-2018年数学必修5(人教A版)练习第三章3.4第1课时基本不等式

课时作业24 基本不等式：ab ≤a ＋b 2时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．下列不等式中正确的是( D )A ．a ＋4a≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b 2D ．x 2＋3x 2≥2 3 解析：a <0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错；a ＝4，b ＝16，则ab <a ＋b 2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确． 2．若lg x ＋lg y ＝2，则1x ＋1y的最小值为( D ) A ．10 B.110C ．5 D.15解析：∵lg x ＋lg y ＝2，∴xy ＝100.且x >0，y >0.1x ＋1y ≥21xy ＝15. 3．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( C ) A ．最大值为0 B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：∵x <0，∴－x >0.∴x ＋1x －2＝－[(－x )＋1(－x )]－2≤－2·(－x )·1(－x )－2＝－4，等号成立的条件是－x ＝1－x ，即x ＝－1.4．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m 、n 的大小关系是( A ) A ．m >n B ．m <nC ．m ＝nD ．不确定解析：∵a >2，∴a －2>0，又∵m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4， 当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时取等号． ∴m ≥4.∵b ≠0，∴b 2>0，∵2－b 2<2，∴22－b 2<4，即n <4，∴m >n .5．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( A )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处 解析：设仓库建在离车站x km 处，则土地费用y 1＝k 1x(k 1≠0)，运输费用y 2＝k 2x (k 2≠0)，把x ＝10，y 1＝2代入得k 1＝20，把x ＝10，y 2＝8代入得k 2＝45，故总费用y ＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时等号成立． 6．已知x >1，y >1且xy ＝16，则log 2x ·log 2y ( D )A ．有最大值2B ．等于4C ．有最小值3D ．有最大值4解析：因为x >1，y >1，所以log 2x >0，log 2y >0.所以log 2x ·log 2y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋log 2y 22＝⎣⎡⎦⎤log 2(xy )22＝4，当且仅当x ＝y ＝4时取等号．故选D.二、填空题7．已知x 、y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是215；(2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是2254. 解析：(1)x ＋y ≥2xy ＝215，即x ＋y 的最小值是215；当且仅当x ＝y ＝15时取最小值．(2)xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1522＝2254， 即xy 的最大值是2254. 当且仅当x ＝y ＝152时xy 取最大值． 8．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值X 围是⎣⎡⎭⎫15，＋∞. 解析：因为x >0，所以x ＋1x≥2. 当且仅当x ＝1时取等号，所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 9．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④1a ＋1b≥2，对满足条件的a ，b 恒成立的是①③④.(填序号) 解析：因为ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，所以①正确；因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤2＋a ＋b ＝4，故②不正确；a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝2，所以③正确；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab ≥2，所以④正确．三、解答题10．(1)已知0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值． (2)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值． (3)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y的最小值； 解：(1)∵0<x <12，∴1－2x >0. y ＝14·2x ·(1－2x )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22 ＝14×14＝116. ∴当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时，y 最大值＝116. (2)∵x <3，∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3 ≤－243－x ·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ，即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1.(3)法一：∵x ，y ∈R ＋，∴(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋3y＝4＋⎝⎛⎭⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3x y ，即x ＝2(3－1)， y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4，∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 法二：∵x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ＝x ＋y 4x ＋3(x ＋y )4y＝1＋⎝⎛⎭⎫y 4x ＋3x 4y ≥1＋2y 4x ·3x 4y＝1＋32. 当且仅当y 4x ＝3x 4y， 即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．∴1x ＋3y 的最小值为1＋32. 11．设a ，b ，c ∈R ＋.求证：(1)ab (a ＋b )＋bc (b ＋c )＋ca (c ＋a )≥6abc ；(2)(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋c ≥4. 证明：(1)∵a ，b ，c ∈R ＋，∴左边＝a 2b ＋ab 2＋b 2c ＋bc 2＋c 2a ＋ca 2＝(a 2b ＋bc 2)＋(b 2c ＋ca 2)＋(c 2a ＋ab 2)≥2a 2b 2c 2＋2a 2b 2c 2＋2a 2b 2c 2＝6abc ＝右边，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．(2)∵a ，b ，c ∈R ＋，∴左边＝[a ＋(b ＋c )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋c≥2a (b ＋c )·21a (b ＋c )＝4＝右边， 当且仅当a ＝b ＋c 时，等号成立．——能力提升类——12．若f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a ，b 均为正数，P ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，G ＝f (ab )，H ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则( A ) A ．P ≤G ≤H B ．P ≤H ≤GC ．G ≤H ≤PD ．H ≤G ≤P解析：因为a ，b 均为正数，所以a ＋b 2≥ab ＝ab ab ≥ab a ＋b 2＝2ab a ＋b，当且仅当a ＝b 时等号成立．又因为f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 为减函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，所以P ≤G ≤H . 13．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( C ) A ．8 B ．7C ．6D ．5解析：由已知，可得6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝1，所以2a ＋b ＝6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a时等号成立，所以9m ≤54，即m ≤6，故选C.14．设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2. 解析：令t ＝a ＋1＋b ＋3，则t 2＝a ＋1＋b ＋3＋2(a ＋1)(b ＋3)＝9＋2(a ＋1)(b ＋3)≤9＋a ＋1＋b ＋3＝13＋a ＋b ＝13＋5＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3时取等号，此时a ＝72，b ＝32.∴t max ＝18＝3 2. 15．如图，如在公园建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x 米墙，(1)求x 的取值X 围；(2)求最少需要多少米铁丝网(精确到0.1米)．解：(1)由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x 米，则另一边长为144x米， 则矩形草地所需铁丝网长度为y ＝x ＋2×144x. 令y ＝x ＋2×144x≤44(x >0)， 解得8≤x ≤36，则x 的取值X 围是[8,36]．(2)由基本不等式，得y ＝x ＋288x≥24 2. 当且仅当x ＝288x，即x ≈17.0时，等号成立， 则y 最小值＝242≈34.0，即最少需要34.0米铁丝网．。

