天津一中高一下学期数学期中考试试卷(附答案)

天津一中2018-2019-2 高一年级数学学科模块质量调查试卷本试卷分为第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分，共100 分，考试用时90 分钟。

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一．选择题1.以下说法正确的有几个（）①四边形确定一个平面；②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个2.在△ABC 中,角A, B, C的对边分别是a, b, c ,且a cos B = ( 2c - A ，则角A 的大小为（）ππππA．B．C．D．6 4 3 23.在∆ABC 中，若AB ⋅AC = 2 且∠BAC = 30 ，则∆ABC 的面积为（）A B．C D4.设α、β、γ为平面，为m、n、l 直线，则下列判断正确的是（）A．若α⊥β,α⋂β=l, m ⊥l ，则m ⊥β B．若α⋂γ=m,α⊥γ, β⊥γ，则m ⊥βC．若α⊥γ, β⊥γ, m ⊥α，则m ⊥β D．若n ⊥α,n ⊥β, m ⊥α，则m ⊥βB．C．D．2 3 4 151 1 1 1 1 1A．13B．23C．43D．26．点G 为∆ABC 的重心，AB = 2, BC =1, ∠ABC = 60 ，则AG ⋅CG =（）A．-59B．-98C．59D．197.在正方体ABCD -A1B1C1D1中，点O 是正方形ABCD 的中心，关于直线A1O 下列说法正确的（）A．A1O / / D1C B．A1O / / 平面B1CD1C．A1O ⊥BC D．A1O ⊥平面AB1D18.一个圆锥SC 的高和底面直径相等,且这个圆锥SC 和圆柱OM 的底面半径及体积也都相等, 则圆锥SC 和圆柱OM 的侧面积的比值为（）A．39.平行六面体ABCD -A B C D 的底面ABCD 是菱形，且∠C CB =∠C CD =∠BCD = 60 ，CD = 2, C C =3 ，则二面角C-BD -C 的平面角的余弦值为（）1 2 1A．12B．13C3D310．如图，在 ∆ABC 的边 AB 、AC 上分别取点 M 、N ，使AM = 1 AB , AN = 1 AC ， BN 与 CM 交于点 P ，若 BP = λ PN , PM = μCP ，3 2则 λ的值为（ ） μA ． 83B ． 38C ． 16D ． 6二．填空题11．已知向量 a , b 满足 | a |= 1 ,| b |= 2 ， | a + b |=，则 | 2a - b |=．12 如图， PA ⊥ 平面ABC ， ∠ACB = 90 且PA = AC ，AC = 2BC ，则异面直线 PB 与 AC 所成的角的正切值等于．13.如图,在直棱柱 ABC - A 1 B 1C 1 中, AB ⊥ AC , AB = AC = AA 1 = 2 , 则二面角 A 1 - BC 1 - C 的平面角的正弦值为．14.在 △ABC 中,角 A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 2b (2b - c ) cos A = a 2 + b 2 - c 2 ，则内角 A 的值为 ．15.已知正方体 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 的棱长为1 ，点 E 是棱 BB 1 的中点，则点 B 1 到平面 ADE 的距离为．16.如图，在直角梯形 ABCD 中， ∠BAD = π， AB = AD = 2 ，若 M 、N3分别是边 AD 、BC 上的动点，满足 AM = λ AD ， BN = (1 - λ )BC ，其中λ ∈ (0,1) ，若 AN ⋅ BM = -2 ，则 λ 的值为 ．Nα 1 αα17. 设f (α) =m ⋅n ,其中向量m = ( n = (2 in , cos-1) .2 4 2（1）若f (α) =-1 ,求cos( π-α) 的值；3 2（2）在△ABC 中,角A, B, C的对边分别是a, b, c ,若a cos B +b cos A + 2c ⋅ cos C = 0 ,求函数f ( A) 的取值范围.18. 如图，在几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD , E 为AB 中点.（1）求证：AN / / 平面MEC ；（2）求证：AC ⊥BN .19．如图1 所示，在矩形ABCD 中，AB = 2 A D = 4 ，E 为CD 的中点，沿AE 将∆AED 折起，如图2 所示，O、H、M 分别为AE、BD、AB 的中点，且DM = 2 .（1）求证：OH / / 平面DEC ；（2）求证：平面ADE ⊥平面ABCE .20.如图，四棱锥P -ABCD 的底面是菱形，PO ⊥底面ABCD ，O、E 分别是AD、AB 的中点，AB = 6, AP =5，∠BAD = 60 . （1）求证：平面PAC ⊥平面POE ；（2）求直线PB 与平面POE 所成角的正弦值；（3）若F 是边DC 的中点，求异面直线BF 与PA 所成角的正切值。

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一．选择题1.以下说法正确的有几个（）①四边形确定一个平面；②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个2.在△ABC 中,角A, B, C的对边分别是a, b, c ,且a cos B =-b) cos A ，则角A 的大小为（）ππππA．B．C．D．6 4 3 23.在∆ABC 中，若AB ⋅AC = 2 且∠BAC = 30 ，则∆ABC 的面积为（）DA B．C34.设α、β、γ为平面，为m、n、l 直线，则下列判断正确的是（）A．若α⊥β,α⋂β=l, m ⊥l ，则m ⊥β B．若α⋂γ=m,α⊥γ, β⊥γ，则m ⊥βC．若α⊥γ, β⊥γ, m ⊥α，则m ⊥β D．若n ⊥α,n ⊥β, m ⊥α，则m ⊥β5．某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是一个等腰直角三角形，则此三棱锥的体积为（）B．C．D．3 4 151 1 1 1 1 1A．13B．23C．43D．26．点G 为∆ABC 的重心，AB = 2, BC =1, ∠ABC = 60 ，则AG ⋅CG =（）A．-59B．-98C．59D．197.在正方体ABCD -A1B1C1D1中，点O 是正方形ABCD 的中心，关于直线A1O 下列说法正确的（）A．A1O / / D1C B．A1O / / 平面B1CD1C．A1O ⊥BC D．A1O ⊥平面AB1D18.一个圆锥SC 的高和底面直径相等,且这个圆锥SC 和圆柱OM 的底面半径及体积也都相等, 则圆锥SC 和圆柱OM 的侧面积的比值为（）A．9.平行六面体ABCD -A B C D 的底面ABCD 是菱形，且∠C CB =∠C CD =∠BCD = 60 ，CD = 2, C C =3 ，则二面角C-BD -C 的平面角的余弦值为（）1 2 1A．12B．13C3D10．如图，在 ∆ABC 的边 AB 、AC 上分别取点 M 、N ，使AM = 1 AB , AN = 1 AC ， BN 与 CM 交于点 P ，若 BP = λ PN , PM = μCP ，3 2则 λ的值为（ ） μA ． 83 B ． 38C ． 16D ． 6二．填空题11．已知向量 a , b 满足 | a |= 1 ,| b |= 2 ， | a + b |，则 | 2a - b |=．12 如图， PA ⊥ 平面ABC ， ∠ACB = 90 且PA = AC ，AC = 2BC ，则异面直线 PB 与 AC 所成的角的正切值等于．13.如图,在直棱柱 ABC - A 1 B 1C 1 中, AB ⊥ AC , AB = AC = AA 1 = 2 , 则二面角 A 1 - BC 1 - C 的平面角的正弦值为．14.在 △ABC 中,角 A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 2b (2b - c ) cos A = a 2 + b 2 - c 2 ，则内角 A 的值为 ．15.已知正方体 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 的棱长为1 ，点 E 是棱 BB 1 的中点，则点 B 1 到平面 ADE 的距离为．16.如图，在直角梯形 ABCD 中， ∠BAD = π， AB = AD = 2 ，若 M 、N3分别是边 AD 、BC 上的动点，满足 AM = λ AD ， BN = (1 - λ )BC ，其中λ ∈ (0,1) ，若 AN ⋅ BM = -2 ，则 λ 的值为 ．N三．解答题α 1 αα17. 设f (α) =m ⋅n ,其中向量m = ( cos , ), n = (2 s in , cos-1) .2 4 2 4 2（1）若f (α) =-1 ,求cos( π-α) 的值；3 2（2）在△ABC 中,角A, B, C的对边分别是a, b, c ,若a cos B +b cos A + 2c ⋅ cos C = 0 ,求函数f ( A) 的取值范围.18. 如图，在几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD , E 为AB 中点.（1）求证：AN / / 平面MEC ；（2）求证：AC ⊥BN .19．如图1 所示，在矩形ABCD 中，AB = 2 A D = 4 ，E 为CD 的中点，沿AE 将∆AED 折起，如图2 所示，O、H、M 分别为AE、BD、AB 的中点，且DM = 2 .（1）求证：OH / / 平面DEC ；（2）求证：平面ADE ⊥平面ABCE .20.如图，四棱锥P -ABCD 的底面是菱形，PO ⊥底面ABCD ，O、E 分别是AD、AB 的中点，AB = 6, AP =5，∠BAD = 60 . （1）求证：平面PAC ⊥平面POE ；（2）求直线PB 与平面POE 所成角的正弦值；（3）若F 是边DC 的中点，求异面直线BF 与PA 所成角的正切值。

南开中学2022—2023学年度第二学期期中检测高一数学试卷考试时间：100分钟I 卷(共32分)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷两部分，共100分．考试结束后，将答题卡、答题纸一并交回.一、单项选择题(共8题，每题4分，共32分)1. 下面关于平面向量的描述不正确的有()A ．共线向量是在一条直线上的向量B ．起点不同但方向相同且模相等的向量是相等向量C ．向量CD 与向量DC 长度相等D ．两个非零向量a ，b ，若a +b =a -b ，则a ⊥b 2. 己知复数z 满足i -1 z =2，给出下列四个命题其中正确的是()A ．z =2B ．z 的虚部为-1C ．z =1+iD ．z 2=-2i 3.以下说法正确的是()①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体．A ．①②④⑥B ．②③④⑤C ．①②③⑥D ．①②⑤⑥4．在平行四边形ABCD 中，AC =1,2 ，BD =-3,2 ，则AD =()A ．-1,2B ．-2,4C ．1,-2D ．2,-45. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =c 2cos B +1 ,sin C =45，则sin B =()A ．1825B ．-2425C ．-1825D ．24256．在△ABC 中，AB =1,AC =4,∠BAC =π3，点D 为边BC 上靠近B 的三等分点，则AD ⋅BC 的值为()A ．-163B ．163C ．-4D ．47．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE =45AB ，连接AC 、EF 交于点P ，若AP =411AC ，则点F 在AD 上的位置为()A ．AD 边中点B ．AD 边上靠近点D 的三等分点C ．AD 边上靠近点D 的四等分点D ．AD 边上靠近点D 的五等分点8. 如图，△ABC 是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若AD =2，BD =1，点M 为线段CE 上的动点，则MA ⋅MC 的最小值为()A ．-254B ．2516C ．-2516D ．254II 卷(共68分)二、填空题(共6题，每小题4分，共24分)9. 若i 是虚数单位，复数1+3i 2-i 3=.10.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是侧棱AA 1的中点，则平面B 1CE 截正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1所得的截面图形的周长是.11.已知点B (6,5)，若向量AB 与a =(2,3)同向，|AB |=213，则点A 的坐标为.12.已知a ,b ,c 分别为ΔABC 的三个内角A ,B ,C 的对边，a =3，且(a +b )(sin A -sin B )=(c -b )sin C ，则ΔABC 面积的最大值为.13. 三棱锥P -ABC 的顶点都在球O 的球面上，且AB =2AC =12，∠ABC =π6，若三棱锥P -ABC 的体积最大值为108，则球O 的表面积为.14．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位：米)，三角高程测量法是珠穆朗玛峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ,B ,C 三点，且A ,B ,C 在同一水平面上的投影A ′,B ′,C ′满足∠A ′C ′B ′=45°,∠A ′B ′C ′=60°, 由点C 测得点B 的仰角为15°,BB ′与CC′的差为100，由点B测得点A的仰角为45°, 则A,C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′-CC′为米.三、解答题(共3题，共44分)15．(14分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且sin2A+sin A sin B=cos2B-cos2C.(1)求角C的大小；(2)若sin A=2sin B，c=7，求△ABC的面积.16．（15分）已知点P为正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=AB=13，M、N分别为PA、BD上的点，且PMMA=BNND=58．(1)求证：MN∥平面PBC；(2)求线段MN的长.17. （15分）如图所示，某市有一块空地△OAB，其中OA=2km，∠OAM=60°，∠AOB=90°．当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N，都在边AB上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN的周围安装防护网．设∠AOM=θ．(1)当AM=1km时，求此时防护网的总长度.(2)若θ=15°，问此时人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的多少倍？(3)为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小？最小面积是多少？参考答案1-4ABCA5-8DBBC9．1+i10．32+2511. (2，-1)12．94313．192π14．100(3+2)15．(1)2π3(2)32【分析】(1)先将条件中的等式全部变为正弦，然后利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求角即可；(2)先利用正弦定理将sin A=2sin B转化为a,b的关系，再结合(1)中的条件求出a,b，最后利用三角形的面积公式求解即可.【详解】(1)∵sin2A+sin A sin B=cos2B-cos2C=1-sin2B-1-sin2C=sin2C-sin2B,∴由正弦定理得a2+ab=c2-b2，即a2+b2-c2=-ab∴cos C=a2+b2-c22ab=-ab2ab=-12，又C∈0,π，∴C=2π3；(2)∵sin A=2sin B，∴由正弦定理得a=2b①，又a2+b2-7=-ab②，由①②得a=2,b=1，∴S△ABC=12ab sin C=12×2×1×sin2π3=32.16.17. 【答案】(1)6km；(2)3倍；(3)当θ=15°时，S△OMN最小值为6-33km2．【分析】(1)在三角形OAM中，由余弦定理得OM的值，利用勾股定理可得三角形OAM是直角三角形，可求θ的值，求得△OAN是等边三角形，即可得解．(2)由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求MNAM=3，由于以O为顶点时，△OMN和△OAM的高相同，根据三角形的面积公式即可求解．(3)由已知利用正弦定理求出OM，ON，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求△OMN的面积关于θ的函数，利用正弦函数的性质即可求解其最小值．【详解】(1)在三角形OAM中，由余弦定理得，OM=22+12-2×2×1×cos60°=3，所以OM2+AM2=3+1=4=OA2，所以三角形OAM是直角三角形，所以∠OMA=90°，θ=30°．由于∠MON =30°，所以∠AON =∠A =60°，所以△OAN 是等边三角形，周长为2×3=6，也即防护网的总长度为6km ．(2)θ=15°时，在三角形OAM 中，由正弦定理得OM sin60°=AM sin15°⇒OM =AM ⋅sin60°sin15°，在三角形OMN 中，∠ONA =180°-60°-15°-30°=75°，由正弦定理得，MN sin30°=OM sin75°⇒MN =OM ⋅sin30°sin75°=AM ⋅sin60°⋅sin30°sin75°sin15°．所以MN AM =sin60°⋅sin30°sin75°sin15°=sin60°⋅sin30°cos15°sin15°=sin60°⋅sin30°12sin30°=2sin60°=3．以O 为顶点时，△OMN 和△OAM 的高相同，所以S △OMN S △OAM =MN AM=3，S △ONN =3S △OAM ，即人工湖用地△OMN 的面积是堆假山用地△OAM 的面积的3倍．(3)在三角形OAN 中，∠ONA =180°-60°-30°-θ=90°-θ，由正弦定理得，ON sin60°=2sin 90°-θ=2cos θ⇒ON =2sin60°cos θ=3cos θ．在三角形OAM 中，∠ONA =180°-60°-30°-θ=90°-θ，由正弦定理得OM sin60°=2sin 180°-60°-θ =2sin θ+60°⇒OM =2⋅sin60°sin θ+60° =3sin θ+60°．所以S △OMN =12⋅OM ⋅ON ⋅sin30°=14⋅3cos θ⋅3sin θ+60° =34⋅1sin θ+60° ⋅cos θ=34⋅1sin θcos60°+cos θsin60° ⋅cos θ=34⋅112sin θcos θ+32cos 2θ=34⋅114sin2θ+32⋅1+cos2θ2=34⋅114sin2θ+34cos2θ+34=32⋅112sin2θ+32cos2θ+32=32⋅1sin 2θ+60° +32=3⋅12sin 2θ+60° +3．由于∠AOM =θ，0°<θ<60°，所以当2θ+60°=90°，θ=15°时，S △OMN 最小值为3⋅12+3=3⋅2-32+3 2-3=(6-33)km 2．。

