三、函数的间断点及其分类
【导语】
函数在一点连续只有一种情形，就是
00lim()()xxfxfx。函数在一点不连续时，它在这
一点附件函数值的变化情况则是多种多样的。为了区分不同的间断点，根据函数在一点发
生间断的原因，本讲给出了间断点的分类。
【正文】
若函数()fx在点0x处不连续，则称0x为()fx的间断点．
一般地，可对间断点作如下分类：
定义3 若函数()fx在点0x处的左、右极限均存在，但不连续，则称0x为()fx的第一
类间断点．
若函数()fx在点0x处的左、右极限中至少有一个不存在时，则称0x为()fx的第二类间
断点．
在第一类间断点中，当左、右极限相等，即极限存在时，又称这样的间断点为可去间断
点．
如0x就是函数sin()xfxx的可去间断点，1x是函数21()1xfxx的可去间断点．
所谓“可去”是指：如果
00lim()()xxfxfx，就将函数在0x的值改为
0lim()xxfx；如果()fx
在0x没有定义，就给出定义
00()lim()xxfxfx，那么所得的新函数就是在0x处连续的函数，
这样就把“间断”去掉了．
在第一类间断点中，当左、右极限存在但不相等时，又称这样的间断点为跳跃间断点．
如0x是符号函数sgnyx的跳跃间断点，任何一个整数都是取整函数yx的跳跃
间断点．
例1 已知函数2+1,0,
()0,0,
1,0,xx
fxx
xx
判断()fx在0x处的连续性，若不连续，指
出间断点的类型．
解 因为(0)0f，且
2
00lim()lim(1)1
xxfxx， 00lim()lim(1)1
xxfxx，
所以()fx在0x处既不是左连续，也不是右连续．0x是()fx的跳跃间断点．
例2 已知函数1e,0,()
0,0,xxfx
x 判断()fx在0x处的连续性，若不连续，指出间断
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函数间断点的分类及其计算方法
作者：李一帆
来源：《科技资讯》2017年第26期
摘 要：气温变化、植物生长都是连续变化的，这种现象在函数关系上反映就是函数的连续性。但有些函数在其定义域内会出现不连续的情况，即断开的情况，这样的点是函数的间断点，本文就来讨论这样的点的类型及其计算方法。
关键词：不连续 间断点 分类 计算方法
中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2017）09（b）-0218-02
我们知道，在数学中，基本初等函数在其定义域内都是连续的，但其他类型的函数存在间断点，讨论函数间断点的类型和如何计算的间断点是本文的重点内容。
1 函数的间断点
1.1 间断点的概念
定义：如果函数在处不连续，则称为函数的一个间断点。
1.2 产生间断点的原因
（1）在处没有定义
例如：在处没有定义。
（2）在处没有极限
例如：当时没有极限。
（3）
例如：当时。
1.3 间断点的分类
定义：如果是间断点，当在左右极限都存在时，则称为第一类间断点。若及中至少有一个不存在，则称为第二类间断点如图1。 龙源期刊网
间断点类型可如图2～4所示。
2 函数间断点的计算方法
例1：求函数的间断点，并判断其分类。
解：因为函数在处没有定义，可以先考察函数在该点处的左右极限。
左极限：
右极限：
所以，
但在没有定义
因此，是第一类间断点，且是可去间断点。
例2：判断函数的间断点的类型。
科技资讯2017 NO.26SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION学 术 论 坛
218科技资讯 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATIONDOI：10.16661/ki.1672-3791.2017.26.218
函数间断点的分类及其计算方法
李一帆
（河南工业和信息化职业学院 河南焦作 454000）
摘 要：气温变化、植物生长都是连续变化的，这种现象在函数关系上反映就是函数的连续性。但有些函数在其定义域内会出现
不连续的情况，即断开的情况，这样的点是函数的间断点，本文就来讨论这样的点的类型及其计算方法。
关键词：不连续 间断点 分类 计算方法
中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2017)09(b)-0218-02
我们知道，在数学中，基本初等函数在其定义域内都是
连续的，但其他类型的函数存在间断点，讨论函数间断点的
类型和如何计算的间断点是本文的重点内容。
1 函数的间断点
1.1 间断点的概念
定义：如果函数 ()fx在 0x处不连续，则 0x称为函数 ()fx
的一个间断点。
1.2 产生间断点的原因
(1) ()fx在 0x处没有定义
例如: 1yx=在 0x=处没有定义。
(2) ()fx在 0x处没有极限
例如: ()1,0xxfxxx=−<≤当 0x→时没有极限。(3) 00lim()()xxfxfx→≠
例如: sin0()20xxfxxx≠==当 0x→时 0lim()(0)xfxf→≠。
1.3 间断点的分类
定义:如果 0x是间断点，当 ()fx在 0x左右极限都存在
时，则称 0x为第一类间断点。若 0(0)fx−及
0(0)fx+中至少
有一个不存在，则称 0x为第二类间断点(如图1)。间断点类型可如图2～4所示。
2 函数间断点的计算方法
例1：求函数 21()1xfxx−=+的间断点，并判断其分类。
解：因为函数 21()1xfxx−=+在 1x=−处没有定义，可以先考
◇科技论坛◇ 科技一向导 ２０１４年１ｉ期
如何掌握函数的问断点及分类
张少林
（丽江高等师范专科学校云南丽江６７４１ ００）
【摘要】由于数学具有严谨性、逻辑性、高度抽象性等一些学科特点，对于知识掌握偏差以及学习能力偏低的五年制专科学生来说，学习教 学更加困难。学生学习过程中感到枯燥、乏味、学不会，并且认为这些知识对于将来的工作和生活几乎没什么用处。鉴于以上情况，学生学习数学
的兴趣和积极性较低，即使在老师的严厉要求下，也有学生不认真听讲，课堂效果较差。如何改变这种现状，这是每一位教学第 线的教师应面对
的事实。为了切实有效的面对这一现象．教师必须在每一节教学课上下功负。
【关键词】连续点；间断点；左极限；右极限；类型
五年制专科数学教学现状不论初等教育还是高等教育擞学都是
重要的基础学科。随着经济社会快速发展擞学的重要性日趋明显。掌 握必要的数学知识，对各层次各专业学生来说都是非常重要的。但由
于数学具有严谨性、逻辑性、高度抽象性等～些学科特点。对于知识掌
握偏差以及学习能力偏低的五年制专科学生来说。学习数学更加困
难。学生学习过程中感到枯燥、乏味、学不会，并且认为这些知识对于
将来的工作和生活几乎没什么用处 鉴于以上情况，学生学习数学的
兴趣和积极性较低，即使在老师的严厉要求下．也有学生不认真听讲，
课堂效果较差。如何改变这种现状，这是每一位教学第一线的教师应
面对的现实．为了切实有效的面对这一现象．教师必须在每一节教学
课上下功负 现就函数的间断点及分类的教学作一点探讨．以致能更
好地帮助学生能够理解和掌握函数的间断点及类型
１．理解、领悟间断点概念
为理解函数的间断点这一概念．在给出间断点的定义之前，首先
我们不妨看一看函数ｆ（ｘ）在点Ｘ。连续的定义：设函数“ｘ１在 点的某
邻域内（域在点Ｘｏ处及其附近）有定义，如果ｌｉｒａ ） 郧么就称函
０ 数ｆｆｘ１在点‰连续。
由以上这一定义我们可以看出，函数ｙ＝ ）在点‰处连续，必须
