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非线性理论第八讲

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第8章 非线性系统分析

第8章 非线性系统分析
14
一、非线性控制系统概述(11)
考虑著名的范德波尔方程
x 2 (1 x2 ) x x 0, 0
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。当扰动使 x 1 时，因为 (1 x 2 ) 0 系统具有负阻尼，此时系统 x(t ) 的运动呈发散形式；当 x 1 时，因为 从外部获得能量， 2 (1 x 2）＞0，系统具有正阻尼，此时系统消耗能量， x(t ) 的运动呈收敛形式；而 当x＝1 时，系统为零阻尼， 系统运动呈等幅振荡形式。 上述分析表明，系统能克 服扰动对 的影响，保持幅 值为1的等幅振荡，见右图。
1
第八章 非线性控制系统分析
本章主要内容： 一、非线性控制系统概述 二、常见非线性特性及其对系统运动的影响 三、描述函数法
2
第八章、非线性控制系统分析
本章要求 : 1、了解非线性系统的特点 2、了解常见非线性特性及其对系统运动的影响 3、掌握研究非线性系统描述函数法
3
一、非线性控制系统概述
本节主要内容： 1、研究非线性控制理论的意义 2、非线性系统的特征 3、非线性系统的分析与设计方法
5
一、非线性控制系统概述(2)
6
一、非线性控制系统概述(3)
在下图所示的柱形液位系统中，设 H为液位高度，Qi 为 C 为贮槽的截面积。根据水力 液体流入量， Q0为液体流出量， 学原理知
Q0 k H
其中比例系数 k 取决于液体的粘度的阀阻。 液体系统的动态方程为
dH C Qi Q 0 Qi k H dt
显然，液位和液体输入量的数字关系式为非线性微分方程。 由此可见，实际系统中普遍存在非线性因素。
7
一、非线性控制系统概述(4)

《自动控制原理》考点精讲(第8讲 非线性控制系统分析)

《自动控制原理》考点精讲(第8讲 非线性控制系统分析)
（2）稳定性分析很复杂 线性系统的稳定性只取决于系统的结构与参数，而与外部作用 和初始条件无关。 非线性系统的稳定性：与系统的参数与结构、运动的初始状 态、输入信号有直接关系。 非线性系统的某些平衡状态（如果不止有一个平衡状态的话） 可能是稳定的，而另外一些平衡状态却可能是不稳定的。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。 正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与 分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。 混沌：
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
e
x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况 下，也可以通过积分法， 直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。 注1：线性系统的等倾线为直线； 注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其 切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可 在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率 为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切 线方向场。

第八讲相位匹配原理

第八讲相位匹配原理



4 o
2ne2
2
m 2

L
若 o 1.06m L 5cm n 0.08
7.9mr
m 90 , 90 匹配，非临界匹配（失配角可以很大） m 90 , 非 90 匹配，临界匹配（失配角要求苛刻）
第八讲 相位匹配原理和有效非线性系数

no2
2
第八讲 相位匹配原理和有效非线性系数
3
考虑色散曲线
一、角相位匹配
n
• no 随频率（波长）变化，
no2 曲线A: o 光折射率
no
ne2
mI
曲线B:
e
光主折射率

