高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的数量积学案 苏教版必修4(2021年最新整理)

高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的数量积学案 苏教版必修4

1 高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的数量积学案 苏教版必修4

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向量的数量积学案 苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的数量积学案 苏教版必修4

2 2.4 向量的数量积

典题精讲

例1 若向量a，b，c满足a+b+c=0，且｜a｜=3,｜b｜=1，｜c|=4，则a·b+b·c+a·c=_____________.

思路解析:本题可以利用数量积公式两边平方求解；也可由已知条件,得出三个向量之间的两两夹角,再用数量积公式求解。

方法一：∵a+b+c=0，∴（a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=0。

∴2(a·b+b·c+a·c)=—（a2+b2+c2）

=—（｜a｜2+|b｜2+｜c｜2）

=—（32+12+42）=-26.

∴a·b+b·c+a·c=-13。

方法二:根据已知条件可知｜c|=｜a|+｜b｜，c=-a-b,所以a与b同向,c与a+b反向.所以有a·b+b·c+a·c=3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4—12=-13。

答案：-13

绿色通道:由向量数量积定义及其运算律可推导出如下常用性质：

a2=｜a｜2,

(a+b）（c+d)=a·c+a·d+b·c+b·d，

（a+b)2=a2+2a·b+b2,

(a+b+c）2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.

变式训练 已知｜a｜=5,|b|=12，当且仅当m为何值时,向量a+mb与a-mb互相垂直?

思路分析：（a+mb)⊥（a-mb)(a+mb）·(a-mb）=0.根据这一点可以很容易寻找到解题突破口。

解:若向量a+mb与a-mb互相垂直,则有(a+mb）·(a-mb）=0, 高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的数量积学案 苏教版必修4

3 ∴a2-m2b2=0.∵｜a｜=5，｜b｜=12，∴a2=25，b2=144。∴25—144m2=0。

∴m=±125.

∴当且仅当m=±125时，向量a+mb与a-mb互相垂直.

例2 （2006福建高考卷，理11） 已知|OA｜=1,|OB|=3,OA·OB=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°。设OC=mOA+nOB(m、n∈R），则nm等于…( ）

A。 31 B。3 C.33 D.3

思路解析：本题可以利用向量的加法、实数与向量的积的坐标运算、向量数量积来解，向量是高中数学新增内容,所以它也成为高考重点考查的内容之一。深刻理解向量的运算，做到灵活运用，使解题简便。

方法一：以直线OA、OB分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A（1，0），B(0,3).

设OC=λ（cos30°，sin30°)=(23λ，21λ),另外OC=mOA+nOB=m（1，0)+n(0，3）,

得（23λ，21λ）=（m，3n)nmnm32123

方法二：2OC=(mOA+nOB)2=m2OA2+n2OB2=m2+3n2，

∴｜OC｜=223nm。

由已知,得∠BOC=60°，在等式OC=mOA+nOB(m、n∈R)两端同乘以OA，

得OC·OA=mOA2,

∴m=|OA｜·|OC|cos30°=22323nmm2=9n2。

由题设知m〉0,n〉0,∴nm=3.

答案：B

黑色陷阱：对向量的坐标运算或向量数量积的运算不熟练，易导致难寻问题的切入口；有关高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的数量积学案 苏教版必修4

4 向量的运算失误也易导致解答失误。

变式训练 (2006福建高考卷，文9） 已知向量a与b的夹角为120°，｜a｜=3,｜a+b|=13，则|b|等于（ ）

A。5 B。4 C。3 D.1

思路解析：向量a与b的夹角为120°,

｜a｜=3，｜a+b｜=13，a·b=|a|·|b｜·cos120°=23|b｜，

|a+b｜2=｜a｜2+2a·b+｜b|2，

∴13=9—3｜b|+｜b｜2，

则|b|=—1(舍去）或|b｜=4.

答案：B

例3 (2006福建高考卷，理12） 对于直角坐标平面内的任意两点A(x1，y1），B（x2，y2)，定义它们之间的一种“距离"：

||AB|｜=|x2—x1｜+｜y2—y1｜.

