高中数学 第二章 平面向量 2.2.3 向量的数乘学案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学学案
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2．2.3 向量的数乘
[学习目标] 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．
[知识链接]
1．已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)，你能说明它们与向量a之间的关系吗？
答
OC→＝OA→＋AB→＋BC→＝a＋a＋a＝3a；a＋a＋a的长度是a的长度的3倍，其方向与a的方向相同；
O′C′→＝O′A′→＋A′B′→＋B′C′→＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a，(－a)＋(－a)＋(－a)的长度是a长度的3倍，其方向与a的方向相反．
2．已知非零向量a，你能说明实数λ与向量a的乘积λa的几何意义吗？
答 λa仍然是一个向量．
当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与a的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0，方向任意．
|λa|＝|λ|·|a|.
[预习导引]
1．向量的数乘
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0.实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘．
2．向量数乘的运算律
(1)λ(μa)＝(λμ)a.
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
3．向量共线定理
如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.
要点一 向量的数乘运算
例1 化简下列各式：
(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；
(2)16[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．
解 (1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b.
(2)原式＝16(4a＋16b－16a＋8b)＝16(－12a＋24b)
＝－2a＋4b.
规律方法 向量的初等运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形方法．
跟踪演练1 若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则13a－b－3a＋23b＋(2b－a)＝________.
答案 －16i＋323j
解析 13a－b－3a＋23b＋(2b－a)
＝13a－b－3a－2b＋2b－a＝－113a－b
＝－113(3i－4j)－(5i＋4j)
＝－11i＋443j－5i－4j
＝－16i＋323j.
要点二 用已知向量表示未知向量
例2 如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且AK→＝e1，AL→＝e2，试用e1，e2表示BC→，CD→.
解 方法一 设BC→＝x，则BK→＝12x，
AB→＝AK→＋KB→＝e1－12x，DL→＝12AB→＝12e1－14x，
又AD→＝x，由AD→＋DL→＝AL→，
得x＋12e1－14x＝e2，
解方程得x＝43e2－23e1，即BC→＝43e2－23e1，
由CD→＝－AB→，AB→＝e1－12x，
得CD→＝－43e1＋23e2.
方法二 设BC→＝x，CD→＝y，
则BK→＝12x，DL→＝－12y.
由AB→＋BK→＝AK→，AD→＋DL→＝AL→，
得 －y＋12x＝e1， ①x－12y＝e2， ②
由－2×②＋①得12x－2x＝e1－2e2，x＝23(2e2－e1)，
同理得y＝23(－2e1＋e2)，
即BC→＝43e2－23e1，CD→＝－43e1＋23e2.
方法三 如图所示，延长BC与AL交于点E，
则△DLA≌△CLE，
从而AE→＝2AL→，CE→＝AD→， KE→＝32BC→，
由KE→＝AE→－AK→，得32BC→＝2e2－e1，
即BC→＝23(2e2－e1)＝43e2－23e1.
同理可得CD→＝23(－2e1＋e2)＝－43e1＋23e2.
规律方法 (1)由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则，以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何知识的应用，如方法三．
(2)当直接表示较困难时，应考虑利用方程(组)求解，如本题方法一、方法二．
跟踪演练2 如图，△ABC中，AD→＝23AB→，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，设AB→＝a，AC→＝b，用a，b表示向量AE→，BC→，DE→，DN→，AM→，AN→.
解 ∵DE∥BC，AD→＝23AB→，
∴AE→＝23AC→＝23b，BC→＝AC→－AB→＝b－a.
由△ADE∽△ABC，得DE→＝23BC→＝23(b－a)．
又M是△ABC底边BC的中点，DE∥BC，
∴DN→＝12DE→＝13(b－a)．
AM→＝AB→＋BM→＝a＋12BC→＝a＋12(b－a)＝12(a＋b)．
∵△ADN∽△ABM，AD→＝23AB→，
∴AN→＝23AM→＝13(a＋b)．
要点三 共线向量定理的应用
例3 已知非零向量e1，e2不共线．
(1)如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1＋8e2，CD→＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值． (1)证明 ∵AB→＝e1＋e2，BD→＝BC→＋CD→＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5AB→.
∴AB→，BD→共线，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)解 ∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，
∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
即(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，
只能有 k－λ＝0，λk－1＝0，∴k＝±1.
规律方法 (1)本题充分利用了向量共线定理，即b与a(a≠0)共线⇔b＝λa，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．
(2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．
跟踪演练3 如图所示，已知在▱ABCD中，点M为AB的中点，点N在BD上，且3BN＝BD.
求证：M、N、C三点共线．
证明 设AB→＝a，AD→＝b，则BD→＝BA→＋AD→＝－a＋b，
BN→＝13BD→＝－13a＋13b，MB→＝12a，BC→＝AD→＝b，
∴MC→＝MB→＋BC→＝12a＋b，
MN→＝MB→＋BN→＝12a－13a＋13b＝1312a＋b，
∴MN→＝13MC→，∴MN→∥MC→，
又M为公共点．∴M、N、C三点共线．
1．化简：(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；
(2)13122a＋8b－4a－2b.
解 (1)原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c
＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c ＝6a＋4b.
(2)原式＝13[(a＋4b)－(4a－2b)]
＝13(－3a＋6b)＝2b－a.
2．如图，AM→＝13AB→，AN→＝13AC→.
求证：MN→＝13BC→.
证明 ∵AM→＝13AB→，AN→＝13AC→，
∴MN→＝AN→－AM→
＝13AC→－13AB→＝13(AC→－AB→)
＝13BC→.
3．设e1，e2是两个不共线的非零向量，如果AB→＝3e1－2e2，BC→＝4e1＋e2，CD→＝8e1－9e2.
求证：A，B，D三点共线．
证明 ∵BD→＝BC→＋CD→＝4e1＋e2＋8e1－9e2
＝12e1－8e2＝4(3e1－2e2)＝4AB→，
∴AB→与BD→共线．
∵AB→与BD→有公共点B，∴A，B，D三点共线．
4．如图，在▱OADB中，设OA→＝a，OB→＝b，BM→＝13BC→，CN→＝13CD→.试用a，b表示OM→，ON→及MN→.
解 由题意知，在▱OADB中，BM→＝13BC→＝16BA→
＝16(OA→－OB→)＝16(a－b)＝16a－16b， 则OM→＝OB→＋BM→＝b＋16a－16b＝16a＋56b.
ON→＝23OD→＝23(OA→＋OB→)＝23(a＋b)＝23a＋23b，
MN→＝ON→－OM→＝23(a＋b)－16a－56b＝12a－16b.
1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．
2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a|a|表示与向量a同向的单位向量．
3．向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．
一、基础达标
1．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则k＝________.
答案 12
解析 －e1＋ke2与e2－2e1共线，则存在实数λ，使
－e1＋ke2＝λ(e2－2e1)
由于e1与e2不共线，比较系数得
－1＝－2λ，k＝λ，解得k＝λ＝12.
2．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
答案 12
解析 如图DE→＝DB→＋BE→＝12AB→＋23BC→＝12AB→＋23(AC→－AB→)＝－16AB→＋23AC→，则λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝12.
