最值时，需要理解区间的开闭性。

开区间不包含端点，闭区间包含端点。

在计算函数在特定区间上的最值时，要注意对区间的开闭情况进行考虑。

比如，对于一个闭区间，需要将区间内所有的极值进行比较，而对于一个开区间，则需要排除区间端点的极值。

2.4 极值点的确定极值点是指函数在定义域内的局部最值点，即函数的斜率为零或者不存在。

在求解分段函数的最值问题时，需要找到函数在各个区间内的极值点。

可以通过计算导数或者利用函数的图像进行分析来确定极值点。

2.5 特殊情况的处理在解决分段函数的最值问题时，需要注意处理特殊情况。

比如，在分段函数中存在分段点，即两个部分函数的交点，此时需要特别处理这些交点，以确定函数的最值。

学科教师辅导讲义11222=，故225)4x x x +=+254x +=+显然这样的实数不存在，那么我们就不能使用不等式法来求解了例4、求函数2223(20)()23(03)x x x f x x x x ⎧+--<⎪=⎨--⎪⎩，≤ ≤≤的值域．分析：求分段函数的值域可作出它的图象，则其函数值的整体变化情况就一目了然了，从而可以快速地求出其值域．解：作图象如图所示．(1)(1)4f f -==-∵，(2)3f -=-，(3)0f =，(0)3f =-，∴函数的最大值、最小值分别为0和4-，即函数的值域为[40]-，． 变式练习1：求函数13y x x =-+-的值域.分析: 此题首先是如何去掉绝对值,将其做成一个分段函数.24,(,1],2,(1,3),24,[3,),x x y x x x -+∈-∞⎧⎪=∈⎨⎪-∈+∞⎩在对应的区间内,画出此函数的图像, 如图1所示, 易得出函数的值域为),2[+∞. 变式练习2：求函数224548y x x x x =+++-+的值域。

解：原函数变形为222()(2)1(2)2f x x x =+++-+作一个长为4、宽为3的矩形ABCD ，再切割成 12个单位正方形。

设HK=x ,则EK=2x -,KF=2x +,AK=22(2)2x -+,KC=2(2)1x ++ 。

由三角形三边关系知，AK+KC ≥AC=5。

当A 、K 、C 三点共线时取等号。

∴原函数的知域为｛y |y ≥5｝。

变式练习3：求函数()225222++-++=x x x x x f 的最大值解：()225222++-++=x x x x x f =()()114122++-++x x=()()()()2222101201-++--++x x ，显然，求f(x)的最大值就是求点A(x,0)分别到B(-1,2),C(-1,1)的距离之差的最大值.如图1所示：()()22201-++x =|AB|,()()22101-++x =|AC|,且|BC|=1.显然f(x)=|AB|-|AC|≥|BC|=1当且仅当A,B,C 三点共线时取到等号，即当X=-1时()[]1max =∴x f . y yB 2 B 2C 1 C 1-1 O 1 x -1 O 1 x图1 图2图1y=-2x+4y=2x-4YX4O231时，x R ∈，函数的值域为[1,92212+++x x x 的值域先将此函数化成隐函数的形式得的一元二0)1≥-,解得略解：易知定义域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，而12y x x =--在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上均为增函数，∴11112222y --=≤，故y ∈1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦13、求函数22y x x =-++的值域。

函数的最大值和最小值教案第一章：函数最大值和最小值的概念1.1 函数最大值1.2 函数最小值1.3 函数的最大值和最小值的意义第二章：函数的单调性2.1 单调递增函数2.2 单调递减函数2.3 单调性与最大值最小值的关系第三章：一次函数的最大值和最小值3.1 一次函数的图像特征3.2 一次函数的最大值和最小值的求法3.3 实际问题中的应用第四章：二次函数的最大值和最小值4.1 二次函数的图像特征4.2 二次函数的最大值和最小值的求法4.3 实际问题中的应用第五章：分段函数的最大值和最小值5.1 分段函数的定义5.2 分段函数的最大值和最小值的求法5.3 实际问题中的应用本教案旨在帮助学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握求解函数最大值和最小值的方法，并能够将所学知识应用于解决实际问题。

在教学过程中，应注意引导学生通过观察函数图像、分析函数性质来求解最大值和最小值，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

