基本不等式的所有公式及常用解法

基本不等式中常用公式
①√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)
②√(ab)≤(a+b)/2
③a²+b²≥2a b
④ab≤(a+b)²/4
⑤||a||b| |≤|a+b|≤|a|+|b|
基本不等式三大定理
•基本不等式有两种：基本不等式和推广的基本不等式（均值不等式）基本不等式是主要应用于求某些函数的最大（小）值及证明的不等式。

其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

（1）基本不等式
两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

向左转|向右转
向左转|向右转
（2）推广的基本不等式（均值不等式）
向左转|向右转
时不等式两边相等。

•不等式运用示例
某学校为了美化校园,要建造一个底面为正方形,体积为32的柱形露天喷水池,问怎样才能使得用来砌喷水池底部和四壁的镶面材料花费最少?
答：设底面正方形边长为x，则水池高为
32/x^2y=x^2+4x*32/x^2=x^2+128/x=x^2+64/x+64/x≥
3(1*64*64)^(1/3)=48所以当x^2=64/x,x=4时花费最少。

上面解法使用了均值不等式
向左转|向右转
时不等式两边相等。

数学基本不等式的公式1.平均不等式：对于任意非负实数a1、a2、..、an，有如下不等式成立：$$\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$$等号成立的充要条件是a1=a2=...=an。

2.幂平均不等式：对于任意非负实数a1、a2、..、an，以及正实数p，有如下不等式成立：$$\sqrt[p]{\frac{a_1^p+a_2^p+...+a_n^p}{n}}\ge\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\ge\sqrt[p]{\frac{a_1^q+a_2^q+...+a_n^q}{n}}$$其中q是p的倒数，即$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$。

3.柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数a1、a2、..、an和b1、b2、..、bn，有如下不等式成立：$$(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2\le(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)$$等号成立的充要条件是存在实数k，使得ka1=b1,kz=bz，对于1≤i≤n。

4.广义平均不等式：对于任意非负实数a1，a2，...，an和非负实数b1，b2，...，bn，以及正实数p，如下不等式成立：$$\left(\frac{\sum_{i=1}^{n}(a_ib_i)^p}{\sum_{i=1}^{n}a_i^p} \right)^{\frac{1}{p}}\ge\left(\frac{\sum_{i=1}^{n}b_i}{n}\right)$$其中等号仅在a1=a2=...=an时成立。

5.切比雪夫不等式：对于任意实数a1，a2，...，an和非负实数b1，b2，...，bn，如下不等式成立：$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(a_i-b_i)^2\ge\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(a_i-b_i)\right)^2$$等号成立的充要条件是a1=a2=...=an。

基本不等式公式大全基本不等式公式为: a+b≥2√(ab)。

常用的不等式公式√((a2+b2)/2)>(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)√ab≤(a+b)/2a2+b2>2abab≤(a+b)2/4lla-Ibl[≤la+b|≤la/+b/(注:la读作a的绝对值)其中，a >0，b>0，当且仅当a=b时，等号成立不等式（inequality）是用不等号连接的式子。

不等式分为严格不等式与非严格不等式，用纯粹的大于号、小于号连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。

不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。

一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）“≥”、不大于号（小于或等于号）“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。

总的来说，用不等号(<,>,≥,≤,≠)连接的式子叫做不等式。

其中，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域。

如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；（乘法原则）如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；(充分不必要条件)如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数)，x的n次幂<y 的n次幂（n为负数）。

不等式的运算法则及公式一、不等式的基本概念不等式是数学中的一种关系式，用于表示两个数之间的大小关系。

不等式的基本形式为：a < b（表示a小于b）、a > b（表示a大于b）、a ≤ b（表示a小于等于b）、a ≥ b（表示a大于等于b）。

其中，符号“<”称为小于号，符号“>”称为大于号，符号“≤”称为小于等于号，符号“≥”称为大于等于号。

二、不等式的运算法则1. 加减法法则：对于任意实数a、b和c，有以下运算法则：(1) 如果a < b，那么a + c < b + c；(2) 如果a > b，那么a + c > b + c；(3) 如果a ≤ b，那么a + c ≤ b + c；(4) 如果a ≥ b，那么a + c ≥ b + c；(5) 如果a < b，那么a - c < b - c；(6) 如果a > b，那么a - c > b - c；(7) 如果a ≤ b，那么a - c ≤ b - c；(8) 如果a ≥ b，那么a - c ≥ b - c。