人教高中数学必修五 3.4 基本不等式教学设计《基本不等式》教学设计教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修5课题：3.4 基本不等式（第一课时）一、教材分析《基本不等式》是高中教材人教A版必修五第三章第三节的内容，是《不等式》这一章中继一元二次不等式、简单线性规划之后，从几何背景（赵爽的弦图）中抽离出的基本结论，是证明其他不等式成立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之一。

就本章的编写而言，教材讲究从直观性上学习，注重每个数学模型引领数学思想的教材编排暗线，并且都体现出遵循从几何背景入手，强调数形结合思想。

本节内容在此基本上渗透不等式的证明方法（比较法、综合法、分析法），并且会在后续学习时再次得到加强。

基本不等式的学时安排是3课时，它涉及基本不等式的推导教学和求解最值问题两大部分。

本节课是基本不等式教学的第一课时，其主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较、抽象概括，提炼出不等式222(,)+≥∈。

a b ab a b R在此基础上，通过演绎替换、证明探究、数形结合及实际应用等四种不同的角度引导学生认识基本不等式。

其中基本不等式的证明是从代数、几何多方面展开，既有逻辑推理，又有直观的几何解释，使学生充分运用数形结合的思想方法，进一步培养其抽象概括能力和推理论证能力。

这就使得不等式的证明成为本节课的核心内容。

二、教学重难点教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。

教学难点：从不同角度探索基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值。

三、教学目标《课程标准》对本节课的要求有以下两条：①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值问题。

根据《课标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我将本节课的教学目标确定为：1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些国际数学家大会被誉为是数学界的奥林匹克盛会，每次大会上都会宣布菲尔兹奖获奖名单。

