九上暑假先修班讲义三

人教版初三历史上暑假预习班精品讲义人教版初三历史暑假预班精品讲义一、课程概述本暑假预班旨在帮助初三学生在历史学科上提前做好准备，为他们的研究打下坚实的基础。

课程内容将涵盖人教版初中历史教材中的重要知识点，通过深入浅出的讲解和互动研究活动，激发学生对历史的兴趣和研究动力。

二、课程特色1. 知识系统性：课程将依据人教版初中历史教材的内容，系统地梳理和讲解各个单元的重点知识和核心概念。

2. 互动研究：为了增加学生的参与度和研究效果，课程将设置丰富的互动式研究活动，包括小组讨论、角色扮演、历史实地考察等。

3. 阶段性评估：每个单元结束后将进行阶段性评估，旨在及时发现和解决学生的研究问题，确保每位学生都能够跟上课程进度。

4. 专业教师团队：我们拥有经验丰富、专业教学水平高的历史教师团队，他们将以热情和耐心的态度指导学生，解答他们的疑问。

三、课程安排1. 第一单元：古代文明与帝国- 知识点包括：古埃及文明、古巴比伦文明、中国古代文明等。

- 研究活动：小组讨论古代文明的影响、模拟建造古代建筑等。

2. 第二单元：中世纪的封建社会- 知识点包括：封建社会的特点、封建领主制度、欧洲封建社会等。

- 研究活动：角色扮演中世纪封建社会的各个角色，模拟封建社会中的生活场景等。

3. 第三单元：近代民主与科学革命- 知识点包括：法国大革命、美国独立战争、启蒙运动等。

- 研究活动：小组演绎法国大革命的历史事件，探究启蒙运动对科学发展的影响等。

4. 第四单元：近代帝国主义与亚非拉民族独立运动- 知识点包括：近代帝国主义的背景和特点、亚非拉民族独立运动等。

- 研究活动：历史实地考察亚非拉民族独立运动的重要场所和事件等。

四、研究目标通过参加本预班的研究，学生将能够：- 掌握人教版初中历史教材中的重要知识点；- 培养对历史的兴趣和研究动力；- 提高历史素养和学科能力；- 建立良好的研究惯和思维方式。