2. 乘法法则：对于任意实数a、b和c，有以下运算法则：(1) 如果a < b，且c > 0，那么ac < bc；(2) 如果a < b，且c < 0，那么ac > bc；(3) 如果a > b，且c > 0，那么ac > bc；(4) 如果a > b，且c < 0，那么ac < bc；(5) 如果a ≤ b，且c > 0，那么ac ≤ bc；(6) 如果a ≤ b，且c < 0，那么ac ≥ bc；(7) 如果a ≥ b，且c > 0，那么ac ≥ bc；(8) 如果a ≥ b，且c < 0，那么ac ≤ bc。

3. 除法法则：对于任意实数a、b和c，有以下运算法则（其中c≠0）：(1) 如果a < b，且c > 0，那么a/c < b/c；(2) 如果a < b，且c < 0，那么a/c > b/c；(3) 如果a > b，且c > 0，那么a/c > b/c；(4) 如果a > b，且c < 0，那么a/c < b/c；(5) 如果a ≤ b，且c > 0，那么a/c ≤ b/c；(6) 如果a ≤ b，且c < 0，那么a/c ≥ b/c；(7) 如果a ≥ b，且c > 0，那么a/c ≥ b/c；(8) 如果a ≥ b，且c < 0，那么a/c ≤ b/c。

高中6个基本不等式的公式高中6个基本不等式的公式总的来说，高中数学中的6个基本不等式公式是：(一)、二次不等式：ax²+bx+c>0；(二)、三角不等式：sinα+cosα>1；(三)、平方和不等式：a²+b²>2ab；(四)、指数不等式：an>bn；(五)、对数不等式：lnA<lnB；(六)、比较不等式：a>b。

一、二次不等式所谓的二次不等式，指的是形如ax²+bx+c>0的不等式结构，它是十分重要的，用来描述我们一类由双曲线组成的函数。

双曲线函数是一类非线性函数，受到各种外部因素的作用不会改变函数的存在形式，尽管其具体的参数可能会发生变化。

二、三角不等式三角不等式是一类与三角学相关的不等式，它们非常重要，有助于我们正确推理出三角形的其他特征。

其中最为重要的是sinα+cosα>1，这个不等式说明了在三角形内，任意一个角的正弦值是小于它的余弦值的，而它们的和则要大于1.三、平方和不等式平方和不等式有助于我们正确推断出空间里的形状的特性，它的形式如a²+b²>2ab，它推断了如果有两个边的长度为a和b，其和的平方要大于两者的乘积，也就是说任何一个正方形都有其两条边之和要大于两边乘积的特性。

四、指数不等式指数不等式是一类非常重要的数学不等式，它们由an>bn构成，例如4²>2³，这种不等式用来推断出当前指数的大小的变化，即指数不等式可以用来推断出更大的数值要比较小的数值大。

五、对数不等式对数不等式是由lnA<lnB构成的一类逆函数，即任何一个大于0的数值，当它们取反数之后所得到的值都是小于0的，但是它们仍然可以用来推断出比较大小的特性。

六、比较不等式比较不等式是一类用来推断出大小的不等式，它们最为重要的形式就是a>b，它们能够用来快速准确的推断出大数比小数大的情况，不需要拆分细节就可以迅速的把握出其大小之间的差异。

