北京市朝阳区2015届高三上学期期末考试数学理试卷 Word版含答案
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北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学试卷（理工类） 2015．1
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．为虚数单位，则复数在复平面内对
应的点所在的象限是
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点．若中点到抛物线准线的距离为6，则线段的长
为
A． B． C． D．无法确定
3．设函数的图象为，下面结论中正确的是
A．函数的最小正周期是
B．图象关于点对称
C．图象可由函数的图象向右平移个单位得到
D．函数在区间上是增函数
4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是
A． ．C． D．表示不重合的两个平面，，表示不重合的两条直线．若，，，
则“∥”是“∥且∥”的
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在中，，则的最大值是
A． B． C． D．
7．点在的内部，且满足，则的面积与的面积之比是
A． B． 3 C． D．2
8.设连续正整数的集合，若是的子集且满足条件：当时，，则集合中元素的个数最多是
（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．
9．角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是 ．（）
的离心率是 ；渐近线方程是 ．表示平面区域为，在区域内随机取一点，
则点落在圆内的概率为 ．
12．有一口大钟每到整点就自动以报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声……，12点
响12声，且每次报时时相邻两次之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响
开始计时如果此次是12点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定；如果此次是11点的报时，
则此人至少需等待 秒才能确定．的边上有异于顶点的6个点，边上有异于顶点的4个点，
加上点，以这11个点为顶点共可以组成 个三角形（用数字作答）．14．已知函
数．下列命题：①函数既有最大值又有最小值；②函数的图象轴对称；③函数在区间上零点；④
函数在区间上单调递增．
其中真命题是 ．（填写出所有真命题的序号）15．40)，[40,50)，[50,60)，
[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年
人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”.
（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；
（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市
20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为，求随机变量的分布列和数学
期望．
1 6．中，底面是正方形，侧面底面， ，点是的中点，点在边上移动．
（Ⅰ）若为中点，求证：//平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若，二面角的余弦值等于，试判断点在边上的位置，并说明理由.
17．（本小题满分13分）
若有穷数列，，（是正整数）满足条件：，则称其为“对称数列”．例如，和都是“对称数列”．
（Ⅰ）若是25项的“对称数列”，且，是首项为1，公比为2的等比数列．求的所有项和；
（Ⅱ）若是50项的“对称数列”，且，是首项为1，公差为2的等差数列．求的前项和，.
18．（本小题满分13分）
设函数．
时,求函数的单调区间；
（Ⅱ）设为的导函数，当时，函数的图象总在的图象的上方，求的取值范围．
19．（本小题满分14分）
已知椭圆过点，离心率为．过椭圆右顶点的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线是否过定点？若过定点，求出点的坐标；若不过，请说明理由．
20．（本小题满分13分）
已知函数，，，,且．
（Ⅰ）当，，时，若方程恰存在两个相等的实数根，求实数的值；
（Ⅱ）求证：方程有两个不相等的实数根；
（Ⅲ）若方程的两个实数根是，试比较与的大小并说明理由．
E
A
F
B
C
P
D
年龄
0.02
0.03
0.01
70
80
60
50
40
30
20