五、报名方式详细的报名方式和费用请咨询学校教务处或关注学校官方公众号。

以天下为己任一元二次方程定义：含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．（1）一般地，任何一个关于x 的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式20ax bx c ++=()0a ≠这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项．一次项系数b 和常数项c 可取任意实数，二次项系数a 是不等于0的实数，这是因为当0a =时，方程中没有二次项，所以，此方程不是一元二次方程．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般式．知识导航第一课 一元二次方程解法例1. （1）下列各式()1105x -=，2403x π=-，2202x y -=，10x x+=，230x x +=，其中一元二次方程的个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个（2）若210b a -+=，则下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A ．250ax x b +-=B ．()()221350b x a x -++-=C ．()()21170a x b x -+--=D ．()2110b x ax ---=例2. （1）把方程()()252x x x +=-化成一般式，则a 、b 、c 的值分别是（ ）A ．1，3-，10B ．1，7，10-C ．1，5-，12D ．1，3，2（2）下列一元二次方程中，常数项为0的是（ ） A ．21x x += B ．22120x x --= C ．()22(1)31x x -=-D ．22(1)2x x +=+例3. 已知方程2240a b x x x --+=是关于x 的一元二次方程，求、的值．典型例题使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根．例4. （1）关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-（2）关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．1 B ．1-C ．1或1-D ．12例5. 已知关于x 的一元二次方程20x ax b ++=有一个非零根b -，则a b -的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．0D ．2-知识导航典型例题直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法．形如()20x p p =≥或(20mx +≠，可以解得： 1x 2x =或1x =2x = 例6. 直接开平方法解一元二次方程：()229x -=例7. （1）一元二次方程2251440t -=的根与()249125x -=的根（ ） A ．都相同 B ．都不同 C ．有一个相同D ．以上均不对（2）若关于x 的一元二次方程()27a x b -=的根为12a ，b 为常数，则a b +的值为（ ）A ．52B ．92C ．3 D ．5知识导航典型例题例8. 给出一种运算：对于函数n y x =，规定1n y n x -'=⨯．若函数4y x =，则有34y x '=⨯，已知函数3y x =，则方程12y '=的解是（ ）A ．14x =，24x =-B ．12x =，22x =-C ．120x x ==D．1x =2x =-配方法 一般步骤：第一步：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； 第二步：方程两边同时除以二次项系数；第三步：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为()2x m n ±=的形式；第四步：用直接开平方解变形后的方程．例9. （1）配方法解一元二次方程：2410x x ++=（2）将一元二次方程2650x x -+=化成()2x a b -=的形式，则ab =______．知识导航典型例题例10. 小丽同学解方程的简要步骤如下：解：，两边同除以8第一步：211084x x --=；移项 第二步：21184x x -=；配方 第三步：211112412x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭；开平方 第四步：112x -=移项 第五步：1112x =2112x =． 上述过程，发生第一次错误是在（ ） A ．第一步 B ．第二步 C ．第三步D ．第四步例11. 已知一元二次方程230x mx ++=配方后为()222x n +=，那么一元二次方程230x mx --=配方后为（ ）A ．()2528x += B ．()2519x +=或()2519x -= C ．()2519x -=D ．()2528x +=或()2528x -=例12. 如果()()22323200mx m x m m +-+-=≠的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（ ） A ．1 B ．1- C ．1或9D ．1-或9公式法 一般步骤：第一步：化方程为一般形式，即20ax bx c ++=()0a ≠；第二步：确定a 、b 、c 的值，并计算24b ac -的值；20时，将a 、b 、c 及24b ac -的值代入求根公式，得出方程的根x =；当240b ac -<时，方程无实数根．例13. 公式法解一元二次方程：2220x x --=例14. （1）已知一元二次方程230x x --=的较小根为，则下面对的估计正确的是（ ） A ．121x -<<- B ．132x -<<-C ．123x <<D ．110x -<<（2)20m x）A ．1x =2x =B ．1x 2x =C ．1x =，2x =D ．以上答案都不对知识导航典型例题（3）若221x +与2425x x --互为相反数，则x 的值为（ ）A ．1-或23B ．1或32-C ．1或23-D ．1-或32例15. 若实数范围内定义一种运算“*”，使()2*1a b a ab =+-，则方程()2*50x +=的解为（ ） AB ．CD 因式分解法 一般步骤：第一步：将已知方程化为一般形式，使方程右端为0； 第二步：将左端的二次三项式分解为两个一次因式的积；第三步：方程左边两个因式分别为0，得到两个一次方程，它们的解就是原方程的解．例16. 因式分解法解一元二次方程：2560x x ++=知识导航典型例题例17. 方程()()2373x x x -=-的根是（ ）A ．3x =B ．72x =C ．13x =，272x =D ．13x =，272x =-例18. 若关于的一元二次方程()2215320m x x m m -++-+=的一个根是0，则m的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．1或2D ．0例19. 阅读材料：为解方程()()22215140x x ---+=，我们可以将21x -视为一个整体，然后设21x y -=，则()2221x y -=，原方程化为2540y y -+=①，解得11y =，24y =．当1y =时，211x -=，∴22x =，∴x =当4y =时，214x -=，∴25x =，∴x =∴原方程的解是1x 2x =3x =4x =． 解答问题：（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中利用了换元法达到了________的目的；（2）利用材料中的方法解方程：()()2214240x x x x ++-+=．例20. 已知()()222234x y x y ++-=，则22x y +=____________________．例21. 若2282550251x x x x -+-=-+，则22x x -5 -1的值为作业1. 用配方法将关于x 的方程250x x n ++=可以变形为()29x p +=，那么用配方法也可以将关于x 的方程251x x n -+=-变形为下列形式（ ） A ．()2110x p -+=B ．()28x p -=C ．()218x p --=D ．()210x p -=作业2. 将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、2列，两边各加一条竖直的直线记成a b c d ，定义a b ad bc c d=-，上述记号就叫做2阶行列式，若11611x x x x +--+．作业一般地，式子24b ac -叫做方程20ax bx c ++=（）根的判别式，通常用希腊字母“∆”表示它，即24b ac ∆=-．①当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；②当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根；③当240b ac ∆=-<时，方程无实数根．注意：①若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式时，方程的解为有理数；②若∆为完全平方式，同时b -±2a 的整数倍，则方程的根为整数； ③用判别式去判定一元二次方程的根时，要先求出判别式的值；④判别式也常常逆用，即：当一元二次方程有两个不相等的实数根时，0∆>；当一元二次方程有两个相等的实数根时，0∆=；当一元二次方程没有实数根时，0∆<．一元二次方程根的判别式在以下方面有着广泛的应用：（1）运用判别式，判定方程实数根的个数；（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中的参数值或取值范围；（3）通过判别式证明与方程相关的代数问题或几何存在性问题．知识导航第二课 一元二次方程应用a≠0例1. （1）下列关于x 的一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ）A ．210x +=B ．210x x +-=C ．2230x x ++=D ．24410x x -+=（2）若关于的一元二次方程方程()21410k x x -++=有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）A ．5k <B ．5k <，且1k ≠C ．5k ≤，且1k ≠D ．5k >（3）若关于的一元二次方程()21220k x x -+-=有不相等实数根，则的取值范围是（ ）A ．12k >B ．12k ≥C ．12k >且1k ≠D ．12k ≥且1k ≠ （4）下列选项中，能使关于的一元二次方程240ax x c -+=一定有实数根的是（ ）A ．B ．0a =C ．0c >D ．0c =例2. 若满足不等式组211122a a -≤⎧⎪⎨->⎪⎩，则关于的方程()()2122102a x a x a ---++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．以上三种情况都有可能典型例题x x x a k k a＞0例3. 当k 为何值时，关于x 的方程kx 2 -6x +9 =0有：（1）不等的两实数根；（2）相等的两实数根；（3）没有实数根．例4. 已知0a >，b a c >+，判断关于x 的方程20ax bx c ++=的根的情况． 例5. 已知关于x 的方程()222kx k x k +-+=有相等的两实数根，求整数k 的值．例6. 求证：不论m 取何实数，关于x 的方程()230x m x m -++=都有两个不相等的实数根．例7. （1）已知a 、b 、c 分别为Rt △ABC （ C =∠90︒）的三边的长，则关于x 的一元二次方程()()220c a x bx c a +++-=根的情况是（ ）A ．方程无实数根B ．方程有两个不相等的实数根C ．方程有两个相等的实数根D ．无法判断（2）如果关于的二次方程()()22121a x bx c x ++=-有两个相等的实数根，那么以正数 a 、 b 、c 为边长的三角形是（） A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．任意三角形例8. 等腰三角形 ABC 中，8BC =，AB 、AC 的长是关于x 的方程2100x x m -+=的两根，求m 的值．一元二次方程应用题包括：增长率问题、单循环比赛问题、几何问题、利润问题等．知识导航x典型例题例9.“互联网 ”时代，中国的在线教育得到迅猛发展．根据中国产业信息网数据统计及分析，2014年中国的在线教育市场产值约为1000亿元，2016年中国在线教育市场产值约为1440亿元．求我国在线教育市场产值的年增长率．例10.随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？例11. （1）初中毕业时，同学之间互送照片留作纪念．若某班有m 个学生互送照片共2756张，则可列方程为（ ）A ．()12756m m +=B ．()12756m m -=C ．()127562m m += D ．()127562m m -=（2）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（ ）A ．()11282x x +=B ．()11282x x -= C ．()128x x +=D ．()128x x -=（3）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ）A ．()110x x -=B ．()1102x x -= C ．()110x x +=D ．()1102x x +=（4）平面上不重合的两点确定一条直线，不同的三点最多可确定3条直线．若平面上不同的个点最多可确定21条直线，则的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8（5）四边形对角线条数为2条，（3n >且为整数）多边形对角线条数为（ ）A ．()32n n -B ．()12n n -C ．()3n n -D ．()1n n -x x n n例12. （1）如图所示，在长为100m 、宽为80m 的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化．要使绿化面积为7644m 2则道路的宽应为多少？设道路的宽为m 则可列方程为（ ）A ．10080100807644x x ⨯--=B ．()()2100807644x x x ---=C ．()()100807644x x --=D ．10080356x x +=（2）如图所示，一块长方形绿地长100m ，宽50m ．在绿地中开辟两条宽度一样的道路后，绿地面积缩小到原来的80%．设道路的宽为m ，则下列所列方程正确的是（ ）A ．()()100501005080%x x --=⨯⨯B ．()()2100501005080%x x x --+=⨯⨯C ．()()2100501005080%x x x --=⨯⨯+D ．()5010010050180%x x +=⨯⨯-（3）如图，某小区规划在一个长40m AD =，宽26AB =m 的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的通道（图中阴影部分），使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种植花草，要使每一块种植花草的场地面积都是144m 2．若设通道的宽度为m ，则根据题意所列的方程是（ ）A ．()()402621446x x --=⨯B ．()()402261446x x --=⨯C ．()()402261446x x --=÷D ．()()402621446x x --=÷x x x例13. 小明在暑假帮某服装店卖T 恤衫时发现，在一段时间内，T 恤衫按每件80元销售时，每天的销售量是20件，单价每降低4元，每天就可以多售出8件．已知该T 恤衫的进价是每件40元，请问：当每件T 恤衫降价多少元时，服装店卖该T 恤衫一天能赢利1200元？如果设每件T 恤衫降价元，那么所列方程正确的是（ ）A ．()()80201200x x -+=B ．()()802021200x x -+=C ．()()40201200x x -+=D ．()()402021200x x -+=例14. 山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？x作业1. 已知 a ， b ， c 分别为Rt △ABC (C =∠90 )的三边的长，则关于 的一元二次方程()()220a b x cx a b +++-=根的情况是（） A ．方程无实数根B ．方程有两个不相等的实数根C ．方程有两个相等的实数根D ．无法判断作业2. 某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后，每件售价降为162元，每星期能卖出96件．（1）已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．（2）聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销量又可增加收入，且每件衬衫售价每降低1元，销量会增加2件，若店主想要每星期获利1750元，应把售价定为多少元？作业二次函数定义：一般地，形如 （ a 、b 、c 是常数，a ≠0 ）的函数叫二次函数．其中a 是二次项系数，b 是一次项系数， c 是常数项． （a 、b 、c 是常数，a ≠0 ）也叫做二次函数的一般式．二次函数自变量x 的取值范围是全体实数．知识导航典型例题第三课二次函数的图象及性质例2. （1）下列函数中，不属于二次函数的是（ ）A ．()22y x =-B ．()()211y x x =-+-C ．21y x x =--D ．211y x =-（2）下列函数中二次函数有（ ）①54y x =-；②2263y x x =-；③32283y x x =-+；④2318y x =-；⑤2312y x x =-+A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3. （1）已知()22m y m x =-+是关于的二次函数，那么m 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．2±D ．0（2）若()2113m y m x mx +=-++是二次函数，则m 的值是（ ）A ．1-B ．2C ．1±D ．1x二次函数一般式解析式：2y ax =（0a ≠）一般式图象（五点作图法）在同一坐标系内画出下列函数 ①列表：②描点③连线知识导航例4. 已知二次函数213y x =-，2213y x =-，2332y x =，它们的图象开口由小到大的顺序是（ ）A ．123y y y <<B ．321y y y <<C ．132y y y <<D ．231y y y <<例5. （1）若二次函数2y ax =的图象经过点()2,4P -，则该图象必经过点（ ）A ．()2,4B ．()2,4--C ．()4,2-D ．()4,2-（2）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的表达式应是（ ）A ．232y x =B ．