1.4函数的单调性与导数

高等数学教材内容目录表1. 函数与极限1.1 函数的基本概念1.2 极限的定义与性质1.3 极限运算法则1.4 无穷小与无穷大1.5 函数的连续性2. 导数与微分2.1 导数的概念与计算2.2 导数的几何意义与物理意义2.3 高阶导数与导数的简单应用2.4 微分的概念与计算3. 微分中值定理与应用3.1 罗尔定理与拉格朗日中值定理3.2 函数的单调性与极值3.3 中值定理的应用3.4 泰勒公式与泰勒展开式3.5 参数方程与极坐标系4. 不定积分4.1 不定积分的定义与基本性质 4.2 基本积分公式与通积分法 4.3 分部积分与换元积分法4.4 定积分与定积分的计算5. 定积分与微积分基本定理5.1 定积分的定义与性质5.2 牛顿—莱布尼茨公式5.3 组合中的定积分5.4 广义积分与无穷级数6. 常微分方程6.1 一阶常微分方程6.2 高阶线性常微分方程6.3 非齐次线性微分方程6.4 变量可分离微分方程6.5 齐次线性微分方程6.6 常系数线性微分方程7. 多元函数微分学7.1 二元函数与二元函数的极限 7.2 二元函数偏导数与全微分7.3 隐函数与隐函数的偏导数7.4 多元函数的极值与条件极值8. 重积分8.1 二重积分的概念与性质8.2 三重积分的概念与性质8.3 球坐标与柱坐标下的积分计算8.4 重积分的应用9. 曲线积分与曲面积分9.1 曲线积分的定义与计算9.2 曲线积分的应用9.3 曲面积分的定义与计算9.4 曲面积分的应用10. 傅里叶级数10.1 傅里叶系数与傅里叶级数10.2 傅里叶级数的收敛性与展开性质10.3 定义域上的奇偶延拓与周期延拓11. 选修内容（根据学校及课程安排进行确定）。

高等数学c教材大纲一、引言高等数学C是高校数学系相关专业的重要课程之一，本教材旨在全面、系统地介绍高等数学C的基本概念、理论和应用。

通过学习本教材，学生将能够掌握高等数学C的核心知识和解题方法，为进一步深入学习数学及相关学科打下坚实的基础。

二、课程目标1. 理解和掌握高等数学C的基本概念和理论，包括导数、积分、级数等内容；2. 掌握利用高等数学C解决实际问题的方法和技巧；3. 培养学生的逻辑思维、分析和解决问题的能力；4. 培养学生对数学的兴趣和学习的积极性。

三、教学内容1. 函数的导数与微分1.1 导数的概念与性质1.2 常见函数的导数计算法则1.3 高阶导数与高阶微分1.4 隐函数与参数方程的导数计算2. 微分中值定理与导数的应用2.1 Rolle定理与介值定理2.2 函数的单调性、极值与最值2.3 拉格朗日中值定理及其应用2.4 泰勒公式与函数的近似计算3. 不定积分与定积分3.1 不定积分的定义与基本性质3.2 常见函数的不定积分计算法则3.3 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的概念3.4 定积分的性质与计算方法4. 定积分的应用4.1 曲线长度的计算4.2 平面曲线的面积计算4.3 旋转体的体积计算4.4 物理学中的应用：质量、质心、转动惯量5. 级数与幂级数5.1 数列与数列极限的概念5.2 级数与级数收敛的判别法5.3 幂级数及其收敛半径5.4 幂级数的性质及其应用四、教学方法1. 理论与实践相结合，注重基本概念的理解与应用。

2. 数学思维与实际问题相结合，培养学生的解决实际问题的能力。

3. 引导学生进行课堂讨论、小组合作和个人探究，激发学生的学习兴趣。

4. 提供充足的例题和练习题，以巩固所学知识。

五、教学评价与考核1. 平时成绩：包括课堂表现、小组讨论、作业完成情况等。

2. 期中考试：检测学生对基本概念、理论和解题方法的掌握程度。

3. 期末考试：综合测试学生对整个教材内容的理解和应用能力。

河北省数学高考知识点归纳总结近年来，数学作为高考中不可或缺的一科，对于每位考生来说都非常重要。

河北省数学高考试题中，知识点的涉及广泛，内容复杂多样。

为了帮助考生们更好地备考数学，下面将对河北省数学高考涉及的知识点进行归纳总结，希望能对广大考生有所帮助。

一、函数与导数在数学高考中，函数与导数是非常重要的知识点。

具体内容包括函数的定义与性质、函数的图像与性质、函数的初等函数、函数的极限与连续、函数的导数与微分等。

1.1 函数的定义与性质函数是数学中一个非常基础的概念，它描述了两个量之间的对应关系。

在高考中，常见的函数类型有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

而函数的性质主要包括定义域、值域、奇偶性、周期性等方面的特点。

1.2 函数的图像与性质函数的图像是考察函数的重要方式之一。

在解题过程中，可以利用函数的图像来分析函数的性质，如单调性、最值、零点等。

需要注意的是，在图像分析的过程中，要注意合理使用坐标轴、坐标轴刻度以及函数的关键点。

1.3 函数的初等函数初等函数指的是由常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数以及其复合求得的函数。