结合具体实例，使学生能够更好地理解函数最大值和最小值在实际问题中的应用。

第六章：利用导数求函数的最值6.1 导数的定义6.2 导数与函数单调性的关系6.3 利用导数求函数的最值第七章：利用基本不等式求最值7.1 基本不等式的概念7.2 基本不等式在求最值中的应用7.3 常见不等式求最值的方法第八章：函数最值在实际问题中的应用8.1 最大利润问题8.2 最小成本问题8.3 最优路径问题第九章：函数最值的计算技巧9.1 换元法9.2 构造法9.3 利用不等式性质求最值10.1 函数最值的重要性质10.3 函数最值在实际问题中的应用案例分析重点和难点解析一、函数最大值和最小值的概念补充说明：理解函数最大值和最小值在数学分析中的重要性，以及它们在实际问题中的应用。

二、函数的单调性补充说明：深入解析单调性如何影响函数的最大值和最小值的求解，以及如何利用单调性进行简化计算。

三、一次函数的最大值和最小值补充说明：详细阐述一次函数图像特征对最大值和最小值求解的影响，以及如何通过图像分析得到答案。

【知识要点】分段函数问题是高中数学中常见的题型之一，也是高考经常考查的问题.主要考查分段函数的解析式、求值、解不等式、奇偶性、值域（最值）、单调性和零点等问题.1、 求分段函数的解析式，一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.注意分段函数的书写格式为：1122()()()()n n n f x x D f x x D f x x D f x x D ∈⎧⎪∈⎪=⎨∈⎪⎪∈⎩，不要写成1122()()()()n n ny f x x D y f x x D f x x D y f x x D =∈⎧⎪=∈⎪=⎨∈⎪⎪=∈⎩.注意分段函数的每一段的自变量的取值范围的交集为空集，并集为函数的定义域D .一般左边的区域写在上面,右边的区域写在下面.2、分段函数求值，先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并.3、分段函数解不等式和分段函数求值的方法类似，注意小分类要求交，大综合要求并.4、分段函数的奇偶性的判断，方法一：定义法.方法二：数形结合.5、分段函数的值域（最值）,方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合.6、分段函数的单调性的判断，方法一：数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性.7、分段函数的零点问题，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的.虽然分段函数是一种特殊的函数，在处理这些问题时，方法其实和一般的函数大体是一致的. 【方法讲评】【例1】已知函数)(x f 对实数R x ∈满足)1()1(,0)()(+=-=-+x f x f x f x f ，若当[)1,0∈x 时，21)23(),1,0()(-=≠>+=f a a b a x f x .（1）求[]1,1-∈x 时，)(x f 的解析式；（2）求方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数.（2） )()2()1()1(,0)()(x f x f x f x f x f x f =+∴+=-=-+ )(x f ∴是奇函数，且以2为周期.方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数也就是函数x y x f y 4log )(==和的交点的个数.在同一直角坐标系中作出这俩个函数的图像，由图像得交点个数为2，所以方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数为2.【点评】（1）本题的第一问，根据题意要把[1,1]-分成三个部分，即(1,0),1,(0,1)x x x ∈-=±∈,再一段一段地求. 在求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性、对称性等. (2)本题第2问解的个数，一般利用数形结合解答.【检测1】已知定义在R 上的函数()()22f x x =-.（Ⅰ）若不等式()()223f x t f x +-<+对一切[]0,2x ∈恒成立，求实数t 的取值范围；（Ⅱ）设()g x =，求函数()g x 在[]0,(0)m m >上的最大值()m ϕ的表达式．【例2】已知函数()()22log 3,2{21,2x x x f x x ---<=-≥ ，若()21f a -= ，则()f a = （ ）A. 2-B. 0C. 2D. 9【解析】当22a -< 即0a >时， ()()211log 3211,22a a a ---=⇒+==- （舍）； 当22a -≥ 即0a ≤时， ()2222111log 42a a f a ---=⇒=-⇒=-=- ，故选A.【点评】（1）要计算(2)f a -的值，就要看自变量2a -在分段函数的哪一段，但是由于无法确定，所以要就2222a a -<-≥和分类讨论. （2）分类讨论时，注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并.当0a >时 ，解得12a =-，要舍去.【例3】【2017山东，文9】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【点评】（1）要化简()()1f a f a =+，必须要讨论a 的范围，要分1a ≥和01a <<讨论.当1a≥时，可以解方程2(1)2(11)a a -=+-，得方程没有解.也可以直接由2(1)y x =-单调性得到()()1f a f a ≠+.【检测2】已知函数210()0xx f x x -⎧-≤⎪=>,若0[()]1f f x =，则0x = ．【例3】已知函数则的解集为（ ）A.B.C.D.【点评】（1）本题中()f x 的自变量x 不确定它在函数的哪一段，所以要分类讨论. (2)当20x -<<时，计算()f x -要注意确定x -的范围，02x <-<，所以求()f x -要代入第一段的解析式.数学思维一定要注意逻辑和严谨. (3)分类讨论时，一定要注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并.【检测3】已知函数()()()22log 2,02,{2,20,x x f x f x x --+≤<=---<<则()2f x ≤的解集为__________．【检测4】【2017课标3，理15】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________.