223y x =C ．243y x =D ．234y x =例6. （1）已知点()1,A m -，()1,B m ，()2,1C m +在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（ ）A ．B ．C ．D ．典型例题（2）已知，在同一直角坐标系中，函数y ax =与2y ax =的图象有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．例7. （1）已知点()12,y -，()21,y -，()33,y 都在函数2y x =的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y >>B ．312y y y >>C ．321y y y >>D ．213y y y >>（2）若点()11,A y -，()22,B y -都在抛物线2y x =-上，则下列结论正确的是（ ） A ．120y y >> B ．12y y <C ．120y y >>D ．以上都不对例8. 下列说法错误的是（ ）A ．二次函数23y x =中，当0x >时，随的增大而增大B ．二次函数26y x =-中，当0x =时，有最大值0C ．抛物线()20y ax a =≠中，越大图象开口越小，越小图象开口越大D ．不论是正数还是负数，抛物线()20y ax a =≠的顶点一定是坐标原点a≠0y x y a a平移：向右平移h 个单位，向上平移个单位，得到()2y a x h k =-+（）（顶点式）知识导航k a≠0例9. （1）由二次函数()2123y x =-+-，可知（ ）A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线3x =-C ．其最小值为1-D ．当3x <时，随的增大而增大（2）对于抛物线()21132y x =-++，下列结论： ①抛物线的开口向下；②对称轴为直线1x =；③顶点坐标为-(1,3 )；④x >1时，y 随 x 的增大而减小．其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．4例10. （1）设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线()21y x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >>（2）若二次函数()21y x m =--，当1x ≤时，随的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．1m = B ．1m > C ．1m ≥D ．1m ≤典型例题y x y x（2）当21x -≤≤时，二次函数()221y x m m =--++有最大值4，则实数m 的值为（ ） A．B． 2C ．74-或 3D ．74-或2把()2y a x h k =-+（）去括号得到（）知识导航a≠0a≠0例12. （1）抛物线234y x =--的开口方向和顶点坐标分别是（ ）A ．向下，()0,4B ．向下，()0,4-C ．向上，()0,4D ．向上，()0,4-（2）二次函数21y ax x =++的图象必过点（ ） A ．()0,a B ．()1,a --C ．()1,a -D ．()0,a -例13. （1）二次函数的y 与 x 的部分对应值如表： 则下列判断中正确的是（ ） A ．抛物线开口向上 B ．最大值为4C ．当02x <<时，2y >D ．当＞1时， y 随 x 的增大而减小典型例题（2）二次函数 y =ax 2 +bx +c ，自变量x 与函数y 的对应值如下下列说法正确的是（） A ．抛物线的开口向下B ．当3x >-时，随的增大而增大C ．二次函数的最小值是2-D ．抛物线的对称轴是52x =-例14. （1）抛物线（）的图象如下图所示，那么（ ）A ．，0b >，0c >B ．，0b <，0c >C ．，0b >，0c <D ．，0b <，0c <（2）函数22y x mx =+-（0m <）的图象是（ ）（3）在同一坐标系内，函数2y kx =和2y kx =-（0k ≠）的图象大致如图（ ） y x a≠0例15. 如图，在直角坐标系中，Rt AOB △的顶点坐标分别为()0,2A ，()0,0O ，()4,0B ，把AOB △绕O 点按逆时针方向旋转90°得到COD △． （1）求C ，D 两点的坐标；（2）求经过C ，D ，B 三点的抛物线的解析式；（3）设（2）中抛物线的顶点为P ，AB 的中点为()2,1M ，试判断PMB △是钝角三角形，直角三角形还是锐角三角形，并说明理由．一般式与顶点式互化顶点式化成一般式：直接去括号化简整理 一般式化成顶点式：两种方法 ①配方法：②公式法：例16. （1）二次函数224y x x =-+化为()2y a x h k =-+的形式，下列正确的是（ ）A ．()212y x =-+ B ．()213y x =-+ C ．()222y x =-+D ．()224y x =-+（2）把二次函数221y x x =--配方成顶点式为（ ） A ．()21y x =-B ．()212y x =--C ．()211y x =++D ．()212y x =+-知识导航典型例题例17. 通过配方，把下列函数化成()2y a x m k =++的形式，并求出函数的最大值或最小值．（1）22y x x =--；（2）2241y x x =-+-； （3）2132y x x =+；（4）2321y x x =--．作业1. 对于二次函数22y x x =-+．有下列四个结论：①它的对称轴是直线1x =；②设21112y x x =-+，22222y x x =-+，则当21x x >时，有21y y >；③它的图象与轴的两个交点是()0,0和()2,0；④当02x <<时，0y >．其中正确的结论的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．4作业2. 已知()3,P m -和()1,Q m 是抛物线221y x bx =++上的两点．（1）求的值；（2）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值．作业x x k k b二次函数的三种表示形式及解析式的确定（1）二次函数的三种表示形式①一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；②顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；③两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x 、2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）．注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．（2）二次函数解析式的确定根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．①已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；②已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；③已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；④已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．知识导航第四课 二次函数与方程不等式综合例1. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象（如图），试求该二次函数的表达式．例2. （1）如果二次函数2y ax bx c =++的图象的顶点坐标为()2,4-，且经过原点，求二次函数表达式．（2）变式一：如果二次函数2y ax bx c =++的图象经过原点，当2x =-时，函数的最大值为4，求二次函数表达式．（3）变式二：如果二次函数2y ax bx c =++的图象经过原点，对称轴是直线2x =-，最高点的纵坐标为4，求二次函数表达式．典型例题例3. 已知二次函数 y = -x 2 +bx +c 的图象经过点求此二次函数的表达式例4. 已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，求其解析式．（用三种方法求解）A二次函数与y 轴交点求法对于二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0x =时，y c =，所以二次函数()20y ax bx c a =++≠与y 轴交点坐标为()0,c ．二次函数与轴交点个数及交点坐标的求法对于二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0y =时，()200ax bx c a ++=≠为一元二次方程，即方程的解为抛物线与x 轴交点的横坐标，与x 轴的交点个数规律如下：当()200ax bx c a ++=≠中的0∆>时，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与轴有两个交点；当()200ax bx c a ++=≠中的0∆=时，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与轴有一个交点；当()200ax bx c a ++=≠中的0∆<时，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与轴没有交点． 总结如下：知识导航x例5. （1）二次函数263y kx x =-+的图象与轴有2个交点，则的取值范围是（ ）． A ．3k < B ．3k <且0k ≠ C ．3k ≤D ．3k ≤且0k ≠（2）已知二次函数277y kx x =--的图象和轴有交点，则的取值范围是_____________．（3）若函数()234y mx m x =---的图象与轴只有一个交点，那么的值为（ ） A ．0 B ．1或9 C ．1-或9-D ．0或1-或9-（4）抛物线221y x =-+与坐标轴的交点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．3（5）二次函数23y x cx c =+++的图象与坐标轴只有两个交点，则的值为_____________．典型例题x x x c k k m例6. （1）已知二次函数23y x x m =-+（为常数）的图象与轴的一个交点为()1,0，则关于的一元二次方程230x x m -+=的两实数根是（）A ．11x =，21x =-B ．11x =，22x =C ．11x =，20x =D ．11x =，23x =（2）已知二次函数2241y x x =--的图象与轴交与A 、B 两点，与y 轴交于点C ，求ABC △的面积．（3）如图，已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点，该图象与轴的另一个交点为C ，则AC 长为_____________．m x x x二次函数与一次函数交点求二次函数()20y ax bx c a =++≠与一次函数()0y kx b k =+≠交点的步骤：22y ax bx cax bx c mx n y mx n⎧=++→++=+⎨=+⎩得方程()20ax b m x c n +-+-=，解方程得、代入任何一个解析式，求得对应的1y 、2y ，则交点坐标为()11,x y 、()22,x y ．注：求二次函数与其它函数的步骤与上述步骤类似． 二次函数与一次函数交点个数的确定确定二次函数()20y ax bx c a =++≠与一次函数()0y kx b k =+≠交点的个数的步骤：22y ax bx cax bx c mx n y mx n⎧=++→++=+⎨=+⎩得方程()20ax b m x c n +-+-=，根据()20ax b m x c n +-+-=的根的情况确定交点个数总结如下：知识导航例7. （1）直线1y x =+与抛物线232y x x =++的交点个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无法确定（2）直线41y x =+与抛物线22y x x k =++的一个交点在轴上，求的值及另一个交点坐标．（3）已知函数232y mx x =-+（是常数），若一次函数1y x =+的图象与该函数的图象恰好只有一个交点，求的值及交点坐标．典型例题m m x k2222例9. （1）二次函数()20y ax bx c a =++≠和正比例函数23y x =的图象如图所示，则方程()22003ax b x c a ⎛⎫+-+=≠ ⎪⎝⎭的两根之和（ ）A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．不能确定（2）函数21y x kx =++与2y x x k =--的图象相交，若有一个交点在轴上，则值为_______________．x k判断二次函数值的正、负条件：求解不等式20ax bx c ++>即二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象在轴上方的点的横坐标所组成的集合．求解不等式20ax bx c ++<即二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象在轴下方的点的横坐标所组成的集合． 判断二次函数值的恒正、恒负条件：当()200ax bx c a ++=≠中的且0∆< 时，二次函数()20y ax bx c a =++≠的函数值恒为正；当()200ax bx c a ++=≠中的且0∆<时，二次函数()20y ax bx c a =++≠的函数值恒为负．总结如下：结合图象比较大小知识导航a＞0a＜0例10. （1）如图，是二次函数2y ax bx c =++的一部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++>的解集是（ ）A ．15x -<<B ．5x >C ．1x <-且5x >D ．1x <-或5x >（2）二次函数2235y x x =-++，当满足什么条件时，函数值y 大于0？小于0？例11. （1）二次函数()()2440y a x a =--≠的图象在23x <<这一段位于轴的下方，在67x <<这一段位于轴的上方，则的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．2D ．2-（2）若二次函数243y x x t =-+-（t 为实数）在702x <<的范围内有解，则t 的取值范围是_____________．典型例题x a x x二次函数值与一次函数值比较大小二次函数()20y ax bx c a =++≠与一次函数()0y kx b k =+≠函数值比较大小的步骤：联立函数解析式，求函数交点横坐标，利用图象比较大小．例13. （1）比较二次函数2123y x x =--与一次函数21y x =+的函数值的大小．（2）当满足___________时，二次函数256y x x =--+的函数值大于一次函数1y x =-的函数值．（3）当满足____________时，二次函数234y x x =--+的函数值小于一次函数22y x =-的函数值．知识导航典型例题x x例15. 已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象（如图），根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根； （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集；（3）写出y 随的增大而减小的自变量的取值范围；（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，根据图象写出的取值范围．例16. 已知二次函数2y ax bx c =++（）的图象过点()2,0A ，()2,4B --，对称轴为直线1x =-．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若33x -<<，直接写出y 的取值范围；（3）若一元二次方程20ax bx c m ++-=（，为实数）在33x -<<的范围内有实数根，直接写出的取值范围．x x m m a≠0a≠0k作业1. 已知二次函数21y ax bx =++，一次函数()214k y k x =--，若它们的图象对于任意的非零实数k 都只有一个公共点，则 a ，b 的值分别为（ ）A ．1a =，2b =B ．1a =，2b =-C ．1a =-，2b =D ．1a =-，2b =-作业2. 已知：二次函数2314y x mx m =-++（为常数）．（1）若这个二次函数的图象与轴只有一个公共点A ，且A 点在轴的正半轴上．①求的值；②四边形AOBC 是正方形，且点B 在y 轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过B ，C 两点，求平移后的图象对应的函数解析式；（2）当02x ≤≤时，求函数2314y x mx m =-++的最小值（用含的代数式表示）．作业m x x m m一般的，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成ky x=（是常数，0k ≠）的形式，那么称y 是x 的反比例函数．反比例函数的自变量x 不能为零．小注：（1）ky x =也可以写成1y k x -=⋅或xy k =的形式； （2）ky x=若是反比例函数，则x 、y 、均不为零；例1. （1）下列函数：①3x y =；②11y x =--；③1xy =；④22m y x +=；⑤y x π=-；⑥23y x -=-；⑦()13.14y x π-=-；⑧31y x=+．反比例函数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个（2）若()21m y m x -=-是反比例函数，则m 的值是______________．知识导航典型例题第五课 反比例函数k例2. （1）若y 与x 之间满足表达式1a y x x+=（为不等于1的常数，x ，y 为变量），则y 是x 的（ ） A ．一次函数 B ．正比例函数 C ．反比例函数D ．都不对（2）若y 与x 成反比例，x 与z 成反比例，则y 是z 的（ ） A ．正比例函数 B ．反比例函数 C ．二次函数D ．不能确定（3）若y 与1x +成反比例，则y 是x 的（ ） A ．正比例函数 B ．反比例函数 C ．不是反比例D ．不能确定（4）已知：12y y y =+，1y 与2x 成正比例，2y 与x 成反比例，且1x =时，3y =；1x =-时，1y =．求12x =-时，y 的值．反比例函数图象的画法——描点法：（1）列表——自变量取值应以0（但0x ≠为中心，向两边取三对（或三对以上）互为相反数的数，再求出对应的y 的值；（2）描点——先描出一侧，另一侧可根据中心对称点的性质去找；（3）连线——按照从左到右的顺序连接各点并延伸，注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交．以2y x =为例画函数图象 列表：描点： 连线：知识导航。

