马尔可夫链分析法共21页文档

马尔可夫链▏小白都能看懂的马尔可夫链详解1.什么是马尔可夫链在机器学习算法中，马尔可夫链(Markov chain)是个很重要的概念。

马尔可夫链（Markov chain），又称离散时间马尔可夫链（discrete-time Markov chain），因俄国数学家安德烈·马尔可夫（俄语：Андрей Андреевич Марков）得名，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程。

该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关。

这种特定类型的“无记忆性”称作马尔可夫性质。

马尔科夫链作为实际过程的统计模型具有许多应用。

在马尔可夫链的每一步，系统根据概率分布，可以从一个状态变到另一个状态，也可以保持当前状态。

状态的改变叫做转移，与不同的状态改变相关的概率叫做转移概率。

随机漫步就是马尔可夫链的例子。

随机漫步中每一步的状态是在图形中的点，每一步可以移动到任何一个相邻的点，在这里移动到每一个点的概率都是相同的（无论之前漫步路径是如何的）。

2.一个经典的马尔科夫链实例用一句话来概括马尔科夫链的话，那就是某一时刻状态转移的概率只依赖于它的前一个状态。

举个简单的例子，假如每天的天气是一个状态的话，那个今天是不是晴天只依赖于昨天的天气，而和前天的天气没有任何关系。

这么说可能有些不严谨，但是这样做可以大大简化模型的复杂度，因此马尔科夫链在很多时间序列模型中得到广泛的应用，比如循环神经网络RNN，隐式马尔科夫模型HMM等。

假设状态序列为由马尔科夫链定义可知，时刻Xt+1 的状态只与Xt 有关，用数学公式来描述就是：既然某一时刻状态转移的概率只依赖前一个状态，那么只要求出系统中任意两个状态之间的转移概率，这个马尔科夫链的模型就定了。

看一个具体的例子。

这个马尔科夫链是表示股市模型的，共有三种状态：牛市（Bull market）, 熊市（Bear market）和横盘（Stagnant market）。

马尔科夫预测法一个是职业病尘肺病人预测、一个是安全培训效果预测、一个是安全出口人流分布预测，那今天就专门讲马尔科夫预测模型的计算方法。

（一级考试这个知识点考的㳀）•马尔科夫（A.A Markov）预测法是应用概率论中马尔科夫链的理论和方法来研究随机事件变化并借此分析预测未来变化趋势的一种方法。

一般用于市场占有率预测和人力资源结构预测方法，最近几年在一级安全评价师考试中出现的次数比较多，虽然难度很低，但是教材上并没有这个内容，所以在这里简单给大家讲一下这个方法的应用与解题技艺。

先简单介绍一下这个方法马尔柯夫（A.A Markov 俄国数学家）。

20世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状况有关，而与事物的过去状态无关。

例：设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、市场需求变化等许多经济行为都可用这一类过程来描述或近似。

所谓马尔柯夫链，就是一种随机时间序列，它在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与它过去取什么值无关，即无后效性。

具备这个性质的离散型随机过程，称为马尔柯夫链。

状态与状态变量•状态：客观事物可能出现或存在的状况。

如：商品可能畅销也可能滞销；机器运转可能正常也可能故障等。

（同一事物不同状态之间必须相互独立:不能同时存在两种状态。

）•用状态变量来表示状态它表示随机运动系统，在时刻t(t=1,2,3...)所处的状态i(i=1,2,3...)•状态转移：客观事物由一种状态到另一种状态的变化。