ne2
ne
以曲线 A为代表；
• ne也随频率（波长）变
化，同时随 变化； 0 时，与曲线
n
a
由波矢面决定 s 的方向

tg

dn
nd


1
ne2

ne2


m


o
4Lne2

I m

(k)
4 o
ne2

m

L
第八讲 相位匹配原理和有效非线性系数
8
对于负晶体 II 类匹配
o e e2
当 T Tm 当 T Tm
kT


2 2o
no T ne2 T 0
kT
2 o2

no T
T


ne2 T
T


T Tm T

第八讲相位匹配原理

第八讲相位匹配原理
,θ 可以很大
若
I I θ m = 90o , sin 2θ m ~ 0
k 的展开式:
(k ) (k ) = k θ =θm + θ
若
θ m = 90o
2 4π 2 ne ω (θ ) θ =θm θ + ω λo θ 2
θ =θm
(θ )
2
=
π
L
λoω = 1.06 m L = 5cm n = 0.08
第八讲 相位匹配原理和有效非线性系数
一,角相位匹配; θ m 二,温度相位匹配; θ = 90o 三,有效非线性系数; m
相位失配: k 由于 ω
= k2
2ω
k1 k1
ω
ω
↑ n↑ ,通常 n(2ω ) > n(ω ) ,利用双折射,选择 θ m
2ω [n(2ω ) n(ω )] C
d eff = e2 d ( ω 2 ; ω1 , ω1 ) : e1e1
θ = 7.9mr
θ m = 90o , 90o 匹配,非临界匹配(失配角可以很大) θ m ≠ 90o ,
非
90o 匹配,临界匹配(失配角要求苛刻)
11
第八讲 相位匹配原理和有效非线性系数
取 θ = 90 ,通过改变温度实现相位匹配
o
二,温度相位匹配
有些晶体折射率随温度变化很 大,且 ne 比 no 变化大 例如,LiNbO3 ,对YAG激光
ω
ω
2ω
z
I θm
k(I)
ω no
y
2 ne ω (θ )
[
]
I 满足 θ m 的所有 方向都满足相位匹配,是一个圆.
由
2 ne
cos θ sin θ (θ ) = 2 + 2 ne no

自动控制原理第八章非线性控制系统

自动控制原理第八章非线性控制系统
稳定性定义
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
感谢您的观看
THANKS
自动控制原理第八章非线性 控制系统
目录
• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03

第八讲非线性回归分析

第八讲非线性回归分析

线性对数回归函数
因为该模型中Y是对数形式而X不是， 所以有时称它为对数线性模型。
如何理解β1的含义
在线性对数模型中， β1 表示X变化1个 单位引起Y的变化为(100*β1)%。
推导：我们考察自变量X变化∆X的过程。
此时： f ( X X ) f ( X ) ln(Y Y ) ln(Y ) ( Y ) Y
对数形式
对数形式经常用于表示变量的百分率变 化。例如：
在消费者需求的经济分析中，通常假定 价格上涨1%导致需求量下降一定的 百 分率。称价格上涨1%引起的需求下降 百分率为价格弹性(elasticity)。
对数形式是经济学中最常用的形式，广泛地应用在 各个领域中：
例如：在宏观经济学中，我们如果想研究投资的增
但当回归函数为非线性时，由于Y的预期 变化依赖于自变量的取值，因此其计算 较复杂。
我们假定非线性总体回归的一般公式为
书中的两个例子
1。地区收入从10----11（单位是千美 元）
2。地区收入从40----41
Yˆ (607.3 3.8511 0.0423112 ) (607.3 3.8510 0.0423102 ) 2.96 Yˆ (607.3 3.85 41 0.0423 412 ) (607.3 3.85 40 0.0423 402 ) 0.42
可以看出，income对testscore的弹性 逐渐变小。
效应估计的标准误差
在上例中
利用多元回归建立非线性模型的 一般方法
(1)确定一种可能的非线性关系。最佳做法 是利用经济理论和你对实际应用的了解提出 一种可能的非线性关系。在看数据之前，问 自己联系Y和X的回归函数斜率是否依赖于X 或其他自变量的取值。
当d1=0(男性) 对Y的效应为β2 当d1=1(女性) 对Y的效应为β2+β3