目录前言第二十四章相似第1节相似形24.1 放缩与相似形﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4 第2节比例线段24.2 比例线段﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒624.3 三角形一边的平行线（1）﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒924.3 三角形一边的平行线（2）﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1124.3 三角形一边的平行线（3）﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1324.3 三角形一边的平行线（4）﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒15第3节相似三角形24.4 相似三角形的判定﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1724.5 相似三角形的性质﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒25第二十五章锐角的三角比第1节锐角的三角比25.1 锐角的三角比的意义﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2825.2 求锐角的三角比的值﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒30 第2节解直角三角形25.3 解直角三角形﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒ 3125.3 解直角三角形的应用﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒33 第二十六章二次函数第1节二次函数的概念26.1 二次函数的概念﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒36 第2节二次函数的图像26.2 特殊二次函数的图像﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3926.3 二次函数2()y a x m k=++的图像﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒42前言首先要申明：任何一门学问都没有速成的法门，都要靠一分汗水才有一分收获。

我所能做的只是叫你少走点弯路而已，也仅此而已。

新初三暑假数学衔接导学案1.5 点和圆的位置关系问题引入问题1 我国射击运动员许海峰是中国奥运会历史上的首枚金牌得主，打破了中国奥运史上金牌“零”的纪录，为祖国赢得了荣誉。

你知道射击靶是如何构成的吗？如图，是射击靶示意图，它是由许多同心圆构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？探究新知问题2 观察图中点A，点B，点C与圆的位置关系？点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外，即点与圆的位置关系有三种：点在圆内；点在圆上；点在圆外。

问题3 在纸上画一个圆，再在圆上任取一点，该点到圆心的距离有何特点？如果在圆外取一点呢？圆内呢？结论：圆上的点到圆心的距离都等于半径；圆外的点到圆心的距离大于半径；圆内的点到圆心的距离小于半径。

设⊙O的半径为r，点P到圆的距离为d，则有：点P在圆外d>r；点P在圆上d=r；点P在圆内d<r。

问题4（1）如图，作经过已知点A的圆，这样的圆你能作出多少个？（2）如图作经过已知点A、B的圆，这样的圆你能作出多少个？他们的圆心分布有什么特点？（3）经过不在同一条直线上的三点做一个圆，如何确定这个圆的圆心？①分别连接AB、BC、AC；②分别作出线段AB的垂直平分线和，设他们的交点为O ，则OA=OB=OC；③以点O为圆心，OA（或OB、OC）为半径作圆，便可以作出经过A、B、C的圆。

由于过A、B、C三点的圆的圆心只能是点O，半径等于OA，所以这样的圆只能有一个，即：不在同一条直线上的三点确定一个圆。

经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。

问题5 经过同一条直线上的三个点能不能作出一个圆？证明：（反证法）如图，假设过同一直线l上的A、B、C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线上，又在线段BC的垂直平分线上，即点P为与的交点，而，，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾。