如：由于产品质量或替代产品的变化，市场上产品可能由畅销变为滞销。

由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。

概率论中的条件概率：P（A/B）就表达了由状态 B 向状态 A 转移的概率，简称为状态转移概率。

对于由状态 E i 转移到状态E j 的概率，称它为从i到j的转移概率。

记为：它表示由状态E i 经过一步转移到状态E j 的概率。

马尔可夫链马尔可夫过程按其状态和时间参数是连续的或离散的,可分为三类: (1) 时间,状态都是离散的马尔可夫过程,称为马尔可夫链.(2) 时间连续,状态离散的马尔可夫过程,称为连续时间的马尔可夫 (3) 时间,状态都连续的马尔可夫过程. 4.1马尔可夫链的概念及转移概率 一,定义假设马尔可夫过程},{T n X n ∈的参数集T 是离散的时间集合,即 T={0,1,2,…},其相应n X 可能取值的全体组成的状态空间是离散的状态集,...}.,{21i i I =定义4.1 设有随机过程},{T n X n ∈,若对于任意的整数T n ∈和任意的I i i i i n ∈+.,...,,,1210,条件概率满足n n n n i X i X i X i X P ====++,...,,{110011}=},{11n n n n i X i X P ==++ (4.1) 则称},{T n X n ∈为马尔可夫链,简称.马氏链.(4.1)式是马尔可夫链的马氏性(或无后效性)的数学表达式.由定义知 ],...,,{1100n n i X i X i X P =====}.,...,,{111100--====n n n n i X i X i X i X P },...,,{111100--===n n i X i X i X P =}{11--==n n n n i X i X P .},...,,{111100--===n n i X i X i X P =… =}{11--==n n n n i X i X P }{2211----==n n n n i X i X P …}{0011i X i X P ==}.{00i X P =可见,马尔可夫链的统计特性完全由条件概率}{11n n n n i X i X P ==++所决定. 二,转移概率条件概率}{1i X j X P n n ==+的直观含义为系统在时刻n 处于状态i 的条件下,在时刻n+1系统处于状态j 的概率.它相当于随机游动的质点在时刻n 处于状态i 的条件下,下一步转移到状态j 的概率.记此条件概率为).(n p ij 定义4.2 称条件概率).(n p ij = }{11n n n n i X i X P ==++为马尔可夫链},{T n X n ∈在时刻n 的一步转移概率,其中i,j I ∈,简称为转移概率. 定义4.3 若对任意i,j I ∈,马尔可夫链},{T n X n ∈的转移概率).(n p ij 与n 无关,则称马尔可夫链是齐次的,并记).(n p ij 为.ij p下面我们只讨论齐次马尔可夫链,通常将齐次两字省略.设p 表示一步转移概率.ij p 所组成的矩阵,且状态空间I={1,2,…},则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=...........................2222111211nnp p p p p p p 称为系统的一步转移概率矩阵,它有性质: (1) .,1)2(;,,0∑∈∈=∈≥Ij ij ijI i p I j i p通常称满足上述(1),(2)性质的矩阵为随机矩阵. 定义4.4称条件概率ij n p )(= )1,0,,(},{≥≥∈==+n m I j i i X j X P m n m 为马尔可夫链},{T n X n ∈的n 步转移概率,.并称)()()(n ij n p p =为马尔可夫链的n 步转移矩阵,其中(1) .,1)2(;,,0)(∑∈∈=∈≥Ij ij n ij n I i p I j i p 即也是随机矩阵.当n=1 时, .)1(ij p =.ij p ,此时一步转移矩阵.)1(p p =此外我们规定 ⎩⎨⎧=≠=.,1,,0)0(j i j i pij定理4.1设},{T n X n ∈为马尔可夫链,则对任意整数n l n <≤≥0,0和,,I j i ∈n 步转移概率.)(ij n p 具有下列性质:(1)))()()(l n kj Ik l ik n ij p p p -∈∑=; (4.2)(2) ;......112111)(j k Ik k k ik Ik n ij n n p p p p --∑∑∈∈= (4.3)(3);)1()(-=n n PP P (4.4) (4).)(n n P P =(4.5)证明(1) 利用全概率公式及马尔可夫性,有}{)(i X j X P p m n m n ij ===+=}{},{i X P j X i X P m n m m ===+}{},{.},{},,{i X P k X i X P k X i X P j X k X i X P m l m m Ik l m m n m l m m =========+∈+++∑}{}{i X k X P k X j X P m l m l m Ik n m =====++∈+∑=)()()()(m p l m p l ik Ik l n ij +∑∈-=)()(.l n kjIk l ik p p -∈∑. (2)在(1)中令1,1k k l ==得))1()(111-∈∑=n jkIk ik n ij p p p 这是一个递推公式,可递推下下去即得(4.3). (3)在(1).令l=1利用矩阵乘法可得. (4) 由(3),利用归纳法可证.定理4.1中的(1)式称为切普曼---柯尔哥洛夫方程,简称C-K 方程 .