初中数学《圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系》学案

（三）情感态度与价值观
1.情感目标：培养学生对数学的兴趣，使学生能够积极主动地参与数学学习，提高学生的数学学习积极性。
在教学过程中，我会运用人性化的语言，生动有趣的例子，激发学生的学习兴趣，使学生能够积极主动地参与数学学习，提高学生的数学学习积极性。
2.价值观目标：培养学生严谨治学的态度，使学生能够认真对待数学学习，提高学生的数学学习效果。
九年级下册数学沪科版24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系优秀教学案例
一、案例背景
本节内容为九年级下册数学沪科版24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。在之前的学习中，学生已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、直径、半径等。本节内容旨在引导学生探究圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，帮助学生进一步理解圆的性质，提高解决问题的能力。
（三）小组合作
1.小组合作的目的是：通过小组合作，培养学生的团队合作精神，提高学生的数学学习效果。
在教学过程中，我会组织学生进行小组合作，让学生在合作中发现问题、解决问题，共同完成学习任务。例如，在讲解圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系时，我可以让学生以小组为单位，进行探究和实践，发现和理解圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。
根据课程标准，本节课的教学目标为：1.理解圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系；2.学会运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决实际问题；3.培养学生的观察能力、动手操作能力和推理能力。
为了实现以上目标，我设计了以下教学活动：1.通过观察和操作，让学生发现圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系；2.运用几何画板软件，动态展示圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，增强学生的直观感受；3.创设有趣的问题情境，让学生运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决实际问题。
1.反思与评价的目的：通过反思与评价，让学生总结经验，提高数学学习效果。

（1）圆心角相等的两条弧相等；
（2）弧长相等的两条弧所对的圆心角相等；
（3）弦长相等的两条弦所对的圆心角相等；
（4）弦心距相等的两条弦所对的圆心角相等。
2.教学方法：
运用直观的图形、实例和动画演示，让学生直观地感受圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。同时，结合几何画板，让学生动手操作，加深对几何性质的理解。
（3）鼓励学生参与评价，让学生在评价中反思自己的学习过程，不断提高。
4.教学拓展：
（1）引导学生关注生活中的圆，发现圆心角、弧、弦、弦心距在生活中的应用，增强学生的应用意识。
（2）鼓励学生参加数学竞赛、课外活动等，拓宽知识面，提高数学素养。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：
在导入新课环节，我将利用多媒体展示生活中常见的圆形物体，如车轮、风扇、时钟等，引导学生观察这些物体，并思考它们与圆的关系。通过这种方式，让学生感知圆在生活中的广泛应用，为新课的学习营造情境。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.理解并掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，能运用这些关系解决实际问题。
2.培养学生的观察能力、逻辑思维能力和空间想象能力。
3.学会运用几何画板等信息技术手段辅助解题，提高学生的信息素养。
（二）教学难点
1.弧、弦、圆心距之间相互关系的理解和应用，特别是弦心距的计算。
（二）过程与方法
1.引导学生通过观察、实践、探索，发现圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，培养学生的观察能力和动手操作能力。
2.运用问题驱动法，激发学生的思考，引导学生通过自主探究、小组合作交流，形成解决问题的策略。
3.教师通过典型例题的讲解，帮助学生总结解题规律，提高学生的解题能力。

圆心角_弧_弦_弦心距的关系教学设计（一）教学目标：（1）理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理推论及应用；（2）培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力；（3）通过教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育，渗透圆的内在美（圆心角、弧、弦、弦心距之间关系），激发学生的求知欲．（二）教学重点、难点：重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理的推论．难点：从感性到理性的认识，发现、归纳能力的培养．（三）教学内容设计（一）圆的对称性和旋转不变性学生动手画圆，对折、观察得出：圆是轴对称图形和中心对称图形；圆的旋转不变性. 引出圆心角和弦心距的概念：圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角．弦心距定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距．（二）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系应用电脑动画（实验）观察，在同圆等圆中，圆心角变化时，圆心角所对应的弧、弦、弦心距之间的关系，得出定理的内容.这样既培养学生观察、比较、分析和归纳知识的能力，又可以充分调动学生的学习的积极性. 定理：在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．（三）剖析定理得出推论问题1：定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提，否则也不一定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论.（学生分小组讨论、交流）举出反例：如图，∠AOB=∠COD，但AB CD， .（强化对定理的理解，培养学生的思维批判性.）问题2、在同圆等圆中，若圆心角所对的弧相等，将又怎样呢？（学生分小组讨论、交流，老师与学生交流对话），归纳出推论. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（推论包含了定理，它是定理的拓展）（四）应用、巩固和反思。

