与椭圆的离心率有关的问题

离心率问题的7种题型和15种方法离心率（eccentricity）是描述椭圆轨道形状的一个重要参数，它的大小决定了行星或卫星轨道的偏心程度。

在天文学、航天学等相关领域，经常需要解决各种与离心率相关的问题，下面我们将介绍离心率问题的7种常见题型和15种解题方法。

一、离心率的定义及性质离心率是描述椭圆轨道形状的一个参数，它等于椭圆长半轴和短半轴之差的一半与长半轴的比值。

离心率的取值范围为0到1之间，当离心率为0时，椭圆变成了一个圆，当离心率为1时，椭圆变成了一条直线。

离心率越大，椭圆的形状越扁平，轨道越偏心。

二、离心率问题的7种题型1. 求给定离心率的椭圆的半长轴和半短轴长度；2. 已知椭圆的长半轴和离心率，求短半轴长度；3. 已知椭圆的长半轴和短半轴长度，求离心率；4. 求给定行星或卫星的轨道离心率；5. 已知行星或卫星轨道的离心率和半长轴长度，求轨道的半短轴长度；6. 已知行星或卫星的轨道离心率和半短轴长度，求轨道的半长轴长度；7. 求给定行星或卫星的轨道周期。

三、离心率问题的15种解题方法1. 利用椭圆轨道的定义和性质，直接计算出椭圆的长短半轴；2. 利用椭圆的面积和周长公式计算出椭圆的长短半轴；3. 利用行星或卫星的轨道速度和距离公式计算出轨道离心率；4. 利用行星或卫星的轨道周期和距离公式计算出轨道离心率；5. 利用行星或卫星的轨道半径和速度公式计算出轨道离心率；6. 利用行星或卫星在轨道上的最高点和最低点的距离差和总距离计算出轨道离心率；7. 利用行星或卫星的轨道焦点距离和长轴长度计算出轨道离心率；8. 利用行星或卫星的轨道高度、速度和引力公式计算出轨道离心率；9. 利用行星或卫星的轨道高度、周期和引力公式计算出轨道离心率；10. 利用行星或卫星的轨道高度、半径和引力公式计算出轨道离心率；11. 利用行星或卫星的轨道平均速度和最高、最低速度之比计算出轨道离心率；12. 利用行星或卫星在轨道上的最高点和最低点速度之比计算出轨道离心率；13. 利用行星或卫星在轨道上的最高点和最低点的动能之比计算出轨道离心率；14. 利用行星或卫星在轨道上的最高点和最低点的势能之比计算出轨道离心率；15. 利用行星或卫星的轨道半径、质量和速度计算出轨道离心率。

求椭圆离心率范围的常见题型及解析解析解题关键：挖掘题中的隐含条件，构造关于离心率e的不等式。

一、利用曲线的范围，建立不等关系已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$右顶点为A，点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。

小改写：已知椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，右顶点为A，点P在椭圆上，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。

二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足所有点P总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）。

小改写：已知F1、F2是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的两个焦点，满足所有点P总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）。

三、利用点与椭圆的位置关系，建立不等关系已知$\triangle ABC$的顶点B为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$短轴的一个端点，另两个顶点也在椭圆上，若$\triangle ABC$的重心恰好为椭圆的一个焦点F(c,0)，求椭圆离心率的范围。

小改写：已知椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，短轴的一个端点为B，另两个顶点也在椭圆上，$\triangle ABC$的重心恰好为椭圆的一个焦点F(c,0)，求椭圆离心率的范围。

四、利用函数的值域，建立不等关系椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$与直线$x+y-1=0$相交于A、B两点，且OA·OB=（O为原点），若椭圆长轴长的取值范围为$[5,6]$，求椭圆离心率的范围。