8-非线性理论.ppt

8-非线性理论.ppt

A)
N ( A) e j1
2
N (A)
4K
a(a
A2
2
A)
K
2
sin
1
A 2a A
A 2a A
1
A
2a A
2
(8-25)
4 a(a A)
1
tg 1
sin
1
A 2a
A2 A 2a
2
A A
1
A
2a
2
A
(8-26)
4. 继电特性
假定输入e(t) Asin t，继电特性输出为
0 x(t) b
0
0 t 1 1 t 2 2 t
式中 1
sin 1
a A
,
2
sin
1
ma A
A1 2ab(m 1)
(8-27)
A
B1
2b
1 ma 2 A
1
a
2
A
(8-28)
具死区和磁滞回环继电特性的描述函数N（A） 为
N ( A) N ( A) e j1
则基波分量为
x1(t) A1 cost B1 sin t
x1 sin( t 1)
(8-12)
式中
x1 A12 B12
(8-13)
则描述函数
N ( A) x1 e j1
(8-14)
A
由式（8－14）可知，描述函数是输入振幅 A的函数，是一个可变增益的放大系数。
8.3.2 典型非线性的描述函数
如图8－3所示的非线性弹簧输出的幅频特性。
A() 1. 2 2
3
4
4 .5
图8－3 跳跃谐振与多值响应

自动控制原理 第8章非线性控制理论系统

自动控制原理 第8章非线性控制理论系统

第8章 非线性控制系统分析
3
典型非线性特性
饱和非线性可以由磁饱和、放大器输出饱和、功率限制等引起。一般情况下， 系统因存在饱和特性的元件，当输入信号超过线性区时，系统的开环增益会有大 幅度地减小，从而导致系统过渡过程时间的增加和稳态误差的加大。但在某些自 动控制系统中饱和特性能够起到抑制系统振荡的作用。因为在暂态过程中，当偏 差信号增大进入饱和区时，系统的开环放大系数下降，从而抑制了系统振荡。在 自动调速系统中，常人为地引入饱和特性，以限制电动机的最大电流。
2020/4/3
第8章 非线性控制系统分析
9
典型非线性特性
图8.4 继电器非线
2020/4/3
第8章 非线性控制系统分析
10
8.1.2 非线性系统的特点
非线性元件系统与线性控制系统相比，有如下特点：
1. 叠加原理不适用于非线性控制系统。即几个输入信号作用于非线性控制系 统所引起的输出，不再等于每一个输入信号所引起的输出之总和。
同时满足 x 2 0，f(x1,x 2 ) 0 的特殊点，由于该点相轨迹的斜率为0/0，是一
图8.6 相平面图
2020/4/3
第8章 非线性控制系统分析
16
8.2.2 相轨迹的性质
在相平面的分析中，相轨迹可以通过解析法作出，也可以通过图解法或实验
法作出。相轨迹一般具有如下几个重要性质：
间 之 向，是t 1在的x.相1相推的轨平移减迹面，小运下系方动半统向方平状，向面态即的上沿向确，相左定由轨运于迹在动x的相。2<运平0动，面方表的向示上是随半x着平1的时面增间上t大，的方由推向于移x，2，即>0相向，轨右表迹运示的动随运。着动反时方
自动控制原理
第8章 非线性控制系统分析

非线性理论

非线性理论
非线性系统分析与控制是自动控制领域的重要课题，涉及多种概念和性态。例如，多平衡点表示系统可在多个状态上达到平衡；极限环是系统状态在特定条件下形成的闭合轨迹；分歧现象意味着系统参数变化时，其性态可能发生根本改变；而混沌则描述了系统状态在长期演化中的不可预测性。此外，鲁棒性体现了系统在参数摄动下保持性能的能力，是设计鲁棒控制器的基础。自治系统指不受外部输入影响的系统，非自治系统则相反。平衡点定义为系统状态不再变化的点，全局稳定性Lyapunov直接定理提供了判断系统全局稳定性的方法。Lyapunov直接方法通过构造标量函数分析系统稳定性，适用于全局和局部稳定性分析。相平面法则通过在二维状态空间绘制运动轨迹来研究系统特性。最后，描述函数法是

第八讲相位匹配原理

第八讲相位匹配原理

z
k (II)

