佛山市2018届高三教学质量检测(一)文科数学(含答案)(2018.01)

广东省佛山一中2018届高三（上）11月月考数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数（i为虚数单位），则复数z的实部与虚部之和为（）A．5 B．3 C．2+i D．4+i2．（5分）已知，则a、b、c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a3．（5分）欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径2百米，中间有边长为1百米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）《九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m的值为35，则输入的a的值为（）A．4 B．5 C．7 D．115．（5分）在等差数列{a n}中，2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则a6=（）A．8 B．6 C．4 D．36．（5分）已知，则的值等于（）A．B．C．D．7．（5分）设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α8．（5分）函数f（x）=x2﹣（）x的大致图象是（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，直线y=与函数f（x）的图象的两个相邻交点的距离为，则（）A．f（x）在（0，）上单调递减B．f（x）在（，）上单调递减C．f（x）在（0，）上单调递增D．f（x）在（，）上单调递增10．（5分）某几何体的正视图和侧视图如图（1）所示，它的俯视图的直观图是A'B'C'，如图（2）所示，其中O'A'=O'B'=2，，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．11．（5分）设椭圆+=1的左右交点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足•=9，则||•||的值为（）A．8 B．10 C．12 D．1512．（5分）△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且的值是（）A．3 B．C．D．1二、填空题：每题共4小题，每小题5分．13．（5分）设向量，，且，则=．14．（5分）已知A，B，C，D是球面上不共面的四点，AB=AC=，平面ABC⊥平面BCD，则此球的体积为．15．（5分）已知数列{a n}满足ln a1+=2n，则数列{a n}的前项的乘积为．16．（5分）若对任意的x∈D，均有g（x）≤f（x）≤h（x）成立，则称函数f（x）为函数g（x）到函数h（x）在区间D上的“任性函数”．已知函数f（x）=kx，g（x）=x2﹣2x，h（x）=（x+1）（ln x+1），且f（x）是g（x）到h（x）在区间[1，e]上的“任性函数”，则实数k的取值范围是．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）如图，已知几何体的底面ABCD为正方形，AC∩BD=N，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2EC，EC∥PD．（1）求证：BE∥平面P AD（2）求异面直线BC与EN所成角的余弦值．18．（12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2015年8月某日某省x个监测点数据统计如下：（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）在空气污染指数分别为50～100和150～200的监测点中，用分层抽样的方法抽取5个监测点，从中任意选取2个监测点，事件A“两个都为良”发生的概率是多少？19．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2b=a sin B+b cos A，c=4．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若D是BC的中点，AD=，求△ABC的面积．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；（Ⅱ）求四棱锥A1﹣BB1C1C的体积．21．（12分）已知函数f（x）=，g（x）=ln x，其中e为自然对数的底数．（1）求函数y=f（x）g（x）在x=1处的切线方程；（2）若存在x1，x2（x1≠x2），使得g（x1）﹣g（x2）=λ[f（x2）﹣f（x1）]成立，其中λ为常数，求证：λ＞e；（3）若对任意的x∈（0，1]，不等式f（x）g（x）≤a（x﹣1）恒成立，求实数a的取值范围．选做题（共10分）请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（10分）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），当t=﹣1时，对应曲线C1上一点A且点A关于原点的对称点为B，以原点O为极点，以x轴为正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=．（1）求A，B两点的极坐标；（2）设P为曲线C2上动点，求|P A|2+|PB|2的最大值．23．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|，f（x）﹣m≥0恒成立．（1）求实数m的取值范围；（2）m的最大值为n，解不等式|x﹣3|﹣2x≤n+1．【参考答案】一、选择题1．B【解析】∵=，∴复数z的实部为2，虚部为1，实部与虚部之和为3．故选：B．2．A【解析】∵c=log330＞log39=2，a=log23∈（1，2），b=∈（0，1）．∴c＞a＞b．故选：A．3．C【解析】∵S正=1，S圆=π∴P=，故选：C．4．A【解析】起始阶段有m=2a﹣3，i=1，第一次循环后m=2（2a﹣3）﹣3=4a﹣9，i=2，第二次循环后m=2（4a﹣9）﹣3=8a﹣21，i=3，第三次循环后m=2（8a﹣21）﹣3=16a﹣45，i=4，第四次循环后m=2（16a﹣45）﹣3=32a﹣93，跳出循环，输出m=32a﹣93=35，解得a=4，故选：A5．D【解析】∵等差数列{a n}中，2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴2（a1+a1+2d+a1+4d）+3（a1+7d+a1+10d）=36+3（a1+7d+a1+9d）=36，∴12a1+60d=12（a1+5d）=36，∴a6=a1+5d=3．故选：D．6．B【解析】∵，∴cos[π﹣（+2θ）]=﹣cos（+2θ）=﹣cos2（+θ）=﹣[1﹣2sin2（+θ）]=﹣，解得：sin2（+θ）=，∴=±．故选：B．7．D【解析】α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；n⊥α，n⊥β，⇒α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确故选D8．B【解析】由f（0）=﹣1可排除D，由f（﹣2）=4﹣4=0，f（﹣4）=16﹣16=0，可排A、C，故选B．9．C【解析】化简函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=sin（ωx+φ）∵f（x）是奇函数，∴φ=kπ，k∈Z．即φ=k．∵0＜φ＜π，∴φ=．又∵直线y=与函数f（x）的图象的两个相邻交点的距离为，可得周期T=，即，∴ω=4．∴f（x）的解析式为f（x）=sin（4x+），令2kπ4x++2kπ，单调递增．可得：+，k∈Z．∴C选项对．D选项不对．令2kπ+≤4x++2kπ，单调递减．可得：，k∈Z．∴A，B选项不对．故选C．10．C【解析】由俯视图的直观图可得原图形：为边长为4的等边三角形．可得原几何体为四棱锥P﹣ABC．其中PC⊥底面ABC．∴该几何体的表面积S=++=24．故选：C．11．D【解析】∵P是椭圆+=1一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，∴|PF1|+|PF2|=8，|F1F2|=4，•=9，即||•||cosθ=9，16=||2+||2﹣2||•||cosθ=（||+||）2﹣2|PF1|•|PF2|﹣18=64﹣2|PF1|•|PF2|﹣18=16，∴|PF1|•|PF2|=15，故选：D．12．D【解析】∵，∴AO是△ABC的边BC上的中线，∵O是△ABC外接圆的圆心∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形∵等腰△ABO中，||=||=1，=∴cos∠AOB==﹣，可得∠AOB=120°由此可得，∠B=30°，∠C=90°﹣30°=60°，且△ACO是边长为1的等边三角形∵Rt△ABC中，||=1，||=2∴•=||•||cos60°=1故选：D二、填空题13．2【解析】根据题意，向量，，若，则有1×m=4×（﹣2），解可得m=﹣8；即，则（﹣2）=（2，﹣4）；则==2；故答案为：2．14．【解析】由题意，AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，∵平面ABC⊥平面BCD，∴球心O在平面ABC中的射影为BC的中点O′．DO′==，设OO′=h，则=，∴h=，R=，∴球的体积为．故答案为．15．e n（n+1）【解析】∵数列{a n}满足ln a1+=2n，∴n≥2时，ln a1++…+=2（n﹣1），相减可得：=2，可得a n=e2n．n=1时，ln a1=2，可得a1=e2．∴数列{a n}的前项的乘积=e2+4+…+2n==e n（n+1）．故答案为：e n（n+1）．16．[e﹣2，2]【解析】若f（x）是g（x）到h（x）在区间[1，e]上的“任性函数”，则x∈[1，e]时，恒成立，即恒成立，即恒成立，若k≥x﹣2在区间[1，e]上恒成立，则k≥e﹣2；令，若在区间[1，e]上恒成立，则k≤v（x）min，，令u（x）=x﹣ln x，则u′（x）=1﹣，当x∈[1，e]时，u′（x）≥0恒成立，则u（x）=x﹣ln x在[1，e]上为增函数，u（x）≥u（1）=1恒成立，即≥0恒成立，故在[1，e]上为增函数，v（x）≥v（1）=2恒成立，故k≤2，综上可得：k∈[e﹣2，2]，故答案为：[e﹣2，2]三、解答题17．证明：（1）∵几何体的底面ABCD为正方形，∴AD∥BC，∵EC∥PD，AD∩PD=D，BC∩EC=C，AD，PD⊂平面P AD，BC、EC⊂平面BCE，∴平面P AD∥平面BCE，∵BE⊂平面BCE，∴BE∥平面P AD．解：（2）∵AC∩BD=N，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2EC，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，设EC=1，则B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），N（1，1，0），=（﹣2，0，0），=（1，﹣1，﹣1），设异面直线BC与EN所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线BC与EN所成角的余弦值为．18．解：（Ⅰ）∵，∵15+40+y+10=100∴y=35，，频率分布直方图如图所示（Ⅱ）在空气污染指数为50～100和150～200的监测点中分别抽取4个和1个监测点．设空气污染指数为50～100的4个监测点分别记为a，b，c，d；空气污染指数为150～200的1个监测点记为E．从中任取2个的基本事件分别为（a，b），（a，c），（a，d），（a，E），（b，c），（b，d），（b，E），（c，d），（c，E），（d，E）共10种，其中事件A“两个都为良”包含的基本事件为（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共6种，所以事件A“两个都为良”发生的概率是．19．解：（Ⅰ）∵2b=a sin B+b cos A，可得：2sin B=sin A sin B+sin B cos A，∴由于sin B≠0，可得：2=sin A+cos A，∴sin（A+）=1，∵A∈（0，π），可得：A+∈（，），∴A+=，解得：A=（Ⅱ）设BD=CD=x，则BC=2x，由于cos A==，可得：4x2=b2﹣4b+16，①∵∠ADB=180°﹣∠ADC，∴cos∠ADB+cos∠ADC=0，∵+=0，可得：2x2=b2+2，②∴联立①②可得：b2+4b﹣12=0，解得：b=2∴S△ABC=bc sin A==220．证明：（Ⅰ）设E为BC的中点，连接A1E，AE，DE，由题意得A1E⊥平面ABC所以A1E⊥AE，因为AB=AC，所以AE⊥BC故AE⊥平面A1BC由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE=B1B，从而DE∥A1A，DE=A1A，所以四边形A1AED为平行四边形故A1D∥AE，又因为AE⊥平面A1BC所以A1D⊥平面A1BC解：（Ⅱ）由，得，S △ABC=2，由，得，∴四棱锥A1﹣BB1C1C的体积为．21．解：（1）y=f（x）g（x）=，y′=，x=1时，y=0，y′=，故切线方程是：y=x﹣；（2）证明：由g（x1）﹣g（x2）=λ[f（x2）﹣f（x1）]，得：g（x1）+λf（x1）=g（x2）+λf（x2），令h（x）=g（x）+λf（x）=ln x+，（x＞0），h′（x）=，令ω（x）=e x﹣λx，则ω′（x）=e x﹣λ，由x＞0，得e x＞1，①λ≤1时，ω′（x）＞0，ω（x）递增，故h′（x）＞0，h（x）递增，不成立；②λ＞1时，令ω′（x）=0，解得：x=lnλ，故ω（x）在（0，lnλ）递减，在（lnλ，+∞）递增，∴ω（x）≥ω（lnλ）=λ﹣λlnλ，令m（λ）=λ﹣λlnλ，（λ＞1），则m′（λ）=﹣lnλ＜0，故m（λ）递减，又m（e）=0，若λ≤e，则m（λ）≥0，ω（x）≥0，h（x）递增，不成立，若λ＞e，则m（λ）＜0，函数h（x）有增有减，满足题意，故λ＞e；（3）由f（x）g（x）≤a（x﹣1）得ln x﹣a e x（x﹣1）≤0，令F（x）=ln x﹣a e x（x﹣1），x∈（0，1]，则F′（x）=﹣ax e x=x e x（﹣a），F′（1）=﹣a①a≤，因为≥，x e x＞0，所以F′（x）≥0，所以F（x）在（0，+∞]上为单调增函数，所以F（x）≤F（1）=0，故原不等式恒成立．②法一：当a＞，由（2）知e x≥e x，F′（x）≤﹣a e x2=，当（a e）＜x＜1时，F′（x）＜0，F（x）为单调减函数．所以F（x）＞F（1）=0，不合题意．法二：当a＞，一方面F′（1）=1﹣a e＜0．另一方面，∃x1=＜1，F（x1）≥﹣a e x1=x1（﹣a e）=x1a e（a e﹣1）＞0．所以∃x1∈（x1，1），使F′（x0）=0，又，F′（x）在（0，+∞）上为单调减函数，所以当x0＜x＜1时，使F′（x）＜0，故F（x）在（x0，1）上为单调减函数．所以F（x）＞F（1）=0，不合题意．综上：a≤22．解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），当t=﹣1时，对应曲线C1上一点A（3，﹣），点A关于原点的对称点为B，利用即可得出极坐标：A，B．（2）曲线C2的极坐标方程为ρ=，化为3x2+2y2=12，即=1．设P，θ∈[0，2π），则|P A|2+|PB|2=+（2cosθ+3）2+=4sin2θ+32≤36，∴|P A|2+|PB|2的最大值是36．23．解：（1）∵函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|≥|x+1﹣（x﹣2）|=3，∴f（x）min=3，当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立．又f（x）﹣m≥0恒成立，∴m≤f（x）min=3．（2）∵m的最大值为n=3，不等式|x﹣3|﹣2x≤n+1，即|x﹣3|﹣2x≤4，即|x﹣3|≤4+2x，∴①，或②．解①求得﹣≤x＜3，解②求得x≥3．综上可得，不等式|x﹣3|﹣2x≤n+1的解集为{x|x≥﹣}．。