一、椭恻离心率的1.运川几何图形中线段的几何意义。

基础题目：如图• 0为椭圆的中心，F为焦点• A为顶点，准线L交0A于B. P、Q在椭恻上• PD丄L于D.QFIAD于F,设椭圆的离心率为e.则（!）*晋卞②^罟禺算④*+|吕厂、I F0 I⑤ *1757评：AQP为椭圆上的点•根据椭圆的第一定义得，V I A0 I =a, I OF I =c,・••有⑤：Tl AO I =aU BO I =辛.••有③。

题目1：椭圆务+^l（a>b>0）的两焦点为F, . F2 •以F1F2为边作正三角形.若椭圆恰好平分正三角形的两边.则椭圆的离心率e思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2的中点B.连接8F_把已知条件放在椭圆内•构造△RBF2分析三角形的^^^边长及关系。

解：V I F1F2 I =2c I BF1 I =c I BFz I =©C c-K/3c=2a Ae= yjs-l*2 u2变形椭圆农+h=lSb>0）的两儘点为F1、F2 •点P在椭圆上，使△OPF1为正三角形•求椭恻离心解：连接 PF2测 I OF2 I = I OFJ = I OP I ,ZF I PF2 =90^ 图形如上图，y2变形2:椭圆农+^i(a>b>0)的两焦点为F 八Fz . AB 为椭恻的顶点.P 是椭圆上一点•且PF 】丄X 轴.tP•■TP Fl I = — I Fa Fl I =2c I OB I =b I OA I =a "AB •■- I F X' I ■夕 又"b=毎疋•'•a2=5c2 e=¥ 点评：以上题目，构造焦点三角形・通过#边的几何总义及关系，推寻有关a 与C 的方程式，推导离心率。

一、运用正余弦定理解决图形中的三角形y2 \i2题目2：椭圆+^l(a>b>0), A 是左顶点.F 是右焦点.B 是短轴的一个顶点.ZA8F=90" ■求ePF2 〃 AB,求椭圆离心率解: PF2根据和比性质:I FiP I + I PF2 I sinFiFzP+sin PF1F22c ZPFiFa =75 * Z PF2Fi=15「 5in9(r V e* sin75“ +5inl5' " 3点评：在焦点三角形中・使用第一定义和正弦定理可知X2 v2变形 h 椭圆+^l(a>b>O)rrj 两焦点为 Fl (-C. 0)、F2 (c,0), P 是椭圆上一点，且ZFiPF ； =60 .求 e 的取值范ra解 S I AO I =3 I OF I =C I BF I =a I AB I 而 a^b^+a^ =(a+c)2 =$2+2合c+c2 aJ ：2・ac=0 两边同除以 aPe^+e-l=0 e=—e - '-护(舍去)变形:椭+^l{a>b>0). e=2号E A 是左顶点，F 是右焦点.B 是短轴的一个顶点，求ZABF 点评: 此题是上一题的条件与结论的互换•解题中分析各边.由余弦定理解决角的问題。