II m
y
对于正晶体（ ne no ）
I 类： e e o2 II类： o e o2
思考：对于负单轴晶体，倍频 光能不能是 o 光？
同样，对于正晶体，倍 频光能不能是 e 光？
第八讲 相位匹配原理和有效非线性系数
5
2、相位匹配角宽度
一、角相位匹配
ne2

m

L

4L no2
o
ne2
s
in
2
I m
k

2
C
ne2 no
ne2
cos2

no2

sin 2
ne2
1
数字例：若 o 1.06m L 5cm n no2 ne2 0.08
以上讨论仅限于理想平面波，实际中由于
• 光路调整偏离 m ；（即使是理想平面波）
• 坡印廷矢量偏离；（k 和 s 偏离）
• 高斯光束发散；
偏离波矢匹配条件使倍频效率降低，问题：偏离角 允许多大？
判据： kL
22
SHG
~
sin
c 2
kL 2
将k 在 m附近展开：
sin
2
I m
~1
计算得到
0.06mr（毫弧度）
若
mI

90 ，sin
2
I m
~
0，
可以很大
很小！！
第八讲 相位匹配原理和有效非线性系数
7
考虑坡印廷矢量的离散
一、角相位匹配
光轴 z
切线
光轴 z

第八章非线性系统分析

第八章非线性系统分析

第八章非线性系统分析8-1概述、教学目的和要求了解研究非线性系统的意义、方法，常见非线性特性种类。

二、重点非线性概念，常见非线性特性。

三、教学内容：1非线性系统概述非线性系统运动的规律，其形式多样，线性系统只是一种近似描述。

（1）非线性系统特征一不满足迭加原理1）稳定性：平衡点可能不只一个，系统的稳定性与系统结构参数、初始条件及输入有关。

2）自由运动形式，与初条件，输入大小有关。

3）自振，自振是非线性系统特有的运动形式，它是在一定条件下，受初始扰动表现出的频率，振幅稳定的周期运动。

（2）非线性系统研究方法1）小扰动线性化处理（第二章介绍）2）相平面法-----分析二阶非线性系统运动形式3）描述函数法-----分析非线性系统的稳定性研究及自振。

2、常见非线性因素对系统运动特性的影响：1）死区：（如：水表，电表，肌肉电特性等等）饱和对系统运动特性的影响:▽ %!（原来系统稳定，此时系 统一定稳定）进入饱和后等效KJ t 振荡性虹原来不稳，非线性系 统最多是等幅振荡） 限制跟踪速度，跟踪误差，快速性匸死区对系统运动特性的影响:等效K /SS （跟踪阶跃信号有稳态误差）’能滤去小幅值噪声’提高抗干扰能力.振荡性% J ［原来不稳定的系统， 此时可能稳定（初始扰 动不大时）］可见：非线性系统稳定性与自由响应和初始扰动的大小有关。

2）饱和（如运算放大器，学习效率等等）3）间隙：（如齿轮，磁性体的磁带特性等）黠吐屿应（乓初值大小有关J对系统运动的影响:间隙对系统影响:1）间隙宽度有死区的特点----使e ss -2）相当于一个延迟T 时间的延迟环节、、八％振荡性减小间隙的因素的方法：（1） 提高齿轮精度； （2） 采用双片齿轮； （3） 用校正装置补偿。

5）摩擦（如手指擦纸）摩擦引起慢爬现象的机理1） 、良好润滑 2） 、采用干扰补偿3） 、增加阻尼，减少脉冲，提高平摩擦对系统运动的影响:影响系统慢速运动的平稳性6）继电特性:一、二阶系统可以稳定一般地，很多情况下非线性系统会自振c 带死区)3) 、一般继电特性：除 3、2中听情况外，多出一个延迟效果(对稳定性不利)8-2相平面法、教学目的和要求：掌握相平面概念及分析方法。

