2021年高考文科数学二轮复习：圆锥曲线的几何性质

高考数学圆锥曲线复习策略

一.圆锥曲线高考大纲

文科

（1） 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单的几何性质（范围、对称性、顶点、

离心率）

（2） 了解双曲线的定义、几何图形、标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、 顶点、离心率、渐近线）

（3） 了解抛物线的的定义、儿何图形、标准方程，知道其简单的儿何性质（范围、对称

性、顶点、离心率）

（4） 理解数形结合的思想。

（5） 了解圆锥曲线的简单应用。

理科.（1） 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的

作用.

（2） 掌握椭圆、抛物线的定义、儿何图形、标准方程及简单儿何性质.（范围、对称性、

顶点、离心率）

（3） 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质（范围、对称性、

顶点、离心率、渐近线）.

（4） 了解圆锥曲线的简单应用.

（5） 理解数形结合的思想. 锥曲线知识网络 '对称轴兀轴 住占 八、、八、、

标准方程y2=2Px\顶点 离心率 准线

（卩>0）

二.试题趋势

近年來圆锥1111线在高考中比较稳定，解答题往往以屮档题或以押轴题形式出现，主要考察学 生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线在新 课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2011年高考对本讲的考察，主要考察热点有:

（1） 圆锥Illi线的定义及标准方程；

（2） 与圆锥曲线有关的轨迹问题；

（3） 与圆锥曲线有关的最值、定值问题；

（4） 与平面向量、导数等知识相结合的交汇试题

（1）圆锥曲线的定义及标准方程;

1. （2010北京文理）（13）已知双曲线二—1的离心率为2,焦点与椭圆—= 1的

a2 b2 25 9

焦点相同，那么双Illi线的焦点坐标为 _______ ；渐近线方程为 ________ o 定义：:

椭圆l + IF2PI=2a

(2a >1 F.F2 I) 标准方程召+令

.

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 2.3.2 双曲线的几何性质

学 习 目 标 核 心 素 养

1.了解双曲线的简单几何性质．(重点)

2.会求双曲线的渐近线、离心率、顶点、焦点坐标等．(重点)

3.知道椭圆与双曲线几何性质的区别. 1.通过双曲线性质的学习，提升直观想象素养．

2.借助性质的应用，提升数学运算素养.

1．双曲线的简单几何性质

标准方程 x2a2－y2b2＝1

(a＞0，b＞0) y2a2－x2b2＝1

(a＞0，b＞0)

性质 图形

焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)

焦距 2c

范围 x≤－a或x≥a，

y∈R y≤－a或y≥a，

x∈R

对称轴 x轴，y轴

对称中心 原点

顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)

轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b

离心率 e＝ca∈(1，＋∞)

渐近线 y＝±bax y＝±abx

2．等轴双曲线

(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．

(2)性质：①等轴双曲线的离心率e＝2； .

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 ②等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直．

思考：(1)渐近线一样的双曲线是同一条双曲线吗？

(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？

[提示]

(1)渐近线一样的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值一样．

(2)e2＝c2a2＝1＋b2a2，ba是渐近线的斜率或其倒数．

1．双曲线x24－y29＝1的渐近线方程是( )

A．y＝±23x B．y＝±49x

C．y＝±32x D．y＝±94x

C [双曲线的焦点在x轴上，且a＝2，b＝3，因此渐近线方程为y＝±32x.]

2．双曲线x216－y2＝1的顶点坐标是( )

A．(4,0)，(0,1) B．(－4,0)，(4,0)

专题20椭圆

【考点命题趋势分析】

1专题综述

椭圆是圆锥曲线的重要组成部分，是解析几何的核心内容之一，椭圆在解析几何中起着承前启后的作用，同时也是历届高考命题的热点和焦点.笔者统揽近三年高考数学全国卷和各省市卷，高考对椭圆部分的考查大都聚焦在以下三个方面:其一，考查椭圆的定义、标准方程和简单的几何性质；其二，考查直线与椭圆的位置关系；其三，考查椭圆相关的综合问题(定点、定值、最值及范围问题).解析几何是以坐标为桥梁，用代数知识来研究几何问题是其本质特征.将椭圆与平面几何、向量、函数、数列、不等式、导数等知识融合命制考题，既广泛而深入地考查了数形结合、转化与化归、分类整合、函数与方程等数学思想以及灵活运用椭圆知识观察、分析和解决问题的能力，同时又对考生的几何直观、逻辑推理和数学运算等素养提出了较高的要求.下面主要以高考试题为例，对椭圆相关的考点举例阐述，以期对今年高考复习有所帮助.

典型例题与解题方法

2考点剖析

2.1椭圆方程及其几何性质

求动点的轨迹或是轨迹方程是圆锥曲线的常见问题，椭圆也不例外，一般设置在第一问.这要求学生能熟练地使用常用的方法:直接法、定义法、相关点法、交轨法和代换法，另外，几何性质的灵活运用也往往起到事半功倍之效.一般求解步骤是:建系一设点一坐标代换一化简一检验.注意求轨迹方程和求轨迹应是两种不同的结果表述，前者是方程，后者是图形.

例1设圆𝑥2+𝑦2+2𝑥−15=0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明|𝐸𝐴|+|𝐸𝐵|为定值，并写出点E的轨迹方程.

例2已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左、右顶点分别为𝐴1,𝐴2，且以线段𝐴1𝐴2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，则C的离心率为( )

A．√63 B．√33 C．√23 D．13

第2讲 圆锥曲线的方程与性质——小题备考

微专题1 圆锥曲线定义的应用

『常考常用结论』

1．椭圆的定义与方程：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)；

焦点在x轴上：＝1(a>b>0)，

焦点在y轴上：＝1(a>b>0)．

2．双曲线的定义与方程：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<|F1F2|)；

焦点在x轴上：＝1(a>0，b>0)，

焦点在y轴上：＝1(a>0，b>0)．

3．抛物线定义与方程：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)

y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p>0)

『保分题组训练』

1．已知F1，F2为椭圆＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝10，则|AB|＝( )

A．2 B．4

C．6 D．10

2．[2021·河北石家庄二模]抛物线y＝ax2经过点M(2，1)，则M到焦点F的距离为( )

A． B. 2

C. 3 D.

3．已知双曲线＝1(0

C．1 D．2

『提分题组训练』

1．[2021·山东滨州一模]如图，斜线段AB与平面α所成的角为，B为斜足．平面α上的动点P满足∠PAB＝，则点P的轨迹为( )

A．圆 B．椭圆

C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分

2．[2021·湖南永州模拟]已知F是抛物线y2＝4x的焦点，若A，B是该抛物线上的两点，且|AF|＋|BF|＝6，则线段AB的中点到直线x＝－的距离为( )

A．2 B.

C. 3 D.

3．[2021·河北秦皇岛二模]已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，已知∠F1AF2＝90°，且△ABF1内切圆半径为1，则|AB|＝________．

【技法领悟】

关于圆锥曲线定义的应用