数学模型的分类
按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模型、马氏链模型等
按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线性模型和非线性模型等
按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
按建模的目的分：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往往也和建模的目的对应
按对模型结构的了解程度分：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016美赛六个题目（离散、连续、运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1、蒙特卡罗算法
（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法）
2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具）
3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现）
4、图论算法
（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）
5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）
6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）
1 常用算法设计方法
要使计算机能完成人们预定的工作，首先必须为如何完成预定的工作设计一个算法，然后再根据算法编写程序。计算机程序要对问题的每个对象和处理规则给出正确详尽的描述，其中程序的数据结构和变量用来描述问题的对象，程序结构、函数和语句用来描述问题的算法。算法数据结构是程序的两个重要方面。
算法是问题求解过程的精确描述，一个算法由有限条可完全机械地执行的、有确定结果的指令组成。指令正确地描述了要完成的任务和它们被执行的顺序。计算机按算法指令所描述的顺序执行算法的指令能在有限的步骤内终止，或终止于给出问题的解，或终止于指出问题对此输入数据无解。
通常求解一个问题可能会有多种算法可供选择，选择的主要标准是算法的正确性和可靠性，简单性和易理解性。其次是算法所需要的存储空间少和执行更快等。
算法设计是一件非常困难的工作，常用的算法设计方法主要有迭代法、穷举搜索法、递推法、递归法、贪婪法、回溯法、分治法、动态规划法等。
一、迭代法
迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x=g(x)，然后按以下步骤执行：
（1） 选一个方程的近似根，赋给变量x0；
（2） 将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0；
（3） 当x0与x1的差的绝对值还大于指定的精度要求时，重复步骤（2）的计算。
若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。上述算法用C程序的形式表示为：
【算法】迭代法求方程的根
{ x0=初始近似根；
do {
x1=x0；
x0=g(x1)； /*按特定的方程计算新的近似根*/
} while ( fabs(x0-x1)>Epsilon)；
printf(“方程的近似根是%f\n”，x0)；
}
具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：
数学建模常用模型方法总结
无约束优化
线性规划 连续优化
非线性规划
整数规划 离散优化
组合优化
数学规划模型 多目标规划
目标规划
动态规划 从其他角度分类
网络规划
多层规划等…
运筹学模型（优化模型）
图论模型存储论模型排队论模型博弈论模型
可靠性理论模型等…
运筹学应用重点: ①市场销售 ②生产计划 ③库存管理 ④运输问题 ⑤财政和会计 ⑥人事管理 ⑦设备维修、更新和可靠度、项目选择和评价 ⑧工程的最佳化设计 ⑨计算器和讯息系统 ⑩城市管理
优化模型四要素：①目标函数 ②决策变量 ③约束条件
④求解方法(MATLAB--通用软件 LINGO--专业软件)
聚类分析、主成分分析因子分析
多元分析模型 判别分析
典型相关性分析
对应分析
多维标度法
概率论与数理统计模型
假设检验模型
相关分析
回归分析
方差分析
贝叶斯统计模型
时间序列分析模型
决策树
逻辑回归传染病模型 马尔萨斯人口预测模型
微分方程模型 人口预测控制模型
经济增长模型 Logistic 人口预测模型
战争模型等等。。
灰色预测模型
回归分析预测模型
预测分析模型 差分方程模型
马尔可夫预测模型
时间序列模型
插值拟合模型
神经网络模型
系统动力学模型(SD)
模糊综合评判法模型数据包络分析
综合评价与决策方法 灰色关联度主成分分析
秩和比综合评价法理想解读法等
旅行商(TSP)问题模型背包问题模型车辆路径问题模型
物流中心选址问题模型经典 NP 问题模型 路径规划问题模型
着色图问题模型多目标优化问题模型
车间生产调度问题模型最优树问题模型二次分配问题模型
模拟退火算法(SA)
遗传算法(GA)
智能算法
蚁群算法(ACA)
(启发式)
常用算法模型 神经网络算法
蒙特卡罗算法元胞自动机算法穷举搜索算法小波分析算法确定性数学模型
三类数学模型 随机性数学模型 模糊性数学模型
数学建模基础知识
引言：
数学建模是一门以数学为工具、以实际问题为研究对象、以模型为核心的学科。它通过将实际问题抽象为数学模型，并利用数学方法对模型进行分析和求解，从而得到问题的解决方案。在数学建模中，有一些基础知识是必不可少的，本文将介绍数学建模的基础知识，包括概率与统计、线性代数、微积分和优化算法。
一、概率与统计
概率与统计是数学建模的基础。概率论用于描述随机现象的规律性，统计学则用于从观测数据中推断总体的特征。在数学建模中，需要根据实际问题的特点选择合适的概率模型，并利用统计方法对模型进行参数估计。
1.1 概率模型
概率模型是概率论的基础，在数学建模中常用的概率模型包括离散型随机变量模型和连续型随机变量模型。离散型随机变量模型适用于描述离散型随机事件，如投硬币的结果、掷骰子的点数等；连续型随机变量模型适用于描述连续型随机事件，如身高、体重等。在选择概率模型时，需要根据实际问题的特点进行合理选择。
1.2 统计方法 统计方法用于从观测数据中推断总体的特征。在数学建模中，经常需要根据样本数据对总体参数进行估计。常用的统计方法包括点估计和区间估计。点估计用于估计总体参数的具体值，如均值、方差等；区间估计则用于给出总体参数的估计范围。另外，假设检验和方差分析也是数学建模中常用的统计方法。
二、线性代数
线性代数是数学建模的重要工具之一。它研究线性方程组的解法、向量空间与线性变换等概念。在线性方程组的求解过程中，常用的方法包括高斯消元法、矩阵的逆和特征值分解等。线性代数还广泛应用于图论、网络分析等领域。
2.1 线性方程组
线性方程组是线性代数的基础，它可以用矩阵和向量的形式来表示。求解线性方程组的常用方法有高斯消元法、矩阵的逆矩阵和克拉默法则等。高斯消元法通过矩阵的初等行变换将线性方程组转化为简化行阶梯形式，从而求得方程组的解。
2.2 向量空间与线性变换
向量空间是线性代数的核心概念，它由若干个向量组成，并满足一定的运算规则。线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换。在数学建模中，常常需要利用向量空间和线性变换来描述问题的特点。