基本不等式完整版(非常全面)[整理]
基本不等式可以指几乎所有组成分析和数学的基础。

它可以使许多不同的数学问题变
得更容易理解，因此使用它们进行计算是极其重要的。

基本不等式包括了三类不等式：大
小不等式，加法不等式和乘法不等式。

以下是一些基本的不等式定义。

1、大小不等式：大小不等式表示一个数与另一个数之间的存在或缺失的关系。

例如，如果A > B，则表示A大于B，而A ≤ B表示A小于或等于B，A ≠ B表示A与B之间存
在某种不同。

2、加法不等式：加法不等式表示两个数相加时的结果。

例如，A + B > C的意思是A
与B的和大于C，A + B ≤ C的意思是A与B的和小于或等于C，A + B = C的意思是A
与B的和等于C。

一般地，一个数与另一个数之间的关系可以用不等式来表示，但也可以用不等式来表
示多个数之间的关系：
1、省略不等式：3x + 2y = 4z，这表示3x + 2y至少等于4z的意思。

基本不等式可以用来处理大量数学问题，比如解一元不等式、求函数的极值以及进行
多元函数分析等。

它们对于熟悉数学理论和解决数学问题都极其重要。

不等式基本公式不等式是数学中重要的研究对象之一，它在数学及其应用中起着重要的作用。

在不等式的研究中，有一些基本的公式和定理是非常有用的，可以用来解决各种不等式的问题。

以下是一些不等式的基本公式和相关参考内容。

1. 一次不等式公式：对于任意实数a，b和c，有以下公式：（1）加法公式：如果a > b，则a + c > b + c。

（2）减法公式：如果a > b，则a - c > b - c。

（3）乘法公式：如果a > b，并且c > 0，则ac > bc；如果c < 0，则ac < bc。

（4）除法公式：如果a > b，并且c > 0，则a/c > b/c；如果c < 0，则a/c < b/c。

2. 平方不等式公式：（1）平方不等式定理：对于任意实数a，如果a > 0，则a² > 0；如果a < 0，则a² > 0。

（2）平方根不等式公式：对于任意实数a，如果a > 0，则√a > 0；如果a < 0，则√a不存在。

3. 二次不等式公式：（1）零点判别法：对于任意实数a，b和c，二次函数f(x) =ax² + bx + c的零点x0满足以下关系：当Δ = b² - 4ac > 0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = b² - 4ac = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ = b² - 4ac < 0时，方程没有实数根。

（2）二次函数开口情况：对于任意实数a，二次函数f(x) = ax²的开口情况有以下几种情况：当a > 0时，开口向上；当a < 0时，开口向下。

4. 常见不等式：（1）Cauchy-Schwarz不等式：对于任意的实数a₁, a₂, ..., aₙ和b₁, b₂, ..., bₙ，有以下不等式：(a₁² + a₂² + ... + aₙ²)(b₁² + b₂² + ... + bₙ²) ≥ (a₁b₁ + a₂b₂+ ... + aₙbₙ)²。

基本不等式公式大全基本不等式是数学中非常重要的概念，它在数学推导和解题过程中起着至关重要的作用。

本文将对基本不等式的相关公式进行全面的介绍和总结，希望能够对读者有所帮助。

1. 一元一次不等式。

一元一次不等式是最简单的不等式形式，一般表示为ax+b>0或ax+b<0，其中a和b为实数，且a≠0。

解一元一次不等式的关键在于求出不等式的解集，常用的方法有图解法和代入法。

2. 一元二次不等式。

一元二次不等式是一元二次方程不等式，一般表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其中a、b和c为实数，且a≠0。