一、选择题1．(0分)[ID ：12421]设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥2．(0分)[ID ：12416]水平放置的ABC 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（ ）A 2B ．17C ．2D ．83．(0分)[ID ：12375]直线20x y ++=截圆222210x y x y a ++-+-=所得弦的长度为4，则实数a 的值是（ ） A ．－3B ．－4C ．－6D ．364．(0分)[ID ：12349]已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为3SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（ ） A ．20π B ．40πC ．80πD ．160π5．(0分)[ID ：12333]已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下列四个命题中，正确的是（ ）A ．||αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．||m l l m ββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭C ．||||||m m n n γγ⎫⇒⎬⎭D ．||m m n n γγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭6．(0分)[ID ：12395]正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（ ） A ．25B ．25C ．25D ．257．(0分)[ID ：12391]已知点()1,2-和3,03⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在直线():100l ax y a --=≠的两侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( ) A ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．25,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．30,,34πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．(0分)[ID ：12371]若方程21424x kx k +-=-+ 有两个相异的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．13,34⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．13,34⎛⎫⎪⎝⎭C ．53,124⎛⎫⎪⎝⎭D ．53,1249．(0分)[ID ：12359]若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )． A ．130B ．140C ．150D ．16010．(0分)[ID ：12415]已知ABC 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且2AB =，4AC =，25BC =,三棱锥O ABC -的体积为43，则球O 的表面积为（ ）A ．22πB ．743πC ．24πD ．36π11．(0分)[ID ：12402]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列说法错误．．的是( )A ．MN 与1CC 垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行D ．MN 与11A B 平行12．(0分)[ID ：12339]某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）A ．1763B ．1603C ．1283D ．3213．(0分)[ID ：12337]若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ）A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离14．(0分)[ID ：12370]如图1，ABC ∆是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，T 为线段AC 的中点，G 是BC 的中点，ABE ∆与BCF ∆分别是以AB 、BC 为底边的等边三角形，现将ABE ∆与BCF ∆分别沿AB 与BC 向上折起（如图2），则在翻折的过程中下列结论可能正确的个数为（ ）图1 图2（1）直线AE ⊥直线BC ；（2）直线FC ⊥直线AE ； （3）平面//EAB 平面FGT ；（4）直线//BC 直线AE . A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．(0分)[ID ：12362]如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中： ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线 以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题16．(0分)[ID ：12479]光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上，反射后过点Q(1,1) ，则反射光线方程为__________．17．(0分)[ID ：12457]点(5,2)到直线()1(21)5m x m y m -+-=-的距离的最大值为________.18．(0分)[ID ：12523]已知在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，224AB AD CD ===，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠，使平面BAC ⊥平面DAC ，则三棱锥D ABC -外接球的体积为__________．19．(0分)[ID ：12511]在平面直角坐标xOy 系中,设将椭圆()2222110y x a a a +=>-绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域为D ，P 为区域D 内的任一点，射线()02x y x =≥－上的点为Q ，若PQ 的最小值为a ，则实数a 的取值为_____．20．(0分)[ID ：12486]以(3,2)a =-方向向量的直线平分圆2220x y y =++，直线l 的方程为________.21．(0分)[ID ：12466]如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,//,2,1ABCD AD AB AB DC AD DC AP AB ⊥====，若E 为棱PC 上一点，满足BE AC ⊥，则PEEC=__________．22．(0分)[ID ：12446]底面边长为2的正三棱柱111ABC A B C -被不平行于底面的平面MNP 所截，其中3AM =，4BN =，5PC =，则多面体ABC MNP -体积为________23．(0分)[ID ：12499]若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______．24．(0分)[ID ：12498]函数2291041y x x x =++-+的最小值为_________. 25．(0分)[ID ：12429]已知点()1,0A -，()2,0B ，直线l ：50kx y k --=上存在点P ，使得2229PA PB +=成立，则实数k 的取值范围是______.三、解答题26．(0分)[ID ：12624]如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，90B ∠=︒，将ABC ∆沿中位线DE 翻折得到如图（2）所示的空间图形，使二面角A DE C --的大小为02πθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭.（1）求证：平面ABD ⊥平面ABC ； （2）若3πθ=，求直线AE 与平面ABC 所成角的正弦值.27．(0分)[ID ：12604]已知两直线1l ：240x y -+=和2l ：20x y +-=的交点为P . （1）直线l 过点P 且与直线5360x y +-=垂直，求直线l 的方程； （2）圆C 过点()3,1且与1l 相切于点P ，求圆C 的方程.28．(0分)[ID ：12552]如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，33DE AF ==.（1）证明：平面//ABF 平面DCE ；（2）在DE 上是否存在一点G ，使平面FBG 将几何体ABCDEF 分成上下两部分的体积比为3:11？若存在，求出点G 的位置；若不存在，请说明理由.29．(0分)[ID ：12533]如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形．（1）求证：BD PC ⊥；（2）若平面PBC 与平面PAD 的交线为l ，求证：//BC l ．30．(0分)[ID ：12535]如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，,AD AB ⊥22,AB BC AD ===四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥ABCD .（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求二面角B EF D --二面角的正弦值；（3）在线段BE上是否存在点P，使得直线AP与平面BEF所成角的正弦值为，若6存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．B3．A4．C5．D6．A7．D8．D9．D10．C11．D12．B13．B14．C15．B二、填空题16．4x－5y+1=0【解析】【分析】先求P点关于直线x+y+1=0对称点M再根据两点式求MQ方程即得结果【详解】因为P点关于直线x+y+1=0对称点为所以反射光线方程为【点睛】本题考查点关于直线对称问17．【解析】【分析】先判断过定点可得点到直线的距离的最大值就是点与点的距离从而可得结果【详解】化简可得由所以过定点点到直线的距离的最大值就是点与点的距离为故答案为【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两18．【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示由条件可得在底面中取AB的中点OAC的中点E连OCOE则∵∴∵平面平面∴平面∴又∴∴∴点O为三棱锥外接球的球心球半径为2∴答案：点睛：（1）本题是一道关19．【解析】【分析】先确定轨迹再根据射线上点与圆的位置关系求最值即得结果【详解】所以为以为圆心为半径的圆及其内部设射线的端点为所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系考查数形结20．【解析】【分析】由为方向向量设直线的方程为：若要求直线平分圆则圆心在要求的直线上故得解【详解】根据题意要求的直线的方向向量为：设直线的方程为：圆即圆心为若要求直线平分圆则圆心在要求的直线上则有：则直21．【解析】【分析】过作交于连接根据可得平面通过解三角形求得的值也即求得的值【详解】过作交于连接根据可得平面故由于所以由于所以在直角三角形中所以而故根据前面证得可得【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定22．【解析】【分析】将多面体分为四棱锥与三棱锥两部分相加求和即可【详解】如图将多面体分为四棱锥与三棱锥两部分其中四棱锥的高为为梯形则故多面体体积为故答案为：【点睛】本题主要考查了多面体体积的求解方法根据23．4【解析】因为圆=关于直线=对称所以圆心在直线=上所以即又圆的半径为当点(ab)与圆心的距离最小时切线长取得最小值又点(ab)与圆心的距离为=所以切线长的最小值为=故答案为4点睛：本题主要考查直线与24．【解析】【分析】将变形为设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点即可求出距离和的最小值；【详解】解：设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点连接则即为距离和的最小值故答案为：【点睛】25．【解析】【分析】先求出直线经过的定点设直线上的点坐标由可求得点的轨迹方程进而求得斜率的取值范围【详解】解：由题意得：直线因此直线经过定点；设点坐标为；化简得：因此点为与直线的交点所以应当满足圆心到直三、解答题26．27．28．29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】A 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内. 【考点定位】点线面的位置关系2．B解析：B 【解析】 【分析】依题意由111A B C △的面积为114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ． 【详解】依题意，因为111A B C △的面积为所以11111sin 452AC B C ︒=⨯⋅=111222B C ⨯⨯⨯，解得114B C =， 所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥，由勾股定理得：AB ====故选B ． 【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '轴平行且长度减半.3．A解析：A 【解析】 【分析】求出圆心坐标和半径，根据圆的弦长公式，进行求解即可. 【详解】由题意，根据圆的方程222210x y x y a ++-+-=，即22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心坐标为(1,1)-，半径r =又由圆心到直线的距离为d ==所以由圆的弦长公式可得4=，解得3a =-，故选A. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的因公，以及弦长公式的应用，其中根据圆的方程，求得圆心坐标和半径，合理利用圆的弦长公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4．C解析：C 【解析】 【分析】根据线面夹角得到4SA =，计算ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得答案.【详解】SA ⊥平面ABC ，则SB 与平面ABC 所成的角为6SBA π∠=，故4SA =. ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，设球O 的半径为R ，则2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得R =O 的表面积为2480R ππ=. 故选：C . 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.5．D解析：D【解析】试题分析：A.}r rααββ⊥⇒⊥不正确，以墙角为例，,αβ可能相交；B.}m l l m ββ⇒⊥⊥不正确，,l β有可能平行；C.}m rm n n r⇒不正确，m,n 可能平行、相交、异面；故选D 。