课件：价格歧视与非线性定价

课件：价格歧视与非线性定价
第八讲 价格歧视与非线性定价
线性定价是基于成本变化的定价，不管是独家垄 断还是完全竞争市场的定价，基于成本因素的统 一定价，属于线性定价。
但在现实经济活动中，存在着非线性定价策略。 针对不同的消费者订立不同的价格的情况经常会 出现。
例如，厂商按消费者的承受能力实施差别化收 费策略。医生对贫富程度不同的病人和是否享受 公费医疗的病人或是否有医疗保险的病人收起不 同的医疗费，就是属于典型的非线性定价。
合同条款限制：学生票价优惠的禁止转卖
完全价格岐视——一级价格岐视
如果厂商对消费者的支付意愿具有充分信 息，并且厂商面对的是向下倾斜的需求曲 线，那么，在一定条件下按每个消费者的 支付意愿进行定价，那么，该厂商就实施 了完全价格岐视。
P
pm
pc
0
qm
竞争均衡下 的消费者剩
pm
余
MC Q
完全价格岐视使得消费者剩余全部转化为生 产者剩余。其消费者剩余为：
• 但对于公用事业企业而言，由于其规模经济所导致的天然垄断属性， 不受规制的利润最大化的企业将追求垄断利润而偏离边际成本定价原 则，因此会导致社会总福利的损失（deadweightloss）。
• 传统的观点是需要政府的介入，即进行规制。 • 但规制同样存在规制成本、信息不对称（Tirole,1988）、规制承诺
• 2．时间价格歧视
• 时间价格歧视是一种非常重要和广泛应用的定价策略。它 用对不同时间定不同的价格将消费者分成具有不同需求函 数的不同组别。例如，对首映影片定一个高价，在出品一 年后定一个低价。出版商给一本书的精装版定一个高价， 以后以很低的价钱出售平装版。因而，这类时间价格歧视 的定价方法就是开头对需求弹性很低的小群体，定高价 ， 主要卖给小群体，之后对需求弹性很较高的的大群体，定 低价，主要卖给大群体。

第8章 非线性控制系统分析PPT课件

第8章 非线性控制系统分析PPT课件

2.描述函数的求取步骤
1）绘制输入—输出波形图，写出输入为e(t)Asiω nt
时非线性输出表达式
2）由波形图分析 x (t )的对称性，并计算
A1 B1 X 1 1
3）描述函数为 N(A)B1jA1X1ej1
A AA
自动控制原理
武汉理工大学自动化学院
例 非线性元件的静特性方程为
x(t)1e(t)1[e(t)]3 24
非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有可能发生 一定频率和振幅的稳定的周期运动，这个周期运动在物 理上是可以实现的，通常把它称为自激振荡。
自动控制原理
武汉理工大学自动化学院
非线性系统与线性系统的区别（4）
线性系统中，当输入量是正弦信号时，输出稳态分量 也是同频率的正弦函数，可以引入频率特性的概念 并用它来表示系统固有的动态特性。
有关, 还与系统的初始状态及输入信号的形式和大小有关.
由于非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分方程, 而 从数学上讲, 非线性微分方程没有一个统一的解法, 再由于 第二个特征, 对非线性控制系统也没有一个统一的分析和设 计的方法, 只能具体问题具体对待.
本章将介绍的分析非线性控制系统的相平面法和描述函数法,
非线性环节的描述函数总是输入信号幅值A的函数，
一般也是频率的函数，因此，描述函数一般记为 N(A, j)
非线性元件的描述函数或等效幅相频率特性与输入的正弦振 荡的振幅A有关，这是非线性特性本质的反映。它与线性环 节的情况正好相反，线性环节的幅相特性（频率特性）与正 弦输入的幅值无关。
自动控制原理
武汉理工大学自动化学院
具有死区的单值继电器特性
功能：改善系统性能的切换元件
具有滞环的继电器特性