描述：例题：高中数学必修5(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 不等式 3.4 基本不等式一、学习任务掌握基本不等式 （）；能用基本不等式证明简单不等式（指只用一次基本不等式即可解决的问题）；能用基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不等式即可解决的问题）．二、知识清单均值不等式的含义均值不等式的应用 均值不等式的实际应用三、知识讲解1.均值不等式的含义均值定理如果 ，，那么 ．当且仅当 时，等号成立．对任意两个正实数，，数 叫做 ， 的算术平均值，数 叫做 ， 的几何平均值．均值不等式可以表达为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．均值不等式也称为基本不等式 ．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．⩽ab −−√a +b2a >0,b >0a b ∈R +⩾a +b2ab −−√a =b a b a +b2a b ab −−√a b 设 ，，下列不等式中不成立的是（ ）A． B．C． D．解：D，故 A 中不等式成立；，所以，所以 B 中不等式成立；，， ，所以不等式两边同时平方可得 ，故 C 中不等式成立．因为 的符号不确定，当时，不等式不成立.a >0b >0+⩾2b a a b+⩾2ab a 2b2ab ⩽()a +b22a −b +⩾21a −b+⩾2=2b a ab ⋅b a ab −−−−−−√(a −b ⩾0)2+⩾2aba 2b 2a >0b >0⩽a +b 2ab −−√⩾ab ()a +b 22a −b a ⩽b 已知 ，，且 ，求 的最大值．解：由均值不等式可得 ，当且仅当 时等号成立，所以 ，当且仅当 ， 时等号成立，所以 的最大值为 ．x y ∈R +x +4y =1xy x +4y ⩾2x ⋅4y −−−−−√x =4y xy ⩽116x =12y =18xy 116描述：例题：2.均值不等式的应用基本不等式的应用非常广泛，如求函数最值，证明不等式，比较大小，求取值范围，解决实际问题等．其中，求最值是其最重要的应用 ．利用均值不等式求最值时应注意“一正，二定，三相等”，三者缺一不可．求函数 (x>3)\) 的最小值．解：因为 ，所以，所以当且仅当，即 时，取 “” 号，所以 ．y =+x 1x −3x >3x −3>0y =+x =+(x −3)+3⩾5,1x −31x −3x −3=1x −3x =4==5y min （1）求函数的最小值；（2）求函数 的最大值．解：（1）当，所以，，所以当且仅当 ，即 时， 取得最小值 ．（2）当，所以 ，，所以当且仅当 ，即 时， 取得最大值 ．f (x )=+3x (x >0)12x f (x )=+3x (x <0)12x x >0>012x3x >0f (x )=+3x ⩾2=12,12x ⋅3x 12x−−−−−−√=3x 12xx =2f (x )12x <0−>012x−3x >0f (x )=+3x 12x=−[(−)+(−3x )]12x ⩽−2(−)⋅(−3x )12x −−−−−−−−−−−−−√=−12,−=−3x 12xx =−2f (x )−12求函数的最大值．解：因为 ，所以 ，所以f (x )=x (1−3x )(0<x <)130<x <130<1−3x <1描述：例题：3.均值不等式的实际应用利用基本不等式解决实际问题的一般步骤：①正确理解题意，设出变量，一般可以把要求最大（小）值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大值或最小值；④正确写出答案．当且仅当 ，即 时， 取得最大值 ．f (x )=x (1−3x )=×3x (1−3x )13⩽13()3x +1−3x 22=,1123x =1−3x x =16f (x )112设 ，求证：．证明：因为 ，，，所以当且仅当 时，等号成立，所以 ．a ,b ,c ∈R ++⩾ab +bc +ca a 2b 2c 2+⩾2ab a 2b 2+⩾2bc b 2c 2+⩾2ca c 2a 2(+)+(+)+(+)⩾2ab +2bc +2ca ,a 2b 2b 2c 2c 2a 2a =b =c ++⩾ab +bc +ca a 2b 2c 2建造一个容积为 ，深为 的长方形无盖水池，如果池底的造价是每平方米 元，池壁的造价是每平方米 元，求这个水池的最低造价．解：设水池的造价为 元，池底的长为 ，则宽为．所以当且仅当 ，即 时，等号成立．所以当 时，．答：水池的最低造价为元．8m 32m 12080y x m 4xm y =4×120+2(2x +)×808x=480+320(x +)4x ⩾480+320×2x ⋅4x−−−−−√=1760,x =4xx =2x =2=1760y min 1760某种汽车，购车费用是 万元，每年使用的保险费、汽油费约为 万元，年维修费第一年是 万元，以后逐年递增 万元．问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？解：设使用 年时，年平均费用 最少．由于“年维修费第一年是 万元，以后逐年递增 万元”，可知汽车每年维修费构成以 万元为首项， 万元为公差的等差数列．因此汽车使用 年的总维修费用为万元，所以100.90.20.2x y 0.20.20.20.2xx (0.2+0.2x )2四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）当且仅当 ，即 时， 取得最小值．答：汽车使用 年时年平均费用最少．y =10+0.9x +x (0.2+0.2x )2x =10+x +0.1x 2x =1++10x x 10⩾1+2⋅10x x10−−−−−−−√=3=10xx 10x =10y 10答案：1. 若 ，下列不等式中总能成立的是 A ．B ．C ．D ．Ca >b >0()>>2aba +ba +b2ab −−√>>a +b 22ab a +b ab−−√>>a +b 2ab −−√2ab a +b>>2ab a +bab −−√a +b 2答案：2. 下列各式中最小值是 的是 A ．B ．C ．D ．D2()+x y y x+5x 2+4x 2−−−−−√tan x +cot x+2x 2−x答案：解析：3. 已知 ，则函数 的最大值是A ．B ．C ．D ．C ，由 可得 ，根据基本不等式可得，当且仅当 即 时取等号，则 ．x <12y =2x +12x −1()21−1−2y =−[(1−2x )+]+111−2x x <121−2x >0(1−2x )+⩾211−2x 1−2x =11−2x x =0=−1y max 答案：4. 如果正数 满足 ，那么 A ． ，且等号成立时 的取值唯一B ． ，且等号成立时 的取值唯一C ． ，且等号成立时 的取值不唯一D ． ，且等号成立时 的取值不唯一Aa ,b ,c ,d a +b =cd =4()ab ⩽c +d a ,b ,c ,d ab ⩾c +d a ,b ,c ,d ab ⩽c +d a ,b ,c ,d ab ⩾c +d a ,b ,c ,d高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