在高考中，初等函数常常与复合函数和反函数有关。

考生需要熟练掌握各类初等函数的性质和计算方法。

1.4 函数的极限与连续函数的极限与连续是高等数学中的重要内容，也是高考中经常出现的考点。

在解题时，要注意运用极限的性质、极限运算法则以及连续函数的判定条件等知识点。

1.5 函数的导数与微分函数的导数与微分是数学分析的重要内容，也是高考中需要重点掌握的知识点。

需要熟练掌握导数的定义、求导法则以及常见函数的导数等内容。

二、数列与数列极限数列与数列极限是数学高考难度较大的一个知识点。

具体内容包括数列的定义与性质、数列极限的概念与性质、数列极限的判定方法等。

2.1 数列的定义与性质数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。

在高考中常见的数列类型有等差数列、等比数列和等差数列等。

函数单调性与导数的关系
函数的单调性与函数的导数有着密不可分的关系。

单调性指函数f(x)在一个区
间上，对傍端改变都呈现某一种状态（升序或者降序），而函数的导数则指在一个特定点上，其自变量发生变化后，函数值变化率快慢的大小。

首先，单调递增函数f(x)其一阶导数只可能是正值。

反之，单调递减函数f(x)
其一阶导数只可能是负值。

换句话说，在变化的密度上，对于单调递增函数，其变化率是正向的，而对于单调递减函数，其变化率是负向的。

此外，当某一函数的一阶导数f'(x)在定义区间内的值恒为正值时，那么函数
f(x)在定义区间内就是单调递增函数；而当某一函数的一阶导数f'(x)在定义区间内
的值恒为负值时，那么函数f(x)在定义区间内就是单调递减函数。

因此，函数的单调性与函数的导数有着紧密的联系。

函数内部变化率的大小，反映在一阶导数值上；一阶导数是正值或负值，反映在函数的单调性上。

准确地说，函数的单调性与函数的导数形成了一个严密的套路，使函数的变化更加的精密明晰，有几何的结构性表述。

函数单调性的判定方法1.判断具体函数单调性的方法对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种：1.1 定义法1x 、x 2)时，称f )2 )(x 在给（1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <；（2）作差)()(21x f x f -；（3）变形（普遍是因式分解和配方）；（4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）；（5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。

例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。

证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则 由于043)2(22221212221>++=++x x x x x x x ，012>-x x则f )上是例(=又0当x 当x 综上函数xk x x f +=)( )0(>k 在区间],0(k 内为减函数；在区间),(+∞k 内为增函数。

此题函数)(x f 是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的，因此要分段讨论。

用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当21x x <时，容易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数。