解一元二次不等式的关键在于求出不等式的解集，常用的方法有配方法、图解法和代入法。

3. 绝对值不等式。

绝对值不等式是含有绝对值符号的不等式，一般表示为|ax+b|>c或|ax+b|<c，其中a、b和c为实数，且a≠0。

解绝对值不等式的关键在于将绝对值不等式转化为对应的复合不等式，并求出不等式的解集。

4. 分式不等式。

分式不等式是含有分式的不等式，一般表示为f(x)>0或f(x)<0，其中f(x)为有理函数。

解分式不等式的关键在于求出不等式的定义域和分子分母的符号，然后根据符号表确定不等式的解集。

5. 复合不等式。

复合不等式是由多个不等式组合而成的不等式，一般表示为f(g(x))>0或f(g(x))<0，其中f(x)和g(x)为函数。

解复合不等式的关键在于将复合不等式转化为对应的简单不等式，并求出不等式的解集。

以上是关于基本不等式的相关公式和解题方法的介绍，希望能够对读者有所帮助。

在实际应用中，不等式是数学建模和优化问题中的重要工具，掌握不等式的相关知识对于解决实际问题具有重要意义。

希望读者能够通过学习和实践，更加熟练地运用不等式解决实际问题，提高数学解题能力。

不等式公式四个一、基本不等式1：a^2 + b^2≥slant2ab（a,b∈ R），当且仅当a = b时取等号。

1. 推导。

- 对于(a - b)^2，因为任何实数的平方是非负的，所以(a - b)^2≥slant0。

- 展开(a - b)^2=a^2 - 2ab+b^2≥slant0，移项可得a^2 + b^2≥slant2ab。

2. 应用示例。

- 已知a = 3，b = 4，则a^2 + b^2=3^2+4^2 = 9 + 16=25，2ab = 2×3×4 = 24，满足a^2 + b^2≥slant2ab。

- 求y=x+(1)/(x)(x>0)的最小值。

- 根据a^2 + b^2≥slant2ab，这里a = x，b=(1)/(x)，则x+(1)/(x)≥slant2√(x×frac{1){x}} = 2，当且仅当x=(1)/(x)即x = 1时取最小值2。

二、基本不等式2：(a + b)/(2)≥slant√(ab)（a>0,b>0），当且仅当a = b时取等号。

1. 推导。

- 由a^2 + b^2≥slant2ab，因为a>0,b>0，令A=√(a)，B = √(b)，则A^2=a，B^2 = b。

- 代入A^2 + B^2≥slant2AB得到a + b≥slant2√(ab)，即(a + b)/(2)≥slant√(ab)。

2. 应用示例。

- 已知a = 4，b = 9，(a + b)/(2)=(4+9)/(2)=(13)/(2)，√(ab)=√(4×9)=6，满足(a + b)/(2)≥slant√(ab)。

- 求y = x(1 - x)（0< x<1）的最大值。

- 因为y=x(1 - x)，这里a=x，b = 1 - x，根据(a + b)/(2)≥slant√(ab)，y=x(1 - x)≤slant((x+(1 - x))/(2))^2=(1)/(4)，当且仅当x=1 - x即x=(1)/(2)时取最大值(1)/(4)。

基本不等式的所有公式及常用解法
基本不等式是数学中一种重要的概念，它可以帮助我们解决许多复杂的问题。

基本不等式的公式有许多，其中最常用的是加法不等式、乘法不等式、减法不等式和比较不等式。

加法不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有a+b≥0。

加法不等式的解法是：若a、b是
任意实数，则可以将a+b≥0转化为a≥-b，从而得出a的取值范围。

乘法不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有ab≥0。

乘法不等式的解法是：若a、b是任
意实数，则可以将ab≥0转化为a≥0或b≥0，从而得出a、b的取值范围。

减法不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有a-b≥0。

减法不等式的解法是：若a、b是
任意实数，则可以将a-b≥0转化为a≥b，从而得出a的取值范围。

比较不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有a>b或a<b。

比较不等式的解法是：若a、b
是任意实数，则可以将a>b或a<b转化为a-b>0或a-b<0，从而得出a的取值范围。

基本不等式的公式和解法可以帮助我们解决许多复杂的问题，它们在生活中也有着重要的作用。

比如，当我们在购物时，可以利用基本不等式的公式和解法来比较价格，从而节省购物费用。

此外，基本不等式的公式和解法还可以帮助我们解决许多其他的问题，比如计算投资回报率、计算贷款利息等。

总之，基本不等式的公式和解法对我们的生活娱乐有着重要的意义，它们可以帮助我们解决许多复杂的问题，节省购物费用，计算投资回报率和贷款利息等。

基本不等式【知识框架】1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ （2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab+≤+≤≤+ 6、柯西不等式（1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+【题型归纳】题型一：利用基本不等式证明不等式题目1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+题目2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：cabc ab c b a ++>++222题目3、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥题目4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---题目5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪题目6、（新课标Ⅱ卷数学（理）设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a ++≥.题型二：利用不等式求函数值域题目1、求下列函数的值域（1）22213x x y += （2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x x x y题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；变式3：已知2<x ，求函数4224xy x x =+-的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；题目2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）题目1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