2018年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）【解析版】2018年1月15日龙猫说明：2018年1月21日第二次修订，附2018年1月18日作文解析，一家之言，请批判阅读。

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序图：王族、戴复古一、现代文阅读（35分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面论述文，完成1~3题。

当前的中国文学有两种不同的发展指向，一是横向地借鉴西方的现代主义文学，一是纵向地继承中国的传统文学。

作为繁荣文学的手段，在某一特定的时期内或强调横向借鉴，或注重纵向继承，或兼而有之，都是必要的。

因为没有借鉴和继承，文学就无法发展。

如果把借鉴或继承视为目的、视为文学的发展方向，那就错了。

因为它不仅无补于文学的发展，而会将文学引入歧途。

科普：这种文学不主张用作品去再现生活，而是提倡从人的心理感受出发，表现生活对人的压抑和扭曲。

主要用象征性、荒诞性、意识流去表现荒诞的世界里异化的人的危机意识；在现代主义文学作品中，人物往往是变形的，故事往往是荒诞的，主题往往是绝望的。

现代主义文学公认的开山鼻祖是塞万提斯的《堂吉诃德》。

中国文学进入新时期以来，在横向借鉴上取得了一些成效，诸如：借鉴西方现代主义文学的技巧与手法，使我国文学传统表现手法有了很大的突破，为新内容的表现开拓了新的领域；从现代主义的哲学思想和理论体系中，借鉴了某些有益的东西。

但是，要看到，由于某些人误将手段当目的，因而在横向借鉴中出现了一些错误倾向。

诸如：一味强调文学创作上的“表现自我”，鄙薄文学的社会功用性，耻于谈作家的使命感、责任感；一味强调时代精神的“淡化”，鼓吹文学“面向自我，背对现实”，与现实生活“保持距离”；用现代主义文学模式来度量社会主义的文学，认为文学的崇高感【美学中所讲的崇高，是一种庄严的美、刚劲的美、雄浑的美，与伟大、壮美的概念有着密切的联系。

】和英雄主义【主动为完成具有重大意义的任务而表现出来的英勇、顽强和自我牺牲气概和行为】已不复存在。

试卷类型：A2018年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）物理试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共8页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上．用2B 铅笔将答题卡试卷类型（A ）填涂在答题卡上，并在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷上各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答卷和答题卡一并交回．第一部分 选择题 （共 48 分）一、本题共 12 小题，每小题 4 分，共 48分。

在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确，全部选对的得 4 分，选不全的得 2 分，有错选或不答的得 0 分。

1．下列说法中正确的是A ．奥斯特最早发现电流周围存在磁场B ．伽利略根据实验证实了力是使物体运动的原因C ．开普勒发现了万有引力定律D ．牛顿第一次通过实验测出了万有引力常量2．从某一高度以相同速度相隔1s 先后水平抛出甲、乙两个小球，不计空气阻力，在乙球抛出后两球在空中运动的过程中，下述说法正确的是 A ．两球水平方向的距离越来越大 B ．两球竖直高度差越来越大 C ．两球水平方向的速度差越来越大D ．两球每秒内的速度变化量相同，与其质量无关3．2018年奥运会在北京举行，由此推动了全民健身运动的蓬勃发展。