天津一中 2017‐2018‐2 高一年级数学模块质量调查试卷一．选择题1．设 , x y ÎR ，向量 (,1) a x = r ， (1,) b y = r ， (2,4) c =- r ，且a c ^ r r ，b r //c r ，则|| a b + r r＝（ ）A ． 5B ． 10C ．25D ．102．下列说法正确的是（ ）．（1）任意三点确定一个平面；（2）圆上的三点确定一个平面；（3）任意四点确定一个平 面；（4）两条平行线确定一个平面A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（2）（4）D ．（3）（4）3．已知 m ， n 是两条不同的直线，a ，b ， g 是三个不 同的平面，则下列命题正确的是（ ）．A ．若 m a Ì ，n b Ì ，m n ∥ ，则a b ∥B ．若 m a Ì ， n a Ì ，m b ∥ ，n b ∥ ，则a b ∥C ．若a g ^ ，b g ^ ，则a b ∥D ．若m a ^ ，m b ^ ，则a b ∥4．已知P 为△ABC 所在平面内一点， =0 r，| |=| |=| |=2，则△ABC 的面积等于（）A ． 3B ．23C ．3 3D ．4 35．某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的体积是（ ）．A ． 38cmB ． 312cmC ． 332 cm3D ． 340 cm36．如图，在直角梯形 ABCD 中，AB ∥DC ，AD ^DC ，AD = DC = 2AB ，E 为AD 的中点，若CA = l CE +m DB ，则l +m的值为正视图侧视图俯视图2222A.6 5B.8 5C.2D.8 37．如果P 是等边 ABC △所在平面外一点，且 23PA PB PC === ， ABC △ 边长为1，那么PA 与底面ABC 所成的角是（ ）． A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．如图，PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面，则图中互相垂直的平面有 ()A.2对B.3对C.4对D.5对9．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线 和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行； ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直． 其中正确命题的个数是（ ）． A ．0B ．1C ．2D ．310．如图，在正三棱柱 111ABC A B C - 中， 1 AB = ．若二面角 1 C AB C -- 的大小为60°，则点C 到平面 1 ABC 的距离为（ ）．ABCC 1B 1 A1A ．3 4B ． 1C ． 3D ．3 2二．填空题11．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的 表面积为 ．12．已知三棱锥D —ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝ 3，BC ＝2，则以BC 为 棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是13．已知 ， 是互相垂直的单位向量，若 ﹣ 与 +λ 的夹角为60°，则实数λ的值是________．14．在正四棱锥P ﹣ABCD 中，PA=2，直线PA 与平面ABCD 所成角为60°，E 为PC 的中 点，则异面直线PA 与BE 所成角为 ．15．在 ABC △ 中， 90 BAC Ð=°， 2 AB AC = ，M 是BC 的中点，点N 在线段AB 上， 2 NB AN = uuu r uuu r ，CN 与 AM 交于点P ， 1 AC = ， AP BC ×= uuu r uuu r__________． 16．把边长为 a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，对于下列结论正确的有 __________． （1） AC BD ^ ；（2） ADC △ 是正三角形；（3）三棱锥C ABD - 的体积为 32 12a ； （4） AB 与平面BCD 成角60°．三．解答题17．如图，已知四边形 ABCD 是矩形，P A ⊥平面 ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：MN //平面 P AD .；(2)若 P A ＝AD ，求证：MN ⊥平面 PCD .18．如图，在矩形 中，点 是 边上的中点，点 在边 上．（1）若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，设， AD AB EF m l + = 求 m l + 的值； （2）若 2 , 3 = = BC AB ，当 1 = ·BF AE 时，求DF 的长．19. 如图所示，在棱长均为 4的三棱柱 ABC­A 1B 1C 1 中，D ，D 1 分别是 BC 和 B 1C 1 的中点．(1)求证：A 1D 1∥平面 AB 1D ；(2)若平面 ABC ⊥平面 BCC 1B 1，∠B 1BC ＝60°，求三棱锥 B 1­ABC 的体积．20. 如图，在四棱锥中，底面 的边长是2 的正方形，,, 且.（1）求证: ; （2）求证:平面平面;（3）求直线 与平面所成角的正弦值.一．选择题1． B2．C 3．D 4．B 5．C6．B.7．A8．D9．D 10．A 11． 3(3) 2p + 12．π 213． 14． 45° 15．【答案】 3 4-【解析】由题意， 2 AB = ， 1 AC = ．设 AM t AP = uuuu r uuu r．∵M 为BC 中点，则 11 22 AM AB AC t AP =+= uuuu r uuu r uuu r uuu r．又∵C 、P 、N 三点共线且 1 3 AN AB = uuu r uuu r．∴3AP AN AC AB AC l l m m =+=+ uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ， 1 l m += ．又∵ 11 22 AP AB AC t t=+ uuu r uuu r uuu r ．∴ 3 l m = ，得 3 4 l = ， 14m = ． ∴ 1 () 4AP AB AC =+ uuu r uuu r uuu r ．又∵BC AC AB =- uuu r uuu r uuu r ．∴22 13 () 44AP BC AC AB ×=-=- uuu r uuu r ． 16．【答案】（1）（2）（3） 【解析】∵BD OC ^ ，BD OA ^ ， ∴BD ^ 面 AOC ， ∴BD AC ^ ．①正确．1cos cos 45cos 45 2 ADC Ð=°×°= ，60 ADC Ð=°， AD DC = ， ADC △ 为正三角形．②正确．23 1122 32212C BDA V a a a - =×××= ．③正确．AB 与平面BCD 所成角 45 ABD Ð=°．④错误． DABCO三．解答题17．NH // AM PCDMN CDMN AE CD PAD CD PA CD ADCD PDMN PD AE PD E AD PA 平面 平面 中点 为 ^ \ ^ Þ ^ Þ ^ Þ þý ü ^ ^ ^ Þ ^ Þ þý ü= Q 18．612 13 1 3 1 2 1 3 12 1 1 =+ =- = - = + =+ = m l m l AB AD CD BC CF EC EF )( 解 3 323 2 1 21 2 = =\ + - = + + = + = = | | | | )( ) ( DC DF AD AB DFAD BA BF AD AB AE DCDF l l 设 19.（1）DD 1 // BB 1 // AA 1□ÞA 1D 1//AD（2）== =ABC D B B BCC D B BCB BCC ABC B BCC ABCD B BC D B BC BC B B BCC 面 面 面 面 面 且 中点且为菱形边为 ^ \ Ì = Ç ^ = ^ \ = Ð 11 1 1 1 1 1 1 1 1 01 11 32 60 4 Q Q 8 4 43 3 2 3 1 312 1 1 = ´ ´ ´ =´ ´ = D -ABC ABC B S D B v Q 20.【解析】试题分析： （1）由 .得可证得 ，即证。

天津高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.对于任意实数，下列结论中正确的是（）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．A．①B．②C．③D．④2.已知等比数列的前项和为，若，则公比为（）A．B．C．D．3.在中，若，则角为（）A．B．C．或D．或4.在中，若，则最大角的余弦是（）A．B．C．D．5.若，两个等差数列与的公差分别为，则等于（）A．B．C．D．6.在中，若，则的形状是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形7.在数列中，，，则（）A．B．C．D．8.等差数列中，，则使前项和成立的最大自然数为（）A．B．C．D．9.给出集合序列设为第个集合中元素之和，则（）A．B．C．D．10.已知数列为等差数列，且，设，当数列的前项和最小时，则的值为（）A．B．C．或D．或二、填空题1.已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为______.2.关于的一元二次不等式的解集是，则______.3.在中，角所对的边分别为，若，且，则角的大小为_______.4.不等式的解集为______.5.在锐角中，角所对的边分别为，若，则的值是_______.6.数列满足，记，若对任意恒成立，则正整数的最小值为_______.三、解答题1.在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求的值；（2）若，，求的面积.2.已知是正项数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.3.已知数列的前项和为，若，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为.①求；②对于任意的及，不等式恒成立，求实数的取值范围.天津高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.对于任意实数，下列结论中正确的是（）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．A．①B．②C．③D．④【答案】C【解析】结论①中，当时，错误；结论②中，当时，错误；结论③正确；结论④中，当时，错误.故正确答案选C.【考点】不等式性质的应用.2.已知等比数列的前项和为，若，则公比为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由等比数列的前和公式，得，两式相比得，解得.故正确答案为A.【考点】等比数列前和公式、公比.3.在中，若，则角为（）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】由正弦定理，且，得，又，则或.故正确答案为D.【考点】正弦定理的应用.4.在中，若，则最大角的余弦是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由余弦定理及题意得，解得，可知角最大，则.故正确答案选C.【考点】余弦定理的应用.5.若，两个等差数列与的公差分别为，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由等差数列通项公式及题意，得，则.故正确答案选C.【考点】等差数列通项公式的应用.6.在中，若，则的形状是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形【答案】B【解析】试题分析:由正弦定理得,整理得,又,则有或.故正确答案为B.【考点】1、正弦定理；2、倍角公式；3、三角形形状的判定.7.在数列中，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，即（常数），则可知数列是各项均为常数列，所以，即.故正确答案为A.【考点】数列通项公式.8.等差数列中，，则使前项和成立的最大自然数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知，所以，而，则有，而.故正确答案为B.【考点】等差数列通项性质、前项和公式.9.给出集合序列设为第个集合中元素之和，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设第个集合的第个数字为，则由题意知，，则有，将各式两边相加得，则，又因为各集合中的元素是以公差为的等差数列，所以.故正确答案为B.【考点】等差数列通项公式、前项和公式的应用.【思路点晴】此题考查等差数列通项公式及前项和公式的应用，属于中高档题，通过观察题目给出的集合序列的第个数字：、、、、……，可以发现，由迭加法可得，且每个集合的元素是以公差为的等差数列，项数与第个数字相等，再由等差数列前项和公式即求得.10.已知数列为等差数列，且，设，当数列的前项和最小时，则的值为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由等差数列通项公式性质知，又，所以，则数列为递增数列，同理有，又，而，所以当的的前项和取最小值时，的值为或.故正确答案为C.【考点】等差数列通项、前项和的性质.【思路点睛】此题主要考查等差数列的通项公式、前项和公式的性质在解决问题中的应用，属于中高档题.根据题目所给的条件且，由等差通项公式的性质可以发现，，从而可知，同理有，，所以，，（这个结论是本题的关键环节），从而问题可得解.二、填空题1.已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为______.【答案】【解析】由已知得，当时，有，当时，有，不满足，故数列的通项公式为.【考点】数列通项公式及前项和公式的关系.2.关于的一元二次不等式的解集是，则______.【答案】【解析】由题意知，且关于方程的两个根分别为，则根与系数关系得，解得，所以.【考点】二次不等式的解.3.在中，角所对的边分别为，若，且，则角的大小为_______.【答案】【解析】由正弦定理且，得，由，得，由余弦定理得，又,所以角的大小为.【考点】正弦定理、余弦定理的应用.4.不等式的解集为______.【答案】【解析】不等式或，即或，所以原不等式的解集为.【考点】二次不等式、分式的解.5.在锐角中，角所对的边分别为，若，则的值是_______.【答案】【解析】由余弦定理且，得，即，由正弦定理得，，所以.【考点】正弦定理、余弦定理的应用.【易错点晴】此题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，以及三角函数中切化弦的转化应用，属于中档题.通过审题首先利用余弦定理的推论将条件，转化为，接着将问题中所需求值的式子中的正切转化为含正弦、余弦的式子，再结合正弦定理和余弦定理转化成相对应边的关系式再进行求解，在计算过程中注意将正弦定理和余弦定理进行有效变形，为我所用，从而更好地为求值计算服务.6.数列满足，记，若对任意恒成立，则正整数的最小值为_______.【答案】【解析】由，得，可知数列是以首项为，公差为的等差数列，所以，则，，考查，又，即，则可知数列是一个递减数列，所以数列的最大项为，又对任意恒成立，所以，即，所以的最小值是.【考点】1、数列的通项公式、前项和公式；2、数列与不等式恒成立问题.【思路点睛】此题考查数列的通项公式、前前项和公式及数列与不等式恒成立问题的求解，属于中高档题.根据所给条件先构造新数列、，并求出数列的通项公式，接着对数列的单调性进行判断，利用函数单调性求出数列的最大项，再根据不等式恒成立问题，从而求得的最小值.三、解答题1.在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求的值；（2）若，，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知，根据正弦定理将等式中的边相应地替换为对应角的正弦，再由两角和的正弦公式及诱导公式进行整理，即可求出的值；（2）由（1）的结果可知，又，且，可根据余弦定理可求得，，再由公式即可求出三角形的面积.试题解析：（1）由正弦定理得，所以，即有，即有，即，所以.（2）由（1）知：，即，又因为，由余弦定理得：，即，解得，所以，又因为，所以，故的面积为.【考点】1、正弦、余弦定理；2、三角形面积公式.【思路点睛】此题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及倍角公式的应用，属于中档题.在定理的应用中，通过认真审题，可以根据题目所给条件和问题的需要，可以考虑将条件中所给式子的两边中的边（或角）根据正弦定理（，为的外接圆半径），同时（齐次）换成相对应的角（或边），再进行运算整理，当然还需要注意倍角公式、两角各和差等恒等变换公式的应用.2.已知是正项数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据数列通项公式与前项和公式的关系，并进行化简整理即可，注意对首项的值进行验证，是否满足的表达式，若不满足则分段表达（如上式）；（2）根据数列的特点（各项由等差数列与等比数列的乘积组成），可利用错位相减法求数列的前项和.试题解析：（1）令得又，所以，①，②，由①②得，∴，∵，∴，∴是等差数列，且.（2），设的前项和为，则①，②，由①-②得，，∴，即.【考点】1、等差数列通项公式；2、数列前项和（错位相减法）.【方法点晴】此题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式在解决问题中的应用，属于中档题.注意事项，利用前项和求通项公式时，要对首项的值进行验证，是否满足的表达式，若不满足则采用分段表示，错位相减法是求数列前项和公式的常用方法，当该数列各项是由等差数列与等比数列的乘积组成时，此法适用.3.已知数列的前项和为，若，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为.①求；②对于任意的及，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）①；②.【解析】（1）根据数列通项公式与前项和公式关系进行求解，由整理后，根据式子的特点，采用累积法进行求解（累积法也是求数列通项中常用的方法）；（2）①由（1）可求得数列的解析式，根据的特点可采用裂项求和法进行求解；②由“恒成立”等价“恒成立”，可对的单调性进行判断，并求出其最小值为，再由二次不等式恒成立求出实数的范围.试题解析：（1）在中，令，得，∵，∴当时，，两式相减，得，∴，即.∴，故.（2）①，，所以.②∵，单调递增，故，∵，∴对于任意的恒成立，∴对于任意的恒成立，∴，又也成立，∴实数的取值范围是.【考点】1、数列通项公式（累积法）；2、数列前和（裂项求和法）；3、数列与不等式恒成立问题.【方法点晴】此题主要考查数列的通项公式和前项和公式的求解、以及数列与不等式恒成立问题，注意累积法（累积法：根据所给数列的递推公式将式子整理为比式，然后将式子两边相乘消去中间，从而求得数列的通项公式.）、裂项求和法（可将数列通项公式分裂成两项之差，然后将式子两边相加，消去中间项，从而求出数列前和.）的应用，属于中高档题，在数列与不等式恒成立问题中，常会利用到数列的单调性求出其最值，再根据不等式的性质及恒成立问题进行求解或证明.。