暑假班培训初三数学学习资料目录本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲如何做几何证明题第二讲平行四边形（包括矩形，菱形和正方形）的性质和判定第三讲平行四边形的提高篇（涉及中考的压轴题）第四讲梯形的辅助线和中考解题思路第五讲三角形和梯形中位线及其在中考中的解题技巧第六讲一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法）第七讲一元二次方程的判别式及其在中考题中的专项训练第八讲一元二次方程根与系数的关系（涵盖压轴题 5 种关系）第九讲一元二次方程的应用题（必讲章节）第十讲因式分解第十一讲分式的运算第十二讲分式的化简求值第十三讲分式方程及其应用第十四讲二次根式的运算专题第十五讲二次根式的化简求值第十六讲代数式的恒等变形第十七讲相似三角形第十八讲相似三角形（提高篇）第一讲：如何解决中考图形类证明题【知识梳理】1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。

几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。

这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。

在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

【例题精讲】【专题一】证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。

第一讲、运动和力一、基础知识考点1 牛顿第一定律1、阻力对物体运动的影响实验——斜面小车实验（1）让小车从同一位置（同一高度）静止下滑的目的。

（2）结论:表面越光滑小车所受阻力，向前滑行距离，速度减小2、力和运动的关系：运动力来维持，力是运动状态的原因3、牛顿第一定律：一切物体在没有受到力的作用时，总保持或状态。

4、一切物体都有保持不变的性质叫惯性，惯性的大小只与有关，描述物体惯性时只能说物体。

考点 2 二力平衡1、平衡状态指物体处于，。

2、平衡力：物体受到几个力作用时，如果保持或运动状态，我们就说这个几个力相互平衡考点 3 摩擦力1、定义：两个相互接触的物体，当它们，在接触面上会产生一种的力。

这种力摩擦力2、产生条件：（1）相互接触、相互挤压（2）有相对运动或相对运动趋势（3）接触面粗糙3、摩擦的分类：（1）静摩擦（2）滑动摩擦（3）滚动摩擦4、静摩擦的大小根据二力平衡求解，方向与相对运动趋势方向相反5、滑动摩擦的大小与和有关；方向与。

6、增大摩擦力的方法：增大，增大，变滚动为；7、典型作图训练（1）木块相对斜面向上减速运动，对木块受力分析（2）木块与传送带一起以2m/s向右匀速直线运动，对木块受力分析（3）一个重20N的木块，受到50N的压力静止在墙上，画出木块竖直方向受力示意图（1）（2）（3）8、力与运动的解题方法（1）不受力—————静止、匀速直线运动（牛顿第一定律、惯性）（2）受平衡力————静止、匀速直线运动（F合= ）（3）受非平衡力———— F合方向与运动方向相同（直线运动）F合方向与运动方向相反（直线运动）F合方向与运动方向不在一条直线上（运动）二、典型例题1、（2016•河北）下列关于惯性的说法正确的是（）A．太空中的宇航员不具有惯性B．物体运动时具有惯性，静止时不具有惯性C．汽车在转弯时减速，是为了防止惯性带来的危害D．运动员起跑时用力蹬地，是为了增大惯性提高成绩2、（2016•长春模拟）如图所示是一款没有“地轴”的地球仪，接通电源，地球仪就能漂浮在空中，当它“漂浮”在空中时，下列分析正确的是（）A．它没有受到力的作用B．它受到的磁力与重力方向相同C．它受到的磁力和重力相互平衡D．它受到的磁力一定大于重力3、（2016•北京）如图所示的措施中，为了减小摩擦的是（）A．机械表保养时上油 B．防滑垫表面做得凹凸不平C．旋钮侧面制有条纹 D．轮胎上制有花纹4、（2016•句容市一模）在探究“力对物体运动的影响”的实验中，在水平桌面上分别铺上粗糙程度不同的毛巾、棉布、玻璃，让小车自斜面顶端从静止开始滑下，小车从同一高度滑下后，在不同物体表面上运动的距离如图所示．（1）实验时小车每次都从斜面顶端滚下，是为了让小车在这些物体表面开始运动的相同．（2）由图示可知，小车在玻璃上运动的距离最，这说明小车受到的阻力越，速度减小的越慢．（3）根据这个实验推理：若水平物体表面绝对光滑（即小车不受任何阻力作用），那么小车将一直保持．（4）本实验用到的研究方法是．5、（2016•绿园区一模）在探究“二力平衡的条件”的实验中，小刚同学采用的实验装置如图甲所示，小华同学采用的实验装置如图乙所示．（1）当物体处于静止状态或状态时，它受到的力是相互平衡的．（2）这两个实验装置中，你认为装置（选填“甲”或“乙”）更科学．（3）在装置乙中，将小车旋转一定角度，松手后，发现小车旋转后又恢复原状，这说明两个力必须作用在同一（选填“物体”或“直线”）上，物体才能平衡．三、课后习题1、（2016•广元）如图所示，甲、乙两物体在水平桌面上处于静止状态，关于它们受力的说法正确的是（）A．甲对乙的压力与桌面对乙的支持力是一对相互作用力B．乙物体受到甲、乙两物体的重力和桌面的支持力C．乙物体受到的重力与桌面的支持力是一对平衡力D．乙物体受到重力、甲物体的压力和桌面的支持力2、（2016•自贡）如图，在光滑的水平面上叠放着甲、乙两个木块，甲木块用一根细绳拴在左边固定的竖直板上，现在用力把木块乙从右端匀速地抽出来，所用的力F=15N，则甲、乙两木块所受的摩擦力是（）A．甲为零，乙受向右的15N的力 B．甲和乙都受向右15N的力C．甲和乙都受向左15N的力 D．甲和乙都是15N，甲受向右的力，乙受向左的力3、（2016•乐山）如图所示，将弹簧测力计左端固定在墙上，右端用细线与重力为10N的木块相连，木块放在上表面水平的小车上，弹簧测力计保持水平，现拉动小车沿水平方向做匀速直线运动，木块静止时弹簧测力计的示数为4N，则木块所受摩擦力的大小与方向分别是（）A．10N，水平向右 B．14N，水平向左 C．6N，水平向左 D．4 N，水平向右4、（2016•内江）以下设计或操作是为了增大摩擦的是（）A．汽车轮胎上有凹凸不平的花纹 B．坐车时要求系上安全带C．钢轨铺设在枕木上 D．在机器转轴上加润滑油5．（2015•凉山州）下列关于惯性说法正确的是（）A．静止在草坪上的足球没有惯性B．高速公路汽车限速是为了安全，因为速度越大惯性越大C．百米赛跑的运动员撞线后还要跑出去一段距离，是由于受到惯性的作用D．歼击机投入战斗前要抛掉副油箱，这是为了减小惯性增强战斗机的灵活性6．（2016•凉山州）同一木块分别在木板、棉布表面上做匀速直线运动的情况如图所示，比较甲、乙两图可得：滑动摩擦力大小与有关，比较甲、丙两图可得：滑动摩擦力大小与有关．7、（2016•内江）如图所示，在水平桌面上一本静止的书上竖直放置一块橡皮，当书突然向右运动时，橡皮将会；如果书表面绝对光滑，上述现象中橡皮将会．（以上两空选填“向右倾倒”、“向左倾倒”或“保持静止”）8、（2016•南充）如图甲所示，放在粗糙程度不变的水平地面上的物体，用方向不变的力F 向右推物体，推力F的大小随时间的变化关系如图乙所示，物体的运动速度随时间的变化关系如图丙所示，则在t=1s时，物体受到的摩擦力N；在t=3s时，物体受到的摩擦力为N．9、（2016•台州）如图所示，小球沿弧形斜槽从A点运动到水平轨道的B点时，如果小球受到的外力突然全部消失，那么小球的运动状态将是（）A．匀速直线运动B．立即停止运动C．速度越来越快D．速度越来越慢10、（2016•天津）直升机沿竖直方向匀速升空时，在竖直方向上受到升力F、重力G和阻力f，下面关于这三个力的关系式正确的是（）A．F＞G+f B ．F＜G-f C．F=G+f D．F=G-f11、（2016•镇江）如图所示，四旋翼无人机下方用细线悬挂一个重物，不考虑空气阻力，则无人机在空中（）A．悬停时，重物受到的重力与它对细线的拉力是一对平衡力B．加速上升时，细线对重物的拉力大于重物所受的重力C．匀速下降时，重物所受的重力大于细线对重物的拉力D．水平匀速飞行时，悬挂重物的细线会偏离竖直方向12、（2016•莆田）如图所示，瓶盖的侧面一般都做有凹凸相间的竖条纹，其主要目的是为了（）A．美观 B．耐用C．便于包装 D．便于旋开三、能力提升13、在汽车中悬线上挂一个小球，当汽车运动时，悬线将与竖直方向成某一固定角度，如图所示，若在汽车底板上还有一个跟其相对静止的物体M，则关于汽车的运动情况和物体M的受力情况正确的是（）A．汽车一定向右做加速运动 B．汽车一定向左做加速运动C．M除受到重力、底板的支持力作用外，还一定受到向右的摩擦力作用D．M除受到重力、底板的支持力作用外，还可能受到向左的摩擦力作用14、如图所示，叠放在一起的物体A和B，在大小为F的恒力作用下沿水平面做匀速直线运动，则下列结论中正确的是（）A．甲、乙两图中A物体所受地面对它的摩擦力大小均为FB．甲、乙两图中B物体受到的摩擦力均为FC．甲图中物体A受到地面的摩擦力为0，物体B受到对它的摩擦力为FD．乙图中物体A受到地面的摩擦力为F，物体B受到对它的摩擦力为015、如图所示装置中，物体甲重20N，乙重10N．甲、乙之间用一根轻绳通过定滑轮相连，沿着水平方向的拉力F的大小为5N时，物体甲恰能在光滑的水平桌面上向左做匀速直线运动．不计滑轮处摩擦，下列说法中正确的是（）A．物体甲受到的摩擦力为5NB．物体乙受到的摩擦力为5NC．竖直墙面对滑轮沿水平方向的拉力为5ND．甲乙两物体的物重不同，受到摩擦力的大小也不同第二讲、压强一、基础知识考点 1 压强1、压力（1）定义：作用在物体表面的力（2）方向：垂直与支持面指向被压物体（3）大小a、放在水平支持面的b、静止在斜面的物体c、压在竖直墙面上的物体对水平面的压力对斜面的压力物体对墙的压力F=G F<G F、G无关FF（4）影响压力的作用效果的因素a 、 ，b 、 。