非线性系统理论_HJ

非线性系统理论_HJ
5
二、非线性系统特点
非线性系统与线性控制系统相比，具有一系列新的特点： 非线性系统与线性控制系统相比，具有一系列新的特点： 1. 线性系统满足叠加原理，而非线性控制系统不满足叠加原理。 线性系统满足叠加原理，而非线性控制系统不满足叠加原理。
（1）叠加性： y = f (x) ）叠加性：
f ( x1 + x2 ) = f ( x1 ) + f ( x2 ) f ( x) = ax
14
§8.2 典型非线性特性及其数学 描述
8.2.1 饱和特性 8.2.2 死区特性 8.2.3 间隙特性 8.2.4 继电特性
15
饱和特性saturation 一、 饱和特性saturation
在电子放大器中常见的一种非线性。 在电子放大器中常见的一种非线性。 饱和装置的输入特性的数学描述 如下： 如下： x
（1）跳跃谐振和多值响应
输入信号幅值不变，输出幅频： 输入信号幅值不变，输出幅频： (ω) A
1 2 跳跃谐振
2′ 4′
3 4 5 .
ω ↑： → 2 → 3M→4M → 5 1
5 ω ↓： → 4 → 4'M→2'M →1
b
b
.
ω′
ω′′
11
ω
图8-3 非线性弹簧输出的幅频特性 -
(2)分频振荡和倍频振荡 非线性系统在正弦信号作用下， 非线性系统在正弦信号作用下，其稳态分量 除产生同频率振荡外， 除产生同频率振荡外，还可能产生倍频振荡和分频 振荡。如图8 所示波形。 振荡。如图8-4所示波形。
b k -e0 e0 e
e(t ) < e0 ke(t), x(t) = ke0sign[e(t)], e(t ) ≥ e0

自控第八章--非线性

自控第八章--非线性

一般，间隙特性使系统静态误差↗，波形奇变，振荡↗，稳定性↙。
因为间隙特性对系统的影响表现为使输出产生相位上的滞后，即在系 统中引入相位滞后环节，因此使系统的稳定裕度↙，振荡加剧，从而
导致系统的动态性能变坏，甚至可能会引起自激振荡。一般来讲，引
入相位超前环节，可弥补间隙非线性造成的不良影响。
10
4 继电器特性 1) 输入输出关系
0, y bsignx, b, b, ma x a , x' 0 a x ma, x' 0 | x | a x' 0, x ma x' 0, x ma
-a -ma y
ma a
y x
x
a——继电器吸上电压；ma——释放电压； a=0时，为理想继电器特性； m=1时，具有死区的单值继电器特性 m =-1时，具有滞环的继电器特性 2) 产生原因：继电器的引入 。 3) 对系统的影响：继电器常作为改善系统性能 的切换元件引入系统。
4 怎样分析？
建立系统模型，稳定性分析、是否有自持振荡、如何消除自持振荡。
3
8-1 典型非线性环节及对系统影响
8-1-1 非线性特性的等效增益 设非线性特性为： y f ( x ) 定义非线性环节输出与输入的比值为等效增益：k
y k0
y f ( x) x x
y
y -a
x k
-Δ
Δ
k
k0 α a x
2 0 x 即： K ( ) x 20
x
取ζ=0.5, ω0=1，则有：当α=-2时，K=1
]切线方向。 ，并在该直线上标出状态点 [ x, x 在平面上作直线 x x

