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概率的定义及其确定⽅法1.2 概率的定义及其确定⽅法本节包括概率的公理化定义、排列与组合公式、确定概率的频率⽅法、古典⽅法、⼏何⽅法及主观⽅法。
主要介绍概率的定义，在排列、组合公式的基础上，利⽤频率⽅法、古典⽅法、⼏何⽅法及主观⽅法计算事件的概率。
概率是对随机事件发⽣可能性⼤⼩的数值度量。
1.随机事件的发⽣是带有偶然性的，但随机事件的发⽣的可能性是有⼤⼩之分的；2. 随机事件的发⽣的可能性是可以度量的，犹如长度和⾯积⼀样；3.在⽇常⽣活中往往⽤百分⽐来表⽰。
这⾥也是如此在概率论的发展史上，曾经有过概率的古典定义、概率的⼏何定义、概率的频率（统计）定义和概率的主观定义。
1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫⾸次提出了概率的公⾥化定义。
⼀、概率的公理化定义1.定义设Ω为⼀样本空间， F 为Ω上的某些⼦集组成的⼀个事件域，如果对任意事件A ∈F ，定义在F 上的⼀个实值函数P （A ）满⾜：（1）⾮负性公理：()0;P A ≥（2）正则性公理：()1;P A =（3）可列可加性公理：若12,,,n A A A 两两互不相容，有11()();n n n n P A P A +∞+∞===∑则称P （A ）为事件A 的概率，称三元素(,,)P ΩF 为概率空间。
1.并没有告诉我们应如何确定概率。
但概率的古典定义、概率的⼏何定义、概率的频率（统计）定义和概率的主观定义都是在⼀定的场合下确定概率的⽅法。
由于计算概率要⽤到排列与组合的公式。
2.概率是关于事件的函数。
⼆、排列与组合公式1.两⼤计数原理（1）乘法原理：如果某件事需要经过k 步才能完成，做完第⼀步有1m 种⽅法，做完第⼆步有2m 种⽅法，…，做完第k 步有k m 种⽅法，那么完成这件事共有12n m m m 种⽅法。
如某班共有45位同学，他们⽣⽇完全不相同的情况有365×364×363×…×321种。
（2）加法原理：如果某件事可由k 类不同的办法之⼀去完成，在第⼀类办法中有1m 种完成⽅法，在第⼆类办法中有2m 种⽅法，…，在第k 类办法中有k m种⽅法，那么完成这件事共有12n m m m +++ 种⽅法。
§1.2 概率的定义及其确定方法在本节，我们要给出概率的定义，这是概率论中最基本的概念。
本节中我们还将介绍几种确定概率的方法。
随机事件的发生有偶然性，但我们常常会觉察到随机事件发生的可能性是有大小之分的。
例如，购买彩票后可能中大奖，可能不中奖，但中大奖的可能性远比不中奖的可能性小。
既然各种事件发生的可能性有大有小，自然使人们想到用一个数字表示事件发生的可能性大小。
这个数字就称为事件的概率。
然而，对于给定的事件，该用哪个数字作为它的概率呢？这决定于所研究的A 随机现象或随机试验以及事件的特殊性，不能一概而论。
在概率论的发展历史A 上，人们针对特定的随机试验提出过不同的概率的定义和确定概率的方法：古典定义、几何定义和频率定义。
这些概率的定义和确定方法虽然有其合理性，但也只适合于特定的随机现象，有很大的局限性。
那么如何给出适合于一切随机现象的概率的最一般的定义呢? 1900年数学家希尔伯特提出要建立概率的公理化定义以解决这个问题,即以最少的几条本质特性出发去刻画概率的概念.1933年数学家柯尔莫哥洛夫首次提出了概率的公理化定义,这一公理化体系迅速得到举世公认,有了这个定义后,概率论才被正式承认为一个数学分支,并得到迅猛发展.1.概率的公理化定义定义1.2.1 设为样本空间,为的某些子集组成的事件域.ΩF Ω))((F A A P ∈是定义在事件域上的实值集函数,如果它满足:F (1)非负性公理 对于任一,有;F A ∈0)(≥A P (2)正则性公理 ;1)(=ΩP (3)可列可加性公理 若……两两互不相容,则,,21A A ,,n A 则称)(A P 为事件A 的概率,称三元总体为概率空间.),,(P F Ω 概率的公理化定义刻画了概率的本质，概率是集合（事件）的实值函数，若在事件域上给出一个函数，只要这个函数满足上述三条公理就称为概率。
这个定义只涉及样本空间和事件域及概率的最本质的性质而与具体的随机现象无关。
古典概型、⼏何概型与概率的区别与联系课本上没有讲古典概型与概率的联系，这⾥补充⼀下。
古典概型：有限个事件，等可能发⽣。
放宽条件后得到⼏何概型：⽆限个事件，等可能发⽣；再放宽条件得到概率：⽆限个事件，不⼀定等可能发⽣。
古典概率古典概率讨论的对象局限于随机试验所有可能结果为有限个等可能的情形，即基本空间由有限个元素或基本事件组成，其个数记为n，每个基本事件发⽣的可能性是相同的。
若事件A包含m个基本事件，则定义事件A发⽣的概率为p（A）＝m／n，也就是事件A发⽣的概率等于事件A所包含的基本事件个数除以基本空间的基本事件的总个数，这是P.-S.拉普拉斯的古典概率定义，或称之为概率的古典定义。
