2019年高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第11节 第1课时 导数与函数的单调性学案

第十一节 导数的应用

[考纲传真] (教师用书独具)1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)；3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；4.会利用导数解决某些简单的实际问题．

(对应学生用书第34页)

[基础知识填充]

1．函数的单调性与导数的关系

函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：

(1)如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是增加的；

(2)如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是减少的；

(3)如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是常数函数．

2．函数的极值与导数

(1)极值点与极值

设函数f(x)在点x0及附近有定义，且在x0两侧的单调性相反或导数值异号，则x0为函数f(x)的极值点，f(x0)为函数的极值．

(2)极大值点与极小值点

①若先增后减(导数值先正后负)，则x0为极大值点；

②若先减后增(导数值先负后正)，则x0为极小值点．

(3)可求导函数极值的步骤：

①求f′(x)；

②解方程f′(x)＝0；

③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的解x0的左右两侧的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．如果f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．

3．函数的最值与导数

(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．

(2)设函数f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和

2 最小值的步骤如下：

①求f(x)在(a，b)内的极值；

②将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

[知识拓展]

1．在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．

2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．

3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．

[基本能力自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0.( )

(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在此区间上没有单调性．( )

(3)函数的极大值不一定比极小值大．( )

(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．( )

(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( )

(6)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．( )

[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ (6)×

2．(教材改编)f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为( )

A．(0,4) B．(0,2)

C．(4，＋∞) D．(－∞，0)

A [f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)＜0，得0＜x＜4，

所以单调递减区间为(0,4)．]

3．如图2­11­1所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图像，则下列判断中正确的是(

)

图2­11­1

A．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数 3 B．函数f(x)在区间(1,3)上是减函数

C．函数f(x)在区间(0,2)上是减函数

D．函数f(x)在区间(3,4)上是增函数

A [当x∈(－3,0)时，f′(x)＜0，则f(x)在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．]

4．函数y＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________．

8 [y′＝6x2－4x，令y′＝0，

得x＝0或x＝23.

∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，f23＝－827，

f(2)＝8，∴最大值为8.]

5．函数f(x)＝x－aln x(a＞0)的极小值为________．

a－aln a [f(x)的定义域为(0，＋∞)，

易知f′(x)＝1－ax.

由f′(x)＝0，解得x＝a(a＞0)．

又当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；

当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，

所以函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a．]

第1课时 导数与函数的单调性

(对应学生用书第35页)

利用用导数法判断或证明函数的单调性

(2017·全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x.讨论f(x)的单调性．

[解] 函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，

f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．

①若a＝0，则f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)上单调递增．

②若a＞0，则由f′(x)＝0得x＝ln a.

当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；

当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0.

故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，

4 在(ln a，＋∞)上单调递增．

③若a<0，则由f′(x)＝0得x＝ln－a2.

当x∈－∞，ln－a2时，f′(x)＜0；

当x∈ln－a2，＋∞时，f′(x)＞0.

故f(x)在－∞，ln－a2上单调递减，

在ln－a2，＋∞上单调递增．

[规律方法] 用导数证明函数fx在a，b内的单调性的步骤

一求：求fx；

二定：确定fx在a，b内的符号；

三结论：作出结论：fx＞0时为增函数；fx＜0时为减函数.

易错警示：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.

讨论分以下四个方面

①二次项系数讨论，②根的有无讨论，③根的大小讨论，④根在不在定义域内讨论.

讨论时要根据上面四种情况，找准参数讨论的分点.

讨论完必须写综述.

[跟踪训练] (2016·四川高考节选)设函数f(x)＝ax2－a－ln x，g(x)＝1x－eex，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)证明：当x>1时，g(x)>0.

[解] (1)由题意得f′(x)＝2ax－1x＝2ax2－1x(x>0)．

当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．

当a>0时，由f′(x)＝0有x＝12a，

当x∈0，12a时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x∈12a，＋∞时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

(2)证明：令s(x)＝ex－1－x，则s′(x)＝ex－1－1. 5 当x>1时，s′(x)>0，又s(1)＝0，有s(x)＞0，

所以ex－1>x，

从而g(x)＝1x－1ex－1>0.

利用导数求函数的单调区间

设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.

(1)求a，b的值；

(2)求f(x)的单调区间.

【导学号：79140076】

[解] (1)因为f(x)＝xea－x＋bx，

所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.

依题设， f(2)＝2e＋2，f′(2)＝e－1，即 2ea－2＋2b＝2e＋2，－ea－2＋b＝e－1.

解得 a＝2，b＝e.

(2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex.

由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x＞0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号．

令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.

所以，当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；

当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．

故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，

从而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．

综上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．

[规律方法] 利用导数求函数单调区间的步骤

确定函数fx的定义域.

求fx

在定义域内解不等式fx＞0，得单调递增区间.

在定义域内解不等式fx＜0，得单调递减区间.

易错警示：解不等式fx＞＜时不加“＝”号.

[跟踪训练] (2018·合肥第二次质检节选)已知f(x)＝ln(x＋m)－mx.求f(x)的单调区间．

[解] 由已知可得函数定义域为(－m，＋∞)．

6 ∵f(x)＝ln(x＋m)－mx，∴f′(x)＝1x＋m－m.

当m≤0时，f′(x)＝1x＋m－m＞0，

即f(x)的单调递增区间为(－m，＋∞)，无单调递减区间；

当m＞0时，f′(x)＝1x＋m－m＝－mx＋m－1mx＋m，

由f′(x)＝0，得x＝1m－m∈(－m，＋∞)，

当x∈－m，－m＋1m时，f′(x)＞0，

当x∈－m＋1m，＋∞时，f′(x)＜0，

∴当m＞0时，易知f(x)的单调递增区间为－m，－m＋1m，单调递减区间为－m＋1m，＋∞.

已知函数单调性求参数的取值范围

已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝12ax2＋2x(a≠0)．

(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；

(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．

[解] (1)h(x)＝ln x－12ax2－2x，x∈(0，＋∞)，

所以h′(x)＝1x－ax－2，由于h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，

所以当x∈(0，＋∞)时，1x－ax－2＜0有解，

即a＞1x2－2x有解．

设G(x)＝1x2－2x，所以只要a＞G(x)min即可．

而G(x)＝1x－12－1，所以G(x)min＝－1.

所以a＞－1，即a的取值范围为(－1，＋∞)．

(2)由h(x)在[1,4]上单调递减得，