定义4.5设},{T n X n ∈为马尔可夫链,称 },{0j X P p j ==)(},{)(I j j X P n p n j ∈==为},{T n X n ∈的初始概率和绝对概率,并分别称}),({},,{I j n p I j p j j ∈∈为},{T n X n ∈的初始分布和绝对分布.简记为}.),({},,{n p p j j 称概率向量 )0(),...),(),(()(21>=n n p n p n P T 为n 时刻的绝对概率向量,而称)0(,...),,(21>=n p p P T为初始向量.定理4.2设},{T n X n ∈为马尔可夫链,则对任意整数I j n ∈≥,1,绝对概率).(n p j 具有下列性质:(1)))()(n ij Ii i j p p n p ∑∈=; (4.6)(2) ij Ii i j p n p p )1(-=∑∈ (4.7)(3);)0()()(n T T P P n P = (4.8) (4)P n P n P T T )1()(-= (4.9)证明(1) ===}{)(j X P n p n j},{0j X i XP n Ii ==∑∈= }{}{00i X P i X j XP nIi ===∑∈ =)(n ijIi i p p ∑∈ (2)===}{)(j X P n p n j },{1j X i X P n Ii n ==∑∈-=}{}{11i X P i X j X P n n n Ii ===--∈∑==ij Ii i p n p ∑∈-)1((3)与(4)是(1)与(2)的矩阵形式.定理4.3 设},{T n X n ∈为马尔可夫链,则对任意,1,,...,1≥∈n I i i n 有 },...{11n n i X i X P ===....11n n i i ii i p p p -∑ (4.10) 证明 由全概率公式及马氏性有},...{11n n i X i X P ===},...,,{110n n Ii i X i X i X P ===∈=},...,,{110n n Ii i X i X i X P ===∑∈=}.,{}{0110i X i X P i X P Ii ===∑∈...},...,{110--===n n n n i X i X i X P=}.,{}{0110i X i X P i X P Ii ===∑∈..}{11--==n n n n i X i X P=n n i i ii Ii i p p p 11...-∑∈.三,马尔可夫链的例子例4.1 无限制随机游动设质点在数轴上移动,每次移动一格,向右移动的概率为p,向左移动的概率为 q=1-p,这种运动称为无限制随机游动.以n X 表示时刻n 质点所处的位置,则},{T n X n ∈是一个齐次马尔可夫链,试写出它的一步和k 步转移概率. 解 },{T n X n ∈的状态空间,...},2,1,0{±±=I 其一步转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=.....................00.........0.....................p q p q P 设在第k 步转移中向右移了x 步向左移动了y 步,且经过k 步转移状态从j 进入j,则⎩⎨⎧-=-=+i j y x k y x ,.2)(,2)(i j k y i j k x --=-+=由于x,y 都只取整数,所以)(i j k -±必须是偶数.又在k 步中哪x 步向右,哪y 步向左是任意的,选取的方法有x k C 种.于是⎩⎨⎧-+-+=是奇数是偶数)(,0)(,i j k i j k q p C p y x x k k ij.例4.2赌徒输光问题.两赌徒甲,乙进行一系列赌博.赌徒甲有a 元,赌注乙有b 元,每赌一局输者给赢者1元,没有和局,直到两人中有一个输光为止.设在每一局中,甲赢的概率为p,输的概率为q=1-p,求甲输光的概率.这个问题实质上是带有两个吸收壁的随机游动,其状态空间为I={0,1,2,…,c} c=a+b.故现在的问题是求质点从a 出发到达0状态先于到达c=a+b 状态的概率.解 设i u 表示甲从状态i 出发转移到状态0的概率,要计算的是a u ..由于0和c 是吸收状态,故,10=u .0=c u i u 由全概公式).1,...,2,1(,11-=+=-+c i qu pu u i i i (4.11) 上式的含义是,甲从状态i 出发开始赌到输光的概率等于’他接下去赢了一局(概率为p)处于状态i+1后再输光”;和他接下去输一局(概率为q),处于状态i-1后再输光”这两个事件的概率.由于p+q=1,(4.11)实质上是一个差分方程.1,...,2,1),(11-=-=--+c i u u r u u i i i i (4.12)其中pqr =,其边界条件为.0,10==c u u (4.13) 先讨论r=1,即p=q=1/2的情况,(4.12)成为 .1,...,2,1),(11-=-=--+c i u u r u u i i i i 令,01α+=u u 得,2012αα+=+=u u u …,01ααi u u u i i +=+=- …,01ααc u u u c c +=+=-将,1,00==u u c 代于最后一式,得参数,1c-=α所以.1,...,2,1,1-=-=ci ciu i 令i=a, 求得甲输光的概率为.1ba bc a u a +=-= 由于甲,乙的地位是对称的,故乙输光的概率为.ba a u a +=再讨论1≠r ,即q p ≠的情况.由(4.12)式得到)(11--=-=-∑i c k i i k c u u r u u =)(011u u r c ki i-=∑-=.1)1(1r r r u ck ---= (4.14) 令k=0,由于,0=c u 有rr u c---=11)1(11即,11)1(1crru --=- 代入(4.14)式,得.1,...,2,1,1-=--=c k rr r u cck k 令k=a,得到输光的概率,1cca a rr r u --= 由对称性,乙输光的概率为.,11111q p r r r r u c cb b =--= 由于,1=+b a u u 因此在1≠r 时,即q p ≠时两个人中也总有一个人要输光的. 