基于键合图的模态分析与应用研究
赵振宇;周刘兵
【摘要】传统的模态分析方法采用牛顿定律建立运动方程，分析质量矩阵[ M]和刚度矩阵[ K]，求解系统的固有频率和振型的过程十分复杂、繁琐。
将键合图理论与方法运用于系统的模态分析，通过建立系统的状态空间方程，可以得到系统的模态。
该方法能简便、正确计算系统的模态，获得完整的数据。
文中提供的算例进一步证明了该方法的正确性和有效性。
%The traditional modal analysis method is to use Newton′s laws to build motion equation and analyze mass matrix [ M] and stiffness matrix[ K] , solving natural frequencies and mode shapes of systems is very complicated and cumbersome . The bond graph theory and modal analysis method are used in the paper.Through the establishment of the system of state-space equation, the systemic modal could be got.The method is simple and can correctly calculate modal system, access to complete data.The example is provided in the paper and further could prove the correctness and validity of the proposed meth-od.【期刊名称】《机械研究与应用》
【年(卷),期】2014(000)003
【总页数】4页(P7-10)
【关键词】键合图;模态;振型
【作者】赵振宇;周刘兵
【作者单位】深圳信息职业技术学院，广东深圳518172;深圳信息职业技术学院，广东深圳 518172
【正文语种】中文
【中图分类】TH113.1
在机械振动中，多自由度系统的振动方程式通常采用两种方法建立[1]:①用动力学
的基本定律或定理直接对系统中的物体建立各自的运动方程式，综合这些运动方程式就是系统运动方程式；②分析力学的方法，该方法主要用于一些多自由度的系统，合理地选取系统的广义坐标，得到动能和势能用广义坐标表示的表达式，再利用计算虚功的方法求得广义力，得到运动微分方程式。
与动力学方法相比，该方法采用了拉格朗日方程，建立的运动方程式较规格化[2]。
键合图理论与其它动力学方法相比, 有以下显著特点[3]:①用统一的方式处理多能
域并存的系统；②以简明的图形方式直观地揭示系统的动力学特征，将研究多种能量范畴系统的动态特性方法统一起来，并在键合图模型中充分反映系统内部的信息流向、功率流向和元件间的负载效应；③键合图用状态方程作为系统的模型，从键合图形成到状态方程的列出一般按一定程序进行，因此十分便于完全计算机化，从建立模型到数值计算、系统分析都可由计算机自动完成；④键合图方法建立的模型便于修改和完善，且修改简单，工作量小。
因此，键合图已成为系统动态分析的有力工具。
由文献[4]可知工程系统和物理系统中以相互作用的子系统(或元件、结构)必然传递功率作为产生键合图的原始依据，也是用键合图描述系统的唯一依据。
系统和子系统，子系统和元件之间相互连接的地方有功率流动作为通口，用带半个箭头通口线表示通口，每个键均对应有两个变量即势变量e和流变量f，这一对变量标量积就是该元件的流动瞬时功率。
为了方便研究，在键合图中把各类变量中的力、转矩、
压力、电压用一个共同的符号e(t)表示，称为势，记其于水平线的上方或垂直线的左方。
同理，把各类功率变量中的速度、角速度、体积流量和电流用另一个共同的符号f(t)表示，称为流，记其于水平线的下方或垂直线的右方。
表1列出了几种功率变量范畴中的势变量和流变量。
笔者将键图理论和方法应用于机械系统模态分析，为机械振动模态分析提供了一种新的工具，提出的策略能解决多自由度系统的振动问题，通过算例详细分析了该方法的正确性。
系统可根据构成它的基本元件作用划分为不同形式能量场, 如图1所示。
其中独立贮能场是由具有积分因果关系[5]的惯性顽抗件I和容性元件C所组成，非独立贮能场是由具有微分因果关系的I元件及C元件所组成，耗散场是由阻性元件R组成，源场是指外界对系统的输入。
设Xi = [ p1 p2…pn q1 q2… qm]T, Xd = [PD1 PD2… PDn1 qD1 qD2…