3.4基本不等式:√ab≤a+b2第1课时基本不等式课时过关·能力提升基础巩固1若x>0,则x+4x的最小值为().A.2B.3C.2√2D.4答案:D2若x,y满足x+y=40,且x,y都是正数,则xy的最大值是().A.400B.100C.40D.20解析:xy≤(x+y2)2=400,当且仅当x=y=20时,等号成立.答案:A3若0<x<13,则x(1−3x)取最大值时x的值是().A.13B.16C.34D.23解析:∵0<x<13,∴0<1−3x<1.∴y=x(1-3x)=13×3x(1−3x)≤13×(3x+1-3x 2)2=112. 当且仅当3x=1-3x ,即x =16时取等号.答案:B 4设a ,b ∈R ,若a ≠b ,a+b=2,则必有( ).A.1≤ab ≤a 2+b 22B.ab <1<a 2+b22C.ab <a 2+b22<1D.a 2+b 22<ab <1解析:令a=-1,b=3,则ab=-3,a 2+b 22=5,则有ab<1<a 2+b22,所以排除选项A,C,D,故选B .答案:B5若M =a 2+4a (a ∈R ,a ≠0),则M 的取值范围为( ).A.(-∞,-4]∪[4,+∞)B.(-∞,-4]C.[4,+∞)D.[-4,4]解析:当a>0时,M =a 2+4a =a +4a ≥2√a ·4a =4,当且仅当a =4a,即a=2时取“=”; 当a<0时,M =a 2+4a=a +4a =−[(-a )+(-4a )]≤-2√(-a )·(-4a )=−4,当且仅当-a=−4a,即a=-2时取“=”.综上,M的取值范围为(-∞,-4]∪[4,+∞).答案:A6若a>b>1,P=√lgalgb,Q=lga+lgb2,R=lg a+b2,则下列结论正确的是().A.R<P<QB.P<Q<RC.Q<P<RD.P<R<Q 解析:∵a>b>1,∴lg a>0,lg b>0.∴R=lg a+b2>lg√ab=12lg(ab)=lga+lgb2=Q>√lgalgb=P.∴P<Q<R.答案:B7若a>0,b>0,则2ba +ab的最小值是.解析:2ba +ab≥2√2ba·ab=2√2,当且仅当2ba=ab,即a=√2b时取“=”.答案:2√28当函数y=x2(2-x2)取最大值时,x=. 解析:当−√2<x<√2时,y=x2(2-x2)≤(x 2+2-x22)2=1,当且仅当x2=2-x2,即x=±1时,等号成立,当x2≥2时,y=x2(2-x2)≤0,不可能取最大值.所以当x=±1时,y=x2(2-x2)有最大值为1.答案:±19已知2x +3y=2(x>0,y>0),求xy的最小值.解∵x>0,y>0,2x +3y=2,∴2=2x +3y≥2√6xy(当x=2,y=3时,等号成立),即1≥√6xy.∴√xy≥√6,从而xy≥6,即xy的最小值为6.10已知x>-1,试求函数y=x 2+7x+10x+1的最小值.解∵x>-1,∴x+1>0,∴y=x 2+7x+10x+1=(x+1)2+5(x+1)+4x+1=x+1+4x+1+5≥2√(x+1)·4x+1+5=9.当且仅当x+1=4x+1,即x=1时,等号成立.所以函数y=x 2+7x+10x+1的最小值为9.能力提升1若2a+b=1,a>0,b>0,则1a +1b的最小值是().A.2√2B.3−2√2C.3+2√2D.3+√2解析:1a +1b=2a+ba+2a+bb=2+1+ba +2ab=3+ba+2ab.∵a>0,b>0,∴1a +1b =3+b a +2a b ≥3+2√b a ·2a b =3+2√2,当且仅当b a =2a b ,即b =√2a =√2−1时“=”成立.∴1a +1b 的最小值为3+2√2.答案:C 2若x+3y-2=0,则函数z=3x +27y +3的最小值是( ).A.323B.3+2√2C.6D.9解析:z=3x +27y +3≥2√3x ·27y +3=2√3x+3y +3. ∵x+3y-2=0,∴x+3y=2.