高中数学课时作业5同角三角函数的基本关系新人教A版必修4

同角三角函数的基本关系

教学目标：

1．进一步提高学生对三角函数定义的认识，通过本节课的学习，

学生能够利用定义探究同角三角函数的基本关系式．

2．鼓励学生发展实验观察、分析联想等技能，深化数形结合、分

类讨论和等价转化的思想，提高学生从特殊到一般的意识，完成此课后

学生能够初步应用同角三角函数基本关系式处理求值、证明和化简这三

类问题．

3．培养学生对数学学科的兴趣，体验成果发现的愉悦，完成此课

后学生能够对具体问题开展合作交流、探究学习．

教学重点：利用定义、数形结合思想探究发现同角三角函数基本关系

式，应用公式解决问题．

教学难点：求值过程中角度范围问题、恒等式证明的不同角度、化简最终

结果，以及在恒等变形过程中公式的灵活应用．

教学方法：探究式、讲解法

教学用具：常规

授课类型：新知课

授课时数：1

教学过程：

一、复习引入：

1．在角的终边上任取一点，它与原点的距离为1，请分别写出角的正

弦、余弦和正切值．

2．若角在第二象限，请分别画出它的正弦线、余弦线和正切线．

3．请分别计算下列各式：

（1）

（2）

（3）（4）

二、探究新知：

探究1、三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的.你能从圆的几何性质

出发，讨论一下同一个角的三角函数之间的关系？

问题1．观察第3题的结论，你有何发现？

问题2．以上结论对任一个角都成立吗？你能够说明吗？

（1）对任一个角都成立；

对任何一个不等于的角都成立．

（2）说明方法1：用三角函数的定义说明（利用定义）

说明方法2：用三角函数线说明（数形结合）（3）体会从特殊到一般的认知规律，了解同角三角函数关系的几何

意义.

结论：同角三角函数的基本关系：

文字语言：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切．

符号语言：平方关系——（注意与的区别）

商数关系——

说明：“同角”有两层含义：

一、“角相同”（也成立），

二、对“任意角”（在使得函数有意义的前提下）关系式都成

立．

三、新知应用：

例1．已知若是第三象限角，求的值．

解：

变化1、已知求的值．

§1．2．2 同角三角函数的基本关系

【学习目标、细解考纲】

灵活运用同角三角函数的两个基本关系解决求值、化简、证明等问题。

【知识梳理、双基再现】

1、同一个角的正弦、余弦的平方和等于 ，商等于 。

即 ; 。

【小试身手、轻松过关】

2、),0(,54cos，则tan的值等于 （ ）

A．34 B．43 C．34 D． 43

3、若15tan，则cos ；sin ．

4、化简sin2＋sin2β－sin2sin2β＋cos2cos2β= ．

5、已知51sin，求tan,cos的值．

【基础训练、锋芒初显】

6、已知A是三角形的一个内角，sinA＋cosA = 23 ,则这个三角形是 （ ）

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．不等腰直角三角形 D．等腰直角三角形

7、已知sinαcosα = 18 ,则cosα－sinα的值等于 （ ）

A．±34 B．±23 C．23 D．－23

8、已知是第三象限角，且95cossin44，则cossin （ ）

A． 32 B． 32 C． 31 D． 31

9、如果角满足2cossin,那么1tantan的值是 （ ）

A．1 B．2 C．1 D．2

10、若sin1sin1sin1sin1 = －2 tan，则角的取值范围是 ．

1.2.2《同角三角函数的基本关系》教学设计

【学习目标】

（1）理解同角三角函数的基本关系式。

（2）掌握基本关系式在两个方面的应用：1）已知一个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值；2）化简或证明简单的三角恒等式。

【教学重点和难点】

重点：同角三角函数基本关系式的推导及应用。

难点：（1）对于“同角”的理解；

（2）角α所在象限不定时对于三角函数值的讨论；

（3）证明三角恒等式的一般思路，及公式在解题中的灵活运用。

【新知探究】

一、 温故知新

1、回忆：任意角三角函数的定义?

【小组交流】：（1）根据三角函数的定义，你能发现tancossin、、三者之间的关系吗？

（2）如果过点P作x轴的垂线垂足为M，在OMPRt中根据勾股定理，你又能得出什么结论？

（3）请分别用文字语言和代数式表示上述结论。

α P(x,y)

x y 如图：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y）则:

tancossin

二、 新知应用

1、

【变式1】：例2.

【变式2】 已知3tan，求cossin、的值。

方法总结：

一：若已知sinα或cosα，先通过平方关系得出另外一个三角函数值，再用商数关系求得tanα。

二：若已知tanα，先通过商数关系确定sinα与cosα的联系，再代入平方关系求得sinα与cosα。

【注意】 若角所在象限未定，应讨论所在的象限。

的值。、是第三象限角角tanαcosα，求,53sinα已知1例的值。，求已知tan,sin53cos2、例3、.cossin1sin1cosxxxx求证：

【变式练习】求证：

（1）2244cossincossin

（2）1coscossinsin2224

1.2.2 同角三角函数的基本关系

自主学习

知识梳理

1．同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：____________________.

(2)商数关系：____________________.

2．同角三角函数基本关系式的变形

(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：

sin2α＝__________；cos2α＝__________；

(sin α＋cos α)2＝__________；

(sin α－cos α)2＝____________；

(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________；

sin α·cos α＝____________＝____________.

(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝____________；

cos α＝____________.

自主探究

1．利用任意角三角函数的定义推导平方关系．

2．已知tan α＝2，求下列代数式的值．

(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；

(2)14sin2α＋13sin αcos α＋12cos2α.

对点讲练

知识点一 已知某一个三角函数值，求同角的其余三角函数值

例1 已知cos α＝－817，求sin α、tan α.

回顾归纳 同角三角函数的基本关系式揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用．

变式训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．

知识点二 利用同角的三角函数基本关系式化简

例2 化简：1cos α1＋tan2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.

回顾归纳 解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系．化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解．