【例4】判断函数⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f 的奇偶性 【解析】由题得函数的定义域关于原点对称.设0,x <2()f x x x =+,则0x ->，222()()()()f x x x x x x x f x -=---=--=-+=- 设0,x >2()f x x x =-+则0x -<，222()()()()f x x x x x x x f x -=--=-=--+=- 所以函数()f x 是奇函数.【点评】（1）对于分段函数奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，再考虑定义，由于它是分段函数，所以要分类讨论. （2）注意，当0x <时，求()f x -要代入下面的解析式，因为0x ->,不是还代入上面一段的解析式.【检测5】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时22)(+=x xx f . （1）求()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性（不必证明）；（3） 若对任意的t R ∈，不等式0)2()3(22≤++-t t f t k f 恒成立，求k 的取值范围.【例5】若函数62()3log 2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩(01)a a >≠且的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是 .【点评】（1）分段函数求最值（值域），方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合.（2）本题既可以用方法一，也可以利用数形结合分析解答. （3）对于对数函数log a y x =，如果没有说明a 与1的大小关系，一般要分类讨论.【检测6】设()()2,014,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨+++⎪⎩，＞若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为( ) A. []2,3- B. []2,0- C. []1,3 D. []0,3【检测7】已知函数()()222log 23,1{1,1x ax a x f x x x -+≥=-<的值域为R ，则常数a 的取值范围是（ )A. ][()1123-，，B. ][()12-∞+∞，，C. ()[)1123-，，D. (,0]-∞{}[)123，【例6】若()()3,1{log ,1a a x a x f x x x --<=> 是(),-∞+∞上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）.A. ()1,+∞B. 3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. (),3-∞D. ()1,3【点评】（1）函数是一个分段函数是增函数必须满足两个条件，条件一：分段函数的每一段必须是增函数；条件二：左边一段的最大值必须小于等于右边一段的最小值. 函数是一个分段函数是减函数必须满足两个条件，条件一：分段函数的每一段必须是减函数；条件二：左边一段的最小值必须大于等于右边一段的最大值. （3）一个分段函数是增函数，不能理解为只需每一段是增函数. 这是一个必要不充分条件.【检测8】已知函数()[)()232,0,32,,0x x f x x a a x ⎧∈+∞⎪=⎨+-+∈-∞⎪⎩在区间(),-∞+∞上是增函数,则常数a 的取值范围是 （ ）A ．()1,2B ．(][),12,-∞+∞C ．[]1,2D ．()(),12,-∞+∞【例7】已知函数()21,0,{log ,0,x x f x x x +≤=>则函数()()1y ff x =+的所有零点构成的集合为__________．【点评】（1）分段函数的零点问题，一般有三种方法，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的. （2）本题由于函数()()1y f f x =+的图像不方便作出，所以选择解方程的方法解答. （3）在函数()()1y f f x =+中，由于没有确定x 的取值范围，所以要分类讨论.【例8()()g x f x k =-仅有一个零点，则k 的取值范围是________.【解析】函数()()22,1{91,1x xf x x x x >=-≤ ，若函数()()g x f x k =- 仅有一个零点，即()f x k = ，只有一个解，在平面直角坐标系中画出， ()y f x =的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，)4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ )4,23⎛⎫⎪⎝⎭.【点评】（1）直接画()()g x f x k =-的图像比较困难，所以可以利用方程+图像的方法. 分离参数得到()f x k =，再画图数形结合分析. 学.科.网【例9】已知函数关于的方程，有不同的实数解，则的取值范围是（ ）A. B.C. D.【解析】【点评】本题考查了类二次方程实数根的相关问题，以及数形结合思想方法的体现，这种嵌入式的方程形式也是高考考查的热点，这种嵌入式的方程首先从二次方程的实数根入手，一般因式分解后都能求实根，得到和，然后再根据导数判断函数的单调性和极值等性质，画出函数的图象，若直线和函数的交点个数得到参数的取值范围.【检测9】已知函数()()1114{(1)x x f x lnx x +≤=>，则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是（ ）（注： e 为自然对数的底数）A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第15讲：分段函数中常见题型解法参考答案【反馈检测1答案】（Ⅰ）11t -<<（Ⅱ）()222,011,112,1m m m m m m m m ϕ⎧-+<≤⎪⎪=<≤+⎨⎪->⎪⎩方法二：不等式恒成立等价于恒成立 .即等价于对一切恒成立，即恒成立，得恒成立， 当时，，，因此，实数t 的取值范围是11t -<<．【反馈检测2答案】或1【反馈检测2详细解析】当时，，则，即 ；当时，，则，即。