一、单选题1．若复数z 满足其中i 为虚数单位，则z= 232,z z i +=-A ．1+2i B ．12iC ．D ．-12i -+12i --【答案】B【详解】试题分析：设，则，故，则，选B.i z b a =+23i 32i z z a b +=+=-12i z =-【解析】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.2．在平行四边形中，（ ）ABCD DA DC CB +-=A ．B ．C ．D ．DBBC CD DC【答案】D【分析】由平行四边形的性质可得，从而可求得答案 DA CB =【详解】解：因为四边形为平行四边形，ABCD 所以,DA CB = 所以， DA DC CB DC +-= 故选：D3．下列说法中，正确的是（ ）． A ．三点确定一个平面 B ．过一条直线的平面有无数多个 C ．两条直线确定一个平面 D ．三条两两相交的直线确定三个平面【答案】B【分析】A 选项，若三点共线，则此三点不能确定一个平面；B 选项，过一条直线的平面有无数多个；C 选项，两条直线若异面，则两条直线无法确定一个平面；D 选项，三条两两相交的直线若过同一个点，则三条两两相交的直线确定三个平面或一个平面. 【详解】若三点共线，则此三点不能确定一个平面，A 错误； 过一条直线的平面有无数多个，B 正确；两条直线若异面，则两条直线无法确定一个平面，C 错误；三条两两相交的直线若过同一个点，则三条两两相交的直线确定三个平面或一个平面，D 错误. 故选：B4．已知点，，则与同方向的单位向量为（ ） ()1,3A ()4,1B -ABA ．B ．C ．D ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭()3,4-34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭()3,4-【答案】A【分析】列方程即可求得与同方向的单位向量. AB【详解】，设与同方向的单位向量为(3,4)AB =- AB(,)x y 则，解之得或 2213(4)0x y y x ⎧+=⎨--=⎩3545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩3545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当时，所求向量为，向量，符合题意； 3545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭(3,4)AB =- 345,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭当时，所求向量为，向量，不符合题意，舍去.3545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭(3,4)AB =- 345,55⎛⎫=-- ⎪⎝⎭故选：A5．在中，已知，，则（ ） ABC A 2a =b =6A π=B =A ．B ．C ．或D ．或6π3π6π56π3π23π【答案】D【分析】直接利用正弦定理求解即可. 【详解】在中，由正弦定理，得，ABC A sin sina bA B=所以，所以或. sin sin b AB a===(0,)B π∈3B π=23B π=故选：D6．已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且ABC A A B C a b c ()()3a b c b c a bc +++-=，那么是（ ） sin 2sin cos A B C =ABC A A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【分析】将化简并结合余弦定理可得的值，再对结合()()3a b c b c a bc +++-=A sin 2sin cos A B C =正、余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状. 【详解】由，得， ()()3a b c b c a bc +++-=22()3b c a bc +-=整理得，则， 222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-==因为，所以，()0,πA ∈π3A =又由及正弦定理，得，化简得，sin 2sin cos A B C =22222a b c a b ab +-=⋅b c =所以为等边三角形， ABC A 故选：B7．设向量，且，则（ ）,x y R ∈(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-,//a c b c ⊥ x y +=A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】A【分析】根据的垂直关系，可求出 ；根据的平行关系，可求出 ，进而求出a c ⊥2x =//b c =2y -的值．x y +【详解】因为，所以a c ⊥240x -=因为，所以 //b c420y --=所以 ，所以 22x y =⎧⎨=-⎩0x y +=故选：A ．8．若一个圆锥的高和底面直径相等，且它的体积为，则此圆锥的侧面积为（ ） 23πA B C D ．【答案】A【分析】由已知求得圆锥的高和底面直径，再求得母线长可得侧面积．【详解】设底面半径为，由高为，所以，，，r 2h r =221122333V r h r r πππ==⨯=1r =2h =所以母线长为 l =所以侧面积为． 1S rl ππ==⨯=故选：A ．9．已知m ，n 表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 αA ．若则B ．若，，则//,//,m n αα//m n m α⊥n α⊂m n ⊥C ．若，，则D ．若，，则m α⊥m n ⊥//n α//m αm n ⊥n α⊥【答案】B【详解】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 【解析】空间点线面位置关系．10．如图，正方体的棱长为2，E 是棱的中点，则点到平面EBD 的距离为1111ABCD A B C D -1CC 1C （ ）A B C D 【答案】D【分析】注意到，利用等体积法可得答案. 11D C BE C BDE V V --=【详解】，1113D C BE C BE V S DC -=⋅⋅A ，，则.111112122C BE S C E BC =⋅⋅=⨯⨯=A 2DC =123D C BE V -=在中，由题意及图形结合勾股定理可得BED A BE DE ==BD =则由余弦定理可得，222125cos BE DE BD BED BE DE +-∠==⋅则.则si n BED ∠==12si n BDE S BE DE BED =⋅⋅∠=A 设到平面EBD 的距离为，则. 1C d 113C BDE BDEV S d -=⋅A又，则11D C BE C BDE V V --=112233C BDE BDE BDE V S d d S -=⋅=⇒==A A 故选：D二、填空题11．是虚数单位，则___________. i 341ii-=+【答案】1722i --【分析】直接对复数化简即可【详解】解：， 2234(34)(1)334417171(1)(1)1222i i i i i i i i i i i i -----+--====--++--故答案为：1722i --12．已知向量的夹角为，，则_______.,a b 6π|||1a b == |3|a b +=【分析】根据计算可得结果.|3|a b +==【详解】 |3|a b +===.=13．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为, 则正方体的棱长为 . 92π【分析】根据正方体的性质，结合球的体积公式进行求解即可.【详解】因为正方体体的对角线就是正方体的外接球的直径，所以由外接球的体积公式得：，即， 3493322R R ππ=⇒=23R =3a =⇒=【点睛】本题考查了正方体外接球的性质，考查了球的体积公式的应用，考查了空间想象能力和数学运算能力.14．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若，则_____ 430OA OB OC -+=AB CA= 【答案】/ 340.75【分析】由可得，即可得答案.430OA OB OC -+=33OA OB OB OC -=- 【详解】.430OA OB OC -+=⇒333OA OB OB OC BA CB -=-⇒=则三点共线，且在BA 的反向延长线上，如下图所示，则. ,,A B C C 34AB CA = 故答案为：3415．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，，则222a b c bc =+-2a =ABC A 的周长的最大值为_________. 【答案】6【分析】根据，利用余弦定理求得角A ，进而得到外接圆半径，再由的周长222a b c bc =+-ABC A 为求解.()22si n si n l a b c R B C =++=++24sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【详解】解：因为，222a b c bc =+-所以， 2221cos 22b c a A bc +-==因为， ()0,A π∈所以，则 3A π=2sin a R A =所以的周长为，ABC A ()22si n si n l a b c R B C =++=++，222si n si n 3R B B π⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，322si n cos 2R B B ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭，24sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当，即时， 的周长取得最大值为6，62B ππ+=3B π=ABC A 故答案为：6三、双空题16．在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，ABCD //AB CD 2AB CD =M N DC AB AB a =，用，表示__________．若，则余弦值的最小值为AD b =a bMN =MN BC ⊥ DAB ∠__________．【答案】14a b -【分析】空（1）使用向量线性运算求解即可；空（2）以与为基底，用数量积的形式表示出，再由基本不等式求解即可.a bMN BC ⊥ 【详解】如图，由已知，MN AN AM =- ()12AB AD DM =-+ 1122AB AD DC =--.111222AB AD AB =--⨯14AB AD =- 14a b =- ∴.MN 14a b =- 设，即与的夹角为，DAB θ∠=a bθ，BC BA AD DC =++ 12AB AD AB =-++ 12AB AD =-+ 12a b =-+若，则，MN BC ⊥0MN BC ⋅= ∴，1142a b a b ⎛⎫⎛⎫-⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221384a a b b =-+⋅- 2213cos 84a a b b θ=-+- 0=又∵，，∴由基本不等式，0a >0b >∴. 228cos 6a b a bθ+= 866b a a b =+ ≥当且仅当，即.866b a a b = a =故答案为：. 14a b - 【点睛】关键点睛：解决本题第2空的关键，是用以为夹角的两个向量作为基底，将垂直DAB ∠关系转化为数量积的形式，再借助基本不等式求解.四、解答题17．已知的内角、、的对边分别为、、，且.ABC A A B C a b c sin sin sin A C Bc b c a+=--(1)求角的大小；A(2)若，且的周长. a =ABC S =A ABC A 【答案】(1)3A π=(2)6+【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的cos A A A 值；（2）利用三角形的面积公式可求得的值，利用余弦定理可求得的值，进而可求得的bc b c +ABC A 周长.【详解】（1）解：由，sin sin sin A C Bc b c a+=--利用正弦定理可得，化为，()()()a c c a b c b +-=-222c b a bc +-=所以，，，.2221cos 22c b a A bc +-==()0,A π∈ 3A π∴=（2）解：，a = 1sin 23ABC bc S π==A 8bc =由余弦定理可得，()222222122cos33a b c bc b c bc b c bc π==+-=+-=+-所以，，解得， ()2312381236b c bc +=+=⨯+=6b c +=因此，周长为.ABC A 6a b c ++=+18．如图，在正方体中，点为棱的中点.1111ABCD A B C D -E 1DD（1）求证：平面；1//BD ACE （2）求异面直线与所成角的余弦值. AE 1BD【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）连接BD 与AC 交于点O ，根据O ，E 为为中点，易得,再利用线面平行的1//OE BD 判定定理证明；（2）根据（1），由得到异面直线与所成的角，然后证得 ，得1//OE BD AEO ∠AE 1BD AC OE ⊥到是直角三角形求解.AOE △【详解】（1）如图所示：，连接BD 与AC 交于点O ， 因为O ，E 为为中点，所以,又平面，平面， 1//OE BD OE ⊂ACE 1BD ⊄ACE 所以平面；1//BD ACE （2）由（1）知，则异面直线与所成的角， 1//OE BD AEO ∠AE 1BD 在正方体中，1111ABCD A B C D -因为，且， 1,AC BD AC DD ⊥⊥1BD DD D = 所以平面，又因为平面， AC ⊥11B BDD OE ⊂11B BDD 所以 ，AC OE ⊥所以是直角三角形， AOE △设正方体的棱长为a ,则 ， ，AOOE =所以AE =所以，cos OE AEOAE ∠===【点睛】方法点睛：求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．19．如图，已知平面ABC ，，，1AA ⊥11//BB AA 3AB AC ==BC =1AA =1BB =点和分别为和的中点.E F BC 1AC(1)求证：平面；⊥AE 1BCB (2)求直线与平面所成角的大小. 11A B 1BCB 【答案】(1)证明见解析 (2) π6【分析】（1）根据平面，得到平面，即可得到平面平面，根1AA ⊥ABC 1BB ⊥ABC 1BCB ⊥ABC 据等腰三角形三线合一的性质得到，然后利用面面垂直的性质定理即可得到平面AE BC ⊥⊥AE ；1BCB （2）根据，点为中点得到，即可将直线与平面所成角转化为直11//AA BB M 1BB 11//AM A B 11A B 1BCB 线与平面所成角，由（1）的结论可得为直线与平面所成角，然后利用AM 1BCB AME ∠AM 1BCB 勾股定理得到，的长度，即可求直线与平面所成角. EM AE 11A B 1BCB 【详解】（1）∵平面，， 1AA ⊥ABC 11//BB AA ∴平面， 1BB ⊥ABC ∵平面， 1BB ⊂1BCB ∴平面平面， 1BCB ⊥ABC ∵，点为中点， AB AC =E BC ∴，AE BC ⊥∵平面平面，平面， 1BCB ABC BC =AE ⊂ABC ∴平面.