椭圆的离心率专题训练一．选择题（共29小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C． D．4．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A． B．C． D．5．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A． B．C．D．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B． C．D．8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A．B．2﹣C．2（2﹣）D．9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．或10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．13．（2015•高安市校级模拟）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C． D．一l14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A． B． C．D．15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A．B．C． D．18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）19．点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A． B． C． D．﹣120．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]21．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）22．设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6D．9﹣623．直线y=kx与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，1）24．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，]B．（0，]C．[，1）D．[，]25．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A． B． C．D．27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B 在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）28．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B． C．D．29．已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C． D．参考答案与试题解析一．选择题（共29小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．解答：解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e ＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b ，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A ．B ．C ．D ．解解：∵表示焦点在x 轴上且离心率小于，答：∴a＞b＞0，a＜2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==，故选B．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．解解：已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，答：F为其右焦点，设左焦点为：N则：连接AF，AN，AF，BF所以：四边形AFNB为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a∠ABF=α，则：∠ANF=α．所以：2a=2ccosα+2csinα利用e==所以：则：即：椭圆离心率e的取值范围为[]故选：A4．斜率为的直线l 与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．解答：解：两个交点横坐标是﹣c，c所以两个交点分别为（﹣c ，﹣c）（c ，c）代入椭圆=1两边乘2a2b2则c2（2b2+a2）=2a2b2∵b2=a2﹣c2c2（3a2﹣2c2）=2a^4﹣2a2c22a^4﹣5a2c2+2c^4=0（2a2﹣c2）（a2﹣2c2）=0=2，或∵0＜e＜1所以e==故选A5．设椭圆C ：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．解解：设|PF2|=x，答：∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选A．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I ，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A ．B ．C ．D ．解答：解：设P（x0，y0），∵G为△F1PF2的重心，∴G点坐标为 G （，），∵，∴IG∥x轴，∴I 的纵坐标为，在焦点△F1PF2中，|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴=•|F1F2|•|y0|又∵I为△F1PF2的内心，∴I 的纵坐标即为内切圆半径，内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形∴=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||∴•|F1F2|•|y0|=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||即×2c•|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率e==故选A7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．解答：解：设P（m，n ），=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2，∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2①．把P（m，n ）代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得m2=≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又 m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，故a2﹣2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选：C．8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A ．B．2﹣C．2（2﹣）D ．解解：如图，答：在Rt△MF1F2中，∠MF2F1=60°，F1F2=2c∴MF2=4c，MF1=2 cMF1+MF2=4c+2c=2a⇒e==2﹣，故选B．9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P 满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．或解答：解：∵椭圆C上的点P 满足，∴|PF1|==3c，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF2|=2a﹣3c．利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a﹣3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣3c，化为．∴椭圆C的离心率e 的取值范围是．故选：C．10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．解答：解：F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，设P（x1，y1），则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°==，解得x12=．∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1∴e=≥．故椭圆离心率的取范围是 e ∈．故选A．11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P ，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C ．D ．解答：解：设P（asinα，bcosα），A1（﹣a，0），A2（a，0）；∴，；∴；∴；∴，a，c＞0；∴解得；∴该椭圆的离心率的范围是（）．故选：C．12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A ．B ．C ．D ．