体重为50m kg 的小芳在本届校运会上，最后一次以背越式成功地跳过了1.80米的高度，成为高三组跳高冠军。

佛山市普通高中高三教学质量检测（一） 数学试题（文科）参考答案和评分标准一、选择题 本大题共10小题，每小题5分，共50分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CBBCACBDAD二、填空题 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． 11．< 12．12 13．(1,0)(1,)-+∞ 14．(2,2)()3k k Z ππ-∈ 15．92三、解答题 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．16．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）4cos ,5B =且(0,180)B ∈，∴23sin 1cos 5B B =-=． -------------------------------2分 sin sin(180)sin(135)C A B B =--=- ------------------------------- 3分242372sin135cos cos135sin ()252510B B =-=⋅--⋅=． ------------------------------6分 （Ⅱ）由正弦定理得sin sin BC AB A C =，即10722102AB=，解得14AB =． -----------------------------10分则ABC ∆的面积113sin 101442225S AB BC B ==⨯⨯⨯= ------------------------------12分17．（本题满分12分）解：（Ⅰ）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=，所以高为0.30.065=．频率直方图如下：-------------------------------2分第一组的人数为1202000.6=，频率为0.0450.2⨯=，所以20010000.2n ==． 由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以1950.65300p ==． 第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=，所以1500.460a =⨯=．-------------------------------5分（Ⅱ）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:302:1=，所以采 用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中有4人，[45,50)岁中有2人. -------------------------------8分设[40,45)岁中的4人为a 、b 、c 、d ，[45,50)岁中的2人为m 、n ，则选取2人作为领队的有(,)a b 、(,)a c 、(,)a d 、(,)a m 、(,)a n 、(,)b c 、(,)b d 、(,)b m 、(,)b n 、(,)c d 、(,)c m 、(,)c n 、(,)d m 、(,)d n 、(,)m n ，共15种；其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有(,)a m 、(,)a n 、(,)b m 、(,)b n 、(,)c m 、(,)c n 、(,)d m 、(,)d n ，共8种. -------------------------------10分所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为815P =. -------------------------------12分 18．解：（Ⅰ）∵312S =，即12312a a a ++=，∴2312a =，所以24a =，--------------------------------2分 又∵12a ，2a ，31a +成等比数列，∴22132(1)a a a =⋅+，即22222()(1)a a d a d =-⋅++， --------------------------------4分解得，3d =或4d =-（舍去），∴121a a d =-=，故32n a n =-； ---------------------------------------7分（Ⅱ）法1：321(32)333n n n n na nb n -===-⋅， ∴231111147(32)3333n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯， ①①13⨯得，2341111111147(35)(32)333333n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ②①-②得，234121111113333(32)3333333n n n T n +=+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯2111111(1)115111333(32)(32)133623313n n n n n n -+-+-=+⨯--⨯=-⨯--⨯-∴2511321565144323443n n n n n n T --+=-⨯-⨯=-⨯． ---------------------------------------14分 法2：1321123333n n n n n na nb n --===⋅-⨯， 设231111112343333n n A n -=+⨯+⨯+⨯++⨯， ①则234111111234333333n n A n =+⨯+⨯+⨯++⨯， ② ①-②得，2312111111333333n n n A n -=+++++-⨯1113313()1322313nn n n n -=-⨯=-+⨯-∴9931()4423n n A n =-+⨯， ∴11(1)993115651332()(1)14423344313n n n n n n n T A n ⨯-+=-⨯=-+⨯--=-⨯-．----------------------------14分 19．解：（Ⅰ）在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，11//DD CC ， ∵1//EF CC ，∴1//EF DD ， ---------------------------------------2分 又∵平面//ABCD 平面1111A B C D ， 平面ABCD 平面1EFD D ED =， 平面1111A B C D 平面11EFD D FD =，∴1//ED FD ，∴四边形1EFD D 为平行四边形，---------------------------------------4分 ∵侧棱1DD ⊥底面ABCD ，又DE ⊂平面ABCD 内，∴1DD DE ⊥，∴四边形1EFD D 为矩形； ---------------------------------------6分 （Ⅱ）证明：连结AE ，∵四棱柱1111ABCD A BC D -为直四棱柱， ∴侧棱1DD ⊥底面ABCD ，又AE ⊂平面ABCD 内，∴1DD AE ⊥， ---------------------------------------8分 在Rt ABE ∆中，2AB =，2BE =，则22AE = ---------------------------------------9分 在Rt CDE ∆中，1EC =，1CD =，则2DE =； ---------------------------------------10分 在直角梯形中ABCD ，22()10AD BC AB CD =+-=∴222AE DE AD +=，即AE ED ⊥，又∵1EDDD D =，∴AE ⊥平面1EFD D ； ---------------------------------------12分由（Ⅰ）可知，四边形1EFD D 为矩形，且2DE =11DD =， ∴矩形1EFD D 的面积为112EFD D S DE DD =⋅=，∴几何体1A EFD D -的体积为11114222333A EFD D EFD D V S AE -=⋅==．-----------------------------14分 20．解：（Ⅰ）由题意得，26a =，∴3a =， -----------------------1分又242c =，∴22c =2221b a c =-=，故椭圆的方程为2219x y +=； ---------------------------------------3分 （Ⅱ）设000(,)(0)P x y y ≠，(3,0)A -，(3,0)B ，则220019x y +=，即220019x y =-， 则0103y k x =+，0203y k x =-， ---------------------------------------4分即2202001222200011(9)1999999x x y k k x x x --⋅====----，∴12k k 为定值19-． ---------------------------------------8分（Ⅲ）由题意可知，四边形ABCD 是梯形，则1()(62)2S x x y =+⋅，且2219x y =-，------------------9分于是222232(3)(1)()9()(3)(1)3(03)33993x x S x x x x f x x x x x x +-===+-=--++<<++------------------10分 22()133x f x x '=--+，令()0f x '=，解之得11,x =或3x =-（舍去） ------------------11分当01x <<，()0f x '>，函数()f x 单调递增； ---------------------------------------12分 当13x <<，()0f x '<，函数()f x 单调递减； ---------------------------------------13分 所以()f x 在1x =时取得极大值，也是最大值329. ---------------------------------------14分 21．解：（Ⅰ）当2a =时，2222,2()2222,2x x x f x x x x x x ⎧--≥⎪=--=⎨-+-<⎪⎩， --------------1分① 当2x ≥时，22()22(1)3f x x x x =--=--，∴()f x 在(2,)+∞上单调递增； --------------2分 ② 当2x <时，22()22(1)1f x x x x =-+-=---，∴()f x 在(1,2)上单调递减，在(,1)-∞上单调递增； --------------3分 综上所述，()f x 的单调递增区间是(,1)-∞和(2,)+∞，单调递减区间是(1,2). --------------4分 （Ⅱ）（1）当0a =时，()||f x x x =，函数()y f x =的零点为00x =； -----5分（2）当0a >时，22,(),x ax a x af x x x a a x ax a x a⎧--≥⎪=--=⎨-+-<⎪⎩， --------------6分故当x a ≥时，22()()24a a f x x a =---，二次函数对称轴2a x a =<， ∴()f x 在(,)a +∞上单调递增，()0f a <； -----------7分当x a <时，22()()24a a f x x a =--+-，二次函数对称轴2a x a =<， ∴()f x 在(,)2aa 上单调递减，在(,)2a -∞上单调递增； ---------------------------------------8分∴()f x 的极大值为22()()2224a a a a f a a a =-+⨯-=-， 1 当()02af <，即04a <<时，函数()f x 与x 轴只有唯一交点，即唯一零点，由20x ax a --=解之得函数()y f x =的零点为0x =或0x =（舍去）； -----------------------10分2 当()02af =，即4a =时，函数()f x 与x 轴有两个交点，即两个零点，分别为12x =和22x ==+ -----------------------11分3 当()02af >，即4a >时，函数()f x 与x 轴有三个交点，即有三个零点，由20x ax a -+-=解得，x =∴函数()y f x =的零点为2a x =和02a x =. --------------------12分综上可得，当0a =时，函数的零点为0；当04a <<；当4a =时，有两个零点2和2+当4a >. --------------------14分。

佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（文科）参考答案和评分标准题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CADCDAACCD11．2 12．9 13714． 6 15. 2 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本题满分12分） 解:（Ⅰ）由图象知2A =()f x 的最小正周期54()126T πππ=⨯-=,故22Tπω== ……3分 将点(,2)6π代入()f x 的解析式得sin()13πϕ+=,又||2πϕ<,∴6πϕ=故函数()f x 的解析式为()2sin(2)6f x x π=+ ……6分（Ⅱ）变换过程如下:2sin yx = 2sin()6y x π=+ 2sin(2)6y x π=+另解: 2sin y x =2sin2y x = 2sin(2)6y x π=+……12分以上每一个变换过程均为3分.17．（本题满分12分）解:（Ⅰ）在图1中,可得22AC BC ==从而222AC BC AB +=,故AC BC ⊥ 取AC 中点O 连结DO ,则DO AC ⊥,又面ADE ⊥面ABC ,面ADE 面ABC AC =,DO ⊂面ACD ,从而OD ⊥平面ABC , ……4分 ∴OD BC ⊥ 又AC BC ⊥,AC OD O =,∴BC ⊥平面ACD ……6分 另解:在图1中,可得22AC BC ==从而222AC BC AB +=,故AC BC ⊥∵面ADE ⊥面ABC ,面ADE 面ABC AC =,BC ⊂面ABC ,从而BC ⊥平面ACD图象向左平移6π个单位 所有点的横坐标缩短为原来的12纵坐标不变 图象向左平移12π个单位 所有点的横坐标缩短为原来的12纵坐标不变(Ⅱ) 由（Ⅰ）可知BC 为三棱锥B ACD -的高. 22BC =2ACDS = ……9分所以112222333B ACD V Sh -==⨯⨯= ……11分 由等积性可知几何体D ABC -的体积为23……12分18．（本题满分14分） 解：(Ⅰ)(Ⅱ)根据列联表中的数据，得到2105(10302045) 6.109 3.84155503075k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ 因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”。