非线性原理

非线性原理

非线性原理
非线性原理，又称为非线性理论，是一种描述和解释非线性现象的理论框架。

在物理学、数学、工程学等领域中，非线性原理被广泛应用于研究和分析那些不满足线性关系的系统。

非线性原理最早在物理学中得到广泛运用。

线性原理是一种描述物理世界中线性关系的理论，即输入与输出之间呈现简单比例关系的情况。

然而，在实际世界中，很多系统都存在非线性关系，即输入与输出之间的关系不再简单，而是呈现出复杂的动态行为。

非线性原理的研究领域涉及动力学系统、混沌理论、分形几何学等多个方面。

动力学系统研究了那些描述系统演化过程的微分方程或差分方程，其中包括了许多非线性动力学系统。

混沌理论则研究了那些对初值十分敏感、表现出随机、不可预测性质的系统。

非线性原理的应用领域也非常广泛。

在控制工程中，非线性原理被用于设计和分析非线性控制系统。

在神经科学中，非线性原理被应用于研究神经元的动力学行为和神经网络的复杂性。

在经济学中，非线性原理被用于分析经济系统中的复杂关系和市场行为。

总之，非线性原理是一种重要的理论框架，它能够帮助我们理解和解释那些复杂、多样的非线性现象。

通过运用非线性原理，我们可以更深入地研究和探索自然界和人造系统中的各种复杂行为。

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4，1999， 4000
Original model
原模型的稳定性分析
Konishi等的混沌控制方法
Optimal Velocity (OV) Model
Models:
• a favorable one of the microscopic traffic models • a differential equation
物理学家还指出，交通网络是一种复杂网络，由于构成成 分的多样性（客车、轿车、非机动车、行人）和运行的随 机性，与一般的大网络相比，其复杂性绝不逊色。
Freeway Network
Traffic Flow
车辆的运动和车辆间的相互作用决定了车流状态 时空图描述
Traffic Flow
密度 流量 平均速度
d 2 xi (t) dt 2

a

A(xi
(t))