在解决问题时，定义法是最直接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。

1.2 函数性质法函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。

函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用。

对于一些常见的简单函数的单调性如下表：是增（减）函数；当)f)g(x(xg在D上都是增（减）函数且两者都恒小于0时，)(xf、)(x在D上是减（增）函数。

⑹．设)(xy=,Dfx∈为严格增（减）函数，则f必有反函数1-f，且1-f在其定义域)(D f 上也是严格增（减）函数。

2023年高考数学复习提纲及大纲(最新最全)复提纲1. 函数- 函数的概念及分类- 函数的性质及其图像- 常见函数及其性质2. 数列- 数列的概念及其分类- 数列的通项公式及前n项和公式- 常见数列及其性质3. 三角函数- 三角函数的概念及其关系式- 常见三角函数的性质- 解三角函数的基本方程4. 平面向量- 向量的概念及其运算- 向量的线性运算及应用- 向量共线、垂直及夹角的判定5. 解析几何- 二维平面直角坐标系、极坐标系及其应用- 空间直角坐标系及其应用- 点、直线、圆、锥面、曲面及其方程大纲1. 函数与导数1.1 函数的概念与性质1.2 常见函数及其变换1.3 导数概念及其计算法1.4 函数的极值与最值1.5 函数的单调性及曲线的凹凸性2. 不等式组与线性规划2.1 一元一次不等式及其解法2.2 多元一次不等式组及其解法2.3 线性规划基本概念及其解法3. 数列与数学归纳法3.1 数列的概念及性质3.2 等差数列、等比数列及其应用3.3 数学归纳法的原理及应用4. 三角函数4.1 角度及弧度制与三角函数关系4.2 常见三角函数及其性质4.3 三角函数的图像及其变换4.4 解三角形的基本原理及解法5. 平面向量5.1 向量的概念及其运算5.2 向量的线性运算及应用5.3 向量的共线、垂直、平行及夹角的判定6. 解析几何6.1 二维平面直角坐标系、极坐标系及其应用6.2 空间直角坐标系及其应用6.3 几何图形的基本性质及其坐标表示7. 概率论基础7.1 随机事件与概率的概念7.2 基本概型及其计算7.3 条件概率及乘法公式7.4 全概率公式及贝叶斯公式8. 统计与统计图8.1 样本与总体的概念及其统计量8.2 常见统计图及其应用8.3 正态分布及其应用。

求解函数极值的几种方法1.1函数极值的定义法说明：函数极值的定义，适用于任何函数极值的求解，但是在用起来时却比较的烦琐. 1.2导数方法定理（充分条件）设函数()f x 在0x 处可导且0()0f x '=，如果x 取0x 的左侧的值时，()0f x '>，x 取0x 的右侧的值时，()0f x '<，那么()f x 在0x 处取得极大值，类似的我们可以给出取极小值的充分条件.例1 求函数23()(1)f x x x =-的单调区间和极值 解 23()(1)f x x x =- ()x -∞<<+∞， 3222()2(1)3(1)(1)(52)f x x x x x x x x '=-+-=--. 令 ()0f x '=，得到驻点为10x =，225x =，31x =.列表讨论如下： 表一：23()(1)f x x x =-单调性列表说明：导数方法适用于函数()f x 在某处是可导的，但是如果函数()f x 在某处不可导，则就不能用这样的方法来求函数的极值了.用导数方法求极值的条件是：函数()f x 在某点0x 可导. 1.3 Lagrange 乘法数方法 对于问题：Min (,)z f x y =s.t (,)0x y =如果**(,)x y 是该问题的极小值点，则存在一个数λ，使得****(,)(,)0x x f x y g x y λ+=****(,)(,)0y y f x y g x y λ+=利用这一性质求极值的方法称为Lagrange 乘法数例2 在曲线31(0)y x x =>上求与原点距离最近的点.解 我们将约束等式的左端乘以一个常数加到目标函数中作为新的目标函数2231()w x y y x λ=++-然后，令此函数对x 的导数和对y 的导数分别为零，再与原等式约束合并得43320201x x y y x λλ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎩解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩这是唯一可能取得最值的点 因此x y ==. 说明：Lagrange 乘法数方法对于秋多元函数是比较方便的，方法也是比较简单的 :如果**(,)x y 是该问题的极小值点则存在一个数λ，使得****(,)(,)0x x f x y g x y λ+=****(,)(,)0y y f x y g x y λ+=这相当于一个代换数，主要是要求偏导注意，这是高等代数的内容. 1.4多元函数的极值问题由极值存在条件的必要条件和充分条件可知，在定义域内求n 元函数()f p 的极值可按下述步骤进行：①求出驻点，即满足grad 0()0f p =的点0p ；②在0p点的Hessene 矩阵H ，判定H 正定或负定，若H 正定则()f p 在0p 点取得极小值；若H 负定则()f p 在0p 点取得极大值.例3 求三元函数222(,,)23246f x y z x y z x y z =++++-的极值解 先求驻点，由 220440660x y zf x f y f z =+=⎧⎪=+=⎨⎪=-=⎩ 得1,1,1x y z =-=-=-所以驻点为0(1,1,1)p ---.再求Hessene 矩阵，因为 2,0,0,4,0,0,0,0,6xx xz xy yy yz yx zx zy zz f f f f f f f f =========所以 200040006H ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦由此可知，H 是正定的，所以(,,)f x y z 在0(1,1,1)p ---点取得极小值：222(1,1,1)(1)2(1)312(1)4(1)6166f ---=-+⨯-+⨯+⨯-+⨯--⨯-=-说明：此方法适合多元函数求极值的放法，要注意求偏导数以及 Hessene 矩阵.。