2018年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1. 已知集合A={x|x>1}，B={x|−1<x<2}．则(∁R A)∩B=()A.{x|x>−1}B.{x|−1<x≤1}C.{x|−1<x<2}D.{x|1<x<2}2. 已知复数z满足(z−1)i=i−1，则|z|=()A.√2B.√3C.2D.√53. 已知向量a→=(1, x)，b→=(−1, 3)，若向量2a→+b→与向量b→平行，则x的值为（）A.−3B.0C.43D.−434. 在区间[1, 4]上随机取一个数x，则事件“log4x≥12”发生的概率为（）A.1 3B.23C.12D.345. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=−45，a4=−41，则S n取得最小值时n的值为（）A.23B.24或25C.24D.256. 已知x，y满足不等式组{x+y−4≤03x−y≥0x≥0,y≥0，则z=2x+y的最大值为（）A.5B.6C.8D.97. 执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A.√22B.−1 C.−1−√22D.0无广，高一丈，问积几何？刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1），那么该刍甍的体积为（ ）A.4B.5C.6D.129. 已知函数f(x)=4−x 2，y =g(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，g(x)=log 2x ，则函数f(x)⋅g(x)的大致图象为（ ） A.B.C.D.10. 已知三棱锥S −ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，且SA =SB =SC =1，AB =BC =AC =√2，则球的表面积为（ ） A.12π B.8π C.4π D.3π11. 对于实数a 、b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ={b −a,a <bb 2−a 2,a ≥b ，设f(x)=(2x −3)⊗(x −3)，且关于x 的方程f(x)=k(k ∈R)恰有三个互不相同的实根，则k 的取值范围为（ ） A.(0, 2) B.(0, 3) C.(0, 2] D.(0, 3]12. 若圆(x −√3)2+(y −1)2=9与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)经过二、四象限的A.2√33B.√72C.2D.√7二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.若sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=45，则cos2β=________．在某班班委会成员选举中，已知张强、李明、王亮三位同学被选进了班委会，该班甲、乙、丙三位学生预言：甲：张强为班长，李明为生活委员；乙：王亮为班长，张强为生活委员；丙：李明为班长，张强为学习委员．班委会名单公布后发现，甲、乙、丙三人都恰好猜对了一半，则公布的班长为________．递减的等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2=3，S3=13，则a5=________．直线l过抛物线C:x2=4y的焦点F，与抛物线C相交于A，B两点，其中|BF|=3|AF|，则线段AB的长度为________．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．已知函数f(x)=2cos2x+2√3sinxcosx．(Ⅰ)求函数f(x)的最大值；(Ⅱ)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且f(C)=2，c=√7，a=2，求△ABC的面积．如图，在三棱锥D−ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．(Ⅰ)求证：平面ABD⊥平面DEF；(Ⅱ)若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45∘，求四面体F−DBC的体积．随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现．某运营公司M的市场研究人员为了了解共享自行车的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，得到如下数据：(Ⅰ)若月份代码x与市场占有率y具有线性相关性，用最小二乘法求得回归方程为y∧=2x+a，求a的值，并预测第7个月的市场占有率；采购一批自行车，现有采购成本分别为300元/辆和400元/辆的A 、B 两款车型可供选择，按规定每辆自行车最多可使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的自行车各100辆进行科学模拟测试，得到两款自行车使用寿命频数表如下：经测算，平均每辆自行车每年可以带来收入200元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆自行车的使用寿命都是整数年，如果你是M 公司的负责人，以每辆自行车产生的平均利润作为决策依据，你会选择采购哪款车型？在直角坐标系xOy 中，已知点F(1, 0)，直线l:x =4，动点P 到点F 的距离到直线l 的距离的比值为12．(Ⅰ)求动点P 的轨迹方程C ；(Ⅱ)若A 1(−2, 0)，A 2(2, 0)，斜率不为0且过F 的直线与曲线C 相交于M ，N 两点，求证：直线A 1M ，A 2N 的交点在直线l:x =4上．设函数f(x)=xlnx −ax +1，g(x)=−2x 3+3x 2−12x +14． (Ⅰ)求函数f(x)在[1e , e]上有两个零点，求a 的取值范围； (Ⅱ)求证：当x ∈[12, +∞)时，f(x)+ax >g(x)． [选修4-4：坐标系与参数方程选讲]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =sinα （α为参数），曲线C 1经过坐标变换{x ′=2xy ′=y 后得到的轨迹为曲线C 2． (Ⅰ)求C 2的极坐标方程；(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线θ=π6与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB|． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x −3|−|x +5|． (Ⅰ)求不等式f(x)≤2的解集；(Ⅱ)设函数f(x)的最大值为M ，若不等式x 2+2x +m ≥M 恒成立，求m 的取值范围．参考答案与试题解析2018年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】已知集合A={x|x>1}，算出∁R A，然后根据交集的定义进行求解．【解答】∵集合A={x|x>1}，∴∁R A={x|x≤1}，∵B={x|−1<x<2}，∴(∁R A)∩B={x|−1<x≤1}，2.【答案】D【考点】复数的运算【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的计算公式求解．【解答】由(z−1)i=i−1，得z=−1+ii +1=(−1+i)(−i)−i2+1=2+i，∴|z|=√22+12=√5．3.【答案】A【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】先求出2a→+b→，然后利用向量的平行列出方程求解x即可【解答】∵向量a→=(1, x)，b→=(−1, 3)，∴2a→+b→=2(1, x)+(−1, 3)=(1, 2x+3)∵2a→+b→与向量b→平行，∴3=−2x−3，解得x=−3，B【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】求解对数不等式得到满足log 4x ≥12的x 的范围，由测度比为长度比得答案． 【解答】由log 4x ≥12，得x ≥2，∴ 在区间[1, 4]上随机取一个数x ，事件“log 4x ≥12”发生的概率为P =4−24−1=23． 5.【答案】 C【考点】等差数列的前n 项和 【解析】由等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此求出前n 项和S n ，再利用列用等差数列前n 项和公式能求出S n 取得最小值时n 的值． 【解答】∵ 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2=−45，a 4=−41， ∴ {a 1+d =−45a 1+3d =−41 ，解得a 1=−47，d =2，∴ S n =−47n +n(n−1)2×2=n 2−48n =(n −24)2−5(76)∴ S n 取得最小值时n 的值为（24） 6.【答案】 C【考点】 简单线性规划 【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】由x ，y 满足不等式组{x +y −4≤03x −y ≥0x ≥0,y ≥0 ，作出可行域如图，联立{x +y −4=0y =0，解得A(4, 0)， 化目标函数z =2x +y 为y =−2x +z ，由图可知，当直线y =−2x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为2×4+0=(8) 7.【答案】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】本题为直到型循环结构的程序框图，由框图的流程知：算法的功能是求S=cosπ2+cosπ+...+cos2017π2的值，∵y=cosπ2x的周期为4，2017=504×4+1∴输出S=504×(cosπ2+cosπ+cos3π2+cos2π)+cosπ2=08.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，由三视图可还原得几何体ABCDEF，过E，F分别做垂直于底面的截面EGH和FMN，将原几何体拆分成两个底面积为3，高为1的四棱锥和一个底面积为32，高为2的三棱柱，所以V ABCDEF=2V四棱锥E−ADHG+V三棱柱EHG−FNM=2×13×3×1+32×2=5．故选B．9.【答案】D【考点】对数函数的图象与性质【解析】利用函数奇偶性的性质判断函数f(x)⋅g(x)的奇偶性，然后利用极限思想判断，当x→+∞时，函数值的符号．