高等数学教案
课题 第9讲：偏导数，全微分及其应用
时间 2003年3月28日1—2节
教学目的要求
1．熟练掌握求偏导数的运算
2．理解偏导数的几何意义
3．掌握函数在某点的偏导数的存在性与函数连续性的关系
4．掌握全微分的定义、偏导数与全微分之间的关系
5．会判断函数在某点的可微性
主要内容
与时间分配
1．偏导数的定义 15分钟
2．计算方法，例题 20分钟
3．偏导数的几何意义 10分钟
4．高阶偏导数 15分钟
5．全微分的定义 10分钟
6．偏导数与全微分之间的关系 30 分钟
重点难点
1．偏导数，几何意义，高阶偏导数
2．全微分，偏导数与全微分的关系
3．可微分的判断
教学方法
和手段 以讲授为主，使用电子教案
课后作业练习
作业：20页 1. （3）（5）（8） 5. 8. 9.
28页 1. 2. 4.
预习：多元函数的求导法则
二元函数连续、偏导数和全微分之间的关系
通过证明或反例说明二元函数连续、偏导数，全微分之间的关系。
标签：二元函数；连续；偏导数；全微分
对于一元函数来讲，连续、导数和微分之间的关系比较简单：可导与可微是等价的，可导一定连续，但连续不一定可导。但对于二元函数来讲，连续、偏导数和全微分之间的关系要相对复杂一些，本文通过证明或反例来说明三者之间的关系。
1 连续和偏导数之间的关系
1.1 已知偏导数存在，但不一定连续
例1 函数 在点处的两个偏导数都存在：
但是在点却不连续，事实上，令点沿趋向点，有：
1.2 已知连续，但偏导数不一定存在
例2 函数，显然：
故在点处连续，而由：
知不存在，所以在点处不是可偏导的。
2 偏导数和全微分之间的关系
2.1 若可微，则偏导数一定存在
证明：由于在点处可微，于是在点的某一邻域内有：
其中。
特别地，当时，上式变为：
在该式两端各除以，再令，则得：
从而偏导数存在，且；同样可证存在，且。
2.2 已知偏导数存在，但不一定可微
例3 函数 在点处的两个偏导数都存在：
但是在点却不可微，事实上：
令沿趋向，则：
这说明当时，并不是的高阶无穷小，所以在点处不可微。
3 连续和全微分之间的关系
3.1 若可微，则一定连续
证明：由于在點处可微，即有：
其中。
于是，
即有，
从而，
即在点处连续。
3.2 已知连续，但不一定可微
在例2中，函数在点处连续，在点处不是可偏导的。由偏导和可微之间的关系，知在点处不可微。
综上，二元函数连续、偏导数和全微分之间的关系：函数在一点的连续性和函数在该点的偏导数的存在性之间没有任何关系；函数在一点的偏导数存在是函数在该点可微的一个必要非充分条件，函数在一点可微是函数在该点的偏导数存在的一个充分非必要条件；函数在一点连续是函数在该点可微的一个必要非充分条件，函数在一点可微是函数在该点连续的一个充分非必要条件。
参考文献：
[1]大连理工大学城市学院基础教学部.应用微积分（下册）[M].大连理工大学出版社，2013.
(完整word版)偏导数与全导数-偏微分与全微分的关系
1。偏导数
代数意义
偏导数是对一个变量求导，另一个变量当做数
对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率
对y求偏导的话x就看作一个数,描述的是y方向上的变化率
几何意义
对x求偏导是曲面z=f(x，y)在x方向上的切线
对y求偏导是曲面z=f（x,y）在x方向上的切线
这里在补充点。就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况,但是我们要了解各个方向上的情况,所以后面有方向导数的概念。
2。微分
偏增量：x增加时f（x,y)增量或y增加时f（x,y）
偏微分：在detax趋进于0时偏增量的线性主要部分
detaz=fx（x，y)detax+o(detax)
右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分
这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分
全增量：x，y都增加时f（x，y）的增量
全微分：根号（detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分
同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系
dz=Adx+Bdy 其中A就是对x求偏导,B就是对y求偏导
希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式,公式同时也指明了求微分的方法。
3。全导数
全导数是在复合函数中的概念,和上面的概念不是一个系统，要分开。 (完整word版)偏导数与全导数-偏微分与全微分的关系
u=a（t)，v=b(t）
z=f[a（t）,b（t）］
dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。
dz/dt=(偏z/偏u）（du/dt）+(偏z/偏v）(dv/dt）
建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。2。中间变量有多元，只能求偏导 3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。
第２４卷第６期 ２０１１年ｌ２月 高等函授学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｉｇｈｅｒ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） Ｄｅｃ．２４ Ｎｏ．６ ２０１１
・高职高专教学・
利用全微分求函数的偏导数的技巧
张学茂
（泰州师范高等专科学校，江苏泰州２２５３００）
摘要：本文试利用全微分求隐函数（组）、复合函数、参数方程、抽象函数的（偏）导数，摒弃了 弄清中问变量的关系，在形式与方法上作了统一，提供了通俗易懂的思路与技巧。 关键词：全微分；变量；偏导数 中图分类号：Ｏ１７５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００６—７３５３（２０１１）０６一Ｏ０５８—０３
求函数的（偏）导数是高等数学的重要内容。
而求导数题型杂，公式多，涉及到一元隐函数、参
数方程、一元复合函数、多复合函数、隐函数组、抽 象函数等。不少复合函数变量间的关系错综复杂，
是学生学习的一大难点，也成了不少专家学者关 注的热点问题［１ｑ］。“链式法则”、“树状图”、“变式
求导”等一个个新颖的方法应运而生。但这些方
法都是建立在理清各变量关系的基础上的，稍有 不慎就易出错。笔者在教学中发现不少教材［４ ］
都有这样的表述：对一元函数而言，可微与可导本
质上是一致的；不论 、 是自变量，还是函数，ｚ— ｆ（ｕ， ）的全微分总保持同一形式，即ｄｚ—ｆ 。ｄｕ
＋厂 ……巧用全微分，求隐函数、参数方程、抽
象函数的（偏）导数乃至高阶（偏）导数，更容易让
学生理解与掌握。本文所涉及的函数都是可导的，
多元函数存在连续的偏导数。
１相关引理 引理１［５］若函数Ｙ＝厂（ ）可导，则
一ｆ（ｘ）ｄｘ
引理２［。］若函数Ｙ＝，（“）， 一ｇ（口）在对应
的点处可导，则ｄｙ＝＝＝／ ｇ ｄｖ
引理３［６ 设｛ 会： （ 为参数），Ａ（ｚ）、 Ｉ １，＝Ｈｌ，，
Ｂ（￡）都可导，且Ｂ （￡）≠０则ｄｙ一鲁 ｄｘ
