洛必达法则

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第二节 洛必达法则

若当x→a（或x→∞）时，f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大，极限可能存在，也可能不存在．通常把这种极限称为未定式，并分别简记为或．对于这类极限不能用“商的极限等于极限的商”法则．对付这类极限有一种简便方法．就是现在要讲的洛必达法则．

定理（洛必达法则）设

（１）当x→a时，f(x)及F(x)都趋于零；

（２）在点a的某空心邻域内，及都存在，且；

（３）存在（或为无穷大），

则 ． （＊）

证 因为当x→a时的极限与f(a)及F(a)无关，所以可以假定f(a)=F(a)=0．由条件（１）、（２）知，f(x)及F(x)在点a的某邻域内连续．设x是这邻域内的一点，在以x及a为端点的区间上，f(x)及F(x)满足柯西定理的条件，故

（在x与a之间）．

上式两边，令x→a，取极限，即得（＊）式．

例１ 求．

解 ．

例２ 求．

解 =

例２表明，若当x→a时仍属型．且及满足定理中f(x)及F(x)所要满足的条件，则可以继续应用洛必达法则．

例３ 求．

解 =．

对于x→∞时的未定式，以及对于x→a或x→∞时的未定式，也有相应的洛必达法则．例如，对于x→∞时的未定式有

定理 设

（１）当x→∞时，f(x)及F(x)都趋于零；

（２）当|x|>n时，及都存在，且；

（３）存在（或为无穷大）；

则 ．

例４ 求．

解 =．

例５ 求 （ｎ＞０）．

解 =

例６ 求（n为正整数，）

解 =．

其他类型的未定型，如0·∞，∞–∞，，，等，也可化成或型来计算．

例７ 求 （ｎ＞０）

解 这是0·∞型．通过成为型．

例８ 求

解 这是∞–∞型．通过化为型．

=

例９ 求．

解 这是型．设，取对数得lny=xlnx．利用例７的结果，得．

1 00)(xf)(xF)()(lim)(xFxfxax00xxxtanlim000bxaxxsinlnsinlnlim0)(xf)(xFa)(xf)(xF0)(xF)()(limxFxfax)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax)()(xFxf00)(xf)(xF.)()(lim)()(lim)()(limxFxfxFxfxFxfaxaxax.)()(lim)()(limxFxfxFxfxxxxxtanlim0第二节 洛必达法则

一、 型及 型未定式解法：洛必达法则

定义：如果当（或）时，两个函数 和 都趋于零或都趋于无穷

大，那么极限 可能存在、也可能不存在。通常把这种极限称为 型及

型未定式。

例如： 型 型

定理1：

设：（1）当时，函数 及 都趋于零；

（2）在 点的某去心邻域内， 及 都存在，且 ；

（3） 存在（或为无穷大）；

那么

这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则。

注：（1）如果 仍属 型及 型，且 及

满足定理条

件，可以继续使用法则，即

（2）当时，该法则仍然成立。

（定理2）

（3）当，时的未定式 也有相应的法则。

axxaxxaxx 2 )()(tanlim0xxx原式1seclim20xx123lim2331xxxxxx求12333lim221xxxx266lim1xxx23266lim1xxxbxaxxsinlnsinlnlim0求22111limxxx原式221limxxxxxx3tantanlim2求xxx3sec3seclim222原式xxx222cos3coslim31xxxxxsincos23sin3cos6lim312xxx2sin6sinlim2xxx2cos26cos6lim2)0 ( lim 为正整数，求nexxnxxnxxnxenxex1lim limxnxexn0!lim)0( lnlim nxxnx求例1：求

洛必达法则的使用条件

洛必达法则，又称洛必达法则（L'Hôpital's Rule），是微积分中的一个重要定理，用于求解极限的方法之一。洛必达法则适用于求解形如$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$型的不定型极限，通过对被除函数和除数函数同时求导数，将原极限转化为一个更容易求解的形式。在使用洛必达法则时，需要满足一定的条件，下面将详细介绍洛必达法则的使用条件。

1. 函数极限存在

在应用洛必达法则之前，首先要确保所求极限存在。即被除函数和除数函数在极限点附近有定义，并且极限存在。如果被除函数和除数函数在极限点附近发散或者不存在，洛必达法则是不适用的。

2. 极限为$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$型

洛必达法则适用于求解形如$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$型的不定型极限。当计算极限时出现这两种形式时，可以考虑使用洛必达法则进行简化。

3. 被除函数和除数函数可导

洛必达法则要求被除函数和除数函数在极限点的邻域内可导。也就是说，被除函数和除数函数在极限点附近是光滑的，具有导数。只有在这种情况下，才能对被除函数和除数函数分别求导数，然后利用洛必达法则进行求解。 4. 求导后极限存在