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系数学教案标题：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系数学教案一、教学目标：1. 知识与技能：学生能理解并掌握圆心角、弧、弦、弦心距的定义，以及它们之间的关系。

2. 过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，让学生经历探索圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的过程，培养学生的空间观念和推理能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对几何学的兴趣，体验数学之美，提高学习数学的积极性。

二、教学重难点：重点：理解和掌握圆心角、弧、弦、弦心距的概念，以及它们之间的关系。

难点：运用所学知识解决实际问题，提升空间观念和推理能力。

三、教学过程：（一）引入新课首先，教师可以引导学生回顾上节课学习的圆的基本性质，然后提出问题：“在同一个圆中，如果两个扇形的圆心角相等，那么这两个扇形的面积会有什么关系呢？”以此引发学生的好奇心和求知欲，导入新课。

（二）新课讲解1. 圆心角、弧、弦、弦心距的定义（1）圆心角：从圆心出发，引两条射线所形成的角叫做圆心角。

（2）弧：圆上两点间的部分叫做弧。

（3）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（4）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等。

（3）在同圆或等圆中，如果一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍，那么这条弧所对的弦就平分这条弧所对的圆心角。

（三）课堂练习设计一些基础题和拓展题，让学生进行自我检测，检查他们是否真正掌握了这些概念和关系。

（四）课堂小结邀请几位学生分享他们的学习心得，教师再做总结，并强调本节课的重点和难点。

（五）课后作业布置一些相关习题，让学生在课后继续巩固所学知识。

四、教学反思在教学过程中，要时刻关注学生的反应，及时调整教学策略，确保每一位学生都能跟上教学进度。

圆心角、弧与弦心距之间的关系教案一、教学目标1. 让学生理解圆心角、弧和弦心距的概念。

2. 让学生掌握圆心角、弧和弦心距之间的关系。

3. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 圆心角的概念：圆心角是指以圆心为顶点的角，它的两条边分别落在圆上。

2. 弧的概念：弧是指圆上两点间的部分。

3. 弦心距的概念：弦心距是指从圆心到弦的垂直线段。

4. 圆心角、弧和弦心距之间的关系：在等圆或同圆中，圆心角等于它所对的弧的一半，弦心距垂直平分弦，并且弦心距等于它所对的圆心角的一半。

三、教学重点与难点1. 教学重点：让学生掌握圆心角、弧和弦心距之间的关系。

2. 教学难点：圆心角、弧和弦心距之间的转换和应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究圆心角、弧和弦心距之间的关系。