【解答】因为函数f(x)=4−x2为偶函数，y=g(x)是定义在R上的奇函数，当x→+∞时，g(x)=log2x>0，f(x)=4−x2<(0)所以此时f(x)⋅g(x)<(0)所以排除C，选D．10.【答案】D【考点】球的体积和表面积【解析】由题意一个三棱锥S−ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，可知，三棱锥是正方体的一个角，扩展为正方体，两者的外接球相同，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．【解答】三棱锥S−ABC中，SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=√2，∴共顶点S的三条棱两两相互垂直，且其长均为1，三棱锥的四个顶点同在一个球面上，三棱锥是正方体的一个角，扩展为正方体，三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，正方体的对角线就是球的直径，，所以球的直径为：√3，半径为√32)2=3π．外接球的表面积为：4π×(√3211.【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】根据定义求出f(x)解析式，画出图象，数形结合得答案．【解答】∵a⊗b={b−a,a<b，b2−a2,a≥b∴f(x)=(2x−3)⊗(x−3)={−x,x<0，−3x2+6x,x≥0其图象如下图所示：由图可得，要使关于x的方程f(x)=k(k∈R)恰有三个互不相同的实根，12.【答案】A【考点】双曲线的特性【解析】先根据双曲线方程求得经过二、四象限的一条渐近线方程，根据题意由勾股定理可得圆心到渐近线的距离，进而表示出圆心到渐近线的距离关系式，求得a，b的关系，即可求出双曲线的离心率．【解答】依题意可知双曲线的经过二、四象限的渐近线方程为bx+ay=0，∵|AB|=2√6，圆的圆心为(√3, 1)，半径为3，∴圆心到渐近线的距离为√9−(√6)2=√3，即√3b+a|√a2+b2=√3，解得b=√33a，∴c=√a2+b2=2√33a，∴双曲线的离心率为e=ca =2√33．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）. 【答案】−7 25【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】利用两角差的正弦公式求得sinβ的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2β=1−2sin2β的值．【解答】∵sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=sin[(α+β)−α]=sinβ=45，则cos2β=1−2sin2β=1−2⋅1625=−725，【答案】王亮【考点】进行简单的合情推理【解析】利用反证法，先假设一个人为班长，根据甲、乙、丙三人都恰好猜对了一半，推出矛盾说明假设不成立．【解答】假设张强为班长，由甲对一半得：李明不为生活委员，即李明是学习委员，则王亮为生活委员；这与乙对一半矛盾；张强不为生活委员，即张强是学习委员，则李明为生活委员；甲、乙、丙三人都恰好猜对了一半，假设李明为班长，由丙对一半得：张强为不学习委员，即张强为生活委员，这与甲对一般矛盾， 综上可得：公布的班长为王亮， 【答案】19【考点】等比数列的前n 项和 【解析】利用等比数列的性质即可求解通项，可得a 5的值． 【解答】由{a n }是递减的等比数列，a 2=3，S 3=13， 即a 1q =3…①，a 1+a 2+a 3=13， ∴ a 1+a 1q 2=10．…② 由①②解得：q =13，a 1=(9) 那么a 5=a 1q 4=19． 【答案】 163【考点】 抛物线的求解 【解析】由题意画出图形，设出A 、B 所在直线方程，与抛物线方程联立，由抛物线焦半径公式及已知列式得到A ，B 的纵坐标，则答案可求． 【解答】如图，抛物线C:x 2=4y 的焦点F(0, 1)，设l 所在直线方程为x =k(y −1)，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2) 联立{x =k(y −1)x 2=4y ，得k 2y 2−(2k 2+4)y +k 2=0， ∴ y 1y 2=1，① ∵ |BF|=3|AF|，∴ y 2+1=3(y 1+1)，② 由①②解得y 1=13，y 2=3， ∴ |AB|=y 1+y 2+2=13+3+2=163，三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程． 【答案】(Ⅰ)函数f(x)=2cos 2x +2√3sinxcosx ． =cos2x +1+√3sin2x ， =2sin(2x +π6)+1，(Ⅱ)△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且f(C)=2，则：sin(2C+π6)=12，解得：C=π3，由于：c=√7，a=2，利用余弦定理：c2=a2+b2−2abcosC，解得：b=3（负值舍去）．则：S△ABC=12absinC=3√32．【考点】三角形求面积【解析】(Ⅰ)首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最值．(Ⅱ)利用函数的关系式首先求出C的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．【解答】(Ⅰ)函数f(x)=2cos2x+2√3sinxcosx．=cos2x+1+√3sin2x，=2sin(2x+π6)+1，则函数的最大值f(x)max=(3)(Ⅱ)△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且f(C)=2，则：sin(2C+π6)=12，解得：C=π3，由于：c=√7，a=2，利用余弦定理：c2=a2+b2−2abcosC，解得：b=3（负值舍去）．则：S△ABC=12absinC=3√32．【答案】证明：(Ⅰ)∵DE⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥DE，又F为AB的中点，DA=DB，∴AB⊥DF，DE，DF⊂平面DEF，DE∩DF=D，∴AB⊥平面DEF，又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面DEF．(Ⅱ)∵DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，∴线段DA、DB、DC在平面ABC的投影EA，EB，EC满足EA=EB=EC∴△ABC为直角三角形，即AB⊥BC由AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45∘，∴AB=BC=2√2，DE=2，∴S△FBC=12×FB×BC=2，∴四面体F−DBC的体积V F−DBC=V D−FBC=13×S△FBC×DE=13×2×2=43．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算平面与平面垂直【解析】（I）由DE⊥平面得出DE⊥AB，又DF⊥AB，故而AB⊥平面DEF，从而得出平面ABD⊥平面DEF；(Ⅱ)可得线段DA、DB、DC在平面ABC的投影EA，EB，EC满足EA=EB=EC，△ABC为直角三角形，即AB⊥BC，由AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45∘，可得S△FBC=12×FB×BC=2，即可计算四面体F−DBC的体积V F−DBC=V D−FBC=13×S△FBC×DE．【解答】证明：(Ⅰ)∵DE⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥DE，又F为AB的中点，DA=DB，∴AB⊥DF，DE，DF⊂平面DEF，DE∩DF=D，∴AB⊥平面DEF，又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面DEF．(Ⅱ)∵DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，∴线段DA、DB、DC在平面ABC的投影EA，EB，EC满足EA=EB=EC∴△ABC为直角三角形，即AB⊥BC由AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45∘，∴AB=BC=2√2，DE=2，∴S△FBC=12×FB×BC=2，∴四面体F−DBC的体积V F−DBC=V D−FBC=13×S△FBC×DE=13×2×2=43．【答案】(I)x=1+2+3+4+5+66=72，y=11+13+16+15+20+216=16，把(72, 16)代入y∧=2x+a得16=7+a，∴a=(9)回归方程为y∧=2x+9，当x=7时，y∧=(23)∴预测第7个月的市场占有率为23%．(II)A款车的利润为15100×(200−300)+40100×(400−300)+35100×(600−300)+10100×(800−300)=180，B款车的利润为5100×(200−400)+35100×(400−400)+40100×(600−200)+20100×(800−400)=1(50)∴采购A款车较合理．【考点】求解线性回归方程【解析】（I）求出数据中心，代入回归方程得出a，根据回归方程预测x=7对应的值；(II)计算两款车的利润，得出结论．【解答】(I)x=1+2+3+4+5+66=72，y=11+13+16+15+20+216=16，把(72, 16)代入y∧=2x+a得16=7+a，∴a=(9)回归方程为y∧=2x+9，当x=7时，y∧=(23)∴预测第7个月的市场占有率为23%．(II)A款车的利润为15100×(200−300)+40100×(400−300)+35100×(600−300)+10100×(800−300)=180，B款车的利润为5100×(200−400)+35100×(400−400)+40100×(600−200)+20100×(800−400)=1(50)∴采购A款车较合理．