分段函数的性质与应⽤分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。

即“分段函数——分段看”一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。

3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。

如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x -的关系，要注意,x x -的范围以代入到正确的解析式。

4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。

否则是断开的。

例如：()221,34,3x x f x x x -£ì=í->î，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。

再比如()221,31,3x x f x x x -£ì=í->î中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。

（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。

例如：()13f x x =-+，可转化为：()13,113,1x x f x x x -+³ì=í-+<î5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。

解析数学中分段函数作者：周文国来源：《数理化学习·高一二版》2012年第11期分段函数在教材中是以例题的形式出现的，并未作深入说明，学生对此认识往往比较肤浅，本文对分段函数的知识点进行归纳整理，揭开分段函数的面纱.一、分段函数的含义所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数，对它应有以下两点基本认识：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.二、求分段函数的函数值例1 已知函数f（x）=2x （x3 （0≤x≤1）log13x（x>1），求f（f（f（a）））（a分析：求分段函数的函数值时，首先应该确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应法则求值.f（x）是分段函数，要求f（f（f（a））），需要确定f（f（a））的取值范围，为此又需要确定f（a）的取值范围，然后根据其所在定义域代入相应的解析式，逐步求解.解：因为af（f（a））=f（2a）=3，因为3>1，所以f（f（f（a）））=f（3）=log133=-12.规律解答：在解决上述问题时，一定要注意自变量所处的范围，然后再代入进行解决.三、求分段函数的解析式例2 已知奇函数f（x）（x∈R），当x>0时，f（x）=x（5-x）+1，求f（x）在R上的表达式.分析：本题可分段进行分析解答，即分为x解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0；当x-x>0，故有f（-x）=-x[5-（-x）]+1=-x（5+x）+1，所以f（x）=-f（-x）=x（5-x）-1；所以x（5-x）+1 （x>0）0 （x=0）x（5+x）-1 （x规律解答：对于分段函数的解析式，尤其要注意在定义域内求出分段函数的解析式.四、分段函数的图象例3 已知函数 f（x）=|x2-2x-3|的图象与直线y=a有且仅有3个交点，求a的值.分析：本题可利用数形结合直观地解决.解：因为f（x）=|（x-1）2-4|=|（x+1）（x-3）|.所以f（x）=x2-2x-3 （x≤-1）-x2+2x+3 （-1x2-2x-3 （x>3）通过结合图1，则容易知道a=4.规律解答：注意要画正确分段函数的图象，可通过数形结合解决.五、分段函数的最值例4 求函数[HT5，6]f（x）=2x （0≤x≤4）16-x （8的最大值、最小值.分析：可作图比较在各段上的最值，从而确定函数的最大值和最小值.解：函数y=f（x）的图象如图2，当4≤x≤8时，f（x）的最大值为8，当x=0时，f（x）的最小值为f（0）=0.。

