纯代数问题(已排本)

近世代数复习题及答案1. 群的定义是什么？请给出一个例子。

答案：群是一个集合G，配合一个运算*，满足以下四个条件：封闭性、结合律、单位元的存在性、逆元的存在性。

例如，整数集合Z在加法运算下构成一个群。

2. 什么是子群？如何判断一个子集是否为子群？答案：子群是群G的一个非空子集H，使得H中的元素在G的运算下满足群的四个条件。

判断一个子集是否为子群，需要验证它是否在群运算下封闭，是否包含单位元，以及每个元素是否有逆元。

3. 什么是正规子群？请给出一个例子。

答案：正规子群是群G的一个子群N，对于G中任意元素g和N中任意元素n，都有gng^-1属于N。

例如，整数集合Z在加法运算下的子群2Z（所有偶数的集合）是一个正规子群。

4. 什么是群的同态？请给出一个例子。

答案：群的同态是两个群G和H之间的函数φ，使得对于G中任意两个元素a和b，都有φ(a*b) = φ(a) * φ(b)。

例如，函数φ: Z → Z_2定义为φ(n) = n mod 2，是整数群Z到模2整数群Z_2的一个同态。

5. 什么是群的同构？请给出一个例子。

答案：群的同构是两个群G和H之间的双射同态。

这意味着G和H不仅满足相同的群运算规则，而且它们之间存在一一对应关系。

例如，群Z_3（模3整数群）和群{1, -1}在乘法下构成的群是同构的。

6. 什么是环？请给出一个例子。

答案：环是一个集合R，配合两个运算+和*，满足以下条件：(R, +)是一个交换群，(R, *)满足结合律，且乘法对加法满足分配律。

例如，整数集合Z在通常的加法和乘法运算下构成一个环。

7. 什么是理想？如何判断一个子集是否为理想？答案：理想是环R的一个子集I，满足以下条件：I在加法下封闭，对于R中任意元素r和I中任意元素i，都有ri和ir属于I。

判断一个子集是否为理想，需要验证它是否在加法下封闭，以及是否满足吸收性质。

8. 什么是环的同态？请给出一个例子。

答案：环的同态是两个环R和S之间的函数φ，使得对于R中任意两个元素a和b，都有φ(a+b) = φ(a) + φ(b)和φ(a*b) = φ(a) * φ(b)。