【答案】(Ⅰ)设P(x, y)，P到直线l的距离为d，由题意可得|PF|d =12，即为√(x−1)2+y2|4−x|=12，两边平方可得x2+y2−2x+1=14(x2−8x+16)，即为3x2+4y2=12，即有x24+y23=1，动点P 的轨迹方程C 为x 24+y 23=1；(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)曲线C 为椭圆，A 1(−2, 0)，A 2(2, 0)为椭圆的左右顶点，F(1, 0)为椭圆的右焦点，设过F 的直线为x =my +1，交点M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，由{x =my +13x 2+4y 2=12消去x 可得(4+3m 2)y 2+6my −9=0， 则y 1+y 2=−6m 4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2，由已知可得k A 1M =y 1x 1+2，可得直线A 1M:y =y1x 1+2(x +2)，① 同理可得直线A 2N:y =y 2x 2−2(x −2)，②联立方程①②，可得x =2y 1x 2+2x 1y 2+4y 2−4y 1x 1y 2−x 2y 1+2y 1+2y 2=2y 1(my 2+1)+2(my 1+1)y 2+4y 2−4y 1(my 1+1)y 2−(my 2+1)y 1+2y 1+2y 2=4my 1y 2+6y 2−2y 13y 2+y 1=4my 1y 2+8y 2−2(y 1+y 2)2y 2+(y 1+y 2)=4m ∗−94+3m 2+8y 2−2∗−6m 4+3m 22y 2+−6m 4+3m 2=8y 2(4+3m 2)−24m 2y 2(4+3m 2)−6m =(4) 所以直线A 1M ，A 2N 的交点在直线l:x =4上．【考点】轨迹方程【解析】 (Ⅰ)设P(x, y)，P 到直线l 的距离为d ，由题意可得|PF|d =12，运用两点距离公式和点到直线的距离，再两边平方，化简整理，即可得到所求轨迹方程；(Ⅱ)设过F 的直线为x =my +1，交点M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，联立椭圆C 的方程，消去x ，得到y 的二次方程，运用韦达定理，求得直线A 1M ，直线A 2N 的方程，解方程可得x 的表达式，由M ，N 在直线上，代入直线方程，化简整理，即可得到所求交点在直线l:x =4上．【解答】(Ⅰ)设P(x, y)，P 到直线l 的距离为d ，由题意可得|PF|d =12， 即为√(x−1)2+y 2|4−x|=12，两边平方可得x 2+y 2−2x +1=14(x 2−8x +16)，即为3x 2+4y 2=12，即有x 24+y 23=1，动点P 的轨迹方程C 为x 24+y 23=1；(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)曲线C 为椭圆，A 1(−2, 0)，A 2(2, 0)为椭圆的左右顶点，F(1, 0)为椭圆的右焦点，设过F 的直线为x =my +1，交点M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，由{x =my +13x 2+4y 2=12消去x 可得(4+3m 2)y 2+6my −9=0， 则y 1+y 2=−6m 4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2，由已知可得k A 1M =y 1x 1+2，可得直线A 1M:y =y 1x 1+2(x +2)，① 同理可得直线A 2N:y =y 2x 2−2(x −2)，②联立方程①②，可得x =2y 1x 2+2x 1y 2+4y 2−4y 1x 1y 2−x 2y 1+2y 1+2y 2=2y 1(my 2+1)+2(my 1+1)y 2+4y 2−4y 1(my 1+1)y 2−(my 2+1)y 1+2y 1+2y 2=4my 1y 2+6y 2−2y 13y 2+y 1=4my 1y 2+8y 2−2(y 1+y 2)2y 2+(y 1+y 2)=4m ∗−94+3m 2+8y 2−2∗−6m 4+3m 22y 2+−6m 4+3m 2=8y 2(4+3m 2)−24m 2y 2(4+3m 2)−6m =(4) 所以直线A 1M ，A 2N 的交点在直线l:x =4上．【答案】（1）函数f(x)=xlnx −ax +1，的定义域为：x >0，f′(x)=lnx +1−a ， 由题意可知函数不可能是单调函数，∴ f′(x)=0，可得x =e a−1，当x >e a−1时，f′(x)>0；x ∈(0, e a−1)时，f′(x)<0， 函数f(x)在[1e , e]上有两个零点，可得：{ 1e <ea−1<e f(e a−1)<0f(1e )≥0f(e)≥0 ，解得：1<a ≤1+1e ． 函数f(x)在[1e , e]上有两个零点，a 的取值范围：(1, 1+1e ]；（2）证明：当x ∈[12, +∞)时，要证f(x)+ax >g(x)．只要证明xlnx +1>g(x)， 先证明xlnx +1≥x ，构造函数F(x)=xlnx +1−x ，∵ F′(x)=1+lnx −1=lnx ， 当x =1时，F′(x)=0，当0<x <1时，F′(x)<0，函数是减函数当x >1时，F′(x)>0，函数是增函数；∴ F(x)>F(1)=0，即证xlnx +1≥x ，等号成立的条件是当且仅当x =1； 再证当x ∈[12,+∞)，g(x)≤x ．构造函数G(x)=x −g(x)=2(x −12)3．∵ G′(x)=6(x −12)2≥0，∴ G(x)是增函数，∴ G(x)≥G(12)=0，即证g(x)≤x ，等号成立的条件是当且仅当x =12．∴ x ∈[12, +∞)时，f(x)+ax >g(x)．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值函数零点的判定定理【解析】(Ⅰ)求函数f(x)在[1e , e]上有两个零点，求a 的取值范围；(Ⅱ)当x ∈[12, +∞)时，要证f(x)+ax >g(x)．只要证明xlnx +1>g(x)，先证明xlnx +1≥x ，构造函数F(x)=xlnx +1−x ，通过函数的导数判断函数的单调性利用函数的再证即可证明结果；再证当x ∈[12,+∞)，g(x)≤x ．构造函数G(x)=x −g(x)=2(x −12)3，通过导函数以及函数的单调性最值求解即可．【解答】（1）函数f(x)=xlnx −ax +1，的定义域为：x >0，f′(x)=lnx +1−a ， 由题意可知函数不可能是单调函数，∴ f′(x)=0，可得x =e a−1，当x >e a−1时，f′(x)>0；x ∈(0, e a−1)时，f′(x)<0， 函数f(x)在[1e , e]上有两个零点，可得：{ 1e <ea−1<e f(e a−1)<0f(1e )≥0f(e)≥0 ，解得：1<a ≤1+1e ． 函数f(x)在[1e , e]上有两个零点，a 的取值范围：(1, 1+1e ]；（2）证明：当x ∈[12, +∞)时，要证f(x)+ax >g(x)．只要证明xlnx +1>g(x)， 先证明xlnx +1≥x ，构造函数F(x)=xlnx +1−x ，∵ F′(x)=1+lnx −1=lnx ， 当x =1时，F′(x)=0，当0<x <1时，F′(x)<0，函数是减函数当x >1时，F′(x)>0，函数是增函数；∴ F(x)>F(1)=0，即证xlnx +1≥x ，等号成立的条件是当且仅当x =1； 再证当x ∈[12,+∞)，g(x)≤x ．构造函数G(x)=x −g(x)=2(x −12)3．∵ G′(x)=6(x −12)2≥0，∴ G(x)是增函数，∴ G(x)≥G(12)=0，即证g(x)≤x ，等号成立的条件是当且仅当x =12．∴ x ∈[12, +∞)时，f(x)+ax >g(x)．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]【答案】(Ⅰ)曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =sinα （α为参数），转化为直角坐标方程为：x 2+y 2=1，曲线C 1经过坐标变换{x ′=2x y ′=y后得到的轨迹为曲线C 2． 即：x ′24+y ′2=1，故C 2的直角坐标方程为：x 24+y 2=1． 转化为极坐标方程为：ρ2cos 2θ4+ρ2sin 2θ=1． (Ⅱ)曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =sinα （α为参数），转化为极坐标方程为ρ1=1，由题意得到：A(1, π6)，将B(ρ, π6)代入坐标方程：ρ2cos 2θ4+ρ2sin 2θ=1． 得到ρ2=4√77，则：|AB|=|ρ1−ρ2|=4√77−1．【考点】圆的极坐标方程 参数方程与普通方程的互化【解析】(Ⅰ)直接利用方程的转换及变换求出曲线C 2的方程，进一步转换为极坐标的形式．(Ⅱ)利用射线与曲线的交点进一步求出极径的长，最后求出结论．【解答】(Ⅰ)曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =sinα （α为参数），转化为直角坐标方程为：x 2+y 2=1，曲线C 1经过坐标变换{x ′=2x y ′=y后得到的轨迹为曲线C 2． 即：x ′24+y ′2=1，故C 2的直角坐标方程为：x 24+y 2=1． 转化为极坐标方程为：ρ2cos 2θ4+ρ2sin 2θ=1． (Ⅱ)曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =sinα （α为参数），转化为极坐标方程为ρ1=1，由题意得到：A(1, π6)，将B(ρ, π6)代入坐标方程：ρ2cos 2θ4+ρ2sin 2θ=1．得到ρ2=4√77，则：|AB|=|ρ1−ρ2|=4√77−1．[选修4-5：不等式选讲]【答案】（1）x≥3时，f(x)=−8，此时f(x)≤2恒成立，−5<x<3时，f(x)=−2x−2，由f(x)≤2，解得：−2≤x<3，x≤−5时，f(x)=8，此时f(x)≤2，无解，综上，f(x)≤2的解集是{x|x≥−2}；（2）由(Ⅰ)得f(x)={−8,x≥3−2x−2,−5<x<3 8,x≤−5，易知函数的最大值是8，若x2+2x+m≥8恒成立，得m≥−x2−2x+8恒成立，即m≥−(x+1)2+9，故m≥(9)【考点】绝对值不等式的解法与证明绝对值三角不等式【解析】(Ⅰ)通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；(Ⅱ)求出f(x)的最大值，问题转化为m≥−x2−2x+8恒成立，求出m的范围即可．【解答】（1）x≥3时，f(x)=−8，此时f(x)≤2恒成立，−5<x<3时，f(x)=−2x−2，由f(x)≤2，解得：−2≤x<3，x≤−5时，f(x)=8，此时f(x)≤2，无解，综上，f(x)≤2的解集是{x|x≥−2}；（2）由(Ⅰ)得f(x)={−8,x≥3−2x−2,−5<x<3 8,x≤−5，易知函数的最大值是8，若x2+2x+m≥8恒成立，得m≥−x2−2x+8恒成立，即m≥−(x+1)2+9，故m≥(9)。

