数学建模计算方法

1基于数据分析的建模方法* 在建立数学模型的过程中,经常需要建立变量之间的关系. *由于对研究对象的内部机理不甚了解,不能通过合理的假设,或根据物理定律、原理, 经过机理分析法而得到.问题解决思路

2*选择适当的数学式对变量间的关系进行拟合.*通过对数据充分观察和分析, 获得数据所含信息;*揭示变量间的内在联系;xoy* 借助于由实验或测量得到的一批离散数据.

3两类变量关系确定性关系确定的函数关系相关关系存在相依关系,但未达到相互确定的程度.两类数据已知规律(函数)的测试数据(在特定时间点或距离上的数据)呈现随机性的数据,可看成具有某种概率分布的随机样本值.

4针对两种不同类型的数据, 有不同的建立模型方法:1. 数据拟合法(适用于第一类数据)基本思想已知函数y= f(x) 的一组测试数据(xi ,yi)，(i=1，2，…，n)，寻求一个函数ψ(x)，使ψ(x)对上述测试数据的误差较小，即ψ(xi)≈yi，于是可以用ψ(x)来近似替代f (x).常用的数据拟合方法：一般插值法、最小二乘法、样条函数光顺法等.

5插值法的基本思想寻找f(x)的近似替代函数φ(x), 在插值节点xi 上满足φ( xi )=yi，(i=1,2,…，n)，其余点用φ(x)近似替代f (x), 称φ(x)为f (x)的插值函数.)(xfxixiy

6最小二乘法基本思想寻找f(x)的近似替代函数φ(x), 使niiixxf12))()((.min2. 随机分析方法对于随机数据进行拟合,可用统计学中的回归分析方法或时间序列分析方法. 二．经验模型的建立以上两种建模方法都是建立在对数据进行充分分析的基础上.

7寻找或选择适当的函数拟合变量之间的关系(函数关系或回归关系)是重要的环节.一般步骤1）绘制数据散布图；2）分析数据散布图；3）选择函数关系形式.1)通过分析数据散布图可以获得对变量间关系的感性认识, 形成初步的看法, 以便于对问题做进一步的分析.见p156

数学建模方法大全

二○一二年九月九日星期日

9时59分32秒目录

一、主成分分析法 ...................................................................................................................... 3

二、因子分析法 .......................................................................................................................... 6

三、聚类分析 ............................................................................................................................ 10

四、最小二乘法与多项式拟合 ............................................................................................. 17

五、回归分析（略） ............................................................................................................... 23

六、概率分布方法（略） ...................................................................................................... 23

七、插值与拟合（略） ........................................................................................................... 23

水资源短缺风险综合评价

一、 摘要:

本文选取区域水资源短缺风险程度的风险率、脆弱性、可恢复性、重现期和风险度作为评价指标,研究了水资源短缺风险的模糊综合评价方法。最后对包括北京水资源短缺风险进行了评价。结果表明,如果没有南水北调工程,2010 年整个北京的水资源短缺风险将会处于高风险水平,水资源供需状况极度危险,对水资源采取有效的风险管理措施已刻不容缓。

二、 关键词:

水资源;风险;综合评价;北京;

三、 问题的提出：

水资源，是指可供人类直接利用，能够不断更新的天然水体。主要包括陆地上的地表水和地下水。

风险，是指某一特定危险情况发生的可能性和后果的组合。

水资源短缺风险，泛指在特定的时空环境条件下，由于来水和用水两方面存在不确定性，使区域水资源系统发生供水短缺的可能性以及由此产生的损失。

近年来，我国、特别是北方地区水资源短缺问题日趋严重，水资源成为焦点话题。

以北京市为例，北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之一，其人均水资源占有量不足300m3，为全国人均的1/8，世界人均的1/30，属重度缺水地区，附表中所列的数据给出了1979年至2000年北京市水资源短缺的状况。北京市水资源短缺已经成为影响和制约首都社会和经济发展的主要因素。政府采取了一系列措施, 如南水北调工程建设, 建立污水处理厂,产业结构调整等。但是，气候变化和经济社会不断发展，水资源短缺风险始终存在。如何对水资源风险的主要因子进行识别，对风险造成的危害等级进行划分，对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害，这对社会经济的稳定、可持续发展战略的实施具有重要的意义。

《北京2009统计年鉴》及市政统计资料提供了北京市水资源的有关信息。利用这些资料和你自己可获得的其他资料，讨论以下问题：

1 评价判定北京市水资源短缺风险的主要风险因子是什么？

影响水资源的因素很多,例如：气候条件、水利工程设施、工业污染、农业用水、管理制度，人口规模等。

数学建模方法详解--三种最常用算法

一、层次分析法

层次分析法[1] (analytic hierarchy process，AHP)是美国著名的运筹学家T．L．Saaty教授于20世纪70年代初首先提出的一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法[2，3，4]．该方法是社会、经济系统决策的有效工具，目前在工程计划、资源分配、方案排序、政策制定、冲突问题、性能评价等方面都有广泛的应用．

(一) 层次分析法的基本原理

层次分析法的核心问题是排序，包括递阶层次结构原理、测度原理和排序原理[5]．下面分别予以介绍．

1． 递阶层次结构原理

一个复杂的结构问题可以分解为它的组成部分或因素，即目标、准则、方案等．每一个因素称为元素．按照属性的不同把这些元素分组形成互不相交的层次，上一层的元素对相邻的下一层的全部或部分元素起支配作用，形成按层次自上而下的逐层支配关系．具有这种性质的层次称为递阶层次．

2． 测度原理

决策就是要从一组已知的方案中选择理想方案，而理想方案一般是在一定的准则下通过使效用函数极大化而产生的．然而对于社会、经济系统的决策模型来说，常常难以定量测度．因此，层次分析法的核心是决策模型中各因素的测度化．

3． 排序原理 层次分析法的排序问题，实质上是一组元素两两比较其重要性，计算元素相对重要性的测度问题．

(二) 层次分析法的基本步骤

层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一致的[1]．

1． 成对比较矩阵和权向量

为了能够尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高结果的准确度．T．L．Saaty等人的作法，一是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比，二是对比时采用相对尺度．

假设要比较某一层n个因素nCC,,1对上层一个因素O的影响，每次取两个因素iC和jC，用ija表示iC和jC对O的影响之比，全部比较结果可用成对比较阵