2. 利用几何画板或实物模型，直观展示圆心角、弧和弦心距的特点。

3. 运用小组合作学习，让学生在探究中互相交流、互相学习。

五、教学过程1. 导入：通过展示一些生活中的圆形物体，引导学生关注圆心角、弧和弦心距的概念。

2. 新课导入：介绍圆心角、弧和弦心距的定义，让学生理解它们之间的关系。

3. 实例讲解：利用几何画板或实物模型，展示圆心角、弧和弦心距的特点，引导学生发现它们之间的关系。

4. 课堂练习：设计一些练习题，让学生运用圆心角、弧和弦心距的关系解决问题。

5. 总结提升：对本节课的内容进行总结，强调圆心角、弧和弦心距之间的关系。

6. 课后作业：布置一些有关圆心角、弧和弦心距的练习题，巩固所学知识。

六、教学策略1. 采用问题驱动法，引导学生探究圆心角、弧和弦心距之间的关系。

2. 利用几何画板或实物模型，直观展示圆心角、弧和弦心距的特点。

3. 运用小组合作学习，让学生在探究中互相交流、互相学习。

4. 创设生活情境，让学生运用圆心角、弧和弦心距的关系解决实际问题。

七、教学评价1. 课堂练习：设计一些练习题，检查学生对圆心角、弧和弦心距之间关系的掌握程度。

圆心角、弧与弦心距之间的关系教案一、教学目标：1. 让学生理解圆心角、弧和弦心距的概念。

2. 让学生掌握圆心角、弧和弦心距之间的关系。

3. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 圆心角、弧和弦心距的定义。

2. 圆心角、弧和弦心距之间的关系。

三、教学重点与难点：1. 重点：圆心角、弧和弦心距之间的关系。

2. 难点：如何运用圆心角、弧和弦心距之间的关系解决实际问题。

四、教学方法：1. 采用直观演示法，让学生通过观察、实验等活动，发现圆心角、弧和弦心距之间的关系。

3. 采用案例分析法，让学生通过解决实际问题，运用圆心角、弧和弦心距之间的关系。

五、教学过程：1. 导入：通过复习相关知识点，引导学生进入本节课的学习。

2. 新课导入：讲解圆心角、弧和弦心距的定义，让学生理解这三个概念。

3. 实验演示：进行实验，让学生观察圆心角、弧和弦心距之间的关系。

5. 案例分析：给出实际问题，让学生运用圆心角、弧和弦心距之间的关系解决问题。

6. 巩固练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

8. 课后作业：布置课后作业，让学生进一步巩固所学知识。

六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对圆心角、弧和弦心距概念的理解程度。

2. 实验观察：评估学生在实验过程中的观察能力和动手能力。

3. 练习题完成情况：检查学生对圆心角、弧和弦心距之间关系的掌握程度。

4. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的巩固情况。

七、教学拓展：1. 引导学生探索圆心角、弧和弦心距在圆的其他性质中的应用。

2. 邀请专家进行专题讲座，加深学生对圆心角、弧和弦心距之间关系的理解。

3. 组织学生进行研究性学习，让学生深入研究圆心角、弧和弦心距在其他领域的应用。

八、教学反思：1. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。

2. 反思教学内容：根据学生的掌握程度，调整教学内容，确保学生扎实掌握圆心角、弧和弦心距之间的关系。

3. 反思教学评估：根据评估结果，改进教学评估方法，更准确地了解学生的学习情况。

圆心角、弧与弦心距之间的关系教案教学目标：知识与技能：1. 理解圆心角、弧与弦心距之间的关系；2. 学会运用圆心角、弧与弦心距之间的关系解决实际问题。

过程与方法：1. 通过观察和实验，发现圆心角、弧与弦心距之间的关系；2. 运用图形软件绘制圆心角、弧与弦心距之间的关系图示。

情感态度价值观：1. 培养学生的观察能力、实验能力及逻辑思维能力；2. 培养学生对数学的兴趣和好奇心。

教学重点：1. 圆心角、弧与弦心距之间的关系；2. 运用圆心角、弧与弦心距之间的关系解决实际问题。

教学难点：1. 圆心角、弧与弦心距之间关系的理解和运用。

教学准备：1. 教学课件；2. 图形软件。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾之前学过的圆的基本知识，如圆的定义、圆的性质等；2. 提问：同学们，你们知道圆心角、弧和弦心距之间的关系吗？二、探究圆心角、弧与弦心距之间的关系（15分钟）1. 让学生分组进行实验，观察圆心角、弧与弦心距之间的关系；2. 引导学生发现圆心角、弧与弦心距之间的关系，并用语言描述；3. 邀请学生分享实验结果，总结圆心角、弧与弦心距之间的关系。

三、运用圆心角、弧与弦心距之间的关系解决问题（10分钟）1. 出示一些实际问题，让学生运用圆心角、弧与弦心距之间的关系解决；2. 引导学生运用图形软件绘制圆心角、弧与弦心距之间的关系图示；3. 讲解解题过程，引导学生总结解题方法。

四、巩固练习（5分钟）1. 出示一些练习题，让学生独立完成；2. 讲解答案，解析解题思路。

五、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生复述圆心角、弧与弦心距之间的关系；2. 强调圆心角、弧与弦心距之间的关系在实际问题中的应用。

六、案例分析与应用（10分钟）1. 提供一个具体的案例，例如在圆中，某个弦比另一个弦短，但与之对应的圆心角却更大；2. 让学生分析案例，运用圆心角、弧与弦心距之间的关系解释现象；3. 引导学生思考如何在实际问题中识别和应用这些关系。

数学教案：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系一、知识梳理1. 圆心角定义：在圆周上任取弧AB和圆心O，以O为顶点连接线段OA与OB，则∠AOB称为圆心角，记作∠AOC或∠BOC。