佛山一中2018届高三上学期期中考试数学（文科）答案一、选择题BADC BDAD CCAB二、填空题13、32 14、56π 15、π84 16、 三、解答题17、（本题12分）在等差数列{n a }中，1a ＝3，其前n 项和为n S ，等比数列{n b }的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且1222=+S b ，22b S q =(1)求n a 与n b ； (2)证明：321113121<+⋅⋅⋅++≤n S S S (1)解 设数列{a n }的公差为d . 因为⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＋S 2＝12，q ＝S 2b 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ q ＋6＋d ＝12，q ＝6＋d q (2)分 解得q ＝3或q ＝－4(舍)，d ＝3 ..............................4分 故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3n －1. ..............................5分 (2)证明 因为S n ＝n 3＋3n 2， 所以1S n ＝2n 3＋3n ＝23(1n －1n ＋1)． ..............................6分 故1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝23[(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝23(1－1n ＋1)． ............8 分 因为n ≥1，所以0＜1n ＋1≤12，所以12≤1－1n ＋1＜1， .....................10分 所以13≤23(1－1n ＋1)＜23， 即321113121<+⋅⋅⋅++≤n S S S ..........................................12分18、（本题12分）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；（2）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（3）该公司从至少消费两次的顾客中，用分层抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出2人中恰有1人消费两次的概率。