⊥AE 1BCB（2）取中点，连接，，1BB M AM EM∵，为中点，11//AA BB 1AA =1BB =M 1BB ∴四边为平行四边形，∴，11AMB A 11//AM A B ∴直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，11A B 1BCB AM 1BCB ∵平面，⊥AE 1BCB ∴为直线与平面所成角，AME ∠AM 1BCB∵点为中点，，E BC BC =∴，， BE =2AE ==EM ==∴，所以， tan AME ∠==π0,2AME ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭π6AME ∠=所以直线与平面所成角为. 11A B 1BCB π620．如图，已知正方形的边长为2，点为正方形内一点.ABCD P（1）如图1（i ）求的值；AP BC PC BC ⋅+⋅ （ii ）求的值；AP AB BP BC CP CD DP DA ⋅+⋅+⋅+⋅ （2）如图2，若点满足.点是线段的中点，点是平面上动点，,M N 2,2DM MA BN NC == P MN Q且满足，其中，求的最小值.()21PQ PA PB λλ=+- R λ∈QM QN ⋅ 【答案】(1) （i ） 4 （ii ） 8 （2） 3136-【分析】(1) （i ）由向量的数量积的运算性质和向量的加法法则可得，结合数量积的定义可得答案. ()AP BC PC BC AP PC BC AC BC =⋅+⋅=⋅⋅+ （ii ）利用向量数量积的运算性质结合图形将原式化为，利用向量()()AP PC AB BP PD BC ⋅+++⋅ 的加法法则即化为，结合数量积的定义可得答案.AC AB BD BC ⋅+⋅ （2）以 为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，得出相应点的坐标，根据条A AB x AD y 件得出点的坐标，再由向量数量积的坐标公式可得答案.Q 【详解】（1）（i ）正方形的边长为2，则,. ABCD 45CAB CAD DBC ∠=∠=∠=︒AC BD = ()2cos 454AP BC PC BC AP PC BC AC BC AC AD ⋅+⋅+⋅=⋅===⨯︒=⋅ （ii ）AP AB BP BC CP CD DP DA ⋅+⋅+⋅+⋅ ()()AP AB CP CD BP BC DP DA =+⋅+⋅⋅+⋅ ()()AP AB PC AB BP BC PD BC =+⋅+⋅⋅+⋅ ()()AP PC AB BP PD BC =⋅+++⋅2cos 452cos 458AC AB BD BC =⋅+=⨯︒+⨯⋅︒= （2）以 为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系.A AB x AD y 由，则 2,2DM MA BN NC == 12,33AM AD BN BC == 所以, ()()()()0,02,0,2,2,0,2A B C D ，240,,2,,33M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点是线段的中点，则P MN ()1,1P 设，，， (),Q x y ()1,1PQ x y =-- ()11PA =-- ，()11PB =- ，由，即 ()21PQ PA PB λλ=+- ()()()()22,22,1,112,1x y λλλλλ--=--+--=--所以 ，解得，即 2212221x y λ-=-⎧⎨-=-⎩3212x y λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩31,22Q λ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 31,26QM λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 15,26QN λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 3115315,,26262236QM QN λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222213136236λλλ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭当时，的最小值为 12λ=QM QN ⋅ 3136-【点睛】关键点睛：本题考查向量的加法法则和数量积的运算，建立坐标系利用坐标法求解向量的数量积的最值，解答本题的关键是建立坐标系，根据条件得出点坐标，从而得出Q ，属于中档题. 222213136236QM QN λλλ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭⋅。

2023-2024学年天津市部分区高一下册期中数学试题一、单选题1．已知向量()2,2a = ，()1,1b =- ，则a b -=（）A ．()3,0B ．()3,1C ．()1,3D ．()1,2-【正确答案】C【分析】直接利用向量减法的坐标公式计算即可.【详解】()()21,211,3a b -=-+=故选：C2．已知棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积为（）A ．πB ．2πC ．4πD ．12π【正确答案】D【分析】根据题意可知，球直径为正方体的体对角线，求出求半径，代入球的表面积公式即可求解.【详解】设该球的半径为R ，由题意可知，该球的直径为棱长为2的正方体的体对角线，则2R ==R =则该球的表面积24π12πS R ==，故选：D.3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若1a =，2b =，c =C =（）A ．120︒B ．90︒C ．60︒D ．45︒【正确答案】A【分析】根据余弦定理即可求得答案.【详解】由余弦定理可得2221471cos 22122+-+-===-⨯⨯a b c C ab ，由于0180C << ，故120C = ，故选：A4．已知点()2,0P ，()1,1Q ，向量(),2EF λ= ，若0PQ EF ⋅=，则实数λ的值为（）A ．12B ．12-C ．2D ．1【正确答案】C【分析】根据向量坐标表示及向量数量积的坐标表示即得.【详解】由()2,0P ，()1,1Q ，可得()1,1PQ =-，又(),2EF λ= ，所以20PQ EF λ⋅=-+=，所以2λ=．故选：C ．5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a，b ，c ．若1a =，b =，π4B =，则A =（）A ．π6B ．π3C ．5π6D ．π6或5π6【正确答案】A【分析】由已知及正弦定理可求sin A ，利用大边对大角可知π4A B <=，从而得出结果．【详解】∵π1,4a b B ===，∴由正弦定理可得：sin 1sin 2a B Ab ==，a b < ，π4A B \<=，π6A ∴=.故选：A ．6．已知向量()1,2a =- ，()1,1b = ，则a 在b上的投影向量为（）A B ．()1,2-C ．22⎛ ⎝⎭D ．11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】D【分析】求出a b ⋅以及||b ，根据投影向量的含义即可求得答案.【详解】由题意向量()1,2a =- ，()1,1b = ，故121,||a b b ⋅=-+== 则a 在b 上的投影向量为11(1,1)(,22||||a b b b b ⋅⋅=），故选：D7．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，也称陀罗，图l 是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中A 是圆锥的顶点，B ，C 分别是圆柱的上、下底面圆的圆心，且1AB =，3AC =，底面圆的半径为1，则该陀螺的体积是（）A ．πB ．2πC ．7π3D ．10π3【正确答案】C【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式，可得答案.【详解】已知底面圆的半径1r =，由1,3AB AC ==，则2BC =，故该陀螺的体积221π7πππ2π333V BC r AB r =⋅+⋅⋅=+=.故选：C.8．已知向量(),1a m = ，()4,b m = ，若a 与b方向相反，则a b += （）AB C ．D ．5【正确答案】B【分析】根据向量共线的坐标表示求得m 的值，再根据向量模的坐标计算，可得答案.【详解】由题意向量(),1a m = ，()4,b m = ，a 与b方向相反，则240m -=且0m <，故2m =-，所以()2,1a =- ，()4,2b =- ，所以(2,1),a b a b +=-∴+ ，故选：B9．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知ABC 的面积为S ，24a b +=，()()sin sin sin 6c a b c A B C S +-++=，32CA CD CB =-，则CD 的最小值为（）A ．2B ．3C ．3D ．3【正确答案】D【分析】由()()sin sin sin 6c a b c A B C S +-++=及面积公式与正弦定理求得C ，由24a b +=得2ab ≤，由32CD CA CB =+平方结合二次函数求CD 的最小值.【详解】1sin 2S bc A =⋅ ，()(sin sin sin )3sin c a b c A B C bc A ∴+-++=⋅，由正弦定理得()()3a b c a b c ab +-++=，22()3a b c ab ∴+-=，222a b c ab ∴+-=，2221cos 22a b c C ab +-∴==，(0,π)C ∈ ，π3C ∴=.24a b +=≥ 2ab ∴≤，当且仅当22a b ==时取等号.32CD CA CB =+ ，222944CD CA CB CA CB ∴=++⋅ 22π44cos3b a ba =++⋅2242b a ab =++2(2)2b a ab =+-16212ab =-≥.CD ∴≥ 故选：D二、填空题10．i 是虚数单位，复数2i1i-=+______．【正确答案】13i22-【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】复数2i (2i)(1i)13i 13i 1i (1i)(1i)222----===-++-，故答案为.13i22-11．直线l 上所有点都在平面α内，可以用符号表示为______．【正确答案】l ⊂α【分析】根据线面位置关系的符号表示，可得答案.【详解】由题意直线l 上所有点都在平面α内，则直线l 在平面α内，故用符号表示为l ⊂α，故l ⊂α12．若()1,1A 、()2,1B -、(),C a b 三点共线，则2a b +=______．【正确答案】3【分析】分析可知//AB AC uu u r uuu r，利用平面向量共线的坐标表示可求得2a b +的值.【详解】因为()1,1A 、()2,1B -、(),C a b 三点共线，则//AB AC uu u r uuu r，且()1,2AB =-，()1,1AC a b =-- ，所以，()121b a -=--，整理可得23a b +=.故答案为.313．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，13AA =，则异面直线11AC 与1AD 所成角的余弦值为______．【正确答案】10【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出异面直线11AC 与1AD 所成角的余弦值.【详解】如图，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A 、()10,0,3D 、()11,0,3A 、()10,2,3C ，则()11,0,3AD =- ，()111,2,0A C =-，11111111110cos ,AD AD AD A C A C A C ⋅==⋅，因此，异面直线11A C 与1AD所成角的余弦值为10.故答案为.10三、双空题14．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知222a b c ab +-=，则C =______，若2c =，则ABC 外接圆的半径为______．【正确答案】π3【分析】根据余弦定理求出角C ；利用正弦定理求出外接圆半径即可求解.【详解】因为222a b c ab +-=，在ABC 中，由余弦定理可得，2221cos 22a b c C ab +-==，因为(0,π)C ∈，所以π3C =；若2c =，设ABC 外接圆的半径为R ，在ABC中，由正弦定理可得，2sin c R C =，解得R =故π315．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，13AE AC = ，则DE BE ⋅=______；若F 为线段BD 上的动点，则FE FB ⋅的最小值为______．【正确答案】49-18-【分析】建立平面直角坐标系，求得正方形各顶点坐标，利用向量的坐标运算求得,DE BE的坐标，根据数量积的坐标运算，求得DE BE ⋅ ；设(,),01DF DB λλλλ==-≤≤ ，表示出FE FB ⋅ 的表达式，结合二次函数性质求得FE FB ⋅的最小值.【详解】如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则(1,),(0,0),00(),,,11(1)A B D C ，∴(1,1)AC =，∵E 是对角线AC 上一点，且111(3,3)3AE AC == ，可得)1(3,13E ，∴2(1,)33DE =- ，1(,)332BE =- ，∴2214()()333391DE BE ⋅=⨯-+-⨯=- ；因为点F 为线段BD （含端点）上的动点，则设(,),01DF DB λλλλ==-≤≤,故(,1)F λλ-，所以12=(,)33FE λλ-- ，=(1,1)FB λλ-- ，故221231(,)(1,1)2312()3348FE FB λλλλλλλ⋅=--⋅--=-+=-- ，由于01λ≤≤，所以34λ=时，2312)48λ--（取到最小值18-，即FE FB ⋅ 的最小值为18-，故49-；18-四、解答题16．已知向量a ，b 满足2a = ，3b = ，a 与b 的夹角为2π3．(1)求a b +的值；(2)若()()2a b ka b +⊥-，求实数k 的值．【正确答案】7(2)35【分析】（1）将a b +平方求模长；（2）根据垂直关系的向量表示求解.【详解】（1）2πcos ,6cos 33a b a b a b ⋅=⋅==-，22224697a b a a b b ∴+=+⋅+=-+= ，a b ∴+（2）由()()2a b ka b +⊥- 得()()()()2222283290a b ka b k a k a b b k k +⋅-=+-⋅-=---= ，解得.35k =17．如图，三棱锥S ABC -的底面ABC 的侧面SAB 都是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，SD CD ⊥．(1)证明：BC ∥平面SDE ；(2)求三棱锥S ABC -的体积．【正确答案】(1)证明见解析(2)1【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）证明SD ⊥平面ABC ，求得SD 的长，根据三棱锥的体积公式即可求得答案.【详解】（1）因为,D E 分别是,AB AC 的中点，所以DE BC ∥，因为BC ⊄平面SDE ，DE ⊂平面SDE ，所以BC ∥平面SDE ；（2）因为SAB △是等边三角形，D 是AB 的中点，所以SD AB ⊥，因为SD CD ⊥，又,,AB CD D AB CD =⊂ 平面ABC ，所以SD ⊥平面ABC ，因为底面ABC 和侧面SAB 都是边长为2的等边三角形，所以2sin 60SD =⨯224ABC S =⨯=所以11133S ABC ABC V S SD -=⨯== .18．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c．已知3a =+c =2π3A =．(1)求C 的值；(2)求b 的值．【正确答案】(1)π4C =(2)b =【分析】（1）利用正弦定理求出sin C 的值，分析可知C 为锐角，即可求得角C 的值；（2）求出sin B 的值，利用正弦定理可求得b 的值.【详解】（1）解：在ABC中，3a =+c ，2π3A =，由正弦定理sin sin a cA C =可得)1sin sin 2c A C a==，因为2π3A =，则C 为锐角，故π4C =.（2）解：由（1）可知，2πππππ3412B AC =--=--=，所以，πππππππ1sin sinsin sin cos cos sin 1234343422224B ⎛⎫==-=-=⨯-⨯= ⎪⎝⎭，由正弦定理sin sin a b A B =可得(3sin 4sin 2a Bb A=19．如图，在长方形1111ABCD A B C D -中，2AB =，11AD AA ==．(1)求证：11B C BD ⊥；(2)求直线1AB 与平面11ABC D 所成角的正弦值．