解答：解：设椭圆（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0），|MF2|=|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得|NF2|=2a﹣|NF1|=2a﹣3，|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，即a﹣c=2，①取MF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥MN，由勾股定理可得|MF2|2﹣|MK|2=|NF2|2﹣|NK|2，即为4c2﹣4=（2a﹣3）2﹣25，化简即为a+c=12，②由①②解得a=7，c=5，则离心率e==．故选：D．13．椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F 关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．一l解：设F（﹣c，0）关于直线x+y=0的对称点A（m，n），则解答：，∴m=，n=c，代入椭圆方程可得，化简可得e4﹣8e2+4=0，∴e=﹣1，故选：D．14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．解答：解：F 1，F 2分别为椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），（c ＞0），P 为椭圆上一点，且PF 2垂直于x 轴．若|F 1F 2|=2|PF 2|， 可得2c=2，即ac=b 2=a 2﹣c 2．可得e 2+e ﹣1=0． 解得e=．故选：D ． 15．已知椭圆（a ＞b ＞0）的两焦点分别是F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于P ，Q 两点，若|PF 2|=|F 1F 2|，且2|PF 1|=3|QF 1|，则椭圆的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ．解答： 解：由题意作图如右图，l 1，l 2是椭圆的准线，设点Q （x 0，y 0），∵2|PF 1|=3|QF 1|，∴点P （﹣c ﹣x 0，﹣y 0）； 又∵|PF 1|=|MP|，|QF 1|=|QA|， ∴2|MP|=3|QA|， 又∵|MP|=﹣c ﹣x 0+，|QA|=x 0+，∴3（x 0+）=2（﹣c ﹣x 0+），解得，x 0=﹣，∵|PF 2|=|F 1F 2|， ∴（c+x 0+）=2c ； 将x 0=﹣代入化简可得，3a 2+5c 2﹣8ac=0， 即5﹣8+3=0；解得，=1（舍去）或=；故选：A．16．已知椭圆C ：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y 轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．解答：解：如图所示，在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．又|MF2|=2|OA|，在Rt△OMF2中，∴∠AF2F1=60°，在Rt△AF1F2中，|AF2|=c，|AF1|=c．∴2a=c+c，∴=﹣1．故选：C．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A ．B ．C ．D ．解答：解：∵|MF1|=|MO|=|MF2|，由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF2|=3|MF2|，即|MF2|=a，|MF1|=a，在△F1OM中，|F1O|=c，|F1M|=a，|OM|=a，则cos∠MOF1==，在△OF2M中，|F2O|=c，|M0|=|F2M|=a，则cos∠MOF2==，由∠MOF1=180°﹣∠MOF2得：cos∠MOF1+co s∠MOF2=0，即为+=0，整理得：3c2﹣2a2=0，即=，即e2=，即有e=．故选：D．18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）解答：解：由已知P （，y），得F1P的中点Q 的坐标为（），∴，∵，∴y2=2b2﹣，∴y2=（a2﹣c2）（3﹣）＞0，∴3﹣＞0，∵0＜e＜1，∴＜e＜1．故选：C．19．点F 为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．﹣1解答：解：如下图所示：设椭圆的右焦点为F，根据椭圆的对称性，得直线OP的斜率为k=tan60°=，∴点P坐标为：（c ，c），代人椭圆的标准方程，得，∴b2c2+3a2c2=4a2b2，∴e=．故选：D．20．已知椭圆C ：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O 的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]解答：解：如图所示，连接OE，OF，OM，∵△MEF为正三角形，∴∠OME=30°，∴OM=2b，则2b≤a，∴，∴椭圆C的离心率e==．又e＜1．∴椭圆C 的离心率的取值范围是．故选：C．21．在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）解答：解：如图所示，设椭圆的右焦点F（c，0），代入椭圆的标准方程可得：，取y=，A．∵△ABC是锐角三角形，∴∠BAD＜45°，∴1＞，化为，解得．故选：A．22．设F1、F2为椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6D．9﹣6解答：解：可设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a，则|AF2|=2a﹣m=（2）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4（2﹣）2a2+4（）2a2，即有c2=（9﹣6）a2，即有e2==9﹣6．故选D．23．直线y=kx与椭圆C ：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，1）解答：解：设F2是椭圆的右焦点．∵•=0，∴BF⊥AF，∵O点为AB的中点，OF=OF2．∴四边形AFBF2是平行四边形，∴四边形AFBF2是矩形．如图所示，设∠ABF=θ，∵BF=2ccosθ，BF2=AF=2csinθ，BF+BF2=2a，∴2ccosθ+2csinθ=2a，∴e=，sinθ+cosθ=，∵θ∈（0，]，∴∈，∴∈．∴∈，∴e ∈．故选：D．24．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，]B．（0，]C．[，1）D．[，]解答：解：设P（x0，y0），则2c2==（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=+，化为．又，∴=，∵，∴，∵b2=a2﹣c2，∴，∴．故选：A．25．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．解答：解：设P（x0，y0），则，∴=．∵，∴（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=c2，化为=c2，∴=2c2，化为=，∵，∴0≤≤a2，解得．故选：D．26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A ．B ．C ．D ．解答：解：由题意知c=1，离心率e=，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则c=1，∵P在直线l：y=x+2上移动，∴2a=|PA|+|PB|．过A作直线y=x+2的对称点C，设C（m，n），则由，解得，即有C（﹣2，1），则此时2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时a 有最小值，对应的离心率e 有最大值，故选C．27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B 在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k ＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）解解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，答：∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k ＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．28．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B 使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．解答：解：连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，∵∠BPA=，∠APO=∠BPO=，在直角三角形OAP 中，∠AOP=，∴cos∠AOP==，∴|OP|==2b，∴b＜|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，即4（a2﹣c2）≤a2，∴3a2≤4c2，即，∴，又0＜e＜1，∴≤e＜1，∴椭圆C的离心率的取值范围是[，1），故选：A．29．已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A ．B ．C ．D ．解答：解：①当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|MO2|+|MO1|=4﹣r=2a，∴e1=．②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，|MO1|+|MO2|=4+r=2a′，∴e2=∴e1+2e2=+=，令12﹣r=t（10＜t＜12），e1+2e2=2×≥2×==故选：A．。

