平面开链机械臂动力系统及其控制的向量键合图建模与分析易仲庆;谢进;张建奇【摘要】平面开链机械臂是由一系列电机驱动单臂串联而成.利用这种串联式的结构特性,建立了电机驱动单臂的子系统机电耦合向量键合图模型以及等价动力学一阶微分方程,并利用模块化的方式建立出整个平面开链机械臂系统的键合图动力学模型.模型中通过考虑电机输出轴以及机械臂的挠性,实现微分因果关系的消除.以平面2R机械臂为例,通过对含有PD控制器的机电耦合系统动力学模型进行键合图仿真与Matlab仿真的结果对比,以及容性元件取值对系统动态响应影响的分析,验证了所提出方法的正确和有效性.%A planar open chain manipulator is composed of a series of single arm actuated by a motor.This serial chain nature make it possible to establish the vector bond graph model and equivalent dynamic first order differential equation of electromechanical coupling for the single arm actuated by a motor firstly,and then to establish the vector bond graph and dynamics modeling for the whole manipulator by the modular method.The differential causality is solved by considering the flexible of the motor output shaft and manipulator.A planar 2R manipulator is taken as an example to demonstrate the method proposed in it and its effectiveness and correctness as well,by comparing the simulation results from Bond Graph and Matlab simulation of the system with the PD controller and analysing the influence of the value of the capacitive element on dynamic response of the system.【期刊名称】《机械设计与制造》【年(卷),期】2017(000)003【总页数】5页(P60-63,67)【关键词】向量键合图;机电耦合;开链机械臂【作者】易仲庆;谢进;张建奇【作者单位】西南交通大学机械工程学院,四川成都610031;西南交通大学机械工程学院,四川成都610031;西南交通大学机械工程学院,四川成都610031【正文语种】中文【中图分类】TH16机电一体化是机械工业的一个重要发展方向。
在机电一体化中，机电之间的耦合关系是机械学科新的研究课题。
建立机电系统耦合动力学模型、对机电系统的耦合效应进行定量分析是复杂机电系统动力学分析、动态特性分析、故障诊断等所必须解决的关键问题[1-2]。
键合图[3]理论以能量守恒原理为基础，将多种物理参量用统一的势、流、变位和动量4种状态变量表示，可以直观地描述系统内部状态的变化过程，是一种用统一的方式处理多种能量范畴的工程系统的动态分析方法[4]，与其他理论和方法结合在一起，可以成为机电系统分析及控制的有效工具[5-7]。
文献[8，9]研究了利用键合图的方法建立各种机电系统动力学分析模型的问题；文献[10]应用敏感性键合图对机电系统中的控制问题进行了分析；文献[11]在利用键合图建立了摄像机仰俯系统的动力学模型的基础上，对控制器的设计进行了深入的研究。
然而，利用键合图对机电系统中的电机、机构以及控制器进行全面的分析和研究仍然需要探索出有效的方法[12]。
相比于传统标量键合图，向量键合图（Vector of Bond Graph）方法具有表达形式简明紧凑，包含信息量大的特点[13]，在多能域特别是复杂多体系统多能域分析时具有明显的优势。
平面开链机械臂是一种主要的工业机器人机构，其动力学性能直接影响到机器人的性能及其控制系统的设计。
常用的工业机器人动力学建模理论和方法是Newton-Euler方法[14]和Lagrangian方法和基于文献[15]。
这些方法重点研究的是机械臂本体的动力学问题，很少涉及到驱动电机的动力学问题。
Lagrange-Maxwell 方法[16]综合考虑了电机和机械系统的动力分析问题，但是所建立的方程式还是二阶的微分方程，并且不能直观地描述机电系统的能量传递和变化等方面的信息。
以永磁同步电机驱动的平面开链机械臂为研究对象，研究向量键合图方法在机械臂动力学方程的建立及控制系统中的应用，以探索出考虑驱动电机的机器人机构动力学和控制分析、设计的有效方法。
2.1 平面开链机械臂的结构一个平面nR开链机械臂物理模型，如图1所示。
机械臂由n个活动构件和n个转动副组成。