第1、2讲热量内能一.学习目标:1.知道分子运动论的初步知识。

2.知道物体的内能;知道做功和热传递可以改变物体的内能.3.知道热量及其单位;知道燃料的热值。

可以看到，这个现象直接的说明了，间接的说明了。

2.热量:⑴含义:_____________________________________________________。

⑵单位:______________________________；⑶热值:①含义_______________________________________________；=___________________。

②公式:Q放③单位：，物理意义：；注：热值是燃料的一种属性，只与物质的种类有关。

④节约燃料的两个途径：、。

⑷比热:①含义:______________________________________________；②单位:国际单位__________________；常用_______________；③水的比热:_____________，意义是______________________；注：比热是物质的一种特性。

⑸热量的计算公式:Q吸=_______________，Q放=__________________。

3.内能:3.铜的比热是3.9×102焦/(千克·℃)，它表示的物理意义是_______________________________________，若把一铜块切掉一半，则它的比热将____________。

(填“变大”、“变小”或“不变”)4.下列说法中正确的是: ( )A.一桶水比一杯水的比热大B.质量为2千克10℃时的水含有的热量等于质量为1千克20℃时的水所含的热量C.同种物质的质量变化时，其比热不变D.比热大的物体，每升高1℃吸收的热量一定多5.使1克水温度升高1℃需要吸收多少热量？1焦耳的热量可以使1克水的温度升高多少度?6.质量为500克的铁锅中放有3千克的水,把它们从15℃加热到90℃需要=4.6×102焦/(千克·℃)】多少热量?【C铁7.无烟煤的热值是3.4×107焦/千克，20 克无烟煤充分燃烧时可放出多少热量？若这些热量中的80%被2千克的水吸收，在1标准大气压下，可这是用能。