椭圆中的离心率最值问题作者：柯淑芳来源：《高中生学习·高二版》2016年第03期椭圆中的离心率最值问题是解析几何中的重点和难点，往往借助于图形的性质、椭圆的范围、正余弦函数的有界性、均值不等式等来构造关于a，b，c的不等式，从而达到求解的目的. 本文主要研究如何利用椭圆焦点三角形中的角求解椭圆中的离心率最值问题.首先给出一些关于椭圆焦点三角形的相关概念和性质如下：椭圆上任意一点P与两焦点所构成的三角形，称为焦点三角形.性质1 若[F1，F2]是椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的两个焦点，[P]是椭圆上一点，且[∠F1PF2=θ]，则[SΔF1PF2=b2tanθ2].[P][F1][F2][x][y][θ] [O]证明设[PF1=m]，[PF2=n]，由余弦定理得[m2+n2-2mncosθ=F1F22=4c2，]由椭圆定义得[m+n=2a，]由上得：[mn=2（a2-c2）1+cosθ=2b21+cosθ]，[∴][SΔF1PF2=12mnsinθ=b2sinθ1+cosθ=b2tanθ2].性质2 已知椭圆方程为[x2a2+y2b2=1（a>b>0），]两焦点分别为[F1，F2，]设焦点三角形[PF1F2]中[∠F1PF2=θ，]则[cosθ≥1-2e2]（当且仅当动点为短轴端点时取等号）.证明在[△F1PF2]中，由余弦定理可知[cos∠F1PF2=PF12+PF22-F1F222PF1∙PF2][=（PF1+PF2）2-2PF1∙PF2-4c22PF1∙PF2][=2a2-2c2PF1∙PF2-1≥2a2-2c2PF1+PF222-1][=2a2-2c2a2-1=1-2e2].性质3 已知[B]为椭圆短轴的端点，[F1，F2]为椭圆的两个焦点，[O]为坐标原点.①[sin∠F1BO=ca=e]，②[P]为椭圆上任意一点，当[P]位于短轴端点时[∠F1PF2]达到最大值即[∠F1BF2≥∠F1PF2].[P][B][F1][F2][x][y][θ] [O]例1 [F1，F2]为椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左右焦点，若椭圆上存在点[P]，使得[∠F1PF2=π2]，求椭圆离心率[e]的取值范围.解法一设[B]为椭圆短轴上的一个端点，则[∠F1BF2≥∠F1PF2=π2].所以，[∠F1BO≥π4].所以，[sin∠F1BO=ca=e≥22].又因为[0解法二利用余弦定理，∵[∠F1BF2≥90°]，∴[cos∠F1BF2=a2+a2-4c22a2≤0]，即[a2≤2c2]，∴[e=ca≥22]，∴[e∈22，1].解法三由焦点三角形的性质可知[S△F1PF2=b2tan45°]，∴[b2≤S△F1PF2=12∙2c∙b=bc]，即[b≤c]，∴[b2≤c2]，∴[a2-c2≤c2]，∴[e∈22，1].解法四由焦半径公式得[PF1=a+ex0]，[PF2=a-ex0]，由勾股定理得[（a+ex0）2+（a-ex0）2=4c2]，即[x02=2a2-a2c2≥0]，∴[e=ca≥22]，∴[e∈22，1].解法五利用均值不等式，设[PF1=m，PF2=n]，∴[m2+n2=4c2]，又[2a=m+n]，∴[4a2=m2+n2+2mn≤2（m2+n2）=8c2]，即[a2≤2c2]，∴[e=c a≥22]，∴[e∈22，1] .点评在这五种解题方法中，主要从两个方向构造不等式最终得到椭圆离心率的最值，一个是角度（如解法一、二、三），另一个是长度（如解法四和五）. 显然，用长度构造计算量稍大些；用角度构造，特别是利用焦点三角形的性质直接计算简单方便得多.下面看看利用椭圆焦点三角形的角度求离心率最值的应用.例2 已知椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的两焦点分别为[F1，F2，]若椭圆上存在一点[P，]使得[∠F1PF2=120°，]求椭圆的离心率[e]的取值范围.解析由椭圆焦点三角形性质可知[cos120°≥1-2e2，] 即[-12≥1-2e2]，于是得到[e]的取值范围是[32，1].例3 [F1，F2]为椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左右焦点，[P]是椭圆上一点，且[SΔPF1F2=33b2]，求椭圆离心率[e]的取值范围.解析由焦点三角形的性质得[SΔPF1F2=b2×tan12∠F1PF2]，可以得到[∠F1PF2=π3]，∴[cosπ3≥1-2e2]，即[12≥1-2e2]，∴[e∈12，1].总之，利用椭圆焦点三角形中的角求椭圆中的离心率最值可以更加简便，为我们节省了解题的时间，而归根到底椭圆焦点三角形的角的特殊性质还是抓住课本——椭圆的定义[PF1+PF2=2a][2a>F1F2]，再结合正余弦定理或勾股定理，由边的关系找出a与c的关系，从而求出离心率的最值或取值范围.。