基本不等式（很全⾯）.（精选）基本不等式【知识框架】1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤2、基本不等式⼀般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则22?+≤b a ab总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最⼩值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最⼩值；4、求最值的条件：“⼀正，⼆定，三相等”5、常⽤结论（1）若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）（2）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤（5）若*,R b a ∈，则22b a b a ab ba +≤+≤≤+6、柯西不等式（1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++（3）设1212,,,,,,n n a a a b b 与b 是两组实数，则有22212(n a a a +++)22212)n b b b +++(21122()n n a b a b a b ≥+++【题型归纳】题型⼀：利⽤基本不等式证明不等式题⽬1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+题⽬2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222题⽬3、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥题⽬4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---题⽬5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c---≥题⽬6、（新课标Ⅱ卷数学（理）设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.题型⼆：利⽤不等式求函数值域题⽬1、求下列函数的值域（1）22213x x y += （2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x xx y题型三：利⽤不等式求最值（⼀）（凑项） 1、已知2>x ，求函数424变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最⼩值；变式2：已知2242-+=x x y 的最⼤值；变式3：已知2xy x x =+-的最⼤值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最⼩值；题⽬2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最⼤值；题型四：利⽤不等式求最值（⼆）（凑系数）题⽬1、当时，求(82)y x x =-的最⼤值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最⼤值；变式2：设230<题⽬2、若02<变式：若40<题⽬3、求函数)2521(2512<<-+-=x x x y 的最⼤值；变式：求函数)4x x x y 的最⼤值；题型五：巧⽤“1”的代换求最值问题题⽬1、已知12,0,=+>b a b a ，求t a b=+11的最⼩值；变式1：已知22,0,=+>b a b a ，求t a b=+11的最⼩值；变式2：已知28,0,1x y x y>+=，求xy 的最⼩值；变式3：已知0,>y x ，且119x y+=，求x y +的最⼩值。

基本不等式八个公式基本不等式是初中数学中的重要概念，它是解决不等式问题的基础。

基本不等式有八个公式，分别是：1. 两个正数的和的平方大于等于它们的平方和。

即：(a+b)²≥a²+b²这个公式可以用来证明勾股定理。

2. 两个正数的积的平方大于等于它们的平方积。

即：(ab)²≥a²b²这个公式可以用来证明算术平均数和几何平均数之间的关系。

3. 两个正数的平均数大于等于它们的几何平均数。

即：(a+b)/2≥√(ab)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于几何平均数。

4. 两个正数的平均数大于等于它们的调和平均数。

即：(a+b)/2≥2ab/(a+b)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于调和平均数。

5. 三个正数的和的平方大于等于它们的平方和的三倍。

即：(a+b+c)²≥3(a²+b²+c²)这个公式可以用来证明均值不等式。

6. 三个正数的积大于等于它们的平方和的三分之一次方。

即：abc≥(a²+b²+c²)/3这个公式可以用来证明几何平均数大于等于算术平均数。

7. 任意多个正数的平均数大于等于它们的几何平均数。

即：(a1+a2+...+an)/n≥√(a1a2...an)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于几何平均数。

8. 任意多个正数的平均数大于等于它们的调和平均数。

即：(a1+a2+...+an)/n≥n/(1/a1+1/a2+...+1/an)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于调和平均数。

以上就是基本不等式的八个公式，它们在解决不等式问题时非常有用。

我们可以根据不同的问题选择不同的公式来解决，从而更加高效地解决问题。

高中数学中常见的基本不等式公式包括以下几个：
1. 算术平均值大于等于几何平均值：设n为正整数，x1, x2, ..., xn为实数，则有：
(x1 + x2 + ... + xn)/n >= √(x1 * x2 * ... * xn)
这就是著名的算术平均值与几何平均值之间的不等式。

