北京市海淀区2020届高三上学期期末考试数学理试题Word版含答案

北京市海淀区2020届高三上学期期末考试

数学理试题

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．双曲线22122xy的左焦点坐标为

A．(2,0) B．(2,0) C．(1,0) D． (4,0)

2.已知向量,ab满足=((t)，，1)a2,0b， 且aab，则,ab的夹角大小为

A．6 B．4 C．3 D．512

3.已知等差数列{}na满足1=2a，公差0d，且125,,aaa成等比数列，则=d

A．1 B．2 C．3 D．4

4.直线+1ykx被圆222xy截得的弦长为2，则k的值为

A． 0 B．12 C．1 D．22

5.以正六边形的6个顶点中的三个作为顶点的三角形中，等腰三角形的个数为

A．6 B．7 C．8 D．12

6.已知函数()=lnafxxx，则“0a”是“函数()fx在区间(1,)上存在零点”的

A充分而不必要条件 B 必要而不充分条件

C 充分必要条件 D既不充分也不必要条件

7.已知函数()sincosfxxx，()gx是()fx的导函数，则下列结论中错误的是

A.函数()fx的值域与()gx的值域相同

B.若0x是函数()fx的极值点，则0x是函数()gx的零点

C.把函数()fx的图像向右平移2个单位，就可以得到函数()gx的图像

D.函数()fx和()gx在区间(,4)4上都是增函数

8.已知集合(,)150,150,,AststsNtN.若BA，且对任意的(,)abB，(,)xyB，均有()()0axby，则集合B中元素个数的最大值为

A．25 B．49 C．75 D．99

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9.以抛物线24yx的焦点F为圆心，且与其准线相切的圆的方程为 .

10.执行如下图所示的程序框图，当输入的M值为15，n值为4 时，输出的S值为 .

11.某三棱锥的三视图如上图所示，则这个三棱锥中最长的棱与最短的棱的长度分别为 ， .

12.设关于,xy的不等式组,4,2,yxxykx表示的平面区域为Ω，若点A（1，-2），B（3,0），C（2，-3）中有且仅有两个点在Ω内，则k的最大值为 .

13.ABC中，3ba，且cos2cosAB，则cosA .

14.正方体1111ABCDABCD的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面1111ABCD上，且AP平面1MBD.

（Ⅰ）当点M与点C重合时，线段AP的长度为 ；

（Ⅱ）线段AP长度的最小值为 .

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

15．（本小题满分13分）

已知函数()s()cos22fxacoxx 其中0a （Ⅰ）比较()6f和()2f的大小；

（Ⅱ）求函数()fx在区间[,]22的最小值.

16．（本小题满分13分）

为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记X表示学生的考核成绩，并规定85X为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：

（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；

（Ⅱ）从图中考核成绩满足[70,79]X的学生中任取3人，设Y表示这3人重成绩满足8510X的人数，求Y的分布列和数学期望；

（Ⅲ）根据以往培训数据，规定当85(1)0.510XP时培训有效.请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由.

17．（本小题满分14分）

在四棱锥PABCD中，平面ABCD平面PCD，底面ABCD为梯形，//ABCD，ADPC

且01,2,120ABADDCDPPDC

（Ⅰ）求证：ADPDC平面；

（Ⅱ）求二面角B-PD-C的余弦值；

（Ⅲ）若M是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行.

18．（本小题满分14分）

椭圆2212xy的左焦点为F，过点(2,0)M的直线l与椭圆交于不同两点A,B

（Ⅰ）求椭圆G的离心率；

（Ⅱ）若点B关于x轴的对称点为B’，求'AB的取值范围.

19. （本小题满分14分）

已知函数xexaxxf2)(．

（Ⅰ）当1a时，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；

（Ⅱ）当0a时，求证：2()fxe对任意(0,)x成立.

20．（本小题满分13分）

设n 为不小于3的正整数，集合12(,,...)0,1,1,2,...,nnixxxxin，对于集合n中的任意元素12(,,...,)nxxx，12(,,...,)nyyy

记11112222()()...()nnnnxyxyxyxyxyxy

（Ⅰ）当3n时，若(1,1,0)，请写出满足3的所有元素

（Ⅱ）设n，且+n，求的最大值和最小值；

（Ⅲ）设S是n的子集，且满足：对于S中的任意两个不同元素，，有1n成立，求集合S中元素个数的最大值.

北京市海淀区2020届高三上学期期末考试

数学理试题参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1. A 2. B 3. D 4. A 5. C 6. C 7.C 8. D

二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9. 22(1)4xy 10. 24 11. 232， 12. 0

13. 32 14. 622，

三、解答题: 本大题共6小题，共80分.

15．解：（Ⅰ）因为π1(),622af

π()12fa

所以ππ13()()(1)()262222aaffa

因为0a，所以3022a，所以ππ()()26ff

（Ⅱ）因为()sincos2fxaxx

2sin(12sin)axx

22sinsin1xax

设sin,tx ππ[,]22x，所以[1,1]t

所以221ytat

其对称轴为4at

当14at，即 4a时，在1t时函数取得最小值1a

当14at，即04a时，在4at时函数取得最小值218a

16.解：（Ⅰ）设该名学生考核成绩优秀为事件A

由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀

所以所求概率()PA约为 730

（Ⅱ）Y的所有可能取值为0,1,2,3 因为成绩[70,80]X的学生共有8人，其中满足|75|10X的学生有5人

所以33381(0)56CPYC， 21353815(1)56CCPYC

12353830(2)56CCPYC， 353810(3)56CPYC

随机变量Y的分布列为

Y

0

1

2 3

P 156 1556 3056 1056

115301015()0123565656568EY

（Ⅲ）根据表格中的数据，满足85110X的成绩有16个

所以8516810.5103015XP

所以可以认为此次冰雪培训活动有效.

17．解：（Ⅰ）在平面PCD中过点D作DHDC，交PC于H

因为平面ABCD平面PCD

DH平面PCD

平面ABCDI平面PCDCD

所以DH平面ABCD

因为AD平面ABCD

所以 DHAD

又ADPC，且PCDHHI

所以AD平面PCD

（Ⅱ）因为AD平面PCD，所以ADCD

又DHCD，DHAD

以D为原点，DADCDH，，所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系

所以(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)DAPCB000200013020210，