专题4 椭圆中的离心率问题一、选择题1.已知椭圆 ()2222:10x y C a b a b+=>>的上顶点为A ，左、右两焦点分别为12,F F ,若12AF F ∆为等边三角形，则椭圆C 的离心率为（ ）A.12B.C.13D.2.若12,F F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，当12PF PF ⊥,且1230PF F ∠=︒,则椭圆的离心率为（ ）A.1B.C. 1D.3.若椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，线段12F F 被抛物线 ()220y bx b =>的焦点分成5：3的两段，则此椭圆的离心率为（ ）A.1617B.C.45D.4.如图，己知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆C 上一点，12PF PF ⊥，直线1PF 与y 轴交于点Q ，若4bOQ =,则椭圆C 的离心率为（ ）A.B.C.12D.235.已知ABCDEF 为正六边形，若A 、D 为椭圆W 的焦点，且B 、C 、E 、F 都在椭圆W 上，则椭圆W 的离心率为( )A.1B. 1C.D.6.如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，A ，B 分别为椭圆的上、下顶点，P 是椭圆上一点，AP //BF 、|AF |=|PB |,记椭圆的离心率为e ，则2e = ( ).A.B.C.12D.7.设椭圆()2222:12x y C a a b+=>的左、右焦点分别为12,F F ，直线l y x t =+：交椭圆C 于点A ，B ，若1F AB ∆的周长的最大值为12，则C 的离心率为( )A.B.C.D.598.设F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点，P 是C 上的点，圆2229a x y +=与直线PF交于A ，B 两点，若A ，B 是线段PF 的两个三等分点，则C 的离心率为（ ）A.B.C.D.二、多选题9.椭圆 ()2222:10x y C a b a b+=>>, 12,F F 分别为左、右焦点，12,A A 分别为左、右顶点，P 为椭圆上的动点，且12120PF PF PA PA ⋅+⋅≥恒成立，则椭圆C 的离心率可能为（ ）A.12B.C.D.10.已知椭圆 ()2222:10x y C a b a b+=>> 的左右焦点分别12F F 、，过1F 且斜率为2的直线交椭圆E 于p 、Q 两点，若12PF F ∆为直角三角形，则该椭圆C 的离心率e =（ ）A.1B.C. 1D.11.已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ,，若椭圆M 与坐标轴分别交于A ，B ，C ，D 四点，且从12F F ,，A ，B ，C ，D 这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M 的离心率的可能取值为（ ）A.B.C.D.12.的椭圆为“黄金椭圆”，如图，已知椭圆 ()2222:10x y C a b a b+=>>,12A A ,分别为左、右顶点，12B B ,分别为上、下顶点，12F F ,分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ） A. 2112212A F F A F F ⋅=B. 11290F B A ∠=︒C. 1PF x ⊥轴，且21//PO A BD. 四边形221AB A B 的内切圆过焦点12F F ,三、填空题13.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>,左焦点F (-c ，0)，右顶点A (a ，0)，上顶点B (0，b )，满足0FB AB ⋅=则椭圆的离心率为＿＿＿＿＿.14.椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>, 以原点为圆心，半径为椭圆C 的半焦距的圆恰与椭圆四个项点围成的四边形的四边都相切，则椭圆C 的离心率为_______.15.