高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第2节 第1课时 导数与函数的单调性课件

word 1 / 6 课时跟踪检测（十四） 导数与函数的单调性

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．(2015·某某模拟)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________．

解析：函数f(x)＝(x－3)ex的导数为f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)＞0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)ex＞0，解得x＞2.

答案：(2，＋∞)

2．设函数f(x)＝13x3＋ax2＋5x＋6在区间[1,3]上是单调函数，则实数a的取值X围是________．

解析：依题意，知当x∈[1,3]时，f′(x)＝x2＋2ax＋5的值恒不小于0或恒不大于0.

若当x∈[1,3]时，f′(x)＝x2＋2ax＋5≥0，即有－2a≤x＋5x在[1,3]上恒成立，而x＋5x≥2 x·5x＝25(当且仅当x＝5时取等号)，故－2a≤25，解得a≥－5.

若当x∈[1,3]时，f′(x)＝x2＋2ax＋5≤0，即有－2a≥x＋5x恒成立，注意到函数g(x)＝x＋5x在[1，5]上是减函数，在[5，3]上是增函数，且g(1)＝6>g(3)＝143，因此－2a≥6，解得a≤－3.

综上所述，实数a的取值X围是(－∞，－3]∪[－5，＋∞)．

答案：(－∞，－3]∪[－5，＋∞)

3．函数f(x)＝1＋x－sin x 在(0,2π)上的单调情况是________．

解析：在(0,2π)上有f′(x)＝1－cos x＞0，所以f(x)在(0,2π)上单调递增．

答案：单调递增

4．(2016·启东模拟)已知a≥1，f(x)＝x3＋3|x－a|，若函数f(x)在[－1,1]上的最大值和最小值分别记为M，m，则M－m的值为________．

解析：当x∈[－1,1]时，f(x)＝x3＋3(a－x)＝x3－3x＋3a(a≥1)，∴f′(x)＝3(x－1)(x＋1)．当－1＜x＜1时，f′(x)＜0，所以原函数f(x)在区间[－1,1]上单调递减，所以M＝f(－1)＝3a＋2，m＝f(1)＝3a－2，所以M－m＝4.

1 导数复习专题

一、知识要点与考点

（1）导数的概念及几何意义（切线斜率）；

（2）导数的求法：一是熟练常见函数的导数；二是熟练求导法则：和、差、积、商、复合函数求导。

（3）导数的应用：一是函数单调性；二是函数的极值与最值（值域）；三是比较大小与证明不等式；

四是函数的零点个数（或参数范围）或方程的解问题。

（4）八个基本求导公式

)(C＝ ；)(nx＝ ；(n∈Q) )(sinx＝ ， )(cosx＝ ； )(xe＝ ，

)(xa＝ ；)(lnx＝ ， )(logxa＝

（5）导数的四则运算 )(vu＝ ])([xCf＝ )(uv＝ ，)(vu＝ )0(v

（6）复合函数的导数

设)(xu在点x处可导，)(ufy在点)(xu处可导，则复合函数)]([xf在点x处可导， 且xuxuyy.

二、考点分析与方法介绍

考点一 导数的概念及几何意义

目标：理解导数的概念和导数的几何意义，会求简单的函数的导数和曲线在一点处的切线方程．

求曲线在一点处的切线方程思路：一会求导；二敢设切点；三要列尽方程；四解好方程组；五得解。

例1．已知曲线y＝ f(x)在x＝－2处的切线的倾斜角为34，则f(－2)＝ ，[(2)]f＝ ．

例2．设函数f(x)的导数为()fx，且f(x)＝x2＋2xf(1)，则f(2)＝ ．

例3．（1）曲线C：y＝ax3＋bx2＋cx＋d在(0，1)点处的切线为l1：y＝x＋1，在(3，4)点处的切线为

l2：y＝－2x＋10，求曲线C的方程．

（2）求曲线S：y＝2x－x3的过点A(1，1)的切线方程．

考点二 单调性中的应用

第二节 函数的单调性与最值

[考纲传真] (教师用书独具)1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．

(对应学生用书第10页)

[基础知识填充]

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数 减函数

定

义 在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A

当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是增加的 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是减少的

图

像

描

述

自左向右看图像是上升的

自左向右看图像是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或减少的，那么称A为单调区间．

2．函数的最值

前提 函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足

条件 (1)对于任意的x∈D，都有f(x)≤M；

(2)存在x0∈D，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈D，都有f(x)≥M；

(4)存在x0∈D，使得f(x0)＝M

结论 M为函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0) M为函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0)

[知识拓展] 函数单调性的常用结论

(1)对任意x1，x2∈D(x1≠x2)，fx1－fx2x1－x2＞0⇔f(x)在D上是增函数，fx1－fx2x1－x2＜0⇔f(x)在D上是减函数，即Δx与Δy同号增，异号减．

(2)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．

(3)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．

(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．

(5)f(x)＝x＋ax(a＞0)的单调性，如图2­2­1可知，(0，a]减，[a，＋∞)增，[－a，0)减，(－∞，－a]增．

1 【状元之路】2017届高三数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.2

函数的单调性与最值模拟试题

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1．[2016·阜阳模拟]给定函数①y＝x 12 ，②y＝log12 (x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1。其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )

A．①② B．②③

C．③④ D．①④

解析：①y＝x 12 在(0,1)上递增；②∵t＝x＋1在(0,1)上递增，且0＜12＜1，故y＝log12 (x＋1)在(0,1)上递减；③结合图象可知y＝|x－1|在(0,1)上递减；④∵u＝x＋1在(0,1)上递增，且2＞1，故y＝2x＋1在(0,1)上递增，故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③。

答案：B

2．[2016·福州模拟]函数f(x)＝ －x＋3a，x＜0，ax，x≥0(a＞0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是( )

A．(0,1) B.13，1

C.0，13 D.0，23

解析：当x＜0时，函数f(x)＝－x＋3a是减函数；当x≥0时，若函数f(x)＝ax是减函数，则0＜a＜1。要使函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，需满足0＋3a≥a0，解得a≥13，故有 0＜a＜1，a≥13，即13≤a＜1。

答案：B

3．[2015·湖北]已知符号函数sgnx＝ 1，x＞0，0，x＝0，－1，x＜0。f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a＞1)，则( )

A．sgn[g(x)]＝sgnx

B．sgn[g(x)]＝－sgnx

C．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)] 2 D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]

解析：因为f(x)是R上的增函数，又a＞1，所以当x＞0时，f(x)＜f(ax)，即g(x)＜0；当x＝0时，f(x)＝f(ax)，即g(x)＝0；当x＜0时，f(x)＞f(ax)，即g(x)＞0。由符号函数sgnx＝ 1，x＞0，0，x＝0，－1，x＜0知sgn[g(x)]＝ －1，x＞0，0，x＝0，1，x＜0＝－sgnx。