∴z ≥2√3x+3y +3=2√32+3=9,当且仅当3x =27y ,即x=3y=1时取“=”.答案:D3若a>0,b>0,a+b=2,则y =1a +4b 的最小值是( ).A .72B.4C.92D.5解析:依题意得1a +4b =12(1a +4b )(a +b)=12[5+(b a +4a b )]≥12(5+2√b a ·4a b )=92,当且仅当{a +b =2,b a =4a b ,a >0,b >0,即a =23,b =43时取等号,即1a +4b 的最小值是92. 答案:C4当x >12时,函数y =x +82x -1的最小值为( ).A .92B.4C.5D.9 解析:∵x >12,∴2x −1>0. ∴y=x +82x -1=x +4x -12=x −12+4x -12+12 ≥2√(x -12)·4x -12+12=4+12=92, 当且仅当x −12=4x -12,即x =52时取等号. 答案:A 5设a ,b>0,a+b=5,则√a +1+√b +3的最大值为 .解析:因为a ,b>0,a+b=5,所以(a+1)+(b+3)=9.令x=a+1,y=b+3,则x+y=9(x>1,y>3),于是√a +1+√b +3=√x +√y,而(√x +√y)2=x +y +2√xy ≤x+y+(x+y )=18,所以√x +√y ≤3√2.此时x=y ,即a+1=b+3,结合a+b=5可得a=3.5,b=1.5,故当a=3.5,b=1.5时,√a +1+√b +3的最大值为3√2. 答案:3√2★6函数y=log a (x-1)+1(a>0,且a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在一次函数y=mx+n 的图象上,其中m ,n>0,则1m +2n 的最小值为 .解析:由题意,得点A (2,1),则1=2m+n.又m ,n>0,所以1m +2n =2m+n m +2(2m+n )n =4+n m +4m n ≥4+2√4=8.当且仅当n m =4m n ,即m =14,n =12时取等号,则1m+2n的最小值为8.答案:8★7若对任意x>0,xx2+3x+1≤a恒成立,则a的取值范围是.解析:因为x>0,所以x+1x≥2,当且仅当x=1时取等号,所以有xx2+3x+1=1x+1x+3≤12+3=15,即xx2+3x+1的最大值为15,故a≥15.答案:[15,+∞)★8已知f(x)=a x(a>0,且a≠1),当x1≠x2时,比较f(x1+x22)与f(x1)+f(x2)2的大小.解∵f(x)=a x,∴f(x1+x22)=ax1+x22,∴12[f(x1)+f(x2)]=12(a x1+a x2).∵a>0,且a≠1,x1≠x2,∴a x1>0,a x2>0,且a x1≠a x2,∴12(a x1+a x2)>√a x1·a x2=ax1+x22,即f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2.9若正实数x,y满足2x+y+6=xy,求xy与2x+y的最小值.解∵2x+y+6=xy,x>0,y>0,∴xy=2x+y+6≥2√2·√xy +6, 即xy-2√2√xy −6≥0,当且仅当{2x =y ,2x +y +6=xy时,等号成立. ∴(√xy −3√2)(√xy +√2)≥0. ∵√xy +√2>0,∴√xy ≥3√2,xy ≥18.又2x+y+6=12×2xy ≤12·(2x+y 2)2, ∴(2x+y )2-8(2x+y )-48≥0,∴(2x+y-12)(2x+y+4)≥0.∵2x+y+4>0,∴2x+y ≥12.∴xy 的最小值为18,2x+y 的最小值为12.。