qDm1]T, 源场对系统的输入U = [Se1 Se2… Ses Sf1 Sf2… Sfr]T。
由文献[4]知Xd为非独立能量变量向量,Xi为系统的状态变量。
若图1中储能元件全部取积分因果关系(无因果矛盾)，按一定的规则，由键合图1可写出线性系统状态方程为：式中：
由式(1)可得系统的特征值和特征向量为：
Aψi=λiψi， (A-λi)ψi=0
式中
一般地，由[A]阵可得n个特征值，将它们分别代入式(2)得n个特征向量，可分别记为：
显然由式(2)可得到一对偶模态动量模态Φp, 变位模态Φq及各同形模态，即得到系统的位移模态Φu、速度模态Φv(速度模态是位移模态的同型模态)和应变(力、应力)模态Φε(ΦF、Φσ)。
这些同型模态是按照系统本身的物理意义进行推导而来
ψui=diag[(IjSi)-1]ψpi
式中：i=1,2,…n，j=1,2,…m， Si为Laplace算子。
与状态变量q对应的模态Φq是变形模态。
对于简单一维振动情况(轴的纵向振动或扭转振动等)，同理，由容性元件的构成规律，变形模态也易转化为力模态ΦF、应变模态Φε和应力模态Φσ，即：
式中：lj为离散轴各段长度；i=1,2,…n，j=1,2,…m，π依具体情况而定。
由式(2)得到的特征值和特征向量都是共轭的，存在共轭特征值和共轭特征向量，因此，式(2)可进一步改写为：
由式(9)可得：
Apψqi=λiψpi，Aqψpi=λiψqi
同理式(2)可改写为：
可得：
式(2)可进一步改写为：
可得：
显然由式(2)可得到一对偶模态动量模态Φp, 变位模态Φq及各同形模态，即得到系统的位移模态Φu、速度模态Φv和应变(力、应力)模态Φε(ΦF、Φσ)。
与状态变量q对应的模态Φq是变形模态，同理，由容性元件的构成规律，变形模态也易转化为力模态ΦF、应变模态Φε和应力模态Φσ。
因此，键合图理论可用于多能量领域。
图2表示一个弹簧质量系统，k1 =3 k，k2 =2 k，k3= k，m1 = 2 m，m2 = 1.5 m，m3= m，求系统的固有频率和主振型。
其键合图模型如图3所示。
根据牛顿定律可得:
求解其固有频率为：
对应于三个固有频率的主振型列阵为：
，
正则振型矩阵为：
利用键合图理论，可得出图2所示系统的状态空间方程为:
将v=p/m代入上式，可求得v1,v2,v3,q4,q5,q6。
运用自编的Matlab程序，得
出多自由度系统的固有频率和振型，其计算结果如表2所列。
采用牛顿定律和利用键合图理论进行模态分析，两种方法求得的三阶振型对比情况如图4所示。
对应三阶振型数值的比较为：
通过上面的图例比较或用对应的数值相比，利用牛顿定律和键合图方法得到系统的固有频率和振型是一致的，可得到相同的结果，前者方法计算中要分别计算质量矩阵[M]和刚度矩阵[K]，按照二阶导数求解，过程复杂，而后者只要根据系统，建立键合图模型，直接写出系统的状体空间方程，过程求解显得更为简单，但这只是利用键合图方法优势的其中一个方面。
实际上，使用键合图进行模态分析，能将变位模态Φq经过式(6)～(8)转变，进一步得到力模态ΦF、应变模态Φε和应力模态
Φσ；还能将动量模态Φp通过式(4)、(5)可得到位移模态Φu、速度模态Φv。
此外，根据势变量和流变量的关系，键合图模型还能广泛应用于复杂机电系统中的机、电、磁、液等系统中。
根据前面的计算，应用牛顿定律时则要求解一元高次方程和方根，且速度模态Φv 和应变模态Φε各有
一套公式，过程较复杂，没有键合图理论运用于系统的模态分析方便。
充分说明了
运用键合图理论进行模态分析的优点。
利用键合图理论和方法，建立系统的状态空间方程，可简化物理系统建模和自动化仿真，通过求解矩阵的特征值和特征向量，可快速得到系统的模态。
算例分析说明了该方法的正确性，因此，借助键合图，模态分析理论和方法可推广到复杂机、电、液系统的多能量域中。
【相关文献】
[1] 倪振华.振动力学[M].西安:西安交通大学出版社,1989.
[2] 薛晓鹏，樊久铭.基于拉格朗日键合图梁-多自由度耦合系统模态分析[J].应用力学学报,2010,
27(2):239-242.
[3] 王中双,高永革.基于键合图理论的系统状态方程的转化方法[J].机械科学与技术,1999,18(1):54-56.
[4] 卡诺谱D C, 罗森堡R C, 张志伟.系统动力学——应用键合图方法[M].北京: 机械工业出版
社,1985.
[5] 王艾伦, 赵振宇.基于键合图方法的自由界面模态综合法及其应用[J].振动、测试与诊断,
2004,24(2):87-91.。
