几何证明初步 为什么要证明共26页

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３、有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中 某个箱子内，并且： ①红箱子盖上写着：“苹果在这个箱子里．” ②黄箱子盖上写着：“苹果不在这个箱子里．” ③蓝箱子盖上写着：“苹果不在红箱子里．” 已知①②③中只有一句话是真的，那么苹果在 哪个箱子里？
苹果在这个箱子里 苹果不在这里
苹果不在红箱子里
谢谢大家！
2 1 = 3，5，17，257，65537
2n
都是质数
费马
对于所有 自然数n，22 1 的值都是质数.
n
当n=5时，2
2n
1= 4294967297=641×6700417
举出反例是检验错误数学结论的有效方法.
欧拉

如图，如图，在△ABC中，点D、E分别是AB 、AC的中点． 连接DE。DE与BC有怎样的位 置关系？有怎样的数量关系？先猜一猜，再 设法检验你的猜想。
c 1 c 2 2 1 0.16(m) 16cm 2
这样大的间隙，不仅 能 放进一颗绿豆 或一个红枣。 也 能 放进一个拳头.
假如用一根比篮球周长长1 米的铁丝 将篮球围起来，那么铁丝与篮球之间的间 隙能有多大？与地球相比谁的间隙大？
解：篮球的周长为c, 根据题意得：
c 1 c 1 0 . 16 ( m ) 16 cm 2 2 2
/ /
“间隙” 的 大小为
定值
呦
当n=0，1，2，3，4，5时，代数式 n2 -n+11的值是质数吗？
n
n2 -n+11
0
1
2
3
4
5
11 11 13 17 23 31
据此，有人认为，对于所有自然数n，代数式 n2-n+11的值都是质数.你同意这个结论吗？

在上面问题中，你是怎么判断一个 结论是否正确的？
（实验验证、举反例验证、推理论证等 ）
知识 归纳
1、实验、观察、归纳得到的结论不一定 正确。因此，要判断一个结论是否正确， 仅靠实验，观察，归纳是不够的，必须 进行有根有据的证明。
2、检验一个数学结论是否正确的常用方 法：实验验证、举出反例、推理.
三角长度幻觉：哪个颜色的线看起来更长？【解析】绿色线看起来 比红色线长，虽然它们其实一样长
火 眼 金 睛
a=b
图中的四边形是正方形吗？
a bc
d
a,b,c中的哪条线段与线 段d在同一条直线上？
所有的数学结论都可 以用实验的方法来验证吗
？
有人认为，对于所有自然数n， 代数式n2-n+11的值都是质数.
你怎么看待这个结论？
当n=0，1，2，3，4，5时，代 数式 n2 -n+11的值是质数吗？
7.1为什么要证明
为什么要证明
俗话说“耳听为虚， 眼见为实” ，你是怎样 理解的？
静态的没有循环帧的gif图片你看到的这些静止的图片是不是在动呢？据心理 医生说，图片与心理承受力有关，你的心理承受力越强，图片运动越慢。美 国曾经以此作为犯罪嫌疑人的心理测试，据说犯罪嫌疑人看到的图片是高速 运动的。
60.用心观察成功者，别老是关注失败者。 72.世上唯有贫穷可以不劳而获。 27.没有一颗珍珠的闪光，是靠别人涂抹上去的。 43.谁若游戏人生，他就一事无成；谁不主宰自己，永远是一个奴隶。 14.你要学会捂上自己的耳朵，不去听那些熙熙攘攘的声音；这个世界上没有不苦逼的人，真正能治愈自己的，只有你自己。 4.你若继续做过去的事，你将一直是过去的你。以自我为中心的人所拆毁的，以他人为中心的人可以重建。忍耐不仅是忍受困难，更是将忍耐化为能力。天够黑的时候，才能看见星星。 12.投资知识是明智的，投资网络中的知识就更加明智。 23.如果你看到前面的阴影，别怕，那是因为你背后有阳光。 20.成功的两大特质：（一）亲和的魅力；（二）虚怀若谷的态度。 75.什么时候都可做的事，反而做不成。 3.每个人的人生都有两条路，一条用心走，叫做梦想；一条用脚走，叫做现实。心走得太慢，现实会苍白；脚走得太慢，梦不会高飞。人生的精彩，总是心走得很美，而与脚步能合一！ 31.你改变不了环境，但你可以改变自己;你改变不了事实，但你可以改变态度;你改变不了过去，但你可以改变现在;你不能控制他人，但你可以掌握自己;你不能预知明天，但你可以把握今天;你不 可以样样顺利，但你可以事事尽心;你不能延伸生命的长度，但你可以决定生命的宽度。 48.不畏过往，不惧将来。 28.树苗如果因为怕痛而拒绝修剪那就永远不会成材。 3.时间是个常数，但也是个变数。勤奋的人无穷多，懒惰的人无穷少。——字严 97.美丽的蓝图，落在懒汉手里，也不过是一页废纸。 75.人是不能太闲的，闲久了，努力一下就以为在拼命。别说你会尽力，努力，全力，用吃奶的力，这些都不是最大的力，要使出自己的洪荒之力，一个人如果不逼自己一把，永远不知道自己有 多优秀。

