高等数学教案
课题 第9讲：偏导数，全微分及其应用
时间 2003年3月28日1—2节
教学目的要求
1．熟练掌握求偏导数的运算
2．理解偏导数的几何意义
3．掌握函数在某点的偏导数的存在性与函数连续性的关系
4．掌握全微分的定义、偏导数与全微分之间的关系
5．会判断函数在某点的可微性
主要内容
与时间分配
1．偏导数的定义 15分钟
2．计算方法，例题 20分钟
3．偏导数的几何意义 10分钟
4．高阶偏导数 15分钟
5．全微分的定义 10分钟
6．偏导数与全微分之间的关系 30 分钟
重点难点
1．偏导数，几何意义，高阶偏导数
2．全微分，偏导数与全微分的关系
3．可微分的判断
教学方法
和手段 以讲授为主，使用电子教案
课后作业练习
作业：20页 1. （3）（5）（8） 5. 8. 9.
28页 1. 2. 4.
预习：多元函数的求导法则
利用全微分求函数的偏导数的技巧
一、什么是全微分求导
全微分求导，也称为多元微积分方法，是一种多元微积分中计算函数的偏导数的方法。它以函数为“全变量函数”的形式，而不是单变量函数，以多变量的方式描述变化。它通过使用每个变量对函数的偏导数之间的关系，同时对函数的每个变量求偏导数，最终获得函数的偏导数。
二、全微分求偏导数的具体步骤
1.根据函数的模式，将变量分解成独立的变量计算。
2.求出每个变量的偏导数。
3.把每个变量的偏导数结果加起来，得到函数的偏导数。
三、全微分求偏导数的具体应用
1.全微分求偏导数可用于求解多元函数的最大值或最小值。例如：f(x,y)=3x^2+4y，其中x与y可以分别求出偏导数，最终得到f(x,y)的偏导数。
2.全微分求偏导数可用于求解多维变量的偏导数。例如：f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^3+x3^4，可以将x1、x2、x3分别求出偏导数，最后加起来就是f(x1,x2,x3)的偏导数。
3. 全微分求偏导数可用于求特殊形式函数的偏导数。例如：f(x,y,z)=xtan(yz)，可以先将函数的每个变量求偏导数，最后将结果加起来就是函数f(x,y,z)的偏导数。
四、全微分求偏导数的好处 1.全微分求偏导数法可以计算出函数的偏导数。
- 1 - 全微分与偏导数的关系
全微分与偏导数是微积分中两个重要的概念。全微分是指在一个变量的微小变化下，函数所发生的微小变化，而偏导数则是指在多个变量中，对其中一个变量求导数所得到的结果。在某些情况下，全微分和偏导数之间存在着特殊的关系。
具体来说，如果函数f(x,y)在点(x0,y0)处存在全微分df，那么该函数在该点处的偏导数也存在，并且有如下公式：
df = f/x * dx + f/y * dy
其中，dx和dy分别表示x和y的微小变化量。这个公式说明了全微分和偏导数之间的关系，即全微分可以使用偏导数来表示。
在实际的应用中，这个关系有着重要的意义。通过求偏导数，我们可以计算出函数在不同变量下的变化率，从而得到更加详细的信息。同时，全微分和偏导数之间的关系也为我们提供了一种计算全微分的方法，这在实际中也有着广泛的应用。
全微分、方向导数、偏导数与连续四者之间的关系
关键词 全微分，任意方向上的方向导数，偏导数，连续
一、全微分存在和任意方向的方向导数存在之间的关系
定理1：函数(,)zfxy在点00(,)xy处可微分，则在该点处任意方向上的方向导数存在，反之不成立．
例1：函数22zxy在点(0,0)处对,xy的全微分不存在，但在该点处沿任意方向的方向导数存在．
证明：0(0,0)(,0)(0,0)limxzzxzxx
01,0,lim1,0,xxxxx
故22zxy在点(0,0)处对x的偏导数不存在，
同理22zxy在点(0,0)处对y的偏导数不存在，
由定理1 22zxy在点(0,0)处对,xy的全微分不存在．
但22zxy在点(0,0)处沿任意方向的方向导数为
0(0,0)(cos,sin)(0,0)limzzzl0lim1
即任意方向上的方向导数存在．
二、任意方向的方向导数、偏导数和连续之间的关系
下面介绍一个更易出错的概念，大多数人以为“若函数在一点处沿任意方向的方向导数存在，则函数在该点处必连续”．这是一个完全错误的概念，如：
例2： 2222422,0,0,0,xyxyzxyxy它在任意方向上的方向导数为：
0(0,0)(cos,cos)(0,0)limzzzl 222240cos,cos0,coscoslimcoscoscos0,cos0,
这一结果表明2222422,00,0xyxyzxyxy在点(0,0)处沿任意方向的方向导数都存在．
但是222001limlim(0,0)2yxxxxzzxx，即函数在该点不连续．
定理2：函数函数(,)zfxy在点00(,)xy处的偏导数存在，但在该点沿任意方向上的方向导数不一定存在．
