2021年军考解放军武警(高中)士兵考军校数学综合测试卷及答案
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第1页（共8页）高中学历士兵考军校-数学-综合测试卷
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1．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin()2sinbACaC，
且ab．
（1）求sinB；
（2）若ABC的面积为15，求ABC的周长．
2．已知函数()log(1)(0x
afxaa，1)a
（1）求函数()fx的定义域；
（2）求满足不等式log(1)x
aaf（1）的实数x的取值范围．
3．在公差不为零的等差数列{}
na中，
138aa，且
1a，
3a，
9a成等比数列．
（1）求数列{}na的通项公式；
（2）设21
1n
nb
a
，数列{}nb的前n项和为
nS，求证：1
2nS．第2页（共8页）4．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙
两人各抽一题．
（1）求甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少；
（2）求甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少．
5．已知函数21()2
2fxlnxaxax，0a．
（1）讨论函数()fx的单调性；
（2）若1a，实数1x，
2(0,)x，且
12()()3fxfx，证明：22
122xx．
6．已知圆2:(Mx2241)
9py经过抛物线2:2Cxpy的焦点．
（1）求p的值；
（2）当0p时，直线l与抛物线C、圆M均只有一个公共点，求直线l的方程．
7．如图，四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，2BC，
2CD，ABAC，CE与平面ABE所成的角为45．
（1）证明：ADCE；第3页（共8页）（2）求二面角ACEB的正切值．第4页（共8页）参考答案与详解
1.【详解】（1）因为sin()2sinbACaC，可得sin2sinbBaC，
所以22bac，（2分）
因为ab，可得1
2cb，所以22222214cos1242
2bbbacbB
acbb
，（4分）
因为0B，
所以215sin1
4BcosB．（6分）
（2）因为ABC的面积为21115sin15
244acBb，
所以4b，（8分）
所以4a，2c，（9分）
故ABC的周长为44210abc（12分）
2.【详解】（1）当01a时，10xa，则0x即定义域为(0,)；
当1a时，10xa，则0x，则定义域为(,0)
（2）log(1)x
aaf（1）log(1)
aa
当01a时，11xaa
(0,1)x；
当1a时，11(,0)xaax
3.【详解】（1）设等差数列{}
na的公差为d，0d，依题意，
1
2
111228
(8)(2)ad
aadad
，解得12
2a
d
．
从而{}na的通项公式为2
nan；
证明：（2）22111111()
1(2)1(21)(21)22121n
nb
annnnn
，
1111111111[()()()](1)
2133521212212nS
nnn
．
4.【详解】5个不同题目，甲、乙两人各抽一题，共有20种情况，第5页（共8页）把3个选择题记为1x、
2x、
3x，2个判断题记为
1p、
2p．“甲抽到选择题，乙抽到判断题”
的情况有：
1(x，
1)p，
1(x，
2)p，
2(x，
1)p，
2(x，
2)p，
3(x，
1)p，
2(x，
2)p，共6种；
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：1(p，
1)x，
1(p，
2)x，
1(p，
3)x，
2(p，
1)x，
2(p，
2)x，
2(p，
3)x，共6种；
“甲、乙都抽到选择题”的情况有：1(x，
2)x，
1(x，
3)x，
2(x，
1)x，
2(x，
3)x，
3(x，
1)x，
3(x，
2)x，共6种；
“甲、乙都抽到判断题”的情况有：1(p，
2)p，
2(p，
1)p，共2种，
（1）“甲抽到选择题，乙轴到判断题”的概率为63
2010，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为63
2010，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为333
10105．
（2）“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为21
2010，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为191
1010．
5.【详解】（1）()fx的导函数2121()2axaxfxaxa
xx，
因为0a，所以221yaxax为开口向上的二次函数，
①△2444(1)0aaaa，即01a时，()0fx恒成立，
所以函数()fx在(0,)单调递增；
②△4(1)0aa，即1a时，()0fx有两个根1x和
2x，由韦达定理知121212,0xxxx
a，10x，
20x，
且12(1)(1)
,aaaaaa
xx
aa
，
所以()fx
在(1)
(0,)aaa
a
和(1)
()aaa
a
上单调递增，在
(1)(1)
(,)aaaaaa
aa
上单调递减．第6页（共8页）（2）证明：1a时，()fx在(0,)单调递增，且21()2
2fxlnxxx，13(1)2
22f，
121xx时，
12()()3fxfx，
若12xx，则不妨设
12xx，则
1(0,1)x，
2(1,)x，于是
22
1111111111()(2)32(2)(2)2(2)3
22fxfxlnxxxlnxxx
2
1111(2)21lnxlnxxx，
令2()(2)21gxlnxlnxxx，则211222(1)(1)()22220
2(2)(2)xxxgxxx
xxxxxx
恒成立，
那么()gx在(0,1)单调递增，又因为g（1）0，则1()0gx，
11()(2)30fxfx即
11()(2)3fxfx，
12(2)()fxfx，
122xx，
122xx，
10x，
20x，222
1212()2()xxxx，
22
122xx．
6.【详解】（1）抛物线2:2Cxpy的焦点为(0,)
2p
，可得2240(1)
29pp
，
解得6p或6
7；
（2）当0p时，6p，可得圆22:(1)16Mxy，
抛物线2:12Cxy，
①当直线l的斜率不存在时，设方程为xn，
由l与M中只有一个公共点，即相切，
可得4n或4n，
:4lx与抛物线C交于4(4,)
3；第7页（共8页）:4lx与C交于4(4,)
3；
②当直线l的斜率存在时，设方程为ykxm，
由l与圆M相切，可得
2|1|4
1m
k
，即2221516mmk，
由212ykxm
xy
只有一个实数解，
即方程212120xkxm有两个相等的实数解，
则△2144480km，化为23mk，
代入2221516mmk，
可得42922150kk，
即为22(3)(95)0kk，解得3k，9m；或3k，9m．
综合①②可得，直线l的方程为
40x，40x，390xy，390xy．
7.【详解】证明：（1）如图，取BC的中点H，连接HD交CE于点P，
连接AH、AP．
ABAC，
AHBC
又平面ABC平面BCDE，
AH平面BCDE，
AHCE，
又1
2HCCD
CDDE，
RtHCDRtCDE∽
CDHCED，
HDCE
CE平面AHD
ADCE．
（2）由（1）CE平面AHD，APCE，
