高中数学 1.2.2同角三角函数的基本关系课时作业 新人教A版必修4

1．2.2 同角三角函数的基本关系

课时目标 1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．

1．同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：____________________.

(2)商数关系：____________(α≠kπ＋π2，k∈Z)．

2．同角三角函数基本关系式的变形

(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：

sin2α＝________；cos2α＝________；

(sin α＋cos α)2＝____________________；

(sin α－cos α)2＝________________；

(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝______；

sin α·cos α＝______________________＝________________________.

(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝________________；cos α＝______________.

一、选择题

1．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是(

)

A.14 B.12 C．1 D.32

2．若sin α＋sin2α＝1，则cos2α＋cos4α等于( )

A．0 B．1 C．2 D．3

3．若sin

α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )

A．－43 B.34 C．±34 D．±43

4．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin2α－cos2α的值是( )

A.13 B．3 C．－13 D．－3

5．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan

α的值为( )

A．－4 B．4 C．－8 D．8

6．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α等于( )

A.12 B．2 C．－12 D．－2

二、填空题

7．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝________.

8．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝________.

9．已知sin αcos α＝18且π4

10．若sin θ＝k＋1k－3，cos θ＝k－1k－3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．

三、解答题

11．化简：1－cos4α－sin4α1－cos6α－sin6α.

12．求证：1－2sin 2xcos 2xcos2 2x－sin2 2x＝1－tan 2x1＋tan 2x.

能力提升

13．证明：

(1)1－cos2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan2α－1＝sin α＋cos α；

(2)(2－cos2α)(2＋tan2α)＝(1＋2tan2α)(2－sin2α)．

14．已知sin θ、cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根(a∈R)．

(1)求sin3θ＋cos3θ的值；

(2)求tan θ＋1tan θ的值．

1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．

2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．

3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系变形的出发点．

1．2.2 同角三角函数的基本关系

答案

知识梳理

1．(1)sin2α＋cos2α＝1 (2)tan α＝sin αcos α

2．(1)1－cos2α 1－sin2α 1＋2sin αcos α 1－2sin αcos α

2

sin α＋cos

α2－12 1－sin α－cos

α22 (2)cos αtan α sin αtan

α

作业设计

1．C 2.B 3.A

4．C [1＋2sin αcos αsin2α－cos2α＝sin α＋cos

αsin α＋cos αsin α＋cos αsin α－cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13.]

5．C [tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.

∵sin αcos α＝1－sin α－cos α22＝－18，∴tan α＋1tan α＝－8.]

6．B [方法一 由 cos α＋2sin α＝－5cos2α＋sin2α＝1联立消去cos α后得(－5－2sin α)2＋sin2α＝1.

化简得5sin2α＋45sin α＋4＝0

∴(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－255.

∴cos α＝－5－2sin α＝－55.

∴tan α＝sin αcos α＝2.

方法二 ∵cos α＋2sin α＝－5，

∴cos2α＋4sin αcos α＋4sin2α＝5，

∴cos2α＋4sin αcos α＋4sin2αcos2α＋sin2α＝5，

∴1＋4tan

α＋4tan2α1＋tan2α＝5，

∴tan2α－4tan

α＋4＝0，

∴(tan α－2)2＝0，∴tan α＝2.]

7．－513

8.45

解析 sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋tan θ－2tan2θ＋1，

又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.

9．－32

解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34，

∵π4

10.34

解析 ∵sin2θ＋cos2θ＝k＋1k－32＋k－1k－32＝1，

∴k2＋6k－7＝0，

∴k1＝1或k2＝－7.

当k＝1时，cos θ不符合，舍去．

当k＝－7时，sin θ＝35，cos θ＝45，tan θ＝34.

11．解 原式＝1－cos4α－sin4α1－cos6α－sin6α

＝1－cos2α1＋cos2α－sin4α1－cos2α1＋cos2α＋cos4α－sin6α

＝sin2α1＋cos2α－sin4αsin2α1＋cos2α＋cos4α－sin6α

＝1＋cos2α－sin2α1＋cos2α＋cos4α－sin4α

＝2cos2α1＋cos2α＋cos2α＋sin2αcos2α－sin2α

＝2cos2α1＋cos2α＋cos2α－sin2α＝2cos2α3cos2α＝23.

12．证明 左边＝cos2 2x＋sin2 2x－2sin 2xcos 2xcos22x－sin22x

＝cos 2x－sin 2x2cos 2x－sin 2xcos 2x＋sin 2x

＝cos 2x－sin 2xcos 2x＋sin 2x＝1－tan 2x1＋tan 2x

＝右边．

∴原等式成立．

13．证明

(1)左边＝sin2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin2αcos2α－1

＝sin2 αsin α－cos α－sin α＋cos αsin2α－cos2αcos2α

＝sin2αsin α－cos α－cos2αsin α＋cos αsin2α－cos2α

＝sin2αsin α－cos α－cos2αsin α－cos α

＝sin2α－cos2αsin α－cos α

＝sin α＋cos α＝右边．

∴原式成立．

(2)∵左边＝4＋2tan2α－2cos2α－sin2α＝2＋2tan2α＋2sin2α－sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α，

右边＝(1＋2tan2α)(1＋cos2α)＝1＋2tan2α＋cos2α＋2sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α

∴左边＝右边，∴原式成立．

14．解 (1)由韦达定理知：

sin θ＋cos

θ＝a，sin θ·cos θ＝a.

∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，

∴a2＝1＋2a.

解得：a＝1－2或a＝1＋2

∵sin θ≤1，cos θ≤1，

∴sin θcos θ≤1，即a≤1，

∴a＝1＋2舍去．

∴sin3θ＋cos3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ)

＝a(1－a)＝2－2.

(2)tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin2θ＋cos2θsin θcos θ＝1sin θcos θ＝1a＝11－2＝－1－2.