为 什 么 要 证 明
教学程序
2.
要判断一个数学结论是否正确， 仅仅依靠观察、归纳、猜想是不 够的，必须经过一步一步，有根 有据的推理.
为 什 么 要 证 明
教学程序
3.
1.基础达标 2.拓展延伸
为 什 么 要 证 明
教学程序
4.Байду номын сангаас
1.通过本节课的学习，你收获到 了什么？有何感受？ 2.布置作业
教法和学法 引导发现法 教学程序观察探究 逐步渗透法 设计说明 思考分析
为 什 么 要 证 明
说课程序 教材分析
回顾小结 梳理收获心得
自我检测 提升数学能力 归纳总结 建立推理意识
教法和学法
教学程序
设计说明
创设情境 引导自我验证
为 什 么 要 证 明
教学程序
1.
1.眼见为实？
2.做一做
3.猜猜看
欢迎大家指导
到处是生活,即到处是教育;整个社会是生活的场所,亦即教育之场所.
北师大版八年级数学上册第七章第一节
席麻湾九年制学校
高玉乳
为 什 么 要 证 明
说课程序
设计理念 教材分析
教法和学法
教学程序 设计说明
设计理念
本节课的设计以学
程中尽可能多的 增加
生的发展为出发点和归 宿, 要为学生的动手实 践，自主探索与合作交 流提供机会、搭建平台。 学生是学习的主人.是 在教师的引导下主动的、 富有个性的学习，用自 己的亲身经历，用自己 的心灵去感悟。教学过
-----知 识 与 技 能
-----过 程 与 方 法 -----情 感 与 态 度
为 什 么 要 证 明
教材分析 教学重点和难点

课堂小结
通过本课的学习，你们有什么收获？
课后作业
布置作业：教材P164 习题7.1 1、2、3 . 完成练习册中本课时的习题。
同学们下课啦
授课老师：xxx
同学们下课啦
授课老师：xxx
随堂练习
1. （1）图中三条线段a，b，c，哪一条和线段 d 在同一 条直线上？请你先观察，再用直尺验证一下.
a
b c
d
1. （2）图中两条线段 a 与 b 的长度相等吗？
>
>
2. 当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？
当n=6时,n2+3n+1的值为 55 = 11×5，所以，对于所有自 然数n,n2+3n+1的值未必都是质数.
位置关系： DEBC 数量关系： DE 1 BC
2 你能肯定你的结论对所 有的△ABC都成立吗？
结论:要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠经验、观察和 实验是不够的，必须有根有据的进行推理即证明. 常用的证明方法:正面证明和举反例 思考:(1)在数学学习中,你用到过推理吗?举例说明.
(2)在日常生活中,你用到过推理吗?举例说明.
ห้องสมุดไป่ตู้
n
0 1 2 3 4 5 ...
n2-n+11 11 11 13 17 23 31 ...
当n=11时,n2-n+11的值为121=112，所以，对于所有自然 数n,n2-n+11的值未必都是质数.
（2）如图7-4，在△ABC中，点D，E分别是AB,AC的中点， 连接DE. DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？请先你猜 一猜，再设法检验你的猜想.
第七章 平行线的证明 1 为什么要证明