第十五章：4.解：(1)封闭。

有消去律，不具有单位元和零元。

(2)封闭。

该运算只具有交换律、结合律和消去律。

单位元是1，没有零元。

(3)加法不封闭，乘法封闭。

乘法具有交换律、结合律和消去律。

乘法单元是1，没有零元。

(4)矩阵加法和乘法都封闭。

矩阵加法满足交换律、结合律和消去律；矩阵乘法满足结合律。

矩阵乘法对加法满足分配律。

仅当n=1时(平凡的情况)，矩阵乘法还满足交换律和消去律。

矩阵加法的单位元为n阶全0矩阵，没有零元；矩阵陈发的单位元为n阶单位矩阵，零元为n阶全0矩阵。

(5)实可逆矩阵的加法不封闭，而乘法封闭。

陈发满足结合律和消去律，单位元为n阶单位矩阵，没有零元。

仅当n=1时(平凡的情况)，矩阵陈发满足交换律。

(6)加法和乘法都封闭。

加法和乘法都满足交换律、结合律与消去律；此外，乘法对加法满足分配律。

加法的单位元是0，没有零元。

乘法的零元是0.仅当n=1时，陈发单位元是1.(7)不封闭。

(8)封闭。

运算满足结合律和幂等律。

仅当n=1时，运算满足交换律和消去律，并且单位元和零元都是a1.(9)封闭。

对于一般集合A，合成运算满足结合律。

单位元为I A,零元为∅。

当|A|=0,R(A)={∅}，合成运算还满足交换律和幂等律；此时单位元和零元都是∅。

当|A|=1时，R(A)={∅，I A}，合成运算也满足交换律和幂等律。

(10)两个运算都封闭。

两个运算都满足交换律、结合律和幂等律。

它们互相可分配，也满足吸收律。

1是求最小公倍数运算的单位元，也是求最大公约数运算的零元。

注：有的问题对所给定的参数没有具体值，如(4)、(5)、(6)和(8)中的n。

只知道n是一个给定的正整数。

在n=1与n>1两种情况下，运算旺旺呈现不同的性质，如是否具有交换律和幂等律，是否具有单位元，是否具有可逆元素等。

通常要对n的不同取值进行讨论。

有的问题对集合中的元素没有规定，如(9)中的A集合，由于A 可以是空集、单元集或者含有2个以上元素的集合。

§1 第一章 基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。

（ ）1.2 A ×B = B ×A （ ）1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。

（ ） 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a 。

( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。

（ ）1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

（ ）1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。

（ ）1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。

( )2填空题：2.1 若A={0,1} , 则A A= __________________________________。

2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。

2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ⨯B=_______。

2.4 设A={1,2}, 则A A=_____________________。

2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。

2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。

2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。

2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义 个从A 到B 的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。

2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e}，则A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：_____________________________________________。

大三数学抽象代数精选题目一、群论1. 给定一个群G，证明其单位元素是唯一的。

证明：设e和e'都是群G的单位元素，即对任意的g∈G，有eg=ge=g和e'g=ge'=g。

则有：e=g⁻¹g= (e'g⁻¹)g=e'(g⁻¹g)=e'。

因此，群G的单位元素是唯一的。

2. 设G是一个群，证明：G中任意元素的逆元素也在G中。

证明：设g∈G，由群的定义可知，存在一个元素g'∈G使得gg'=g'g=e （其中e为群G的单位元素）。

因此，g'是g的逆元素。

由此可见，G中任意元素的逆元素也在G中。

二、环论1. 证明：对于任意整数n，Zn（整数环Z中模n的剩余类）构成一个环。

证明：（1）封闭性：对于任意的a、b∈Zn，a=b(mod n)，即a与b同余(mod n)，那么a+b和ab与b+a(mod n)以及ab(mod n)也是模n的剩余类，因此Zn对于加法和乘法运算均封闭。

（2）结合律：由于Zn对于加法和乘法运算均封闭，结合性显然成立。

（3）加法单位元：对于任意的a∈Zn，a+0=a=0+a(mod n)，其中0为模n的零元。

（4）加法逆元：对于任意的a∈Zn，存在一个元素b∈Zn使得a+b=b+a=0(mod n)，即b为a的加法逆元。

（5）乘法单位元：对于任意的a∈Zn，a×1=a=1×a(mod n)，其中1为模n的单位元。

（6）乘法交换律：由于Zn对于乘法运算封闭，交换律显然成立。

综上所述，Zn构成一个环。

2. 证明：交换环中存在无零因子的元素。

证明：设R是一个交换环，如果存在a、b∈R且ab=0，则可以得出结论a=0或b=0。

首先，如果a≠0，则对于任意的r∈R，有ra≠0（否则，若存在r∈R 使得ra=0，则可得ra=r(ab)=(ra)b=0，与假设矛盾），那么有ra=b(ab)=0，即b=0。

高校线性代数教育中的存在问题及解决措施《线性代数》是高校公共数学科目中一门非常重要的基础必修课，在很多学科的应用中都起了很重要的作用。

但在线性代数的整个教学过程当中却出现了诸如知识脱节、课程设计不合理等问题。

线性代数高素质教育存在问题解决措施一、前言线性代数是我国高等院校工科专业中的一门基础的数学学科，通过线性代数的学习，可以培养和提高学生思考问题、解决问题的能力，教育部将其列入重点评估课程，可见线性代数在高等院校数学教育中的重要性。

计算机技术的进一步发展，使得线性代数的重要性更加突出。

随着高等教育规模的不断扩大，如何保证高校人才的教育水平成为了当今高校教育的巨大挑战，而线性代数无疑首当其冲，线性代数面临着各种各样的问题，不仅存在着学生方面的问题，而且在学校方面更存在着非常严重的失误，以下是对高校数学当中非常具有代表性的一科——线性代数，做出了问题分析并提出几点改进的建议。