2. 调和平均值大于等于几何平均值：设x1, x2, ..., xn为实数，则有：
(nx1/2 + nx2/2 + ... + nxn/2) >= √(x1 * x2 * ... * xn)
这就是著名的调和平均值与几何平均值之间的不等式。

3. 三角不等式：设x和y为非零实数向量，则有：
|x·y| <= |x|·|y|
其中，x·y表示向量x和y的点积，|x|和|y|分别表示向量x和y的模长。

4. 柯西-施瓦茨不等式：设x1, x2, ..., xn和y1, y2, ..., yn为实数向量，则有：
(x1*y1 + x2*y2 + ... + xn*yn) <= sqrt((x1^2 + x2^2 + ... + xn^2) * (y1^2 + y2^2 + ... + yn^2))这就是著名的柯西-施瓦茨不等式，用于衡量向量的相关性。

以上这些基本不等式在高中数学中非常常见，并且在解决许多数学问题时都非常有用。

基本不等式公式讲解基本不等式是数学中的一个重要概念，它描述了在特定条件下两个或多个正数之间的关系。

这些关系通常以公式形式给出，并用于解决各种实际问题。

以下是基本不等式的公式及其讲解：1. 平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数：这是四个重要不等式的总称，它们反映了不同平均数之间的关系。

具体来说，平方平均数是指一组数的平方和的平均值，算术平均数是所有数的和除以数的个数，几何平均数是所有数的乘积的平方根，调和平均数是所有倒数之和的倒数。

2. √((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)：这也是一组重要的基本不等式。

它们反映了在不同条件下，两个正数a和b之间的关系。

这些不等式在解决最优化问题、不等式证明等方面有广泛应用。

3. 调整系数：在某些情况下，为了满足特定条件（如使两个式子的和为常数），需要对某些系数进行调整。

这种调整通常是为了满足某些数学规则或定理，以便更好地解决问题。

4. 有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。

5. 有一些常用公式：如√(ab)≤(a+b)/2、a²+b²≥2ab、ab≤(a+b)²/4等。

这些公式也是基于不等式的性质推导出来的，它们在解决各种数学问题中起到重要作用。

总的来说，基本不等式是数学中的重要概念，它们提供了在特定条件下正数之间关系的公式表示。

这些公式不仅有助于解决数学问题，还广泛应用于其他领域。

学习和理解这些基本不等式的性质和推导方法，有助于提高数学素养和解决问题的能力。

基本不等式公式四个推导式不等式公式是数学中一类非常重要的知识，它既可以用来表达客观事物之间的比较关系，也可以用来进行推导求解，它可以说是数学中一块重要的拼图，它要想成功组合出数学的实际应用，就必须先了解基本的不等式公式，特别是要掌握比较重要的四个推导式，即：一、基本不等式公式首先，要搞清楚的就是基本不等式公式，归纳起来有如下几种：（1）绝对值不等式：| a + b | c | a | c - | b |（2）大于等于不等式：a + b c a c - b（3）小于等于不等式：a + b c a c - b（4）等号不等式：a + b = c a = c - b这四种基本不等式公式可以分别用来描述不同的客观情况，它们之间的联系也是紧密的，因此理解这四种公式就显得非常重要。

二、四个推导式在熟悉基本不等式公式的基础上，我们还要掌握它们之间的四个推导式，即：（1）小于等于推小于：若a b，则a＜b成立。

（2）大于等于推大于：若a b，则a＞b成立。

（3）小于等于推大于等于：若a b，则a≥b成立。

（4）大于等于推小于等于：若a b，则a≤b成立。

这四个推导式的作用是将两个不等式的关系倒换，基本上到了这一步，不等式公式的推导求解就基本成型了，它也是大家掌握数学的一个重要途径。

三、几个关键技巧在运用不等式公式推导求解的过程中，还得掌握一些技巧，其中有几个关键技巧可以说是分不开的：（1）无穷大和无穷小技巧：当不等式中存在特殊情况时，就可以用无穷大和无穷小来讨论；（2）正负和零处理技巧：这种技巧是实际问题解决中比较常见的方法，即正负项分析与零处理；（3）变量技巧：这个技巧可以用来表示复杂情况，只要使用变量技巧，就可以解决一些无法通过常规推导得出的结果；（4）极值技巧：极值技巧是不等式公式求解定理的重要方法，即用极值的思想来处理复杂的约束问题，这样可以得出较为准确的结果。