性质：圆周角相等的弧所对的圆心角相等。

即：AB=CD，则∠AOC=∠COD。

2. 弧定义：在圆上取两点A、B，以它们为端点的弧就是弧AB。

当弧是一条直线时，称为全圆（或周长）。

性质：1.相等的弧所对的圆心角相等。

即：AB=CD，则∠AOC=∠COD。

2.同圆弧所对的圆心角相等。

即：∠AOC=∠A’OC’=∠BOD=∠B’OD’。

3.从同一点出发，到圆上任意一点的两条弧所对的圆心角相等。

3. 弦定义：在圆上取两点A、B，则线段AB叫做圆的弦。

性质：等长的弦所对的圆心角相等。

即：FA=GB，则∠FOC=∠GOD。

4. 弦心距定义：在圆上取一点P，过其作与圆相交于点A、B两点的弦，那么点P到弦AB的距离叫做该弦的弦心距。

性质：1.在同一圆中，离圆心较远的弦所对的圆心角较小，而相应弦心距也较小。

2.在同一圆中，离圆心较近的弦所对的圆心角较大，而相应弦心距也较大。

二、教学设计1. 教学目标1.熟练掌握圆心角、弧、弦、弦心距的概念，理解它们之间的关系。

2.能够应用圆心角、弧、弦、弦心距的知识解决实际问题。

2. 教学重点和难点重点：掌握圆心角、弧、弦、弦心距的概念及其性质。

难点：理解它们之间的关系，能够应用知识解决实际问题。

3. 教学方法1.课堂讲授法：讲解和介绍圆心角、弧、弦、弦心距的定义及其性质。

2.组合法：通过组合圆的各种元素来探索它们之间的关系，引导学生自主体验和发现。

3.对话法：与学生互动，通过提问和解答来加深学生对概念和性质的理解和记忆。

4. 教学流程1.引入引导学生讨论：什么是圆心角、弧、弦、弦心距？这些概念有什么联系？2.讲授讲授圆心角、弧、弦、弦心距的定义及其性质，帮助学生掌握这些概念。

3.组合组合圆的各种元素，引导学生自主体验和发现它们之间的关系。

《圆心角、弧、弦、弦心距、间关系》教案（二）教学目标1.通过观察实验，使学生了解圆心角的概念.掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等，以及它们在解题中的应用．2.通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题，进一步理解和体会研究几何图形的各种方法.3.激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.教学重点在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．教学难点探索定理和推导及其应用．教学过程一、创设情境 想一想（1）平行四边形绕对角线交点O 旋转180°后，你发现了什么？ （2）⊙O 绕圆心O 旋转180°后，你发现了什么？（3）思考：平行四边形绕对角线交点O 任意旋转任意一个角度后，你发现了什么？把⊙O 绕圆心O 旋转任意一个角度后，你发现了什么？二、探究新知（1）探究：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。

（可以出题让学生判断）将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ’OB ’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？你能证明吗？得出：（2）在等圆中，是否也能得出类似的结论呢？做一做：在纸上画两个等圆，画∠A ’OB=∠AOB ，连结AB 和A ’B ’，则弦AB 与弦A ’B ’，B． A ’．B ’ B ’(B)O ’OA ’(A)AAM O BCDN弧AB 与弧A ’B ’还相等吗？为什么？请学生动手操作，在实践中发现结论依旧成立。

（3）说一说尝试将上述结论用数学语言表达出来。

（4）思考：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你能得到什么结论？在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？在同圆或等圆中，如果两条弦心距相等呢？学生小组讨论，归纳得出： 三、例题讲解例：如图，在⊙O 中，弧AB=弧AC ，∠ACB=60°， 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC 。