【正确答案】(1)证明过程见详解【分析】（1）根据长方体的性质得到11D C ⊥平面11BCC B ，进而得到1B C ⊥平面11ABC D ，利用线面垂直的性质进而得证；（2）记1B C 交1BC 于点O ，连接AO ，得到1B AO ∠为1AB 与平面11ABC D 所成的角，在直角三角形中进行求解即可.【详解】（1）在长方体1111ABCD A B C D -中， 111D C C C ⊥,1111D C B C ⊥,1111CC B C C = ，111,CC B C ⊂平面11BCC B ，∴11D C ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂ 平面11BCC B ，∴111B C D C ⊥，又11AD AA ==，可得11B C BC ⊥,1111BC C D C = ，111,BC C D ⊂平面11ABC D ，∴1B C ⊥平面11ABC D .1BD ⊂平面11ABC D ，∴11B C BD ⊥.（2）记1B C 交1BC 于点O ，连接AO ，由（1）得1B C ⊥平面11ABC D ，所以AO 为斜线1AB 在平面11ABC D 上的射影，1B AO ∠为1AB 与平面11ABC D 所成的角.在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =,11AD AA ==，在1Rt B AO ∆中，15AB =，11122B O B C ==11110sin 10B O B AO AB ∠==.∴直线1AB 与平面11ABC D 101020．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的分别为a ，b ，c ．向量)3,m a b = ，()sin ,cos n A B = ，且m n ∥．(1)求B 的值；(2)若2a =，7b ，求ABC 的面积【正确答案】(1)π3B =(2)332【分析】（13cos sin 0a B b A -=，结合正弦定理边化角以及同角三角函数关系即可求得答案；（2）由余弦定理可求得c ，利用三角形面积公式即可求得答案.【详解】（1）因为(3,)m a b = ，(sin ,cos )n A B = ，且//m n ，3cos sin 0a B b A -=，cos sin sin 0A B B A -=，又(0,π),sin 0A A ∈≠sin 0B B -=，从而tan B =因为0πB <<，所以π3B =.（2）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，而2a =,b ,π3B =，得2742c c =+-，即2230c c --=，因为0c >，所以3c =，故ABC 的面积11sin 2322S ac B ==⨯⨯。

2022-2023学年天津高一下册期中数学试卷（含解析）一、单选题1．（3分）下列说法中，正确的是（）A．三点确定一个平面B．过一条直线的平面有无数多个C．两条直线确定一个平面D．三条两两相交的直线确定三个平面2．（3分）已知复数，则（）A．z的虚部为1B．|z|＝2C．z2为纯虚数D．在复平面内对应的点位于第二象限3．（3分）一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A'B'O'，若O'B'＝2，则原图形△ABO的面积是（）A．1B．C．D．4．（3分）已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则等于（）A．B．C．D．5．（3分）已知＝1，的夹角为，是与向量方向相同的单位向量，则在向量上的投影向量为（）A．B．C．D．6．（3分）设复数z的共轭复数为，若2z+＝+2i，则z＝（）A．﹣1+2i B．1+2i C．1﹣2i D．7．（3分）已知正三棱锥P﹣ABC的底面边长为6cm，顶点P到底面ABC的距离是cm，则这个正三棱锥的侧面积为（）A．27cm2B．C．9cm2D．8．（3分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是（）A．若a＝2，b＝4，A＝30°，则B只有一解B．若a2+b2﹣c2＞0，则△ABC一定是锐角三角形C．若b cos C+c cos B＝b，则△ABC一定是等腰三角形D．若a cos A＝b cos B，则△ABC一定是等腰三角形9．（3分）如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若，则的最小值是（）A．2B．4C．D．二.填空题10．（3分）已知平面向量＝（3，﹣2），＝（2，λ），若⊥（），则λ＝．11．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝6，，BB1＝4，则长方体外接球的表面积为．12．（3分）若一个圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是．13．（3分）若直线a∥平面α，直线b∥平面β，且a∈β，b⊂α，则a，b的位置关系是，若已知α与β相交，则a，b的位置关系是．14．（3分）如图，已知棱长为1的正方体ABCD﹣EFGH，点P为棱CG的中点，点Q、R 分别在棱BF、DH上，且四边形AQPR为平行四边形，则四棱锥G﹣AQPR的体积为．15．（3分）在△ABC中，∠BAC＝60°，||＝2，＝2，||＝，则||＝，设（λ∈R），且＝4，则λ的值为．三、解答题16．已知复数z＝m2﹣5m+6+（m2﹣m﹣2）i（i为虚数单位）．（1）若z是纯虚数，求实数m的值；（2）若z＞0，求实数m的值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB中点，过A、N、D 三点的平面交PC于M．求证：（1）PD∥平面ANC；（2）M是PC中点．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各条棱长均为2，M，N分别为CC1，AB的中点．（1）求证：CN∥平面AB1M；（2）求异面直线CN与B1M所成角的余弦值．19．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量＝（a，b）与＝（cos A，sin B）平行．（1）求A；（2）若a＝，b＝2，求sin C的值．20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A+cos A＝0，c＝4，a＝2．（1）求A，b；（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．答案与试题解析一、单选题1．解：∵不在一条直线上的三点确定一个平面，∴A错误；∵过一条直线的平面有无数个，∴B正确；∵两条相交或平行直线确定一个平面，∴C错误；∵空间两两相交的三条直线确定一个平面或三个平面．∴D错误．故选：B．2．解：，则z的虚部为﹣1，，z2＝﹣2i为纯虚数，在复平面内对应的点位于第一象限．故选：C．3．解：因为三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，所以△ABO的底OB＝O′B′＝2，腰A′O′＝2，在△ABO中为直角三角形，且高OA＝2A′O′＝2×2＝4，所以直角三角形△ABO的面积是2×4＝4．故选：D．4．解：因为，所以＝3（），即＝3，所以＝＝4，则＝．故选：B．5．解：∵，，∴，，∴在方向上的投影向量为．故选：A．6．解：设z＝a+bi（a，b∈R），则＝a﹣bi，因为2z+＝+2i，所以2（a+bi）+（a﹣bi）＝+2i，整理得3a+bi＝+2i，由复数相等，可得，解得a＝，b＝2；所以z＝+2i．故选：D．7．解：由题意可作底面三角形的中心到底面三角形的边的距离为：＝cm，所以正三棱锥的斜高为：＝3cm，所以这个正三棱锥的侧面积为：3×＝27（cm2）．故选：A．8．解：对于A，根据正弦定理，可得sin B＝＝，结合b＞a可知B 有2解，故错误；对于B，△ABC中，∵a2+b2﹣c2＞0，∴角C为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故错误；对于C，若b cos C+c cos B＝b，sin B cos C+sin C cos B＝sin（B+C）＝sin A＝sin B，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故正确；对于D，若a cos A＝b cos B，则由正弦定理得2r sin A cos A＝2r sin B cos B，即sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A+2B＝180，即A＝B或A+B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故错误；故选：C．9．解：设＝λ，则＝+＝+λ＝+λ（﹣）＝λ+（1﹣λ）＝+m，∴，解得m＝λ＝．S△ABC＝||•||sin∠BAC＝||•||＝2，∴||•||＝8，||2＝（+）2＝+2+•＝||+||2+||•||cos∠BAC≥2+||•||＝||•||＝4．当且仅当||＝||时，即当||＝||时，等号成立．∴||的最小值为2．故选：A．二.填空题10．解：∵，，∴，∴．故．11．解：由题意可知，长方体的体对角线为其外接球的直径，设外接球的半径为R，则2R＝BD1＝＝8，∴R＝4，因此，该长方体的外接球的表面积为4πR2＝4π×42＝64π．故64π．12．解：可以设该侧面的正方形边长为A，＝A2则S侧面积全面积S＝A2+2π则圆柱的全面积与侧面积的比＝＝故13．解：直线a∥平面α，直线b∥平面β，且a∈β，b⊂α，则a，b的位置关系是平行或异面，若α与β相交，则a，b的位置关系是相交、平行或异面．故平行或异面；相交、平行或异面．14．解：∵V G﹣AQPR＝2V G﹣RQP＝2V R﹣PQG＝＝＝＝，∴四棱锥G﹣AQPR的体积为．故．15．解：因为＝2，所以点D为线段BC上靠近点C的三等分点，由三点共线定理可知＝+，上式左右同时平方得＝++，已知∠BAC＝60°，||＝2，||＝，所以＝++××2×cos60°，解得＝3；因为＝+，，所以＝（）•（）＝4，化简得﹣++（）＝4，因为||＝3，||＝2，∠BAC＝60°，所以﹣×32+×22+（﹣）×3×2×cos60°＝4，解得λ＝，故第一空：3；第二空：．三、解答题16．解：（1）若z是纯虚数，则，解得m＝3．（2）若z＞0，则，解得m＝﹣1．17．证明：（1）连结BD，AC，设AC∩BD＝O，连结NO，∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，在△PBD中，N是PB的中点，∴PD∥NO，又NO⊂平面ANC，PD⊄平面ANC，∴PD∥平面ANC．（2）∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵BC⊄平面ADMN，AD⊂平面ADMN，∴BC∥平面ADMN．∵平面PBC∩平面ADMN＝MN，∴BC∥MN，又N是PB的中点，∴M是PC的中点．18．证明：（1）取AB1的中点Q，连结NQ，MQ，∵N，Q分别是AB，AB1的中点，∴NQ，又M是CC1的中点，∴MC BB1，∴NQ MC，∴四边形NQMC是平行四边形，∴NC∥MQ，∵CN⊄平面AB1M，MQ⊂平面AB1M，∴CN∥平面AB1M．解：（2）取BB1中点R，连结CR，NR，∵M，R分别是CC 1，BB1的中点，∴CM B1R，∴四边形CMBR是平行四边形，∴CR∥B1M，∴∠RCM为异面直线CN与B1M所成角，∵△ABC是边长为2正三角形，∴CN＝，又三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，∴CR＝＝，NR＝＝，∴CN2+NR2＝CR2，∴∠RNC＝90°，∴cos＝，∴异面直线CN与B1M所成角的余弦值为．19．解：（1）向量＝（a，b）与＝（cos A，sin B）平行，∴a sin B＝b cos A，∴sin A sin B＝sin B cos A，∵sin B≠0，∴sin A＝cos A，∴tan A＝，∵0＜A＜π，∴A＝；（2）由正弦定理可得＝，∴sin B＝＝＝，∵a＞b，∴A＞B，∴cos B＝＝，∴sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝×+×＝．20．解：（1）△ABC中，sin A+cos A＝0，所以sin A+cos A＝0，即sin（A+）＝0，因为A∈（0，π），所以A+∈，所以A+＝π，解得A＝，又因为a＝2，c＝4，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即28＝b2+16﹣8b×（﹣），即b2+4c﹣12＝0，解得b＝﹣6（舍去）或b＝2，所以b＝2；（2）因为c2＝b2+a2﹣2ab cos C，所以16＝28+4﹣2×2×2×cos C，所以cos C＝，解得CD＝＝，所以CD＝BC，＝AB•AC•sin∠BAC＝×4×2×＝2，因为S△ABC＝S△ABC＝．所以△ABD的面积的面积为S△ABD。

第二学期期中五校联考高一数学一、选择题（本题共9小题，每小题4分，共36分）1.已知 ，其中为虚数单位，则（ ） i z -=-3i 1）（i =zAB ．5C ．2D2.已知向量若则（ ） ),,1(),2,3(x b a =-=,//b a =x A ．B ．C ．D ．322332-23-3.已知是夹角为60°（ ） b a ,-A ．7B ．13CD 4.已知a 、b 为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） αβ、A ．若，，则 B ．若，，，则 //a b b α⊂//a αa α⊂b β⊂//a b //αβC ．若，，，则D ．若，，则//αβa α⊂b β⊂//a b //αβa α⊂//a β5.在△ABC 中，已知，那么△ABC 一定是（ ） C C A A cos )sin(2sin +=A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形6.与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） a b 120a b -2aA ．3B ．C ．D ．a 3--a 37. 在中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若，则角的大小为ABC ∆6,34,4π===A b a B ()A. B.C.D.π3π3或2π32π3π68.若一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则正方体与这个球的表面积之比为（ ）A ．B ．C D 2π2π9.如图，在中，上一点，且满足ABC ∆CD P AD BAC 为,3==∠π） AC m AP ,3+=A B C D 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 若复数z 满足，则z 的虚部是______.(34i)1z ++=11.已知圆锥的底面半径是2，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为 .12.若一个圆柱和一个圆锥的底面周长之比为，圆柱的体积是圆锥体积的2倍，则圆柱的高与圆21锥的高的比为___________.13. 在中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若 ，，则∆ABC 6)(22+-=b c a 3π=A 的面积是.∆ABC 14. 一艘轮船沿北偏东28°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东32°方向上，经过10为.15. 如图，在平面四边形中，，ABCD ,,120AB BC AD CD BAD ∠⊥⊥=.若点为边上的动点，则的取值范围为 1AB AD ==E CD EA EB ⋅三、解答题（本大题共4小题，共60分）16. （本小题满分15分）已知．(4,3),(1,2)a b ==-(1)求与夹角的余弦值；a b(2)若，求实数λ的值．()(2)a b a b λ-⊥+(3)若,且、、三点共线,求的值. 2,AB a b BC a mb =-=+A B C m17. （本小题满分15分）在非等腰中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，且，，. ABC A 3a =4c =2C A =(1)求的值； cos A (2)求的周长； ABC A (3)求的值.πcos 26A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭18. （本小题满分15分）如图：在正方体中AB=2,为的中点.1111ABCD A B C D -M 1DD (1)求三棱锥N-ACD 的体积； (2)求证：平面；1BD A AMC (3)若为的中点，求证：平面平面. N 1CC AMC A 1BND19. （本小题满分15分）在中，角的对边分别为，已知.ABC A ,,A B C ,,a b c cos2cos2cos212sin sin A B C A B +-=-(1)求角的大小；C (2)若为锐角三角形，求的取值范围. ABC A sin sin sin A B C ++2022～2023学年度第二学期期中重点校联考高一数学参考答案一、选择题 1-5 ADCDC 6-9 BBAB二、填空题10．41112．1314．2 15．38[2116,3)三、解答题 16．