第1讲一元二次方程1.1 一元二次方程的定义1．一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．要点诠释： (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.知识网络图⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩定义直接开平方法一元二次方程配方法解法公式法因式分解法知识概述3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.1．（2018•绍兴一模）利用平方根去根号可以构造一个整系数方程．例如：x=+1时，移项得x ﹣1=，两边平方得（x ﹣1）2=（）2，所以x 2﹣2x+1=2，即x 2﹣2x ﹣1=0．仿照上述构造方法，当x=时，可以构造出一个整系数方程是（ ）A ．4x 2+4x+5=0B ．4x 2+4x ﹣5=0C ．x 2+x+1=0D ．x 2+x ﹣1=01．（2018•深圳模拟）已知α、β是方程x 2﹣2x ﹣4=0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（ ）A ．﹣1B ．2C ．22D ．302．（2017秋•平顶山期末）若a+c=b ，那么方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）必有一根是（ ）A ．1B ．﹣1C ．±1D ．小试牛刀再接再厉1.2 直接开平方法1．直接开方法解一元二次方程： (1)直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据： 平方根的定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O ；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． ②形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 .1．（2017•济宁二模）我们知道，一元二次方程x 2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们规定一个新数i ，使其满足i 2=﹣1（即x 2=﹣1方程有一个根为i ），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i 1=i ，i 2=﹣1，i 3=i 2•i=（﹣1）•i ，i 4=（i 2）2=（﹣1）2=1，从而对任意正整数n ，我们可得到i 4n+1=i 4n •i=（i 4）n •i ，同理可得i 4n+2=﹣1，i 4n+3=﹣i ，i 4n =1，那么，i+i 2+i 3+i 4+…+i 2016+i 2017的值为（ ）知识概述小试牛刀A ．0B ．1C ．﹣1D ．i2．（2018•龙岗区一模）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a 2﹣2ab+b 2，根据这个规则求方程（x ﹣4）*1=0的解为______________．1．（2018春•嘉兴期中）给出一种运算：对于函数y=x n ，规定y ′=nx n ﹣1．例如：若函数y=x 4，则有y ′=4x 3．已知函数y=x 3，则方程y ′=12的解是______________．2．（2017春•明光市期中）若一元二次方程ax 2=b （ab ＞0）的两根分别为m+1与2m ﹣4．（1）求m 的值；（2）求的值．3．（2016秋•长泰县期中）已知一元二次方程（x ﹣3）2=1的两个解恰好分别是等腰△ABC 的底边长和腰长，求△ABC 的周长．再接再厉4．（2017秋•怀柔区期末）我们把形如x2=a（其中a是常数且a≥0）这样的方程叫做x的完全平方方程．如x2=9，（3x﹣2）2=25，（）2=4…都是完全平方方程．那么如何求解完全平方方程呢？探究思路：我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解．如：解完全平方方程x2=9的思路是：由（+3）2=9，（﹣3）2=9可得x1=3，x2=﹣3．解决问题：（1）解方程：（3x﹣2）2=25．解题思路：我们只要把3x﹣2 看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了．解：根据乘方运算，得3x﹣2=5 或3x﹣2=　________．分别解这两个一元一次方程，得x1=，x2=﹣1．（2）解方程．1.3 配方法1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.1．（2017秋•苍溪县期末）解方程：（1）x 2﹣2x ﹣4=0（2）用配方法解方程：2x 2+1=3x2．（2017秋•卢龙县期末）解方程：（1）（y+2）2=（3y ﹣1）2知识概述小试牛刀（2）x 2+4x+2=0（配方法）1．（2018春•瑶海区期中）解一元二次方程（配方法）：x 2﹣6x ﹣7=0．2．（2017秋•句容市月考）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x （x+4）=6．解：原方程可变形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）+2]=6．（x+2）2﹣22=6，（x+2）2=6+22，（x+2）2=10．直接开平方并整理，得．x 1=﹣2+，x 2=﹣2﹣．我们称小明这种解法为“平均数法”．（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）=5时写的解题过程．解：原方程可变形，得：[（x+a ）﹣b][（x+a ）+b]=5．（x+a ）2﹣b 2=5，（x+a ）2=5+b 2．直接开平方并整理，得．x 1=c ，x 2=d ．上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为______，_____，_____，_____．（2）请用“平均数法”解方程：（x ﹣5）（x+3）=6．再接再厉1.4 公式法1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤　用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根.1．（2017秋•前郭县期末）用公式法解方程：3x 2+5（2x+1）=0．知识概述小试牛刀1．（2017秋•安陆市期中）以x=为根的一元二次方程可能是（ ）A ．x 2+bx+c=0B ．x 2+bx ﹣c=0C ．x 2﹣bx+c=0D ．x 2﹣bx ﹣c=02．（2017秋•惠民县期末）（1）用配方法解方程：3x 2﹣12x+9=0．（2）用公式法解方程：3x 2﹣9x+4=0．1.5 因式分解法1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.再接再厉知识概述1．（2017秋•沈河区期末）解方程（1）x 2﹣7x ﹣18=0 （2）2（x ﹣3）2=x 2﹣9．2．（2017秋•沭阳县期末）（x+3）（x ﹣1）=12．1．（2017秋•梁子湖区期末）解下列方程：（1）x 2+3x ﹣1=0；（2）x （2x ﹣5）=4x ﹣10．小试牛刀再接再厉2．（2017秋•槐荫区期末）在方程x2﹣3x=0中，像这样只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程，把方程左边因式分解得到x（x ﹣3）=0，根据“任何数与0相乘都得0”，我们可知“两个因式中只要有一个因式的值为0，乘积就为0，”即方程可以转化为：x=0或x﹣3=0，解这两个一次方程得：x=0或x=3．所以原方程的解有两个，分别为：x=0或x=3．上述将方程x2﹣3x=0转化为x=0或x﹣3=0的过程，是将来学习的一元二次方程的解法中，通过因式分解将一元二次方程转化为一元一次方程求解的过程．规范书写如下：解：x2﹣3x=0x（x﹣3）=0x=0或x﹣3=0∴x=0或x=3仿照上面的方法和规范，解决下列问题：（1）解方程9x2﹣4=0（2）解方程a2﹣2a﹣3=0；类比上面的思路，解决下列问题．（3）根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，请你直接写出一元二次不等式a2﹣2a﹣3＞0的解集．第1讲一元二次方程1.1 一元二次方程的定义1．一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．要点诠释： (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.知识网络图⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩定义直接开平方法一元二次方程配方法解法公式法因式分解法知识概述1．（2018•马鞍山二模）已知a 是方程x 2﹣2x ﹣1=0的一个根，则代数式2a 2﹣4a ﹣1的值为（ ）A ．1B ．﹣2C ．﹣2或1D ．22．（2018•岐山县二模）若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+m 2﹣5m+3=0有一个根为1，则m 的值为（ ）A ．1B ．3C ．0D ．1或33．（2017秋•潮南区期末）一元二次方程（x+3）（x ﹣3）=5x 的一次项系数是（ ）A ．﹣5B ．﹣9C ．0D ．51．（2018•荆门二模）已知2是关于x 的方程x 2﹣（5+m ）x+5m=0的一个根，并且这个方向的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，则△ABC 的周长为（ ）A ．9B ．12C ．9或12D ．6或12或15小试牛刀再接再厉2．（2018•河北模拟）若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，则2020+2a﹣b的值是（ ）A．2016B．2018C．2020D．20223．（2017秋•武城县期末）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，则m等于（ ）A．0B．1C．2D．1或24．（2017秋•蓬溪县期末）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2ax+1﹣a2=0有一个根是0，则a=（ ）A．1B．﹣1C．±1D．05．（2017秋•常熟市期末）已知一元二次方程x2﹣x﹣2=0的一个根是m，则2018﹣m2+m的值是（ ）A．2015B．2016C．2018D．20201.2 直接开平方法1．直接开方法解一元二次方程： (1)直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据： 平方根的定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O ；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． ②形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 .1．（2017春•费县校级月考）解方程：（1）25x 2﹣36=0 （2）4（2x ﹣1）2=36．知识概述小试牛刀1．（2017秋•天宁区校级月考）解方程：（1）（x+2）2﹣16=0 （2）x 2﹣2x ﹣4=0．1.3 配方法1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.1．（2018•临沂）一元二次方程y 2﹣y ﹣=0配方后可化为（ ）再接再厉知识概述小试牛刀A ．（y+）2=1B ．（y ﹣）2=1C ．（y+）2=D ．（y ﹣）2=2．（2018•旌阳区模拟）用配方法解方程x 2﹣x ﹣1=0时，应将其变形为（ ）A ．（x ﹣）2=B ．（x+）2=C ．（x ﹣）2=0D ．（x ﹣）2=3．（2018•中江县模拟）用配方法解方程：x 2﹣7x+5=0．1．（2018•秀洲区二模）在《九章算术》“勾股”章里有求方程x 2+34x ﹣71000=0的正根才能解答的题目，以上方程用配方法变形正确的是（ ）A ．（x+17）2=70711B ．（x+17）2=71289C ．（x ﹣17）2=70711D ．（x ﹣17）2=712892．（2017秋•定安县期末）将一元二次方程x 2﹣4x ﹣6=0化成（x ﹣a ）2=b 的形式，则b 等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．103．（2018•宁河县一模）解下列方程：（1）x 2+10x+25=0（2）x 2﹣x ﹣1=0．再接再厉4．（2017•广东模拟）解方程：（x+1）（x ﹣1）+2（x+3）=8．1.4 公式法1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤　用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根.1．（2016秋•通江县月考）下列方程适合用求根公式法解的是（ ）A ．（x ﹣3）2=2B ．325x 2﹣326x+1=0知识概述小试牛刀C ．x 2﹣100x+2500=0D ．2x 2+3x ﹣1=02．（2016秋•惠安县校级期中）用求根公式法解方程x 2﹣2x ﹣5=0的解是（ ）A ．x 1=1+，x 2=1﹣B ．x 1=2+，x 2=2﹣C ．x 1=1+，x 2=1﹣D ．x 1=2+，x 2=2﹣3．（2018•和平区模拟）解方程：（x ﹣3）（x ﹣2）﹣4=0．1．（2018•高新区模拟）解方程3x 2+5x+1=0．2．（2017秋•九江期末）用公式法解一元二次方程：2x 2﹣7x+6=0．3．（2017•江汉区校级模拟）4x 2﹣3=12x （用公式法解）4．