【基础知识精讲】1.大体概念(1)极点在圆心的角叫圆心角. (2)从圆心到弦的距离叫弦心距.(3)1°的圆心角所对的弧叫1°的弧. 2.定理(1)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等. (3)在同圆或等圆中，若是两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量别离相等.3.应注意的问题(1)解题时作圆心的弦心距是经常使用辅助线.(2)等弧的度数必然相等，相等度数的弧不必然是等弧.【重点难点解析】本节的重点是把握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系，并能运用这些关系解决有关的证明、计算题，难点在于选择适当的辅助线，运用这几个量的相等关系解题.例1 如图7-20，O 是Rt △ABC 三条角平分线的交点，∠C=90°，⊙O 通过C 点别离交AC 、BC 于D 、E ，交AB 于F 、G ，求证⌒CD =⌒CE =⌒FG证明：作弦CD 、CE 、FG 的弦心距OM 、ON 、OP ， ∵O 是△ABC 的三条角平分线的交点， ∴OM=ON=OP ， 那么：⌒CD =⌒CE =⌒FG说明：证明弧相等通常证明弧所对的弦或圆周角相等，此题由角平分线定理得三条弦的弦心距相等，从而明白这三条弧相等.图7-20 图7-21例2 如图7-21，OA 、OB 是⊙O 的两条相互垂直的半径，M 是弦AB 的中点，过M 作MC∥OA ，交⌒AB 于C ，求证⌒AC =31⌒AB .证明：过M 、C 作ME ⊥AO 于E ，CF ⊥AO 于F ，连OC∵M 为AB 的中点，∴ME=21OB,易证MEFC 为矩形 ∴CF=21OB=21OC ，∠COF=30°，那么⌒AC =31⌒AB说明：假设⌒AC =31⌒AB ，那么∠COF=31∠BOA ，由题目条件知，须证明∠COF=30°即可.例3 已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，AP 是⊙O 的弦，且AP ∥CD ，求证BD=DP证明：如图7-22，∵AP ∥CD ，∴⌒AC =⌒PD ， ∵AB 、CD 是两直径，∴∠COA=∠BOD ， ∴⌒CA =⌒BD ，那么⌒BD =⌒PD 故BD=DP说明：此题用到“夹在两平行弦之间的弧相等”，“圆心角相等弧相等”，“弧相等弧所对的弦相等”等结论.例4 如图7-23，MBA 与MDC 是⊙O 的二割线，已知弦AB=CD ，求BM=DM.证明：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，∵AB=CD ，∴OE=OF ，那么Rt △MEO ≌Rt △MFO ， ∴ME=MF ，又AE=21AB=21CD=FC ∴MB=MC说明：此题通过作弦心距将问题转化为证ME=MF ，再通过三角形全等达到目的，在全等的证明进程顶用到“弦相等弦心距相等”这一结论.【难题巧解点拨】例1 如图7-24，⊙O 中弦AB=CD ，⌒AB 与⌒CD 的中点别离是M 和N ，MN 与AB 、CD 别离交于E 和F ，求证：ME=NF.证明：连结AM 、BM 、CN 、DN∵AB=CD，∴⌒AB=⌒CD∵M、N的别离为⌒AB、⌒CD的中点∴⌒AM=⌒MB=⌒CN=⌒DN∴AM=BM=CN=DN，⌒MD=⌒NB∴∠FND=∠EMB，∠MBE=∠NDF，∴△MEB≌△NFD，∴ME=FN说明：此题通过弧、弦相等关系的互换证得MB=DN，从而得△MEB≌△FND，得出结论.例2 如图7-25，已知⊙O的两弦AB和CD相交于P，且∠BPO=∠DPO，求证：⌒AD=⌒BC.证明：作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，∵∠BPO=∠DPO，∴OE=OF，CD=AB，⌒AB=⌒CD，⌒AD=⌒BC说明：此题通过角平分线定理得弦心距相等，从而弦相等，进而弧相等，再去掉公共部份⌒AC得命题成立.【讲义难题解答】1.如图7-26，在⊙O中，弦AB=CD，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF，求证：EF 的垂直平分线通过点O.分析：由角平分线定理的逆定理知，只须证明OE=OF，又由条件弦相等得弦心距OM=ON，从而得△FOM≌△EON，证出OF=OE，命题成立.2.如图7-27，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于D，求⌒AD的度数.分析：要求弧AD 的度数确实是求∠DCA 的度数，由条件易求出∠A=65°，再考虑△CDA ，易求得∠DCA=50°，∴⌒AD =50°【典型热点考题】例1 如图7-28，已知⊙O 中⌒AB =2⌒CD ，求证明：AB ＜2CD.证明：取⌒AB 的中心M ，连结BM 、AM ∵⌒AB =2⌒CD ∴⌒AM =⌒BM =⌒CD从而有AM=BM=CD在△AMB 中，AB ＜BM+AM=2AM=2CD 故AB ＜2CD说明：此题要紧考察弦、弧之间的关系，定理告知咱们等弧对等弦，此题告知咱们长不相等的弧的比值与其所对的弦的比值不等.例2 如图7-29，AB 为⊙O 的直径，半径OC ⊥AB ，过OC 的中点D 作弦EF ∥AB ，求证∠ABE=15°.证明：作EH ⊥AB 于H ，那么EHOD 为矩形 ∴EH=OD ，又D 为CO 的中点，∴EH=OD=21CO考虑△EHO 知：∠EOH=30° 再考虑△EOB 知：∠EBO=21∠EOH=15° 例3 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=20°，以C 为圆心CA 为半径的圆交BA 于D ，交BC 于E ，求⌒DE 的度数(图7-30).解：连连DC ，考虑△ABC ，∵∠C=90°，∠B=20°∴∠A=70° 考虑△CDA ，∵CD=CA ，∠A=70°∴∠DCA=40°，那么∠DCE=50°，∴⌒DE =50° 说明：此题要紧考察弧的度数的概念.本周训练【同步达纲练习】一、填空题(8分×5=40分)(1)梯形ABCD 内接于⊙O ，且AD ∥BC ，那么AB= .(2)AB 、CD 是⊙O 的两弦，E 、F 别离是AB 、CD 的中点，假设AB=CD ，作OE= ，∠AOB= ，⌒AB = .(3)圆内最大的弦是12，那么那个圆的半径是 .(4)一条弦把圆分成2:3两部份，那么劣弧所对的圆心角的度数是 . (5)等边△ABC 内接于⊙O ，那么与⌒AB 相等的弧有 ，∠AOB= .二、选择题(8分×5=40分)(1)AB 、CD 别离是两个不等圆的弦，假设AB=CD ，那么( )A.⌒AB =⌒DCB. ⌒AB ＞⌒DCC. ⌒AB ＜⌒DCD. ⌒AB ≠⌒DC (2)在⊙O 中，⌒AB =2⌒DC ，那么( )=2DC =DC ＜2DC ＞2DC(3)在△ABC 中，∠A=70°，⊙O 截△ABC 的三边，所截得的弦都相等那么∠BOC 等于( )° ° ° D.不能确信(4)在半径不相等的⊙O1和⊙O2中，⌒11BA与⌒22BA所对的圆心角都是60°，那么以下说法正确的选项是( )A.⌒11BA与⌒22BA的弧长相等B.⌒11BA和⌒22BA的度数相等C.⌒11BA与⌒22BA的弧长和度数都相等D.⌒11BA与⌒22BA的弧长和度数不相等(5)下面说法正确的选项是( )A.弦相等，那么弦心距相等B.弧长相等的弧所对的弦相等C.垂直于弦的直线必平分弦D.圆的两条平行弦所夹的弧长相等三、解答题(10分×2=20分)(1)从⊙O外一点P向⊙O引两条割线PAB、PCD交⊙O于A、B、C、D，且⌒AB=⌒CD，求证：圆心O必在∠BPD的平分线上，(2)如图7-31，已知⊙O的半径OA、OB相互垂直，弦AD的延长线交OB的延长线于C，假设∠ACD=32°，求⌒AD的度数.【素养优化训练】1.如图7-32，在⊙O中，弦AB=CD，E、F别离在AB、CD的延长线上，BE=DF，OG⊥EF，垂足为G，求证：G为EF的中点.2.求证：求⊙O内一点A的所有弦中，垂直于OA的弦最短.。