如图，过原点O 的直线AB 交椭圆()2222:10x y C a b a b+=>> 于A ，B 两点，过点A 分别作x 轴、AB 的垂线AP ，AQ 分别交椭圆C 于点P ，Q ，连接BQ 交AP 于一点M ，若34AM AP =,则椭圆C 的离心率是________.16.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F ,，点P 在椭圆上且同时满足；①12F F P ∆是等腰三角形；②12F F P ∆是纯角三角形；③线段12F F 为12F F P ∆的腰；④椭圆C 上恰好有4个不同的点P .则椭圆C 的离心率的取值范围是_______. 【提高题】 一、选择题1.10的化简结果为（ ）A. 2212516x y +=B. 2212516y x +=C. 221259x y +=D. 221259y x +=2.如果方程22143x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A. ()3,4B. 7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. 73,2⎛⎫⎪⎝⎭D. 7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭3.“1<m <5”是“方程 22215x y m m+=--表示椭圆”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设定点 (()()120,3, 0,3F F -.动点P 满足条件()1290PF a PF a a-=->则点P 的轨迹是（ ） A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段5.(多选题)己知P 是椭圆 22197x y +=上一点，椭圆的左、右焦点分别为12F F ,，且121cos 3F PF ∠=,则（ ）A. 12PF F ∆的周长为12B. 1PF F S ∆=C.点P 到x 轴的距离为D. 122PF PF ⋅=6.(多选题)设P 是椭圆22:12x C y +=上任意一点12F F ,是椭圆C 的左、右焦点，则（ ）A. 12PF PF +=B. 1222PF PF -<-<C.1212PF PF ≤⋅≤D. 2101PF PF ≤⋅≤二、填空题7.在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (-3，0)和C (3，0)，顶点B 在椭圆 2212516x y +=上，则sin sin 2sin A CB+=___________.8.已知 12F F ,是椭圆 22197x y +=的两个焦点A 为椭圆上一点，且12AF F ∠=45°，则12AF F ∆的面积为＿＿＿，此时 2AF =________.9.如图把椭圆 2212616x y += 的长轴AB 分成8等分，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于127P P P ⋯，，，七个点，F 是椭圆的焦点，则127PFP F P F +++=______.10.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F (1，0)，A ，B 为椭圆C 的左右顶点，且3AF FB =，则椭圆C 的方程为______.三、解答题11.如图所示，在圆()22:125C x y ++=内有一点A (1，0).Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程.12.如图，椭圆 ()2222:10x y C a b a b +=>>经过点41,33M ⎛⎫⎪⎝⎭且点M 到椭圆的两焦点的距离之和为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若R , S 是椭圆C 上的两个点线段RS 的中垂线l 的斜率为12且直线)与BS 交于点P , O 为坐标原点，求证：P 、O 、M 三点共线.。

