高考数学
§3.8函数模型及函数的综合应用
考点清单
考点 函数模型及函数的综合应用
1.几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型
f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0,n≠0)
知能拓展
考法一 解函数应用题的方法步骤
例1 (1)某人根据经验绘制了2019年春节前后,从12月21日至1月8日自己
种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象,如图所示,则
此人在12月26日大约卖出了西红柿
千克.
(2)牧场中羊群的最大蓄养量为m只,为保证羊群的生长空间,实际蓄养量不 能达到最大蓄养量,必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增长量y只和实 际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0).
联系
存在一个x0,当x>x0时,有logax<xα<ax
3.“对勾”函数的性质
函数f(x)=x+ a (a>0).
x
(1)该函数在(-∞,- a ]和[ a ,+∞)上单调递增,在(- a ,0)和(0, a )上单调递减.
(2)当x>0时,x= a 时取最小值2 a ;
当x<0时,x=- a 时取最大值-2 a .
时,ymax=
km 4
,所以0<
m 2
+
km 4
<m,解得-2<k<2.又因为k>0,所以0<k<2.
答案 (1)190
9
方法总结 一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略 单一考查一次函数或二次函数模型.解决此类问题应注意三点: ①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注 意函数的定义域,否则极易出错; ②确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法; ③解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.
=15-2 (6-x)
9 6-x
≤15-12=3,
当且仅当x=3时取等号.故Tmax=3,此时x=3.
(ii)当1≤c<3时,由T'= 2x2 -24x 54 = 2(x-3)(x-9) >0知,函数T=9x-2x2 在[1,c]上
(6-x)2
(6-x)2
6-x
递增,∴当x=c时,Tmax=
9c-2c2 6-c
(2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理不重不漏;
(3)分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值.
2.函数y=ax+ b 模型的应用
x
(1)明确对勾函数是由正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b 叠加而成的;
例2 某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会 产生一些次品,根据经验知道,其次品率P与日产量x(万件)之间满足关系:
P=
1 6-x
,1
2 3
,x
c
x
c,
(其中c为小于6的正常数).
(注:次பைடு நூலகம்率=次品数/生产量,如P=0.1表示每生产10件产品,有1件为次品,其
余为合格品)
已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1
万元,故厂方希望定出合适的日产量.
(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的
函数;
(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?
解析
(1)当x>c时,P=
2 3
,∴T= 1
3
x·2-2
3
x·1=0.当1≤x≤c时,P=
4.解函数应用题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数 学知识建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:
“对勾”函数模型
f(x)=x+a (a>0)
x
2.三种增长型函数模型的性质比较
函数性质 在(0,+∞)上的增减性 增长速度
y=ax(a>1) 增函数 越来越快
y=logax(a>1) ① 增函数 越来越慢
y=xα(α>0) ② 增函数 相对平稳
图象的变化
随x值的增大图象与 随x值的增大图象与x轴 随α值变化而不同 ③ y轴 接近于平行 接近于④ 平行
,综上,若3≤c<6,则当日产量为3万件时,可获得最
大利润;若1≤c<3,则当日产量为c万件时,可获得最大利润.
方法总结 1.解决分段函数模型问题应关注以下三点:
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不
同的关系式构成,如出租车车费与路程之间的关系,应构建分段函数模型求
解;
m
解析 (1)前10天满足一次函数关系,设为y=kx+b,k≠0,将点(1,10)和点(10,3
0)代入函数解析式得
10 30
k b, 10k
b,
解得k=
20 9
,b=
70 9
,所以y=
20 9
x+
70 9
,则当x=6
时,y=190 .
9
(2)①根据题意,由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则蓄养率为 x ,故
①写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域; ②求羊群年增长量的最大值; ③当羊群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.
解题导引 (1)根据图象信息,确定函数解析式. (2)由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则蓄养率为 x ,故空闲率为1-
m
x .建立函数模型后,利用函数的最值求羊群年增长量的最大值.
m
空闲率为1-
x m
,由此可得y=kx1-
x m
(0<x<m);
②由①,得y=-
k m
(x2-mx)=-
k m
x-
m 2
2
+
km 4
.
即当x= m 时,y取得最大值 km ;
2
4
③由题意知为给羊群留有一定的生长空间,则有实际蓄养量与年增长量的
和小于最大蓄养量,即0<x+y<m.
因为当x=
m 2
1 6-x
,
∴T=1-
1 6-x
1
·x·2-6-x
9x-2x2
·x·1= 6-x
.综上,每天的盈利额T(万元)与日产量x(万件)
9x-2x2
的函数关系为T= 6-x
,1
x
c,
0,x c.
(2)由(1)知,当x>c时,每天的盈利额为0万元,∴1≤x≤c.
(i)当3≤c<6时,T=
9x-2x2 6-x