解（1）因为，(4,3),(1,2)a b ==-所以，，（3分）4(1)322a b ⋅=⨯-+⨯= ||5a == ||b ==设与的夹角为，a bθ所以（5分） cos ||||a b a b θ⋅=== （2）因为， （7分）(4,32),2(7,8)a b a b λλλ-=+-+= 又，()(2)a b a b λ-⊥+所以，解得 （10分） ()()748320λλ++-=529λ=（3）由已知，，（12分）)4,9(2=-=b a AB )23,4(m m b m a BC +-=+=因为A 、B 、C 三点共线,所以．（15分）21-,0)4(4)23(9==--+m m m 17．解（1）在中，由正弦定理，，，ABC ∆sin sin sin abcA B C ==3a =4c =可得，34sin sin A C=因为，所以，即， （3分） 2C A =34sin sin 2A A =34sin 2sin cos A A A=解得．（4分）2cos 3A =（2）在中，由余弦定理，ABC ∆222–2cos a b c bc A =+得，解得或． （7分）216–703b b +=3b =73b =由已知互不相等，所以 ． a bc ，，73b =所以的周长为（9分）ABC ∆328（3）因为，所以， （10分） 2cos 3A =sin A =所以，（12分）sin 22sin cos A A A ==21cos 22cos 19A A =-=-所以 πππ11cos 2cos 2cos sin 2sin 66692A A A ⎛⎫⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（15分）18．解（1）V M−ABC =13S ∆ABC MD =13×12×2×2×1=23（4分）（2）证明：设，接，AC BD O = OM 在正方体中，四边形1111ABCD A B C D -ABCD 是正方形，是中点，O ∴BD 是的中点，，（7分）M1DD 1OM BD ∴∥平面平面1BD ⊄ ,AMC OM ⊂,AMC 平面；（9分）1BD ∴A AMC （3）证明：为的中点，为的中点，N 1CC M 1DD ，11,CN D M CN D M ∴∴=∥四边形为平行四边形，， （11分） ∴1CND M 1D N CM ∴∥又平面平面平面，（13分）MC ⊂ 1,AMC D N ⊄ 1,AMC D N ∴A AMC 由（1）知平面平面平面，1BD A 1111,,AMC BD D N D BD ⋂=⊂ 11,BND D N ⊂1BND 平面平面．（15分）∴AMC A 1BND 19．解（1）因为，cos2cos2cos212sin sin A B C A B +-=-所以，（3分） ()22212sin 12sin 12sin 12sin sin A B C A B -+---=-整理得，222sin sin sin sin sin A B C A B +-=由正弦定理得，（5分）222a b c ab +-=由余弦定理得， 2221cos 22a b c C ab +-==因为，所以． （7分）()0,πC ∈π3C =（2）2sin sin sin sin sin 3πA B C A A ⎛⎫++=+-⎪⎝⎭22sin sincos cos sin 3ππ3A A A =+-+3sin 2A A =（11分）6πA ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在锐角中，因为，所以（12分）ABC ∆π3C ={0<A <π20<2π3−A <π2，π6<A <π2所以，所以, π3<A +π<2π332<sin (A +π6)≤1所以, 32+32<3sin (A +π6)+32≤332所以的取值范围为．（15分）sin sin sin A B C ++(3+32,332]。

天津高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题（12小题，每题5分，共60分） (共12题；共60分)1. （5分） (2016高一下·霍邱期中) 数列0，，，，…的一个通项公式为（）A . an= （n∈N*）B . an= （n∈N*）C . an= （n∈N*）D . an= （n∈N*）2. （5分）已知点P是△ABC内一点，且+=6，则=（）A .B .C .D .3. （5分）设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则的值为（）A .B .C .D . 14. （5分）抛物线y2=4x的焦点为F，点A,B在抛物线上，且，弦AB中点M在准线l上的射影为M'，则的最大值为（）A .B .C .D .5. （5分）已知＝8，＝5，则的取值范围是（）A . [5,13]B . [3,13]C . [8,13]D . [5,8]6. （5分）在等差数列{an}中，n≥2，公差d＜0，前n项和是Sn ，则有（）A . nan＜Sn＜na1B . na1＜Sn＜nanC . Sn≥na1D . Sn≤nan7. （5分） (2016高一下·岳阳期中) 在△ABC中，D是BC的中点，| |=3，点P在AD上，且满足 =，则•（ + ）=（）A . 4B . 2D . ﹣48. （5分） (2017高一下·唐山期末) 一货轮航行至M处，测得灯塔S在货轮的北偏西15°，与灯塔相距80海里，随后货轮沿北偏东45°的方向航行了50海里到达N处，则此时货轮与灯塔S之间的距离为（）A . 70海里B . 10 129海里C . 10 79海里D . 10 89﹣40 3海里9. （5分）(2017·顺义模拟) 已知向量 =（1，）， =（﹣1，），则∠BAC=（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 120°10. （5分）等比数列的前n项和为Sn ，且成等差数列．若，则（）A . 7B . 8D . 1611. （5分）(2017·九江模拟) 设椭圆的左右交点分别为F1 ， F2 ，点P在椭圆上，且满足• =9，则| |•| |的值为（）A . 8B . 10C . 12D . 1512. （5分）如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，=2，则FE的值是（）A . -B . -C . -D . -二、填空题（4小题，每题5分，共20分） (共4题；共20分)13. （5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且=﹣若b=， a+c=4，则a的值为________14. （5分） (2016高一下·新余期末) 已知向量 =（2，3）， =（﹣1，2），若m + 与﹣2平行，则m等于________．15. （5分）已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a1=﹣3，S5=S10 ，则当Sn取到最小值时n的值为________16. （5分） (2016高一下·衡水期末) 在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB=3，BC=2，AC= ，则sin∠ABD 等于________．三、解答题（6小题，共70分） (共6题；共70分)17. （10分）(2018·淮北模拟) 如图，在中，，，且点在线段上．（Ⅰ）若，求长；（Ⅱ）若，，求的面积．18. （12分） (2018高一下·新乡期末) 如图，在中，，是的中点，设，.（1）试用，表示；（2）若，，且与的夹角为，求 .19. （12分） (2016高一下·双流期中) 如图，某观测站在港口A的南偏西40°方向的C处，测得一船在距观测站31海里的B处，正沿着从港口出发的一条南偏东20°的航线上向港口A开去，当船走了20海里到达D处，此时观测站又测得CD等于21海里，问此时船离港口A处还有多远？20. （12分）设数列{an}的前n项和为Sn ，点（n，）（n∈N+）均在函数y=3x+2的图象上．（1）求证：数列{an}为等差数列；（2）设Tn是数列{ }的前n项和，求使对所有n∈N+都成立的最小正整数m．21. （12分） (2018高一下·黑龙江期末) 在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足，1 求C的大小；22. （12分）在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．参考答案一、选择题（12小题，每题5分，共60分） (共12题；共60分) 1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题（4小题，每题5分，共20分） (共4题；共20分) 13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题（6小题，共70分） (共6题；共70分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、。

天津高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·大同模拟) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA+acos（B+C）=0，若，则a+b等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高一下·舒城期中) 等差数列{an}中，a1=1，a3+a5=14，其前n项和Sn=100，则n=（）A . 9B . 10C . 11D . 123. （2分）已知a,b为正实数，且，若对于满足条件的a,b恒成立，则c的取值范围为（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二上·高青期中) 已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=ax+by（a ＞0，b＞0）的最小值为2，则 + 的最小值为（）A . 2B . 4C .D .5. （2分）已知二次函数的导数，且的值域为，则的最小值为（）A . 3B .C . 2D .6. （2分）已知数列满足，，，若数列满足，则（）A .B .C .D .7. （2分）已知集合A={x|x2﹣ax﹣a﹣1＞0}，且集合Z∩CRA中只含有一个元素，则实数a的取值范围是（）A . （﹣3，﹣1）B . [﹣2，﹣1）C . （﹣3，﹣2]D . [﹣3，﹣1]8. （2分） (2016高二上·郑州期中) 在数列{an}中，若a1=﹣2，且对任意的n∈N*有2an+1=1+2an ，则数列{an}前10项的和为（）A . 2B . 10C .D .9. （2分） (2016高一下·长春期中) 在△ABC中，已知c= ，b=1，B=30°，则A等于（）A . 30°B . 90°C . 30°或90°D . 60°或120°10. （2分）已知数列{an}的通项公式是an=n2+2，则其第3、4项分别是（）A . 11，3B . 11，15C . 11，18D . 13，1811. （2分） (2017高一下·双鸭山期末) 在中，若，则的形状是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 不能确定12. （2分）已知1既是与的等比中项，又是与的等差中项，则的值是（）A . 1或B . 1或C . 1或D . 1或二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·江阴期中) 在△ABC中，角A，B，C成等差数列，对边分别为a，b，c，且3ac+b2=25，则边b的最小值为________．14. （1分）若等比数列的首项为1，公比为q，则它的前n项和可以用n，q表示成 =________．15. （1分） (2020高一上·南开期末) 设，使不等式成立的的取值范围为________.16. （1分） (2017高二下·徐州期末) 某种平面分形如图所示，以及分形图是有一点出发的三条线段，二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发在生成两条线段，…，依次规律得到n级分形图，那么n级分形图中共有________条线段．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2018高一上·三明期中) 已知关于的不等式．（1）若时，求不等式的解集；（2）当为常数时，求不等式的解集．18. （10分） (2017高二下·晋中期末) 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn ，且满足an2﹣2Sn=2﹣an（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn．19. （10分）(2016·静宁模拟) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1+ = ．（1）求角A的大小；（2）若函数f（x）=2sin2（x+ ）﹣ cos2x，x∈[ ， ]，在x=B处取到最大值a，求△ABC的面积．20. （5分） (2016高二上·晋江期中) 已知等差数列{an}满足a3=7，a5+a7=26，数列{an}的前n项和为Sn ．（Ⅰ）求an；（Ⅱ）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn ．21. （10分） (2017高一下·南京期末) 某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画．如图，该电梯的高AB为4米，它所占水平地面的长AC为8米．该广告画最高点E到地面的距离为10.5米．最低点D到地面的距离6.5米．假设某人的眼睛到脚底的距离MN为1.5米，他竖直站在此电梯上观看DE的视角为θ．（1）设此人到直线EC的距离为x米，试用x表示点M到地面的距离；（2）此人到直线EC的距离为多少米，视角θ最大？22. （15分） (2017高一下·黄冈期末) 已知曲线f（x）= （x＞0）上有一点列Pn（xn ， yn）（n∈N*），过点Pn在x轴上的射影是Qn（xn ， 0），且x1+x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2．（n∈N*）（1）求数列{xn}的通项公式；（2）设四边形PnQnQn+1Pn+1的面积是Sn，求Sn；（3）在（2）条件下，求证： + +…+ ＜4．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。

一、单选题1．下面关于平面向量的描述不正确的有（ ） A ．共线向量是在一条直线上的向量B ．起点不同但方向相同且模相等的向量是相等向量C ．向量与向量长度相等CDDC D ．两个非零向量，若，则 ,a b a b a b +=- a b ⊥【答案】A【分析】对于A ，由共线向量的定义可判断；对于B ，由相等向量的定义可判断；对于C ，由相反向量的定义可判断；对于D ，由两边平方得，即可判断. ||||a b a b +=- 0a b ⋅=【详解】对于A ，共线向量所在的直线平行或重合，A 错误；对于B ，根据相等向量的定义可知，起点不同但方向相同且模相等的向量是相等向量，B 正确；对于C ，向量与向量是相反向量，长度相等，C 正确；CDDC 对于D ，两个非零向量，若，则两边平方得,a b ||||a b a b +=- 22()()a b a b +=- 所以，所以，即，D 正确.222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+0a b ⋅= a b ⊥ 故选：A2．已知复数满足，给出下列四个命题其中正确的是（ ） z ()i 12z -=A ． B ．的虚部为C ．D ．2z =z 1-1i z =+22i z =-【答案】B【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可逐项判断. z 【详解】∵，∴，故z 的虚部为， ()i 12z -=22(i 1)1i 1(i 1)(i 1)z i --===----⋅--1-则，，，所以B 正确，A ，C ，D 不正确. ||2z ==≠1i z =-+()221i 2i z =--=故选：B.3．以下说法正确的是（ ）①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体． A ．①②④⑥ B ．②③④⑤C ．①②③⑥D ．①②⑤⑥【答案】C【分析】根据棱柱（直棱柱、平行六面体、多面体）、棱锥（正棱锥）的结构特征判断各项的正误.【详解】①棱柱的两个底面平行且侧棱两两相互平行，故侧面是平行四边形，故正确； ②平行六面体是各面都为平行四边形的六面体，而长方体是各面都为矩形的平行六面体，故正确；③直棱柱是侧棱与底面垂直的棱柱，显然长方体的侧棱与底面都垂直，故为直棱柱，故正确； ④底面是正多边形且各侧面为全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥，故错误； ⑤底面为长方形的直四棱柱是长方体，故错误； ⑥四棱柱、五棱锥均有六个面，都是六面体，正确. 故选：C4．在平行四边形ABCD 中，，，则（ ） ()1,2AC = ()3,2BD =- AD = A ． B ．C ．D ．()1,2-()2,4-()1,2-()2,4-【答案】A【分析】根据平行四边形的性质，结合平面向量线性运算坐标表示公式进行求解即可. 【详解】设该平行四边形的对角线的交点为， O ，()1113,1,11,22222AD AO OD AC BD ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A5．在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则ABC A ()42cos 1,sin 5a c B C =+=sin B =（ ） A ．