二、线性代数在高校数学教育中遇到的瓶颈1.传统教学内容的设置不合理目前线性代数教育仍然处于新旧交替的阶段，很多陈旧的教材中的内容仍然是处于应试教育的框架，重点在阶梯方法的传授而不是对数值的计算和对数学本身的现代应用。

同时，教材中很多的问题还处在上世纪七八十年代的水平，其中不仅包含的信息量不多而且也完全与现代生活脱节，更无法使用现代数学的方法提供解题思路，使得学生们无法真正具有学习线性代数的学前基础，进而导致对相应的知识无法牢固掌握。

2.传统教学目的占主导由于长期以来受应试教育的影响，学生的学习成绩被当作是教师教学水平的唯一衡量标准，教学的目的也从教书育人变成了如何让学生在考试中取得好的成绩，忽视了培养学生寻根溯源的学习思想。

而老师在讲解公式的时候也对方法欠缺指导，教学当中重结果、轻过程的做法泯灭了学生的求知欲。

在线性代数的教学过程中，更多的老师习惯通过“用题讲点（知识点）”的方法教育学生以此减少教学压力并且提高教学成绩，不能变通地完成学习计划，其结果只会培养出缺乏个性的学生，进而也就无法适应社会变化发展的需要。

近世代数作业练习题第一次作业1、设A={x| x R, |x|5},B={x|x R, -6x<0}.求AB，AB，AB，BA。

2、设A，B是U的子集，规定A+B=(AB)(BA)。

证明：(1) A+B=B+A(2) A+=A(3) A+A=。

3、求下列集合的所有子集：(1) A={a, b, }(2) B={}(3) C={1}4、设f：AB和g：BC是映射，证明：(1) 如果f和g是单射，则gf是单射(2) 如果f和g是满射，则gf是满射(3) 如果gf是单射，则f是单射(4) 如果gf是满射，则g是满射.5、对于下面给出的整数集Z到整数集Z的映射f, g ,h:f: x3xg: x3x+1h: x3x+2(1) 计算fg, gf, gh, hg, fgh(2) 分别求f, g, h的一个左逆映射(3) 求f, g, h的一个共同的左逆映射(4) 求f, g的一个共同的左逆映射，但不是h的左逆映射。

6、设R是实数集合，在RR上规定二元关系“~”为：（a, b）~ (c, d)a+d=b+c证明“~”是R上的一个等价关系。

7、设A={a, b, c, d, e}, S={{a},{b},{c, d, e}},求A上的一个等价关系R，使A 在R下的分类恰为S。

8、设A={1，2，3，4}，在幂集中规定二元关系“~”：S~TS与T所含元素个数相同证明“~”是上的一个等价关系，并写出商集/~。

第二次作业1、设G={(a, b)| a, b R, a0}, 规定G中元素运算：(a, b)(c, d)=(ac, bc+d)证明：G是一个群，但不是交换群。

2、设G={a, b, c},G的乘法表如下：a b ca ab cb a b cc a b c证明：（G，）是一个半群。

3、设G是群，证明：(1) 如果G的每一个元素a的逆元还是a本身，则G是交换群，举例说明反之不对。

(2) 如果G是非交换群，则存在元素a、bG, ab,并且它们均非单位元，使得ab=ba.4、在对称群中计算：(1 2 4 3)(3 5 4), (2 1 4 3)(1 3 2 4), (1 2 3 4 5)(1 2 3 4 5)5、设=（1 2 3 4 5 6），计算。

代数系统练习题答案1. 以下集合和运算是否构成代数系统？如果构成，说明该系统是否满足结合律、交换律？求出该运算的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.1) P关于对称差运算⊕，其中P为幂集.构成代数系统；满足结合律、交换律；幺元φ；无零元；逆元为自身。