给出下列三种说法：

(1)若点C在线段AB上,则||AC｜｜+｜|CB|｜=｜｜AB｜|;

(2)在△ABC中，若∠C=90°,则||AC||2+｜|CB｜|2=｜｜AB｜｜2;

(3)在△ABC中，|｜AC|｜+|｜CB｜|〉||AB｜｜.

其中正确的个数为( )

A。0 B。1 C.2 D。3

思路解析：在坐标平面上取几个具体的符合条件的点并写出其坐标，进行观察、比较、分析、综合，不难确定各说法的真假.

设C（x , y),若点C在线段AB上,则AC=λ·CB,λ>0， 高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的数量积学案 苏教版必修4

5 得C(1,12121yyxx），

则|｜AC|｜=|x1-121xx|+｜y1-121yy|=1（|x1—x2｜+|y1—y2｜),

||CB｜|=11（｜x1-x2｜+｜y1—y2｜)，得|｜AC|｜+||CB｜｜=｜|AB｜|。

∴(1)正确.

在△ABC中,若∠C=90°，取C（0，0）,B(1,0)，A（0，2）,则

｜|AC||=2，||BC｜｜=1，｜｜AB｜｜=3,但||AC|｜2+｜｜CB||2≠||AB｜｜2且

｜｜AC｜｜+｜|CB|｜=|｜AB||。

∴（2)与（3)都不正确.

答案:B

黑色陷阱：对题设理解不够准确，易导致运算(操作)上的失误。对平面上两点之间的距离的全新定义，易引起考生理解上的困难,这时更需要独立思考与一定的创新意识。

变式训练 (2006陕西高考卷,理9) 已知非零向量AB与AC满足（||||ACACABAB）·BC=0且||||ACACABAB•=21，则△ABC为（ )

A。三边均不相等的三角形

B.直角三角形

C.等腰非等边三角形

D。等边三角形

思路解析：非零向量满足(||||ACACABAB)·BC=0，即角A的平分线垂直于BC，

∴AB=AC.又cosA=||||ACACABAB•=21，∠A=3， 高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的数量积学案 苏教版必修4

6 ∴△ABC为等边三角形，选D.

答案：D

问题探究

问题1 任给8个非零实数a1,a2， …,a8，试探究下列六个数a1a3+a2a4，a1a5+a2a6，a1a7+a2a8,a3a5+a4a6，a3a7+a4a8，a5a7+a6a8中至少有一个是非负的。

导思:观察六个数有共同的形式且与向量的数量积有关，思考时就可借助向量作解题尝试，本题通过构造四个向量，然后利用向量之间的位置关系，运用向量的数量积坐标运算解决问题。

探究：在直角坐标系xOy中，构造向量OA、OB、OC、OD，它们的坐标分别为(a1，a2）、（a3，a4)、（a5,a6）、(a7，a8)，

显然，平面上四个向量两两所成的角中至少有一个不超过90°，不妨设OA和OB的夹角不大于90°，

则cos〈OA，OB>=242322214231||||aaaaaaaaOBOAOBOA•≥0,

∴a1a3+a2a4≥0，命题为真。

问题2 是否存在4个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直?

导思：本题是一个探索性问题，解决本题的关键在于构造一个正三角形及其内切圆,得到四个向量,这也是本题的难点.然后利用向量之间的关系,运用数量积的运算律论证PA+PB与PC+PO垂直。

图2-4—3

探究:如图2—4-3所示，在正△ABC中,O为其内心，P为圆周上一点，满足PA、PC、PO高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的数量积学案 苏教版必修4

7 两两不共线，有

(PA+PB)·（PC+PO）

=(PO+OA+PO+OB)·（PO+OC+PO）

=（2PO+OA+OB）·(2PO+OC)

=(2PO—OC）·(2PO+OC）

=4PO2-OC2

=0.

∴有(PA+PB)与（PC+PO)垂直.

同理可证其他情况.

从而PA、PB、PC、PO满足题意.故存在这样的4个平面向量.