圆心角、弧、弦、弦心距间的关系一、课前自主学习：1、顶点在 的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做 ；能够 的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的的图形重合，这就是圆的 性。

2、如图1，叫做∠所对的， ⋂AB 叫做∠所对的， 叫做∠所对弦的。

在同一个圆中，根据222半径弦长一半弦心距=+可知，相等的弦对应的弦心距,较长弦所对应的弦心距较，较长弦心距所对应的弦较(填“短”或“长”)。

3、如图1，在⊙O 中，、是两条弦，⊥于E ，⊥于F⑴如果∠∠，那么 ， ，； ⑵如果⋂AB =⋂CD ，那么 ， ，； ⑶如果，那么 ， ，。

4、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 ，所对弦的弦心距也 。

5、在同圆或等圆中，两个 ，两条 ，两条 ，两条 中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。

二、师生探究圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理：（学生准备两个透明等圆） 合作小组讨论交流P82定理的探究过程：问题1、在同一个圆中，将圆心角∠绕圆心O 旋转到∠A ′′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？问题2、在等圆中，能否也能得出类似的结论呢？问题3、定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦对应的弦心距也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？结合右图说明。

三、例题赏析⑴已知⋂AD =⋂BC 求证：。

⑵如果，求证：。

四、当堂检测1、如果两个圆心角相等，那么（ ）DBOACEF图1COABDOCBABF E ODCA A ．这两个圆心角所对的弦相等。

B 这两个圆心角所对的弧相等。

C 这两个圆心角所对的弦的弦心距相等。

D 以上说法都不对 2、下列说法正确的是（ ）A ．等弦所对的圆心角相等 B. 等弦所对的弧相等C. 等弧所对的圆心角相等D. 相等的圆心角所对的弧相等 3、在同圆中，圆心角∠2∠，则 与 的关系是（ ）A =2 B. ＞ C. ＜2 D. 不能确定 4、 在同圆中，=,则（ ）A B ＞ C ＜ D. 不能确定（变式）在⊙O 中，2,那么2；如果=2，那么2。