求离心率的范围问题求离心率范围的方法 一、建立不等式法：1.利用曲线的范围建立不等关系。

2.利用线段长度的大小建立不等关系。

F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]；F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，|PF 1|≥c －a .3.利用角度长度的大小建立不等关系。

4.利用题目不等关系建立不等关系。

5. 利用判别式建立不等关系。

6.利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系。

7.利用基本不等式，建立不等关系。

二、函数法：1. 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2.通过确定函数的定义域；3.利用函数求值域的方法求解离心率的范围.练习利用曲线的范围建立不等关系1.F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，求椭圆的离心率的取值范围.2.A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA = , 则椭圆离心率的范围是_________.3.设12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,且12||2F F c =,若椭圆上存在点P 使得212||||2PF PF c ⋅=,则椭圆的离心率的最小值为（ ）A ．12B ．13 C．2 D．32π4.5.设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 6．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭利用线段长度的大小建立不等关系7. 设点P 在双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的右支上，双曲线两焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。

目录题型一:椭圆离心率的求值 2方法一：定义法求离心率 2方法二：运用通径求离心率 3方法三：运用e=e=1+k2λ-1λ+1求离心率 4方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα+sinβ求离心率 4方法五：运用k OM⋅k AB=-b2a2求离心率 5方法六：运用正弦定理、余弦定理、三角函数求离心率 6方法七：运用相似比求离心率 6方法八：求出点的坐标带入椭圆方程建立等式 7方法九：运用几何关系求离心率 7题型二:双曲线离心率的求解 9方法一：定义法关系求离心率 10方法二：运用渐近线求离心率 10方法三：运用e=1+k2λ-1λ+1求离心率 11方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα-sinβ求离心率 11方法五：运用结论k OM•k AB=b2a2求离心率 12方法六：运用几何关系求离心率 13题型三:椭圆、双曲线离心率综合运用 15题型四:根据已知不等式求离心率的取值范围 17题型五:根据顶角建立不等式求离心率范围 18题型六:根据焦半径范围求离心率范围 19题型七:题型七根据渐近线求离心率的取值范围 21离心率问题的7种题型15种方法1离心率问题的7种题型15种方法求离心率常用公式椭圆公式1:e =ca 公式2:e =1-b 2a2证明：e =c a=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1-b 2a 2公式3:已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),两焦点分别为F 1,F 2,设焦点三角形PF 1F 2，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,则椭圆的离心率e =sin (α+β)sin α+sin β证明：∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,由正弦定理得：F 1F 2 sin (180o −α−β)=PF 2 sin α=PF 1sin β由等比定理得：F 1F 2 sin (α+β)=PF 1 +PF 2 sin α+sin β，即2c sin (α+β)=2a sin α+sin β∴e =c a =sin (α+β)sin α+sin β。

椭圆的离心率与几何性质角，则该椭圆的离心率为 .2.若椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点可构成一个等边三角形,则椭圆的离心率为（ ）1123. . . .4222A B C D 3.在一椭圆中以焦点F 1、F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e 等于（ ）.秒杀秘籍：椭圆离心率的计算定义：如图所示，P 为椭圆的上顶点，令122,PF F OPF αθ∠=∠=，离心率就是sin cos ce aθα=== 例1：已知直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点和一个焦点,那么这个椭圆的方程为____________________,离心率为_______. 解：()()220;2,00,1x y -+=∴-直线过点；,故过椭圆的上顶点和左焦点，根据图形可得2,1,5c b a ===；故椭圆方程为2215x y +=，255c e a ==椭圆顶点三角形与离心率：如右图，2tan 1be aα==-， 例2：椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的四个顶点为A 、B 、C 、D ,若菱形ABCD 的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率是( ) A.253- B.853+ C. 215- D.815+解：根据图形可得22222tan b c c b ac a c ac a ba c α===⇒=⇒-=-； 即22251110,2c c e e e a a --=⇒+-==（黄金椭圆2b ac =）半通径的焦点三角形与离心率：如右图，过椭圆右焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于点P ，则22b PF a =，12,F PF α∠=222222221cos 12bab a ac e a c ea α--===++- 例3：设椭圆的两个焦点分别为1F ,2F ,过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△12F PF 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为__________ .解：根据图形可得()22222212cos 21122e e e e α--==⇒=⇒=-+ 例4：椭圆221123x y +=的两个焦点为F 1，F 2, 点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 1|是|PF 2|的 倍。