总结起来，掌握不等式公式及其四个推导式，还要重视几个关键技巧，这样才能让不等式公式实现真正的数学应用。

不等式公式大全不等式是数学中常见的一种关系式，它在数学中有着广泛的应用。

不等式的解法和性质有很多，下面我们来详细介绍不等式的各种公式及其应用。

一、基本不等式公式。

1. 一元一次不等式，ax + b > 0 (a ≠ 0)，ax + b < 0 (a ≠ 0)。

2. 一元二次不等式，ax^2 + bx + c > 0 (a ≠ 0)，ax^2 + bx + c < 0 (a ≠ 0)。

3. 绝对值不等式，|ax + b| > c，|ax + b| < c。

二、不等式的性质。

1. 不等式两边同时加（减）一个相同的数，不等式仍成立。

2. 不等式两边同时乘以（除以）一个正数，不等式方向不变；两边同时乘以（除以）一个负数，不等式方向改变。

3. 不等式两边同时取绝对值，不等式方向不变。

三、不等式的解法。

1. 图像法，将不等式对应的函数图像画出，通过图像来确定不等式的解集。

2. 区间法，将不等式化简成区间表示，通过区间的交集和并集来确定不等式的解集。

3. 讨论法，对不等式中的各项进行讨论，找出不等式的解集。

四、常见不等式。

1. 平均不等式，对任意n个正数a1、a2、…、an，有(a1+a2+…+an)/n ≥√(a1a2…an)，等号成立当且仅当a1=a2=…=an。

2. 柯西-施瓦茨不等式，对任意n维实内积空间中的向量a和b，有|a·b| ≤ ||a|| ||b||，等号成立当且仅当a与b成比例。

3. 阿贝尔不等式，对任意n个实数a1、a2、…、an和任意n个非负实数b1、b2、…、bn，有|a1b1 + a2b2 + … + anbn| ≤ (|a1|+|a2|+…+|an|)(b1+b2+…+bn)。