· · · · · · · ·
C
·
F
·
·
D
H
G
I
J
K
例如，下列句子都是命题
(1)熊猫没有翅膀；
(2)任何一个三角形一定有直角； (3)对顶角相等； (4)无论n为怎样的自然数，式子n2-n+11的值都是质数； (5)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条 直线也互相平行.
判断一件事情的句子,叫做命题. 反之,如果一个句子没有对某一事情作出任何判断, 那么它就不是命题.例如,下列句子都不是命题:
举反例
使之具有命题的条件，而不具有 命题的结论
如何证实一个命题是真命题呢
用我们以前学过的 观察,实验,验证特例 等方法. 这些方法往往 并不可靠.
能不能根据已经知 道的真命题证实呢?
哦……那 可怎么办
那已经知道的 真命题又是如 何证实的?.
• 如何证实一个命题是真命题呢？
其实，在数学发展史上，数学家们也遇到类似 的问题，公元前3世纪，人们已经积累了大量的 数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得 (公元前300前后)编写一本书，书 名叫《原本》，为了说明每一个 结论的正确性，他在编写这本书 时进行了大胆创造：挑选了一部 分数学名词和一部分公认的真命 题作为证实其他命题的起始依据，
6、指出下列命题的条件和结论,并判断命题的 真假,如果是假命题,•请举出反例。 如果等腰三角形的两条边长为5和7,那么这 个等腰三角形的周长为17. 7、在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题 时,甲认为:这不是命题,•因为这句话是错误的. 乙认为:这是命题,因为它作出了判断,只不过这 一判断是错误的,•所以它是假命题,你认为谁的 说法是正确的?
2、这几个命题哪些是正确的？哪些不正确？你是怎么知 道它们是不正确的？

解：设地球赤道的周长为c,半径为r1， 铁丝所围成的圆的半径为r2,则
2∏r1=c
2∏r2=c +1
c c 1 r1 , r2 2 2
r2 r1
c 1 c 1 r2 r1 0.16(m) 2 2 2
经过计算：
2 2, 3 3, 5 5, 100 100,
2 2 2 2
因此得出结论， 对于任何一个实数x，一定有
x x
2
，
你能肯定这个判断正确吗？为什么？
当x取小于零的实数时（当x<0时）， 如
x=－9，则 (9) 2 9在实数范围内都没有意义。
通过实验、观察、归纳 得到的结论都正确吗？
你是怎么判断一个结论是否正确的？
（实验验证、举反例验证、推理虚， 眼见一定真实吗？
NO!要证明
7.1为什么要证明
亲，当你觉得为迟已晚的时候, 恰好是最好的开始，因为你有意改变， 把握现在，拥抱未来，从现在开始。
7.1为什么要证明
俗话说 耳听为虚，眼见为实 看到的一定真实吗？ 你是怎样理解的？
柱 子 是 圆 的 还 是 方 的 ？
是 静 还 是 动 ？
线段AB和CD长度完全相等,虽然 它们看起来相差很大!
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D、E分别是AB、AC的中点,连接DE。 DE与BC有怎样的位置关系？ 有怎样的数量关系？ 先猜一猜，再设法检验你的猜想。
改变△ABC的形状试一试， 你能肯定你的结论 对所有△ABC都成立吗？
所有的数学结论都可以用 实验的方法来验证吗？
假如用一根比地球赤道长1 米的铁丝将 地球赤道围起来，那么铁丝与赤道之间的间 隙能有多大（把地球看成球形）？ 能放进一粒草莓吗？ 能放进一个拳头吗？

的中间将绳子全部剪断,此时细绳被剪成
段.
答案 33 解析 根据题意列表如下:
故当对折5次时,剪断后的段数为25+1=33.
1 为什么要证明
填空题 (2018河北保定长城中学月考,19,★★☆)(1)观察下列图形与等式的关 系(如图7-1-2),并填空:
图7-1-2
1 为什么要证明
(2)观察图7-1-3,根据(1)中的结论,计算图中黑球的个数,用含有n的代数
按照前面的规律,则(a+b)5=
图7-1-4 .
答案 1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5
解析 观察图形,可知(a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5.
1 为什么要证明
2.某参观团依据下列约束条件,从A、B、C、D、E五个地方中选定参 观地点: ①A、B两地都去或都不去; ②D、E两地至少去一处; ③B、C两地只去一处; ④C、D两地都去或都不去; ⑤如果去E地,那么A、D两地也必须去. 依据上述条件,你认为该参观团能去哪些地方参观?
n
n
证明: n 1×(n+1)= n2 2n 1 = (n 1) (n2 n) = n 1+n+1.
n
n
n
n
1 为什么要证明
如图所示,两个图中间的圆分别是圆A和圆B.小明通过观察,认为圆A 大于圆B,他的判断正确吗?若不正确,试说明理由.
解析 小明的判断不正确.借助圆规或刻度尺可知两圆的半径或直径相 等,故两圆一样大,小明的判断不正确.
1 为什么要证明
题型 通过观察与推理论证解决规律性问题 例 观察各式规律: 12+(1×2)2+22=(1×2+1)2; 22+(2×3)2+32=(2×3+1)2; 32+(3×4)2+42=(3×4+1)2; …… 写出第2 018行的式子,第n行的式子,并验证你的结论.