（2016秋•潮州期末）用公式法解方程：2x 2+3x=1．再接再厉1.5 因式分解法1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.1．（2018•泸县模拟）解方程：x （x ﹣1）=4x+6．2．（2017秋•白银期末）解方程：（1）3（x ﹣1）2=x （x ﹣1）（2）x 2+1=3x．知识概述小试牛刀1．（2017秋•凤翔县期末）解方程（1）4x 2﹣8x+3=0（2）x （x+6）=72．（2017秋•莘县期末）解方程：2（x ﹣3）2=5（3﹣x ）．3．（2017秋•遵义期末）解方程：3x （x ﹣1）=2（x ﹣1）．4．（2017秋•雁塔区期末）解下列方程：（1）x （x+5）=14；（2）x 2﹣2x ﹣2=05．（2017秋•新罗区期末）用适当的方法解方程：（1）x 2+3x ﹣4=0（2）x （x ﹣2）+（x ﹣2）=0．再接再厉第1讲一元二次方程1.1 一元二次方程的定义1．一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．要点诠释： (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.知识网络图⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩定义直接开平方法一元二次方程配方法解法公式法因式分解法知识概述1．（2018春•鄞州区期中）一元二次方程3x 2﹣3x=x+2化为一般形式ax 2+bx+c=0后，a 、b 、c 的值分别是（ ）A ．3、﹣4、﹣2B ．3、﹣3、2C ．3、﹣2、2D ．3、﹣4、22．（2018•中江县模拟）关于x 的方程（a ﹣1）x |a|+1﹣3x+2=0是一元二次方程，则（ ）A ．a ≠±1B ．a=1C ．a=﹣1D ．a=±13．（2018•绥化模拟）下列方程中是一元二次方程的是（ ）A ．xy+2=1B ．C ．x 2=0D ．ax 2+bx+c=04．（2018•盐城）已知一元二次方程x 2+k ﹣3=0有一个根为1，则k 的值为（ ）A ．﹣2B ．2C ．﹣4D ．4小试牛刀1．（2017秋•凉山州期末）将一元二次方程5x2﹣1=4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）A．5，﹣1B．5，4C．5，﹣4D．5x2，﹣4x2．（2018•平顶山二模）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根0，则a值为（ ）A．1B．﹣1C．±1D．03．（2017秋•邵阳期末）关于x的方程ax2﹣3x+1=2x2是一元二次方程，则a 的取值范围为（ ）A．a≠0B．a＞0C．a≠2D．a＞24．（2017秋•铜梁区期末）方程2x2﹣6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）A ．6，2，9B ．2，﹣6，9C ．2，﹣6，﹣9D ．﹣2，6，95．（2018春•杭州期中）已知关于x 的方程（m+1）x+2x ﹣3=0是一元二次方程，则m 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．±1D ．不能确定1.2 直接开平方法1．直接开方法解一元二次方程： (1)直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据： 平方根的定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O ；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． ②形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 .知识概述1．（2017秋•雁塔区期末）一元二次方程（x ﹣1）2﹣2=0的根是（ ）A ．x=B ．x 1=﹣1，x 2=3C ．x=﹣D ．x 1=1+，x 2=1﹣2．（2017•白云区一模）用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（ ）A ．x 2﹣1=0B ．x 2=0C ．x 2+4=0D ．﹣x 2+3=03．（2017•包河区校级模拟）解方程：（x ﹣5）2=16．1．（2017秋•漳州期末）关于x 的方程（x+1）2﹣m=0（其中m ≥0）的解为（ ）A ．x=﹣1+mB ．x=﹣1+C ．x=﹣1±mD ．x=﹣12．（2018春•包河区期中）解方程：（4x ﹣1）2﹣9=03．（2017秋•秦淮区期中）解方程（x ﹣1）2﹣4=0．小试牛刀再接再厉4．（2018春•西城区校级期中）解方程：（2x ﹣1）2=3．1.3 配方法1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.1．（2018•定兴县二模）一元二次方程x 2﹣8x ﹣1=0配方后可变形为（ ）A ．（x+4）2=17B ．（x+4）2=15C ．（x ﹣4）2=17D ．（x ﹣4）2=152．（2018•常州模拟）解下列方程：（1）x 2﹣2x ﹣2=0；（2）（x ﹣1）（x ﹣3）=8．知识概述小试牛刀1．（2017秋•潮南区期末）用配方法解方程：x 2﹣4x+1=0．2．（2016秋•宁德期末）小明同学解一元二次方程x 2﹣4x ﹣1=0的过程如图所示解：x 2﹣4x=1…①x 2﹣4x+4=1 …②（x ﹣2）2=1…③x ﹣2=±1…④x 1=3，x 2=1…⑤（1）小明解方程的方法是__________，他的求解过程从第__________步开始出现错误，这一步的运算依据应该是____________________；（2）解这个方程．再接再厉1.4 公式法1.一元二次方程的求根公式　一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤　用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根.1．（2018春•包河区期中）用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a 、b 、c 的值．对于方程﹣4x 2+3=5x ，下列叙述正确的是（ ）A ．a=﹣4，b=5，c=3B ．a=﹣4，b=﹣5，c=3知识概述小试牛刀C ．a=4，b=5，c=3D ．a=4，b=﹣5，c=﹣32．（2017•淄川区一模）用公式法解方程4y 2=12y+3，得到（ ）A ．y=B ．y=C ．y=D ．y=1．（2017秋•昌平区校级期中）方程x 2﹣x ﹣1=0的根是（ ）A ．x 1=，x 2=B ．x 1=，x 2=C ．x 1=，x 2=D ．没有实数根2．（2016秋•盱眙县校级月考）用公式法解方程x 2﹣4x ﹣2=0，其中b 2﹣4ac 的值是（ ）A ．16B ．24C ．8D ．43．（2018•金乡县模拟）x 2﹣2x ﹣15=0．（公式法）再接再厉1.5 因式分解法1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.1．（2018•花都区一模）解方程：x 2﹣6x+5=0．　2．（2017秋•工业园区期末）解方程：（x+1）2=3（x+1）3．（2018•湘桥区模拟）解方程：x 2﹣4x ﹣5=0．知识概述小试牛刀1．（2017秋•市中区期末）解方程：x 2+8x ﹣9=0．2．（2017秋•南平期末）解方程：（1）x 2+2x=0（2）3x 2+2x ﹣1=03．（2017秋•宝安区期末）x 2﹣8x+12=0．4．（2017秋•丹徒区期末）解下列方程（1）x 2﹣4x ﹣5=0（2）2（x ﹣1）+x （x ﹣1）=0再接再厉第2讲 一元二次方程的实际问题2.1 根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： (1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多： (1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； (2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．1．（2018•宜宾）一元二次方程x 2﹣2x=0的两根分别为x 1和x 2，则x 1x 2为（ ）A ．﹣2B ．1C ．2D ．0知识网络图⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩根与系数的关系问题变化率问题实际问题利润问题其他问题知识概述)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，a b x x -=+21ac x x =21小试牛刀2．（2018•眉山）若α，β是一元二次方程3x 2+2x ﹣9=0的两根，则+的值是（ ）A ．B ．﹣C ．﹣D ．3．（2018•番禺区一模）若α、β是一元二次方程x 2﹣5x ﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（ ）A ．﹣5B ．5C ．﹣2D ．4．（2018•盐城模拟）已知方程x 2﹣x ﹣2=0的两个实数根为x 1、x 2，则代数式x 1+x 2+x 1x 2的值为（ ）A ．﹣3B ．1C ．3D ．﹣15．（2018•黄石模拟）设x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个实数根，则的值是（ ）A ．﹣6B ．﹣5C ．﹣6 或﹣5D ．6 或56．（2018•奎文区二模）已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2+（2m +3）x +m 2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，则m 的值是（ ）A ．3或﹣1B ．3C ．1D ．﹣3或1　再接再厉7．（2018•罗平县一模）若方程x2﹣3x﹣4=0的两根分别为x1和x2，则+的值是（ ）A．1B．2C．﹣D．﹣8．（2017秋•五莲县期末）若α、β是一元二次方程x2+3x﹣6=0的两个不相等的根，则α2﹣3β的值是（ ）A．3B．15C．﹣3D．﹣159．（2018春•绍兴期中）若α，β是方程x2﹣2x﹣2=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ）A．10B．9C．8D．710（2018•江西）一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根为x1，x2．则x12﹣4x1+2x1x2的值为_____．11．（2018•河北区一模）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为___．2.2增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.)(2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量.)1．（2018•宜宾）某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）A ．2%B ．4.4%C ．20%D ．44%2．（2018•眉山）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ）A ．8%B ．9%C ．10%D ．11%知识概述(1)na xb +=(1)n a x b -=小试牛刀3．（2018•邻水县三模）某超市将某品牌书包的售价从原来80元/个经两次调价后调至64.8元/个．若该超市两次调价的降价率相同，则降价率是（ ）A ．10%B ．20%C ．80%D ．90%4．（2018•蒙城县一模）某种药品经过两次降价后，价格下降了19%，则该药品平均每次降价的百分比为（ ）A ．10%B ．15%C ．20%D ．25%5．（2018•江阴市二模）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长（ ）A ．10%B ．15%C ．20%D ．25%6．（2018•拉萨一模）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由1000元降到了810元．则平均每月降价的百分率为_____．7．（2018•泸县模拟）某地2015年为做好“精准扶贫”工作，投入资金2000万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年投入资金2880万元，求2015年到2017年该地投入异地安置资金的年平均增长率．8．（2018•南关区校级二模）某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年，县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，2016年投资了7.2亿元人民再接再厉币，问：每年投资的增长率是多少？2.3利润问题 利润(销售)问题中常用的等量关系： 利润=售价-进价(成本) 总利润=每件的利润×总件数1．（2018•石家庄模拟）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，为占有市场份额，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现在要使利润为6120元，每件商品应降价（ ）元．A ．3B ．2.5C ．2D ．52．（2018•盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价3元，则平均每天销售数量为____件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？知识概述小试牛刀。