五、不等式的应用。

1. 在数学证明中，不等式常常用来推导出其他结论。

2. 在优化问题中，不等式常常用来确定最优解的范围。

3. 在概率统计中，不等式常常用来确定随机变量的性质。

不等式基本公式不等式是数学中的一种重要概念，它在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。

不等式基本公式是解决不等式问题的关键，掌握这些公式有助于我们更好地解决实际问题。

一、不等式基本概念介绍不等式是指用不等号（如“<”、“>”、“≤”、“≥”等）连接的数学表达式。

根据不等式的性质，我们可以将其分为一元一次不等式、一元二次不等式、多元不等式等类型。

二、不等式基本公式概述1.线性不等式：线性不等式是指形如ax+b<0或ax+b>0的不等式，其中a和b为实数，且a≠0。

解线性不等式的方法主要包括移项、分式不等式求解等。

2.二次不等式：二次不等式是指形如ax+bx+c<0或ax+bx+c>0的不等式，其中a、b、c为实数，且a≠0。

解二次不等式的方法主要包括因式分解、判别式法等。

3.绝对值不等式：绝对值不等式是指形如|x|≤a或|x|<a的不等式，其中a 为实数。

解绝对值不等式的方法主要包括分段讨论、参数分离等。

三、常见不等式类型的解法1.解一元一次不等式：根据不等式的基本性质，我们可以通过移项、合并同类项、分式不等式求解等方法解一元一次不等式。

2.解一元二次不等式：通过因式分解、判别式法等方法解一元二次不等式。

注意，在解二次不等式时，要考虑二次项系数的正负情况。

3.解绝对值不等式：根据绝对值不等式的性质，我们可以通过分段讨论、参数分离等方法解绝对值不等式。

四、应用实例与问题解析不等式在实际问题中的应用十分广泛，如在经济、物理、化学等领域。

以下举例说明：1.某企业的成本和产量关系：设某企业的成本函数为C(x)=3x+20，其中x 为产量。

要求利润最大化，需要解不等式P(x)>0，其中P(x)为利润函数。

2.物体运动中的速度和加速度关系：设物体的速度v和加速度a满足v≤a，求物体的最大速度。

五、提高解题技巧与策略1.熟练掌握不等式的基本性质，如不等式的传递性、同向可加性等。

基本不等式的解法含绝对值的不等式1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离； 2．12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离解含绝对值的不等式的基本思想去掉绝对值符号是其本思想，可将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；去掉绝对值的主要方法（1）公式法：|| (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或x a <-． （2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．(22b a o b a >⇒≥>)解题方法与技巧○1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○3应用化归思想等价转化 ⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为例1．解下列不等式：（1）4|23|7x <-≤；（2）|2||1|x x -<+；（3）|21||2|4x x ++->．例2．解下列不等式：(1) x-3|-|x+1|<1 (2) 531>-++x x (3) x x 2143+>- (4) x x 2143+≤-一元二次不等式对于一元二次不等式()22000ax bx c ax bx c a ++>++<>或，设相应的一元二次方程()200ax bx c a ++=>的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：方程的根→函数草图→观察得解，对于0a <的情况可以化为0a >的情况解决注意：含参数的不等式ax 2＋bx ＋c>0恒成立问题⇔含参不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集是R ；其解答分a ＝0(验证bx ＋c>0是否恒成立)、a ≠0（a<0且△<0）两种情况解一元二次不等式的基本步骤：（求根 画图 找解） 1． 化二次项系数为正 2． 判定△3． 与出对应方程的根4． 结合解集表写出解集（如是含参数需比较两含参根的大小）例3：求下列不等式的解集（1）0)1)(4(<--+x x (2)232>+-x x (3)1442>+-x x (4)0322>-+-x x变式：（1）0))(1(<--a x x (2))(0)(322R a a x a a x ∈≥++-例 4:已知不等式210{51}ax bx x x ++≥-≤≤的解集为a b 求、的值变式：已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为}31{<<x x ,求02<++a bx cx 的解集分式不等式的解法(基本思想：等价转化)分式不等式的解法：先移项通分标准化，然后利用符号法则进行等价转化则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩例：5 (1)041<--x x (2)11<x(3)141≤--x x (4)ax x -<-11(5)32>x例 6不等式13642222<++++x x k kx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的取值范围高次不等式的解法———数轴标根法（穿针引线法）：各因式中最高次数为1，且为正数，令各因式等于零，解出各因式的根标在数轴上，然后从右向左，从上到下，见根穿一次，奇过偶不过,最后结合不等号写出解集例1.解不等式：(x －1)·(x －2)·(x －3)·(x －4)>120例2. 解不等式：0)5()1)(3()2(32>-+++x x x x无理不等式无理不等式：转化为有理不等式求解1()0()0()()f xg x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬⇔≥⎨⎭⎪>⎩定义域○2⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或○3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f例 (1)129->-x x(2) 1323>--x指数不等式、对数不等式指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a aa f x g x aaa f x g x ab a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>对数不等式：转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩例7.解不等式66522252.0++-+-≥x x x x例8解不等式154log <x.例9解关于x 的不等式：222)21(2--+>x x x例101．等式0log log 221>x 的解集为……………………………………（ ）（A ）{x |x <2} （B ）{x |0<x <2} （C ）{x |1<x <2} （D ）{x |x >2} 2.若011log 22<++aaa，则a 的取值范围是（ ）A ．),21(+∞B ．),1(+∞C ．)1,21(D ．)21,0(3．不等式xx 283)31(2--> 的解集为 ；4．等式1)22lg(2<++x x 的解集为 ；。