这个故事告诉我们： 1. 学习欧拉的求实精神与严谨的科学态度. 2.没有严格的推理，仅由若干特例归纳、 猜测的结论可能潜藏着错误，未必正确. 3.要证明一个结论是错误的，举反例就 是一种常用方法.
探究新知
知识点 2 检验数学结论的常用方法 素养考点 1 实验验证法
例1 先观察再验证．
(1)图①中实线是直的还是弯曲的？
探究新知
例3 如图，从点O出发作出四条射线OA，OB，OC，OD，已 知OA⊥OC，OB⊥OD. (2)若∠BOC＝54°，求∠AOB和∠COD的度数；
解：(2)∠AOB＝∠AOC－∠BOC ＝90°－54°＝36°，
∠COD＝∠BOD－∠BOC ＝90°－54°＝36°.
探究新知
例3 如图，从点O出发作出四条射线OA，OB，OC，OD，已 知OA⊥OC，OB⊥OD. (3)由(1)、(2)你发现了什么？ (4)你能肯定上述的发现吗？ 解：(3)由(1)、(2)可发现：
(2)图②中两条线段a与b哪一条更长？
2022/12/19
(3)图③中的直线AB与直线CD平行吗？ 12
探究新知
解：观察可能得出的结论是： ①实线是弯曲的； ②a更长一些； ③AB与DC不平行． 而我们用科学的方法验证后发现： ①实线是直的； ② a与b一样长； ③ AB平行于CD.
13
探究新知
探究新知
费马 欧拉
大数学家也有失误
当n=0，1，2，3，4时，
22n 1= 3，5，17，257，65 537
都是质数.
对于所有自 然数n， 22n 1
的值都是质数.
当n=5时， = 4 294 967 297= 641×6 700 417
举出反例是检验错误数学结 论的有效方法.

的苹果不少于 2 个 推理意识.
经历观察、归纳、验证等活动过程，在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性，发展学生的 推理意识.
精典范例
3.【例 1】若要说明“如果|a|＝|b|，则 a＝b”是错误的，下列
所举的例子正确的是( C )
A．a＝2，b＝1
B．a＝2，b＝2
7.甲、乙、丙、丁四位同学在操场上踢足球，不小心打碎了玻
璃窗，有人问他们时，他们这样说——甲说：“玻璃是丙也可
能是丁打的”．乙说：“肯定是丁打的”．丙说：“我没有打
碎玻璃”．丁说：“我没有干这种事”．他们的老师听了后说
道：“他们中有三位都不会说谎”．由此我们知道，打碎玻璃
的同学是( D )
A．甲
B．乙
(4)只有通过推理的方法研究问题，才能揭示问题的本质．因 推理意识.
经历观察、归纳、验证等活动过程，在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性，发展学生的 推理意识. 第1课时 为什么要证明
此要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳 经历观察、归纳、验证等活动过程，在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性，发展学生的
C．丙
D．丁
5.【例 3】一个两位数，个位数字为 x，十位数字为 y，现将数 位上的数字对调得新两位数，那么原两位数与新两位数的和 能被 11 整除吗？请说明理由． 解：根据题意得(10y＋x)＋(10x＋y) ＝10y＋x＋10x＋y ＝11(x＋y)， 则原两位数与新两位数的和能被 11 整除.
C．a＝2，b＝－2
D．a＝－2 ，b＝－2
变式练习
6.如果 a2＝b2，那么 a＝b，请举出一个反例，说明该说法是错 误的： (－2)2＝22，但－2≠.2