大一高数上所有知识点总结一、函数与极限1. 函数的概念与性质1.1 函数的定义1.2 函数的性质2. 极限的概念与性质2.1 极限的定义2.2 极限存在的充分条件2.3 极限的性质及四则运算法则3. 无穷小量与无穷大量3.1 无穷小量的概念与性质3.2 无穷大量的概念与性质4. 极限的计算4.1 用夹逼准则求极限4.2 用无穷小量比较求极限4.3 用洛必达法则求极限4.4 用泰勒公式求极限二、导数与微分1. 导数的概念与求导法则1.1 导数的概念1.2 导数的计算与求导法则1.3 隐函数的导数1.4 高阶导数2. 函数的微分与高阶导数2.1 函数的微分2.3 高阶导数的概念与计算3. 函数的增减性与凹凸性3.1 函数的单调性3.2 函数的最值与最值存在条件3.3 函数的凹凸性及拐点三、函数的应用1. 泰勒公式在误差估计中的应用2. 函数的极值及其应用3. 函数的图形与曲线的切线方程4. 收敛性与闭区间紧性的概念及应用四、不定积分1. 不定积分的概念与性质1.1 不定积分的定义1.2 不定积分的性质1.3 不定积分的基本公式2. 不定积分的计算2.1 一些特殊函数的不定积分2.2 有理函数的不定积分2.3 有理三角函数的不定积分2.4 特殊的不定积分解法五、定积分1. 定积分的概念与性质1.1 定积分的定义1.2 定积分的性质2. 定积分的几何应用2.1 定积分与曲线下面积2.2 定积分与旋转体的体积计算2.3 定积分与空间几何体的体积计算六、微分方程1. 微分方程的概念与基本性质1.1 微分方程的定义1.2 微分方程的基本性质2. 常微分方程的解法2.1 一阶微分方程的解法2.2 二阶微分方程的解法2.3 高阶微分方程的解法3. 微分方程在物理问题中的应用3.1 弹簧振动问题3.2 电路的动态特性问题3.3 理想气体的状态方程问题七、多元函数微积分1. 多元函数的概念与性质1.1 多元函数的定义1.2 多元函数的导数与偏导数1.3 多元函数的微分2. 多元函数的极值与条件极值2.1 多元函数的极值点2.2 多元函数的条件极值点3. 二重积分与三重积分3.1 二重积分的概念与性质3.2 二重积分的计算3.3 三重积分的概念与性质3.4 三重积分的计算4. 重积分在几何与物理中的应用4.1 重积分与平面图形的面积计算4.2 重积分与曲面旋转体的体积计算4.3 重积分与空间物体的质量与重心计算八、无穷级数1. 数项级数的概念与性质1.1 数项级数的概念1.2 数项级数收敛的充分条件1.3 数项级数的审敛法2. 幂级数2.1 幂级数的概念与性质2.2 幂级数的收敛域2.3 幂级数在收敛域上的一致收敛性3. 函数项级数3.1 函数项级数的概念与性质3.2 函数项级数收敛的判别法3.3 函数项级数的一致收敛性以上是大一高数的知识点总结，总结了函数与极限、导数与微分、函数的应用、不定积分、定积分、微分方程、多元函数微积分、无穷级数等内容。

高等数学教材1完整版本高等数学是大学本科数学教学的一门基础课程，主要涵盖微积分、数列、级数、多元函数、偏导数、方程与不等式、积分等内容。

高等数学1是这门课程的第一部分，重点讲授微积分的基础知识和应用。

高等数学1的内容主要包括：一、函数与极限：1.1 函数的概念与性质1.2 极限的概念与性质1.3 无穷小量与无穷大量1.4 极限的四则运算与极限存在准则1.5 函数的连续性与间断点二、导数与微分：2.1 导数的定义与性质2.2 利用导数求函数的单调性和极值2.3 高阶导数与莱布尼茨公式2.4 隐函数与参数方程的导数2.5 微分与微分近似三、微分中值定理与应用：3.1 罗尔定理与拉格朗日中值定理3.2 柯西中值定理与洛必达法则3.3 泰勒公式与函数的泰勒展开式3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性3.5 最值与区间终值定理四、不定积分与定积分：4.1 不定积分的定义与基本性质4.2 基本积分公式与换元积分法4.3 分部积分法与有理函数的积分4.4 定积分的定义与性质4.5 定积分的计算方法与应用高等数学1的学习旨在培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。

在学习过程中，要注重理论与实践的结合，通过大量的习题和实例来加深对数学原理的理解和应用能力的提高。

通过学习高等数学1，学生可以掌握微积分的基本概念、理论和方法，能够应用微积分进行数学建模和实际问题求解。

同时，高等数学1也为后续学习高等数学2、3以及其他相关专业课程打下了坚实的基础。

总而言之，高等数学1是大学数学教育中不可或缺的一门课程，通过学习可以使学生具备扎实的数学知识和解决实际问题的能力，为他们未来的学习和职业发展奠定坚实基础。