[ 课时作业 ][A 组 基础巩固 ]1．下列不等式正确的是 ( )A ． a ＋ 1≥ 2a 2 1 C ． a ＋ a 2≥ 221a ＋ 2解析 ：因为 a 2＋ 12中 a 2>0，所以a ≥a21 2121即 2 a ＋ a 2 ≥ 1，所以 a ＋ a 2≥ 2.答案 ： C1B ． (－a)＋ － a ≤－ 2D ．(－a)2 ＋ －1a 2≤－ 221，a ·2a2．已知 m ＝ a ＋1＋ 1(a>0)， n ＝ 3x(x<1)，则 m ， n 之间的大小关系是 (aA ． m>nB ．m<nC ． m ＝ nD ．m ≤n1 1解析 ：因为 a>0，所以 m ＝a ＋ ＋ 1≥2a ·＋ 1＝ 3，当且仅当 a ＝ 1aax<1，所以 n ＝3 x <3 1＝ 3，所以 m>n.答案 ： A3．已知 0<x<1 ，则 x(3－ 3x)取得最大值时 x 的值为 ()1 1 A. 3B.232C.4D.3解析： 由 x(3－3x)＝ 1× 3x(3－ 3x)≤1× 9＝3，当且仅当 3x ＝ 3－ 3x ，即 3 3 4 4 答案： B4．已知 f(x)＝x ＋ 1－ 2(x<0) ，则 f(x)有 ()xA ．最大值为 0B ．最小值为 0C ．最大值为－ 4D ．最小值为－ 4解析： ∵ x<0 ，∴ f(x)＝－ － x ＋ 1－ 2≤ － 2－ 2＝－ 4，当且仅当－ － x 时取等号．答案： C5．下列不等式中正确的是())时等号成立．又因为x ＝ 12时等号成立．1x ＝ － x ，即 x ＝－ 1A ． a ＋4≥ 4B ． a 2 ＋b 2 ≥4abaa ＋ b23C. ab ≥2D ．x＋ 2≥ 2 3x解析： a<0 ，则 a ＋4≥ 4 不成立，故 A 错； a ＝ 1， b ＝1， a 2＋ b 2<4ab ，故 B 错， a ＝ 4， b ＝aa ＋ b，故 C 错；由基本不等式可知 D 项正确． 16，则 ab< 2答案： Da － c6．已知 a>b>c ，则 a － b b － c 与 2 的大小关系是 ________．解析 ：因为 a － b>0，b － c>0， a － c>0.所以 a － b b － c ≤ a － b ＋ b －ca － c2＝ 2 .当且仅当 a － b ＝ b － c ，即 2b ＝a ＋ c 时取等号．所以a －b b －c ≤ a －c2 .答案 ： a －b b － c ≤a －c27．当 x>1时，函数 y ＝ x ＋ 8 的最小值为 ________．22x － 11解析 ：设 t ＝ 2x －1，∵ x> ，∴ 2x － 1>0，即 t>0，t ＋ 18 t 8 1≥ 2 t 8 19 ∴y ＝＋ ＝ ＋ ＋ ·＋＝ .2 t 2 t 22 t 22当且仅当 2t ＝ 8t ，即 t ＝ 4， x ＝ 52时，取等号．答案 ： 928．若 x ， y 均为正实数，且x ＋ 4y ＝1，则 x ·y 的最大值为 ________．解析： 1＝ x ＋ 4y ≥ 2 4xy ＝ 4 xy ，∴ x y ≤ 1，当且仅当 x ＝4y 时等号成立．16答案：1169．已知不等式 ax 2－ 3x ＋ 2<0 的解集为 A ＝ { x|1<x<b} ． (1) 求 a ，b 的值；25(2) 求函数 f(x)＝ (2a ＋ b) x ＋ b － a x ＋a (x ∈ A)的最小值．解析 ： (1)由题意知， 1， b 是方程 ax 2－ 3x ＋ 2＝ 0 的两根，且 b >1，a － 3＋2＝ 0，a ＝ 1，∴解得b ＝ 2.ab 2－ 3b ＋2＝ 0，25＝ 4x ＋25(2) 由 (1)得 f(x)＝ (2× 1＋ 2)x ＋ 2－ 1 x ＋ 1 x ＋1＝4(x ＋1)＋ 25－ 4≥ 24 x ＋1 ·25－ 4＝ 16.x ＋ 1 x ＋1 当且 当 4(x ＋1) ＝25，即 x ＝ 3∈ A 等号成立．x ＋ 12∴函数 f(x) 的最小 16.10．某汽 公司 了4 大客 ， 每 200 万元，用于 途客运， 每 每年收入100 万元，每 第一年各种 用 16 万元，且从第二年开始每年比上一年所需 用要 增加 16 万元．