2) A={a,b,c}，*运算如下表所示：构成代数系统；满足结合律、交换律；无幺元；无逆元；零元b.2. 设集合A={a,b}，那么在A上可以定义多少不同的二元运算？在A上可以定义多少不同的具有交换律的二元运算？24个不同的二元运算；23个不同的具有交换律的二元运算3. 设A={1,2},B是A上的等价关系的集合.1) 列出B的元素.元集合上只有2种划分，因此只有2个等价关系，即B={IA，EA}2) 给出代数系统V=的运算表.3) 求出V的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.幺元EA、零元IA；只有EA可逆，其逆元为EA.4) 说明V是否为半群、独异点和群？V是为半群、独异点，不是群4. 设A={a,b,c}，构造A上的二元运算*，使得a*b=c,c*b=b，且*运算满足幂等律、交换律.1) 给出关于*运算的一个运算表.其中表中？位置可以是a、b、c。

2) *运算是否满足结合律，为什么？不满足结合律；a*=c ≠*b=b5. 设是一个代数系统。

*是R上的一个二元运算，使得对于R中的任意元素a,b都有a*b=a+b+a·b.证明：: 是独异点.6. 如果是半群，且*是可交换的.证明：如果S中有元素a,b,使得a*a=a和b*b=b，则*=a*b.*= a**b结合律= a**b 交换律= *= a*b.7. 设是一个群,则?a,b,c∈S。

试证明：群G中具有消去律,即成立: 如果a·b=a·c ,b·a=c·a 那么b=c.8. 设是群，a∈G .现定义一种新的二元运算⊙：x⊙y=x*a*y，?x,y∈G .证明：也是群 .证明：显然⊙是G上的一个二元运算。

