间断点的分类及判断方法

三、函数的间断点及其分类

【导语】

函数在一点连续只有一种情形，就是

00lim()()xxfxfx。函数在一点不连续时，它在这

一点附件函数值的变化情况则是多种多样的。为了区分不同的间断点，根据函数在一点发

生间断的原因，本讲给出了间断点的分类。

【正文】

若函数()fx在点0x处不连续，则称0x为()fx的间断点．

一般地，可对间断点作如下分类：

定义3 若函数()fx在点0x处的左、右极限均存在，但不连续，则称0x为()fx的第一

类间断点．

若函数()fx在点0x处的左、右极限中至少有一个不存在时，则称0x为()fx的第二类间

断点．

在第一类间断点中，当左、右极限相等，即极限存在时，又称这样的间断点为可去间断

点．

如0x就是函数sin()xfxx的可去间断点，1x是函数21()1xfxx的可去间断点．

所谓“可去”是指：如果

00lim()()xxfxfx，就将函数在0x的值改为

0lim()xxfx；如果()fx

在0x没有定义，就给出定义

00()lim()xxfxfx，那么所得的新函数就是在0x处连续的函数，

这样就把“间断”去掉了．

在第一类间断点中，当左、右极限存在但不相等时，又称这样的间断点为跳跃间断点．

如0x是符号函数sgnyx的跳跃间断点，任何一个整数都是取整函数yx的跳跃

间断点．

例1 已知函数2+1,0,

()0,0,

1,0,xx

fxx

xx



 判断()fx在0x处的连续性，若不连续，指

出间断点的类型．

解 因为(0)0f，且

2

00lim()lim(1)1

xxfxx， 00lim()lim(1)1

xxfxx，

所以()fx在0x处既不是左连续，也不是右连续．0x是()fx的跳跃间断点．

例2 已知函数1e,0,()

0,0,xxfx

x 判断()fx在0x处的连续性，若不连续，指出间断

高等数学之函数间断点判断方法总结

若f(x)函数在点X0处不连续，则称点X0为函数f(x)的不连续点或间断点，函数间断点的分类如下：

• 第一类间断点：函数f（x）在X0处的左极限和右极限都存在

第一类间断点包含以下两类：

（1） 可去间断点：函数f（x）在X0处的左极限等于右极限；

（2） 跳跃间断点：函数f（x）在X0处的左极限不等于右极限；

• 第二类间断点：函数f（x）在X0处的左极限和右极限至少有一个不存在。

方法总结：判断函数间断点的类型，关键在于看函数在间断点处的左右极限是否存在。

例一：

分析：本题要确定参数a的值，使得当参数a为不同值时，函数在0点连续，或在0点为可去间断点。解决这一类题的方法就是严格扣住函数连续和可去间断点的定义。

解：

备注：做这类题一定要扣住定义。

例2：

分析：x=0为函数f(x)的第二类间断点，则当x趋于0时，函数f(x)的极限不存在；x=1为函数f(x)的可去间断点，则当x趋于1时，函数f(x)的极限存在。

解：

创作时间：二零二一年六月三十日

创作时间：二零二一年六月三十日 函数间断点求法两个基本步伐1、间断点（不连续点）的判断之樊仲川亿创作

创作时间：二零二一年六月三十日

在做间断点的题目时, 首要任务是将间断点的界说熟记于心.下面我们一起看一下教材上间断点的界说：

2、间断点类型的判断

找出函数的间断点后, 然后判断间断点的类型, 主要通过间断点的左右极限情况来划分：

（1）第一类间断点：在间断点处的左右极限都存在．可以分为以下两种：

①可去间断点：左右极限存在且相等； 创作时间：二零二一年六月三十日

创作时间：二零二一年六月三十日 ②跳跃间断点：左右极限存在但不相等．

（2）第二类间断点：在间断点处的极限至少有一个不存在．经常使用到的, 有以下两种形式的第二类间断点：

①无穷间断点：在间断点的极限为无穷年夜．

②振荡间断点：在间断点的极限不稳定存在．

▪间断点：

是f(x)的间断点, f(x)在点处的左右极限都存在为第一类间断点.

f(x)至少有一个不存在, 则是f(x)的第二类间断点.

第一类间断点中

第二类间断点：无穷间断点, 振荡间断点等.

下面通过一道具体的真题, 说明函数间断点的求法：

函数的间断点

一、函数的间断点

设函数在点的某去心邻域内有界说．在此前提下, 如果函数有下列三种情形之一： 创作时间：二零二一年六月三十日 创作时间：二零二一年六月三十日 在 间断

⑤ 1．在没有界说；

2．虽在有界说, 但不存在；

3．虽在有界说, 且存在, 但；

则函数在点为不连续, 而点称为函数的不连续点或间断点．

下面我们来观察下述几个函数的曲线在点的情况, 给出间断点的分类：

在连续． 在间断, 极限为2．

在间断,

极限为2． 在间断,

左极限为2, 右极限为1．

在间断, 极限不存在．

欧阳道创编 2021.03.06

欧阳道创编 2021.03.06 函数间断点求法两个基本步骤1、间断点（不连续点）的判断

时间：2021.03.06 创作：欧阳道

在做间断点的题目时，首要任务是将间断点的定义熟记于心。下面我们一起看一下教材上间断点的定义：

2、间断点类型的判断

找出函数的间断点后，然后判断间断点的类型，主要通过间断点的左右极限情况来划分：

（1）第一类间断点：在间断点处的左右极限都存在．可以分为以下两种： 欧阳道创编 2021.03.06

欧阳道创编 2021.03.06 ①可去间断点：左右极限存在且相等；

②跳跃间断点：左右极限存在但不相等．

（2）第二类间断点：在间断点处的极限至少有一个不存在．经常使用到的，有以下两种形式的第二类间断点：

①无穷间断点：在间断点的极限为无穷大．

②振荡间断点：在间断点的极限不稳定存在．

▪间断点：

是f(x)的间断点，f(x)在点处的左右极限都存在为第一类间断点.

f(x)至少有一个不存在，则是f(x)的第二类间断点.

第一类间断点中

第二类间断点：无穷间断点，振荡间断点等.

下面通过一道具体的真题，说明函数间断点的求法： 欧阳道创编 2021.03.06

欧阳道创编 2021.03.06 函数的间断点

一、函数的间断点 设函数在点的某去心邻域内有定义．在此前提下，如果函数有下列三种情形之一：

1．在没有定义；

2．虽在有定义，但不存在；

3．虽在有定义，且存在，但； 则函数在点为不连续，而点称为函数的不连续点或间断点． 下面我们来观察下述几个函数的曲线在点的情况，给出间断点的分类：