在应用洛必达法则时，需要对被除函数和除数函数分别求导，并计算导数函数在极限点的极限。如果求导后的极限存在，且不为$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型，那么可以得出极限的值。如果求导后的极限仍为$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型，可以继续使用洛必达法则，直至求解出极限值。

5. 重复使用次数有限

在使用洛必达法则时，需要注意重复使用的次数。如果多次应用洛必达法则仍无法求解极限，可能需要考虑其他方法或技巧来求解。过度依赖洛必达法则可能导致计算复杂度增加，甚至无法得出结果。

●　・　・　●　。　争　姆　馕　糯　◎郝建民　（山东农业大学信息科学与工程学院２７１０１８）　【摘要】本文从洛必达法则的内容出发，给出了在使用　洛必达法则求极限过程中几个需要特别注意的问题．　【关键词】洛必达法则；条件；代换；剥离；整理　在鬲等数学中洛必达法则是利用桐西中值定理推导出　的一个重要结论，是求不定式　０型或　型极限的简单而有　Ｕ　∞　效的法则，是与高等数学有关的各种考试的考点．因此，我　们有必要对洛必达法则的使用进行全方位的分析思考．　一、洛必达法则及其解决极限的类型　１．如果当　一　。时，函数ｆ（　）与ｇ（　）都是无穷小量，　则称比　若为罟型未定型（或不定式），求这种未定型的极　限有下面的洛必达法则．　定理设　（１）函数，（　）与ｇ（　）在点　。的某一空心邻域Ｓ。（　。，　占）内有定义，且ｌｉｒａｆ（　）＝０（或　），ｌｉｍｇ（　）＝０（或　）；　（２）　）与ｇ（　）在Ｓ。（　。，６）内可导，且ｇ　（　）≠０；　（３）　或　则极限　ｇ　＝　ｇ：　＝　（或　…０　Ｌ　，…０　Ｌ　，　注意　在上述法则中若把自变量　的变化趋势改为　Ｘ－－－￣　，法则依然成立．　２．其他的未定型还有０・　型，　一。。型，０。型，。。。　型，１　型等，这些未定型的极限均可通过代数方法化为詈　型或兰型的极限问题．　其中，　一　型通过通分或有理化的方法转化为罟型　或—　型；０・　型通过恰当的取倒数的方法转化为　型或　。。　Ｕ　型；０。型，。ｏ。型，１　型我们称之为幂指函数型的极限，通　过取自然对数的方法转化为　型或詈型．　二、洛必达法则尽管在求极限时非常方便——只要满　足法则的条件就可以连续使用。但在具体使用过程中需要　做到两个“注意”　１．使用或者连续使用洛必达法则过程中一定注意：洛必　达法则的条件充分不必要；同时随时观察分子分母是否是罟　型或兰型，不是　型或　型的极限，切勿使用洛必达法则．　∞　Ｕ　。。　例１　ｌｉｍ　ｆ　型１＝ｌｉｍ　（不存在）．　∞　一ｓｌｎｘ、∞　，　∞ｌ—ｃＯｓ　这个例子中分子分母为　，利用一次洛必达法则后极　限虽然不存在，但原分式的极限却是存在的：　．　１＋—ＳｌＩｌ￣；　ｌｉｍ　：ｌｉｍ—＿　：１．　…　一　“　…　１—Ｓｌｎ—ｘ　因此洛必达法则的条件是充分但是不必要的．　２．使用洛必达法则时要注意：洛必达法则好用但不万　能．某些情况下，洛必达法则会失去效用．　例２　ｌｉｒａ　焘（詈型）、　，　：ｌｉ　—　生　：ｌｉ　—。ｌ＿一　…＊（　），…　２．　＝　（詈型）＝　＿＋＋∞　、∞　ｆ　＋∞　【　）　２　＝　１　＝　（詈型）・　…　…　／　＿＝了＼∞一／　发现此种情形，就要去寻求其他的方法解决问题．　三、使用洛必达法则求极限的过程中要做到“三个及时”　１．及时代换：为降低使用法则过程中的计算量要及时　代换，即在非等价无穷小的和差运算时及时用代价无穷小　代换，不盲目使用法则．　２．及时剥离：为降低使用法则过程中的计算量要及时　剥离极限非零因子，即在利用法则运算时，极限非零的因子　用乘积的极限法则对其实施剥离，使其不参与求导，从而达　到简化运算的目的．　３．及时整理：为降低使用法则过程中的计算量，在使用　法则过程中要注意随时对分子分母的形式进行整理．　总之，在使用洛必达法则求极限时，只要做到上述“两　个注意、三个及时”就会使得求极限的过程简捷明了，就能　够大幅度降低计算量，从而得出正确的结论．　数学学习与研究