高二数学中常见的代数问题解析在高二阶段的数学学习中，代数问题是非常常见的一类题型。

代数是数学的一个重要分支，主要研究数与数之间的关系，以字母和符号表示未知数或数，通过代数运算求解未知数的值。

以下将对高二数学中常见的代数问题进行解析。

一、一元一次方程一元一次方程是高中代数学习的重点内容之一。

一元一次方程的一般形式为ax+b=0，其中a、b为已知数，x为未知数。

解一元一次方程的一般步骤如下：1. 将方程整理成标准形式：将方程移项，合并同类项，得到ax=c 的形式。

2. 消去系数a：若a≠0，则将方程两边同时除以a，得到x=c/a。

3. 求解未知数x：根据题目要求，将已知数代入求解x的式子中，得到最终的解。

二、一元二次方程一元二次方程是高中代数学习的另一个重要内容。

一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a≠0，a、b、c为已知数，x为未知数。

解一元二次方程的一般步骤如下：1. 判别式D：计算方程的判别式D=b²-4ac，根据判别式的值可以判断一元二次方程的解的情况。

若D>0，方程有两个不相等的实根；若D=0，方程有两个相等的实根；若D<0，方程没有实根。

2. 求解未知数x：根据一元二次方程的公式x=(-b±√D)/(2a)，将判别式D的值代入公式中，得到方程的解。

三、分式方程分式方程是一种含有分式的方程。

解分式方程的一般步骤如下：1. 化简分式：将方程的分式部分进行合并、约分等化简操作，得到一个简化的分式方程。

2. 排除分母：将方程的分子部分与零进行比较，求解未知数x。

注意：解分式方程时需注意分母不能为零。

四、函数问题在高二数学中，函数也是一个非常重要的内容。

函数问题包括函数的性质、函数的图像、函数方程的求解等。

对于函数问题的解析可以按照以下步骤进行：1. 确定函数的性质：确定函数的定义域、值域等性质。

2. 绘制函数的图像：根据函数的性质，绘制函数的图像，对函数进行分析和理解。

抽象代数练习题一．设A 是一个非空集合,S 是由A 的所有子集构成的集合.则集合的并”“ 是S 上的一个代数运算.证明:),( S 是一个半群.（10分）二．令⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Z ,,,d c b a d c b a S .证明S 关于矩阵的乘法构成一个半群.（10分）-三．设G 是一个群,证明:111)(---=a b ab ,G b a ∈∀,.（10分）四．设G 是一个群,证明:G 是交换群的充要条件是222)(b a ab =,G b a ∈∀,.（10分）五．求证:循环群的商群也是循环群. （10分）六.设G 是群,H 和K 是G 的子群,(1)证明:HK 是G 的子群KH HK =⇔.(2)假设H 是G 的正规子群,证明:HK 是G 的子群.(3)假设H 和K 都是G 的正规子群,证明:HK 是G 的正规子群.（20分）七．设H 是群G 的子群,1-aHa 是H 的共轭子群,证明:1-aHa 与H 同构.（10分）八．设f 是群G 到群'G 的满同态,'H 是'G 的正规子群,证明:'/')'(/1H G H f G ≅-.（20分）参考答案：一．证明 众所周知,对于任意的S Z Y X ∈,,,总有)()(Z Y X Z Y X =.这就是说,S 上的代数运算”“ 适合结合律,所以),( S 是一个半群. 二．证明 众所周知,对于任意的S C B A ∈,,,总有S AB ∈,)()(BC A C AB =.这就是说,矩阵的乘法是S 上的一个代数运算,并且适合结合律,所以S 关于矩阵的乘法构成一个半群.三．证明 对于任意的G b a ∈,,我们有e aa aea a bb a a b ab ====------111111)())((,e b b eb b b a a b ab a b ====------111111)())((.所以111)(---=a b ab ,G b a ∈∀,.四．证明 必要性是显然的.现在假设G 满足该条件.于是,对于任意的G b a ∈,,我们有222)(b a ab =,即aabb abab =.运用消去律(第5题)立即可得ba ab =.所以G 是交换群.五．证明 设〉〈=a G 是循环群,H 是G 的子群.于是,我们有〉〈=∈=∈=aH n aH n H a H G n n }Z |){(}Z |{/.这就表明,H G /是循环群.六．证明 (1)假设HK 是G 的子群.于是,对于任意的G a ∈,我们有HK a ∈HK a ∈⇔-1⇔存在H h ∈和K k ∈,使得hk a =-1⇔存在H h ∈和K k ∈,11--=h k aKH a ∈⇔.所以KH HK =.假设KH HK =.为了证明HK 是G 的子群,任意给定HK b a ∈,.于是,存在H h h ∈21,和K k k ∈21,,使得11k h a =,22k h b =.因此121211122111))(())((----==h k k h k h k h ab .由于KH HK k k h =∈-)(1211,因此存在H h ∈3和K k ∈3,使得331211)(h k k k h =-,从而, HK KH h h k h h k h k k h ab =∈===-=---)()())((123312331212111.这样一来,由于HK b a ∈,的任意性,我们断言:HK 是G 的子群.(2)由于H 是G 的正规子群,我们有KH kH Hk HK K k K k ===∈∈ .这样,根据(1),HK 是G 的子群.(3)根据(2),HK 是G 的子群.此外,还有a HK Ka H aK H K Ha K aH HK a )()()()()()(=====,G a ∈∀. 所以HK 是G 的正规子群.七．证明：定义H 到1-aHa 的映射f 如下: 1)(-=axa x f ,H x ∈∀.直接从f 的定义可以明白,f 是满射.利用消去律容易推知,f 是单射.因此f 是双射.其次,对于任意的H y x ∈,总有)()())(()()(111y f x f aya axa a xy a xy f ===---.所以f 是群H 到群1-aHa 的同构,从而,H aHa ≅-1.八．证明：由于'H 是'G 的正规子群,根据定理6.7,)'(1H f -是G 的正规子群.现在定义G 到'/'H G 的映射g 如下:')()(H a f a g =.由f 是群G 到群'G 的满同态可知g 是G 到'/'H G 的满射.其次,注意到'H 是'G 的正规子群,对于任意的G b a ∈,,有)()()')()(')(('')()(')()(b g a g H b f H a f H H b f a f H ab f ab g ====. 所以g 是G 到'/'H G 的满同态.最后,对于任意的G a ∈,我们有)'(')('')()(Ker 1H f a H a f H H a f g a -∈⇔∈⇔=⇔∈.因此)'()(Ker 1H f g -=.这样一来,根据群的同态基本定理,'/')'(/1H G H f G ≅-.。