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【教学目标】1．使学生理解圆的旋转不变性，理解圆心角、弦心距的概念；2．使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系解决有关问题；3．培养学生观察、分析、归纳的能力，向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律。

【教学重难点】圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是重点；从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是难点。

【教学过程】一、创设情景，引入新课圆是轴对称图形。

圆的这一性质，帮助我们解决了圆的许多问题。

今天我们再来一起研究下圆还有哪些特性。

1．动态演示，发现规律。

投影出示图，并动态显示：平行四边形绕对角线交点O旋转180°后。

问：（1）结果怎样？学生答：和原来的平行四边形重合。

（2）这样的图形叫做什么图形？学生答：中心对称图形。

投影出示图，并动态显示：⊙O绕圆心O旋转180°。

由学生观察后，归纳出：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

投影继续演示如图，让直径AB两个端点A，B绕圆心旋转30°，45°，90°，让学生观察发现什么结论？得出：不论绕圆心旋转多度，都能够和原来的图形重合。

进一步演示，让圆绕着圆心旋转任意角度α，你发现什么？学生答：仍然与原来的图表重合。

于是由学生归纳总结，得出圆所特有的性质：圆的旋转不变性。

即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的图形重合。

2．圆心角，弦心距的概念。

我们在研究圆的旋转不变性时，⊙O绕圆心O旋转任意角度α后，出现一个角∠AOB，请同学们观察一下，这个角有什么特点？如图7-50（如有条件可电脑闪动显示图形）。

在学生观察的基础上，由学生说出这个角的特点：顶点在圆心上。

在此基础上，教师给出圆心角的定义，并板书。

顶点在圆心的角叫做圆心角。

再进一步观察，是∠AOB所对的弧，连结AB，弦AB既是圆心角∠AOB也是AB所对的弦。

24.2.3等对等定理一、学习目标1、理解圆的旋转对称性关系，掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理及应用；2、学会通过操作、观察实验发现新问题，并提升探究和解决问题的能力；二、教学过程尝试教学六环模式教师活动学生活动设计意图复习导入学生聆听情境引入，让学生明白学习本节课程的目的目标展示：1、理解圆的旋转对称性关系，掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理及应用；2、学会通过操作、观察实验发现新问题，并提升探究和解决问题的能力；学生熟悉学习目标指明方向，为学生学习做好铺垫学教新课自学指导：根据自学指导的思考题，自学课本，做好标记出示思考题，学生学习带有目标性，有利于学生学习本节内容议探交流议探交流：组内相互交流，先对议，再互议。

教师适时巡堂，深入小组，进行个别指导。

学生相互交流，师徒互教，组内互教动态演示，学生直观感受学生相互学习，相互促进尝试练习独立完成练习题加强对新知识的理解授课人：OBA DC E 小组展示2例题精选（例4、5及其变式）各组指派代表，师友共同回答，依次展示各自的结论，其他同学适时补充纠正 学生自主展示，发挥学生主观能动性，有利于及时发现学生存在的问题，有利于及时进行纠正小组展示学会自测，检查效果变式训练，加深认识变式训练，在课本的基础上进一步让学生认识正切，灵活运用正切来解决问题当堂检测1、已知如图1，AB 和CD 为⊙O 的两条直径，弦EC//AB,弧EC 的度数为40°，求∠BOD 的度数。

学生自主完成检测学生学习效果，进一步发现学生存在的问题OAB D CE 2、如图2，O 中，AB 、CD 是弦，点E.F 是AB 、CD 的中点，并且AB=CD.求证：∠AEF=∠CFE ；1。

圆的对称性导学案〔圆心角、弧、弦之间的关系〕学习目标：1．利用旋转变换探索圆的中心对称性的过程，理解圆的中心对称性及其相关性质； 2．利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦与弦心距之间的关系定理及其简单应用； 一、自主学习：1.圆中的扇形AOB 绕点O 旋转某个角度比拟前后两个图形，你能发现什么？ 填空：〔1〕∠AOB=∠'''AO B ⇒ 、〔2〕AB= A ，B，⇒ 、〔3〕''AB A B = ⇒ 、2.请在图形中作出AB ，A ，B ，的弦心距OE 、OE ，，问OE 、OE ，的大小关系？你能用理论证明吗？2．如图,⊙O 、⊙O '半径相等，AB 、CD 分别是⊙O 、⊙O '的两条弦. AB ，CD 的弦心距OE 、OF ，填空：〔1〕假设AB=CD ，则 ， ， 。