2018年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x﹣x2=0}，则A∩B=（）A．{0} B．{1} C．（0，1）D．{0，1}2．（5分）设复数z1=2+i，z2=1+ai，若，则实数a=（）A．﹣2 B． C．D．23．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．3 D．94．（5分）袋中有5个球，其中红色球3个，标号分别为1，2，3；篮色球2个，标号分别为1，2；从袋中任取两个球，则这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知命题p：∀x＞1，log2x+4logx2＞4，则¬p为（）A．¬p：∀x≤1，log2x+4logx2≤4 B．¬p：∃x≤1，log2x+4logx2≤4C．¬p：∃x＞1，log2x+4logx2=4 D．¬p：∃x＞1，log2x+4logx2≤46．（5分）把曲线上所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2，则C2（）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点（π，0）对称7．（5分）当m=5，n=2时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．20 B．42 C．60 D．1808．（5分）已知tanθ=2，则=（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=，则下列函数为奇函数的是（）A．f（sinx）B．f（cosx）C．xf（sinx） D．x2f（cosx）10．（5分）如图，在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，则 tan∠APA1的最大值是（）A． B．1 C．D．11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，以右顶点A为圆心的圆与直线l：x﹣y+c=0相切于点N．设l与C 的交点为P、Q，若点N恰为线段PQ的中点，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．212．（5分）设函数f（x）=x3﹣3x2+2x，若x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）=f（x）﹣λx的两个极值点，现给出如下结论：①若﹣1＜λ＜0，则f（x1）＜f（x2）；②若0＜λ＜2，则f（x1）＜f（x2）；③若λ＞2，则f（x1）＜f（x2）．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设=（1，2），=（﹣1，1），=+λ，若⊥，则实数λ的值等于．14．（5分）设曲线y=xlnx在点（1，0）处的切线与曲线在点P处的切线垂直，则点P的横坐标为．15．（5分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积S= ．16．（5分）平面四边形ABCD中，，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，当三棱锥D'﹣ABC的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{an }是等比数列，数列{bn}满足．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{bn }的前n项和Sn．18．（12分）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就入职廊架公司的意愿做了统计，得到如下数据分布：（1）请分布计算40岁以上（含40岁）与40岁以下全体中选择甲公司的概率（保留两位小数），根据计算结果，你能初步得出什么结论？（2）若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的K 2的观测值为k 1=5.5513，测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？ 附：19．（12分）如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB=AD=2，CD=4，PC=PD ，∠PAB=∠PAD=60°．（1）证明：顶点P 在底面ABCD 的射影为边CD 的中点； （2）点Q 在PB 上，且DQ ⊥PB ，求三棱锥Q ﹣BCD 的体积．20．（12分）已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，椭圆C 1的离心率为，过椭圆C 1的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线所得的弦长为4．（1）求椭圆C 1和抛物线C 2的方程；（2）过点A （﹣2，0）的直线l 与C 2交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为M'，证明：直线M'N 恒过一定点．21．（12分）已知函数，（其中a∈R）（1）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＜0，求证：函数f（x）有唯一的零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，0≤α＜π），曲线C的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设C与l交于M，N两点（异于原点），求|OM|+|ON|的最大值．23．已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R．（1）若f（1）+f（﹣1）＞1，求a的取值范围；（2）若a＞0，对∀x，y∈（﹣∞，a]，都有不等式恒成立，求a的取值范围．2018年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x﹣x2=0}，则A∩B=（）A．{0} B．{1} C．（0，1）D．{0，1}【解答】解：B={x|x﹣x2=0}={0，1}，则A∩B={0，1}，故选：D2．（5分）设复数z1=2+i，z2=1+ai，若，则实数a=（）A．﹣2 B． C．D．2【解答】解：∵z1=2+i，z2=1+ai，∴，若，则1﹣2a=0，即a=．故选：C．3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．3 D．9【解答】解：画出变量x，y满足约束条件可行域如图阴影区域：目标函数z=3x﹣2y可看做y=x﹣z，即斜率为，截距为﹣z的动直线，数形结合可知，当动直线过点A时，z最小由得A（﹣1，﹣1）∴目标函数z=3x﹣2y的最小值为z=﹣3×0+2×1=﹣1．故选：A．4．（5分）袋中有5个球，其中红色球3个，标号分别为1，2，3；篮色球2个，标号分别为1，2；从袋中任取两个球，则这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：袋中有5个球，其中红色球3个，标号分别为1，2，3；篮色球2个，标号分别为1，2；从袋中任取两个球，基本事件有10个，分别为：（红1，红2），（红1，红3），（红1，篮1），（红1，篮2），（红2，红3），（红2，篮1），（红2，篮2），（红3，篮1），（红3，篮2），（篮1，篮2），这两个球颜色不同且标号之和不小于4包含的基本事件有3个，分别为：（红2，篮2），（红3，篮1），（红3，篮2），故这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为p=．故选：A．5．（5分）已知命题p：∀x＞1，log2x+4logx2＞4，则¬p为（）A．¬p：∀x≤1，log2x+4logx2≤4 B．¬p：∃x≤1，log2x+4logx2≤4C．¬p：∃x＞1，log2x+4logx2=4 D．¬p：∃x＞1，log2x+4logx2≤4【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即：¬p：∃x＞1，log2x+4logx2≤4，故选：D．6．（5分）把曲线上所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2，则C2（）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点（π，0）对称【解答】解：把曲线上所有点向右平移个单位长度，可得y=2sin（x﹣﹣）=2sin（x﹣）的图象；再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2：y=2sin（2x﹣）的图象，对于曲线C2：y=2sin（2x﹣）：令x=，y=1，不是最值，故它的图象不关于直线对称，故A错误；令x=，y=2，为最值，故它的图象关于直线对称，故B正确；令x=，y=﹣1，故它的图象不关于点对称，故C错误；令x=π，y=﹣，故它的图象不关于点（π，0）对称，故D错误，故选：B．7．（5分）当m=5，n=2时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．20 B．42 C．60 D．180【解答】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=5×4×3的值，S=5×4×3=60．故选：C．8．（5分）已知tanθ=2，则=（）A．B．C．D．【解答】解：tanθ=2，则======．故选：D．9．（5分）已知函数f（x）=，则下列函数为奇函数的是（）A．f（sinx）B．f（cosx）C．xf（sinx） D．x2f（cosx）【解答】解：根据题意，对于函数f（x）=，当x＞0时，f（x）=x2+2x，则有﹣x＜0，f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x，则函数f（x）为偶函数，分析选项：对于A，设g（x）=f（sinx），有g（﹣x）=f[sin（﹣x）]=f（﹣sinx）=f（sinx）=g（x），为偶函数，不符合题意；对于B，设g（x）=f（cosx），有g（﹣x）=f[cos（﹣x）]=f（cosx）=g（x），为偶函数，不符合题意；对于C，设g（x）=xf（sinx），有g（﹣x）=（﹣x）f[sin（﹣x）]=﹣xf（﹣sinx）=﹣xf（sinx）=﹣g（x），为奇函数，符合题意；对于D，设g（x）=x2f（sinx），有g（﹣x）=（﹣x）2f[sin（﹣x）]=x2f（﹣sinx）=x2f（sinx）=g（x），为偶函数，不符合题意；故选：C．10．（5分）如图，在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，则 tan∠APA1的最大值是（）A． B．1 C．D．【解答】解：连结AC、BD，交于点O，连结A1C1，交EF于M，连结OM，设正方形ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，∵在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，∴AO PM，∴A1P=C1M=，∴tan∠APA1===2．∴tan∠APA1的最大值是2．故选：D．11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，以右顶点A为圆心的圆与直线l：x﹣y+c=0相切于点N．设l与C 的交点为P、Q，若点N恰为线段PQ的中点，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．2【解答】解：如图，∵以右顶点A为圆心的圆与直线l：x﹣y+c=0相切于点N，∴，∵直线l：x﹣y+c=0的倾斜角为300，，∠NAF1=600，∴由，得（y2﹣2．yN=整理得：c3﹣3c2a+4a3=0⇒e3﹣3e2+4=0，（e3+1）﹣3（e2﹣1）=0⇒（e+1）（e2﹣4e+4）=0．∴e=2，故选：C12．（5分）设函数f（x）=x3﹣3x2+2x，若x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）=f（x）﹣λx的两个极值点，现给出如下结论：①若﹣1＜λ＜0，则f（x1）＜f（x2）；②若0＜λ＜2，则f（x1）＜f（x2）；③若λ＞2，则f（x1）＜f（x2）．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣λx，∴g′（x）=f′（x）﹣λ，令g′（x）=0，∴f′（x）﹣λ=0，即f′（x）=λ有两解x1，x2，（x1＜x2）∵f（x）=x3﹣3x2+2x，∴f′（x）=3x2﹣6x+2，分别画出y=f′（x）与y=λ的图象如图所示：①当﹣1＜λ＜0时，则f（x1）＞f（x2）；②若0＜λ＜2，则f（x1）＞f（x2）；③若λ＞2，则f（x1）＜f（x2）．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设=（1，2），=（﹣1，1），=+λ，若⊥，则实数λ的值等于﹣5 ．【解答】解：=+λ=（1，2）+λ（﹣1，1）=（1﹣λ，2+λ），∵⊥，∴=1﹣λ+2（2+λ）=0，则实数λ=﹣5故答案为：﹣5．14．（5分）设曲线y=xlnx在点（1，0）处的切线与曲线在点P处的切线垂直，则点P的横坐标为±2 ．【解答】解：由y=xlnx，得y′=1+lnx，∴y′|x=1=1，由y=，得y′=﹣，设P（x0，y），则y′=|=﹣，由题意可得：﹣=﹣1，=±2．∴x则P点的横坐标为±2．故答案为：±2．15．（5分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积S= ．【解答】解：△ABC中，∵cosA=，可得：sinA==，∴由正弦定理可得：b===7，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：49=25+c2﹣5c，解得：c=8或﹣3（舍去），∴S=acsinB==．△ABC故答案为：．16．（5分）平面四边形ABCD中，，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，当三棱锥D'﹣ABC的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积是24π．【解答】解：在三角形ABC中，由余弦定理可得cosB==﹣，则sinB==，=2，则AC边上的高为h=1，平面四边形ABCD中，，四边形是筝形，AC⊥BD，当三棱锥D'﹣ABC的体积取得最大值时，△ACD翻折成△ACD'两个三角形所在平面垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，如图：则A（0，0，0），B（0，1，1），C（0，4，0），D（1，1，0），设外接球的球心为（x，y，z），则|OA|=|OB|=|OC|=|OD|，可得：，解得x=﹣1；y=2，z=﹣1，外接球的半径为：r=|OA|==，外接球的表面积为：4πr2=24π；故答案为：24π．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{an }是等比数列，数列{bn}满足．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{bn }的前n项和Sn．【解答】解：（1）因为an+1+bn=n，则a2+b1=1，得a2=4，a3+b2=2，得a3=8，因为数列{an}是等比数列，所以，所以．（2）由（1）可得，所以=．18．（12分）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就入职廊架公司的意愿做了统计，得到如下数据分布：（1）请分布计算40岁以上（含40岁）与40岁以下全体中选择甲公司的概率（保留两位小数），根据计算结果，你能初步得出什么结论？（2）若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的K 2的观测值为k 1=5.5513，测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？ 附：【解答】解：（1）设40岁以上（含40岁）与40岁以下群体中选择甲公司的概率分别为P 1，P 2， 由数据知P 1==≈0.49，P 2==≈0.42，因为P 1＞P 2，所以年龄40岁以上（含40岁）的群体选择甲公式的可能性要大； （2）因为k 1=0.5513＞5.024，根据表中对应值，得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025， 由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的2×2列联表：计算K2==≈6.734，且K2=6.734＞6.635，根据临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01，由0.01＜0.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=2，CD=4，PC=PD，∠PAB=∠PAD=60°．（1）证明：顶点P在底面ABCD的射影为边CD的中点；（2）点Q在PB上，且DQ⊥PB，求三棱锥Q﹣BCD的体积．【解答】（1）证明：取CD的中点为O，连接OP，OB，则OD=BA=2，因为AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=2，所以四边形ABOD是正方形，OB⊥CD，因为PC=PD，O为CD中点，所以PO⊥CD，由OP∩OB=O，所以CD⊥平面POB，PB⊂平面POB，所以CD⊥PB，因为AB∥CD，所以AB⊥PB，则在Rt△ABP中，∠PAB=60°，AB=2，所以，在Rt△DOP中，，所以OB2+OP2=4+8=12=PB2，即OP⊥OB，又CD∩OB=O所以PO⊥底面ABCD，即顶点P在底面ABCD的射影为边CD的中点．（2）解：由题设与（1）可得，因为DQ⊥PB，所以，解得，所以，又，设三棱锥Q﹣BCD的高为h，则，又，所以三棱锥Q﹣BCD的体积．20．（12分）已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为4．（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（2）过点A（﹣2，0）的直线l与C2交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为M'，证明：直线M'N恒过一定点．【解答】解：（1）设椭圆C1的半焦距为c，依题意，可得，则，代入x=c，得y2=4ax，即，所以，则有，所以椭圆C1的方程为，抛物线C2的方程为y2=8x．（2）依题意，可知直线l的斜率不为0，可设l：x=my﹣2，联立，得y2﹣8my+16=0，设M（x1，y1），N（x1，y1），则M'（x1，﹣y1），△＞0，得m＜﹣1或m＞1，，所以直线M'N的斜率，可得直线M'N的方程为，即=，所以当m＜﹣1或m＞1时，直线M'N恒过定点（2，0）．21．（12分）已知函数，（其中a∈R）（1）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＜0，求证：函数f（x）有唯一的零点．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，令f'（x）=0，即，①当x1=x2，即时，f'（x）≥0，f（x）是（0，+∞）上的增函数；②当x1＜x2，即时，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；③当x2＜x1，即时，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；综上所述，当时，f（x）在单调递增，在单调递减；当时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当时，f（x）在单调递增，在在单调递减．（2）若a＜0，令f'（x）=0，即（2x﹣a）（1+lnx）=0，得，当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，故当时，f（x）取得极小值，以下证明：在区间上，f（x）＜0，令，则，，，因为a＜0，t＞1，不等显然成立，故在区间上，f（x）＜0，又，即，故当a＜0时，函数f（x）有唯一的零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，0≤α＜π），曲线C的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设C与l交于M，N两点（异于原点），求|OM|+|ON|的最大值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为为参数），∴消去参数β，得曲线C的普通方程为x2+（y﹣2）2=4，化简得x2+y2=4y，则ρ2=4ρsinθ，所以曲线C的极坐标方程为ρ2=4ρsinθ．（2）∵直线l的参数方程为为参数，0≤α＜π），∴由直线l的参数方程可知，直线l必过点（0，2），也就是圆C的圆心，则，不妨设，其中，则，所以当，|OM|+|ON|取得最大值为．23．已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R．（1）若f（1）+f（﹣1）＞1，求a的取值范围；（2）若a＞0，对∀x，y∈（﹣∞，a]，都有不等式恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（1）+f（﹣1）=|1﹣a|﹣|1+a|＞1，若a≤﹣1，则1﹣a+1+a＞1，得2＞1，即a≤﹣1时恒成立，若﹣1＜a＜1，则1﹣a﹣（1+a）＞1，得，即，若a≥1，则﹣（1﹣a）﹣（1+a）＞1，得﹣2＞1，即不等式无解，综上所述，a的取值范围是．（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需，当x∈（﹣∞，a]时，，因为，所以当时，，即，解得﹣1≤a≤5，结合a＞0，所以a的取值范围是（0，5]．。