(1) 写出 4 运 的 利 y (万元 )与运 年数 x(x ∈ N * ) 的函数关系式；(2) 4 运 多少年，可使年平均运 利 最大？解析： (1)依 意，每x 年 收入100x 万元，支出200＋ 16× (1＋2＋ ⋯ ＋ x)1＝200＋ 2x(x ＋ 1) ·16(万元 )．1∴ y ＝ 4 100x － 200－ 2x x ＋ 1 ·16＝ 16(－ 2x 2＋ 23x － 50)． (2) 年平均利y＝16 23－ 2x － 50 ＝ 16 23－ 2 x ＋ 25 .x x x 又 x ∈ N * ，∴x ＋25≥ 2 25x x · ＝10，x当且 当 x ＝5 ，等号成立，此 y≤ 16× (23－ 20)＝ 48.x∴运 5 年可使年平均运 利 最大，最大利48 万元．[B能力提升 ]x 2－ 2x ＋ 21．若－ 4< x<1， f(x)＝ 2x － 2( )A ．有最小 1B ．有最大 1C ．有最小 － 1D ．有最大 － 1x 2－2x ＋ 2 1 1＋又∵－ 4<x<1，∴ x － 1<0.∴－ (x － 1)>0.1 1∴f(x)＝－ 2 － x － 1 ＋ － x － 1 ≤ － 1.当且仅当 x －1＝ 1，即 x ＝ 0 时等号成立．x － 1 答案： Da ＋b 12．设 f(x)＝ ln x,0<a<b ，若 p ＝ f(ab)，q ＝ f(2 )，r ＝ 2(f(a)＋ f( b)) ，则下列关系式中正确的是( )A ． q ＝r<pB ． q ＝ r>pC ． p ＝ r<qD ．p ＝ r>q 解析： p ＝ f( ab)＝ ln ab ， q ＝ f(a ＋ba ＋b ，2 )＝ ln211a ＋ br ＝ 2( f(a)＋ f(b))＝ 2ln ab ＝ ln ab ，函数 f( x)＝ ln x 在 (0，＋ ∞ )上单调递增，因为2 > ab ，所以 f( a ＋ b 2 )>f( ab)，所以 q>p ＝ r.答案： C2≥ 7 在 x ∈ (a ，＋∞ )上恒成立，则实数 a 的最小值为 ________．3．已知关于 x 的不等式 2x ＋ x － a解析 ：因为 x ＞ a ，所以 2x ＋ 2 ＝ 2(x － a)＋ 2 ＋ 2a ≥ 22 x － a · 2＋2a ＝ 2a ＋4，即x －ax － a x － a332a ＋ 4≥ 7，所以 a ≥ 2.即 a 的最小值为 2.答案 ： 324．若正数 a ， b 满足 ab － (a ＋ b)＝ 1，则 a ＋ b 的最小值是 ________． 解析 ：由于 ab － (a ＋ b)＝ 1，所以 ab ＝ a ＋ b ＋ 1，而 ab ≤a ＋b 2，所以 a ＋ b ＋ 1 221≤( a ＋b) .4令 a ＋ b ＝ t(t>0)，所以 t ＋ 1≤ 1t 2，解得 t ≥2＋ 2 2，4 即 a ＋ b ≥ 2 2＋ 2.当且仅当 a ＝ b ＝ 1＋ 2时取等号．答案 ： 2 2＋ 25．函数 y ＝log a (x ＋ 3)－ 1(a>0， a ≠ 1)的图象恒过定点 A ，若点 A 在直线 mx ＋ ny ＋ 1＝ 0 上，其中 m ，n>0 ，则 m 1＋ 2n 的最小值为 ________．解析 ：函数 y ＝ log (x ＋ 3)－ 1(a>0 ，a ≠1)的图象恒过定点A( －2，－ 1)，且点 A 在直线 mx ＋ny＋ 1＝ 0 上，∴2m＋n＝ 1， m， n>0，1212∴m＋n＝m＋n·(2m＋n)＝4＋n4m n 4m＝8，＋≥ 4＋ 2·m n m n2m＋n＝ 1，1，m＝4当且仅当n ＝4m，即时等号成立．1m nn＝2答案： 8＋6．已知 a， b， c∈ R ，且 a＋ b＋ c＝ 1.求证：1a＋1b＋1c≥ 9.证明：∵ a， b， c∈ R＋，且 a＋ b＋ c＝ 1，∴1＋1＋1a b c＝a＋ b＋ c＋ a＋ b＋ c＋ a＋ b＋ ca b c＝3＋b＋a＋c＋a＋c＋b a ba cb c≥3＋ 2＋ 2＋ 2＝ 9.1当且仅当a＝ b＝ c＝时等号成立．。