dxi (t) dt

xi (t) xi1(t) xi (t),i 2,3,L , N
The definition of traffic jam
A simple definition about traffic jams (Konishi et al, 1999) Definition 1. Assume that characteristic polynomial d(s) is
考虑多辆前车的位置信息：
敏感系数： 稳定性条件：
稳定区域的变化
稳定性改善方法3
Akihiro Nakayama，Yuki Sugiyama，Katsuya Hasebe Effect of looking at the car that follows in an optimal velocity model of traffic flow PHYSICAL REVIEW E 65, 016112 （2001）
Microscopic Modelling
Microscopic modellings differ in varying mappings of the acceleration. A rule based one is:
Microscopic Modelling
Rules for the rule-based modelling are:
考虑后面车的位置信息： backward looking OV （BL-OV） model
稳定性条件：
稳定区域的比较
能耗的比较
稳定性改善方法4
王涛， 高自友， 赵小梅 多速度差模型及稳定性分析 物理学报 55，634－637，2006
考虑多辆前车间速度差的影响提出了一个扩展的跟 驰模型 ：
Nonlinear Dynamics 16: 127–151, 1998.
Original model: New model:
自组织现象
自组织是指系统通过系统内部各子系统之间的非线 性相互作用，在一定的条件下，自发产生在时间、 空间和功能上稳定的结构。
在真实的交通中，存在着一定的密度区域，在该区 域内交通流的状态是亚稳定的，由于车辆之间的相 互作用，一些交通流的状态会自发形成。较为典型 的是行走波的形成，也就是向后传播的堵塞波。一 般来说在诸如入口、出口匝道等瓶颈处容易产生这 种现象。
Braking: Arranges the behavior of the vehicle a when the safe distance to the leading vehicle b cannot be adhered and vehicle a has to slam on the brakes.
交通流理论概述（2）
在交通流理论的研究中，传统的研究方法主要是重 视实验观察到的流量-密度关系和不稳定的交通流 域。
近年来，研究的结果指出，对交通流理论的研究最 重要的是能够描述交通系统中观察到的非线性现象 。
2.交通流中的非线性现象（1）
道路交通状态大致可以分成3种：低密度的畅行交通（即自 由流）、各车道的车辆齐头并进的高密度同步交通、更高密 度的拥堵交通。在物理学家眼里，它们可类比为气相、液相 、固相这三个相，各相之间可以发生“相变”，到了某个临 界密度，相变就要发生。人们出行时就经常遇到相变，最不 愿意遇到的是从畅行交通相（经同步交通相）到拥堵交通相 的相变。
稳定性条件：
4.混沌控制
Konishi等的方法 Zhao等的方法 Li等的方法
混沌控制（1）
Coupled map car-following model and its delayedfeedback control
Keiji Konishi,* Hideki Kokame, and Kentaro Hirata PHYSICAL REVIEW E， VOLUME 60, NUMBER
Traffic Flow
Microscopic Modelling
Maps traffic flow as a set of individual vehicles.
Microscopic Modelling
The behavior of vehicle modeled by two conditional equations:
交通系统的相变中也存在着回滞（hysteresis：交通流量随 密度变化的回路特性）、成簇（clustering：拥堵集簇的形 成）、相分离（phase separation：交通流态时断时续）等 现象。
交通流中的非线性现象（2）
从物理学的角度看来，交通运行经常远离平衡态，而制约 它们的是复杂的非线性动力学规律，因此，非平衡态统计 物理学和非线性动力学正可以大行其道，交通系统中充满 着自组织（系统自行进入最佳临界状态）、混沌、分叉、 失稳（进入拥堵）等非线性现象。
2) 实测的流量密度关系是间断的，看起来像 是一个反。这个反的两个分支分别用来 定义自由流和拥挤流。
3) 在自由流区，流量和密度呈线性关系；随 着密度的增加，流量密度关系式变得越来 越复杂；在拥挤状态下，数据点分布在一 个比较大的二维空间中，很难用一个函数 关系来描述。
流量密度关系与回滞现象（2）
原OV模型离散化： 考虑次邻近前车的位置信息： 稳定性条件： （＝1/a）
稳定性改善方法2
H. Lenza, C.K. Wagner, and R. Sollacher Multi-anticipative car-following model Eur. Phys. J. B 7, 331-335 (1999)
Desired velocity: Arranges the behavior of the vehicle a without any outside influences.
Safe distance: Arranges the behavior of the vehicle a behind a leading vehicle b. Vehicle a tries to keep a safe distance to the leading vehicle b.
流量密度关系与回滞现象（1）
流量密度关系（基本图）
－ 交通流测量中的一个典型描述就是流量-密度关系，它 用来展示交通流量Q和车辆密度ρ之间的相互关系。
在德国高速公路A43上 测得的交通流量—密度 关系
基本图
1) 在密度为0时，流量为0；当道路上存在致 密堵塞时，流量也为0；在中间密度范围 内流量存在一个最大值。
窄堵塞窄堵塞逐渐融合为宽运动堵塞
混沌与分岔现象
Chaos and headway distribution of shuttle buses that pass each other freely
Physica A 323 (2003) 686 – 694
A Nonlinear Temporal Headway Model of Traffic Dynamics
OV模型
模型描述：
稳态：
稳定性条件： V'(h) 1 a2
改善稳定性的方法： （1）位置信息； （2）速度信息；
稳定性改善方法1
Takashi Nagatani Stabilization and enhancement of traffic flow by the next-nearest-neighbor interaction PHYSICAL REVIEW E 60, 6395－6401,交通流理论概述 2. 交通流中的非线性现象及其研究 3. 交通流模型的稳定性分析 4. 交通中的混沌控制 5. 交通流控制在ACC系统中的应用
1.交通流理论概述（1）
交通流理论是研究交通流状态随时间和空间变化规律的模 型和方法体系。
物理学家指出，交通系统可以看作一个由多个自驱动粒子 组成的复杂系统，把行进着的车辆和行人看成自行驱动的 “粒子”，交通流与光线一样，既有粒子性又有波动性， 因此，可以从宏观和微观的视角加以描述；
交通相
自由流相
每辆车均以期望速度运动，因此，车流量随车辆密度线性增加
同步流相 宽运动堵塞流相
交通相变
交通流的相变过程是一个十分复杂的过程
它是指交通流状态在不同交通相（包括自由流相、 同步流相及交通堵塞流相）之间的转变过程。
在真实的交通中，每一种交通相的出现都伴随着较 为复杂的动力学过程。一般来说，交通流的相变过 程是一种临界现象，车辆密度是影响交通流相变的 一个重要因素。除此以外，外界施加的扰动、交通 瓶颈等也是诱发交通相变的重要因素
跟驰模型的稳定性与相变
最优速度模型（OV）
有匝道的道路系统中的相变
通过上匝道的扰动会触发引起多种拥挤状态：(a)同步态 ；(b)振荡堵塞态；(c)触发时走时停态；(d)固定的局域堆集 以及完全堵塞态。