B ．C ．D ．18252425-1825-2425【答案】D【分析】运用正弦定理与和差公式可得，根据角的范围可得，再结合倍角()sin sin B C C -=2B C =正弦公式即可求解.【详解】因为，由正弦定理得：， ，()2cos 1a c B =+()sin sin 2cos 1A C B =+()πA B C =-+ ，即 ，()()sin sin 2cos 1B C C B ∴+=+sin cos cos sin sin B C B C C -=即，()sin sin B C C -=又 ，所以 ，0π,0πB C <<<<ππB C -<-<所以或，得或（舍）， B C C -=πB C C -=-2B C =B π=又 ，， ，π0π,2,02B B C C <<=∴<<4sin 5C =3cos 5C ==所以 . 24sin sin 22sin cos 25B C C C ===故选：D.6．在中，，点D 为边BC 上靠近B 的三等分点，则的值为ABC A π1,4,3AB AC BAC ==∠=AD BC ⋅ （ ） A ． B ．C ．D ．4163-1634-【答案】B【分析】利用、表示向量、，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.ABAC AD BC AD BC ⋅ 【详解】如下图所示：，()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ 由平面向量数量积的定义可得，π1cos 14232AB AC AB AC ⋅=⋅=⨯⨯= 因此，()()()22112233AD BC AB AC AC AB AC AB AC AB ⋅=+⋅-=+⋅- . ()22116422133=⨯+-⨯=故选：B.7．如图，在平行四边形中，、分别为、上的点，且，连接、ABCD E F AB AD 45AE AB =AC 交于点，若，则点在上的位置为EF P 411AP AC =F ADA ．边中点ADB ．边上靠近点的三等分点 AD DC ．边上靠近点的四等分点 AD D D ．边上靠近点的五等分点 AD D 【答案】B【分析】设，可得出，由，并将用表示，AF xAD =u u u r u u u r 1AD AF x =u u u r u u u r ()441111AP AC AB AD ==+u u u r u u u r u u u r u u u r AB AE将用表示，利用、、三点共线求出的值，即可得出点在边上的位置.AD AFE PF x F AD 【详解】设，可得出，，.AF xAD =u u u r u u u r1AD AF x =u u u r u u u r 45AE AB =u u u r u u u r Q 54AB AE ∴=u u u r u u u r ，()444515411111141111AP AC AB AD AE AF AE AF x x ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q 、、三点共线，，解得，即， E P F 5411111x ∴+=23x =23AF AD =u u u r u u u r 因此，点在边上靠近点的三等分点. F AD D 故选：B.【点睛】本题考查平面向量的基本定理与线性运算，解题的关键就是利用三点共线结论求出参数的值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8．如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若ABC A ，点M 为线段上的动点，则的最小值为（ ）2,1AD BD ==CE MA MC ⋅A ．B ．C ．D ．254-25162516-254【答案】C【分析】根据题意结合余弦定理求得，从而可求得，设1,2,AE CE ==AC •5CA CE =，则，利用二次函数的性质即可求解. ,01CM CE λλ=≤≤2()45MA MC CA CM CM λλ⋅=--⋅=- 【详解】因为是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形， ABC A 又，2,1AD BD ==1,2,AE CE ∴==AC ==则，即，222cos 52CE CA AE CE CA ACE +-⨯⨯∠==•5CA CE = 设，,01CM CE λλ=≤≤则()MA MC CA CM CM ⋅=--⋅= 22245CE CA CE λλλλ-⋅=- 25254816λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭又，则时，取最小值.01λ≤≤58λ=•MA MC 2516-故选：C二、填空题9．若是虚数单位，复数________. i 313i2i +=-【答案】/1i +1i +【分析】利用复数乘法和除法法则即可求解.【详解】. ()()()()2313i 2i 13i 13i 2i 6i 3i 55i 1i 2i 2i 2i 2i 55+⨯-++-+-+=====+-++⨯-故答案为：.1i +10．如图，正方体的棱长为2，E 是侧棱的中点，则平面截正方体1111ABCD A B C D -1AA 1B CE 所得的截面图形的周长是________.1111ABCD A B C D -【答案】【分析】为中点，则截面图形为梯形，利用勾股定理求各边的长，可得周长. F AD 1B CFE 【详解】为中点，连接，F AD 1,,EF FC A D正方体中，，，则四边形为平行四边形， 11//A B DC 11=A B DC 11A B CD 有，，11//A D B C 11A D B C =为中点，是的中点，则，得，F AD E 1AA 1//EF A D 1//EF B C 则平面截正方体所得的截面图形为梯形， 1B CE 1111ABCD A B C D -1B CFE其中， 1B C ==EF ==1C E F B ===则梯形的周长为 即所得的截面图形的周长是 1B CFE +故答案为：+11．已知点，若向量与同向，A 的坐标为________. ()6,5B AB()2,3a = AB = 【答案】()2,1-【分析】设，则，，则， ，解得，得(),A x y AB a λ=0λ>()()6,52,3x y λλ--=AB a λ= 2λ=到答案.【详解】设，则，，(),A x y AB a λ=0λ>则，故，()()6,52,3x y λλ--=6253x y λλ=-⎧⎨=-⎩又因为， AB a λ===2λ=故，则.21x y =⎧⎨=-⎩()2,1A -故答案为：.()2,1-12．已知a 、b 、c 分别为的三个内角A 、B 、C 的对边，，且ABC A 2a =，则面积的最大值为______．()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-ABC A【分析】先求出角的大小，由，考虑余弦定理建立的方程，再由基本不等式求A 1sin 2S bc A =,b c 的最大值.bc 【详解】解析：因为， ()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-根据正弦定理可知，即， (a b)()(c b)a b c +-=-222b c a bc +-=由余弦定理可知，又，故，1cos 2A =(0,π)A ∈π3A =又因为，所以，2a =224b c bc +-=（当且仅当时取等号），即 2242b c bc bc bc bc =+-≥-=b c =4bc ≤所以11sin 422S bc A =≤⨯=ABC A13．三棱锥的顶点都在球O 的球面上，且，若三棱锥-P ABC π212,6AB AC ABC ==∠=-P ABC 的体积最大值为108，则球O 的表面积为________. 【答案】192π【分析】解三角形知为直角三角形，求出外接圆半径，圆心、球心、P 在一条直线上时棱锥体积最大，求出此时棱锥高，再由求出球的半径即可. 222()R h R r -+=【详解】在中，由正弦定理得：，解得， ABC A sin sin AC ABB C=sin 1C =，90C ∴=︒外接圆的半径，ABC ∴A 6r =当三棱锥体积最大时，P 到的距离最大，ABC A 即P 点为AB 中点与球心连线延长线与球的交点，且此连线垂直于平面ABC ，设三棱锥的高为h ，则，解得， 1110823AC BC h ⨯⨯⨯=h =设球的半径为R ，则，解得222()R h R r -+=R =.24π192πS R ∴==故答案为：192π14．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：米），三角高程测量法是珠穆朗玛峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影满足，由点C 测,,A B C '''45,60A C B A B C ''''''∠=∠= 得点B 的仰角为，与的差为100，由点B 测得点A 的仰角为，则A ，C 两点到水平15 BB 'CC '45 面的高度差为________米.A B C '''AA CC ''-【答案】)1002【分析】过C 作，过B 作，由已知条件求出BD 、AE ，所求高度差即为CD BB ⊥'BE AA '⊥.BD AE +【详解】过C 作，过B 作，如图所示，CD BB ⊥'BE AA '⊥已知与的差为100，则，BB 'CC '100BD =又，则 ，， 15BCD ∠=100tan15CD ︒=()tan 60tan 45tan15tan 60451tan 60tan 45-=-==+⋅则，100(2B C CD ''===又，，则，45A C B ∠'''= 60A B C '∠''= 75C A B '''∠= 由正弦定理，， sin sin B C A B C A B A C B ''''=''''''∠∠sin 45A B ︒''= ()sin 75sin 3045sin 30cos45cos30sin 45=+=+=即100A B ''==+又，所以 ， 45ABE ∠= 100AEBE A B ''===+则A ，C 两点到水平面的高度差A B C ''' （米）.)1001002001002AA CC BD AE ''-=+=++=+=故答案为： ．)1002+三、解答题15．在中，内角所对的边分别为，且. ABC A ,,A B C ,,a b c 222sin sinsin cos cos A A B B C +=-(1)求角的大小；C (2)若，的面积. sin 2sin A B =c =ABC A 【答案】(1) 2π3【分析】（1）先将条件中的等式全部变为正弦，然后利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求角即可；（2）先利用正弦定理将转化为的关系，再结合（1）中的条件求出，最后利sin 2sin A B =,a b ,a b 用三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）,()2222222sin sin sin cos cos 1sin 1sin sin sin A A B B C B C C B +=-=---=- 由正弦定理得，即∴222a ab c b +=-222a b c ab +-=-，又，2221cos 222a b c ab C ab ab +--∴===-()0,πC ∈；2π3C ∴=（2），sin 2sin A B = 由正弦定理得①，∴2a b =又②，227a b ab +-=-由①②得，2,1a b ==. 112πsin 21sin 223ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯=A16．已知点为正方形所在平面外一点，，、分别为P ABCD 13PA PB PC PD AB =====M N PA 、上的点，且. BD 58PM BN MA ND ==(1)求证：平面； //MN PBC (2)求线段的长. MN 【答案】(1)证明见解析 (2) 7MN =【分析】（1）过作的平行线交于，过作的平行线交于，连接，证明M AB PB E N CD BC F EF 出四边形是平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； MEFN //ME NF （2）过作的平行线交于，计算出、的长以及的值，利用余弦定理可求E PC BC G EG FG EGF ∠得，即可得出的长.EF MN 【详解】（1）证明：过作的平行线交于，过作的平行线交于，连接M AB PB E N CD BC F EF ，因为，所以，， ::5:8PM MA BN ND ==::5:13ME AB NF CD ==因为四边形是正方形，则，所以，， ABCD AB CD =ME NF =因为，，，所以，， //ME AB //NF CD //AB CD //ME NF 所以，四边形是平行四边形，则，MEFN //MN EF 因为平面，平面，所以，平面. MN ⊄PBC EF ⊂PBC //MN PBC （2）解：过作的平行线交于，E PC BC G因为，，且，， ::5:8PM MA BN ND ==13PB BC ==//ME AB //NF CD 所以，，则，同理可得， 513PE PM PB PA ==5PE =5BF =因为，所以，，则， //EG PC 513CG PE BC PB ==5CG =所以，，则，1358BG BC CG =-=-=3FG BG BF =-=由且可得， 813EG BG PC BC ==13PC =8EG =因为，则为等边三角形，则，13PB PC BC ===PBC A 60EGF PCB ∠=∠= 由余弦定理得， 2222212cos 83283492EF EG FG EG FG EGF =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=所以，，故.7EF =7MN EF ==17．如图所示，某市有一块空地，其中，，．当地政府OAB A 2km OA =60OAM ∠=︒90AOB ∠=︒计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，，都在边OMN A M N AB 上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游30MON ∠=︒OAM △OBN △乐场．为安全起见，需在的周围安装防护网．设．OAN A =AOM θ∠（1）当时，求此时防护网的总长度；1km AM =（2）若，问此时人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的多少倍？15θ=︒OMN A OAM △（3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面OMN A OMN A 积最小？最小面积是多少？【答案】（1）；（23）当时，最小值为． 6km 15θ=︒OMN S △26-【分析】（1）在三角形中，由余弦定理得的值，利用勾股定理可得三角形是直角OAM OM OAM 三角形，可求的值，求得是等边三角形，即可得解． θOAN A（2）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求为顶点时，MN AM=O OMN A 和的高相同，根据三角形的面积公式即可求解．OAM △（3）由已知利用正弦定理求出，，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求OM ON 的面积关于的函数，利用正弦函数的性质即可求解其最小值． OMN A θ【详解】（1）在三角形中，由余弦定理得，OAMOM ==所以，222314OM AM OA +=+==所以三角形是直角三角形，OAM 所以，．90OMA ∠=︒30θ=︒由于，所以，30MON ∠=︒60AON A ∠=∠=︒所以是等边三角形，周长为，OAN A 236⨯=也即防护网的总长度为．6km（2）时，在三角形中，由正弦定理得15θ=︒OAM ， sin 60sin 60sin15sin15OM AM AM OM ⋅︒=⇒=︒︒︒在三角形中，， OMN 180********ONA ∠=︒-︒-︒-︒=︒由正弦定理得， ． sin 30sin 60sin 30sin 30sin 75sin 75sin 75sin15MN OM OM AM MN ⋅︒⋅︒⋅︒=⇒==︒︒︒︒︒所以 sin 60sin 30sin 60sin 30sin 75sin15cos15sin15MN AM ︒⋅︒︒⋅︒==︒︒︒︒sin 60sin 302sin 601sin 302︒⋅︒==︒=︒以为顶点时，和的高相同，O OMN A OAM △所以， OMN OAM S MNS AM=△△ONN OAM S =A A 即人工湖用地的面积是堆假山用地OMN A OAM △（3）在三角形中，OAN ，180603090ONA θθ∠=︒-︒-︒-=︒-由正弦定理得，()222sin 60sin 60sin 90cos cos ON ON θθθ︒==⇒=︒︒-在三角形中，， OAM 180603090ONA θθ∠=︒-︒-︒-=︒-由正弦定理得 ()()22sin 60sin 18060sin 60OM θθ==︒︒-︒-+︒ ()2sin 60sin 60OM θ⋅︒⇒==+︒所以 1sin 302OMN S OM ON =⋅⋅⋅︒△()13144sin 60cos θθ==⋅+︒⋅ ()314sin cos 60cos sin 60cos θθθ=⋅︒+︒⋅3344==3342==．332==由于，，所以当，时， =AOM θ∠060θ︒<<︒26090θ+︒=︒15θ=︒最小值为．OMN S△2336==-。