3.4 基本不等式：√ab≤（a+b）2（二）[学习目标] 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点一基本不等式求最值1．理论依据：(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为s2 4 .(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2p.2．基本不等式求最值的条件：(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．3．利用基本不等式求最值需注意的问题：(1)各数(或式)均为正．(2)和或积为定值．(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．知识点二基本不等式在实际中的应用基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题．解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论．题型一利用基本不等式求最值例1 (1)已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1(2)已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为____．(3)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为____．答案 (1)D (2)－2 (3)3解析 (1)f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝（x －2）2＋12（x －2）＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2）＋1x －2≥1.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． (2)y ＝t 2＋1－4t t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1或t ＝－1(舍)时，等号成立，∴y 的最小值为－2.(3)xy ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3·y 4≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 3＋y 422＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3， 当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时，等号成立，∴xy 的最大值为3.反思与感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件． 跟踪训练1 (1)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知x ，y 为正数，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________．答案 (1)D (2)3＋2 2 解析 (1)a 2＋1ab＋1a （a －b ）＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a （a －b ）＝a (a －b )＋1a （a －b ）＋ab ＋1ab≥2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1， 即a ＝2，b ＝22时取“＝”． (2)由2x ＋y ＝1，得1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋yy＝3＋y x＋2xy ≥3＋2 y x ·2xy＝3＋22， 当且仅当y x ＝2xy，即x ＝2－22，y ＝2－1时，等号成立．题型二 基本不等式的综合应用例2 (1)已知x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e 答案 C解析 由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝14ln x ln y ，∴ln x ln y ＝14，∵x ＞1，y ＞1，∴ln x ln y ＞0， 又ln(xy )＝ln x ln y ≥2ln x ln y ＝1， ∴xy ≥e ，即xy 有最小值为e. (2)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围．解 设f (x )＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3，∵x ＞0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15，∴a ≥15.反思与感悟将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有： (1)f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min . (2)f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max .跟踪训练2 (1)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．2B ．4C ．1 D.12(2)函数y ＝kx ＋2k －1的图象恒过定点A ，若点A 又在直线mx ＋ny ＋1＝0上，则mn 的最大值为________． 答案 (1)B (2)18解析 (1)由题意得，3a·3b＝(3)2，即a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab ＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立．(2)y ＝k (x ＋2)－1必经过(－2，－1)，即点A (－2，－1)， 代入得－2m －n ＋1＝0， ∴2m ＋n ＝1，∴mn ＝12(2mn )≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋n 22＝18，当且仅当2m ＝n ＝12时，等号成立．题型三 基本不等式的实际应用例3 要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值． 解 设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，ab ＝9 000.① 广告的高为a ＋20，宽为2b ＋25，其中a ＞0，b ＞0. 广告的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500 ＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ×40b ＝18 500＋2 1 000ab ＝24 500.当且仅当25a ＝40b 时，等号成立，此时b ＝58a ，代入①式得a ＝120，从而b ＝75，即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500，故广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小，最小值为24 500 cm 2. 反思与感悟 利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，应用基本不等式求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案．跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时． 答案 8解析 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v＝400v ＋16v 400≥2 400v ×16v400＝8(小时)， 当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时，等号成立，此时t ＝8小时．1．下列函数中，最小值为4的函数是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)C ．y ＝e x＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 81 答案 C解析 A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C.2．函数y ＝x 2－x ＋1x －1(x ＞1)在x ＝t 处取得最小值，则t 等于( )A ．1＋ 2B ．2C ．3D ．4 答案 B 解析 y ＝x （x －1）＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3， 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m 答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C. 4．函数f (x )＝x (4－2x )的最大值为________． 答案 2解析 ①当x ∈(0，2)时，x ，4－2x ＞0， f (x )＝x (4－2x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（4－2x ）22＝2，当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时，等号成立． ②当x ≤0或x ≥2时，f (x )≤0，故f (x )max ＝2.5．当x ＜54时，函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值为________．答案 1解析 ∵x ＜54，∴4x －5＜0，∴y ＝4x －5＋14x －5＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（5－4x ）＋15－4x ＋3 ≤－2（5－4x ）·15－4x＋3＝1当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．1.用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px(p >0)的单调性求得函数的最值． 2．求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．。