当机构为全驱动机构时，在每个转动副处应安装一个驱动器。
在研究中，驱动器为永磁同步电机（PMSM），则驱动器与其驱动杆件之间形成了一个机电耦合的子系统，其控制原理图，如图2所示。
显然，图1所示的平面nR开链机械臂应包含有n个图2所示的子系统。
2.2 平面开链机械臂子系统的键合图及动力学模型子系统中主要的物理部件包括驱动电动机及其直接驱动的机械臂。
2.2.1 驱动电动机的动力学建模永磁同步电动机的工作原理图，如图3所示。
根据电动机工作原理和功率流向，可以建立电机的键合图模型，如图4所示。
设电机转子两极之间的中心线为q轴。
键合图模型，如图4所示。
可得电机状态方程。
式中：I2—定子在q轴上的电感Lq；I6—转子转动惯量Jm；R3—定子电枢电阻Rs；R7—摩擦阻尼Cm；KT—d轴磁链Ψds；e1—定子电压q轴分量uq；e8—负载转矩TL；p2=iqLq（iq—q轴电流），p6=ωJm（ω—转子转速）。
2.2.2 机械臂的运动分析与建模机械臂的物理模型，如图5所示。
采用D-H方法[14]建立坐标系。
令机械臂i的质心Ci及末端在全局坐标系下的线速度分别为0viC、0vi+1，角速度为iωi，则由图5可以得到构件速度转换关，如式（2）所示。
2.2.3 电动机驱动机械臂子系统的动力学建模根据机械臂子系统中电机与机械臂之间的耦合关系，建立消除微分因果关系的机电耦合子系统的向量键合图模型，如图7所示。
结合图5和式（2）建立构件i的向量键合图模型，如图6所示。
图中：键13—机械臂与电机之间的耦合键；键14、20—机械臂i与机械臂i-1之间的接口键；键25、28—与机械臂i+1之间的接口键，这些键所代表的物理含义分别为：为避免模型中微分因果关系导致的状态变量不独立，采用了将电机输出轴设为挠性轴、机械臂设为弹性杆，而在模型中增加两个容性元件的方法[3]，如图7所示。
显然，这样的处理方法更加便于考虑系统中部件的弹性变形。
然而，容性元件的取值对系统的运动却有重要的影响。
这一点将在第2节中通过具体示例进行说明。
图中变换器TF、MTF模数的具体表达式为：从图7的机械臂i子系统键合图模型可以看出：构件模块含有3个状态变量，电机模块也含3个状态变量，即每个机械臂子系统含6个状态变量。
设状态变量X=［p2，p6，q9，p16，q21，p24］T，列出系统i的状态方程，如式4所示。
式中：e1=uqi，e23=［0，-mig，0］，R3=Rsi，R7=Cmi，I2=Lqi，I6=ji，I16= diag（0，0，J1），I24=diag（mi，mi，mi），c9=1/k（2i-1），c21=diag（1/ k2i，1/k2i，0）由以上分析可以看出，由键合图可以直接得到一阶微分方程表示的机电耦合系统的动力学方程式。
这就非常有利于直接利用数值计算的方法对系统进行仿真分析。
2.3 平面开链机械臂的键合图及动力学模型利用2.2节中电机驱动机械臂子系统的模型，并注意到子系统i与子系统i-1及子系统i+1之间运动和动力的相互影响，在图7所示模型的基础上采用模块化的方式扩展。
利用式2可计算出机械臂i的质心Ci及末端在全局坐标系下的线速度、角速度；利用式（3）可计算出与i所对应的4个变换器的模数；利用式（4）便可以推导出平面nR开链机械臂机电耦合动力学方程式。
显然，平面nR开链机械臂机电耦合的动力学方程中有6n个状态变量。
本节以2R机械臂为例，说明利用向量键合图以模块化的方式建立平面开链机械臂机电系统耦合动力学方程、进行控制分析的思想。
3.1 2R机械臂的机电系统耦合动力学方程平面2R机械臂的物理模型，如图8所示。
设l11=l1/2，l21=l2/ 2。
由式（2）写出构件质心与末端在全局坐标系下的速度。
根据2.3节中的方法建立平面2R机械臂系统机电耦合向量键合图模型，如图9所示。
设图9中系统状态变量X=［p2，p6，q9，p14，q18，p21，p24，p28，q31，p37，q44，p47］T。
根据式（4）进行推理，可以得到平面2R机械臂系统的动力学状态方程，如式（5）所示。
其中，e1=uq1，e20=［0，-m1g，0］，e23=uq2，e46=［0，-m2g，0］，I2=Lq1，I6=j1，I14=diag（0，0，J1），I21=diag（m1，m1，m1），I24=Lq2，I28= j2，I37=diag（0，0，J2），I47=diag（m2，m2，m2），R3=Rs1，R7=Cm1，R25=Rs2，R29=Cm2，c9=1/k1，c18=diag（1/k2，1/k2，0），c31=1/ k3，c44=diag（1/k4，1/k4，0）3.2 平面2R机械臂的运动控制采用具备渐进稳定性的PD控制方法对平面2R机械臂驱动电机进行控制，控制对象为电机的输入电压。
将PD控制器的输出作为势源的输入加在键合图模型之中。
电机的输入电压为：式中：e（t）—机械臂实时角速度与期望值的误差。
设构件1、2在关节空间中的期望运动规律分别为：平面2R机械臂结构参数和驱动电机的参数分别，如表1、表2所示。
取ω=1，kP1=400，kD1=40，kP2=330，kD2=45，仿真得到的关节1和关节2的时域波形图，如图10所示。
关节1和关节2的相图，如图11所示。