分段函数的极值与最值分段函数是一种由不同函数组合而成的函数形式，它包含了不同函数在不同区间的定义。

在实际问题中，我们常常遇到这样的情形：同一个问题可以用不同的函数来描述，而这些函数的定义域却有所不同，或者说同一个函数在不同的定义域范围内，其表现形式也不尽相同。

分段函数的研究，对于理解函数的本质、掌握其性质和解决实际问题都具有重要的意义。

本文将重点探讨分段函数的极值与最值及其应用。

一、分段函数的定义及基本性质分段函数的一般形式为：$$ y=f(x),\ x\in D $$其中，$D$ 分为 $n$ 个不相交的子集 $D_1,D_2,\cdots,D_n$，即：$$D=D_1\cup D_2\cup\cdots\cup D_n$$在 $D_i$ 上，$f(x)$ 由特定的函数形式表示，即：$$f(x)=\begin{cases}f_1(x),\ x\in D_1\\\ f_2(x),\ x\in D_2\\ \cdots\\ f_n(x),\ x\in D_n\end{cases} $$分段函数的定义域是其所有子集的并集，而值域则是各子函数的值域的并集。

分段函数在各子函数定义域范围内都是普通函数，具有普通函数的一般性质。

但由于各子函数之间在某些点存在“缝隙”，因此在分段点处无法取得定义，也就是说，在分段点处分段函数可能不连续。

为了便于研究其性质，我们通常只考虑每一段的连续性和单调性。

二、（一）分段函数的极值对于普通函数 $y=f(x)$，其极值即为导数为 $0$，或者在导数不存在的点取得的极值。

对于分段函数，我们同样可以通过求导得到其各段函数的极值点。

假设 $f(x)$ 在 $x_i$ 点的右侧是一段 $n$ 次可导的函数，那么可以通过求 $f(x)$ 在 $(x_i,x_i+\Delta x)$ 区间内的导数来确定$x_i$ 点的极值。

具体来说，我们可以分三种情况来讨论：1. 当 $n=0$ 时，即 $f(x)$ 在 $x_i$ 右侧是一个常函数，则其导数为 $0$，$x_i$ 就是 $f(x)$ 的极值点。

分段函数的极值与最值定理在数学中，分段函数是指由不同的函数拼接而成的函数。

其定义域可以被分成几个不重合的区间，每个区间用不同的函数来定义。

这样的函数在许多实际问题中都有应用，并且它们也常常涉及到一些有趣的性质。

在这篇文章中，我们将探讨分段函数的极值和最值定理。

这些概念是分段函数的重要性质，对于理解和应用分段函数都具有很大的帮助。

一、定义首先来回顾一下极值和最值的定义。

给定一个函数 f(x)，在x=a 处，如果存在一个小的正数ε，使得当x不等于a且 x落在（a-ε, a+ε)这个开区间内时，有f(x)<f(a)，那么a就是函数f(x)在定义域内的一个局部最大值。

如果将“<”改成“>”，那么a就是函数f(x)的局部最小值。

如果在定义域内，函数的取值在所有点上都不小于或不大于其它点，那么它叫做最大值或最小值。

当我们考虑分段函数的时候，需要区分开每个区间内的极值和最值，因为这些值可能仅存在于某个区间内。

二、定理在讨论分段函数的极值和最值之前，需要介绍两个基本的定理。

第一个是最值存在定理，它指出：如果 f(x) 是一个连续函数，定义域是一个有限区间，那么 f(x) 存在最大值和最小值。

证明这个定理只需要使用最大值最小值原理和连续函数的定义即可。

因为函数在有限区间内连续，所以它在此区间上有最大值和最小值，这是因为其值域必须是一个紧致区间（即闭和有界）。

而这个值域是由函数在定义域的取值所组成，所以 f(x) 的最大值和最小值一定存在。

第二个重要的定理是间断点处极值的存在定理。

这个定理主要是针对分段函数而言的。

如果分段函数存在一个间断点x=a，且左右极限均存在，那么如果左极限大于右极限，那么 x=a 就是分段函数的局部最大值，反之则为局部最小值。

这个定理的证明也比较简单，它基于左右极限的定义和比较原理。

当左极限大于右极限时，如果我们取的小的ε使得x介于a左边的区间内，那么在这个区间中 f(x) 一定小于等于 f(a-)，因此 x=a 就是 f(x) 的局部最大值。