历史上古典概率是由研究诸如掷骰⼦⼀类赌博游戏中的问题引起的。
计算古典概率，可以⽤穷举法列出所有基本事件，再数清⼀个事件所含的基本事件个数相除，即借助组合计算可以简化计算过程。
⼏何概率若随机试验中的基本事件有⽆穷多个，且每个基本事件发⽣是等可能的，这时就不能使⽤古典概率，于是产⽣了⼏何概率。
⼏何概率的基本思想是把事件与⼏何区域对应，利⽤⼏何区域的度量来计算事件发⽣的概率，布丰投针问题是应⽤⼏何概率的⼀个典型例⼦。
概率的频率定义随着⼈们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同⼀事件，可以从不同的等可能性⾓度算出不同的概率，从⽽产⽣了种种悖论。
另⼀⽅⾯，随着经验的积累，⼈们逐渐认识到，在做⼤量重复试验时，随着试验次数的增加，⼀个事件出现的频率，总在⼀个固定数的附近摆动，显⽰⼀定的稳定性。
R.von⽶泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。
从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的。
A.H.柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义。
设有k 个不同的球, 每个球等可能地落入N 个盒子中（）, 设每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:N k ≤（1）某指定的k 个盒子中各有一球；（4）恰有k 个盒子中各有一球；（3）某指定的一个盒子没有球；k m ≤（2）某指定的一个盒子恰有m 个球( )（5）至少有两个球在同一盒子中；（6）每个盒子至多有一个球.
例2（分房模型）
例7两船欲停靠同一个码头, 设两船到达码头的时间各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的. 如果两船到达码头后需在码头停留的时间分别是1 小时与2 小时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率.
解设船1 到达码头的时刻为x，0 ≤x < 24船2 到达码头的时刻为y，0 ≤y < 24设事件A表示任一船到达码头时需要等待空出码头
设Ω是随机试验E 的样本空间，若能找到一个法则，使得对于E 的每一事件A 赋于一个实数，记为P ( A ), 称之为事件A 的概率，这种赋值满足下面的三个条件：
非负性：0
)(,≥⊂∀A P A Ω 规范性：1
)(=ΩP ∑∞
=∞
==
⎟⎠
⎞⎜⎝⎛
1
1)
(i i i i A P A P U 可列可加性：L ,,21A A 其中为两两互斥事件，
概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫(A.H.Колмогоров)1933年建立.三、概率的公理化定义
6、加法公式：对任意两个事件A, B, 有
)
(
)
(
)
(
)
(AB
P
B
P
A
P
B
A
P−
+
=
∪
)
(
)
(
)
(B
P
A
P
B
A
P+
≤
∪
推广：
) (
)
(
)
(
) (
)
( )
(
)
(
)
(
ABC P
BC
P AC
P
AB P
C
P B
P
A
P
C
B
A
P
+
−−
−
+ +
=
∪
∪
)
()
1()()
()()(211
111
1
n n n
n
k j i k j i n
j i j i n
i i n
i i A A A P A A A P A A P A P A P L L U −≤<<≤≤<≤==−+++
+
−
=∑∑∑一般：
右端共有项.
12−n
例9 中小王他能答出第一类问题的概率为0.7, 答出第二类问题的概率为0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 为什么不是？
2.07.0×若是的话, 则应有)()()(2121A P A P A A P =而现在题中并未给出这一条件.
在§1.4中将告诉我们上述等式成立的条件是：事件相互独立.
21,A A
例10设A , B 满足P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7,
在何条件下，P (AB ) 取得最大(小)值？最大(小)值是多少？解
)
()()()(AB P B P A P B A P −+=∪)
()()()(B A P B P A P AB P ∪−+=3.01)()(=−+≥B P A P 1)(=∪B A P 最小值在时取得
6
.0)()(=≤A P AB P ——最小值
——最大值
)()(B P B A P =∪最大值在时取得。