〔2〕假设AB= CD ，则 ， ， 。

〔3〕假设∠AOB=∠CO 'D ，则 ， ， 。

〔4〕AB ，CD的弦心距OE 、OF ，假设OE=OF ，则 ， ， 。

(二）同桌互帮互助统一答案〔三〕学生答案在白板上展示〔四〕教师总结 二、合作探究1、如图，AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，∠AOC=∠BOC ，∠ABC 与∠BAC 相等吗？ 为什么？2、，如图：AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，且CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M 、N 。

(1)求证：AC=BD (2)求 AC 的度数。

O ’DCO BAO(O ’)B ’ A ’BAO(O ’)B ’ A ’BA〔二〕小组订正答案，探究错误问题〔三〕在白板上展示讨论成果〔四〕教师点评 三、归纳整理：1、圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系。

四、分层练习1.如图,在⊙O 中,AC BD =,∠1=40°,则∠2=__________ 2.如图，OA 、OB 、OC 是⊙O 的半径，AC BC =，D 、E 分别是OA 、OB 的中点。

24.2 圆的根本性质第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间关系［学习目标］1．理解圆心角的概念，掌握圆的旋转不变性〔中心对称性〕；2．掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系进行有关的计算和证明. ［学法指导］本节课的学习重点是理解并掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理并利用其解决相关问题，学习难点是圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理中的“在同圆或等圆〞条件的理解及定理的证明；学习中通过动手操作、观察、比较、猜想、推理、归纳等活动，开展推理能力以及概括问题的能力。

［学习流程］一、导学自习〔教材P18-20〕 〔一〕知识链接1． 是中心对称图形. (自己表达)2．要证明两条弧相等，到目前为止有哪两种方法？〔1〕 〔2〕 〔二〕自主学习1．顶角在 的角叫做圆心角.2. 圆既是轴对称图形，又是 对称图形，它的对称中心是 .实际上，圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合，因此，圆还是 对称图形. 二、研习展评活动1：(1) 阅读教材，动手操作：〔可以把重合的两个圆看成同圆〕①在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O 和⊙O ′，沿圆周分别将两圆剪下； ②在⊙O 和⊙O ′上分别作相等的圆心角AOB ∠和'AOB ∠，如图1所示，圆心固定． 注意：在画AOB ∠与时，要使OB 相对于OA 的方向与O B ''相对于的方向一致，否那么当OA 与O A ''′重合时，OB 与O B ''不能重合．③将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA 与O A ''重合．通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由． (2)猜想等量关系： ， . 〔3〕〔利用圆的旋转不变性〕验证：〔4〕归纳圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 ：推论为 活动2：下面的说法正确吗？假设不正确，指出错误原因.(1)如图2，小雨说：“因为''A B 和AB 所对的圆心角都是O ∠，所以有''A B AB =.〞 (2)如图3，小华说：“因为AB CD =,所以AB 所对的AB 等于CD 所对的CAD .〞活动3：如图4，在⊙O 中，AB AC =，60ACB ∠︒＝，求证:AOB AOC BOC ∠=∠∠． 〔分析：根据圆心角、弧、弦之间关系定理，欲证AOB AOC BOC ∠=∠=∠，可先证什么？〕〔图1〕OABCB'A'B AO ODA B C〔图3〕证明：［课堂小结］1. 圆心角、弧、弦、弦心距关系定理：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的 也角相等、弧相等、弦相等常用的依据.“同圆或等圆〞这个前提。

《24・2.3圆心角、弧、弦、弦心距间关系》学案
一、温故知新
♦单元结构
二、探究证明
如图，在圆。

中，ZAOB=ZA1OB t,两个圆心角所对的弦48与弦ATT,
弦心距OM与OW,AA与4E之间有怎样的关系？
图1
三、归纳总结
思考：回归图形，图1中还有哪些相等的量？聪明的你能否再发现呢？
四、例题示范
例已知：如图，点。

是E1CAB平分线上的一点,圆。

分别交团C48两边于点8,0和点CE.求证：BD=CE.
五、变式巩固
变式如图3,在例题的前提下，连接OE,⅛OE//AB,CE为/00°,求NOAB的度数.
六、总结评价
（1）通过本节课的学习，你经历了怎样的过程？
（2）通过本节课的学习，你收获了哪些知识？
（3）通过本节课的学习，你感悟了哪些思想方法？
七、作业设计
（1）基础作业：课本26页,第9,10题.
（2）选做作业：课本25页第6题，20页第2题.
（3）探究作业：思维导图总结圆的对称性得来的知识.。