例4.3 天气预报问题设昨日,今日都下雨,明日有雨的概率为0.7;昨日无雨今日有雨,明日有雨的概率为0.5;昨日有雨,今日无雨明日有雨的概率为0.4;昨日,今日均无雨,明日有雨的概率为0.2.若星期一星期二均下雨,求星期四下雨的概率.解 设昨日,今日连续两天有雨称为状态0(RR),昨日无雨今日有雨称为状态1(NR),昨日有雨今日无雨称为状态2(RN),昨日今日无雨称为状态3(NN),于是天气预报模型可看作一个四状态的马尔可夫链,其中转移概率为 7.0}{}{}{00====今昨明今昨明今连续三天有雨R R R P P R R R R P p , )(0}{01不可能事件今昨明今==R R R N P p ,,3.07.01}{}{02=-===今昨明今昨明今R R N P R R N R P p)(0}{03不可能事件今昨明今==R R N N P p ,其中R 代表有雨,N 代表无雨.类似地可得到所有状态的一步转移概率,于是它的一步转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=33323130232221201312111003020100p p p p p p p p p p p p p p p p P =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡8.002.006.004.0005.005.003.007.0其中两步转移矩阵为==P P P .)2(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡8.002.006.004.0005.005.003.007.0.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡8.002.006.004.0005.005.003.007.0 = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡.64.010.016.010.048..020.012.020.030.015.020.035.018.021.012.049.0 由于星期四下雨意味着过程所处的状态为0或1,因此星期一星期二连续下雨,星期四下雨的概率为.61.012.049.0)2(01)2(00=+=+=p p p例 4.4 设质点在线段[1,4]上作随机游动,假设它只能在时刻T n ∈发生移动,且只能停留在1,2,3,4点上.当质点转移到2,3点时,它以1/3的概率向左或向右移动一格或停留在原处.当质点称动到点1时,它以概率1停留在原处.当质点移动到点4时,它以概率1移动到点3.若以n X 表示质点在时刻n 所处的位置,则},{T n X n ∈ 是一个齐次马尔可夫链,其转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100313131003131310001P 例中的点1称为吸收壁,即质点一旦到达这种状态后就被吸收住了,不再移动;点4称为反射壁,即质点一旦到达这种状态后,必然被反射出去.例4.5生灭链.观察某种生物群体,以n X 表示在时刻n 群体的数目,设为i 个数量单位,如在时刻n+1增生到i+1个单位的概率为i b ,减灭到i 个数量单位的概率为i a ,保持不变的概率为)(1i i i b a r +-=,则}0,{≥n X n 为齐次马尔可夫链,I={0,1,2,…,}.其转移概率为⎪⎩⎪⎨⎧+==+==.1,,,1,i j a j i r i j b p ii i ij称此马尔可夫链为生灭链. 4.2 遍历性设齐次马氏链的状态空间为I,若对于所有,,I a a j i ∈转移概率)(n P ij 存在极限 j ij n n P π=∞→)(lim (不依赖于i)或 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→=................................................)(212121j j jn P n P πππππππππ则称此链具有遍历性.又若∑=jj 1π,则同时称,...),(21πππ=为链的极限分布.齐次马氏链在什么条件下才具有遍历性?如何求出它的极限分布?这问题在理论上已经解决,但是要较多的篇幅.下面对有限链的遍历性给出一个充分条件. 定理4.4设齐次马氏链},{T n X n ∈的状态空间为P a a a I n },,...,,{21=是它的一步转移概率矩阵,如果存在正整数m,使对任意的j i a a ,都有 ,,...,2,1,,0)(N j i m p ij =>则此链具有遍历性,且有极限分布, ),,...,,(21N ππππ=它是方程组 P ππ=或即ij Ni i j p ∑==1ππ的满足条件∑==>Nj j j 11,0ππ的唯一解.在定理条件下马氏链的极限分布又是平稳分布.即若用π作为链的初始分布,即π=)0(p ,则链在任一时刻T n ∈的分布)(n p 永远与π一致,事实上ππππ======-P P P n P p n p n n ...)()0()(1 例4..6 设马尔可夫链的转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=9.005.005.01.08.01.02.01.07.0P 解 容易证明满足定理4.4条件.可得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++=++=1,9.01.02.0,05.08.01.0,05.01.07.0321321332123211πππππππππππππππ解上述方程组得平稳分布为.5882.0,2353.0,1765.0321===πππ。